Dinamikus Indexek. Kondor Gábor. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Témavezet k: Márkus Balázs. Böde Csaba.

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar MSc Szakdolgozat Dinamikus Indexek Kondor Gábor Biztosítási és Pénzügyi Matematika Szak Kvantitatív Pénzügyek Szakirány Témavezet k: Böde Csaba Vice President Morgan Stanley Márkus Balázs Egyetemi Tanársegéd Befektetések és Vállalati Pénzügy Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Budapest, 215

2 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni Böde Csabának a téma ajánlását, emellett mind neki, mind Márkus Balázsnak a számos épít jelleg észrevételt és szakért i tanácsot, amit a dolgozat írása közben kaptam. Emellett szeretnék köszönetet mondani Michaletzky György tanár úrnak, aki készséggel segített a matematikai jelleg kérdéseim megválaszolásában. Köszönettel tartozom családomnak és Szabó Edit Boglárkának is, akik odaadó támogatása nélkül ez a dolgozat nem jöhetett volna létre. Budapest, 215. május 12. Kondor Gábor 2

3 Tartalomjegyzék Bevezetés 4 1. Dow Jones-tól a Target Volatility Indexekig 5 2. Target Volatility Fund-ok (TVF) A Target Volatility Fund dinamikája A modellválasztás hatásai Az újrasúlyozás gyakoriságának hatásai Target Volatility Opciók (TVO) TVO árazási formulák Taylor-sorfejtéssel, t = id pontban Taylor-sorfejtéssel, t > esetén Laplace-transzformált segítségével Robusztus árazás Taylor-sorfejtéssel Laplace-transzformált segítségével Árazás r > kamatláb esetén Kalibrálás Összefoglalás 42 Függelék Modellek Ábrák Implementálás MATLAB-ban

4 Bevezetés Az indexek tagadhatatlanul valamennyi piaci szerepl számára fontosak, segítségükkel könnyen és gyorsan tájékozódhatunk a piacok állapotáról. Közöttük vannak olyanok, amelyek szinte csupán egy számtani átlagként számítódnak, ugyanakkor vannak olyanok is, amelyek csak dinamikusan létrehozhatóak. A részvényidexek segítségével nyomon követhetjük egy-egy szektor illetve a piac növekedését vagy éppen hanyatlását, valamint támpontot adhatnak saját befektetéseink értékeléséhez. A dinamikus indexek révén pedig például átfogó képet kaphatunk a piaci várakozásokról vagy bizonyos stratégiák értékér l. Ezen szakdolgozat témája a dinamikus indexeken belül a Target Volatility Index vizsgálata a Target Volatility Fund-ok elemzése révén, valamint az ehhez, mint a volatilitásra nagyban épül eszközhöz szorosan kapcsolódó Target Volatility Opciók árazási problémájának tárgyalása. Az 1. fejezetben a BÉT Részvényindexek [16] cím elemzésének, valamint a VIX index [6, 5] és az S&P 5 index [12, 11] leírásainak segítségével el ször általánosan beszélek az indexekr l, majd kitérek a volatilitás szempontjából is fontos VIX indexre, végül pedig leírom a Target Volatility Indexek létrejöttének okát és mibenlétét. Ezután a 2. fejezetben a Moody's Analytics munkatársainak cikke [14] alapján szimulációk segítségével részletesen megvizsgálom a Target Volatility Fund-okat mind a modellválasztás, mind az újrasúlyozási gyakoriság hatásának szempontjából, amelyhez az S&P 5 indexet, mint kockázatos eszközt felhasználó Target Volatility Fund-ot veszem alapul. A Target Volatility Opciók árazásának problémáját a kell matematikai alapok leírásával a 3. fejezetben járom körül els sorban Graziano és Torricelli [9] eredményeinek bemutatásával, ugyanakkor sokat merítek Estrella [7] cikkéb l is. Ennek során kitérek az árazás lehet ségére a Taylor-sorfejtés és a Laplace-transzformáció felhasználásával zero kamatláb esetén, valamint megvizsgálom a modellfüggetlen árazás lehet ségét is. Végül a fejezet végén saját eredményként megkísérlem árazási formulák levezetését pozitív konstans kamatláb esetén. A dolgozat során felhasznált Heston- és Bates-modelleket a Kilin [13] cikkében leírt Direkt integrálás módszerrel hajtottam végre, amelynek lényegét, valamint a kalibrálás során kapott eredményeket és azok illeszkedésének vizsgálatát a 4 fejezetben írom le. A 5. fejezetben az összefoglalás során összegzem az eredményeket és megfogalmazok néhány kérdést az esetleges további vizsgálatok tárgyaként. A Heston- és Bates modellek leírása, az elemzésekhez kapcsolódó további ábrák, valamint az alkalmazott MATLAB algoritmusok részletezése a Függelékben olvashatóak. 4

5 1. fejezet Dow Jones-tól a Target Volatility Indexekig A következ ekben a BÉT Részvényindexek [16] cím elemzésének és az S&P 5 Index Módszertanainak (Index Methodology) [12, 11] segítségével általánosan írok az indexekr l, miközben az egyszer bbek fel l indulva, majd a VIX indexet [6, 5] külön megemlítve végül elérek a dolgozat f témájáig, a Target Volatility Indexekig és ezekhez kapcsolódóan a Target Volatility Fund-okig, valamint a Target Volatility Opciókig. A Dow Jones Industrial Average, vagy röviden Dow Jones az egyik legrégebb óta létez, egyszer, árfolyam alapú súlyozású index, melynek célja, hogy tisztán és egyértelm en tükrözze a piacot. Ugyanakkor, mivel a Dow Jones csupán 3 amerikai nagyvállalatot ölel fel, sokan úgy gondolják, hogy az S&P 5 index, amelynek 5 indextagja van és a legnagyobb piaci kapitalizációjú szektorra fókuszál, sokkal jobban reprezentálja a piacot, s t, sokan ezzel azonosítják azt. Azonban utóbbi is csupán egy nagyobb, az S&P Dow Jones indexcsalád része, amely ezen kívül még számos indexet tartalmaz. Annak bemutatására, hogy mennyire széles és sokrét az indexek világa, felhasználom a BÉT Részvényindexek [16] elemzését. A részvényindexek alapvet en kétféle, értékmér és kereskedettség funkciót töltenek be. Ugyanis egyrészt a kialakított index kosara megfeleltethet az adott kosárban szerepl részvényekb l álló portfoliónak, ez a mintaportfolió pedig lehet séget nyújt arra, hogy a reprezentálni kívánt piac adott id szaki teljesítményét mérve referenciaként szolgáljon az adott piacon befektet k számára a saját befektetéseiken elért hozamuk megítéléséhez. Másrészt, az indexek által képviselt portfolió sok passzív befektet számára szolgál iránymutatóként a befektetésre kerül pénz allokációjához. Az indexek sokszín ségét mutatja, hogy számos módon lehet ket csoportosítani. Típusuk szerint lehetnek tág kör ek (broad), vagy csak vezet részvényeket tartalmazóak (blue-chip). A két alaptípus mellett pedig el fordulnak még egyéb típusok is, mint például a kifejezetten közepes kapitalizációval rendelkez cégeket magukba foglaló indexek (midcap index). 5

6 Az indexkosárban szerepl részvények száma alapján lehetnek változó vagy állandó számú részvényb l felépül indexek. A bennük szerepl részvények egymáshoz viszonyított súlya, illetve annak meghatározási módja szerint megkülönböztetünk többek között azonos-, piaci kapitalizáció alapú- és közkézhányad kapitalizáció alapú súlyozású indexeket. Utóbbi esetén a t zsdére bevezetett részvénymennyiségnek csupán azt a részét veszik gyelembe, amely ténylegesen foroghat (oat-adjusted). Ugyanakkor fontos, hogy valamennyi súlyozás esetén szükség van az index-osztó (Index Divisor) használatára, amely segítségével az index szintje több milliárd dollár helyett csupán pár ezres nagyságrendet ér el. Így például az S&P 5 esetén, amely közkézhányad kapitalizáció alapú súlyozású, az index szintje az i Index szintje = P i Q i Osztó képlet alapján számítódik, ahol a jobb oldalon a számláló az egyes részvények árfolyamának és a számításhoz felhasznált részvények számának szorzata. Persze így bizonyos esetekben meg kell változtatni az index osztóját, hogy például bizonyos vállalati események vagy az index valamely tagjának cseréje esetén az index szintje ne változzon. Ennek részletes leírása az S&P Dow Jones indexek esetén az Index Mathematics Methodology-ban [11] olvasható. Aszerint, hogy a részvények által biztosított "hozamokat" hogyan veszik gyelembe, két csoportot különböztetünk meg. Az árindexek csak a részvények árfolyam-ingadozásait veszik gyelembe és az abból származó hozamokat mutatják. ( ) Árfolyamt Árfolyamváltozásból adódó hozam = 1 Árfolyam t 1 Ezzel szemben a teljesítményindexeknél osztalékzetés illetve részvényesek számára biztosított jegyzési jog (right issue) esetén sor kerül az index megfelel korrekciójára, így biztosítva, hogy az index a portfolió tartásából szármzó valamennyi hozamot tükrözze. ( ) Árfolyamt + Osztalék Teljes hozam t = 1 Árfolyam t 1 A leghíresebb ilyen a 3 legnagyobb kapitalizációjú német vállalatot magába tömörít DAX index. A számítás gyakorisága alapján tekinthetünk naponta egyszer számolt és folyamatosan (realtime) számított indexeket. Továbbá a reprezentálni kívánt piac alapján lehetnek országindexek, amelyek a nemzeti t zsdék indexei, vagy globális indexek is, amelyek egy régió, egy egész kontinens vagy akár még tágabb kör részvényeit szerepeltetik. Fontos ugyanakkor, hogy az indexek alapját nem csak részvények képezhetik. Léteznek kötvényindexek, mint például a MAX index, amelyet az ÁKK számít, és bizonyos x kamatlábú kötvények teljesítményét tükrözi. Vannak deviza alapú indexek, amelyre példa a dollár index is, amely az USD értékét méri a devizák egy kosarához képest. Továbbá el fordulnak volatilitás 6

