Csüllög Mária A DUALITÁS KÉRDÉSEI A LINEÁRIS PROGRAMOZÁSBAN - A DUÁLIS PROBLÉMA KÖZGAZDASÁGI ÉRTELMEZÉSE

Átírás

1 Csüllög Mária A DUALITÁS KÉRDÉSEI A LINEÁRIS PROGRAMOZÁSBAN - A DUÁLIS PROBLÉMA KÖZGAZDASÁGI ÉRTELMEZÉSE. BEVEZETÉS A mai gazdasági helyzetben, a gazdaságszilárdítás időszakában a legjobb, legcélszerűbb megoldások meglelése, mind a gazdasági, mind a társadalmi élet egyéb szféráiban nagyjelentőségű s ezért munkánk tárgya is a lineáris modell duálisa, alamint a duális probléma közgazdasági értelmezése. Ez a téma több okból is időszerű. Először is, a gyakorlatban nem alkalmazzák kielégítő mértékben a lineáris programozást, a nem lineárisát még keésbé. Ennek több oka is an, de egyik sem bizonyíthatja, hogy a lineáris programozást nem lehet, agy nem. célszerű alkalmazni. A lineáris programozás ugyanis a terezés intuití módszereihez iszonyíta jelentős haladást jelent. A lineáris programozás legfőbb fogyatékossága a módszer statikus jellege, agyis az a feltételezés, hogy a izsgált probléma összes paramétere állandó és ismert. Ez a fogyatékosság bizonyos mértékben csökkenthető a megfelelő duális probléma elemzéséel, alamint a duális áltozók közgazdasági értelmezéséel. Elemzésünk célja, hogy rámutassunk arra, hogyan kaphatunk csupán a duális probléma értelmezéséel - tehát minden toábbi munka nélkül - több információt a izsgált problémáról. Célunk a kapott eredmények gyakorlati alkalmazhatóságának elemzése is.. DUÁLIS PROBLÉMA A lineáris programozás elméletében a dualitásnak igen fontos szerepe an. Közgazdasági szempontból a dualitás azt jelenti, hogy minden termelési folyamattal egyidejűleg, és el nem álasztható módon, megjelenik az értékelési folyamat is. A termelési folyamatban a cél a maimális hatékonyság, a duális problémában, agyis az értékelési folyamatban pedig olyan értékrendszer kialakítása, amely az előírt hatékonysági szintet minimális ráfordítással éri el. Ez azt jelenti, hogy minden maimum problémához hozzárendelhetünk egy minimum problémát, és fordíta. A kiinduló modellt primáris, a hozzáren-

2 delt modellt pedig duális problémának neezzük. Ezeknek a problémáknak az általános alakja a köetkező: A primáris probléma: 3= o A=Sb c* = z» ma A duális probléma: d* 3= o* d* A 3= c* d*b = * min Ezekben a kifejezésekben a primáris áltozók ektora A ráfordítás mátri c* a primáris áltozókhoz rendelt hatékonyság ektor b a rendelkezésre álló erőforrások ektora. Láthatjuk, hogy a primáris és duális modellben ugyanazok az állandók szerepelnek, mégpedig az A, b és a c* A primáris és duális modell összefüggésének elemzését először is néhány tétel felsorolásáal kezdjük': a) A duális probléma duálja a primáris probléma. Ezért nem lényeges, hogy melyik moueiit kezeljük primárisként. b) A primáris probléma lehetséges megoldásának megfelelő z célfüggény érték kisebb agy egyenlő a duális probléma d* megoldásának megfelelő célfüggény értékkel, agyis érényes a köetkező reláció: c* s= d*b c) Csak akkor an a problémának optimális megoldása, ha a primárisnak és a duálisnak is an lehetséges megoldása. Fordíta is érényes ez a tény, ami azt jelenti, hogy ha an mindkét problémának lehetséges megoldása, akkor biztos, hogy an optimális megoldás is. Tulajdonképpen a primár- és duál-optimum nem álasztható külön, és külön-külön nem is egzisztálnak. Ezt a tényt a köetkező módon ábrázolhatjuk:

