TDK-dolgozat. Általános irányú Pauli csatorna tomográája. Virosztek Dániel, matematikus MSc hallgató. Konzulensek:

Átírás

1 TDK-dolgozat Általános irányú Pauli csatorna tomográája Virosztek Dániel, matematikus MSc hallgató Konzulensek: Dr. Hangos Katalin tudományos tanácsadó Folyamatirányítási Kutatócsoport MTA SZTAKI Dr. Ruppert László Analízis Tanszék BME TTK BME 0 A dolgozat bemutatását a TÁMOP B-0/ "Új tehetséggondozó programok és kutatások a M egyetem tudományos m helyeiben" cím program támogatta.

2 Tartalomjegyzék. Bevezetés 3.. Kvantum állapot, kvantum mérés Pauli csatorna a qubit esetben Feladatkit zés Az egyszer sített eset 8.. A becslési eljárás tényez i A csatornamátrix becslése A csatornaparaméterek becslése A csatornabecslés hatékonyságát leíró mennyiségek Alapozó lemmák Nemlineáris paraméterbecslések közelítése A φ = 0 paraméter csatorna vizsgálata Optimalizálás az egyszer sített esetben A csatornamátrixot legjobban becsl eljárás A kontrakcióparamétereket legjobban becsl eljárás A szögparamétert legjobban becsl eljárás Általános qubit Pauli csatorna tomográája Az input qubitok és a mérési irányok kiválasztása Az output qubitok Bloch-koordinátáinak becslése A csatornamátrix becslése A csatornaparaméterek becslése a csatornamátrixra vonatkozó becslésb l A paraméterbecslés hatékonysága A szög- és kontrakcióparaméterek becslésének linearizálása A csatornamátrix leghatékonyabb becslése A kontrakcióparaméterek leghatékonyabb becslése A szögparaméterek leghatékonyabb becslése Általános irányú Pauli csatorna prímhatvány-szint rendszerre Kölcsönösen torzítatlan bázisrendszerek Kvázi-mer leges részalgebrák kapcsolata kölcsönösen torzítatlan bázisrendszerekkel Pauli csatorna általánosított szögparaméterrel, prímhatvány-szint rendszerre Összefoglalás 38

3 . Bevezetés Modern IT-technológiák széles körében hasznosíthatóak különböz kvantum jelenségek, ezért ezen jelenségek pontos leírása kucsfontosságú. Egy széles körben vizsgált jelenség a kvantum csatorna, amely a kvantum rendszer állapotát alakítja át. A kvantum csatornák paraméterbecslésének más szóval a csatornatomográának jelent s szerepe van a kvantum információfeldolgozásban. A kvantum információelméletben felmerül matematikai problémák egy jelent s része paraméterbecslések hatékonyságvizsgálatával kapcsolatos. Egy becslési eljárás hatékonyságát többféle mennyiség jellemzi, a leggyakoribb a Fisher-információ és a klasszikus valószín ségi mennyiségek vizsgálata [, ]. Az említett célfüggvények analízisére sokféle matematikai eszköz alkalmas; a klasszikus széls érték-keresés éppúgy, mint például a lineáris algebra. A csatornatomográa direkt módszere kell en általánosan röviden leírható: ismert kvantum állapotokra input állapotokra hattatjuk a csatornát, majd az így keletkezett output állapotokat mérések segítségével megbecsüljük. Az input állapotok és a becsült output állapotok összehasonlítása a csatornára vonatkozó információt ad. Hatékony csatornatomográához kísérlettervezésre van szükség. A kísérletterv tartalmazza az optimális input állapotokat, az optimális mérési eljárást, mellyel az output állapotokat mérjük, valamint egy hatékony becslést, mellyel a mért adatokból a csatornát becsüljük. A kvantummechanikában a mérés nem determinisztikus, valószín ségi jelleggel bír [3, 4], így az input kvantum rendszernek több, egymástól független kópiájára van szükség, a becslések pedig a különböz kópiák vizsgálatából származó adatokból készített statisztikák. A csatornatomográa jól megalapozott elmélettel bír, a tomográás eljárások kimerít leírása olvasható [5]-ben. A csatornák egy széles osztályát alkotják a Pauli csatornák, melyek elméleti és gyakorlati szempontból is fontosak. A Pauli csatornák tomográájának b séges irodalma van, azonban a téma nehézsége miatt a dolgozatok általában speciális esetekkel foglalkoznak. Ezek a speciális esetek leggyakrabban ismertnek és adottnak tekintik a Pauli csatorna kontrakciós irányait, és csak az egyes irányokban történ kontrakció nagyságát becsülik. Jelen dolgozatban konstruálunk egy paraméterbecslési sémát, amely qubit Pauli csatorna becslésére alkalmas. A cél a bemutatott becslési eljárások közül az optimális módszer kiválasztása. Ennek érdekében valószín ségi jelleg célfüggvényeket deniálunk, majd az esetek többségében analitikus módszerekkel megoldjuk az optimalizálási feladatot. Abban az esetben, amikor az analitikus optimalizálás nem vezet eredményre, numerikus vizsgálatok alapján fogalmazunk meg sejtéseket. Végül prímhatvány-szint rendszereken ható általánosított Pauli csatornákkal lásd [6] foglalkozunk: a maximális kommutatív részalgebrákkal adott csatornákra kiterjesztjük a szögparaméterezést. Az általánosított Pauli csatorna fogalma a közelmúlt tudományos eredménye, ezért ennek a csatornafajtának eddig nem deniálták a kontrakciós irányait, így a javasolt szögparaméterezés egy kezdeti lépés lehet az ilyen csatornák tomográájában. 3

4 .. Kvantum állapot, kvantum mérés Az alábbiakban a kvantum információelmélet alapfogalmainak egy rövid áttekintését adjuk a [3, 4] m vek alapján. A véges kvantum rendszerek állapotait s r ségi mátrixok reprezentálják, vagyis olyan ρ n n-es mátrixok, melyek kielégítik az alábbi feltételeket: Trρ =. ρ 0.. Az n-szint rendszer állapotterét SC n -nel jelöljük. Az n n-es önadjungált mátrixok tere M s.a. n C n dimenziós vektortér R felett, mely az x, y := Trx y skaláris szorzattal Hilbert-tér. Ennek a térnek rögzíthetjük egy ortogonális bázisát úgy, hogy az egyik bázisvektor az identitás legyen: F = {F 0 = I, F, F,..., F n }. Ekkor a ρ SC n állapot kifejthet az F bázis szerint: ρ = n x 0I + x F + + x n F n..3 A Trρ = feltétel miatt x 0 =, az x, x,..., x n R n vektort a ρ állapot Blochvektorának hívjuk. Tehát M s.a. n C egy I-t tartalmazó, mer leges bázisának rögzítése egy SC n R n beágyazást indukál. Egy ilyen beágyazás az állapottér ábrázolásának fontos eszköze, az inverzét Bloch-paraméterezésnek nevezzük. A kvantummechanikában a mérés valószín ségi természet. A mérhet mennyiségek, az obszervábilisok önadjungált mátrixok. Tehát az obszervábilisok felírhatók spektrális alakban. Ha B M s.a. n C, akkor B = j λ j P j,.4 ahol λ j -vel a B különböz sajátértékeit jelöljük, P j pedig a λ j -hez tartozó sajátaltérre való vetítés. A mérés lehetséges kimenetelei a B sajátértékei, a λ j sajátérték TrρP j valószín séggel adódik, ahol ρ a rendszer állapota. A kvantum mérés megváltoztatja a rendszer állapotát. Ha a mérés kimenetele λ j, akkor a mérés után a ρ j = P jρp j TrP j ρp j s r ségi mátrix írja le a rendszer állapotát. Egy adott obszervábilishez tartozó spektrális projekciók {P j } j J rendszerére teljesül, hogy j J P j 0; P j = I..5 j J Általában, ha korlátos operátorok egy {P j } j J rendszere teljesíti az.5-ban el írt feltételeket, akkor {P j } j J -t pozitív operátor érték mértéknek röviden POVM-nek hívjuk. Hasonlóan az obszervábilishoz, a POVM is kvantum mérést reprezentál. A mérés lehetséges kimenetelei ez esetben a POVM elemei. Ha M a POVM egy eleme, akkor annak a valószín sége, hogy M-et mérjük, éppen TrρM, ahol ρ a rendszer állapota. A POVM-ek egy fontos speciális osztályát alkotják a kételem POVM-ek. Minden kételem POVM {M, I M} alakú, ahol 0 M I. Még speciálisabb esetben, ha M projekció, akkor az {M, I M} POVM-et Neumann-mérésnek nevezzük. 4

5 Jelölés. A dolgozatban C n Hilbert-tér standard bázisának elemeit a 0,..., n, a duális tér megfelel elemeit a 0,..., n szimbólumokkal is jelöljük... Pauli csatorna a qubit esetben A legegyszer bb kvantum rendszer a kvantum bit röviden: qubit, melynek Hilberttere H = C, így az állapotokat -es s r ségi mátrixok reprezentálják. A -es önadjungált mátrixok terét a Pauli bázis feszíti ki; ha C M s.a. C, akkor ahol σ 0 = 0 0 C = x 0σ 0 + x σ + x σ + x 3 σ 3,.6 0, σ = 0 0 i, σ = i 0 0, σ 3 = 0 a Pauli mátrixok, x 0, x, x, x 3 R. Könnyen ellen rizhet, hogy C pontosan akkor lesz s r ségi mátrix ha x 0 =, x + x + x 3. Tehát a Bloch-paraméterezés ezúttal egy nagyon hasznos geometriai szemléletet ad: az állapotteret azonosíthatjuk az R 3 tér zárt egységgömbjével. A kvantum csatorna a rendszer állapotterén ható nyomtartó, teljesen pozitív leképezés. A Pauli csatornák a kvantum csatornák egy jól ismert családját alkotják a qubit esetben. Heurisztikusan, a Pauli csatorna olyan leképezés, amely az állapottér bizonyos irányaiban összehúz.. Deníció Qubit Pauli csatorna. Legyen {v, v, v 3 } tetsz leges ortonormált bázis M s.a. C σ 0 = I-ra mer leges alterén. Legyenek λ, λ, λ 3 valós számok, melyekre teljesül. Ekkor az ± λ 3 λ ± λ.7 E : SC M s.a. C; ρ = I + 3 θ i v i Eρ = I + i= 3 λ i θ i v i i=.8 leképezést qubit Pauli csatornának nevezzük. Az { I + tv i : t R} M s.a. C an altereket i {,, 3} csatornairányoknak, a λ, λ, λ 3 számokat kontrakcióparamétereknek hívjuk. Az imént deniált Pauli csatorna nyomtartó, hiszen az identitásra mer leges altéren hat. A leképezés teljesen pozitív tulajdonságát az.7 feltétel garantálja [6]. Tehát valójában RangeE SC M s.a. C. Érdemes megjegyezni, hogy az.7 feltétel a három változójában szimmetrikus, és pontosan akkor teljesül, ha λ, λ, λ 3 Conv,,,,,,,,,,, R 3, ahol Conv a konvex burkot jelöli. Így többek között λ i, i {,, 3}. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük és mostantól fel is tesszük, hogy λ λ λ 3. A Pauli csatorna hatása szemléletesebbé válik, ha az állapotokra mint Bloch vektorokra tekintünk. A már említett Bloch-paraméterezés a ρ : B 3 SC ; θ = θ, θ, θ 3 ρθ = I + θ σ + θ σ + θ 3 σ 3.9 5

6 bijekció, ahol B 3 R 3 a zárt egységgömb, amit ebben a kontextusban Bloch-gömbnek is szokás nevezni. Megmutatjuk, hogy a Bloch-gömb modellben a Pauli csatornáknak megfelel leképezések jól karakterizálhatók.. Deníció Csatornamátrix. Az A : B 3 B 3 leképezést az E Pauli csatorna csatornamátrixának nevezzük, ha E ρ = ρ A..0. Lemma. Minden Pauli csatornához egyértelm en létezik csatornamátrix, mely az R 3 tér egy lineáris leképezése. A csatornamátrixok ortogonális bázisban diagonalizálhatók. Bizonyítás. A ρ paraméterezés bijektív, így az.0 denáló egyenl ség a ρ E ρ = A. alakban írható, ez az alak mutatja A létezését és egyértelm ségét. Mivel {v j } 3 j= ortonormált bázis, ezért a jelöléseket bevezetve valamely R O3, R mátrixra. Az r ij = [R] ij jelöléssel élve: Eρθ = E I + σ = σ σ σ 3, v = v v v 3. σ = Rv.3 3 θ i σ i = E i= I + 3 i= θ i 3 r ij v j = 3 3 = E I + θ i r ij v j = 3 3 I + λ j θ i r ij v j = j= i= j= i= = I + λ j θ i r ij r kj σ k = I + λ j r ij r kj θ i σ k. j= i= k= k= i= j=.4 Vagyis ρ E ρθ 3 3 = λ k j r ij r kj θ i..5 Ebb l az alakból látható, hogy A lineáris, azaz A egy 3 3-as valós mátrix, s t, a mátrixelemek is leolvashatók: [A] ki = i= 3 λ j r ij r kj = j= j= j= 3 [R] kj λ j [R T ] ji..6 j= Tehát A = RΛR T,.7 6

