3. Helygörbék. jx L 2 R 0 +jx L. a) b) 1. ábra Változó paraméterű hálózat a) kapcsolási rajz b) az impedancia-diagram

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3. Helygörbék. jx L 2 R 0 +jx L. a) b) 1. ábra Változó paraméterű hálózat a) kapcsolási rajz b) az impedancia-diagram"

Átírás

1 3. Helygörbék Eddig olyan áramköröket vizsgáltunk, amelyekben valamennyi elem jellemző értéke (ellenállása, induktivitása, kapacitása) állandó volt. Így egy adott gerjesztés hatására a kialakuló áramok illetve feszültségek időben állandó (egyenáramú hálózatok), illetve állandó amplitúdójú, időben szinuszosan váltakozó, állandó frekvenciájú mennyiségek (váltakozó áramú hálózatok). továbbiakban azt vizsgáljuk meg, hogy időben szinuszosan váltakozó gerjesztés esetén milyen következményekkel jár, ha az áramkör valamelyik elemének jellemzője változik. vizsgált áramkör minden esetben lineáris, koncentrált paraméterű, invariáns hálózat. váltakozó áramú hálózatok vizsgálatát a komplex számításmód alkalmazásával végeztük. Ennek során minden szinuszosan változó mennyiséghez hozzárendeltünk egy fázort, amelyeket a komplex számsíkon ábrázolhattunk (fázorábra). Ez az áramköri elemek egy adott értéke esetén kialakuló jellemzőket jeleníti meg. Egy változó áramköri jellemző egy változó valós paraméter hatására az áramkör valamennyi árama és feszültsége megváltozik. Ha energiatároló elem (tekercs vagy kondenzátor) található az áramkörben, akkor nemcsak a kialakuló áramok, feszültségek nagysága (csúcsértéke illetve effektív értéke) fog megváltozni, hanem a fázishelyzetük pl. a feszültség és áram időfüggvények közötti fáziseltérések nagysága is változhat. Természetesen ennek megfelelően változni az egyes fázorok helyzete, tehát a fázorábra is. helygörbe a komplex számsíkon ábrázolt olyan görbe, amelyet egy valós változójú komplex függvény fázorjának (vektorának) végpontja ír le, mialatt a valós változó az értelmezési tartományának valamennyi lehetséges értékét folyamatosan felveszi. Először azt vizsgáljuk meg, hogy az áramköri jellemzők változásának leírására, ábrázolására milyen lehetőségeink vannak, majd részletesen tárgyaljuk a villamos jellemzők meghatározásának, ábrázolásának különböző módjait. Külön elemezzük a gerjesztés frekvenciájának változása miatt létrejövő jelenségeket. 3.. z impedancia- és az admittancia-diagram Z e L p R p-skála m Z 2 p = p = p = 2 p Z(p) R +jx L jx L 2 R +jx L Re Z R 2 R a) b). ábra Változó paraméterű hálózat a) kapcsolási rajz b) az impedancia-diagram Vizsgáljuk meg, hogy az ellenállás értékének változásakor (a ábra), hogyan változik a kör impedanciája. váltakozó áramú hálózatok tárgyalásánál megismertek szerint az impedancia értéke felírható Ze ( p) = p Ro + jωl alakban. Tehát olyan komplex számmal adható meg, amelynek képzetes része állandó, és csak a valós része változik. Ezért az impedancia vektorok (komplex számok) ábrázolásakor (b

2 ábra) a vektorok végpontja egy a valós tengellyel párhuzamos - egyenesen mozog. z azonos tulajdonságú pontok halmazát mértani helynek nevezzük. Tehát az impedanciadiagram az impedancia-vektor végpontjainak mértani helye a komplex síkon. Nyilvánvaló, hogy a helygörbe egyes pontjaihoz a változó elem (pl. ellenállás) különböző értéke tartozik. változó érték jelöléséhez bevezetjük a paramétert, amely a változónak egy alapértékhez (R o ) viszonyított arányát adja meg: R p =. R o Tehát a paraméter azt mutatja meg, hogy a változó értéke a választott alapérték hányszorosa. paraméterek értékét az impedancia helygörbével párhuzamos egyenesen tüntetjük fel. Ezt - a lineáris léptékkel rendelkező - egyenest paraméter-skálának (p-skála) nevezzük. kör áramának értékét az Ohm-törvény alkalmazásával határozhatjuk meg: ( p) = = Ye ( p) Ze ( p) Tehát a feszültséget az impedancia reciprokával, az admittanciával kell szorozni, ezért az admittancia változását is egy helygörbével ábrázolhatjuk, amit admittancia-diagramnak nevezünk. Ebből következik, hogy minden impedancia vektorhoz hozzárendelhetünk egy megfelelő inverz (reciprok) admittancia vektort. Vizsgáljuk meg, hogy ezt a hozzárendelést hogyan kell elvégezni. komplex inverzió az a matematikai művelet, amellyel egy vektort invertálunk, azaz a vektorhoz a megfelelő inverz (reciprok) vektort hozzárendeljük. Röviden foglaljuk össze a komplex inverzió legfontosabb jellemzőit az jϕ Y ( p) = = = e Z ( p) jϕ Z e Z összefüggés alapján. Eszerint egy vektor invertálása két lépésben történhet (2. ábra):./ Tükrözzük a vektort a valós tengelyre (a +ϕ szögből -ϕ szög lesz). 2./ Képezzük a vektor hosszának a reciprokát. z impedancia-helygörbe m a valós tengellyel párhuzamos egyenes, tehát a tükrözött görbe is a valós tengellyel párhuzamos egyenes lesz. reciprokképzés jx L során az origóhoz (inverziós centrumhoz) legközelebb lévő pont () kerül az origótól legtávolabbra. Tételezzük fel, hogy X L egységnyi (X L =), ezért a reciproka is, tehát a pont B helye nem változik ( pont). z O szakaszra, mint átmérőre, rajzoljunk egy félkört. tükörkép helygörbe p= pontjához (C pont) húzott vektor a félkört a B pontban metszi. ϕ -ϕ p= C p= 2. ábra p=2 p=2 Z(p) Re Z Z(p) tükörkép 2

3 Mivel az OC és OB derékszögű háromszögek hasonlóak, felírhatjuk az oldalak arányára: m OB O =. p= p=2 p O OC Feltételeztük, hogy O =, ezért OB =. Z() Z(p) Z() OC Z(2) z OC a p= paraméterhez tartozó Re impedancia nagyságát jelenti, ezért ennek reciproka az admittanciát adja meg. Y(2) z inverzió eredményét a 3. ábrában Y() Y() foglaltuk össze. z impedancia helygörbe egy Y(p) általános helyzetű félegyenes (<p< ), tehát p-skála az admittancia helygörbe egy origón átmenő p= p=2 félkör lesz. félkörön a különböző paraméterű pontok elhelyezkedése nem lesz lineáris, de az 3. ábra adott ponthoz tartozó paraméter meghatározásához a tükrözött impedancia helygörbe paraméter-skálaként felhasználható, mivel lineáris m () léptékű. Ezzel párhuzamos bármely egyenes, azaz a kör paraméterű pontjába húzható érintővel párhuzamos bármely egyenes lehet Re a) paraméter-egyenes. b) c) m m K inverz kör B inverz egyenes B K a / a B 4. ábra tükrözött egyenes () () Re Re tükrözött kör félkör átmérőjét az határozza meg, hogy milyen admittancia-léptéket választunk. Természetesen az impedancia és az admittancia léptéke egymástól függetlenül megválasztható. komplex inverzió szabályait az alábbiakban foglalhatjuk össze:./ z origón (inverziós centrumon) átmenő egyenes inverze a tükörkép-egyenes (4a ábra). reciprok-képzés miatt a inverziós centrumban lévő pont megfelelője az inverz helygörbe végtelenben lévő pontja. z inverz egyenes nem rendelkezik lineáris paraméter-skálával, ha az eredeti egyenes paraméterezése lineáris. 2./ Általános helyzetű egyenes inverze origón átmenő kör (4b ábra). reciprok-képzés miatt az egyenes végtelenben lévő pontja (jelen esetben a paraméterű pont) kerül az inverzió centrumába (az origóba), és az egyenesnek az origóhoz legközelebbi pontja lesz a kör origótól legtávolabbi pontja. Ez tehát a kör átmérőjének két végpontja, aminek felezési pontja lesz a kör középpontja.( kör már ez alapján is megrajzolható.) Tehát a kör középpontja rajta lesz az origóból a tükrözött egyenesre bocsátott merőlegesen. 3