3 A fenti zárt láncnak agy minden része megan, agy legkeesebb két láncszem hiányzik. d) Ha a 0 a primáris probléma, illete a d c a duális probléma olyan megoldása, hogy értékeikre érényesül a c* = d*b egyenlőség, akkor az 0 a primáris- a d pedig a duális probléma optimális megoldása. e) Ha a primáris problémának alternatí optimuma an, a duális probléma degenerált, és fordíta. f) A duális modell annyi áltozót tartalmaz, ahány korlátja an a primáris modellnek, agyis a primáris minden korlátjához egy duális áltozót rendelünk. Külön eset az egyenlőség korlát; ugyanis ehhez úgyneezett mesterséges áltozót rendelünk, amelyikre nem onatkozik a nemnegatiitási feltétel. 3. A DUÁLIS MODELL KÖZGAZDASÁGI ÉRTELMEZÉSE A duális modell felállítása és megoldása nem jelent külön problémát sem gyakorlati, sem elméleti szempontból. Hiszen a duális modell megoldását a primáris modell megoldásáal egyidejűleg megkapjuk. Nehézséget a duális feladat feltételrendszerének és áltozóinak közgazdasági értelmezése jelent. Valójában minden gyakorlatban felemerülő feladatnál külön, fokozott figyelemmel meg kell izsgálni ezt a kérdést, elemezni, és csak azután adni meg a gyakorlat szempontjából is hasznos közgazdasági értelmezést. 3.. A normál maimum feladat duálisa A normál maimum probléma korlátozó feltételei a rendelkezésre álló erőforrásokra onatkoznak, míg a célfüggény a maimalizálandó hatékonyságot

4 tartalmazza. Már említettük, hogy minden primáris korláthoz hozzárendelünk egy duális áltozót, amiből az köetkezik, hogy minden egyes duál korlát egy-egy primáris áltozóra onatkozik. Mind a primáris, mind a duális modellben a műszaki együttható az egységnyi ráfordítást mutatja, a duális ár, agyis a duális áltozó pedig az adott forrás egységnyi árát. A duális modell j-edik korlátja a primáris probléma j-edik áltozójára onatkozik és a köetkező formában írható fel: a jd + a i d a n d n 3= Cj. A primáris és duális modellben is a korlát bal oldala a megalósított helyzetet mutatja. A primáris probléma esetében a kihasznált erőforrásról an szó, a duális problémánál pedig arról, hogy egy primáris áltozónak mennyi a relatí önköltségi ára. Ez nem egy olyan önköltségi ár, ami azt mutatja, hogy egy egységnyi termékben mennyi a tárgyiasult munka mennyisége, hanem a köetkezőkről an szó: A primáris áltozó csak akkor kerül a programba, ha az érték kiegyenlítődik a megalósított haszonnal. Vagyis, a j-edik primáris áltozó csak akkor kerül be a programba, ha a duális probléma j-edik korlátja egyenlőség formában alósul meg. Az a áltozó, amelyiknél a duál korlát bal oldala nagyobb a jobbnál, nem kerül a programba. Szóal, ha a befektetett érték nagyobb, mint a megalósított haszon, a áltozó a bázison kíül marad. Tulajdonképpen a duális korlát jobb oldala felfogható egy kritériumként, illete célként. A modell megoldásáal megkapjuk az úgyneezett kiegészítő áltozók értékeit is. Ezek a áltozók mutatják a duál korlát bal és jobb oldala közötti különbséget. Ha a kiegészítő áltozó értékét nullára csökkentjük a jobb oldal nöeléséel, (ez a nöelés természetesen egyenlő a kiegészítő áltozó értékéel), de a többi korlátot nem áltoztatjuk, a duál probléma degenerálttá álik. Ez egyben azt jelenti, hogy a primáris problémának alternatí megoldása lesz, illete a duál korláthoz tartozó áltozó bekerülhet a programba. Ez úgy is értelmezhető, hogy, ha lehetséges az adott termék elfogadható értékesítési szintjét emelni annyial, amennyi a duál korlát bal oldala, a termék a programba kerülhet. Tehát a duál problémát értelmezhetjük egy társadalmi értékmérlegként, amiben a korlátok az egyes termékekre onatkoznak és meghatározzák az előállítási költségszintet, amennyiben ez a szint elérhető, a termék az optimális programba kerül, illete, ha ez a szint nem érhető el, a termék a programon kíül marad. A duális célfüggény az előállítási költségeket tartalmazza és logikus cél a függény minimuma. Nem logikáal ellentétes a duális korlát, ellenkezőleg, a közgazdasági gyakorlatban nagyon is elfogadható: hisz egy terméket bármilyen magas költséggel nem probléma előállítani ha an elegendő kapacitás, sokkal nagyobb probléma ezeket a költségeket egy elfogadható alacsony szintre csökkenteni. Gondoljunk csak a hazai termék külföldön aló értékesítésére! Miért nem kifizetődő a kiitel? A ilágpiacon nem az a költségkritérium éré-