7 alapú indexek is, amelyek például a realizált volatilitás, és így a múltbeli adatok alapján, vagy akár az implicit volatilitások alapján számítódnak. Utóbbira példa a VIX index [6, 5] is, amely önmagában is említést érdemel. Ez a volatilitás index az S&P 5 indexre szóló call és put opciók áraiból számítódik, és így a piaci várakozásnak megfelel jöv beli volatilitást tükrözi. Nagyon népszer az elemz k körében, és bár kissé félrevezet, gyakran nevezik a befektet k félelem-mér jének ("fear gauge") is, ugyanis, ha aggódnak a piacon az esések miatt, akkor az opciók ára nagyon hamar elkezd emelkedni és egyúttal az implicit volatilitásuk növekedni, aminek következtében a VIX index szintje akár 5-1 %-ot is ugorhat, például 13 %-ról 2 % fölé. Számos likvid derivatívája van (futures-ök és opciók), amelyb l szintén kit nik, hogy mennyire is fontos a volatilitás, ami a piaci kockázat alapvet mér száma is, és így egyúttal különösen nagy szerepet játszik az egyes eszközök piaci árában is. Ez motiválta els sorban olyan termékek létrejöttét, amelyek a volatilitást és az árat valamilyen szinten kontrollálni tudják. Ilyenek egyrészt a Target Volatilty Fund-ok (TVF), melyek kockázatos és kockázatmentes eszkör közötti dinamikus újrasúlyozása a következ id szak piac által elvárt vagy becsült volatilitása alapján történik. Továbbá erre példa még a Target Volatility Opciók (TVO) létrejötte, amelyek kizetése az alaptermék lejáratkori árfolyamán túl a realizált volatilitástól is függ. Ez az igény hívta életre a Target Volatility Indexeket is, amelyek tulajdonképpen a Target Volatility Fund-ok értékkövetéseként szolgálnak. Ilyen az S&P Dow Jones Risk Control Indexe [11] is, amely a becsült volatilitás alapján súlyozza újra a kockázatos és a kockázatmentes eszköz arányát. A következ ekben szimulációk segítségével közelebbr l is szemügyre veszem a Target Volatility Fund-okat a becsült volatilitás alapján történ újrasúlyozás esetén. Emellett részletesen vizsgálom a Target Volatility Opciók árazásának problémakörét is a kell matematikai háttér leírása mellett árazási formulák segítségével. 7

8 2. fejezet Target Volatility Fund-ok (TVF) Ebben a fejezetben a Moody's Analytics munkatársainak cikke [14] alapján közelebbr l is megvizsgálom a Target Volatility Fund-okat (TVF), amelyek olyan kockázatos és kockázatmentes részekb l álló eszközök, melyek célja dinamikus újrasúlyozás révén a portlió stabil volatilitás-szintjének elérése. A gazdasági világválság során tapasztalt magas implicit volatilitások és a kockázatmentes kamatlábak relatíve alacsony szintje jelent sen megnövelte a Variable Annuity (VA) termékekbe ágyazott garanciák piaci árait. Ezek olyan konstrukciók, amelyek valamilyen garantált minimum rész fölötti kizetése a kezelt portfolió teljesítményét l függ. Az említett piaci környezet hatására a VA termékek kiírói olyan módszereket kerestek, amelyek meg rzik a befektet k által kedvelt garanciákat azok költéségének csökkentése mellett. Egy ilyen megoldás a TVF-ek alkalmazása, amelyek konstrukciójukból adódóan megfelelnek ennek a kritériumnak, és emellett maximális kitettséget is biztosítanak a kockázatos eszköz felé. Ugyanakkor a garanciák költségeinek meghatározása nem egyértelm, nagyban függ a modellezés feltételezéseit l. Az alábbiakban azt vizsgálom, hogy mik a hatásai egyrészt annak, ha az alaptermék dinamikájának leírására más-más modelleket alkalmazunk, másrészt pedig annak, hogy ha különböz újrasúlyozási gyakoriságokat tekintünk. Ehhez el ször nézzük az elemzésekhez felhasznált dinamikus újrasúlyozás szabályainak leírását A Target Volatility Fund dinamikája A TVF egy kockázatos (általában részvény vagy részvényindex) és egy kockázatmentes eszköz portfoliója olyan arányban dinamikusan újrasúlyozva, hogy a TVF volatilitása a lehet legközelebb legyen az el re adott cél-volatilitáshoz (target volatility). Ehhez egy tipikus dinamikus újrasúlyozási stratégiát alkalmazunk, ahol a t újrasúlyozási id pillanatban a kockázatos eszköz súlya 8

9 ( ) w equity σtarget t = min σ equity, 1%, (2.1) t ahol σ target a cél-volatilitás, σ equity t pedig a t és t + t közötti hozam volatilitásának becslése. A kockázatos eszközbe fektethet maximális súlyt 1%-ra állítjuk, vagyis ha a becsült volatilitás túl kicsi, nem alkalmazunk t keáttételt a kívánt volatilitás elérése érdekében. Ezzel a stratégiával, ha tökéletesen meg tudjuk becsülni a következ újrasúlyozási id szakban adódó volatilitást, és persze, hogyha ez mindig nagyobb, mint a cél-volatilitás, akkor a TVF volatilitása pontosan a cél-volatilitás lesz. A gyakorlatban természetesen nem tudjuk pontosan megadni a jöv beli volatilitást, csupán becsülhetjük. Erre a célre az Exponenciális Súlyozású Mozgó Átlagot (EWMA) alkalmazzuk, amellyel a kockázatos eszköz t és t + t közötti loghozamának becsült volatilitását a ( σ equity t ) 2 ) = λ equity 2 1 ( σ t t + (1 λ) t log2 ( St S t t képlet alapján kapjuk meg, ahol S t az index értéke a t id pontban. Az elemzéseink során t = 1, vagyis egy üzleti nap választással élünk, és egy éven belül 252 üzleti napot tekintünk. A (2.2) formulában a λ paraméter szabályozza az exponenciális lecsengés gyorsaságát, nagyobb érték esetén lassabb a lecsengés. Az adatokat átlagosan t napra visszamen en vesszük gyelembe, 1 λ így esetünkben, λ =,99 választással ez az id szak 1 nap, vagyis nagyjából,4 év. A TVF volatilitása annak megfelel en közelíti jól a cél-volatilitást, hogy mennyire becsüljük meg jól a következ id szakban adódó volatilitást. Ha túlbecsüljük a következ id szaki volatilitást, akkor túl keveset allokálunk a kockázatos eszközbe így a cél-volatilitásnál kisebb értéket érünk el, ha pedig alulbecsüljük, akkor túl nagy lesz a kockázatos eszköz súlya, aminek eredményeképpen a TVF volatilitása meghaladja a cél-volatilitást. A következ ekben láthatjuk, hogy az alaptermék dinamikájának választásától függ en a becslési hibának jelent s hatása lehet a garantált rész költségére. ) (2.2) 2.2. A modellválasztás hatásai Az alábbiakban az opcióárak érzékenységét vizsgálom különböz modellválasztások esetén. A felhasznált modellek, amelyeket a 4. fejezetben leírtak szerint az S&P 5 indexhez kalibráltam, a következ ek: 1, Black-Scholes modell (konstans volatilitás), 2, Heston-modell, 3, Bates-modell. 9

10 Az el zetes futtatások során azt tapasztaltam, hogy ha túl alacsonynak választjuk a célvolatilitást, akkor a szimulált TVF árából az esetek nagy részében nem tudtam implicit volatilitást számolni. Így gyelembe véve, hogy a kalibrációk során a σ értékek 1 % körül adódtak, a cél-volatilitást az elemzéseim során 6 %-nak választottam. Az alfejezet során pedig végig napi újrasúlyozást tekintettem. Nézzük el ször a Black-Scholes modell esetén kapott eredményeket. A 2.1-es ábrán láthatóak a szimulációk során kapott index- és TVF opciókból visszaszámított implicit volatilitások, melyekhez 5 szcenáriót generáltam. A TVF opciókból számított implicit volatilitások az esetek nagy részében közelít leg megegyeznek a cél-volatilitással, habár az alacsony kötési árfolyamok esetén kaptam pár ett l kissé eltér eredményt is, s t olyat is ahol nem tudtam implicit volatilitást számítani (2.2-es és Függelék, 1-es ábra) ábra. Implicit volatilitások a Black-Scholes modellben különböz lejáratok esetén 2.2. ábra. Implicit volatilitások a Black-Scholes modellben különböz lejáratok esetén A 2.3-as ábrán egy generált eset látható, melyen egyszerre szerepel a modell segítségével generált index folyamata és az index EWMA becsléssel számított volatilitása, valamint a TVF alakulása és annak 2 üzleti nap alajpán kapott volatilitás folyamata. Meggyelhetjük, hogy a becsült (EWMA) volatilitás végig stabil és közel van az elméleti, konstans Black-Scholes volatilitáshoz. Hasonlót mondhatunk a TVF volatilitásáról is, amely mindvégig a cél-volatilitás (Target Vol) körül uktuál. Mivel a TVF-et gyakran újrasúlyozzuk és a volatilitása közelít leg megegyezik a cél-volatilitással, a TVF dinamikáját jól leírja a Black-Scholes modell, és így 1

11 a TVF opcióból visszaszámolt implicit volatilitás nagyjából megegyezik a cél-volatilitással a különböz lejáratokra ábra. Egy generált szcenárió a Black-Scholes modell esetén A Heston-modell esetén a 2.4-es ábra mutatja az implicit volatilitások alakulását. Habár itt is voltak olyan esetek (Függelék, 2-es ábra), amikor eltér eredményt kaptam, általánosságban elmondható, hogy egy kisebb ferdeség tapasztalható az implicit volatilitások alakulásában, amely els sorban a rövid lejáratoknál jelenik meg, és a hosszabb lejáratok esetén kevésbé érzékelhet ábra. Implicit volatilitások a Heston-modellben különböz lejáratok esetén 11

12 Egy Heston-modell alkalmazásával generált szcenáriót mutat be a 2.5-ös ábra. Mivel az EWMA is az utolsó 1 nap alapján számítja a becsült volatilitást (λ =,99 érték mellett), ezért az index modellb l számított volatilitását is az utolsó 1 nap felhasználásával tekintettem. Ezek összehasonlítása látható a jobb fels sarokban, amely alapján látszik, hogy habár a modell volatilitása jelen esetben már sztochasztikus folyamat, az EWMA becsl különösen jól együtt mozog vele. Ennek következtében a TVF volatilitása a cél-volatilitás (Target Vol) körül mozog, és így az implicit volatilitás is nagyjából megegyezik a cél-volatilitással. Ugyanakkor ez az egyezés sokkal kevésbé stabil, ami valószín leg annak tudható be, hogy csupán a realizált adatokat használjuk fel, és így egy késleltetés jelenik meg az EWMA becslés során, aminek következtében néhol alul, néhol pedig felülsúlyozzuk a kockázatos eszközt. Mindemellett a TVF volatilitása sokkal kisebb, mint az indexé, és ennek köszönhet, hogy el bbi implicit volatilitása valamivel laposabb görbét ad, mint az utóbbié ábra. Egy generált szcenárió a Heston-modell esetén A kalibrációk során (4. fejezet) azt tapasztaltam, hogy az S&P 5 indexhez kalibrált Batesmodellben nem volt jelent s szerepe az ugrásoknak, így nem meglep, hogy a Heston-modellhez hasonló eredményeket kapunk. Ugyanúgy voltak eltér esetek (Függelék, 3-as ábra) és a 2.6-os ábrán hasonló ferdeség gyelhet meg, mint az el z esetnél, emellett a 2.7-es ábra alapján 12

13 látható, hogy a modellezett index volatilitása és az EWMA becsl szintén nagyjából együtt mozog és így az implicit volatilitások is nagyjából a cél-volatilitás szintjén vannak ábra. Implicit volatilitások a Bates-modellben különböz lejáratok esetén 2.7. ábra. Egy generált szcenárió a Bates-modell esetén A 2.1-es táblázatban az ATM TVF opcióárak szerepelnek, amelyeket 5 generált szcenárió felhasználásával számítottam. A 2.2-es táblázatban pedig az egyes modellek közötti százalékos eltéréseket vehetjük szemügyre. Ezek alapján els sorban a hosszabb lejáratok esetén a %-os növekedés nem túl nagy, s t a Heston-modellr l a Bates-modellre való áttérés esetén van, ahol az utóbbival kapott ár a kisebb. Azt is meggyelhetjük, hogy a Heston- és a Bates-modell ered- 13