7 ahol Λ = λ λ λ 3. Legyen E = {Diag ε, ε, ε 3 : ε i {, } i {,, 3}}. Ekkor E az O3, R csoport egy Z 3 -mal izomorf és nem normális részcsoportja. Könnyen látható, hogy R Λλ, λ, λ 3 R T R Λλ, λ, λ 3 R T pontosan akkor, ha R = R E valamely E E mátrixra R, R O3, R. Tehát ortogonális mátrixok a csatornaparaméterezés szempontjából pontosan akkor megkülönböztethetetlenek, ha az E részcsoport ugyanazon baloldali mellékosztályában vannak. Így tehát az O3, R/E egy parametrizációját és a fenti lemma eredményét használva paraméterezni tudjuk a csatornamátrixokat.. Lemma. Valamennyi qubit Pauli csatornát reprezentáló A mátrix el áll alakban, ahol R z φ z = Aλ, λ, λ 3, φ z, φ y, φ x = R z R y R x ΛR x cos φ z sin φ z 0 sin φ z cos φ z R x φ x = cos φ x sin φ x 0 sin φ x cos φ x, R y φ y =, Λ = Ry R z.8 cos φ y 0 sin φ y 0 0 sin φ z 0 cos φ y λ λ λ 3 0 φ z, φ y, φ x < π, és φ y = π φ z = 0, valamint a λ λ λ 3 számok kielégítik.7-et. Ez a paraméterezés szürjektív, de nem bijektív: abban az esetben, ha valamely kontrakcióparaméterek megegyeznek, a csatornamátrix némely szögparaméterét l függetlenné válik. A paraméterbecslési feladat megoldása közben ki fog derülni, hogy a paramétertartomány miként sz kíthet addig, amíg a paraméterezés injektívvé válik. Az eredményt 5.5 rögzíti.,,.3. Feladatkit zés A tomográás feladat nem más, mint ismeretlen Pauli csatorna valamennyi paraméterének becslése. A csatornaparaméterek becslésének rögzített és ismert csatornairányok esetén jelent s irodalma van [5], azonban iránybecsléssel csak néhány dolgozat foglalkozik [, ], a csatornairány precíz matematikai deníciója pedig újdonság. Egy olyan becslési eljárást fogunk mutatni, amely a már említett direkt módszerek közé sorolandó. Vagyis az eljárás alapötlete az, hogy kiválasztunk néhány input qubitot, ezeknek vesszük független kópiáit, a kópiák mindegyikére hattatjuk a Pauli csatornát, majd az így keletkezett output qubitok Bloch koordinátáira mérések segítségével becsléseket adunk, ezekb l a becslésekb l pedig a csatornaparaméterekre vonatkozó becsléseket készítünk. 7

8 Ennek az alapötletnek a matematikai kidolgozásával foglalkoznak a következ fejezetek. El bb tekintjük a paraméterbecslési feladat egy egyszer sítését, melynek lényege, hogy a Pauli csatorna némely paraméterét ismertnek tekintjük, rögzítjük. Így az ismeretlen paraméterek száma csökken, a feladat technikailag egyszer södik. Az egyszer bb probléma elemzése olyan tapasztalatokkal gazdagít, amelyek az általános probléma vizsgálatakor hasznosnak bizonyulnak. Az egyszer sített eset tárgyalása után rátérünk az eredeti problémára.. Az egyszer sített eset Tegyük fel, hogy a csatornairányokat kijelöl {v j } 3 j= M s.a. C ortonormált bázis és a λ, λ, λ 3 kontrakcióparaméterek meghatározta E Pauli csatornáról a következ ket tudjuk: v 3 = σ 3 és λ 3 = 0.. Tekintsük az állapottér következ részét: { } S C = I + θ σ + θ σ : θ, θ R, θ + θ.. A konstrukcióból adódik, hogy ρ S C a Bloch-gömb és az e, e standard bázisvektorok kifeszítette sík metszete. Tehát ρ S C = B R. Könnyen ellen rizhet, hogy RangeE S C, és RangeE S C = RangeE,.3 vagyis a leképezés megszorításával a képtér nem csökken. Tehát elegend az E := E S C leképezést vizsgálni, amely a következ képpen írható le: E : S C S C ; ρ = I + θ i v i E ρ = I + λ i θ i v i..4 i= Az. deníció mintájára az E leképezéshez is lehet csatornamátrixot deniálni. 3. Deníció. Az A : B B leképezést az E egyszer sített Pauli csatorna csatornamátrixának nevezzük, ha E ρ = ρ A..5 Az. lemma bizonyítását szinte lépésr l lépésre megismételve igazolható, hogy A az R tér egy ortogonális bázisban diagonalizálható leképezése. Ebb l adódik, hogy a. lemma analogonja is kimondható az egyszer sített esetben. 3. Lemma. Bármely egyszer sített Pauli csatornát reprezentáló A mátrix el áll alakban, ahol Aλ, λ, φ = RφΛλ, λ Rφ.6 cos φ sin φ Rφ = sin φ cos φ λ 0, Λλ, λ = 0 λ 0 φ < π, és λ = λ φ = 0, valamint a λ λ, λ 3 = 0 számok kielégítik.7-et. A paramétertartomány λ = λ φ = 0 sz kítése miatt a fenti paraméterezés bijektív. 8 i=,

9 .. A becslési eljárás tényez i Az E egyszer sített Pauli csatorna tomográájához két input qubitot és két különböz Neumann-mérést választunk. Az input állapotok legyenek S C -ben, hiszen ez E értelmezési tartománya. S C deníciója alapján az input qubitok R -beli Bloch-vektorokkal íratóak le, ezeket jelöljük θ, θ -vel. Érdemes θ -et és θ -t mer legesnek és egységnyi hosszúnak választani [], []. Ezek alapján [θ, θ ] = Rϑ,.7 ahol R ugyanazt a forgatást jelöli, mint.6-ben, és ϑ R. Tehát a kiválasztott input állapotok egyetlen valós szögparaméterrel jellemezhet k. Végiggondoljuk, hogy a Neumann-mérések esetében is hasonló a helyzet. 4. Lemma. A qubit esetben az {M, I M} POVM pontosan akkor nemtriviális Neumannmérés, ha M egyrangú projekció. Az egyrangú projekciók éppen az egységnyi hosszú Blochvektorral reprezentálható s r ségi mátrixok. Bizonyítás. Az állítás els fele nyilvánvaló. Másrészt M egy-rangú projekció M = M és M két sajátértéke µ =, µ = 0 M = M és TrM =, DetM = 0, ez utóbbi 3 tulajdonság pedig jól láthatóan pontosan akkor teljesül, ha M a Bloch-gömb felszínén van. A lemma alapján a Neumann-mérések egységnyi hosszú Bloch-vektorokkal ábrázolhatók. A Neumann-mérés irányán a reprezentáns Bloch-vektor irányát értjük. Mivel E egy σ 3 -ra mer leges an altéren hat, ezért olyan Neumann-méréseket választunk, hogy mindkét POVM mindkét eleme mer leges legyen σ 3 -ra. 5. Lemma. Ha M M C és M, σ 3 = TrMσ 3 = 0, akkor I M, σ 3 = Tr I Mσ 3 = 0. Továbbá, ha M s r ségi mátrix, melyet az m Bloch-vektor reprezentál, akkor I M-nek a m Bloch-vektor felel meg. Bizonyítás. Egyrészt Tr I Mσ 3 = Trσ 3 TrMσ 3 = 0 0 = 0. Másrészt M = I + 3 i= m iσ i I M = I 3 i= m iσ i. A lemma alapján elegend és persze szükséges M-et σ 3 -ra mer legesnek választani, és az is láthatóvá vált, hogy egy egységhosszú Bloch-vektor és az ellentettje ekvivalens Neumann-mérést reprezentál. Ha M = I + 3 i= m iσ i, akkor TrMσ 3 = m 3, tehát a Neumann-méréseket ábrázoló vektorokra vonatkozó feltétel egyszer en m 3 = 0. Tehát a mérések is R -beli vektorokkal azonosíthatóak, és ismert, hogy a két reprezentáns vektort jelöljük ezeket m, m -vel érdemes mer legesnek választani []. Tehát ahol τ R. [m, m ] = Rτ,.8 9

10 .. A csatornamátrix becslése A csatornatomográa els lépése a.5 egyenlettel deniált A csatornamátrix becslése a.. alfejezetben jellemzett input állapotok és mérések segítségével. 6. Lemma. Ha az {M, I M} Neumann-mérést a ρθ állapotban lév rendszeren elvégezzük, akkor ahol m = m, m, m 3 az M-et jelöl Bloch vektor. ProbM-et mérjük = + m θ,.9 Bizonyítás. ProbM-et mérjük = TrρθM = = Tr I + θ σ + θ σ + θ 3 σ 3 I + m σ + m σ + m 3 σ 3 = = 4 + m θ = + m θ,.0 hiszen a Pauli bázis ortogonális, a bázisvektorok normanégyzete. Ezt a lemmát majd a teljes becslési feladat vizsgálatakor is felhasználjuk. Jelölje θ és θ a E ρ θ és a E ρ θ output állapotok Bloch-vektorait. Ekkor a csatornamátrix deníciója szerint Tehát.6 és.7 alapján [θ, θ ] = Aλ, λ, φ [θ, θ ].. [θ, θ ] = RφΛλ, λ Rφ Rϑ.. Az els feladat az output állapotok Bloch-koordinátáinak becslése. Ehhez a j. inputnak tekintjük N kópiáját, ezeken hattatjuk az E leképezést. Az így kapott N output qubiton Neumann-méréseket végzünk, mindkét mérési irányban N-et. N a becslési eljárás fontos paramétere, a továbbiakban mérésszámnak nevezzük. Jelöljük N + ij -val azon események számát, amikor a j. output állapotban az i. irányban mérve vagyis az {M i, I M i } POVM-et mérve M i a mérés kimenetele. Legyen x ij = m i θ j, X = {x ij } i,j=. A 6. lemmából és a kópiák függetlenségéb l következik, hogy N + ij = Binom N, + x ij..3 A binomiális eloszlás tulajdonságaiból adódik, hogy E N + ij N = + x ij, Var N + + x ij ij = N + x ij = N 4 x ij..4 Ebb l az alakból látszik, hogy x ij -re torzítatlan becslés adható, melynek varianciája N -es nagyságrendben lecseng: ˆx ij := N N + ij..5 0

11 Bizonyítás. E ˆx ij = N N + x ij = x ij, Var ˆx ij = 4 N N 4 x ij = x ij..6 N Az M = [m, m ], Θ = [θ, θ ], Θ = [θ, θ ], ˆX = {ˆxij } i,j=.7 jelöléseket bevezetve, deníció szerint.8-ba.8-at és.-t behelyettesítve azt kapjuk, hogy A forgatások szögparaméterei összeadódnak, így X = M T Θ,.8 X = Rτ T RφΛλ, λ Rφ Rϑ..9 X = Rφ τλλ, λ Rϑ φ..0 M ortogonális, így.8 átrendezhte az MX = Θ alakba, tehát az output qubitok koordinátáira vonatkozó becslést adjuk meg a egyenlettel. A.7-ben bevezetett jelölésekkel. a ˆΘ := M ˆX.. Θ = Aλ, λ, φθ. alakot ölti. Ennek az egyenletenek az A = Θ Θ ekvivalens alakja mutatja, hogy mi legyen a csatornamátrixra vonatkozó becslés:  := ˆΘ Θ,.3 vagyis  := M ˆXΘ = Rτ ˆXRϑ A csatornaparaméterek becslése A csatornaparaméterezés invertálásával kapjuk a csatornamátrixra vonatkozó becslésb l a paraméterek esetünkben λ, λ és φ becslését. A paraméterezést a.6 egyenlet írja le, amely kézzelfoghatóbbá válik, ha elvégezzük a mátrixszorzást: Aλ, λ, φ = λ cos φ + λ sin φ λ λ sin φ cos φ λ λ sin φ cos φ λ sin φ + λ cos φ..5 Meg kell tehát konstruálni az A : D M R; λ, λ, φ Aλ, λ, φ leképezés D R 3 a 3. lemmában meghatározott paramétertartomány inverzének egy kiterjesztését, vagyis egy olyan T : M R R 3 ;  ˆλ, ˆλ, ˆφ.6