4 Ebből következik, hogy az egyenes egy pontjának ( a vektor) invertálásával (/ a vektor), és a húrfelező merőleges megszerkesz-tésével is meghatározható a kör középpontja (K). paraméter-skála elkészítéséhez egy további pontra is szükség van 3./ Általános helyzetű kör inverze általános helyzetű kör (4c ábra). z inverzió első lépése tükrözés a valós tengelyre. tükrözés előtt megrajzoljuk az origóból induló, és a kör középpontján átmenő egyenest, valamint egy szelőt is húzunk a körhöz ( és B pontok). tükrözést követően ezek a tükrözött kör és B pontjai. Rajzoljuk meg az origóból a tükrözött körhöz húzható érintőket. Nyilvánvaló, hogy ezek az inverz körnek is érintői lesznek, mert a reciprokképzés során a szögtartomány nem változhat. z inverz kör középpontja rajta lesz az origót a tükrözött kör középpontjával összekötő egyenesen. z ponthoz tartozó vektor reciprok vektorának végpontja az pontban van, illetve a B ponthoz tartozó vektor végpontja a B pont. z eredeti körön a B pont volt közelebb az origóhoz, a reciprok körön viszont az pont lesz közelebb, mert a nagyobb szám reciproka lesz kisebb. két pont alapján megszerkesztett felező merőleges egyúttal az inverz kör húrfelező merőlegese, ami a tükrözött kör középpontjához az origóból húzott egyenesen kijelöli az inverz kör középpontját. Ennek ismeretében az inverz kör már megrajzolható. Természetesen a paraméter-skála elkészítéséhez itt is szükség van még egy pontra. Példa: Szerkesszük meg a komplex inverzió szabályainak alkalmazásával az 5. ábrán megadott kapcsolás eredő impedancia és admittancia diagramját ω = 2 rad/s körfrekvencia esetén, ha a paraméter értéke a p tartományban változik. C R p L R = 2 Ω L = mh C = 25 µf 5. ábra Megoldás: z energiatároló elemek reaktanciája a megadott körfrekvencián: 3 X L = ω L = 2 = 2 Ω X C = = = 2 Ω 6 ω C 2 25 z első lépésben a párhuzamosan kapcsolt ellenállás és induktivitás admittanciáit kell összegezni, amihez az induktivitás admittancia-diagramját kell meghatározni. z induktivitás impedancia függvénye Z L ( p) = j 2 p, a képzetes tengely pozitív részébe eső, félvégtelen,5 egyenes (6a ábra). Ennek reciproka az YL ( p) = = = j, ami a képzetes Z ( p) j 2 p p tengely negatív részébe eső félvégtelen egyenes. Ennek a pontja van a -ben, és a pontja kerül az origóba. Ha ehhez hozzáadjuk az ellenállás reciprokát - Y R = = =,5 S -, R 2 akkor ennyivel tolódik el az egyenes a valós tengely irányában (6b ábra). Így megkapjuk ( p) -t, a párhuzamosan kapcsolt ágak eredő admittancia diagramját. Y p Ennek reciproka a Z p ( p) impedancia-diagram, amely a párhuzamosan kapcsolt ellenállás és induktivitás eredő impedanciáját adja meg. Ez egy félkör, tehát a képzetes tengellyel párhuzamos félvégtelen egyenes inverze a valós tengelyen nyugvó félkör. z eredő impedanciát úgy kapjuk meg, hogy ehhez hozzáadjuk a vele sorba kapcsolt kapacitás impedanciáját, amely = j2 Ω. Ezzel a félkört eltoljuk a képzetes tengellyel Z C L 4

5 párhuzamosan (6c ábra). Így egy általános helyzetű kört (félkört) kapunk, amely a megadott áramkör eredő impedanciájának helygörbéje. m Z 2 Ω, () m Y,5 S m Z p= p= Z Ω p (p) Z L (p),5 S Re Y Re Z Re Z 2 Ω 2 Ω Y L (p) Y p (p) - Ω p= Z e (p) -,5 S p= p= -2 Ω () () a) b) c) 6. ábra z eredő admittancia helygörbéjét ennek inverziójával kapjuk meg (7. ábra). z ábrán az inverziós lépések jobb követhetősége érdekében feltüntettük a ( p) helygörbét is. m Y,5 S L Y e (p) p=,5 S Re Y képzetes tengelyen nyugvó pont () inverze is a képzetes tengelyen lesz (az admittancia-lépték most is ez előzőekben használttal megegyező). Mivel az impedancia helygörbének érintője a képzetes tengely, ezért az inverz körnek is érintője lesz (l. a 4c ábrát!). Tehát az inverz kör középpontja rajta van a pontban a képzetes tengelyre állított merőlegesen. Másrészt rajta van az eredeti kör középpontján áthaladó egyenes tükörképén is, így a kör középpontja a két egyenes metszéspontja (L pont). p= másik két pont helyének meghatározásához húzzunk egyenest az impedancia-diagram p= paraméterű pontján keresztül, amely most áthalad a Z e (p) (2 Ω) K paraméterű ponton is. Ezt tükrözve a valós tengelyre, a tükrözött egyenes metszi a kört, és a metszéspontok 7. ábra kijelölik a keresett pontokat. Vigyázzunk, mert a reciprokképzés miatt az origóhoz közelebbi pont (p=) kerül az origótól távolabbra az inverz görbén (l. a 4c ábrán az és B pontokat!). keresett helygörbe a kör vastagon kihúzott szakasza, tehát egy,5 S átmérőjű háromnegyed kör. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a pontból kiindulva haladunk a görbe mentén a pontig úgy, hogy közben a p= ponton is áthaladjunk (vastag vonallal jelzett szakasz). Tehát a helygörbe a körnek az a szakasza, amelyet akkor érintünk, ha a pontból a p= pontba jutunk úgy, hogy közben a harmadik (például p= paraméterű) ponton is áthaladunk. m Y Példa: S 2 S p= Re Y Z p 5 - S 8. ábra

6 Határozzuk meg a 8. ábrán megadott eredő admittancia-diagram alapján az áramkör felépítését, és az elemek értékét, ha ω = 2 rad/s! Megoldás: z admittancia diagramot bontsuk fel két összetevőre (9a ábra). z egyik egy konstans ( Y = j S ) míg a másik az Y2 ( p) félkör, amely a változó paramétert tartalmazza, tehát az eredő admittancia a kettő összege. z admittanciák párhuzamos kapcsolás esetén összegződnek, tehát a kapcsolás két párhuzamos ágból áll. z egyik ág impedanciája X Z = = j Ω, amiből az induktivitás értéke: L = L = H = 5 µ H. Y ω 2 másik ág admittancia diagramját megrajzoltuk (9b ábra), és az inverziót elvégeztük. Z 2 ( p) a képzetes tengellyel párhuzamos egyenes, tehát ez az ág egy soros RC-tag, ahol a kondenzátor kapacitása változik. p= Y m Y 2 (p) m Y - S p= Y 2 (p) 2 S Re Y a) b) (). ábra 9. ábra Mivel Z 2 () = = =,5,5 Ω Y2 () + j S j, ezért az ellenállás értéke R =,5 Ω, a 3 kapacitás értéke pedig C = = F = F. ω X C 2, 5 z áramkör felépítése a. ábrán látható. példák alapján összefoglalóan megállapíthatjuk: p= Z 2 (p) Ha a passzív hálózatrész több elemet tartalmazó vegyes kapcsolás, akkor az eredő admittancia diagramját általában több lépésben az inverziós szabályok ismételt alkalmazásával - határozhatjuk meg. Ezek a lépések lehetnek összegzések vagy komplex inverziók is. Ha egy diagramhoz egy vektor hozzáadunk, akkor a diagram alakja nem változik, csak eltolódik a vektornak megfelelően. z komplex inverzió szabályaiból következik, hogy a helygörbék alakja kör vagy egyenes. Történhet olyan összegzés is, aminek következtében az eddig általános helyzetű kör átmegy az origón. Természetesen ennek inverze egyenes lesz. Ezek alapján kimondhatjuk: ha az áramkörben csak egy elem értéke változik, akkor a helygörbe egyenes vagy kör lehet. továbbiakban mi csak ilyen eseteket vizsgálunk. lyenkor viszont nem szükséges a fenti sokszor körülményes, hosszadalmas lépésenkénti szerkesztést (komplex inverzió) alkalmaznunk. gyanis a három pontja ismeretében egyértelműen megállapítható a helygörbe alakja (egyenes vagy kör), és ez alapján a szerkesztés elvégezhető. következő pontban ezt részletesen tárgyaljuk. Ellenőrző kérdések: Re L R p C 6

7 ./ Milyen következményekkel jár az energiatároló elemek reaktanciának változása szinuszos gerjesztés esetén? 2./ Hogyan ábrázolhatjuk a változó mennyiségeket? 3./ Mi a paraméter, és hogyan értelmezhető? 4./ Mi az impedancia-diagram? 5./ Mi az admittancia-diagram? 6./ Mi a komplex inverzió, és mik a szabályai? 7./ Hogyan szerkeszthető meg az összetett áramkörök eredő impedancia-diagramja? 8./ Hogyan szerkeszthető meg az összetett áramkörök eredő admittancia-diagramja? 9./ Milyen jellegű helygörbe fordulhat elő, ha csak egy elem értéke változik? 3.2. z áram-munkadiagram Ha az eddig vizsgált áramkörre egy állandó amplitúdójú, szinuszosan váltakozó feszültséget előállító generátort kapcsolunk (a ábra), akkor a körben szinuszosan váltakozó áram alakul ki. z ennek megfelelő fázorábra a b ábrán látható. z L = X L alapján nyilvánvaló, hogy a kör árama L -el arányosan fog változni, tehát az ellenállás értékének növelésekor csökken. z áram vektorának helyzete viszont az R -el megegyező (az ellenállás áramának és feszültségének fázisszöge azonos). Ha R= (), akkor L =, és az áram 9 o -kal késik az feszültséghez képest (2a ábra). Ha az ellenállás értékét növeljük, akkor a kör impedanciája nő, árama csökken és a ϕ fázisszög is kisebb lesz. kialakuló áram az ( p) = = Y( p) Z( p) összefüggés alapján az impedancia reciprokával az ún. m Re (p) p = 2 () () p = p-skála () 2 p = (p) a) b) 2. ábra admittanciával arányos. Vegyük észre, hogy az áram-munkadiagram csak az konstans szorzóban tér el az admittancia diagramtól! Ha az feszültséget nulla fázisúnak tételezzük fel (időfüggvényének fázisszöge nulla), akkor fázora a valós tengelyen helyezkedik el. Ha az áramléptéket az S a = [ V] a Y cm cm m p = (2) m ϕ R b) a) L. ábra L p R L Re Re R 7