14 ményei kevésbé térnek el egymástól, mint a Black-Scholes modellét l. Ugyanakkor nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy az ugrások jelen esetben nem számottev ek sem gyakoriságban sem nagyságban, így érdemes megvizsgálni olyan esetet is, ahol az ugrások jelent sebb szerepet játszanak az alaptermék folyamatában. Ilyet tekintettek például a Moody's Analytics munkatársai is [14], akik azt kapták eredményül, hogy a Bates-modellel jelent sen megn tt a TVF-re kiírt ATM call ára. Ezek alapján azt mondhatjuk, hogy az ilyen termékek szempontjából kiemelten fontos, hogy milyen kockázatos eszközr l van szó. Modell 2 Év 5 Év 1 Év BS 84, , ,35 Heston 9, , ,5464 Bates 91, ,382 23, táblázat. ATM call TVF opciók árai szimulációval a különböz modellek esetén, 5 szcenárió felhasználásával. Modellek 2 Év 5 Év 1 Év Heston / BS 6,7982 % 2,8652 % 3,7655 % Bates / BS 8,383 % 6,443 % 2,33 % Bates/Heston 1,4891 % 3,96 % -1,6696 % 2.2. táblázat. ATM call TVF opciók árainak százalékos eltérései szimulációval kapott árak esetén, 5 szcenárió felhasználásával Az újrasúlyozás gyakoriságának hatásai Az eddigiekben azt feltételeztem, hogy a TVF-et minden üzleti napon újrasúlyozzák, amely sok alap bevett gyakorlata. A következ ekben azt vizsgálom, hogy milyen hatásai vannak az újrasúlyozási gyakoriságnak. Ehhez a Bates-modell keretein belül tekintjük a napi, heti, havi és negyedévenkénti újrasúlyozás hatásait. Az implicit volatilitások ekkor a 2.8-as ábrának megfelel en alakulnak (hasonló ábrák találhatóak a Black-Scholes és Heston-modellek esetére a Függelékben - 4. ábra, 5. ábra ). Látható, hogy az egyes implicit volatilitás görbék teljesen fedik egymást valamennyi lejáratra és kötési árfolyamra. 14

15 2.8. ábra. Implicit volatilitások a Bates-modellben különböz lejáratok és újrasúlyozási gyakoriságok esetén Ennek a jelenségnek a megértéséhez tekintsük maguknak a súlyoknak és az ezeknek megfelel TVF árfolyamatoknak az alakulását a 2.9-es ábrán (hasonlóak szerepelnek a Függelékben a Black-Scholes és Heston-modell esetére - 6. ábra, 7. ábra). Konstrukciójukból adódóan a súlyok minden közös újrasúlyozási id pontban megegyeznek. Ugyanakkor az újrasúlyozási id pontok között a kockázatos eszköz súlya a realizált hozamaitól függ en mozog. Az, hogy az újrasúlyozott súlyok és a 'mozgó' súlyok mennyire térnek el egymástól, a kockázatos eszköz volatilitásától és a hozamoktól függ. Azonban ezek az eltérések a generált esetek alapján általában elég kicsik, és ennek eredményeképpen a TVF ára relatíve érzéketlen az újrasúlyozási gyakoriságra. Ennek tükrében néhány alap azt a módszert alkalmazza, hogy csak akkor súlyozza újra a TVF-et, ha a kockázatos eszköz súlya lényegesen messze került a megfelel súlytól ábra. A kockázatos eszköz súlyainak és az azoknak megfelel TVF árfolyamatoknak az alakulása különböz újrasúlyozási gyakoriságok esetén a Bates-modellben 15

16 3. fejezet Target Volatility Opciók (TVO) Ezen fejezetben áttekintem, hogy milyen lehet ségeink vannak a Target Volatility Opciók (TVO) valamilyen formula alapján történ árazására. Ehhez els sorban Graziano és Torricelli [9] munkásságát veszem alapul, ugyanakkor egyes részeknél felhasználok egyéb kapcsolódó forrásokat is, melyet mindig jelölök az adott helyen. A TVO egy viszonylag új típusú volatilitás-derivatíva, amely 28 körül jelent meg, és amelynek például call esetén a kizetésfüggvénye φ(s T, RV T ) = σ RV T (S T K) +, (3.1) ahol a σ a cél-volatilitás, amely egy tetsz leges konstans, az RV T az opció id tartama alatt realizált volatilitás, az S T és a K pedig az opcióknál már megszokott módon az alaptermék lejáratkori árfolyama és a kötési árfolyam. Itt a hányados tulajdonképpen átskálázza az opció kizetését, minél kisebb a realizált volatilitás értéke, annál nagyobb lesz a hányados és így a kizetés. Ezt mutatja be szemléletesen a 3.1-es táblázat. σ RV T RV T \ σ 5 % 1 % 2 % 2 %,25,5 1 1 %, % táblázat. A σ/rv T hányados értékeinek táblázata. Ezen derivatívák segítségével a befektet k egyszerre tudják megtenni tétjeiket mind az alaptermék realizált volatilitására, mind annak árára. Mivel olcsóbbak, mint a vanilla opciók, népszer ek mind a befektet k, mind a hedger-ek körében. Amennyiben a realizált volatilitás a cél-volatilitás alatt van, kizetésük nagyobb, mint a megfelel vanilla opcióké. Ellenkez esetben pedig a TVO alacsonyabb áron biztosít kitettséget az alaptermékre. A következ ekben el ször felírom a fejezetre vonatkozó feltételezéseinket, majd megnézem, hogy milyen árazási formulákat kapunk az egyszer bb esetekben, amikor a kamatláb nulla. 16

17 Ezután a robusztus árazás lehet ségeit vizsgálom abban az értelemben, hogy meg tudunk-e határozni modell-független árazási képleteket. Végül pedig azzal az esettel foglalkozok, amikor a kockázatmentes kamatláb konstans és pozitív TVO árazási formulák A fejezet során a következ feltételezésekkel élünk. A piacot egy (Ω, F, {F t }, P) ltrált valószín ségi mez reprezentálja. Emellett feltesszük, hogy van egy kockázatmentes B t eszköz, amely zero kamatot zet, továbbá azt, hogy létezik egy Q valószín ségi mérték, amely alatt bármely osztalékot nem zet S t kockázatos eszköz kielégíti a ds t = σ t S t dw t sztochasztikus egyenletet, ahol W t egy Q-Wiener folyamat, valamint σ t egy sztochasztikus volatilitás folyamat. Minden várható értéket a Q mérték mellett tekintünk. A σ t folyamatok esetében azokra szorítkozunk, amelyek kielégítik a dσ t = µ(σ t, t) dt + ν(σ t, t) dz t, σ > alakú diúziós egyenletet, ahol a Z t a W t -t l független Q-Wiener folyamat. Legyen X t = log(s t /S ) a logkamatláb. Ekkor az X t folyamat dinamikája dx t = σ2 t 2 dt + σ t dw t, a kvadratikus variációja vagy másképpen a realizált varianciája pedig X t = t σ 2 udu. A Fubini-tétel alkalmazhatóságához megköveteljük, hogy S t olyan folyamat, amelynek X t kvadratikus variációja alulról korlátos minden t > esetén. Továbbá legyen tetsz leges σ >, amelyre Target Volatility-ként hivatkozunk. Így egy K kötési árfolyamú target volatility call opció egy S t -re és X t -re vonatkozó származtatott követelés, melynek t-beli értékét a [ C t T V σ ] T (S t, K, X t ) = E t (S T K) + (3.2) X T képlet adja. Hasonlóan a put TVO t id pontbeli értéke [ P t T V σ ] T (S t, K, X t ) = E t (K S T ) +. X T A továbbiakban tehát az a célunk, hogy a (3.2)-es egyenlet jobb oldalát és egyúttal a call TVO árát valamilyen könnyen kezelhet, zárt alakban megadjuk. 17

18 Taylor-sorfejtéssel, t = id pontban El ször tekintsük azt az egyszer bb esetet, amikor K = S, tehát egy ATM call TVO áráról szeretnénk valamit mondani. Ekkor tulajdonképpen a [ C T V σ ] T (S, S, ) = E (S T K) + = X T [ σ = E [E ]] T (S T K) + FT σ = X T [ σ T = E E [ ] ] (S T S ) + FT σ = X T [ σ ] T = E C BS (S, S, X T ) X T kifejezést szeretnénk valahogyan közelíteni, ahol (F σ ) t a volatilitás folyamat által generált ltráció, így mérhet az FT σ σ-algebrára nézve, ennek következtében pedig kiemelhet a σ T X T bels feltételes várható értéken kívülre. Továbbá C BS (S, K, x) természetesen egy európai call opció Black-Scholes árát jelöli S spot árfolyam, K kötési árfolyam és x kumulált szórásnégyzet mellett, vagyis és C BS (S, K, x) S N(d 1 (x)) KN(d 2 (x)) d 1,2 (x) = log(s /K) ± x/2 x, ahol N( ) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. Ekkor Bachelier approximációs formulájához hasonlóan [17] itt is becsülhetjük a call árát. Ugyanis a Q mérték alatt log S T normális eloszlású log S X T várható értékkel és X 2 T szórásnégyzettel. Ekkor, ha T kicsi, akkor X T valamint S T S. Ha még a log(1 + x) = ( ) n=1 ( 1)n+1 xn Taylor-sorfejtést is felhasználjuk, akkor a log S T n S = log 1 + S T S S S T S S közelítést kapjuk, amellyel az S T lognormális valószín ségi változó s r ségfüggvényében az exponenciális kitev jében lév kifejezésre a következ becslést adhatjuk: ( ( )) 2 log S T log S X T 2 (S T S ) 2. 2 X T 2 X T S 2 Az el z eket felhasználva és az S T s r ségfüggvényét f(s T )-vel jelölve a C BS (S, K, X T ) = = K (S T K) + f(s T ) ds T (S T K) + 1 exp { (S T S ) 2 2π X T S 2 X T S 2 1 (S T K) exp { (S T S ) 2 2π X T S 2 X T S 2 18 } ds T = } ds T

19 kifejezést kapjuk, amelyet S T K = (S T S ) (K S )-nak megfelel en két részre bonthatunk, és külön-külön alakíthatunk. 1 1) = (S T S ) exp { (S } T S ) 2 ds K 2π X T S 2 X T S 2 T = X T S = ( 1) S T S exp { (S } T S ) 2 ds 2π K X T S 2 2 X T S 2 T = [ X T S 2 = exp { (S }] T S ) 2 = 2π 2 X T S 2 K X T S 2 = exp { (K S } ) 2 2π 2 X T S 2 2) = ( 1) K 1 (K S ) exp { (S } T S ) 2 ds 2π X T S 2 X T S 2 T, amely esetén az (S T S ) 2 2 X T S 2 = t2 2 helyettesítést használva t = S T S X T S 2 [ [ K S t, X T S 2 1 X T S 2 ds T = dt. Bevezetve az u = K S X T S 2 { } 1 (S K) exp t2 dt = (S K)N( u) = (S K)N u 2π 2 változót és ezzel a következ sort átláthatóbbá téve 2) tovább írható ( S K X T S 2 ) alakra. Így azt kaptuk, hogy C BS (S, K, X T ) 1) + 2) = X T S 2 2π exp { (K S } ( ) ) 2 S K + (S 2 X T S 2 K)N, X T S 2 amelyb l pedig K = S esetén C BS (S, S, X T ) S X T 2π következik. Végül ezt felhaszálva az ATM call TVO árához [ C T V σ ] T X T (S, S, ) E S = X T 2π T = S σ 2π C BS (S, S, σ 2 T ). 19