12 leképezést, melyre T A = Id D.7 teljesül. Az inverz kiterjesztése azért lényeges, mert az  valószín ségi változó RangeA-n kívül es értékeket is felvehet. Vezessük be az a a â â = A, = a a â â Â.8 jelöléseket. T konstrukciójának els lépése, hogy Â-t szimmetrizáljuk:  s :=  +  T. A csatornamátrixok szimmetrikusak, így a RangeA-beli elemeket ez a lépés xen hagyja..6 mutatja, hogy az Aλ, λ, φ mátrix sajátértékei a λ, λ paraméterek. Ezért a kontrakcióparamétereket becsüljük Âs sajátértékeivel: ˆλ, = Tr s ± Tr s 4Det  s = = â + â ± â â + â + â 4 â â = â + â ± â + â 4â â + â + â = â + â ± â â + â + â..9  s szimmetrikus, ezért R valamely mer leges bázisában diagonális. Ha ˆλ > ˆλ, akkor egyértelm en létezik ˆφ [0, π, hogy Âs = R ˆφΛˆλ, ˆλ R ˆφ. Ha ˆλ = ˆλ, akkor Âs skalármátrix, így Âs = R ˆφΛˆλ, ˆλ R ˆφ ˆφ [0, π..5-b l leolvasható, hogy ha λ > λ és φ / {0, π }, akkor a a a + a = cotφ és φ > π a = a < Ha λ > λ és φ {0, π }, akkor φ = 0 a > a, φ = π a < a. Ha λ = λ, akkor a paramétertartomány megválasztása miatt φ = 0. Tehát a szögparaméter becslése az alábbi esetszétválasztással adható meg.. Ha Âs nem diagonális azaz â + â 0, akkor ˆφ = â â arccot + {â + â < 0}π,.3 â + â ahol arccot értékkészletét 0, π-nek választjuk.. Ha Âs diagonális, akkor â = â ˆφ = 0 ez a skalármátrix esete. Továbbá â > â ˆφ = 0, â < â ˆφ = π.

13 3. A csatornabecslés hatékonyságát leíró mennyiségek Az el z fejezetben leírt paraméterbecslés hatékonysága függ a becslési eljárás tényez inek Neumann-mérések, input qubitok, mérésszám megválasztásától, és a becslés tárgyától, a Pauli csatornától is. Az input állapotokat és a méréseket a.. alfejezetben bevezetett szögparaméterekkel írjuk le, így egy becslési stratégia a τ, ϑ, N paraméterhármassal jellemezhet. A Pauli csatornát a λ, λ, φ paraméterek írják le. A becslési stratégia hatékony megválasztása kísérlettervezésre ad lehet séget. Egy becslés hatékonyságát természetes módon jellemzi az átlagos négyzetes hibája. Ebben a dolgozatban három ilyen jelleg mennyiséggel foglalkozunk. Az els kett a szögparaméter illetve a kontrakcióparaméterek becslésének átlagos négyzetes hibája. A harmadik a becsült paraméterekhez tartozó csatornamátrix és a valódi csatornamátrix átlagos négyzetes távolsága. Vezessük tehát be a következ mennyiségeket: g λ, λ, φ, τ, ϑ, N = E dist ˆφ, φ 3. g λ, λ, φ, τ, ϑ, N = E ˆλ λ + ˆλ λ 3. g 3 λ, λ, φ, τ, ϑ, N = E Aˆλ, ˆλ, ˆφ Aλ, λ, φ, 3.3 ahol a Hilbert-Schmidt norma. A paraméterezés szempontjából ekvivalens szögeket azonosítjuk, és a becslés hibáját is ennek megfele en mérjük. Vagyis dist ˆφ, φ := inf{ ˆφ φ + kπ : k Z}. 3.4 A paramétertartományt úgy választottuk, és a ˆφ becslést úgy konstruáltuk, hogy φ, ˆφ [0, π, ezért valójában inf{ ˆφ φ + kπ : k Z} = min{ ˆφ φ + kπ : k {, 0, }}. 3.5 Tehát dist ˆφ, φ könnyen számolható. A kísérlettervezési feladat nem más, mint az adott Aλ, λ, φ egyszer sített Pauli csatornát leghatékonyabban becsl stratégia megkeresése. Ha a mérésszámot caeteris paribus növeljük, a paraméterbecslés hatékonysága n, ezért az optimumot x N mellett keressük. Tehát a cél a τ, ϑ g i λ, λ, φ, τ, ϑ, N i {,, 3} 3.6 függvények minimalizálása adott λ, λ, φ, N értékek mellett. 3.. Alapozó lemmák A g, g, g 3 függvények analízise összetett feladat, ezért el ször segédállításokat fogalmazunk meg. 7. Lemma Forgatásinvariancia. Legyen δ R tetsz leges. Becsüljük az A = Aλ, λ, φ csatorna mátrixát és paramétereit a τ, ϑ, N paraméter becslési stratégiával, a becslések legyenek Â,s, ˆλ, ˆλ, ˆφ. Az A = Aλ, λ, φ + δ csatornát becsüljük a τ + δ, ϑ + δ, N paraméter eljárással, az így kapott becslések legyenek Â,s, ˆλ, ˆλ, ˆφ. Ekkor Â,s = RδÂ,sRδ, 3.7 3

14 következésképpen ˆλ = ˆλ, ˆλ = ˆλ, 3.8 ˆφ = ˆφ + δ mod π 3.9 és Â,s A = Â,s A. 3.0 Bizonyítás..0-b l látszik, hogy Xφ, τ, ϑ, λ, λ = Xφ + δ, τ + δ, ϑ + δ, λ, λ. 3..3,.5 és.7 mutatja, hogy a paraméterbecslések forrása, az ˆX valószín ségi változó eloszlása csak X-t l függ. Tehát a két becslési eljárás esetében ˆX azonos eloszlású ˆX d = ˆX. Ezért, az ˆX = ˆX = ˆX jelölést bevezetve,.4 alapján  = Rτ + δ ˆXRϑ + δ = RδRτ ˆXRϑ Rδ = RδÂRδ. 3. Ebb l következik, hogy a szimmetrizált becslésekre Â,s = RδÂ,sRδ, 3.3 teljesül, vagyis Â,s és Â,s hasonlóak. Hasonló mátrixok sajátértékei megegyeznek, így ˆλ = ˆλ, ˆλ = ˆλ. 3.4 Másrészt Â,s = R ˆφ Λˆλ, ˆλ R ˆφ, 3.5 így Â,s = RδR ˆφ Λˆλ, ˆλ R ˆφ Rδ = R ˆφ + δλˆλ, ˆλ R ˆφ + δ. 3.6 Ebb l az eredményb l és az Â,s = R ˆφ Λˆλ, ˆλ R ˆφ 3.7 összefüggésb l következik, hogy ˆφ = ˆφ + δ mod π. 3.8 Végül A = RδA Rδ, így Â,s A = RδÂ,sRδ RδA Rδ = = Rδ Â,s A Rδ = Â,s A, 3.9 mert az ortogonális mátrixszal konjugálás nem változtatja a Hilbert-Schmidt normát. 4

15 A lemma egyszer következménye, hogy ˆλ i λ i = ˆλ i λ i i {, }, dist ˆφ, φ = dist ˆφ, φ + δ. 3.0 A 3.5 és 3.7 egyenletek mutatják, hogy így a lemma 3.0 állítása az  i,s = Aˆλ, ˆλ, ˆφ i i {, }, 3. Aˆλ, ˆλ, ˆφ Aλ, λ, φ = Aˆλ, ˆλ, ˆφ Aλ, λ, φ + δ 3. alakot ölti. Azonos valószín ségi változók várható értéke megegyezik, így ha a 3.0 és 3. egyenleteket összevetjük a g, g, g 3 függvények deníciójával, azt kapjuk, hogy g i λ, λ, φ + δ, τ + δ, ϑ + δ, N = g i λ, λ, φ, τ, ϑ, N δ R, i {,, 3}. 3.3 Tehát valamennyi célfüggvény invariáns a szögparaméterek összehangolt megváltoztatására. Ez azt jelenti, hogy az egyik szögparaméter rögzíthet : elegend a φ = 0 szögparamétr csatornákat vizsgálni, hiszen g i λ, λ, φ, τ, ϑ, N = g i λ, λ, 0, τ φ, ϑ φ, N i {,, 3}. 3.4 A továbbiakban el fordul, hogy a számolást áttekinthet bbé teszi, ha a -es mátrixokat a mátrixegységek alkotta bázis szerint kifejtjük, és a reprezentáns vektorokkal dolgozunk. Egy alapvet számolási szabályt rögzít a következ állítás, amely direkt számolással bizonyítható. 8. Lemma. Legyen B, J M n R, ekkor az L B R J : M n R M n R; X BXJ leképezés lineáris, és L B R J mátrixa B J T M n R. Vagyis, ha az x,..., x n, x,..., x n,..., x n,..., x nn R számokat az X = n i,j= x ije ij egyenlet deniálja ahol {E ij } n i,j= a mátrixegységekb l álló bázis, és hasonlóan, az y,..., y n, y,..., y n,..., y n,..., y nn R számok a BXJ = n i,j= y ije ij egyenlettel adottak, akkor y,..., y n, y,..., y n,..., y n,..., y nn T = B J T x,..., x n, x,..., x n,..., x n,..., x nn T. 3.5 A következ állítás els felét a els torzítatlansági lemma bizonyításában is használni fogjuk, a második felének pedig kés bbi bizonyításokban lesz fontos szerepe. 9. Lemma. Ortogonális mátrixok tenzorszorzata is ortogonális, és ha ortogonális mátrix elemeit négyzetre emeljük, akkor duplán sztochasztikus mátrixot kapunk. 5

16 Bizonyítás. Ha O, O M n R ortogonálisak, akkor O O O O T = O O O T O T = O O T O O T = I n I n = I n. 3.6 Teljesen hasonlóan belátható, hogy O O T O O = I n. 3.7 Tehát O O ortogonális, így többek között O O = O T O T. A duplán sztochasztikus tulajdonság abból adódik, hogy ortogonális mátrix minden sora és minden oszlopa egységnyi hosszúságú vektor az euklidészi normában. 0. Lemma Torzítatlanság I. A csatornamátrix becslése torzítatlan, azaz Eâ ij = a ij, ahol {a ij } i,j= az Aλ, λ, φ csatornamátrix elemei, {â ij } i,j= pedig a.4-ban deniált  becslés elemei. Bizonyítás..6-ban láttuk, hogy Eˆx ij = x ij. A 8. lemma alapján.4 így írható fel a reprezentáns vektorok segítségével: vagyis â â â â =  = Rτ Rϑ ˆX, 3.8 cos τ cos ϑ cos τ sin ϑ sin τ cos ϑ sin τ sin ϑ cos τ sin ϑ cos τ cos ϑ sin τ sin ϑ sin τ cos ϑ sin τ cos ϑ sin τ sin ϑ cos τ cos ϑ cos τ sin ϑ sin τ sin ϑ sin τ cos ϑ cos τ sin ϑ cos τ cos ϑ ˆx ˆx ˆx ˆx. 3.9 Jelölésben nem különböztetjük meg a -es mátrixot és a reprezentáns vektorát. A várható érték linearitása miatt E = Rτ Rϑ E ˆX = Rτ Rϑ X Másrészt az oszlopvektoros formalizmusban.9 az X = Rτ T Rϑ T A alakot ölti, így Rτ T Rϑ T = Rτ Rϑ miatt 3.30 és 3.3 összevetésével kapjuk a bizonyítandó állítást. A = Rτ Rϑ X. 3.3 Ha i k vagy j l, akkor ˆx ij és ˆx kl függetlenek, hiszen független mérések kimeneteleib l számítandóak. Tehát 3.9 megmutatja, hogyan állnak el az â ij becslések független valószín ségi változók lineáris kombinációjaként: â k = l H c kl τ, ϑ ˆx l, 3.3 ahol H = {,,, }, k H.. Lemma. Legyen ψ = k H d kâ k d k R. Ekkor Var ψ = x d k c kl τ, ϑ l N l H k H 6