8 összefüggés alapján határozzuk meg, akkor az admittancia- és az áram-diagram ugyanaz a helygörbe lesz a komplex számsíkon, csak a léptékben különböznek! 2b ábrán az ennek megfelelő helygörbét ábrázoltuk. z feszültségfázor ábrázolása csak tájékoztató jellegű (nul-la fázisú mennyiség). Így feszültség-léptéket sem definiálunk (az fázor hossza tetszőleges). z áram-munkadiagram az áramfázor végpontjainak mértani helye, amely a helygörbét és a hozzárendelt paraméter-skálát jelenti. z áram-munkadiagram meghatározására a következő lehetőségek állnak rendelkezésre:./ Felírjuk a függvény komplex alakját, és ez alapján megállapítjuk ( kitaláljuk ), hogy milyen görbe egyenlete (l. később). Ez a módszer csak egyszerűbb esetekben alkalmazható (ha a helygörbe egyenes vagy kör), és megfelelő matematikai ismereteket igényel. 2./ függvény egyenletébe behelyettesítve az adott (p p p 2 ) tartomány több pontjában, kiszámoljuk a függvény értékét (pl. áramot). kapott értékeket a komplex számsíkon ábrázolva az összekötő görbe megadja a keresett helygörbét. Mindig használható módszer, de sok számolással jár (l. számítástechnika!). 3./ komplex inverzió szabályainak alkalmazásával megszerkesztjük a diagramot (részletesen megtalálható az előző pontban). gyakorlatban ritkán használjuk. 4./ diagramot számítással határozzuk meg, azaz 3 pontban az áram értékét meghatározzuk. z egyenes 2 pontja, a kör 3 pontja ismeretében rajzolható meg. Ez az áram-munkadiagramok megrajzolásánál kettő illetve három áramfázor (komplex szám) meghatározását jelenti. továbbiakban csak ezzel a módszerrel foglalkozunk! Mivel az általunk vizsgált áramkörökben csak egy elem értéke változik, ezért a helygörbe vagy egyenes, vagy kör lehet. Tehát három pont ismeretében egyértelműen eldönthetjük, hogy a diagram egyenes vagy kör. Ehhez ki kell választani azt a három pontot (paraméter értéket), amelyeknél kiszámoljuk az áram komplex értékét. és paraméter esetén mindig számolunk (még akkor is, ha utóbbi értéket a paraméter ténylegesen fel sem veszi). Ezekben az esetekben a változó elem jellegétől függően - rövidzárral illetve szakadással helyettesíthető, ami egyszerű számolást tesz lehetővé. Másrészt a paraméter-skála megszerkesztéséhez a paraméterű pontra szükségünk van. Ha a valós paraméter ennél szűkebb tartományban változik (pl. p 3), a helygörbén az értelmezési tartományt utólag a paraméter-skála segítségével jelölhetjük ki. harmadik pont egy tetszőleges paraméterű pont lehet, de a kiválasztásánál itt is a célszerűség a meghatározó (az áram komplex értékét minél egyszerűbben meghatározhassuk). Általában a p= (esetleg p=2 vagy,5) paraméterű pontban számolunk. Ez a pont a paraméter-skála léptékének elkészítéséhez szükséges. Ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a helygörbe nyilvánvalóan egyenes. Egyéb esetekben a húrfelező merőlegesek szerkesztésével a kör középpontját meghatározhatjuk, így a kör megrajzolható. Számos esetben a három pont ábrázolása után a pontok elhelyezkedése alapján a kör középpontja közvetlenül megállapítható, tehát a húrfelező merőlegesek szerkesztésére nincs szükség! smételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy a helygörbe a körnek az a szakasza, amelyet akkor érintünk, ha a pontból a (vagy p max ) pontba jutunk el úgy, hogy közben a harmadik ponton (pl. p=) is áthaladunk. 8

9 diagramból közvetlenül leolvashatjuk az áram nagyságát és a fázisszögét, amely megadja, hogy mekkora szöggel késik az áram időfüggvénye a generátor feszültségéhez () képest. gyanakkor az ehhez tartozó paraméter értékét még nem ismerjük. Ha az ellenállás az impedanciának lineáris függvénye, akkor az impedancia-diagram lineáris paraméter-skálaként használható (l. a 2. és 3. ábrákat). kör p = paraméterű pontjához húzható érintő adja meg az impedancia-diagram illetve tükörképének irányát. Ez a tapasztalatunk általánosítható: paraméter-egyenes a helygörbe p = pontjához húzott érintővel párhuzamos egyenes. (2b ábra). Egy adott ellenállás értékhez (paraméterhez) tartozó pont helyének a helygörbén történő meghatározására szolgál a paraméter-skála, amely egy skála-beosztással ellátott paraméter-egyenes. z egyenes önmagával párhuzamosan bármikor eltolható, így a skálaosztás tetszőlegesen nagyítható vagy kicsinyíthető. paraméter-skála megrajzolásának a menete a következő (3. ábra):./ Húzzunk egy egyenest a helygörbe p = pontjába húzható érintővel párhuzamosan. 2./ Húzzunk segédegyenest a p = pontból a helygörbe p = pontján keresztül, amely kijelöli a p = pontot () a paraméter-egyenesen. 3./ Húzzunk segédegyenest a p = pontból a helygörbe p = pontján keresztül, amely kijelöli a p = pontot (B) a paraméter-egyenesen. 4./ paraméter-skála lineáris, tehát a p = és a p = pontok helyének ismeretében az egyenesen a lineáris skálaosztást elkészíthetjük. fenti egyenessel párhuzamos bármely egyenes paraméterskálaként használható! Például keressük meg a helygörbén a p = 5, paraméterű pont helyét! z először megrajzolt paraméterskálán a p = 5, pontot nem tudjuk kijelölni, mert a rajzon erre nincs elegendő hely. Mivel a p = pontba húzható érintővel párhuzamos bármely egyenes felhasználható paraméter-egyenesként, ezért a p-skála osztását kicsinyíthetjük a p = ponthoz közelebb húzott párhuzamos egyenes felvételével. Ezen a paraméter-skálán az B másfélszerese jelenti a p = 5, paraméterű pont helyét ( C pont). p = pontból ezen a ponton keresztül kell húznunk egy segédegyenest, amelynek a helygörbével adódó metszéspontja jelenti a diagram p = 5, paraméterű pontját (az ehhez tartozó áramfázort ábrázoltuk).,5 m p-skála p= p=,5 ( p) 3. ábra p-skála B C p-skála,5 B Re paraméter-skála kicsinyítését, a p = ponthoz közelebb húzott párhuzamos egyenest megrajzolhattuk volna a valós tengely feletti részen is (tkp. középpontos tükrözés a paraméterű pontra). Ennek a megoldásnak előnye, hogy a paraméter-skála a helygörbén kívül helyezkedik el, így áttekinthetőbb marad az ábra. z egyes paramétereknek megfelelő pontok helyét a segédegyeneseknek a ponton keresztül történő meghosszabításával jelölhetjük ki ezen a paraméter-egyenesen. 9

10 Példa: Rajzoljuk meg a 4. ábrán látható áramkör léptékhelyes áram-munkadiagramját! = 6 V ω = rad/s e L R = 2 ohm R 2 = ohm L = mh C o = 5 µf p 5 diagram alapján határozzuk meg a p paraméter értékét e = 9 esetén, valamint az eredő áram legnagyobb értékét! R 2 p C R 4. ábra Megoldás: z áramkör két párhuzamosan kapcsolódó részre bontható, amelyek közvetlenül a generátor kapcsaira csatlakoznak. z egyik az R ellenállás, a másik a vegyes RLC kapcsolás, amelyben a változó értékű elem található. Így az eredő áram a két áram összege ( p) ( p) =, e + 2 ahol a párhuzamosan kapcsolt R ellenállás árama a paraméter változásától független: 6 V = = = 3. R 2 Ω z 2 áram meghatározásához először határozzuk meg az energiatároló elemek reaktanciáját a megadott körfrekvencián: 3 X L = ω L = = Ω illetve X C = = = 2 Ω 6 ω C 5 kondenzátor reaktanciája a paraméter függvényében az X C 2 X C p = = = = ω C ω p C p ( ) Ω p összefüggés szerint változik. z áramot a és paraméterű pontokban, valamint a p=2 paraméternél határozzuk meg. tóbbit az indokolja, hogy ekkor könnyen meghatározható a párhuzamosan kapcsolt elemek eredő impedanciája [ ( j) = 5 j5]. számítás során előbb az eredő impedanciákat határozzuk meg, majd ebből az áramokat. esetén a kondenzátor szakadással helyettesíthető: Z ( ) = ( + )Ω 2 j p= esetén a kondenzátor rövidzárral helyettesíthető: Z ( ) = Ω 2 j j + 5 j5 = p=2 esetén a három elem eredő impedanciája: Z ( 2) = ( 5 + 5)Ω Így az áramok az egyes paramétereknél: 6 V + j Ω 6 + j 2 2 j ( ) = = = 3 3 ( ) = + ( ) = j3 = j 6 V j Ω e 2 j ( ) = = j 6 ( ) = + ( ) = V 5 + j 5 Ω 2 + j e 2 j ( 2) = = = 6 6 ( ) = + ( 2 ) = j6 = j e 2 2 j