20 A fenti probléma általánosabb verziója az, ha tetsz leges K kötési árfolyam mellett szeretnénk meghatározni a TVO kezdeti árát. [ C T V σ ] T (S, K, ) = E C BS (S, K, X T ) (3.3) X T Ezt megtehetjük úgy, hogy a jobb oldalon megjelen Black-Scholes formulát közelítjük az ATMszint, vagyis az S körüli Taylor-sorfejtésével. Megmutatjuk, hogy ekkor a sorfejtés minden tagja felírható az X T kvadratikus variáció valamilyen exponenciális függvényének integráljaként. Ehhez tekintsük el ször a következ lemmát, mely segítségével megadhatjuk a Black-Scholes árat a kumulált szórásnégyzet valamely függvényeinek súlyozott összegeként Lemma. A call opció Black-Scholes egyenlete, mint a K kötési árfolyam függvénye a következ S, mint ATM pont körüli Taylor-sorfejtést vonja maga után. ( ) f(n) x C BS (S, K, x) = S (S + K)N + e x/8 x (1/2+j) W n,j (K) + h(n + 3), (3.4) 2 j= ahol és W n,j (K) = 1 2π n k=2j ( 1) k f(k) j,k (K S)k+2 c S k+1 (k + 2)! k, ha k páros, 2 f(k) = k 1, ha k páratlan. 2 (3.5) (3.6) 3.3. Megjegyzés. A c j,n együtthatók egy egyszer rekurzív egyenlet megoldásaként explicit módon meghatározhatóak. Bizonyítás. [3.2 Lemma] A bizonyítás f ként Estrella [7] cikkére épül, aki a Black-Scholes árazási formulának, mint S függvényének a Taylor-sorfejtését vizsgálta. Tekintsük el ször a C BS (S, K, x) C(K) Black-Scholes képletnek, mint a K kötési árfolyam függvényének S körüli Taylor-sorát. C(K) = C(S) + C (1) (S)(K S) + C (k+2) (K S)k+2 (S), (3.7) (k + 2)! ahol C (i) (S) jelöli a K szerinti i-edik deriváltat, kiértékelve az S ATM pont körül. Estrella [7] nyomán a Taylor-sorfejtés ott konvergens, ahol a log K függvény S körüli sorfejtése is az. Utóbbi konvergenciasugara pedig r = S, így a (3.7)-es sorfejtés minden < K < 2S esetén konvergens. Emellett igaz a következ állítás. 2 k=

21 3.4. Állítás. A C (k+2) (S) kifejezés minden k esetén létezik: C (k+2) (S) = 1 } exp { ˆσ2 Pk (d 1 (S)) 2π 8 S k+1ˆσ k+1 ( 1)k, (3.8) ahol ˆσ σ t = x az id -skálázott volatilitás, továbbá P k (d 1 ) a d 1 polinomja és kielégíti a következ rekurzív egyenletet: P (d 1 ) = 1, ha k = valamint P k (d 1 ) = (d 1 + kˆσ)p k 1 (d 1 ) P k 1(d 1 ), ha k 1. (3.9) Bizonyítás. A bizonyítást két lépésben végezzük. Els lépésként belátjuk, hogy C (k+2) (K) = N (d 2 (K))Q k (d 2 (K)) (ˆσK) k+1, (3.1) ahol C (i) (K) jelöli a C(K) függvény K szerinti i-edik deriváltját, továbbá Q k (d 2 ) a d 2 polinomja és tagjait rekurzív módon határozhatjuk meg: Q (d 2 ) = 1, ha k = valamint Q k (d 2 ) = (d 2 kˆσ)q k 1 (d 2 ) Q k 1(d 2 ), ha k 1. (3.11) Második lépésként ezután belátjuk, hogy a (3.1)-es kifejezés az S helyen pont a (3.8) ( 1) k -szorosával egyezik meg. 1. lépés) A Black-Scholes formula alapján, ˆσ = x id -skálázott volatilitást használva tudjuk, hogy C () (K) = C(K) = SN(d 1 (K)) KN(d 2 (K)), d 1,2 (K) = log (S/K) ± ˆσ2 /2, ˆσ amelyb l egyszer deriválás útján következik, hogy C(K) K = ( 1)N(d 2(K)) + 1 { } { } exp d2 2(K) S exp d2 1(K). 2πˆσ 2 2πˆσK 2 Felhasználva, hogy d 2 2(K) = d 2 1(K) 2 log(s/k), az el z összeg utolsó két tagja kiesik, így C (1) (K) = C(K) K = ( 1)N(d 2(K)) adódik. Ezt tovább deriválva K szerint azt kapjuk, hogy C (2) (K) = C(1) (K) K = ( 1)N (d 2 (K)) d 2(K) K 21 = N (d 2 (K)) ˆσK,

22 tehát a (3.1)-es egyenl ség k = -ra teljesül. Most tegyük fel, hogy k-ra igaz, és lássuk be k + 1-re. ( ) C (k+3) (K) = C(k+2) (K) N (d 2 (K)Q k (d 2 (K)) (ˆσK) = k+1 = ( K K ) N (d 2 (K))d 2 (K)Q k (d 2 (K)) N (d 2 (K))Q k (d 2(K)) (ˆσK) k+1 ˆσK ˆσK = + (ˆσK) 2k+2 N (d 2 (K))Q k (d 2 (K))ˆσ k+1 (k + 1)K k = (ˆσK) [ 2k+2 ] N (d 2 (K)) d 2 (K)Q k (d 2 (K)) Q k (d 2(K)) Q k (d 2 (K))ˆσ(k + 1) = = (ˆσK) k+2 (d2 N (d 2 (K))[ (K) ˆσ(k + 1) ) ] Q k (d 2 (K)) Q k (d 2(K)) = (ˆσK) k+2 Ez pedig pont a (3.1)-es képlet k + 1-re, így készen vagyunk az indukcióval és egyúttal az 1. lépéssel is. 2. lépés) Itt felhasználjuk azt az Estrella [7] cikkben bizonyított egyenl séget, miszerint a P k (d 1 ) polinom megadható a következ képpen is. P k (d 1 ) = (d 1 + kˆσ)p k 1 (d 1 ) Tekintsük a Q k (d 2 ) polinomok G(d 2, t) = exponenciális generátorfüggvényét. Ekkor k 1 l=1 k= ˆσ l 1 (k 1)... (k l) P k 1 l (d 1 ) (3.12) l Q k (d 2 ) t k (3.13) k! helyettesítés mellett d 2 = log(s/x ) ˆσ 2 /2 ˆσ G(d 2, t) = = = = k= k= k= k= Q k (d 2 (x )) k! és t = x x ˆσx ( ) k x x = ˆσx C (k+2) (x ) (ˆσx ) k+1 N (d 2 (x )) k! ( ) k x x = ˆσx C (k+2) (x )/k! N (d 2 (x ))/(ˆσx ) (x x ) k = C (k+2) (x )/k! (x x C (2) ) k, (x ) 22

23 ami pedig pont a C(2) (x) C (2) (x ) Taylor-sora az x körül. Felhasználva, hogy továbbá azt, hogy x x = 1 + ˆσ x x ˆσx = 1 + ˆσt, I, := 2 log S x log S + 2 log 2 S + ˆσ log S x x x ˆσ log S = x ( = 2 log S ˆσ ) ( log S log S ) = x 2 x x = 2ˆσd 2 log(1 + ˆσt) és II, := log 2 S x 2 log S x log S + log 2 S = log 2 x = x x x = log 2 (1 + ˆσt), azt kapjuk, hogy d2 2(x) 2 + d2 2(x ) 2 = ( log S ) ( ) ˆσ 2 2 x 2 log S x ˆσ 2 = 2ˆσ 2 = log2 S + ˆσ log S + x x log2 S x ˆσ log S x = 2ˆσ 2 I, II, = = 2ˆσ 2 = d 2 log(1 + ˆσt) log2 (1 + ˆσt), ˆσ 2ˆσ 2 ami csak az eredeti d 2 és t változók függvénye. Így, ha a fenti Taylor-sor konvergens, akkor C (2) (x) C (2) (x ) = x x exp { d2 2(x) + d2 2(x ) 2 2 következtében G(d 2, t) = 1 { } 1 + ˆσt exp d2 log(1 + ˆσt) log2 (1 + ˆσt) ˆσ 2ˆσ 2 adódik. Ezt deriválva t szerint, majd átrendezve, az } (3.14) (1 + ˆσt) G t = (d log(1 + ˆσt) 2 ˆσ)G G (3.15) ˆσ egyenl séghez jutunk, melybe a logaritmus függvény helyébe a megfelel Taylor-sorfejtést írva, valamint G-t és G -t a (3.13)-as egyenletb l adódó hatványsorral helyettesítve a következ t t kapjuk. k= Q k+1 (d 2 ) t k = k! = (d 2 ˆσ)Q (d 2 ) + k= Q k+1 (d 2 ) d 2 (k + 2)ˆσ (k + 1)! 23 ( ( 1) + l l=1 lˆσ l 1 t l ) ( k= ) G k (d 2 ) t k k!