17 Bizonyítás. 3.3 alapján ψ = d k â k = d k c kl τ, ϑ ˆx l = d k c kl τ, ϑ ˆx l k H k H l H l H k H x ij. Innen az összeadandók független-.6-ban kiszámoltuk, hogy Varˆx ij = N ségéb l következik a bizonyítandó állítás. 3.. Nemlineáris paraméterbecslések közelítése A 3.-ben és 3.-ben deniált g, g függvények kezelése azért nehéz, mert a ˆλ, ˆλ, ˆφ paraméterbecslések nem lineárisak lásd.9,.3. Azonban lineáris becsléseket kapunk, ha a ˆλ, ˆλ, ˆφ függvényeket melyek M R R leképezések, argumentumuk a becsült csatornamátrix, vagyis  az els rend Taylor-polinomjukkal közelítjük. A linearizálás bázispontja legyen az argumentum várható értéke. A. lemma alapján Var â ij = O N, így ha N elég nagy, az  valószín ségi változó eloszlása az E egy kis környezetére koncentrálódik, tehát ekkor az E bázispontú Taylor-polinom jó közelítés. A T : M R R 3 ;  ˆλ, ˆλ, ˆφ paraméterbecslés az A : R 3 D M R; λ, λ, φ Aλ, λ, φ 3.35 csatornaparaméterezés balinverze.7, ezért a deriváltjára teljesül. A deriváltját a dt Aλ, λ, φ = daλ, λ, φ 3.36 da = a λ a a λ a a φ a λ a λ λ a λ φ a φ 3.37 alakban fogjuk felírni..5-b l rövid számolás után adódik, hogy cos φ sin φ λ λ sin φ daλ, λ, φ = sin φ cos φ λ λ sin φ sin φ λ λ cos φ A 7. lemma eredménye forgatásinvariancia miatt kitüntetett szerepe van a φ = 0 szögparaméternek, így érdemes megjegyezni, hogy 3.38 alapján 0 0 daλ, λ, 0 = λ λ T konstrukciójából adódik, hogy T = T M s R S,

18  +  T ahol M s R M R a szimmetrikus mátrixok altere, S pedig az  szimmetrizálás. Vezessük be az â,s = â + â jelölést. A 3.39-beli mátrix invertálásával kapjuk, hogy az Aλ, λ, 0 helyen ˆλ â = ˆλ â =, ˆφ â,s = λ λ, 3.4 és minden más parciális derivált elt nik. Alkalmazzuk a láncszabályt a 3.40 egyenletre, ezzel a paraméterbecslések deriváltját kapjuk.. Lemma. A bevezetett jelöléseket megtartva ˆλ â = ˆλ â =, ˆφ = ˆφ = â â és dt minden más komponense zérus az Aλ, λ, 0 helyen. λ λ 3.4 A 0. lemma szerint E = A, ezért a paraméterbecslések λ i, φ-vel jelölt E bázispontú lineáris közelítései a következ becslések: λ i = ˆλ i A + ˆλ i â A â a + + ˆλ i â A â a i {, }, 3.43 φ = ˆφA + ˆφ A â a + + ˆφ A â a â â Tömörebb jelöléssel: λ i = ˆλ i A + gradˆλ i A,  A, φ = ˆφA + grad ˆφA,  A A paraméterbecslések els rend közelítésével deniálhatjuk a g, g függvények egy közelítését: g λ, λ, φ, τ, ϑ, N = E φ φ, 3.46 g λ, λ, φ, τ, ϑ, N = E λ λ + λ λ Lemma Torzítatlanság II. A λ i i {, }, φ linearizált becslések torzítatlanok. Bizonyítás. E λ i = Eˆλ i A + E gradˆλ i A,  A = ˆλ i A + gradˆλ i A, E A = = ˆλ i A + 0 = λ i Itt kihasználtuk, hogy a csatornamátrix becslése torzítatlan 0. lemma, valamint azt, hogy a paraméterbecslés a csatornaparaméterezés balinverze, tehát ˆλ i Aλ, λ, φ = λ i i {, } Mivel ˆφ Aλ, λ, φ = φ, így teljesen hasonlóan belátható, hogy E φ = E ˆφA + E grad ˆφA,  A = φ

19 Következmény. g λ, λ, φ, τ, ϑ, N = Var φ, 3.5 g λ, λ, φ, τ, ϑ, N = Var λ + Var λ mutatja, hogy a linearizált paraméterbecslések az A csatornamátrix elemeire vonatkozó becslések lineáris kombinációi additív konstanstól eltekintve. Az ilyen típusú becslések szórása a. lemma 3.33 eredménye alapján számolható. Tehát g és g zárt alakban felírható A φ = 0 paraméter csatorna vizsgálata A forgatásinvarianciának nevezett jelenség lásd 3.4 miatt elegend a φ = 0 paraméter csatornák paraméterbecsléseinek hatékonyságát vizsgálni. A. lemma 3.4 eredménye alapján a φ = 0 esetben 3.45 a következ alakban írható: Tehát ebben az esetben λ = ˆλ Aλ, λ, 0 + â a, 3.53 λ = ˆλ Aλ, λ, 0 + â a, 3.54 φ = ˆφ Aλ, λ, 0 + λ λ â a + â a Var λ = Varâ, Var λ = Varâ, 3.56 Var φ = A szokásos jelöléseket megtartva Aˆλ, ˆλ, ˆφ = Âs, így 4λ λ Var â + â Aλ, λ, φ Aˆλ, ˆλ, ˆφ = Aλ, λ, φ Âs = = â a + â a + â + â a + â + â a = = â a + â a + â a + â a, 3.58 hiszen a = a. Â torzítatlanságából Eâ ij = a ij és 3.58-b l következik, hogy E Aλ, λ, φ Aˆλ, ˆλ, ˆφ = Varâ + Varâ + Varâ + â Ez utóbbi állítás tetsz leges φ esetén igaz. Összegzés. A minimalizálandó g, g, g 3 célfüggvények a φ = 0 esetben: g λ, λ, 0, τ, ϑ, N = 4λ λ Var â + â, 3.60 g λ, λ, 0, τ, ϑ, N = Varâ + Varâ, 3.6 g 3 λ, λ, 0, τ, ϑ, N = Varâ + Varâ + Varâ + â

20 4. Optimalizálás az egyszer sített esetben Ebben a fejezetben a 3. fejezet bevezetésében leírt kísérlettervezési feladat megoldásával foglalkozunk, tehát az iménti összegzésben szerepl mennyiségeket minimalizáljuk. 4.. A csatornamátrixot legjobban becsl eljárás 4. Tétel. g 3 λ, λ, 0, τ, ϑ, N 3 λ N + λ, 4. és 4. egyenl séggel teljesül, ha τ = ϑ = 0. Bizonyítás. g 3 λ, λ, 0, τ, ϑ, N = Varâ + Varâ + Varâ + â = = Varâ + Varâ + Varâ + Varâ Varâ â. 4. A. lemma alapján 3.9-b l következik, hogy Var â cos τ cos ϑ cos τ sin ϑ sin τ cos ϑ sin τ sin ϑ Var â Var â = cos τ sin ϑ cos τ cos ϑ sin τ sin ϑ sin τ cos ϑ N sin τ cos ϑ sin τ sin ϑ cos τ cos ϑ cos τ sin ϑ Var â sin τ sin ϑ sin τ cos ϑ cos τ sin ϑ cos τ cos ϑ A 4.3-beli együtthatómátrix a 9. lemma szerint duplán sztochasztikus, így x x x x 4.3. Varâ + Varâ + Varâ + Varâ = N 4 x + x + x + x. 4.4 Másrészt ugyancsak a. lemma szerint Varâ â = c,l τ, ϑ c,l τ, ϑ x l N. 4.5 l H l H c,l τ, ϑ c,l τ, ϑ =, hiszen mer leges, egységhosszú vektorok különbségének norma-négyzete. N x l l H, így N l H vagyis Varâ â N. Végül.0 alapján: c,l τ, ϑ c,l τ, ϑ x l N N, 4.6 x + x + x + x = TrXX T = = Tr R τλλ, λ RϑRϑ T Λλ, λ T R τ T = λ + λ, 4.7 ezzel a 4. egyenl tlenséget beláttuk. Könny ellen rizni, hogy a τ = ϑ = 0 esetben Varâ = N λ, Varâ = N λ, Varâ â =, így a minimum N felvétetik. 0

21 Megjegyzés. Többet is állíthatunk: 4. akkor és csak akkor teljesül egyenl séggel, ha τ = ϑ = 0 mod π. Feltéve, hogy a csatorna nem elfajuló: λ > λ. Bizonyítás. A Varâ, Varâ, Varâ + â mennyiségek a 3.33 képlet szerint számolhatóak τ, ϑ, X és N ismeretében, az x ij λ, λ, τ, ϑ i, j {, } elemek pedig a.9 egyenlettel adottak, ezért g 3 λ, λ, 0, τ, ϑ, N explicit módon kifejezhet : a szükséges algebrai átalakításokat elvégezve adódik, hogy g 3 λ, λ, 0, τ, ϑ, N = = 48 3λ 6N + λ λ λ λ λ cos4τ + cos4ϑ λ + λ cos4ϑ τ. 4.8 Fix λ > λ, N mellett ez a kifejezés pontosan akkor minimális, ha cos4τ = cos4ϑ =, vagyis akkor és csak akkor, ha τ = ϑ = 0 mod π. Ellen rzésképpen meggondolható, hogy 4.8 minimuma 3 N λ + λ. Gyakorlati következmény. Tehát az optimális becsléshez az input állapot, a Neumannmérés és a csatorna irányának meg kell egyeznie. 4.. A kontrakcióparamétereket legjobban becsl eljárás 5. Tétel. g λ, λ, 0, τ, ϑ, N λ N + λ, 4.9 és 4.9 egyenl séggel teljesül, ha τ = ϑ = 0. Bizonyítás. g λ, λ, 0, τ, ϑ, N = Varâ + Varâ = = Varâ + Varâ + Varâ + Varâ Varâ + Varâ. 4.0 A. lemma alapján Varâ + Varâ = l H c,l τ, ϑ x l N + l H c,l τ, ϑ x l N. 4. Tehát Varâ + Varâ l H c,l τ, ϑ N + c,l τ, ϑ N N, 4. l H mert a 4.3-beli együtthatómátrix duplán sztochasztikus. 4.0-be helyettesítve azt kapjuk, hogy 4.4 és 4.7 eredményét Varâ + Varâ N 4 λ + λ N, 4.3 ezzel a 4.9 egyenl tlenséget beláttuk. Könny ellen rizni, hogy a τ = ϑ = 0 esetben Varâ = N λ, Varâ = N λ, így a minimum felvétetik. Megjegyzés. Tegyük fel, hogy λ 0 vagy λ 0. Ebben az esetben 4.9 pontosan akkor teljesül egyenl séggel, ha τ = ϑ = 0 mod π.