11 Ez alapján az eredő áram léptékhelyes diagramja megrajzolható (5. ábra). z ábrázoláshoz a = léptéket vettünk fel. cm három pont bejelölése után megállapíthatjuk, hogy a helygörbe 6 átmérőjű kör, melynek középpontja (K) a koordináta-rendszer (6, -6) pontja. Tehát a kör húrfelező merőlegesek szerkesztése nélkül is megrajzolható (vékony vonal). helygörbe háromnegyed kör lenne, ha a paraméter a tartományban változna (vastagabb vonal). Mivel a paraméter a 5 tartományban változik, ezért meg kell határozni a görbén a p=5 paraméterhez tartozó pont helyét. Ez a paraméter-skála felhasználásával végezhető el. m, 5 Re, =9 p-skála 9 max 5 K 2 p=2 (p) p= ábra kör paraméterű pontjához húzható érintő a képzetes tengellyel párhuzamos egyenes, ezért a képzetes tengellyel párhuzamos bármely egyenes paraméter-egyenesként hasz-nálható. skálabeosztás elkészítéséhez húzzunk segédegyeneseket a kör paraméterű pontjából a és p=2 paraméterű pontjain keresztül. Ezek kijelölik a paraméteregyenesen a és 2 pontok helyét. Ez alapján a lineáris skálabeosztás elkészíthető, a keresett paraméterhez tartozó pont meghatározható Pl. a p=5 paraméter értékhez tartozó pont a és 2 pontok távol-ságának másfélszeresére van a p=2 paraméterű ponttól. paraméter-skála p=5 paraméterű pontját a kör pontjával összekötve a segédegyenes és a kör metszéspontja adja meg a helygörbe p=5 paraméterű pontját. körnek a és p=5 paraméterű pontok közötti része (vastag vonal) a keresett helygörbe.

12 Ezzel a léptékhelyes diagram elkészült, aminek kiértékelésével válaszolhatunk a kérdésekre. Rajzoljunk az origóból mint középpontból a 9 -nek megfelelő (9 cm) sugarú körívet. Ez két pontban is metszi a megrajzolt kört, de csak az egyik pont tartozik a diagramhoz. (Ha a paraméter-tartomány felső határa lett volna, akkor két megoldás lenne.) körív és a diagram metszéspontja a 9 nagyságú eredő áramhoz tartozó fázor végpontja. Ezt a pontot a kör paraméterű pontjával összekötő segédegyenes jelöli ki a paraméterskálán az ehhez a ponthoz tartozó paraméter értékét (p=,5). maximális áramot a diagram origótól legtávolabb lévő pontja határozza meg. Ezt a pontot úgy kapjuk meg, hogy az origóból egyenest húzunk a kör középpontján keresztül. kör és az egyenes metszéspontja adja meg a körnek az origótól legtávolabbi pontját, tehát a maximális áramhoz tartozó fázor végpontját. léptékhelyes ábrából leolvasva: max =,5. Feladat: leírtak alapján határozzuk meg szerkesztéssel a maximális áramhoz tartozó paraméter értékét! (p=2,35) m O cos ϕ ϕ Re Q O ϕ P P p= sin ϕ S p= Q B B a) b) 6. ábra 3. ábrán megrajzolt helygörbe (áram-diagram) nemcsak az áramok, hanem a teljesítmények meghatározására is alkalmas (6. ábra). z áramfázornak a valós tengelyre vett (az feszültségvektor irányába eső) vetülete cosϕ (6a ábra), ami a hatásos teljesítménynyel arányos ( P = cosϕ ). z áramfázornak a képzetes tengelyre vett vetülete ( sinϕ ) pedig a meddő teljesítménnyel ( Q = sinϕ ) arányos. látszólagos teljesítmény az áramfázor hosszával (az adott pontnak a koordináta-rendszer középpontjától mért távolságával) arányos ( S = ). Tehát az áramfázornak az kapocsfeszültség irányába eső, illetve arra merőleges vetületeit kell az kapocsfeszültséggel megszoroznunk. különböző teljesítmények közvetlenül leolvashatók az áram-diagramból is, ha a teljesítmény-léptéket megfelelően definiáljuk. Ha az áramlépték (a ) adott, akkor a 6a ábra alapján felírhatjuk: O a ϕ = B a sin ϕ = OB a [ ] = cos [ ] [ ] teljesítmények a 6b ábra alapján: S O a = O P B a = a P = = B ap Q OB a = OB ap =. Ez a - teljesítmények leolvasására alkalmas - diagram a munkadiagram (6b ábra). felírt összefüggéseket összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy az áram-diagram és a munkadiagram ugyanaz a helygörbe, ha a teljesítmény-léptéket az 2

13 V ap [ V] a cm = cm összefüggés szerint rendeljük az áramléptékhez (tehát a kapocsfeszültséggel megszorozzuk az áramléptéket). lyenkor az áram és a teljesítmények leolvasásához ugyanaz a helygörbe használható (l. a 6. ábrán), tehát az áram-diagramból egyúttal a teljesítmények is meghatározhatók, ezért nevezzük ezt áram-munkadiagramnak. léptékhelyes ábra megrajzolásához az áramlépték (a ) tetszőlegesen felvehető, amihez a teljesítmény-lépték - a kapocsfeszültség alapján - egyértelműen hozzárendelhető (l. fentebb). Tehát a léptékhelyes ábrából a keresett teljesítmények közvetlenül, mennyiségileg helyesen leolvashatók, nincs szükség a számítással történő meghatározásukra. görbe alapján az egyes mennyiségek szélső értékei (maximum, minimum) egyszerűen megállapíthatók. Példa: Rajzoljuk meg a 7. ábrán látható áramkör léptékhelyes áram-munkadiagramját! = 5 V ω = 5 rad/s R = 2 Ω R o = Ω e L L = 2 mh Határozzuk meg a p =,5 paraméterhez tartozó jellemzők értékét! RL R p R Megoldás: z induktivitás reaktanciája a megadott körfrekvencián: = ω L = 5 2 X L 3 = Ω 7. ábra tt is felesleges az áramkör eredő impedanciájának meghatározásával foglalkozni, mert a kere-sett eredő áram a két párhuzamosan kapcsolt ág áramának összege: e ( p) = + RL ( p) ahol RL( p ) = p R + j X 5 V párhuzamosan kapcsolt ellenállás (R ) árama nem változik: = = = 2,5 R 2 Ω diagram három pontját az általánosan használt három paraméternél (p =,, ) határozzuk meg. változó ellenállást tartalmazó ág árama az egyes paraméterek esetén: 5 V RL ( ) = = = j5 R + j X j Ω RL o L 5 V + j Ω () = = = ( 2,5 j2,5 ) R o + j X p= esetén az ágban áram nem folyhat: ( ) = z eredő áram értéke az egyes paramétereknél: + ( ) = 2, 5 j5 e L ( ) = RL ( ) e ( ) = + RL ( ) = 2,5 () = + ( ) = 2, 5 + ( 2, 5 j2, 5) ( 5 - j2,5) e RL = RL z áramléptéket úgy kell megválasztani, hogy jól kiértékelhető (elegendően nagy méretű) ábrát kapjunk. Tehát legyen o L 3

14 a = 5, cm, amihez a teljesítmény lépték a P = 5 V 5 = V, 25, cm cm és ekkor az áramok és teljesítmények leolvasásához ugyanaz a helygörbe használható. három pont alapján a léptékhelyes ábra a komplex síkon megrajzolható (8. ábra). helygörbe egy félkör, a körnek az a szakasza, amelyet akkor érintünk, ha a p = pontból a p = jutunk úgy, hogy közben a harmadik ( p = ) ponton is áthaladunk. paraméter-skála a p = ponthoz húzható érintővel ( a valós tengellyel) párhuzamos egyenes. skálabeosztás a p = és a p = pontok alapján megrajzolható. távolság felezési pontja a p = 5, paraméterű pont. kör paraméterű pontjából ezen a ponton keresztül kell rajzolni egy segédegyenest, amely kimetszi a helygörbén a p = 5, paraméterhez tartozó pontot (az áramvektor végpontjának a helyét). Ezt az origóval összekötve kapjuk meg a keresett fázor hosszát. m, Re, 2 (,5) p= 3,5 p-skála 4 B C 5 8.ábra z eredő áram nagysága a fázor hossza alapján: = a OC =,5 2 cm = 6, cm vetületek alapján felírt komplex értékből - = ( 45 j 4), - is számolhatjuk: 4

