r D 1 x D 2 x x D n Relációk 2 Ism.:Reláció Ism.:Reláció matematikai fogalma

Átírás

1 Ism.:eláció matematikai fogalma elációk 2 zükséges fogalom: direkt szorzat Halmazok Descartes direkt szorzata: Legenek D 1 D 2 D n adott domain halmazok. D 1 D 2 D n : = { d 1 d 2 d n d k D k 1 k n direkt szorzat tehát olan rendezett érték n-eseket tartalmaz amelnek k. eleme a k. halmazból való. Példák: 1. ={12 és ={789 akkor ={ ={ és Descartes koordináta-rendszerrel megadott sík pontjai 2 Ism.:eláció Példa: kisebb vag egenlő reláció elációnak nevezzük a D 1 D 2 D n direkt szorzat bármel részhalmazát: r D 1 D 2 D n Tehát a reláció is rendezett n-esek halmaza ináris reláció - rendezett párokból áll r = { a b a b peciális eset: = halmazon adunk meg relációt relációt a valós számokon íg definiáljuk: efleív? zimmetrikus?? Tranzitív? ináris reláció tulajdonság: ntiszimmetrikus: H ab É ba KKO a=b 3 4 1

2 PÉLD = {123 = { nem szimmetrikus 32 nem antiszimmetrikushiszen 1221 = {123 = {1122 Parciális/részben rendezési reláció efleív: a a ntiszimmetrikus: H ab É ba Tranzitív: H KKO a=b a b É b a szimmetrikus is meg antiszimmetrikus is 5 6 Példa parciális rendezésre Tetszőleges H halmaz hatvánhalmaza a halmaztartalmazás szerint részben rendezés: H:={123 2 H ={{1{2{3{12{13{23{123 {1 {123 {1 {12 {1 {13 DE például {1 és {23 nem összehasonlítható parcialitás Példa parciális rendezésre 1 : ab a nem negatív egészek halmazán Z + efelív: aa ntiszimmetrikus: a 1 b és b 1 a akkor a = b a 1 b azt jelenti hog ab b = k 1 a b 1 a azt jelenti hog ba a = k 2 b b = k 1 a = k 1 k 2 b = k 1 k 2 b ekkor k 1 = k 2 = 1 vagis valóban: a = b Tranzitív: ab és b akkor a a 1 b azt jelenti hog ab b = k 1 a b 1 c azt jelenti hog bc c = k 2 b a 1 c azt jelenti hog ac c = k 3 b= k 3 k 1 a=k 4 a 7 8 2

3 Teljes rendezés Definíció: Teljes a rendezési reláció ha reláció adott H-n és és közül legalább egik teljesül. ármel két elem összehasonlítható. Ekkor H teljesen rendezett halmaz. Példa: valós számok zemléltetés Hasse-diagramm Ha akkor -t feljebb rajzolva összekötjük -szel de a refleív ill. a tranzitivitással adódó egéb éleket nem ábrázoljuk. Példa: H halmaz hatvánhalmaza a halmaz-tartalmazás szerint részben rendezés: H:={123 2 H ={{1{2{3{12{13{23{123 Hasse-diagramm: 9 10 Legnagobb és legkisebb elemek Legnagobb elem LN ha minden hh-ra h LN és LN különbözik h-tól Legkisebb elem lk ha minden hh-ra lk h és lk különbözik h-tól Legnagobb és legkisebb elemek Legnagobb elem LN ha minden hh-ra h LN és LN különbözik h-tól Legkisebb elem lk ha minden hh-ra lk h és lk különbözik h-tól Tekintsük az { halmazt és a b ha ab 11 Nincs legnagobb elem Legkisebb elem az

4 Legnagobb/legkisebb egértelmű Tétel: Ha van legnagobb legkisebb elem akkor az egértelmű. iz.: Tfh. M1 és M2 legnagobb elemek. kkor M1M2 és M2M1 a def. szerint. rendezési relácó def. szerint ekkor M1=M2 13 Maimális és minimális elemek Maimális elem M ha nincsen olan hh hog M h teljesülne. Nem biztos hog mindegik elemmel összehasonlítható Minimális elem m ha nincsen olan hh hog h m teljesülne. Nem biztos hog mindegik elemmel összehasonlítható» Maimális elemek: 4 3 5» NINC LEGNGYO ELEM» Minimális elem: 1» minimális elem ITT egben legkisebb is 14 Legnagobb és legkisebb elemek lábbi ábrán: = maimális elem Legnagobb elem LN Legkisebb elem lk =minimális elem Vajon ez mindig igaz ha van legkisebb legnagobb? Korlátos halmazok részben rendezett H halmaz valamel H1 részhalmazának a KH felső korlátja az adott rendezés és H szerint! ha minden h1h1-re h1k részben rendezett H halmaz valamel H1 részhalmazának a kh alsó korlátja az adott rendezés és H szerint! ha minden h1h1-re k h1. H1 korlátos ha van alsó és felső korlátja. 15 Ha van a korlátok között legkisebb felső korlát akkor az a felső határ supremum-nak ha van a korlátok között legnagobb alsó korlát akkor az az alsó határ infimum-nak 16 4

5 Korlátok? Korlátok? Vizsgáljuk meg az eges részhalmazok közül melek rendelkeznek supremummal és infimummal? Vizsgáljuk meg az eges részhalmazok közül melek rendelkeznek supremummal és infimummal? Mindegik: ez a struktúra az ún- háló: bármel véges részhalmaznak van inf. É sup n-nél nagobb elemek: i a r s t u g-nél nagobb elemek: r s t u d a Közösek: r s t u Ezek összehasonlíthatók legkisebb közös: r r az n és g elemekből áló halmaz legkisebb felső korlátja: upng= r Legnagobb alsó korlát=inf? b és s korlátai?

6 d és s felső korlátai között van-e legnagobb? d és i felső korlátai között van-e lagnagobb? Háló-e ez a struktúra? elációk kompozíciója : és : C { a C b a b b

7 7 25 Példa kompozícióra = {1234 = {wz C = {567 1 = {1233z 2 C = {w56 2 o 1 = { elációs algebra-k : és : { { { {