22 Bizonyítás. A 5. tétel ezen er sítését hasonló módszerrel bizonyítjuk, mint a 4. tétel kiegészítését. A 3.33 képlet alapján a Varâ, Varâ mennyiségeket fel lehet írni τ, ϑ, X és N függvényeként, a.9 egyenlet szerint pedig X-et lehet λ, λ, τ és ϑ függvényeként felírni. Tehát g λ, λ, 0, τ, ϑ, N explicit módon kifejezhet : g λ, λ, 0, τ, ϑ, N = = 6 5λ 8N + λ λ + λ cos 4ϑ + cos 4τ + cos 4ϑ cos 4τ + λ λ sin 4ϑ sin 4τ. 4.4 B vítsük a fenti kifejezést λ λ cos 4ϑ cos 4τ-val. Legyen F = λ + λ cos 4ϑ + cos 4τ, F = λ λ cos 4ϑ cos 4τ + sin 4ϑ sin 4τ = λ λ cos4τ ϑ, F 3 = λ + λ λ λ cos 4ϑ cos 4τ = λ λ cos 4ϑ cos 4τ. Ekkor g λ, λ, 0, τ, ϑ, N = 6 5λ 8N + λ F + F + F F pontosan akkor veszi fel a maximumát, ha τ = ϑ = 0 mod π. F maximális, ha τ = ϑ mod π. F 3 maximális, ha τ = ϑ = 0 vagy τ = ϑ = π 4 mod π. A fenti három megjegyzésb l és 4.5-b l következik, hogy g pontosan akkor minimális, ha τ = ϑ = 0 mod π. Könnyen ellen rizhet, hogy 4.4 minimuma N λ + λ. Gyakorlati következmény. Tehát nemcsak a csatornamátrix, hanem a kontrakcióparaméterek becslése is pontosan akkor optimális, ha az input állapot, a Neumann-mérés és a csatorna iránya megegyezik A szögparamétert legjobban becsl eljárás 6. Tétel. Tegyük fel, hogy λ > λ, λ 0 és λ λ.. Ha λ + λ λ λ, akkor g λ, λ, 0, τ, ϑ, N minimuma pontosan akkor vétetik fel, ha τ = ϑ = π mod π. A minimum: 4 g λ, λ, 0, π 4, π 4, N = 4 λ + λ 4λ λ. 4.6 N. Ha λ + λ < λ λ, akkor g λ, λ, 0, τ, ϑ, N minimuma pontosan akkor vétetik fel, ha τ = ϑ { 4 arccos λ + λ + kπ λ λ, π 4 arccos λ + λ + kπ }. λ λ k Z 4.7 A minimum: g λ, λ, 0, τ opt, ϑ opt, N = 4 λ 4λ λ + λ N λ + λ 4. 8 λ λ 4.8

23 Bizonyítás. g λ, λ, 0, τ, ϑ, N = 4λ λ Var â + â = 4λ λ 8N 6 3λ + λ λ λ + λ + λ cos 4τ + cos 4ϑ + λ λ cos 4τ + ϑ. 4.9 A 4.9-beli kifejezést kell minimalizálni x λ, λ, N számok mellett, ez egy kétváltozós széls érték-probléma. A τ és ϑ szerinti parciális deriválásokból adódik, hogy ha τ, ϑ lokális széls értékhely, akkor λ + λ sin4ϑ = λ λ sin4ϑ + τ, 4.0 λ + λ sin4τ = λ λ sin4ϑ + τ. 4. λ + λ 0, így 4.0 és 4. következménye, hogy sin4ϑ = sin4τ. Egy elemi trigonometriai észrevétel szerint, ha ez esetben 4ϑ 4τ mod π, akkor sin4ϑ+4τ = 0. Tehát a 4., 4. egyenletek szerint ekkor τ = 0, ϑ = π mod π, vagy τ = π, ϑ = mod π. Az viszont 4.9-ból leolvasható, hogy τ = ϑ = π mod π mindig jobb lesz 4 ezeknél a helyeknél, hiszen λ + λ + λ λ λ λ pontosan akkor teljesül egyenl séggel, ha λ = 0, azonban feltettük, hogy λ 0. Tehát minimumhely csak a τ = ϑ vonalon lehet. Ez azt jelenti, hogy az optimalizálási feladat egyváltozós széls értékkereséssé válik: tegyük fel mostantól, hogy τ = ϑ. Ekkor 4.9-ból leolvasható a minimalizálandó kifejezés: F λ,λ τ := λ + λ cos 4τ + λ λ cos 8τ min τ-ban π -periodikus, így a számolások során feltesszük, hogy τ [ 0, π.. F λ,λ τ = 0 akkor és csak akkor, ha λ +λ sin4τ = λ λ sin4τ cos4τ, vagyis ha { τ 0, π } vagy cos4τ = λ + λ 4 λ λ F λ,λ τ = 3 λ + λ cos 4τ + λ λ cos 8τ. 4.5 Ez τ = 0-ban negatív λ, λ -t l függetlenül, így ott lokális maximum van. τ = π 4 - ben pontosan akkor pozitív, ha λ + λ > λ λ. Tehát ha λ +λ > λ λ, akkor 4.4-ból és a koszinusz függvény korlátosságából következik, hogy a lehetséges lokális széls értékhelyek: τ = 0 és τ = π. λ 4 + λ > λ λ, így τ = π lokális minimumhely. Korábban láttuk, hogy τ = 0 lokális 4 maximumhely. Más lokális minimumhely nincsen, így π -ben globális minimum van. 4 Ha λ + λ = λ λ, akkor 4.4 ismét azt mutatja, hogy ha τ lokális széls értékhely, akkor τ {0, π }. τ = 0 lokális maximumhely, így az egyetlen lehetséges lokális 4 minimumhely a τ = π. A Weierstrass-tétel szerint folytonos, periodikus függvénynek van 4 minimumhelye, tehát τ = π globális minimumhely. 4 3

24 Ha λ + λ < λ λ, akkor τ = 0 és τ = π is lokális maximumhelyek. Tehát szerint a lehetséges lokális minimumhelyek: {τ : cos4τ = λ + λ [0, λ λ, τ π } = { = 4 arccos λ + λ, π λ λ 4 arccos λ } + λ. 4.6 λ λ 4.3-ból látható, hogy F λ,λ τ F λ,λ π τ, így a Weierstrass-tétel miatt mindkét lehetséges minimumhelyen felvétetik a globális minimum. A minimumra vonatkozó állítások 4.6 és 4.8 adódnak, ha visszahelyettesítünk 4.9-be. Példa. Ha λ =, λ = 0, akkor g minimuma τ = ϑ = π-ban illetve τ = ϑ = π -ban van. 6 3 Megjegyzés Átfedés. A minimumhely és a minimum a kontrakcióparaméterek függvényében folytonosan változnak. Könnyen ellen rizhet, hogy ha λ + λ = λ λ, akkor 4.7 azt adja, hogy τ = ϑ = π mod π, és ebben az estben a 4.6 és képletek ugyanazt az eredményt adják. Gyakorlati következmény. A szögparaméterek optimális becsléséhez az input állapot és a mérés irányának meg kell egyeznie, azonban ez az irány általában nem azonos a csatorna irányával, és a kontrakcióparaméterekt l is függ. 5. Általános qubit Pauli csatorna tomográája Az általános qubit Pauli csatorna paramétereit becsl eljárás sok szempontból az egyszer sített csatornára vonatkozó eljárás természetes általánosítása, ezért a..,.. alfejezetekben leírtakra is támaszkodunk a a módszer ismertetésekor. 5.. Az input qubitok és a mérési irányok kiválasztása A tomográás eljárás három input qubit és három Neumann-mérés segítségével becsül. Korábbi vizsgálatok azt mutatják, hogy input állapotoknak érdemes olyan tiszta állapotokat választani, melyeket páronként mer leges Bloch-vektorok reprezentálnak [],[]. Jelöljük az input qubitok Bloch-vektorait θ, θ, θ 3 -mal. Ekkor [θ, θ, θ 3 ] ortogonális mátrix, tehát [θ, θ, θ 3 ] = R z ϑ z R y ϑ y R x ϑ x, 5. ahol R z, R y, R x ugyanazokat a forgatásokat jelölik, mint.8-ban, és 0 ϑ z, ϑ y < π, 0 ϑ x < π. Tehát kiválasztott input állapotokat a ϑ z, ϑ y, ϑ x szögparaméterek írják le. Jelöljük a Neumann-méréseket {{M i, I M i }} 3 i=-vel, a reprezentáns vektorok legyenek {m i } 3 i=. Ugyancsak korábbi vizsgálatból tudjuk, hogy érdemes páronként mer leges mérési irányokat választani []. Így az m, m, m 3 mérési irányokat alakban írhatjuk fel, ahol 0 τ z, τ y < π, 0 τ x < π. [m, m, m 3 ] = R z τ z R y τ y R x τ x 5. 4

25 5.. Az output qubitok Bloch-koordinátáinak becslése Ha a három output állapot Bloch-vektorait θ, θ, θ 3-val jelöljük, akkor a csatornamátrixok reprezentációjára vonatkozó. lemma alapján [θ, θ, θ 3] = Aλ, λ, λ 3, φ z, φ y, φ x [θ, θ, θ 3 ]. 5.3 El ször az output állapotok Bloch-koordinátáit becsüljük. Ehhez a j. output qubitnak N kópiáján elvégezzük az {M i, I M i } Neumann-mérést minden i, j {,, 3} esetén. Jelöljük N + ij -val azon események számát, amikor a j. output állapotban az i. irányban mérve vagyis az {M i, I M i } POVM-et mérve M i a mérés kimenetele. Legyen x ij = m i θ j. Ekkor a 6. lemma és a kópiák függetlensége miatt N + ij = Binom N, + x ij. 5.4 Tehát a.. alfejezet egyik tanulsága szerint x ij -t torzítatlanul, -es nagyságrendben N lecseng varianciájú valószín ségi változóval becsülhetjük: ˆx ij := N N + ij. 5.5 Vezessük be az M = [m, m, m 3 ], Θ = [θ, θ, θ 3], X = {x ij } 3 i,j=, ˆX = {ˆxij } 3 i,j= 5.6 jelöléseket. Ekkor az x ij = m i θ j i, j {,, 3} egyenletek így írhatók fel tömören: X = M T Θ, 5.7 vagyis MX = Θ, így becsülni tudjuk az output qubitok koordinátáit: ˆΘ := M ˆX A csatornamátrix becslése Bevezetünk néhány újabb jelölést: λ = [λ, λ, λ 3 ], τ = [τ z, τ y, τ x ], φ = [φ z, φ y, φ x ], ϑ = [ϑ z, ϑ y, ϑ x ]. 5.9 Ekkor az 5.3 egyenlet a következ, rövidebb alakban írható: Θ λ, φ, ϑ = Aλ, φθϑ. 5.0 Θ invertálható, így Θ Θ = A, ez alapján a csatornamátrixra vonatkozó becslést készíthetünk: Â := ˆΘ Θ. 5. 5

26 5.4. A csatornaparaméterek becslése a csatornamátrixra vonatkozó becslésb l A csatornaparaméterek becslését a paraméterezés invertálásával kapjuk az 5.-ben de- niált  becslésb l. Tehát meg kell konstruálni az.8-ban leírt A : D M 3 R; λ, λ, λ 3, φ z, φ y, φ x Aλ, λ, λ 3, φ z, φ y, φ x 5. leképezés inverzének egy kiterjesztését. Itt D R 6 egy olyan paramétertartomány, amelyen A injektív, tehát a. lemmában leírt paramétertartomány egy részhalmaza. Vagyis meghatározandó az a leképezés, melyre T : M 3 R R 6 ;  ˆλ, ˆλ, ˆλ 3, ˆφ z, ˆφ y, ˆφ x 5.3 T A = Id D 5.4 teljesül. Az  valószín ségi változó RangeA-n kívül es értékeket is felvehet, ezért lényeges, hogy T értelmezési tartománya M 3 R legyen. T konstrukciója a következ. Szimmetrizáljuk a becslést:  s :=  +  T.  s szimmetrikus mátrix, így ortogonális bázisban diagonalizálható.  s Jordan-felbontása elméleti nehézség nélkül kiszámolható, hiszen a karakterisztikus polinom harmadfokú, így a sajátértékek kiszámolhatók például a Cardano-képlet segítségével. A hozzájuk tartozó sajátvektorok is elemi lineáris algebrai módszerekkel megadhatók. Legyenek tehát adottak a λ λ λ 3 sajátértékek és a hozzájuk tartozó v = v, v, v, 3 v = v, v, v, 3 v 3 = v3, v3, v3 3 normált sajátvektorok. Feltehet, hogy v 3 > 0 vagy v 3 = 0 & v > 0 vagy v =, hiszen ha ez a feltétel nem teljesül, akkor tekintjük v -et. A csatorna kontrakcióparaméterei éppen a λ λ λ 3 sajátértékek. A valódi feladat a szögparaméterek kiszámolása. Az.8-ben leírt csatornaparaméterezésb l látható a szögparaméterek szemléletes jelentése: φ z és φ y a legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektor polár- és azimutszöge, a v sajátvektor pedig a a v -re mer leges altérben φ x szöget zár be a szóban forgó altér és az e, e standard bázisvektorok kifeszítette sík metszésvonalával. Ezek a fogalmak pontosan akkor egyértelm ek, ha λ > λ > λ 3. A sajátértékek nem feltétlenül különböz ek, ezért négy esetet kell végiggondolni.. Az általános esetben λ > λ > λ 3. Ha v 3 =, akkor legyen φ y = π, φ z = 0, vagyis ha az azimutszög π, akkor a polárszög nem meghatározható, válasszuk 0-nak. Ha v 3 és v = 0, akkor φ y := arccos v, φ z := 0. Azaz ha v a spane, e 3 síkban van, de v e 3, akkor a polárszög 0, az azimutszög pedig a fenti egyszer módon számolható. Ha v 0, akkor y := sgnv v + v, z := v y, végül φ y := arccos y, φ z := arccos z. Ezzel adott φ z és φ y, így fel tudjuk írni a v -re mer leges altérnek azt az ortonormált bázisát, melynek els eleme a e, e bázisvektorok kifeszítette síkban van: s = sin φ z, cos φ z, 0, s = sin φ y cos φ z, sin φ y sin φ z, cos φ y. 6