5 nyes, mint a hazai piacon, illete a termékek zöménél nem tudtuk elérni a ilágpiaci költségszintet - termékeink túl drágák. Itt az a kérdés, hogy miként érhető el a szükséges szint - a technikai együtthatók, agy a duális árak csökkentéséel. Ha a termelési folyamatból és a duális árak értelmezéséből indulunk ki, magától értetődő, hogy mindenekelőtt a technikai együtthatókat kell csökkenteni (agyis a ráfordításokat), ugyanis alószínű, hogy a ilágpiacon a duális ár is adott (azaz az erőforrás egységnyi ára). A meghatározott duális ár toább hatányozza a költségproblémát. 3.. A minimum probléma duálisa A minimum probléma duálisának közgazdasági értelmezését egy általános példán keresztül mutatjuk be. A primáris modell egy keerék problémát tartalmaz. Az ; az egyes nyersanyagok mennyiségét, a Cj a nyersanyagok egységnyi árát, az a;; pedig a j-edik nyersanyag egy egységében leő i-edik hatóanyag tartalmat mutatja. A primáris modell egy olyan keerék összeállítását szorgalmazza, amelyben a költségek minimálisak és a keerék az előírt minimális hatóanyag szintet (b ) eléri. Szimbólumokkal a modell a köetkező: Xj3 o j =,,..., n i= i aijxjssbi i =,,...,m n CjXj =» min A megfelelő duális probléma pedig: d í o m i =,,..., m di a ü c i j =,,..., n = m b; d = z» ma Ebben az esetben a dj duális áltozó az i-edik hatóanyag egységnyi árát mutatja. A duális köetelmény pedig az, hogy a hatóanyagoknak olyan áruk legyen, hogy a j-edik nyersanyag ára nagyobb legyen a nyersanyagban leő hatóanyagok értékénél. A duális cél pedig a keerék maimális hatóanyag-értéke. A primáris problémát a keeréket előállító részleg probémájának tekinthetjük - érthető, hogy a gyártó célja a felhasznált nyersanyagok minimális összeköltsége. A duális modell az eladó szempontjából mutatja be a problémát. Realizáció-

6 ról léén szó, célként, automatikusan, a legmagasabb árbeétel merül fel. Ebben az esetben a megfelelő árbeétel a hatóanyagok értékesítéséel érhető el. Mind a primáris, mind a duális probléma optimuma az a pont, amelyben a nyersanyagok költségszintje kiegyenlítődik a hatóanyagok értékéel A duális árak közgazdasági értelmezésének néhány lehetősége A duális modell elemzésénél feltétlenül felmerül a duális árak, más szóal árnyékárak, illete marginális árak közgazdasági értelmezése. Maimum probléma kisebb egyenlő korlát A teljes egészében kihasznált kapacitáshoz pozití marginális ár fűződik. Ez a pozití marginális ár azt mutatja, hogy ha az adott kapacitást egy egységgel nöeljük, hány egységgel nöekszik a célfüggény értéke. Az itt felmerülő kérdés az, hogy egy ilyen korlát minden esetben nöelhető-e, illete minden nöelés meghozza-e a marginális árral aló célfüggény-nöekedést. Toábbá az is izsgálandó, hogy érényes-e a marginális ár az ellenkező irányban is, agyis a jobb oldal csökkenése csökkenti-e a célfüggény értékét, agy esetleg programáltozást eredményez alamely más szűk garat miatt. A kihasználatlan kapacitás marginális ára nulla, ami azt jelenti, hogy az ilyen kapacitás nöelése és bizonyos kereteken belüli csökkentése nem hat ki a célfüggényre. Maimum probléma nagyobb egyenlő korlát Amennyiben egy nagyobb egyenlő korlát egyenlőség formában alósul meg, akkor a programra negatían ható korláttal állunk szemben. Ugyanis, ha a korlát pozitían hatna ki az optimumra, akkor nagyobb egyenlő alakban alósulna meg. Vegyünk erre egy egyszerű példát! Tegyük fel, hogy az A termékből, a kötött szerződések miatt legkeesebb 000 darabot kell termelni. Ha az optimális progamban pontosan 000 darab an az A termékből, az azt jelenti, hogy az A terméket nem kifizetődő termelni ilyen mennyiségben, és a korláthoz fűződő duális ár mutatja a célfüggény nöekedését a termékre onatkozó köetelmény egy egységgel aló csökkentése esetében. Ugyanis, ha az A termékből csak 999 darabot kérünk, akkor a kihagyott egy darab helyett egy jobban kifizetődő termék kerül a programba. A marginális ár pedig azt mutatja, hogy mennyiel kifizetődőbb ez a másik termék (persze a másik termék darabszámának meghatározása nélkül), illete mennyiel nöekszik a célfüggényérték. Érdemes itt is kiizsgálni, hogy melyik irányban érényes a marginális ár. Vajon minden esetben mindkét irányban áltoztathatjuk-e a jobb oldalt, és melyik az a termék, amelyik belép a kizárt egység helyébe, illete melyik termék mennyiségét kell csökkenteni, ha egy ilyen termékmennyiségre onatkozó alsó limitet egy egységgel emelünk. Ki kellene izsgálni ilyen esetben is a marginális ár onatkozásának interallumát.