15 2 + = = 4, 5 4 = 6,2. kijelölt (C) ponthoz tartozó teljesítmények a teljesítmény-lépték alapján: - a hatásos teljesítmény: P = ap O = V cm V cm - a meddő teljesítmény: Q = ap OB = 25 8 cm = 225 W cm = 2 var - a látszólagos teljesítmény az áram értékének ismeretében közvetlenül számolható: vagy az áramvektor hossza alapján: S = = 5 V 6 = 3 V, V S = a p OC = 25 2 cm = 3 V. cm teljesítmények szélsőértékei, és a hozzájuk tartozó paraméter értékek: P min = 25 W (p = és p = esetén) P max = 25 W (p = esetén) Q min = (p = esetén) Q max = 25 var (p = esetén) látszólagos teljesítmény szélsőértékeinek meghatározásához a helygörbe origóhoz legközelebbi, illetve attól legtávolabbi pontját kell ismerni. legközelebbi pont a helygörbe valós tengelybe eső pontja, míg a legtávolabbi pont az origóból a kör középpontján áthaladó segédegyenessel határozható meg. S min = 25 V (p = esetén) Feladat: leírtak alapján határozzuk meg a látszólagos teljesítmény maximális értékét és a hozzá tartozó paraméter értékét! (S max = 3 V,,4) teljesítménytényező (cosϕ) meghatározása kapcsán ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy a számítások és az ábrázolás során (l. a 2. és 3. ábrát) az kapocsfeszültség fázor a valós tengelyen helyezkedik el, tehát a kapocsfeszültség időfüggvénye nulla fázishelyzetű. Ez egyrészt lehetővé teszi a teljesítménytényező értékének szerkesztéssel történő (cos ϕ-slála) meghatározását, másrészt az áramfázor szöge egyúttal a kapocsfeszültség és az eredő áram közötti szög, amiből cosϕ értéke számolható: m Re( ) 45, cosϕ = = 6 =,75. Feladat: Rajzoljunk cos ϕ-skálát, és szerkesztéssel ellenőrizzük a teljesítménytényező értékét! S p -skála 2 9. ábra p 2 p p Nagyobb paraméter értékeknél a pont meghatározása egyre pontatlanabbul végezhető el, mert a segédegyenes és a helygörbe egyre kisebb szögben metszi egymást (metszéspontjuk meghatározása bizonytalanná válik), illetve a p-skála léptékét is egyre jobban kell kicsip 2 p p Re p-skála 5

16 nyíteni ( a és pontok távolsága egyre kisebb lesz, a leolvasás pontatlanabbá válik). Ebben az esetben a paraméter-skála elforgatásával érhetünk el pontosabb eredményt (9. ábra). Rajzoljuk meg a kör paraméterű pontjába húzható érintővel párhuzamos egyenest mint paraméter-egyenest (p), és készítsük el a skála-osztást a bejelölt pontok segítségével. Ezután vegyük fel az új paraméter-egyenest (p ), és jelöljünk ki a körön a paraméterű pont ( ) helyett egy új pontot (S) úgy, hogy az ebből a pontból az ponton keresztül húzott segédegyenes merőleges legyen az új paraméter-egyenesre. kör másik két bejelölt pontján keresztül is húzzunk segédegyenest az S pontból (ezért hívják ezt a pontot sorozópontnak), így a paraméter-skála elkészíthető. kettő egyenértékű, mivel az azonos köríveken nyugvó kerületi szögek egyenlők, tehát a megfelelő derékszögű háromszögek hasonlóak. paraméter-skála sorozópontos szerkesztése az alábbi lépésekben történik:./ Kijelöljük az S sorozópontot a körnek azon a szakaszán, amely nem része a helygörbének. 2./ sorozópontot összekötjük a kör paraméterű pontjával. Ez az egyenes megadja a paraméter-egyenes irányát. z ezzel párhuzamos bármely egyenes paraméter-egyenesként használható. 3./ sorozópontból a helygörbe p paraméterű pontján keresztül rajzolt segédegyenes kijelöli a paraméter-egyenesen a p paraméterű pont helyét (pl. p =). 4./ sorozópontból a helygörbe p paraméterű pontján keresztül rajzolt segédegyenes kijelöli a paraméter-egyenesen a p paraméterű pont helyét (pl. p =). 5./ két pont ismeretében a paraméter-egyenesen a lineáris lépték elkészíthető. Példa: Rajzoljuk meg a 2. ábrán látható áramkör léptékhelyes áram-munkadiagramját! e R g = V ω = 5 rad/s R = 2 Ω C = 5 µf L = 4 mh 2. ábra a./ Határozzuk meg var eredő meddő teljesítmény esetén az eredő áram nagyságát és a hozzá tartozó paraméter értékét! b./ Határozza meg a legnagyobb és a legkisebb áram értékét, és a hozzá tartozó paramétert is! Megoldás: z energiatároló elemek reaktanciája a megadott körfrekvencián: 3 X L = ω L = 5 4 = 2 Ω illetve X C = = = 4 Ω 6 ω C 5 5 z induktivitás reaktanciája a paraméter függvényében változik: ( p) = p 2 Ω z eredő áram a két párhuzamosan kapcsolt ág áramának összege: ( p) = + ( p) párhuzamosan kapcsolt kondenzátor árama a paraméter változásától független: V C = = j2,5 j X j4 Ω = C g C X L e C C RL RL p L 6

17 z RL-ág áramát három paraméter értéknél kell meghatároznunk. és a mellett a p= értéket célszerű választani (egyszerű a gyöktelenítés elvégzése). Így az ág árama az egyes paraméterek esetén: V V RL ( ) = = 5 RL ( ) = RL () = = ( 2, 5 j2, 5) 2 Ω 2 + j2 Ω z eredő áram értéke az egyes paramétereknél: ( ) = + ( ) = ( 5 j2, 5) ( ) = j2,5 ( ) = + ( ) = 2,5 e C RL + e C = z áramléptéket úgy kell megválasztani, hogy jól kiértékelhető (elegendően nagy méretű) ábrát kapjunk, a megrajzolandó kör átmérője cm körül legyen (kisebb ábrák esetén a kiértékelés nagyon pontatlanná válhat). Fentiek alapján legyen az áramlépték a = 5,, amihez a teljesítmény lépték cm V a P = V,5 = 5 cm cm ugyanaz a helygörbe használható. e. Így az áramok és teljesítmények leolvasásához most is kör megrajzolásához most sem szükséges a húrfelező merőlegesek szerkesztése. gyanis eddigi ismereteink alapján már tudjuk, hogy az RL-ág helygörbéje a valós tengelyen m, C RL 5 S 4 3 K 2 p-skála p=p 2 (p ) var p p 2 2 p= Re, 2. ábra 7

18 nyugvó félkör, ha az induktivitás értéke változik. Ezt a félkört az áram értékének megfelelően a képzetes tengellyel párhuzamosan kell eltolni pozitív irányban. z ennek megfelelően megrajzolt kör a 2. ábrán látható. helygörbe a vastag vonallal kihúzott félkör. z ábrán feltüntettük a var eredő meddő teljesítménynek megfelelő egyenest, ami az áramléptéknek felel meg ( V ). Ennek két metszéspontja van a helygörbével (p és p 2 paraméter értékeknél), tehát a feladatnak két megoldása van. p 2 paraméterű pont közel esik a helygörbe paraméterű pontjához, ezért p 2 értékének meghatározása az eddig alkalmazott paraméter-skála szerkesztési eljárással nehézkesen, pontatlanul lenne elvégezhető. Ezért a paraméter-skálát elforgatjuk (l. a 9. ábrát!). sorozópontos szerkesztési eljárást a következők szerint végezzük el. Jelöljük ki a sorozópont (S) helyét a körnek azon a szakaszán (a felső félkörön), amely nem része a helygörbének! Minél távolabb van a sorozópont a paraméterű ponttól, annál nagyobb mértékű az elforgatás. Ezért a sorozópontot a felső félkör jobb oldali negyedében jelöljük ki. Kössük össze a sorozópontot a paraméterű ponttal. z így kapott egyenessel párhuzamos bármely egyenes paraméter-skála készítéséhez felhasználható, tehát húzzunk ezzel párhuzamosan egy egyenest, amelyen a paraméter-skálát elkészítjük. paraméter-skála készítéséhez az S sorozópontból húzzunk egy segédegyenest a kör pontján keresztül, ami kijelöli az előbb megrajzolt paraméter-egyenesen a paraméter helyét. Ezt ismételjük meg a kör p= pontjának felhasználásával is, így megkapjuk a slála paraméterű pontját. Ezt a távolságot egységnek tekintve a lineáris skálabeosztás elkészíthető. fenti eljárás megismétlésével a helygörbe tetszőleges pontjához tartozó paraméter értéke meghatározható. Tehát húzzunk segédegyenest az S sorozópontból a p 2 paraméterű ponton keresztül! Ennek a paraméterskálával képzett metszéspontja adja meg a p 2 paraméter helyét a skálán. paraméter értéke a távolságok arányából közvetlenül számolható: p 7 mm 7 mm 2 =, amiből a keresett paraméter értéke: p 2 = = 3, mm 35 mm leolvasás bizonytalansága (pontossága) miatt nincs fizikai tartalma (értelme) a túl sok jegy pontossággal elvégzett osztásnak, ezért általában két értékes jegyet veszünk figyelembe. tt van jelentősége a nagyobb méretű (és így pontosabb) ábra rajzolásának! Feladat: fenti eljárás megismétlésével határozzuk meg a p paraméter értékét! (p =,34) z áramok nagyságát a helygörbe p és p 2 paraméterű pontjainak az origótól mért távolsága adja meg. Tájékoztatásul az (p ) fázort feltüntettük az ábrán. Feladat: Határozzuk meg a keresett áramok értékét! ( =4,6, 2 =,5 ) maximális áram értékét a helygörbe origótól legtávolabbi pontja határozza meg. Ez a paraméterű pont, amelynek távolsága az origótól,2 cm tehát max = 5,6. minimális áram értéke a helygörbe origóhoz legközelebb lévő pontjához tartozó áram, ami min =. Feladat: Határozzuk meg a minimális áramhoz tartozó paraméter értékét! (p=2,4) munkadiagramból nemcsak áramok, hanem teljesítmények is leolvashatók. teljesítmények ismeretében azok aránya, tehát a hatásfok is megállapítható. Ehhez vizsgáljuk meg a 22. ábra szerinti elrendezést. hálózatról egy ohmos jellegű fogyasztót táplálunk. hálózat által betáplált teljesítmény (P BE ) egy része a termelőt a fogyasztóval összekötő Z v impedanciájú vezetéken hővé alakul. teljesítmény többi része (P H ) hasznosul a fogyasztó 8