27 Ez a két vektor az R z φ z R y φ y mátrix második és harmadik oszlopvektora. Így nyilván v, s, s is ortonormált bázis. v mer leges v -re, így v = v, s s + v, s s. A q = v, s, q = v, s jelölést bevezetve x := sgnq q, ha q, és x :=, ha q =, majd φ x := arccos x.. A λ > λ = λ 3 esetben φ y, φ z ugyanúgy meghatározható, mint az általános esetben, és φ x -et válasszuk 0-nak. Ha λ = λ 3, akkor R x ΛRx Λ. 3. A λ = λ > λ 3 esetben a v 3 sajátvektor határozható meg el jel erejéig egyértelm - en. Ha v 3 3 =, akkor a v spane, e, így az azimutszöge 0 φ y = 0, a polárszöge meghatározhatatlan hiszen spane, e a λ -hez tartozó sajátaltér, így φ z = 0 választandó. Ebben az esetben nyilván φ x = 0. Ha v 3 3, akkor egyértelm en létezik és lineáris algebrai eszközökkel kiszámolható egy v λ = λ -höz tartozó sajátvektor, melyre v 3 = 0, v 0 és v = 0 v =. Erre a vektorra lehet úgy gondolni, mint a "λ -höz tartozó sajátvektorra". v -b l számolható a polárszög; φ z = arccos v. Az azimutszöget v 3 e 3 -mal bezárt szöge adja: φ y = arccos v 3 3, és φ x = 0 választandó. 4. a λ = λ = λ 3 esetben a φ x = φ y = φ z = 0 paraméterek választandók. A paraméterek iménti meghatározása után adódik, hogy a Pauli csatornák.8 szerinti paraméterezése mely paramétertertományon lesz bijektív. Ez a tartomány a D = {λ, λ, λ 3, φ z, φ y, φ x R 6 ± λ 3 λ ± λ, λ λ λ 3, φ z, φ y, φ x [0, π, φ y = π φ z = 0, λ = λ = λ 3 φ z = φ y = φ x = 0, halmaz. λ = λ > λ 3 φ x = 0 és φ y = 0 φ z = 0, λ > λ = λ 3 φ x = 0} A paraméterbecslés hatékonysága A paraméterbecslés hatékonyságát a szögparaméterek illetve a kontrakcióparaméterek átlagos négyzetes hibájával, valamint a becsült paraméterekhez tartozó, és a valódi csatornamátrix átlagos négyzetes távolságával jellemezhetjük. Legyen tehát f λ, φ, τ, ϑ, N = E dist ˆφ z, φ z + dist ˆφ y, φ y + dist ˆφ x, φ x 6. f λ, φ, τ, ϑ, N = E ˆλ λ + ˆλ λ + ˆλ 3 λ 3 6. f 3 λ, φ, τ, ϑ, N = E Aˆλ, ˆλ, ˆλ 3, ˆφ z, ˆφ y, ˆφ x Aλ, λ, λ 3, φ z, φ y, φ x, 6.3 ahol a Hilbert-Schmidt norma, dist, pedig a 3.4-ben deniált függvény. Hasonló helyzet adódik, mint az egyszer sített esetben: az f, f függvények nehezen kezelhet ek, mert nemlineáris becslésekkel vannak deniálva. Ezért a nemlineáris paraméterbecsléseket az els rend Taylor-polinomjukkal a bázispont az argumentum várható értéke helyettesítjük, és az így kapott lineáris becslések hatékonyságát mér f, f mennyiségeket deniálunk. 7

28 6.. A szög- és kontrakcióparaméterek becslésének linearizálása A 0. lemma bizonyítása alapján könnyen meggondolható, hogy a csatornamátrix  becslése az általános esetben is torzítatlan E = A. Ezért a ˆλ, ˆλ, ˆλ 3, ˆφ z, ˆφ y, ˆφ x : M 3 R R függvényeknek a következ közelítéseit tekintjük: λ i := ˆλ i A + gradˆλ i A,  A i {,, 3}, 6.4 φ α := ˆφ α A + grad ˆφ α A,  A α {z, y, x}. 6.5 Ezekkel a lineáris paraméterbecslésekkel deniáljuk az f, f függvények egy közelítését. f λ, φ, τ, ϑ, N := E φ z φ z + φ y φ y + φ x φ x, 6.6 f λ, φ, τ, ϑ, N := E λ λ + λ λ + λ 3 λ A 3. lemma bizonyítását lényegében megismételve belátható, hogy a λ i, φ α becslések torzítatlanok. Ebb l következik, hogy A paraméterbecslés baloldali inverze az f λ, φ, τ, ϑ, N = Var φ z + Var φ y + Var φ x, 6.8 f λ, φ, τ, ϑ, N = Var λ + Var λ + Var λ T : M 3 R R 6 ;  ˆλ, ˆλ, ˆλ 3, ˆφ z, ˆφ y, ˆφ x 6.0 A : D M 3 R; λ, λ, λ 3, φ z, φ y, φ x Aλ, λ, λ 3, φ z, φ y, φ x 6. csatornaparaméterezésnek 5.4, ezért dt Aλ, φ = daλ, φ 6. teljesül. A forgatásinvariancia miatt elegend a φ z = φ y = φ x = 0 szögparaméter csatornákkal foglalkozni..8-ba behelyettesítve látható, hogy λ cos φ z + λ sin φ z λ λ sin φ z cos φ z 0 Aλ, λ, λ 3, φ z, 0, 0 = λ λ sin φ z cos φ z λ sin φ z + λ cos φ z 0, λ cos φ y + λ 3 sin φ y 0 λ λ 3 sin φ y cos φ y Aλ, λ, λ 3, 0, φ y, 0 = 0 0, 6.4 λ λ 3 sin φ y cos φ y 0 λ sin φ y + λ 3 cos φ y 0 0 Aλ, λ, λ 3, 0, 0, φ x = 0 λ cos φ x + λ 3 sin φ x λ λ 3 sin φ x cos φ x, λ λ 3 sin φ x cos φ x λ sin φ x + λ 3 cos φ x így A λ, λ, λ 3, 0, 0, 0 = φ z 0 λ λ 0 λ λ , 6.6

29 A λ, λ, λ 3, 0, 0, 0 = φ y A λ, λ, λ 3, 0, 0, 0 = φ x Másrészt Aλ, 0 = Diagλ, λ, λ 3, így A λ λ, 0 = Diag, 0, 0, A λ λ, 0 = Diag0,, 0, 0 0 λ λ λ λ λ λ 3 0 λ λ 3 0, A λ 3 λ, 0 = Diag0, 0,. 6.9 Írjuk fel A deriváltját a da = a λ a λ a λ 3 a φ z a φ y a φ x a λ a λ a λ 3 a φ z a φ y a φ x a 33 λ a 33 λ a 33 λ 3 a 33 φ z a 33 φ y a 33 φ x a λ a λ a λ 3 a φ z a φ y a φ x a 3 λ a 3 λ a 3 λ 3 a 3 φ z a 3 φ y a 3 φ x a 3 λ a 3 λ a 3 λ 3 a 3 φ z a 3 φ y a 3 φ x 6.0 alakban. Ekkor 6.6, 6.7, 6.8 és 6.9 alapján daλ, λ, λ 3, 0, 0, 0 = Diag,,, λ λ, λ λ 3, λ λ 3, 6. vagyis hasonló eredményre jutottunk, mint 3.39-ben. 6.-b l és 6.-b l következik, hogy dt Aλ, 0 = Diag,,,,,. 6. λ λ λ λ 3 λ λ 3 T konstrukciója alapján T = T M s 3R S, 6.3  +  T ahol M s 3R M 3 R a szimmetrikus mátrixok altere, S pedig az  szimmetrizálás. Legyen â,s = â + â, â 3,s = â 3 + â 3, â 3,s = â 3 + â Ekkor 6. eredménye így írható: ˆλ â = ˆλ â = ˆλ 3 â 33 =, ˆφ z â,s = λ λ, ˆφ y â 3,s = λ λ 3, ˆφ x â 3,s = λ λ az Aλ, 0 helyen, és itt a paraméterbecslések minden más parciális deriváltja zérus. Ha alkalmazzuk a láncszabályt a 6.3 egyenletre, akkor megkapjuk a paraméterbecslések gradiensét. 9

30 7. Lemma. A ˆλ i, ˆφ α i {,, 3}, α {z, y, x} paraméterbecslések nem zérus parciális deriváltjai az Aλ, 0 helyen: és ˆλ â = ˆλ â = ˆλ 3 â 33 =, ˆφ y â 3 = ˆφ y â 3 = ˆφ z â = ˆφ z â = λ λ 3, ˆφ x â 3 = ˆφ x â 3 = λ λ, λ λ , 6.5 és az iménti lemma alapján kiszámolható a linearizált becslések szórása: Var φ z = Var λ = Varâ, Var λ = Varâ, Var λ 3 = Varâ λ λ Varâ + â, Var φ y = Var φ x = 4λ λ 3 Varâ 3 + â 3, 6.8 4λ λ 3 Varâ 3 + â A valódi és a becsült csatornamátrix távolsága teljesen hasonlóan számolható, mint az egyszer sített esetben: Aλ, λ, λ 3, φ z, φ y, φ x Aˆλ, ˆλ, ˆλ 3, ˆφ z, ˆφ y, ˆφ x = Aλ, λ, λ 3, φ z, φ y, φ x Âs = = â a + â a + â 33 a 33 + â a + + â a â3 a â3 a 3 â3 a â3 a Így  torzítatlansága miatt E Aλ, λ, λ 3, φ z, φ y, φ x Aˆλ, ˆλ, ˆλ 3, ˆφ z, ˆφ y, ˆφ x = = Varâ +Varâ +Varâ 33 + Varâ + â + Varâ 3 + â 3 + Varâ 3 + â Összegzés. A 6.6, 6.7,6.3 egyenletekkel deniált f, f, f 3 minimalizálandó mennyiségek az f λ, 0, τ, ϑ, N = = 4λ λ Varâ + â + 4λ λ 3 Varâ 3 + â 3 + 4λ λ 3 Varâ 3 + â 3, 6.3 f λ, 0, τ, ϑ, N = Varâ + Varâ + Varâ 33, 6.33 f 3 λ, 0, τ, ϑ, N = = Varâ +Varâ +Varâ 33 + Varâ + â + Varâ 3 + â 3 + Varâ 3 + â alakban írhatóak. 30

31 6.. A csatornamátrix leghatékonyabb becslése 8. Tétel. f 3 λ, 0, τ, ϑ, N 6 λ N + λ + λ 3, 6.35 és 6.35 egyenl séggel teljesül, ha τ = ϑ = 0. Bizonyítás. Látható, hogy f 3 λ, 0, τ, ϑ, N = Varâ â + Varâ 3 â 3 + Varâ 3 â 3 + Az mátrixokat reprezentáló oszlopvektorokra áttérve i,j {,,3} Varâ ij  = Rτ Rϑ ˆX 6.37 írható, ahol Rζ = R z ζ z R y ζ y R x ζ x, ζ {τ, ϑ}. Tehát az ˆx ij becslések függetlensége miatt Var  = Rτ Rϑ Var ˆX, 6.38 ahol a mátrixelemenkénti négyzetreemelést jelöli. A 9. lemma szerint Rτ Rϑ duplán sztochasztikus, Varˆx ij = x ij, így N i,j {,,3} Varâ ij = 9 N i,j {,,3} x ij A 4.5-beli kifejtést és az azt követ gondolatmenetet szinte szó szerint ismételve belátható, hogy Végül i,j {,,3} Varâ â N, Varâ 3 â 3 N, Varâ 3 â 3 N x ij = TrXX T = Tr Rτ T Λλ, λ, λ 3 RϑRϑ T Λλ, λ, λ 3 T Rτ = λ +λ +λ 3, 6.4 ezzel a 6.35 egyenl tlenséget beláttuk. Könny ellen rizni, hogy a τ = ϑ = 0 esetben Varâ ij = N δ ijλ i, Varâ â = Varâ 3 â 3 = Varâ 3 â 3 = N, ahol i, j {,, 3}, δ ij pedig a Kronecker-szimbólum, tehát a minimum felvétetik A kontrakcióparaméterek leghatékonyabb becslése 9. Tétel. f λ, 0, τ, ϑ, N 3 λ N + λ + λ 3, 6.4 és 6.4 egyenl séggel teljesül, ha τ = ϑ = 0. 3