24 Ekkor a t k 1 együtthatóira koncentrálva megkapjuk a Q k (d 2 ) polinom általános alakját. Q k (d 2 ) = (d 2 kˆσ)q k 1 (d 2 ) k 1 l=1 ( 1) lˆσ l 1 (k 1)... (k l) Q k 1 l (d 2 ) (3.16) l Ezután, felhasználva, hogy d 1 (S) = d 2 (S) = ˆσ/2, már könnyedén látható, hogy teljesül a Q k (d 2 (S)) = ( 1) k P k (d 1 (S)) egyenl ség, amelyb l (3.8) is rögtön következik. Most térjünk vissza a (3.2) Lemma bizonyításához. A (3.12) felírás alapján észrevehetjük, hogy páros (páratlan) k-ra P k (d 1 (S)) a ˆσ k-nál kisebb egyenl páros (páratlan) kitev j hatványaiból álló, ˆσ-ban k-adfokú polinom. Így P k P k (d 1 (S)) felírható a volatilitás hatványainak összegeként: f(k) P k = c j,kˆσ γ(j,k), (3.17) j= ahol γ(j, k) a P k polinom j-edik együtthatója, f(k) pedig a (3.6)-ban deniált függvény: k, ha k páros, 2 f(k) = k 1, ha k páratlan. 2 Ekkor, ha a P k P k ˆσ k+1 skálázott polinomot tekintjük, az már a ˆσ-nak csak páratlan kitev j hatványaiból fog állni, és felírható f(k) P k = c f(k) j,kˆσ (1+2j) (3.18) j= alakban. Az így kapott (3.18)-as kifejezést behelyettesítve (3.8)-ba, és az így kapott formulát a Black-Scholes képlet Taylor-sorfejtésénél alkalmazva a következ t kapjuk: C(K) = C(S) + C (1) (S)(K S) + e ˆσ2 /8 f(k) n k (K S)k+2 ( 1) c f(k) j,nˆσ (1+2j) + h(n + 3), S k+1 (k + 2)! k= ahol h(n + 3) jelöli a Taylor-sor n + 2-edik utáni tagjainak összegét, amely, ha a Taylor-sor konvergens, tart a -hoz, amint n. Felcserélve a szummák sorrendjét, ˆσ-ot közös faktornak vélasztva, valamint felhasználva a C(S) = S ( N(d 1 (S)) N(d 2 (S) ) és C (1) (S) = N(d 2 (S)) formulákat { ( ) ( )} ˆσ ˆσ C(K) = S N N N 2 2 f(n) n + e ˆσ2 /8 ˆσ (1+2j) j= k=2j ( ˆσ 2 j= ) (K S)+ ( 1) k f(k) j,n (K S)k+2 c S k+1 (k + 2)! 24 + h(n + 3),

25 amelyb l (3.5) már egyszer en következik. Ahhoz, hogy meg tudjuk határozni a TVO árát vissza kell helyettesítenünk (3.5)-öt (3.3)- ba. Ahhoz, hogy egyszer bben felírhassuk az így kapott kvadratikus variáció függvényeit, és egyúttal könnyebben kezelhet formulát tudjunk megadni, a segítségünkre lesz a következ lemma Lemma. Minden x, r > esetén fennáll a következ két egyenl ség: ( ) 1 x N x 2 = 1 2 π e (z+1/8)x z + 1/8 dz, (3.19) valamint x r = 1 rγ(r) e z1/rx dz. (3.2) Bizonyítás. (3.19) Általánosan bizonyítunk, 1/8 helyett a > -ra. Így a következ átalakítások révén bizonyítjuk az egyenl séget. 1 2 e (z+a)x dz π z + a ( ) = 1 2 e tx dt = π a t ( ) = 1 2 π e v 2 2 2ax 2x v v x dv = = 1 1 e v2 2 dv = 1 ( N ) 2ax, x 2ax 2π x ahol ( )-nál a z = t a helyettesítést használtuk, melynek következtében míg ( ) esetén a t = v2 2x t = z + a, t [a, [, dz = dt, helyettesítéssel éltünk, mely eredményeként v = 2tx, v [ 2ax, [, dt = v x dv. A kapott kifejezés a = 1/8 esetén pedig pont a fenti els egyenl ség bal oldalával egyezik meg, tehát ezzel a résszel készen vagyunk. 25

26 (3.2) A második egyenlet bizonyításához felhasználjuk a gamma függvény deníció szerinti felírását. Γ(r) = = = x r 1 r t r 1 e t dt = ( z 1/r x ) r 1 e z 1/rx x 1 r z1/r 1 dz = e z1/rx dz, ahol az els sorból a másodikat a t = z 1/r x helyettesítés révén kaptuk, mely következtében z = ( t x) r, z [, [, dt = x 1 r z1/r 1 dz. A Γ(r)-re felírt egyenletet átrendezve a fenti második egyenl ség adódik, így teljes a lemma bizonyítása. A (3.5) formulát a (3.3)-ba helyettesítve, valamint felhasználva a (3.19) és (3.2) egyel ségeket, könnyedén adódik az alábbi következmény Következmény. Egy call TVO ára a következ képpen becsülhet a kvadratikus variáció valamely exponenciális függvényeinek integráljainak lineáris kombinációjaként. C T V (K) σ T 2S I 1/2, π S f(n) + K 2 π Φ1,1/8 + W n,j (K)I j+1,1/8, (3.21) ahol I r,a Φ r,a j= [ ] E e λ r,a (z) X T dz, (3.22) [ ] E e λ r,a (z) X T dz, z + a (3.23) λ r,a (z) (z 1/r + a), (3.24) és W n,j (K) W n,j (K) (j + 1)!. (3.25) Az integrált és a várható értéket a Fubini-tétel miatt cserélhetjük fel, melyet azért alkalmazhatunk, mert a ( X ) t> folyamat alulról korlátos. Az I r,a és Φ r,a integrálok pedig expliciten is számolhatóak számos parametrikus modell esetén, ahol zárt alakban ismert a kvadratikus variáció Laplace-transzformáltja. Ilyen például, ha a pillanatnyi szórásnégyzet σt 2 folyamatát CIR modell segítségével írjuk le. 26

27 Taylor-sorfejtéssel, t > esetén Az el z alfejezetben megtárgyaltuk a id pontbeli árazási problémát. Ahogy a variancia kumulálódik az opció futamideje alatt, az árazási feladat némileg nehezebbé, az approximációs képlet pedig összetettebbé válik. Tekintsük a call TVO árát egy t > id pontban. [ C T V σ ] T (S t, K, X t ) = E t (S T K) + = X T [ σ ] T = E t C BS (S t, K, X T X t ), (3.26) ɛt + X T X t ahol ɛ t X t jelöli a t id pillanatig realizált kumulált varianciát. A részvényárfolyam és a volatilitás Markov-folyamat jellegének köszönhet en az árazási probléma t > esetén nagyon hasonló az el z alfejezetben vizsgált feladathoz, habár itt az ɛ t kifejezés megjelenése a nevez ben komplikáltabbá teszi az általános képlet meghatározását. Ugyanis akkor, amikor a számlálóban a Black-Scholes formulát a K körüli Taylor-sorfejtésével helyettesítjük, a következ alakú kifejezéseket kapjuk eredményül: q 1 (x) N( x/2) ɛ + x, (3.27) q 2 (x) x (j+1/2) ɛ + x. (3.28) Elviekben a számlálókat és a nevez ket külön tekintve átírhatnánk a q 1 (x) és q 2 (x) kifejezéseket az x valamely exponenciális függvényeinek dupla integráljaira, azonban az integrálok némelyikében megjelen szingularitások miatt nem tudnánk a kés bbiek során modell-független árakat meghatározni. Így azt az alternatív megközelítést választjuk, mely során Taylor-sorba fejtjük az N( x/2) és x (j+1/2) kifejezéseket az x + ɛ pont körül. Ekkor az alábbi sorfejtéseket kapjuk. ahol ( N ) ɛ+x 2 q 1 (x) = ɛ + x + e (ɛ+x)/8 2π ω i,m (ɛ) és γ i,k -t a következ rekurzió segítségével kaphatjuk meg: γ, = 1/4 m k=i γ,k = ( 1 8) γ,k 1, k = 1,..., m γ k,k = (1/2 k) γ k 1,k 1, m i= ω i,m (ɛ)(ɛ + x) (i+1) + h(m + 2), (3.29) ( 1) k+1 γ i,k ɛ k+1 (k + 1)!, (3.3) k = 1,..., m γ i,k = ( 1 8) γ i,k 1 + (1/2 i) γ i 1,k 1, i = 1,..., m, k = i + 1,..., m, 27 (3.31)

28 ami i 1 és k i esetén a következ módon írható zárt alakban: ( γ i,k = 1 ) ( 1 ) k i ( ) i k 1 2j. (3.32) 4 8 i 2 ahol Hasonlóan q 2 (x) = j=1 m ζ k,j (ɛ)(ɛ + x) (j+k+1) + h(m + 1), (3.33) k= ζ,j (ɛ) = 1 és ζ k,j (ɛ) = ɛ k 1 (j + i + 1/2), ha k 1. k! i= (3.34) Ezeket a közelítéseket behelyettesíthetjük a t id pontbeli Black-Scholes ár Taylor-sorfejtésébe, mely esetén X T X t -t közös faktornak választva, némi átrendezés után a TVO t-beli árára a következ approximációt kapjuk Következmény. Ct T V (K) σ T 2S t I 1/2,, π t S t + K 2 π Φ1,1/8 t + m+f(n) j= Ŵ n,m,j t (K, X t )I j+1,1/8, t, (3.35) ahol I r,a t = Φ 1,a t = e z1/r X t E t [ e λ r,a ( X T X t) ] dz, (3.36) e ] (z+a) X t E t [e λ1,a ( X T X t) dz, (3.37) z + a λ r,a (z) (z 1/r + a) (3.38) és a lineáris kombinációban szerepl súlyok a következ képlet által adódnak: { Ŵ n,m,j 1 t (K, ɛ) S t + K e ɛ/8 ω j,m (ɛ) + (j + 1)! 2π + + min(j,f(n)) k= min(m,f(n) j+m) k= W n,k (K)ζ j k,k (ɛ)1 {j m} Laplace-transzformált segítségével W n,j m+k (K)ζ m k,j m+k (ɛ)1 {j>m} }. (3.39) A következ ekben a TVO árazás egy alternatív megközelítését mutatom be, melynek a Laplace-transzformáció szolgál alapjául. Ehhez a módszerhez a kizetéseket a kötési árfolyam logaritmusaként vesszük. Tekintsük most a put TVO árát k = log K helyettesítéssel. 28

29 [ P t (S t, e k σ ] T, X t ) = E t (e k S T ) + P t (k) (3.4) X T Ezt k szerint Laplace-transzformálva megszabadulhatunk a TVO kizetésében jelenlév maximum függvényt l. Ennek segítségével az együttesen a lejáratkori árfolyam és a kvadratikus variáció függvényére szóló követelés árazását redukálhatjuk a kvadratikus variáció valamely függvényére vonatkozó követelés beárazására. Bármely komplex α-ra, melyre Re(α) > 1, P t (k) Laplace-transzformáltja P t (α) e αk P t (k) dk = [ e αk σ ] T E t (e k S T ) + dk = X T = σ [ 1 T E t e αk (e k S T ) + dk ɛt + X T X t ]. (3.41) Itt azért van szükség az Re(α) > 1 kikötésre, mert az integrandusban a P t (k) kifejezés e k sebességgel tart a + -hez, így ahhoz, hogy az integrál konvergens legyen, az α valós részének legalább 1-nek kell lennie. Felhasználva, hogy X t = log(s t /S ), amelyb l következik, hogy S T = S t e X T X t, a feltételes várható értéken belüli integrált a következ képpen alakíthatjuk át. e αk (e k S T ) + dk = = log S t+(x T X t) ] [ e k(1 α) = (1 α) e αk (e k S t e X T X t ) dk = log S t+(x T X t) = e(1 α)(log St+(X T X t)) (1 α) = 1 α 1 S1 α [ S t e (X T X t) e αk α t e (1 α)(x T X t) S te (X T X t) = S (1 α) t e (1 α)(x T X t) ] log S t+(x T X t) S t e (X T X t) e α(log St+(X T X t)) α ( 1 α 1 1 α α ) = S(1 α) S α t e α(x T X t) = t e (1 α)(x T X t) α(α 1) Ezt visszahelyettesítve a feltételes várható értéken belülre, majd átrendezve, a σ [ ] T St 1 α 1 e (1 α)(x T X t) E t ɛt + X T X t α(α 1) = =. (3.42) formulához jutunk. A (3.2) egyenl ség felhasználásával a nevez t integrál alakra hozhatjuk: 1 = 2 ɛ + x π 29 (3.43) e z2 (ɛ+x) dz. (3.44)