7 Ha a nagyobb egyenlő korlát egyenlőtlenség formában alósul meg (a bal oldal nagyobb), akkor a marginális ár nulla, és a korlát egységnyi áltozása nem hat ki a célfüggény értékére, és természetesen a kapott programra sem. Maradjunk az előbbi, az A termékre onatkozó példánál. Az A termékből toábbra is 000 darabot kérünk, de most tegyük fel, hogy az optimális programban 500 darab szerepel. Világos, hogy ilyen esetben az A-ra onatkozó korlát nöelése 00-re, agy csökkentése 999-re nem áltoztat semmit a kapott eredményen. Maimum probléma egyenlőség korlát Az egyenlőség korláthoz rendszerint nullától különböző pozití, agy negatí marginális ár fűződik. A pozití marginális ár azt mutatja, hogy mennyiel nöekszik a célfüggény értéke, ha a megfelelő jobb oldalt egy egységgel nöeljük. Ezzel szemben a negatí marginális árral csökkenti a célfüggény értékét a jobb oldal nöelése. Minimum probléma Minimum probléma esetében is, a korlát típusától függően, pozití és negatí marginális árat is kaphatunk. Ezeket az árakat a maimum problémánál említett módon értelmezzük. 4. A DUÁLIS ÁRAK ÉRVÉNYESSÉGI TARTOMÁNYA Amint már említettük, a duális árak hatékonyságának interalluma külön problémát jelent. A feletett kérdés az, hogy a korlát jobb oldala legtöbb hány egységgel áltozhat, alamint a áltozások milyen irányban történhetnek, azzal, hogy ez az optimumra ne hasson ki. A duális áltozók tulajdonképpen a maimum probléma kiegészítő áltozói és hozzájuk egységektorok tartoznak. Ezek a duális, illete kiegészítő áltozók alkotják, maimum probléma esetében a szimple módszer kezdő bázisát. A módosított szimple módszer alkalmazásánál a kiinduló szimple tábla a köetkező: * d* d A I b c* o :: " O A kezdő bázist a megfelelő szimple kritériumok szerint elemi bázistranszformációal áltoztatjuk. Miután elégeztünk k számú iterációt, a köetkező táblát kapjuk:

8 ! i! N-! N-'b -n*n _ 'b j i*-(n*n _ )A Ha a felső tábla utolsó sora nem pozití, az utolsó oszlopa pedig nem negatí, alamint az y ektor nem tartalmaz mesterséges áltozókat, akkor a tábla optimális megoldást tartalmaz. Az egyes szimbólumoknak a köetkező a jelentése: y a bázis áltozók ektora - primáris és duális (kiegészítő) áltozókat tartalmazhat, N~'b a bázis áltozók értékeit mutatja; primáris áltozó esetében a kapott érték közetlenül a áltozó értékét adja; ha a bázis áltozó duális áltozó, akkor a feltüntetett érték azt mutatja, hogy az adott áltozóra onatkozó korlát nem egyenlőség alakban alósul meg, hanem a duális áltozó értékéel eltér a bal a jobb oldaltól, n*n _ l a bázison kíüli duális áltozók értékeit adja, N - ' az inerz bázis, n*n~'b a program értéke. A köetkezőkben meghatározzuk a duális árak érényességi tartományát, agyis azt, hogy a megfelelő kapacitást mennyiel nöelhetjük, agy mennyiel csökkenthetjük úgy, hogy minden egységnyi áltozás a duális árral áltoztassa a célfüggény értékét. Tételezzük fel, hogy a j-edik kapacitás 00%-ban kihasznált, ami egyben azt jelenti, hogy a marginális ára nullától nagyobb. Ez a marginális ár azt mutatja, hogy mennyiel nöekszik a célfüggény értéke, ha az illető kapacitást egy egységgel bőítjük. Azonban a gyakorlat szempontjából ez az egy egység többnyire nem nagy jelentőséggel bír, ezért szükséges a marginális árak érényességi tartományának meghatározása. Jelöljük az optimális inerz bázis elemeit Cij-el, a j-edik kapacitás mennyiségi áltozását pedig t-el. Legyen j=, akkor az y-nal jelölt bázison kíüli áltozók ektora a köetkező: y = C CI Cl Ci> Cin C n b, + t b. Cn