32 Bizonyítás. f λ, 0, τ, ϑ, N = Varâ ii = i {,,3} i,j {,,3} Varâ ij i j Varâ ij mutatja, hogy Var â ij i, j, hiszen x ij N N N Rτ Rϑ duplán sztochasztikus. Tehát valamennyi indexre, és Varâ ij 6 N i j Ha 6.39 és 6.4 eredményét 6.43-be helyettesítjük, azt kapjuk, hogy Varâ + Varâ + Varâ 33 N 9 λ + λ + λ 3 6 N, 6.45 ezzel a 6.4 egyenl tlenséget beláttuk. Könnyen ellen rizhet, hogy a τ = ϑ = 0 esetben Varâ = N λ, Varâ = N λ, Varâ 33 = N λ 3, így a minimum felvétetik. Gyakorlati következmény. Tehát a csatornamátrixot és a kontrakcióparamétereket is akkor tudjuk optimálisan becsülni, ha az input állapot, a Neumann-mérés és a csatorna iránya megegyezik. Megjegyzés. Az 5. fejezetben ismeretlen irányú csatornára kidolgozott tomográás eljárás alkalmazható akkor is, ha feltesszük, hogy a csatorna a {σ i } 3 i= Pauli mátrixoknak megfelel irányokban kontraktál, vagyis ismert irányú csatornára is. Ekkor szögparamétert nem becslünk, a kontrakcióparaméterek becslései pedig egyszer södnek: ˆλi = â ii i {,, 3}. Beláttuk, hogy 3 i= Var â ii 3 N λ + λ + λ 3, és a τ = ϑ = 0 esetben egyenl ség áll fenn. Tehát ismert irányú csatorna tomográája optimális, ha az input állapotoknak megfelel irányok és a mérési irányok megegyeznek a csatornairányokkal. Vagyis a 9. tétel bizonyítása egy ismert eredmény [] újfajta igazolását is adja A szögparaméterek leghatékonyabb becslése A 6.37 képlet alapján a Varâ ij + â ji i j mennyiségeket fel lehet írni τ, ϑ, X és N függvényeként, X-et pedig a 5.7 egyenlet szerint fel lehet írni λ, τ és ϑ függvényeként. Tehát az f λ, 0, τ, ϑ, N = = 4λ λ Varâ + â + 4λ λ 3 Varâ 3 + â 3 + 4λ λ 3 Varâ 3 + â mennyiség explicit módon kifejezhet, optimalizálása rögzített λ és N mellett egy hatváltozós széls érték-keresési feladat a változók: τ z, τ y, τ x, ϑ z, ϑ y, ϑ x. A probléma nehézségét mutatja, hogy a szögparamétereket leghatékonyabban becsl eljárás analitikus meghatározása már az egyszer sített esetben is technikás feladat lásd 4.3. alfejezet. Ezért x kontrakcióparaméterek mellett, numerikus optimalizálással keressük a legjobb becslési stratégiát. 3

33 Rögzítsük például a λ = 0.8, λ = 0.65, λ 3 = 0.5 kontrakcióparamétereket és az N = 000 mérésszámot. Ekkor a numerikusan megkeresett τ opt, ϑ opt minimumhely nem mutat más szabályszer séget, mint hogy τ opt = ϑ opt teljesül. Az egyszer sített esetben bizonyítani tudtuk, hogy τ opt = ϑ opt, tetsz leges kontrakcióparaméterek mellett. Azonban minimumhoz közeli érték adódik két speciális helyen: f = a τ z = ϑ z = π, τ 4 y = ϑ y = π, τ 4 x = ϑ x = 0 és a τ z = ϑ z = π, τ 4 y = ϑ y = 0, τ x = ϑ x = π esetben is, amíg 4 min τ, ϑ f = Az eltérés kicsinek mondható, hiszen például f τ = 0, ϑ = 0 = Hasonló a helyzet, ha a λ = 0.9, λ = 0.67, λ 3 = 0.6 kontrakcióparamétereket rögzítjük N = 000 továbbra is: τ opt = ϑ opt ekkor is teljesül, valamint a τ = ϑ = π, π, 0, és 4 4 a τ = ϑ = π, 0, π esetben f 4 4 = , amíg min τ, ϑ f = Összehasonlításképpen: f τ = 0, ϑ = 0 = A Függelékben empirikus szimulációkon alapuló vizsgálatok néhány eredménye látható, amelyek az elméleti eredmények illusztrációja és ellen rzése mellett sejtések megfogalmazására is ösztönöznek. A Függelék 4. és 5. ábráján az f függvényt ábrázoljuk a λ = 0.8, λ = 0.65, λ 3 = 0.5, N = 000, τ = ϑ feltételek mellett, a ϑ x = τ x = 0, illetve a ϑ x = τ x = π 4 helyeken. Tehát az optimális mérési eljárást leíró szögparamétereket nem tudjuk meghatározni, azonban konkrét Pauli csatornák numerikus vizsgálata alapján valószín síthet, hogy. τ opt = ϑ opt,. a τ = ϑ = π, π, 0, és a τ = ϑ = π, 0, π szögparaméterekkel leírható becslési eljárások közel optimálisak tetsz leges λ, N esetén. 7. Általános irányú Pauli csatorna prímhatvány-szint rendszerre A qubit Pauli csatorna általánosításaként Petz és Ohno bevezették az általánosított Pauli csatorna fogalmát tetsz leges véges dimenziós kvantum rendszerre [6]. Az idézett m nem deniálja a csatornairány fogalmát, ahogyan a kapcsolódó irodalom semelyik más dolgozata sem. E fejezet célja a csatornairány és a szögparaméter fogalmának kiterjesztése prímhatvány-szint rendszerre. Az általánosított Pauli csatornák egy bizonyos osztálya bijekcióban áll a megfelel Hilbert-tér kölcsönösen torzítatlan bázisrendszereivel ; ezt a megfeleltetést és az unitér leképezések egy paraméterezését használva Pauli csatornákhoz általánosított szögparamétereket tudunk rendelni. 33

34 7.. Kölcsönösen torzítatlan bázisrendszerek 4. Deníció MUB. Legyenek F = {f,... f n },..., F r = {f r,... f n r } a C n tér ortonormált bázisai. Ha k l r esetén i, j {,..., n}-re fk, i f j l = n 7. teljesül, akkor az F,..., F r bázisrendszert kölcsönösen torzítatlan bázisrendszernek röviden MUB-nak hívjuk. Ha n = p M, ahol p prím, M Z +, akkor n + elem MUB konstruálható [7]. Azonosítsuk a C n standard bázisának elemeit az F n-nel jelölt n elem véges test elemeivel. Vezessük be a χθ = exp θ + θ p + θ p + + θ pm függvényt. Tekintsük az πi p X q := s F n s + q s, Z r := s F n χrs s s 7. mátrixokat. Ekkor a {Z r : r F n} halmaz és az {{X q Z qr : q F n} : r F n} halmaz elemei együtt egy n + halmazból álló rendszert alkotnak. A rendszer valamennyi eleme n mátrixot tartalmaz, az azonos halmazba tartozó mátrixok kommutálnak. Ha a halmazrendszer minden eleméhez hozzárendeljük az elemeinek közös ortonormált sajátbázisát, egy n + elem kölcsönösen torzítatlan bázisrendszert kapunk. Az így kapott F,... F n+ MUB-ot a C n tér kitüntetett MUB-jának hívjuk. Példa. Legyen p =, M =. Ekkor F n = Z = {0, }, és 7. alapján 0 0 X 0 = =, X 0 = = 0 Tehát {X 0 Z 0, X Z 0 } = 0 Z 0 = = 0 πi Z = exp = { 0 0 0, 0 {Z 0, Z } =, 0 0 } { 0, {X 0 Z 0, X Z } = 0 { 0 0 0, 0 A fenti három halmazhoz tartozó közös ortonormált sajátbázisok rendre { } F = 0 +, 0, F = Tehát ez C kitüntetett MUB-ja., , 0 }, }. 7.5 { } 0 + i, 0 i, F 3 = { 0, }

35 MUB-ok unitér transzformációja. Világos, hogy ha F,..., F n+ MUB, X unitér mátrix, akkor az XF i := {Xfi,..., Xfi n } denícióval adott XF,..., XF n bázisrendszer is MUB. Ha X SUn, akkor léteznek α,..., α n, θ,..., θ nn, β,..., β nn valós paraméterek, hogy X = Dα,..., α n U j,k θ jk, β jk, 7.7 j<k n ahol Dα,..., α n = Diag e iα, e iα,..., e iα n, e i n l= α l, 7.8 U j,k pedig a j és k standard bázisvektorok kifeszítette altér forgatása: a hatását az említett altéren az cos θ sin θe iβ Ũθ, β = sin θe iβ 7.9 cos θ mátrix írja le, a komplementer altéren pedig megegyezik az identitással lásd [8]. 7.. Kvázi-mer leges részalgebrák kapcsolata kölcsönösen torzítatlan bázisrendszerekkel 5. Deníció. Az A, A M n C egységelemes, adjungálásra zárt részalgebrákat kvázimer legesnek vagy komplementárisnak mondjuk, ha a zérus nyomú altereik A CI és A CI mer legesek a Hilbert-Schmidt skaláris szorzásra nézve. 0. Lemma. Legyen F,..., F n+ C n MUB. Legyen A i az F i bázisban diagonális mátrixok részalgebrája i {,..., n + }. Ekkor {A i } n+ i= páronként komplementáris, maximális kommutatív részalgebrák, melyek lineárisan kifeszítik M n C-t. Bizonyítás. A deníció alapján világos, hogy A i maximális kommutatív részalgebra röviden: M-részalgebra. Bizonyítandó a kvázi-mer legesség. Legyen k l n +, X A k CI, Y A l CI, vagyis X = fk,..., fk n Diagx,..., x n f k. f n k ahol x i, y i C, n i= x i = n i= y i = 0. Ekkor f k TrXY = Tr fk,..., f k n Diagx,..., x n = n d= c= n x d y c f d k, fl c f c l, fk d = }{{} n n d= c=, Y = fl,..., fl n. f n k f l,..., f n l Diagy,..., y n Diagy,..., y n f l. f n l 7.0 f l. f n l x fk = Tr. fl y fl,..., y n fl n. fk,..., f n k = x n fk n fl n n n n n x d y c = x d y n c = d= c= 35, =

36 Végül dim A i = n, így dim A i CI = n. Az imént beláttuk, hogy CI, A CI,..., A n+ CI mer leges alterek, tehát dim span A,..., A n+ = dim CI A CI A n+ CI = = + n + n = n = dim M n C, így span A,..., A n+ = M n C. 7. Tehát ha F,..., F n+ C n MUB, A i az F i bázisban diagonális mátrixok részalgebrája, E i : M n C M n C az A i részalgebrára mint lineáris altérre való mer leges vetítés, akkor Petz és Ohno deníciója szerint [6] az n+ n+ TrA E : M n C M n C; A EA := λ i n I + λ i E i A 7.3 leképezés általánosított Pauli csatorna, amenyiben a λ i R számokat úgy választjuk meg, hogy E teljesen pozitív legyen. Mivel A,..., A n+ páronként komplementáris M- részalgebrák, így az 7.3-ban deniált E leképezés akkor és csak akkor teljesen pozitív, ha n+ + nλ i λ j i {,..., n + }. 7.4 n Lásd [6]. j= 6. Deníció. A 7.3 egyenlettel adott általánosított Pauli csatorna csatornairányainak a D i = {σ A i : σ = σ, Trσ = } M n C 7.5 an altereket tekintjük, ahol A,..., A n+ a megfelel páronként komplementáris részalgebrák. Megjegyzés. A fenti deníció a qubit esetben deniált csatornairány természetes általánosítása lásd. deníció, és tetsz leges általánosított Pauli csatorna iránya deniálható ily módon nyilván ekkor a részalgebrák száma nem feltétlenül n Pauli csatorna általánosított szögparaméterrel, prímhatványszint rendszerre A 7.., 7.. alfejezetek eredményeire támaszkodva deniálni tudjuk M-részalgebrákkal adott Pauli csatornák általánosított szögparamétereit. 7. Deníció. Legyen n = p M p prím, M Z +, F,..., F n+ a C n tér kitüntetett kölcsönösen torzítatlan bázisrendszere, X az α,..., α n, θ,..., θ nn, β,..., β nn paraméterekkel leírható unitér mátrix. Legyen A i az XF i bázisban diagonális mátrixok M- részalgebrája, E i az A i -re való mer leges vetítés. Legyenek {λ i } n+ i= az 7.4 feltételt kielégít számok. Ekkor az n+ TrA E : M n C M n C; A EA := λ i n I + n+ λ i E i A 7.6 i= i= leképezést az α,..., α n, θ,..., θ nn, β,..., β nn általánosított szögparaméter és λ,..., λ n+ kontrakciós paraméter Pauli csatornának nevezzük. 36 i= i=