30 Ekkor a σ t és a W t függetlenségének feltételezése mellett, a Fubini-tételt alkalmazva a következ képpen írhatjuk fel Pt (α)-t az S t és a kvadratikus variáció segítségével. [ ] T P t (α) = 2 σ π S1 α t e z2 X t e z2 ( X T X t)+(1 α)(x T X t) E t dz = α(α 1) T [ e z2 X t E ] t e λ z,α( X T X t) = 2 σ π S1 α t dz, (3.45) α(α 1) ahol λ z,α = z 2 + (α 1) α 2, (3.46) melyhez felhasználtuk Carr és Lee [4] eredményét, amely szerint bármely komplex λ számra E t e p(x T X t) = E t e λ( X T X t), (3.47) λ = p2 2 p 2. Utóbbi lépésre azért van szükség, mert szemben a (3.47) egyenl ség bal oldalával, a jobb oldalon szerepl feltételes várható érték expliciten is megadható számos sztochasztikus volatilitás modellre, mint pl. az an modelleknél, így ezek esetén a (3.45) Laplace-transzformáltat is ki lehet számítani expliciten. A call TVO árát pedig úgy határozhatjuk meg, hogy numerikusan invertáljuk (3.45)-öt, amely az Abate és Whitt [1] cikkében is leírtak következtében tulajdonképpen az alábbi integrál kiszámításával egyezik meg. P t (k) = 4eak σ T ( [ e z2 X t S 1 a iu t E ] ) t e λ z,a+iu ( X T X t) Re cos(uk) dz du, (3.48) π 3/2 (a + iu)(a + iu 1) ugyanis, ha ˆf(s) az f(t) függvény Laplace-traszformáltja, akkor utóbbit felírhatjuk, mint ( ) f(t) = 2eat Re ˆf(a + iu) cos(ut) du. π A numerikus integrálást végrehajthatjuk például az Abate-Whitt módszerrel [1] is, amely a Bromwich integrál, a Poisson összegzési formula és az Euler összegzés eredményeképpen egyszer módszert biztosít az integrál numerikus közelítésére. Az így kapott Laplace módszer gyors, könny implementálni, valamint pontos és stabil eredményt ad. A hátránya viszont, hogy nem tudunk modell-független megközelítést alkalmazni, és r > konstans kamatlábra csak a Black-Scholes modell esetén tudunk explicit árazási formulát meghatározni Robusztus árazás Az egzotikus opciók árazásának és fedezésének témakörében ismeretes a modellfügg ség problémája. Például a lokális volatilitás modellek a sztochasztikus volatilitás modellekhez ké- 3

31 pest szignikánsan eltér eredményeket adhatnak az egyes opciók árazása esetén. Még a sztochasztikus volatilitás osztályon belül is, az útvonalfügg opciók esetén az ugyanahhoz a volatilitásfelülethez kalibrált különböz modellek eltér eredményekhez vezetnek. Úttör munkájukban Breeden és Litzenberger [3] megmutatta, hogy elegend en sima második deriváltakkal hogyan kaphatunk modell-független árakat az európai opciókhoz a kereskedett call és put opciók egy portfóliójának kialakításával. Ugyanakkor a volatilitásra szóló derivatívák általában útvonalfügg ek, így ezen eredmények nem alkalmazhatóak közvetlenül. Azonban Carr és Lee [4] bebizonyította, hogy a függetlenség feltételezése mellett a kvadratikus variáció exponenciális függvényeinek feltételes várható értéke megegyezik az alaptermék lejárati értékének valamely függvényének feltételes várható értékével. Eredményük, amelyet részben már említettünk, megadja azt az eszközt számunkra, amellyel er sen útvonalfügg követelések egy speciális osztályának árát az európai opciókéhoz hasonlóan tudjuk számítani. Bármely komplex λ számra E t [ e λ( X T X t) ] = E t [ e p(x T X t) ] = E t ( ST S t ) p, (3.49) ahol λ = p2 2 p 2, (3.5) vagy ekvivalensen p = ± + 2λ. (3.51) 4 Az el z alfejezetben megmutattam, hogy hogyan közelíthetjük a TVO-k árait (3.49) alakú kifejezéseket tartalmazó integrálok lineáris kombinációjaként. A következ ekben azt írom le, hogy hogyan alkalmazzuk a Breeden-Litzenberger formulát (3.52) a TVO-k árainak kereskedett opciókkal történ felírásához. Ha f(s) egy kétszer dierenciálható kizetésfüggvény, akkor bármely tetsz leges η esetén f(s) = f(η) + f (η)[s η] + η f (x)(s x) + dx + η f (x)(x S) + dx. (3.52) Ennek mindkét oldalán feltételes várható értéket véve az f(s) követelés árának egy call és put árakkal felírt reprezentációját kapjuk. E t [f(s)] = f(η) + f (η)[s η] + ahol C M t η f (x)c M t (S t, x) dx + (S t, x) és Pt M (S t, x) az x kötési árfolyamú call és put opciók árai. η f (x)p M t (S t, x) dx, (3.53) Taylor-sorfejtéssel Ahhoz, hogy alkalmazhassuk a (3.53)-as formulát, szükségünk van egy olyan f(s T ) függvényre, amelyre E t [f(s T )] pont a TVO árával egyezik meg. Ahogyan azt a (3.35)-ös képlettel megmutattuk, egy call TVO árát közelíthetjük I r,a,b t és Φ 1,a t alakú kifejezések lineáris kombinációjaként, ahol az r egészérték, az a és a b pedig valós konstansok. Így modell-független 31

32 TVO árak meghatározásához elegend a Breeden-Litzenberger formulát csupán az I r,a,b t -re és a Φ 1,a t -re alkalmazni. A Carr-Lee (3.49) formula segítségével átírhatjuk az I r,a,b t és Φ 1,a t kifejezéseket az alaptermék lejárati értékének valamely integráljának várható értékére. Megmutatható, hogy I r,a,b t = = E t e (z1/r +b) X t E t [ e λ r,a ( X T X t) ] dz = ( ) p r,a (z) e (z1/r +b) X ST t Re S t dz, (3.54) ahol a Fubini-tételt alkalmaztuk az integrálok felcseréléséhez, továbbá bevezettük a jelölést. Hasonlóan, p r,a (z) 1 2 ± 1 4 2z1/r 2a. (3.55) Φ 1,a e ] (z+a) X t t = E t [e λ1,a ( X T X t) z + a = E t e (z+a) X t z + a ( ) p 1,a (z) ST Re S t dz = dz. (3.56) Az utolsó lépés, hogy bevezetjük az S alaptermék lejárati értékének alábbi függvényeit. Ĩ r,a,b t (S) Φ 1,a t (S) ( e (z1/r +b) X t S Re e (z+a) X t z + a ( S Re S t ) p r,a (z) S t ) p 1,a (z) dz, (3.57) dz. (3.58) Ekkor t > esetén az Ĩr,a,b 1,a t (S) és Φ t (S) függvények S szerinti második deriváltja jól deniált, mivel az X t szigorúan pozitív. Továbbá ezek feltételes várható értéke pont az I r,a,b t és a Φ 1,a t formulákkal egyezik meg. Így alkalmazhatjuk a (3.53) formulát η = S t választással Φ 1,a t az Ĩr,a,b t (S) és (S) függvényekre, majd az eredményt visszahelyettesítve a (3.35) képletbe megkaphatjuk a kereskedett call és put opciók segítségével felírt TVO árat. Ugyanakkor t = -ra a (3.57)-ben és a (3.58)-ban szerepl integrálok nem konvergálnak, és nem alkalmazhatjuk a Fubini-tételt az integrálok felcserélésére a (3.54) és (3.56) egyenl ségeknél. Így sajnos nem mindig lehetséges a TVO árának eképpen történ meghatározása. Habár, ha a call TVO kizetést újradeniáljuk, mint [ σ ] T (S, K, ) = E c + X T C T V (3.59) valamilyen tetsz legesen kicsi c konstansra, akkor a "robusztus ár" a leírtaknak megfelel módon már létezik. 32

33 Laplace-transzformált segítségével Felmerül a kérdés, hogy vajon alkalmazhatjuk-e a robusztus árazási megközelítést a alfejezetben bemutatott Laplace-transzformált módszer esetén. A (3.49)-es Carr-Lee formula felhasználásával kifejezhetjük a put TVO árát az S T lejárati érték egy függvényének feltételes várható értékeként. P t (k) = 4eak σ T π 3/2 E t ahol α = a + iu valamint [ ( e z2 X t Re St 1 a iu (S T /S t ) p± z,α (a + iu)(a + iu 1) ) cos(uk) du dz ], (3.6) p ± z,α 1 2 ± 1 4 2z2 α(1 α). (3.61) Elviekben az f(s) függvényt megadhatnánk a következ képpen: f(s) = 4eak σ T ( ) e z2 X t St 1 a iu (S T /S t ) p± z,α Re cos(uk) du dz. (3.62) π 3/2 (a + iu)(a + iu + 1) Ugyanakkor az f(s) második deriváltja nem létezik, mivel az integrál, amelyet a (3.62)-es kifejezés kétszeres deriválása révén kapunk, nem konvergál. Így a Laplace-transzformált módszer esetén nem tudjuk alkalmazni a Breeden-Litzenberger dekompozíciót a modell-független TVO ár meghatározásához Árazás r > kamatláb esetén A következ ekben azt vizsgálom, hogy hogyan változnak a korábban levezetett képleteink, hogyha az eddigi feltételezésünkkel ellentétben most a kockázatmentes B t eszköz r > konstans kamatot zet, továbbá a Q kockázatsemleges mérték szerint az S t /B t folyamat martingál, vagyis d S t B t = σ t S t B t dw t. Ekkor az X t = log(s t /S ) dinamikájában a drift tagban megjelenik az r kamatláb ( ) dx t = r σ2 t dt + σ t dw t, 2 a kvadratikus variációja viszont ugyanaz marad X t = t σ 2 udu. A kockázatsemleges mérték alatt bármely V t folyamat t id pontbeli értékét a következ képpen számítjuk: [ ] VT V t = B t E t. B T 33