19 ellenállásán. Tehát a vizsgálat során az összekötő vezeték impedanciáját (Z v ) és így a rajta fellépő veszteséget - is figyelembe vesszük. Vizsgáljuk meg, hogyan alakulnak a teljesítmény viszonyok illetve a hatásfok a terhelő ellenállás változásának a függvényében! P BE 22. ábra Z v P v (R =p R ) esetén is ( ). m X v O C F R v D L v 23. ábra Z(p) R v +R B 24. ábra M E (p) P H R v p R Re p R z elrendezésnek megfelelő villamos helyettesítő kapcsolás a 23. ábrán látható. vezeték impedanciája egy soros RL kör, tehát az áramkör ellenállása R v (ez a paraméterű pont!) és között változik. Ehhez hasonló kapcsolás jellemzőit már vizsgáltuk (l. a. és 2. ábrákat), ezért az áram-munkadiagram menete most is hasonló az ott ábrázolthoz, de a helygörbe most nem lesz egy teljes félkör (24. ábra), mert az impedancia-diagram egyenese nem érinti a képzetes tengelyt. z ábrába berajzoltuk az áramfázort esetén ( ) - ami a kör OB húrja -, és egy tetszőleges paraméter értékhez tartozó terhelő ellenállás Ha a terhelő ellenállás értéke (), akkor az R v ellenálláson keletkező veszteség: P = 2 R = B a, v v ahol a p a teljesítmény-lépték. z áram esetén a derékszögű háromszögek hasonlósága alapján felírhatjuk a megfelelő oldalak arányát: Rv CD =. Rv + R CE kifejezés bal oldalát az áram négyzetével bővítve: 2 Rv Rv Pv = = 2 2 Rv + R Rv + R Pv + PH a teljesítmények arányát kapjuk meg. Tehát megállapíthatjuk, hogy a hasznos teljesítmény illetve a betáplált teljesítmény meghatározható a PH = DE a p illetve a PBE = CE a p összefüggés segítségével az ábrázolt diagram alapján. z ábrából nyilvánvaló, hogy az OB húr (az áramfázor) és a képzetes tengely közötti szakasz ( B vagy CD ) hossza a P v teljesítménnyel arányos, míg az OB húr és a kör közötti szakasz a változó értékű terhelőellenálláson fellépő teljesítmény értékével arányos. hatásfok definícióját alkalmazva: PH DE η = = [% ], P CE BE p 9

20 tehát az adott paraméterhez tartozó hatásfok a megfelelő szakaszok arányából közvetlenül számolható. z előbbiekben láttuk, hogy az ábrából a teljesítmények értéke is meghatározható. Vizsgáljuk meg, hogy a hasznos teljesítmény legnagyobb értéke mikor (milyen ellenállás illetve paraméter értéknél) lép fel, és hogyan határozható meg az ábrából. z OB húr és a kör közötti szakasz akkor a legnagyobb, amikor a kör adott pontja a húrtól legtávolabb van. Ez a húr felező merőlegesének megszerkesztésével kereshető meg (M pont). Így a változó értékű terhelőellenálláson fellépő teljesítmény maximális értéke: P = FM H max a p. Paraméter-skála szerkesztése esetén az ehhez a ponthoz tartozó paraméter értéke és így az ellenállás értéke is meghatározható. Példa: Határozzuk meg egy ellenállással lezárt váltakozó feszültségű generátorból kivehető maximális teljesítmény értékét! (25. ábra) Megoldás: b = 4 V R b = 2 ohm ω =5 rad/s L b = 8 mh b R b 25. ábra váltakozó áramú hálózatok vizsgálata során megállapítottuk, hogy a generátorból akkor vehető ki a maximális hatásos teljesítmény, ha a lezáró impedancia a generátor impedanciájának komplex konjugáltja ( Z t = Z b ). Ez itt nem alkalmazható, mivel a lezárás ellenállással * történik. Ezért a feladatot léptékhelyes áram-munkadiagram szerkesztésével oldhatjuk meg. z induktivitás reaktanciája a megadott körfrekvencián: X = ω = 5 8 = 4 Ω. b L b z R ellenállás értékét úgy választjuk meg a számításokhoz, hogy p= esetén egyszerűen tud-junk számolni. Ezért legyen R = 2 Ω. diagram három pontját az általánosan használt Q, var p= p-skála 2,2 P, W L b 3 p R három paraméternél (p =,, ) határozzuk meg. 4 V ( ) = = ( 4 j8) ( 2 + j4) Ω 4 V () = = ( 5 j5) 4 + j4 Ω ( ) ( ) = kör a három pont alapján már megszerkeszthető (26. ábra). kör középpontja a képzetes tengelyen található, mert a valós tengellyel páthuzamos egyenes inverze a képzetes tengelyen nyugvó félkör (l. a 26. ábrát!). kör átmérője az X b reaktancia értékéből számolható:. 26. ábra 2

21 helygörbe a félkör vastag vonal-lal jelölt szakasza. maximális hasznos teljesítmény pontját az előzőekben ismertetett módon szerkesztettük meg (l. a 24. ábrát). léptéket közvetlenül teljesítmény leolvasására készítettük, ezért egy osztás illetve 4 V. maximális teljesítménynek megfelelő vízszintes szakaszt bejelöltük az ábrába: hossza 3 W osztás. Így a maximális teljesítmény értéke: P max = 3 osztás 4 = 2 W. osztás z ehhez tartozó paraméter érték a paraméter-skála alapján p=2,2. Tehát a terhelő ellenállás: = p R = 2,2 2 Ω R t = Ellenőrzés: kör árama a diagram alapján p=2,2 paraméternél: 5,2. Ebből a teljesítmény: P 2 R = 5,2 2 4,4 9,5 W Ellenőrző kérdések: max = t =./ Mi az áram-munkadiagram? 2./ Mikor lesz azonos helygörbe az eredő admittancia illetve az eredő áram helygörbéje? 3./ Hogyan rajzolható meg a diagram a gyakorlatban? 4./ Milyen paraméterű pontokban számolunk? 5./ Hogyan rajzolható meg a paraméter-skála? 6./ Mikor van szükség a paraméter-skála elforgatására? 7./ Hogyan rajzolható meg a paraméter-skála sorozópontos szerkesztéssel? 8./ Mikor és miért alkalmas a diagram teljesítmények leolvasására (munkadiagram)? 9./ Hogyan olvashatók le a különböző teljesítmények az áram-munkadiagramból?./ Mit értünk léptékhelyes ábra alatt?./ Mit értünk minőségileg (jellegre) helyes diagram alatt? 2./ Hogyan határozható meg a hatásfok a diagram alapján? 4,4 Ω 2

3.3. A feszültség-munkadiagram

3.3. A feszültség-munkadiagram 3.3. A feszültség-munkadiagram Eddig csak olyan eseteket vizsgáltunk, amelyeknél az áramkörre ideális feszültségforrást kapcsoltunk (kapocsfeszültsége a terhelés hatására nem változik), és a kör eredő

Részletesebben

17/1. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram.

17/1. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram. 7/. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram. A szinuszos áramú hálózatok vizsgálatánál gyakran alkalmazunk különbözı komplex átviteli függvényeket. Végezzük ezt a hálózat valamilyen

Részletesebben

Dr. Gyurcsek István. Példafeladatok. Helygörbék Bode-diagramok HELYGÖRBÉK, BODE-DIAGRAMOK DR. GYURCSEK ISTVÁN

Dr. Gyurcsek István. Példafeladatok. Helygörbék Bode-diagramok HELYGÖRBÉK, BODE-DIAGRAMOK DR. GYURCSEK ISTVÁN Dr. Gyurcsek István Példafeladatok Helygörbék Bode-diagramok 1 2016.11.11.. Helygörbe szerkesztése VIZSGÁLAT: Mi a következménye annak, ha az áramkör valamelyik jellemző paramétere változik? Helygörbe

Részletesebben

Számítási feladatok megoldással a 6. fejezethez

Számítási feladatok megoldással a 6. fejezethez Számítási feladatok megoldással a 6. fejezethez. Egy szinuszosan változó áram a polaritás váltás után μs múlva éri el első maximumát. Mekkora az áram frekvenciája? T = 4 t = 4 = 4ms 6 f = = =,5 Hz = 5

Részletesebben

Számítási feladatok a 6. fejezethez

Számítási feladatok a 6. fejezethez Számítási feladatok a 6. fejezethez 1. Egy szinuszosan változó áram a polaritás váltás után 1 μs múlva éri el első maximumát. Mekkora az áram frekvenciája? 2. Egy áramkörben I = 0,5 A erősségű és 200 Hz

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei 10. tétel Milyen mérési feladatokat kell elvégeznie a kördiagram megszerkesztéséhez? Rajzolja meg a kördiagram felhasználásával a teljes nyomatéki függvényt! Az aszinkron gép egyszerűsített kördiagramja

Részletesebben

A soros RC-kör. t, szög [rad] feszültség áramerősség. 2. ábra a soros RC-kör kapcsolási rajza. a) b) 3. ábra

A soros RC-kör. t, szög [rad] feszültség áramerősség. 2. ábra a soros RC-kör kapcsolási rajza. a) b) 3. ábra A soros RC-kör Az átmeneti jelenségek vizsgálatakor soros RC-körben egyértelművé vált, hogy a kondenzátoron a késik az áramhoz képest. Váltakozóáramú körökben ez a késés, pontosan 90 fok. Ezt figyelhetjük

Részletesebben

1. Milyen módszerrel ábrázolhatók a váltakozó mennyiségek, és melyiknek mi az előnye?

1. Milyen módszerrel ábrázolhatók a váltakozó mennyiségek, és melyiknek mi az előnye? .. Ellenőrző kérdések megoldásai Elméleti kérdések. Milyen módszerrel ábrázolhatók a váltakozó mennyiségek, és melyiknek mi az előnye? Az ábrázolás történhet vonaldiagramban. Előnye, hogy szemléletes.