37 Példa. Vizsgáljuk a qubit rendszert. Egy korábbi példában kiszámoltuk az F, F, F 3 kitüntetett MUB-ot 7.6. Könnyen látható, hogy a kitüntetett MUB-hoz tartozó A, A, A 3 részalgebrák a következ k: A = span{i, σ }, A = span{i, σ }, A 3 = span{i, σ 3 }. 7.7 Legyen E az α, θ, β általánosított szögparaméter Pauli csatorna. Ekkor az E-hoz tartozó A, A, A 3 részalgebrák az XF, XF, XF 3 bázisokban diagonális mátrixok részalgebrái, ahol e iα 0 cos θ sin θe iβ X = Xα, θ, β = 0 e iα sin θe iβ. 7.8 cos θ Tehát X argumentumát elhagyva A = span{i, Xσ X }, A = span{i, Xσ X }, A 3 = span{i, Xσ 3 X }. 7.9 Ebb l az alakból látszik, hogy az A = ρ E ρ egyenlettel deniált ρ a Bloch-paraméterezés csatornamátrix a következ alakot ölti: ahol Rα, θ, β = A = Rα, θ, βdiagλ, λ, λ 3 R α, θ, β, 7.0 { σ i, Xα, θ, β } 3 σ j X α, θ, β. 7. i,j= Az általánosított szögparaméterek általában nem egyeznek meg a. lemmában bevezetett szögparaméterekkel, hiszen direkt számolás mutatja, hogy Rα, θ, β = ugyanakkor R zφ zr yφ yr xφ x = sin α cos θ + sin α β sin θ cos α cos θ + cos α β sin θ sinα β sin θ cos α cos θ cos α β sin θ sin α cos θ + sin α β sin θ cosα β sin θ cos β sin θ sin β sin θ cos θ, 7. cos φz cos φy sin φ z cos φ y cos φz sin φy sin φx sin φz cos φx sin φ z sin φ y sin φ x + cos φ z cos φ x cos φz sin φy cos φx + sin φz sin φx sin φ z sin φ y cos φ x cos φ z sin φ x sin φ y cos φ y sin φ x cos φ y cos φ x 7.3 ahol R z, R y, R x a. lemmában deniált forgatásmátrixok. Azonban néhány speciális esetben látványos az analógia. Például Rα, 0, 0 = cos α sin α 0 sin α cos α 0 0 0, R z α, 7.4 valamint R0, θ, 0 = cos θ 0 sin θ 0 0 sin θ 0 cos θ R y θ

38 8. Összefoglalás Jelen dolgozatban a kvantum rendszerek állapotát megváltoztató Pauli csatornák tomográájával foglalkoztunk, a kvantum bit rendszerre koncentrálva. A qubit esetben precízen deniáltuk a csatornairány fogalmát, és bevezettük a Pauli csatorna hatását leíró csatornamátrixot. Az O3, R forgáscsoport egy természetes faktorának paraméterezésével a csatornairányt leíró szögparamétereket vezettünk be. Olyan tomográás sémára adtunk konstrukciót, amely az ismeretlen irányú Pauli csatorna csatornamátrixának, kontrakcióparamétereinek és szögparamétereinek becslésére szolgál. Egy becslési eljárás hatékonyságát sokféle mennyiség jellemzi, ebben a dolgozatban a valószín ségi jelleg mennyiségekkel foglalkoztunk: a csatornamátrix, a kontrakcióparaméterek és a szögparaméterek átlagos négyzetes hibájával. A kísérlettervezési feladat az említett három célfüggvény szerinti optimális becslési eljárások meghatározása. Tekintettük a csatornabecslési feladat egy egyszer sített változatát: a Pauli csatorna némely paramétereir l feltettük, hogy ismert. Az egyszer sített esetben analitikus eszközökkel meghatároztuk az optimális csatornabecslési eljárást valamennyi célfüggvény esetében, az eredményeket három tételben foglaltuk össze. Visszatértünk a teljes csatornabecslési feladathoz; meghatároztuk csatornamátrixot illetve a kontrakcióparamétereket leghatékonyabban becsl eljárást, ugyancsak analitikus úton. Ismeretlen irányú Pauli csatorna esetében az analitikus megközelítés újdonság lásd [, ]. A harmadik célfüggvény a szögparaméterek bizonytalansága esetében numerikus optimalizálás és emprikus szimulációk alapján tudtunk sejtéseket megfogalmazni. Az általános eset vizsgálatának eredményeit két tételben és egy sejtésben foglaltuk össze. A qubit eset általánosításaként prímhatvány-szint rendszerekre is deniáltuk a csatornairány fogalmát, valamint a maximális kommutatív részalgebrákkal adott Pauli csatornák osztályára kiterjesztettük a szögparaméterezést. Az említett osztály viszonylag általános: a qubit esetben minden Pauli csatorna maximális kommutatív részalgebrákkal adott. Ez utóbbi munka a legérdekesebbnek t n továbblépi lehet ség irányába mutat, ami nem más, mint a qubit Pauli csatornára kidolgozott csatornabecslési eljárások és hatékonyságvizsgálati módszerek általánosítása n-szint rendszerekre. Hivatkozások [] L. Ruppert, D. Virosztek and K. M. Hangos. Optimal parameter estimation of Pauli channels. J. Phys. A: Math. Theor., 45:65305, 0. [] G. Balló, K. M. Hangos and D. Petz. Convex Optimization-Based Parameter Estimation and Experiment Design for Pauli Channels. IEEE Trans. on Automatic Control, 99, 0. [3] M. A. Nielsen and I. L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 000. [4] D. Petz. Quantum Information Theory and Quantum Statistics. Theoretical and Mathematical Physics. Springer-Verlag,

39 [5] M. Mohseni, A. T. Rezakhani, and D. A. Lidar. Quantum process tomography: Resource analysis of dierent strategies. Physical Review A, 77:033, 008. [6] D. Petz and H. Ohno. Generalizations of Pauli channels. Acta Math. Hungar., 4:65-77, 009. [7] I. Bengtsson. Three ways to look at mutually unbiased bases. [8] D. D'Alessandro. Introduction to Quantum Control and Dynamics. Applied Mathematics and Nonlinear Science. Chapman and Hall/CRC, 008. [9] Wolfram Research, Inc., Champaign, Illinois. Mathematica Edition: Version [0] D. Virosztek, L. Ruppert and K. M. Hangos. Pauli channels with unknown channel directions. Publikáció el készületben. 39

40 Függelék Az empirikus hatékonyságvizsgálat célja, kivitelezése Bár az egyszer sített esetben az optimális paraméterbecslési eljárást minden célfüggvény esetében sikerült analitikusan meghatározni, az általános esetben a szögparaméterek átlagos négyzetes hibáját nem tudtuk analitikusan minimalizálni lásd 6.4. alfejezet. Ezért nemcsak az analitikus eredmények numerikus ellen rzéséhez, hanem sejtések megfogalmazásához is hasznos eszköz az empirikus szimuláció. A..,..,.3. alfejezetekben illetve az 5. fejezetben leírt paraméterbecslési eljárások számítógéppel modellezhet k, hiszen. a Neumann-mérések kimeneteleit számláló N + ij valószín ségi változók lásd.3, 5.4 el állíthatók a matematikai programcsomagok beépített, véletelen változókat generáló függvényeivel,. a paraméterbecslések meghatározása N + ij automatizálható. ismeretében olyan számítási feladat, amely A paraméterbecslési eljárást M-szer szimulálva az egyszer sített esetben a ˆλ j, ˆλ j, ˆφ j, j {... M} 8. paraméterbecsléseket, az általános esetben a ˆλ j, ˆλ j, ˆλ j 3, ˆφ j z, ˆφ j y, ˆφ j x, j {... M} 8. realizációkat nyerjük. Ekkor deniálhatjuk a ĝ = M dist M ˆφ j, φ, 8.3 j= ĝ = M ˆλ j λ + ˆλ j λ, 8.4 M j= ĝ 3 = M Aˆλ j M, ˆλ j, ˆφ j Aλ, λ, φ 8.5 j= mennyiségeket, illetve analóg módon az ˆf = M M dist ˆφ j z, φ z + dist ˆφ j y, φ y + dist ˆφ j x, φ x, 8.6 j= ˆf = M ˆλ j λ + ˆλ j λ + ˆλ j 3 λ 3, 8.7 M j= ˆf 3 = M Aˆλ j M, ˆλ j, ˆλ j 3, ˆφ j z, ˆφ j y, ˆφ j x Aλ, λ, λ 3, φ z, φ y, φ x. 8.8 j= 40

41 függvényeket. Tehát a paraméterbecslés hatékonyságát jellemz várható értékek lásd 3., 3.,3.3, illetve 6., 6.,6.3 helyett tekinthetjük az empirikus várható értéket is. A mintaátlag tulajdonságaiból adódik, hogy Eĝ i = g i, E ˆf i = f i i {,, 3}, és Var ĝ i = Var ˆfi = O. 8.9 M Tehát nagy M esetén ĝ i ˆf i jól közelíti g i -t f i -t. Az empirikus hatékonyságvizsgálatot Mathematica 8 környezetben valósítottam meg [9]. A következ oldalakon néhány eredményt mutatok be, melyek a paraméterbecslési eljárás szimulálásából adódtak. Empirikus hatékonyságvizsgálat az egyszer sített esetben. Ábrázoljuk a g λ = 0.6, λ = 0.35, φ = 0, τ, ϑ, N = 000 függvényt, illetve a ĝ 0.6, 0.35, 0, τ, ϑ, 000 függvényt M = 5000 mintaelemszám mellett. ϑ g Τ.0 a.5 b. ábra. a g, illetve b ĝ, mint ϑ és τ függvénye 0 ϑ, τ π.. Ábrázoljuk a g λ = 0.6, λ = 0.35, φ = 0, τ, ϑ, N = 000 függvényt, valamint a ĝ 0.6, 0.35, 0, τ, ϑ, 000 függvényt M = 5000 mintaelemszám mellett. ábra. 3. Tekintsünk egy példát, amikor λ λ > λ + λ. Ekkor a 6. tétel szerint g minimuma nem a τ = ϑ = π -ben vétetik fel. Az alábbi numerikus ellen rzés mutatja, hogy ez a jelenség nem a ˆφ becslés linearizálásának hibájából származik, hanem 4 a becslési eljárás egy érdekes tulajdonsága. Ábrázoljuk g 0.9, 0.05, 0, τ, ϑ, 000-t illetve ĝ 0.9, 0.05, 0, τ, ϑ, 000-t M = 0000 mintaelemszám mellett 3. ábra. Empirikus hatékonyságvizsgálat az általános esetben Legyen λ = 0.8, λ = 0.65, λ 3 = 0.5, N = 000. Rögzítsük, hogy τ = ϑ. Ekkor a f függvényt, és f numerikus becslését ábrázolhatjuk x ϑ x = τ x = 0, illetve ϑ x = τ x = π 4 mellett 4. és 5. ábra. Az f, ˆf függvényeket is ábrázolhatjuk x ϑ x = τ x = 0, illetve ϑ x = τ x = π mellett 6. és 7. ábra. 4 4

42 .5 ϑ g Τ a.0.5 b. ábra. a g, illetve b ĝ, mint ϑ és τ függvénye 0 ϑ, τ π..5 ϑ g Τ a b 3. ábra. a g, illetve b ĝ, mint ϑ és τ függvénye 0 ϑ, τ π. Τ y ϑ y f Τ z ϑ z a 3 b 4. ábra. a f és b ˆf. ϑ x = τ x = 0, 0 ϑ z = τ z, ϑ y = τ y π 4

43 Τ y ϑ y 3 0 f Τ z ϑ z a 3 b 5. ábra. a f és b ˆf. ϑ x = τ x = π 4, 0 ϑ z = τ z, ϑ y = τ y π. Τ y ϑ y f Τ z ϑ z a 3 b 6. ábra. a f és b ˆf. ϑ x = τ x = 0, 0 ϑ z = τ z, ϑ y = τ y π 3 Τ y ϑ y f Τ z ϑ z 3 a b 7. ábra. a f és b ˆf. ϑ x = τ x = π 4, 0 ϑ z = τ z, ϑ y = τ y π. 43