34 Nézzük, hogy ezeknek megfelel en hogyan változik a call TVO árazási formulája a Taylorsorfejtéssel kapott esetben. [ ] C T V,r> 1 σ T t (S t, K, X t ) = B t E t (S T K) + = X t B T [ σ ( T (ST K) + )] = E t B t E X t B T F T σ = [ σ T ( ) ] = E t C BS,r> St, K, X T X t X t Ugyanakkor tudjuk [1], hogy ha a Black-Scholes árazási formulánál az S t árak helyett az F t = S t e (T t) forward árakra koncentrálunk, akkor a Black-Scholes képletet a következ képpen írhatjuk fel. C BS F (F t, K, σ) = F t N(d 1 ) KN(d 2 ), Ft log K ahol d 1,2 = ± 1 2 σ2 (T t) σ, T t melyb l a t id pontbeli call ár egy egyszer diszkontálás után adódik: C BS,r> (S t, K, σ) = e r(t t) CF BS (F t, K, σ). Ebb l következik, hogy a call TVO ára r > kamatláb esetén [ C T V,r> t (S t, K, X t ) = e r(t t) σ ] T E t CF BS (F t, K, X T X t ). (3.63) X t Vegyük észre, hogy a forward Black-Scholes képletben nem szerepel az r kamatláb, így tulajdonképpen a alfejezetben pont ennek a függvénynek írtuk fel a Taylor-sorfejtését. Továbbá gyeljük meg, hogy a forward Black-Scholes képlet Taylor-sorfejtését visszahelyettesítve a (3.63)-as formulába és azokat a lépéseket végrehajtva, amelyek során a (3.35)-ös approximációt is megkaptuk, a kvadratikus variációnak ugyanazok a függvényei jelennek meg. Mivel azonban a kvadratikus variáció nem változott, a Taylor-sorral kapott árazási formulánk lényegében ugyanaz marad, csupán annyi módosul, hogy a (3.35)-ös képletet S t helyett F t -vel kell kiszámítanunk, majd a kapott eredményt diszkontálnunk kell. Most tekintsük a Laplace-transzformálttal történ árazást. Írjuk fel a put TVO árát ugyancsak k = log K helyettesítéssel. [ ] P t r> (S t, e k 1 σ T, X t ) = B t E t (e k S T ) + = X t B T t [ = e r(t t) σ ] T E t (e k S T ) + = X t = e r(t t) P t (k), 34

35 ahol felhasználtuk, hogy a kamatláb konstans. Ezt a korábbiaknak megfelel en, Re(α) > 1 esetén Laplace-transzformálva a [ ] T P t r> (α) = e r(t t) 2 σ π S1 α t e z2 X t e z2 ( X T X t)+(1 α)(x T X t) E t dz (3.64) α(α 1) kifejezéshez jutunk. Ahhoz, hogy itt tovább tudjunk lépni, szükségünk van egy, a (3.47)-es képlethez hasonló formulára. Ekkor tulajdonképpen olyan λ-t kell keresnünk, amelyre teljesül az alábbi összefüggés: ] E [e px T λ X T F t = e pxt λ X t. Ez persze azt jelenti, hogy az e pxt λ X t folyamat martingál, így ha felírjuk a dinamikáját, abban a drift együtthatójának nullának kell lennie. Legyen tehát Y t a px t λ X t kifejezés exponenciális függvénye és írjuk fel a fejl dését az Itô-formula segítségével. dy t = Y t d(px t λ X t ) Y tp 2 d X t = = py t σ t dw t + p ( r σt 2 /2 ) ( ) 1 Y t dt + 2 p2 λ Y t σt 2 dt = ( ( 1 = pσ t Y t dw t + pr + σt 2 2 p2 1 )) 2 p λ Y t dt Tehát azt kaptuk, hogy a következ nek kell teljesülnie: ( 1 pr + σt 2 2 p2 1 ) 2 p λ =. (3.65) Ebb l látható, hogy az, ami az r = feltétel mellett m ködött, most nem megvalósítható, ugyanis jelen esetben a σ 2 t -tel nem lehet egyszerüsíteni, így ha a σ t folyamat sztochasztikus, a λ-t nem tudjuk megfelel en megválasztani. Ugyanakkor a Black-Scholes modell esetén a szórás végig konstans, így ezen modell keretein belül lehet ségünk nyílik a megoldásra. Nézzük meg tehát, hogy mit kapunk eredményül, hogyha σ t σ, t >. Ekkor a (3.65) egyenl séget λ-ra rendezve a következ adódik: ( 1 r 2 p2 + σ ) p = λ. Ezt felhasználva a Black-Scholes modellre tovább alakíthatjuk a (3.64)-es képletet: [ T e z2 X t E t e λbs,r> P BS,r> t (α) = e r(t t) 2 σ π S1 α t α(α 1) ( α ahol λ BS,r> z,α = z 2 + (α 1) 35 2 r σ 2 z,α ( X T X t) ] dz, (3.66) ). (3.67)

36 Meggyelhetjük, hogy (3.67) r = esetben pont (3.46)-tal egyezik meg. Persze ekkor, mivel a Black-Scholes modellben a kvadratikus variáció folyamata X t = t σ 2 u du = t σ 2 du = tσ 2, ami determinisztikus, nincs szükségünk a várható értékre, és így tovább egyszerüsíthetjük a (3.66)-os képletet: P BS,r> t (α) = σ S 1 α { ( ) } t ασ 2 σ α(α 1) exp (α 1) 2 r (T t) rt, amelyet inverz Laplace-transzformálva megkaphatjuk a put TVO árát a Black-Scholes modellben r > esetén. Ugyanakkor Black-Scholes modellr l lévén szó, ez a képlet nem más, mint a put opció t id pontbeli árának Laplace-transzformáltja megszorozva a σ/σ hányadossal. Erre az eredményre viszont számíthattunk is, mivel a Black-Scholes modellben a put TVO ára megegyezik az egyszer put opció árának és a σ/σ hányadosnak a szorzatával. Összehasonlításképpen a 3.2. és 3.3. táblázatok tartalmazzák a put TVO-k árait Black- Scholes képlet segítségével számított és σ/σ -val átskálázott (BS oszlop), 1 szimuláció segítségével nyert (Szimuláció oszop) és a Laplace-transzformáció révén kapott (Laplace oszlop) esetekben, különböz kötési árfolyamok esetén. Ezek alapján ebben az egyszer esetben a Laplace-transzformálttal kapott ár legalább olyan pontosnak t nik, mint a szimulációkkal kapott. K BS Szimuláció Laplace 2 24,168 23, , táblázat. A put TVO-k árai az egyes kötési árfolyamokra különböz számítási módszerekkel Black-Scholes modell és r > kamatláb esetén. A lejáratig hátralév id T = 1 év. K BS Szimuláció Laplace táblázat. A put TVO-k árai az egyes kötési árfolyamokra különböz számítási módszerekkel Black-Scholes modell és r > kamatláb esetén. A lejáratig hátralév id T = 5 év. 36

37 4. fejezet Kalibrálás A következ ekben az egyes modellek kalibrálásait vesszük sorra. Valamennyi modellt az S&P 5 indexhez kalibráltam, melyhez az index 2 éves historikus adatsorát és az indexre kiírt különböz kötési árfolyamú és lejáratú call opciókat (összesen 11-et) vettem gyelembe. Azok a paraméterek, amelyek minden modell esetén ugyanazok voltak, a kamatláb r =,6914 % (1Y USD LIBOR) és a spot árfolyam S = 216,44. A legegyszer bb a Black-Scholes modell kalibrálása volt, mely esetén csupán a konstans σ értékét kellett meghatároznom. Ehhez az S&P 5 index 2 éves historikus záróáraiból számoltam napi volatilitást, amelyet ezután évesítettem. A többi modell kalibrálásához a Kilin [13] cikkében leírt Direkt integrálás (Direct integration) módszert alkalmaztam, amely vanilla call opciók árának numerikus kvadratúrával történ kiszámításán alapszik. Ehhez Attari [2] formulája biztosít hatékony eszközt, mely szerint a call opció ára e rt K 1 π ( Re(φ(ω)) + Im(φ(ω)) ω C(S, T, K) = S 1 2 e rt K ) ( cos(ωl(k)) + ) sin(ωl(k)) Im(φ(ω)) Re(φ(ω)) ω dω 1 + ω 2 amely esetén S a spot árfolyam, K a kötési árfolyam, T a lejárati id, r a kockázatmentes kamatláb, az osztalékzetési ráta, továbbá ( ) Ke rt l(k) = log, (4.2) valamint a Q kockázatsemleges mérték mellett az x karakterisztikus függvénye, ahol S, (4.1) φ(ω) = E Q (e iωx ) (4.3) ( ) ST x = log rt. (4.4) S 37

38 Minden egyes kalibrációnal 5-ször alkalmaztam a Dierenciál Evolúció (Dierential Evolution) algoritmust [15], és az így kapott eredményeket kezd értékként felhasználva 5-ször futtattam a Levenberg-Marquardt módszert [8]. A Dierenciál Evolúció módszernél a Hestonmodell esetén az η [,1; 1,], κ [1,; 4,], θ [,1; 1,], ρ [ 1,; 1,], σ [,5; 1,] paraméter-intervallumokat alkalmaztam, a Bates-modell esetén pedig az el z ek mellett a λ [,1; 5,], µ J [,1;,5], σ J [,1; 1,] korlátokat tekintettem. A kalibráció eredményeképpen kapott paramétereket a 4.1. táblázat foglalja össze. A paraméterek pontos szerepe és a kalibrációhoz használt karakterisztikus függvények megtalálhatóak az 1. Függelékben. BS σ =,1148 Heston σ =,972 η =,21 κ = 3,9983 θ =,975 ρ =,9999 Bates σ =,971 η =,21 κ = 3,9998 θ =,96 ρ =,9997 λ =,66 µ J =,1 σ J =, táblázat. A kalibrálás során kapott paraméterek az egyes modellek esetén. Ezek alapján a Bates-modellben csak ritkán vannak ugrások, és azok mértéke is csekély. Mivel a többi paraméter közel megegyezik a Heston-modellnél kapottakkal, a két modell esetén nem tapasztalunk nagy különbségeket a 2. fejezetben látható eredményeknél. Emellett a Bates-modell nem is közelíti jelent sen jobban a piaci árakat, s t a szimulációk során gyakran láttam olyan eseteket is, ahol az alkalmazott illeszkedési mutatók alapján kifejezetten rosszabbul teljesített. Egy-egy szimuláció eredményeit hasonlítja össze a 4.2. táblázat, amelyben az alkalmazott, Schoutens és szerz társai [18] cikkében is szerepl, az illeszkedés jóságát mér mutatókat foglaltuk össze. Ezek tükrében azt mondhatjuk, hogy az S&P 5 index dinamikájának leírására a modellbe az ugrásokat is belevéve nem kapunk szignikánsan jobb eredményt. Modell rmse ape aae arpe BS 23,7179,31 16,789,95 Heston 22,976,265 14,359,659 Bates 22,4172,268 14,4592, táblázat. Az illeszkedés jóságát mér mutatók az egyes modellek esetén, 1 szcenárió generálásával. Az alkalmazott mutatók részletes leírása az alábbi. A modell ár a szimulációk segítségével kapott árat jelöli. 38