Részletesebben

EGYFÁZISÚ VÁLTAKOZÓ ÁRAM

EGYFÁZISÚ VÁLTAKOZÓ ÁRAM VANYSEEŐ KÉPÉS 0 5 EGYFÁSÚ VÁTAKOÓ ÁAM ÖSSEÁÍTOTTA NAGY ÁSÓ MÉNÖKTANÁ - - Tartalomjegyzék Váltakozó áram fogalma és jellemzői...3 Szinuszos lefolyású váltakozó feszültség előállítása...3 A szinuszos lefolyású

Részletesebben

Hálózatok számítása egyenáramú és szinuszos gerjesztések esetén. Egyenáramú hálózatok vizsgálata Szinuszos áramú hálózatok vizsgálata

Hálózatok számítása egyenáramú és szinuszos gerjesztések esetén. Egyenáramú hálózatok vizsgálata Szinuszos áramú hálózatok vizsgálata Hálózatok számítása egyenáramú és szinuszos gerjesztések esetén Egyenáramú hálózatok vizsgálata Szinuszos áramú hálózatok vizsgálata Egyenáramú hálózatok vizsgálata ellenállások, generátorok, belső ellenállások

Részletesebben

VÁLTAKOZÓ ÁRAMÚ KÖRÖK

VÁLTAKOZÓ ÁRAMÚ KÖRÖK Számítsuk ki a 80 mh induktivitású ideális tekercs reaktanciáját az 50 Hz, 80 Hz, 300 Hz, 800 Hz, 1200 Hz és 1,6 khz frekvenciájú feszültséggel táplált hálózatban! Sorosan kapcsolt C = 700 nf, L=600 mh,

Részletesebben

A soros RL-kör. t, szög [rad] áram feszültség. 1. ábra Feszültség és áramviszonyok az ellenálláson, illetve a tekercsen

A soros RL-kör. t, szög [rad] áram feszültség. 1. ábra Feszültség és áramviszonyok az ellenálláson, illetve a tekercsen A soros L-kör Mint ismeretes, a tekercsen az áram 90 fokot késik a hez képest, ahogyan az az 1. ábrán látható. A valós terhelésen a és az áramerősség azonos fázisú. Lényegében viszonyítás kérdése, de lássuk

Részletesebben

2.11. Feladatok megoldásai

2.11. Feladatok megoldásai Elektrotechnikai alaismeretek.. Feladatok megoldásai. feladat: Egy szinuszosan változó áram a olaritás váltás után μs múlva éri el első maximumát. Mekkora az áram frekvenciája? T 4 t 4 4µ s f,5 Hz 5 khz

Részletesebben

Átmeneti jelenségek egyenergiatárolós áramkörökben

Átmeneti jelenségek egyenergiatárolós áramkörökben TARTALOM JEGYZÉK 1. Egyenergiatárolós áramkörök átmeneti függvényeinek meghatározása Példák az egyenergiatárolós áramkörök átmeneti függvényeinek meghatározására 1.1 feladat 1.2 feladat 1.3 feladat 1.4

Részletesebben

A soros RC-kör. t, szög [rad]

A soros RC-kör. t, szög [rad] A soros C-kör Az átmeneti jelenségek vizsgálatakor soros C-körben egyértelművé vált, hogy a kondenzátoron a késik az áramhoz képest. Váltakozóáramú körökben ez a késés, pontosan 90 fok. Ezt figyelhetjük

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

ALAPFOGALMIKÉRDÉSEK VILLAMOSSÁGTANBÓL 1. EGYENÁRAM

ALAPFOGALMIKÉRDÉSEK VILLAMOSSÁGTANBÓL 1. EGYENÁRAM ALAPFOGALMIKÉRDÉSEK VILLAMOSSÁGTANBÓL INFORMATIKUS HALLGATÓK RÉSZÉRE 1. EGYENÁRAM 1. Vezesse le a feszültségosztó képletet két ellenállás (R 1 és R 2 ) esetén! Az összefüggésben szerepl mennyiségek jelölését

Részletesebben

1. konferencia: Egyenáramú hálózatok számítása

1. konferencia: Egyenáramú hálózatok számítása 1. konferencia: Egyenáramú hálózatok számítása 1.feladat: 20 1 kω Határozzuk meg az R jelű ellenállás értékét! 10 5 kω R z ellenállás értéke meghatározható az Ohm-törvény alapján. Ehhez ismernünk kell

Részletesebben

1. feladat R 1 = 2 W R 2 = 3 W R 3 = 5 W R t1 = 10 W R t2 = 20 W U 1 =200 V U 2 =150 V. Megoldás. R t1 R 3 R 1. R t2 R 2

1. feladat R 1 = 2 W R 2 = 3 W R 3 = 5 W R t1 = 10 W R t2 = 20 W U 1 =200 V U 2 =150 V. Megoldás. R t1 R 3 R 1. R t2 R 2 1. feladat = 2 W R 2 = 3 W R 3 = 5 W R t1 = 10 W R t2 = 20 W U 1 =200 V U 2 =150 V U 1 R 2 R 3 R t1 R t2 U 2 R 2 a. Számítsd ki az R t1 és R t2 ellenállásokon a feszültségeket! b. Mekkora legyen az U 2

Részletesebben

Középpontos hasonlóság szerkesztések

Középpontos hasonlóság szerkesztések Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

tápvezetékre jellemző, hogy csak a vezeték végén van terhelés, ahogy az 1. ábra mutatja.

tápvezetékre jellemző, hogy csak a vezeték végén van terhelés, ahogy az 1. ábra mutatja. Tápvezeték A fogyasztókat a tápponttal közvetlen összekötő vezetékeket tápvezetéknek nevezzük. A tápvezetékre jellemző, hogy csak a vezeték végén van terhelés, ahogy az 1. ábra mutatja. U T l 1. ábra.

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

21. laboratóriumi gyakorlat. Rövid távvezeték állandósult üzemi viszonyainak vizsgálata váltakozóáramú

21. laboratóriumi gyakorlat. Rövid távvezeték állandósult üzemi viszonyainak vizsgálata váltakozóáramú 1. laboratóriumi gyakorlat Rövid távvezeték állandósult üzemi viszonyainak vizsgálata váltakozóáramú kismintán 1 Elvi alapok Távvezetékek villamos számításához, üzemi viszonyainak vizsgálatához a következő

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 18. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 18. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. október 12. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 12. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

1 kérdés. Személyes kezdőlap Villamos Gelencsér Géza Simonyi teszt május 13. szombat Teszt feladatok 2017 Előzetes megtekintés

1 kérdés. Személyes kezdőlap Villamos Gelencsér Géza Simonyi teszt május 13. szombat Teszt feladatok 2017 Előzetes megtekintés Személyes kezdőlap Villamos Gelencsér Géza Simonyi teszt 2017. május 13. szombat Teszt feladatok 2017 Előzetes megtekintés Kezdés ideje 2017. május 9., kedd, 16:54 Állapot Befejezte Befejezés dátuma 2017.

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet 29/2016 (VIII.26) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján.

A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet 29/2016 (VIII.26) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján. A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet 29/2016 (VIII.26) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján. Szakképesítés, azonosító száma és megnevezése 54 522 01 Erősáramú elektrotechnikus

Részletesebben

ÁGAZATI SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA VILLAMOSIPAR ÉS ELEKTRONIKA ISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MINTAFELADATOKHOZ

ÁGAZATI SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA VILLAMOSIPAR ÉS ELEKTRONIKA ISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MINTAFELADATOKHOZ VILLAMOSIPAR ÉS ELEKTRONIKA ISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MINTAFELADATOKHOZ I. feladatlap Egyszerű, rövid feladatok megoldása Maximális pontszám: 40. feladat 4 pont

Részletesebben

2.Előadás ( ) Munkapont és kivezérelhetőség

2.Előadás ( ) Munkapont és kivezérelhetőség 2.lőadás (207.09.2.) Munkapont és kivezérelhetőség A tranzisztorokat (BJT) lineáris áramkörbe ágyazva "működtetjük" és a továbbiakban mindig követelmény, hogy a tranzisztor normál aktív tartományban működjön

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 23. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2013. május 23. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

a) Valódi tekercs b) Kondenzátor c) Ohmos ellenállás d) RLC vegyes kapcsolása

a) Valódi tekercs b) Kondenzátor c) Ohmos ellenállás d) RLC vegyes kapcsolása Bolyai Farkas Országos Fizika Tantárgyverseny 2016 Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely XI. Osztály 1. Adott egy alap áramköri elemen a feszültség u=220sin(314t-30 0 )V és az áramerősség i=2sin(314t-30

Részletesebben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Részletesebben

VILLAMOS ENERGETIKA VIZSGA DOLGOZAT - A csoport

VILLAMOS ENERGETIKA VIZSGA DOLGOZAT - A csoport VILLAMOS ENERGETIKA VIZSGA DOLGOZAT - A csoport MEGOLDÁS 2013. június 3. 1.1. Mekkora áramot (I w, I m ) vesz fel az a fogyasztó, amelynek adatai: U n = 0,4 kv (vonali), S n = 0,6 MVA (3 fázisú), cosφ

Részletesebben

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Gyakorlat 34A-25. kapcsolunk. Mekkora a fűtőtest teljesítménye? I o = U o R = 156 V = 1, 56 A (3.1) ezekkel a pillanatnyi értékek:

Gyakorlat 34A-25. kapcsolunk. Mekkora a fűtőtest teljesítménye? I o = U o R = 156 V = 1, 56 A (3.1) ezekkel a pillanatnyi értékek: 3. Gyakorlat 34-5 Egy Ω ellenállású elektromos fűtőtestre 56 V amplitúdójú váltakozó feszültséget kapcsolunk. Mekkora a fűtőtest teljesítménye? Jelölések: R = Ω, U o = 56 V fűtőtestben folyó áram amplitudója

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Kalkulus. Komplex számok

Kalkulus. Komplex számok Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 18. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. október 18. 1:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 20 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS

Részletesebben

Tranziens jelenségek rövid összefoglalás

Tranziens jelenségek rövid összefoglalás Tranziens jelenségek rövid összefoglalás Átmenet alakul ki akkor, ha van energiatároló (kapacitás vagy induktivitás) a rendszerben, mert ezeken a feszültség vagy áram nem jelenik meg azonnal, mint az ohmos

Részletesebben

A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet (12/2013 (III.28) és a 29/2016 (VIII.26) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján.

A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet (12/2013 (III.28) és a 29/2016 (VIII.26) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján. A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet (12/2013 (III.28) és a 29/2016 (VIII.26) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján. Szakképesítés, azonosító száma és megnevezése 54 522 01

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. október 20. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. október 20. 1:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 20 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS

Részletesebben

A váltakozó áramú hálózatok

A váltakozó áramú hálózatok A váltakozó áramú hálózatok Az egyenáramú hálózatokkal foglalkozó fejezeteinkben a vizsgált áramkörökben minden ág árama és feszültsége az idő függvényében állandó volt, vagyis sem az irányuk, sem a nagyságuk

Részletesebben

Egybevágóság szerkesztések

Egybevágóság szerkesztések Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 15. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. október 15. 1:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 20 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

1. Feladat. Megoldás. Számítsd ki az ellenállás-hálózat eredő ellenállását az A B az A C és a B C pontok között! Mindegyik ellenállás értéke 100 Ω.

1. Feladat. Megoldás. Számítsd ki az ellenállás-hálózat eredő ellenállását az A B az A C és a B C pontok között! Mindegyik ellenállás értéke 100 Ω. 1. Feladat Számítsd ki az ellenállás-hálózat eredő ellenállását az A B az A C és a B C pontok között! Mindegyik ellenállás értéke 100 Ω. A 1 2 B 3 4 5 6 7 A B pontok között C 13 = 1 + 3 = 2 = 200 Ω 76

Részletesebben

A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet (12/2013 (III.28) és a 29/2016 (VIII.26) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján.

A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet (12/2013 (III.28) és a 29/2016 (VIII.26) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján. A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet (12/2013 (III.28) és a 29/2016 (VIII.26) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján. Szakképesítés, azonosító száma és megnevezése 54 522 01

Részletesebben

Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila

Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila 2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon

Részletesebben

Fizika A2E, 8. feladatsor

Fizika A2E, 8. feladatsor Fizika AE, 8. feladatsor ida György József vidagyorgy@gmail.com. feladat: Az ábrán látható áramkörben határozzuk meg az áramer sséget! 4 5 Utolsó módosítás: 05. április 4., 0:9 El ször ki kell számolnunk

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Minden mérésre vonatkozó minimumkérdések

Minden mérésre vonatkozó minimumkérdések Minden mérésre vonatkozó minimumkérdések 1) Definiálja a rendszeres hibát 2) Definiálja a véletlen hibát 3) Definiálja az abszolút hibát 4) Definiálja a relatív hibát 5) Hogyan lehet az abszolút-, és a

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 19. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 19. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Szá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz

Szá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz Szá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz 1. feladattípus a megadott adatok alapján lineáris keresleti, vagy kínálati függvény meghatározása 1.1. feladat

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Áramköri elemek mérése ipari módszerekkel

Áramköri elemek mérése ipari módszerekkel 3. aboratóriumi gyakorlat Áramköri elemek mérése ipari módszerekkel. dolgozat célja oltmérők, ampermérők használata áramköri elemek mérésénél, mérési hibák megállapítása és azok függősége a használt mérőműszerek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Marcsa Dániel Transzformátor - példák 1. feladat : Egyfázisú transzformátor névleges teljesítménye 125kVA, a feszültsége U 1 /U 2 = 5000/400V. A névleges terheléshez tartozó tekercsveszteség 0,06S n, a

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás ZÉHENYI ITVÁN EGYETE GÉPZERKEZETTN É EHNIK TNZÉK 6. EHNIK-TTIK GYKORLT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa Egy létrát egy verembe letámasztunk

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK zonosító ÉRETTSÉGI VIZSG 2016. május 18. ELEKTRONIKI LPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSELI VIZSG 2016. május 18. 8:00 z írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

4. /ÁK Adja meg a villamos áramkör passzív építő elemeit!

4. /ÁK Adja meg a villamos áramkör passzív építő elemeit! Áramkörök 1. /ÁK Adja meg a mértékegységek lehetséges prefixumait (20db)! 2. /ÁK Értelmezze az ideális feszültség generátor fogalmát! 3. /ÁK Mit ért valóságos feszültség generátor alatt? 4. /ÁK Adja meg

Részletesebben

7. L = 100 mh és r s = 50 Ω tekercset 12 V-os egyenfeszültségű áramkörre kapcsolunk. Mennyi idő alatt éri el az áram az állandósult értékének 63 %-át?

7. L = 100 mh és r s = 50 Ω tekercset 12 V-os egyenfeszültségű áramkörre kapcsolunk. Mennyi idő alatt éri el az áram az állandósult értékének 63 %-át? 1. Jelöld H -val, ha hamis, I -vel ha igaz szerinted az állítás!...két elektromos töltés között fellépő erőhatás nagysága arányos a két töltés nagyságával....két elektromos töltés között fellépő erőhatás

Részletesebben

ERŐRENDSZEREK EREDŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA

ERŐRENDSZEREK EREDŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA ALAPOGALMAK ERŐRENDSZEREK EREDŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA Egy testre általában nem egy erő hat, hanem több. Legalább két erőnek kell hatni a testre, ha az erő- ellenerő alaptétel alapján járunk el. A testek vizsgálatához

Részletesebben

ÁGAZATI SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA VILLAMOSIPAR ÉS ELEKTRONIKA ISMERETEK EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA MINTAFELADATOK ÉS ÉRTÉKELÉSÜK

ÁGAZATI SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA VILLAMOSIPAR ÉS ELEKTRONIKA ISMERETEK EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA MINTAFELADATOK ÉS ÉRTÉKELÉSÜK VILLAMOSIPAR ÉS ELEKTRONIKA ISMERETEK EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA MINTAFELADATOK ÉS ÉRTÉKELÉSÜK Szóbeli vizsgarész értékelési táblázata A szóbeli felelet értékelése az alábbi szempontok és alapján történik:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

Elektrotechnika. 7. előadás. Összeállította: Dr. Hodossy László

Elektrotechnika. 7. előadás. Összeállította: Dr. Hodossy László 7. előadás Összeállította: Dr. Hodossy László . Ellenállás 7.. Impedancia.. Csillag kapcsolás Váltakozóáramú Teljesítményszámítás Váltakozóáramú teljesítmény általában: Váltakozóáramú teljesítmény ellenálláson

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

11-12. évfolyam. A tantárgy megnevezése: elektrotechnika. Évi óraszám: 69. Tanítási hetek száma: 37 + 32. Tanítási órák száma: 1 óra/hét

11-12. évfolyam. A tantárgy megnevezése: elektrotechnika. Évi óraszám: 69. Tanítási hetek száma: 37 + 32. Tanítási órák száma: 1 óra/hét ELEKTROTECHNIKA (VÁLASZTHATÓ) TANTÁRGY 11-12. évfolyam A tantárgy megnevezése: elektrotechnika Évi óraszám: 69 Tanítási hetek száma: 37 + 32 Tanítási órák száma: 1 óra/hét A képzés célja: Választható tantárgyként

Részletesebben

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK Elektronikai alapismeretek középszint 08 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. október 0. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMTATÓ OKTATÁSI ÉS KLTRÁLIS MINISZTÉRIM Az

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI ÉRETTSÉGI VIZSGA VIZSGA 2009. 2006. május 22. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 22. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

1.Háromszög szerkesztése három oldalból

1.Háromszög szerkesztése három oldalból 1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK ÉETTSÉGI VIZSGA 2016. október 17. ELEKTONIKAI ALAPISMEETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍÁSBELI VIZSGA 2016. október 17. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBEI EŐFOÁSOK

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. október 19. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. október 19. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS

Részletesebben