39 Átlagos négyzetes hiba gyöke (root mean square error) rmse = (Piaci ár Modell ár) 2 opciók száma opciók (4.5) Átlagos abszolut hiba az átlagos piaci ár százalékában (average absolute error as a percentage of the mean price) ape = 1 átlagos piaci ár opciók Piaci ár Modell ár opciók száma (4.6) Átlagos abszolut hiba (average absolute error) aae = opciók Piaci ár Modell ár opciók száma Átlagos relatív százalékos hiba (average relative percentage error) arpe = 1 opciók száma opciók Piaci ár Modell ár Piaci ár (4.7) (4.8) A modellek illeszkedése közül a Bates-modellét részletezem a következ ekben. Ehhez (és a másik két modell illeszkedésének vizsgálatához is) 1 szcenárió alapján kapott ábrákat használok fel. A 4.1-es ábra azt mutatja meg, hogy azoknál a piaci call áraknál, ahol a szimulált ár és a piaci ár eltérése a piaci ár százalékában kritikusan nagy, a piaci ár tulajdonképpen kicsi, így valójában ezeken a helyeken csak kis eltérésekr l van szó (hasonló ábrák találhatóak a Black-Scholes és a Heston-modell esetére a Függelékben - 8. ábra, 9. ábra ) ábra. A piaci call árak a kötési árfolyamok és a lejáratok függvényében, a jobb oldali skálának megfelel en színkódokkal jelölve a szimulált és a piaci ár százalékos eltérését a Bates-modell esetén. Ehhez kapcsolódik a 4.2-es ábra, amelyen annak a 3 dimenziós felületnek a lejárati id szerinti metszetei vannak, ahol a kötési árak és a lejáratig hátralév id k függvényében szerepelnek a piaci, a karakterisztikus függvény segítségével számított és a szimulációval kapott árak. 39

40 A 1 lejárati id közül négyre az alábbi ábrákat kaptuk eredményül (hasonlóak találhatóak a Black-Scholes és a Heston-modell esetére a Függelékben - 1. ábra, 11. ábra) ábra. A piaci, a karakterisztikus függvény segítségével számított és a szimulációval kapott árak a Bates-modell esetén. Látható, hogy a szimulált és a karakterisztikus függvénnyel kapott árak olyannyira egybeesnek, hogy az utóbbi görbéje szinte nem is látható. Ez azért is fontos meggyelés, mert ebb l is látszik, hogy a karakterisztikus függvény mennyire pontosan visszaadja a lehetséges értékeket. Emellett meggyelhetjük, hogy a modell a rövid lejáratra a legpontosabb, majd a lejáratig hátralév id növekedésével egyre nagyobb a szimulált és a piaci árak közötti különbség. Végül vegyük szemügyre a 4.3-as ábrát, amelyen a piaci, valamint a karakterisztikus függvénnyel kapott és a szimulált árak különbségeinek, illetve százalékos eltéréseinek felületei láthatóak. Ezek is alátámasztják az el z eket, vagyis a karakterisztikus függvénnyel és a szimulációval kapott árak eltérése kicsi, ugyanakkor a piaci és a szimulált árak a rövid lejáratra nagyjából egybeesnek, míg a lejáratig hátralév id növekedésével egyre nagyobb lesz az eltérés, f ként az alacsony kötési árfolyamokra, amelyek call opciókról lévén szó, deep in-the-money pozíciók. Emmellett azt gyelhetjük meg, hogy a rövidebb lejáratokra és magas kötési árfolyamokra nagy a százalékos eltérés, ami egyrészt a nagyon kicsi opcióáraknak lehet köszönhet, másrészt viszont 4

41 az adatok torzítottsága vagy valamilyen konvergencia-beli hiba is szerepet játszhat ábra. A piaci (M), valamint a karakterisztikus függvénnyel kapott (C1) és a szimulált (C2) árak különbségeinek felületei a Bates-modell esetén. Ezzel végére értem a kalibrációk kimerít leírásának valamennyi eredmény bemutatásával. Habár 3 modellt is illesztettem, érdemes lehet továbbiakatat is kipróbálni, és megnézni, hogy azok segítségével milyen eredmények adódnak. 41

42 5. fejezet Összefoglalás A dolgozatban szerepl modelleket sikeresen kalibráltam a piaci árakhoz, és a számos szimuláció segítségével széles kör elemzést tudtam végrehajtani. Megvizsgáltam az S&P 5 indexet, mint kockázatos eszközt felhasználó Target Volatility Fund-ot. Ezek alapján, a forrásként használt cikk [9] eredményét l eltér en azt kaptam, hogy a TVF-re kiírt opciók árában a különböz modellek esetén nincs drasztikus változás. Ugyanakkor én is arra jutottam, hogy a TVF relatíve érzéketlen a tekintett újrasúlyozási gyakoriságokra. Emellett a levezetések jelent s hányadát is leírva részletesen bemutattam a Target Volatility Opciók árazási lehet ségeit Taylor-sorfejtés és Laplace-transzformáció segítségével mind modellfügg, mind modell-független esetekben. Ezután ezeket az eredményeket felhasználva pozitív konstans kamatlábat feltételezve meghatároztam a Taylor-sorfejtés esetére egy általános árazási formulát, valamint a Laplace-transzformált módszerével egy alternatív, explicit formulát a put TVO-k árazására a Black-Scholes modell keretein belül. További vizsgálatok tárgyát képezheti, hogy milyen változásokkal jár, hogyha a TVF-eknél a kockázatos eszköz dinamikáját más modellel írjuk le. Érdemes lehet megvizsgálni a Barndor- Nielsen Shephard modellt valamint a sztochasztikus idej Lévy-folyamatokat. Ugyanakkor az is érdekes kérdés, hogy maguk a TVF-ek alkalmasak lehetnek-e hosszútávú befektetés céljára, mint például egy magánynugdíjpénztár számára. A TVO-k árazásánál érdemes lehet egy széles kör elemzés keretein belül az árazási formulák eredményeit további modellekre is összehasonlítani, ugyanakkor egy sokkal nehezebb, de szintén érdekes feladat valamilyen árazási formula meghatározása, hogyha az alaptermék és a volatilitás folyamatát korreláltnak feltételezzük. A szakdolgozat megírása közben számos kihívással kerültem szembe. Izgalmas feladat volt mind az elméleti háttérben való elmélyedés, mind a kalibrációk és szimulációk MATLAB-ban történ megvalósítása. Úgy érzem, hogy minden akadályt sikerrel vettem, és munkám méltón képezheti alapját további vizsgálatoknak. 42

43 Függelék 1. Modellek Az alábbiakban szerepel Kilin [13] cikke alapján a Heston- és Bates-modellek leírása és karakterisztikus függvényeik. Heston-modell. A kockázatsemleges dinamika a Heston-modellben ahol ds t S t = r dt + σ t dw t, S, (1) dσ 2 t = κ(η σ 2 t ) dt + θσ t d W t, σ, (2) Cov[dW t, d W t ] = ρ dt, (3) mely esetén κ az átlaghoz való visszatérés sebessége, η a hosszútávú variancia, θ a variancia volatilitása, ρ az alaptermék és a volatilitás közötti korreláció és σ q a volatilitás kezdeti értéke. A Heston-modell karakterisztikus függvénye ( ( )) 1 ge φ(ω) = exp {ηκθ 2 dt (κ ρθωi d)t 2 log (4) + σ 2 θ 2 (κ ρθωi d)) 1 e dt 1 ge dt 1 g }, (5) d = ( (ρθωi κ) 2 θ 2 ( iω ω 2 ) ) 1/2, (6) g = κ ρθωi d κ ρθωi + d. (7) Bates-modell. Ez a Heston-modell egy olyan kiterjesztése, ahol az alaptermék folyamatában ugrások is el fordulhatnak. ds t S t = (r λµ J ) dt + σ t dw t + J t dn t, S, (8) ahol N t egy W t -t l és W t -t l független Poisson-folyamat λ > intenzitással. J t jelöli a százalékos ugrásnagyságot, amely id ben lognormális, független és azonos eloszlású log(1 + J t ) N(log(1 + µ J ) σ2 J 2, σ2 J). (9) 43

44 A σ t volatilitás folyamat a (2) SDE-et követi. Teljesül a (3) feltétel. A Bates-modell karakterisztikus függvénye ( ( )) 1 ge φ(ω) = exp {ηκθ 2 dt (κ ρθωi d)t 2 log 1 g (1) + σ 2 θ 2 (κ ρθωi d)) 1 e dt 1 ge dt (11) λµ J iωt + λt ( (1 + µ J ) iω exp ( σ 2 J(iω/2)(iω 1) ) 1 ) }, (12) ahol d és g a (6) és (7) által adottak. 2. Ábrák A TVF-ek implicit volatilitásainak ábrái. 1. ábra. Implicit volatilitások a Black-Scholes modellben különböz lejáratok esetén, 5 szcenárió felhasználásával 44

45 2. ábra. Implicit volatilitások a Heston-modellben különböz lejáratok esetén, 5 szcenárió felhasználásával 3. ábra. Implicit volatilitások a Bates-modellben különböz lejáratok esetén, 5 szcenárió felhasználásával 45

46 A TVF újrasúlyozási gyakoriságához kapcsolódó ábrák. 4. ábra. Implicit volatilitások a Black-Scholes modellben különböz lejáratok és újrasúlyozási gyakoriságok esetén 5. ábra. Implicit volatilitások a Heston-modellben különböz lejáratok és újrasúlyozási gyakoriságok esetén 6. ábra. A kockázatos eszköz súlyainak és az azoknak megfelel TVF árfolyamatoknak az alakulása különböz újrasúlyozási gyakoriságok esetén a Black-Scholes modellben 46

47 7. ábra. A kockázatos eszköz súlyainak és az azoknak megfelel TVF árfolyamatoknak az alakulása különböz újrasúlyozási gyakoriságok esetén a Heston-modellben A kalibrációval kapott modellek illeszkedéseihez kapcsolódó ábrák. 8. ábra. A piaci call árak a kötési árfolyamok és a lejáratok függvényében, a jobb oldali skálának megfelel en színkódokkal jelölve a szimulált és a piaci ár százalékos eltérését a Black-Scholes modell esetén. 9. ábra. A piaci call árak a kötési árfolyamok és a lejáratok függvényében, a jobb oldali skálának megfelel en színkódokkal jelölve a szimulált és a piaci ár százalékos eltérését a Heston-modell esetén. 47

48 1. ábra. A piaci, a karakterisztikus függvény segítségével számított és a szimulációval kapott árak a Black-Scholes modell esetén. 48

49 11. ábra. A piaci, a karakterisztikus függvény segítségével számított és a szimulációval kapott árak a Bates-modell esetén. 49

50 12. ábra. A piaci (M), valamint a karakterisztikus függvénnyel kapott (C1) és a szimulált (C2) árak különbségeinek felületei a Black-Scholes modell esetén. 5

51 13. ábra. A piaci (M), valamint a karakterisztikus függvénnyel kapott (C1) és a szimulált (C2) árak különbségeinek felületei a Heston-modell esetén. 3. Implementálás MATLAB-ban A következ ekben azoknak az algoritmusoknak a leírása olvasható, amelyeket felhasználtam a szakdolgozatomhoz. Azokat a MATLAB-programokat, amelyeket én írtam vagy módosítva felhasználtam, CD-n mellékeltem. A leírás során abban a sorrendben haladunk, ahogyan az egyes problémák felmerültek a dolgozat írása alatt. A TVF-ek vizsgálata során az els lépés a Heston- és a Bates-modell piachoz történ kalibrálása volt. Az ehhez kapcsolódó programok az 1, kalibrálás mappán belül a modell nevének megfelel alkönyvtárban találhatóak. A kalibrálás els fázisát a Dierenciál Evolúció (Dierential Evolution) [15] módszerrel hajtottam végre, amelynek egy nyílt forráskódú verziója megtalálható a oldalon. Ezt úgy módosítottam, hogy alkalmas legyen a kalibrálás végrehajtására, melyhez a ( ) 2 Ct,k (P ) M t,k t T k K 51