9 Az y ektornak csak nemnegatí elemei lehetnek, agyis y & 0. Ebből köetkezik a köetkező egyenlőtlenségrendszer: c (b,+t) + c, b +...+c, n b n >0 c l (b, + t) + c b + + c n b n 3 0 c n, (b, + t) + c n b + + c n n b n 3= 0 illete: c,,t 3 - (c,,b + c, b c, n b n ) Cit 3 _ (c ibj + c b c b ) c it 3 - (c n,b, + c n b c n n b n ) A fenti egyenlőtlenségrendszert t szerint oldjuk meg. így a kapott eredmény az az interallum, amelyen belül minden egységnyi kapacitásáltoztatás a marginális árral nöeli agy csökkenti a célfüggény értékét. Az egyenlőtlenségrendszer mátri alakban a köetkező módon írható fel: t.[ C i ]3=-(N-'b) i =, n A fenti egyenlőtlenség jobb oldala a () táblázat utolsó oszlopát tartalmazza, ellenkező előjellel. A bal oldalon a t mellett a c, ektor szerepel, ami tulajdonképpen az inerz bázis megfelelő oszlopa. Amennyiben a primáris problémát táblázatban oldjuk meg, szimple módszerrel, a C; ektor annak a bázison kíüli duális áltozónak az oszlopa, amelyikre néze meg akarjuk határozni a marginális ár érényességi tartományát. Ez egyben azt jelenti, hogy az optimum meghatározásáal egyidejűleg biztosítottak a marginális árak érényességi tartományának kiszámításához szükséges adatok. Példa A P,, P és P 3 termékek gyártásához az S nyersanyagot használják. Naponta legkeesebb 60 kg S nyersanyagot kell feldolgozni. A nyersanyag felhasználási normatíák termékenként rendre 4 kg/db, 3 kg/db. és kg/db. A termékeket két üzemrészlegben kell megmunkálni. Az első üzemrészleg

10 berendezéseinek összkapacitása napi 0 óra. Egy darab Pi, P, illete P 3 terméket 3 óra, 5 óra, illete óra alatt munkálnak meg. A második üzemrészleg kapacitását (00 óra) 00%-ban kell kihasználni. Itt az egyes termékek gyártásához rendre óra, óra, illete óra szükséges. Meg kell határozni azt a napi termelési teret, amelyik maimális összjöedelmet biztosít. Az egységre eső jöedelem 80 dinár, 00 dinár, illete 00 dinár, sorban a P), P és P 3 termékre onatkozólag. Jelöljük r el az i-edik termékből termelt darabszámot. Az adott szöeg alapján a köetkező modell állítható fel: X,X , , s= 0, = 00 80, = z -> ma A probléma megoldási menete a köetkező: 3 d* d 3 d *~ d* / / / d *3 3 d* /3 /3 -/3 -/3 0 -/3 (8/3) -/3 /3 80 -/6 /6 /3 /6 40 0/3 40/3-30«-0/ d 3 d«3 / -/4 -/4 -/ 0 -/4 3/8 -/8 /4 30 -/8 -/«/6 / X)

11 Az optimális megoldás szerint 30 darab P és 35 darab P 3 terméket kell gyártani, a maimális jöedelem pedig dinár. A duális probléma megoldása:, = -0 d = 5 3 = 05 A duális megoldás, illete marginális ár érényességi tartománya: A V) áltozóra a köetkező egyenlőtlenségeket kapjuk: t 3 0 = > t t 3-30 = > t s= t 3-35 = > t «80 8 A fenti egyenlőtlenségekben a t a nyersanyag felhasználási korlát lehetséges ingadozását jelenti. A rendszer megoldása: 0 sít s= 0 Ennek jelentése a köetkező: Ha a feldolgozandó nyersanyag-mennyiséget, a 60 kg-ot, csökkentjük, akkor áltozik a program. A jobb oldal csökkentése nem nöeli a célfüggény értékét annyial, amennyi a marginális ár (0 dinár/kg), hanem áltoztatja az optimális program szerkezetét. Ha nöeljük a nyersanyag-feldolgozási köetelményt, és ez a nöelés legtöbb 0 kg lehet, minden egységnyi nöelés 0 dinárral csökkenti a célfüggény értékét. Ha a nyersanyag-felhasználási köetelményt több mint 0 kilogrammal nöeljük, akkor áltozik a program. A d áltozóhoz tartozó egyenlőtlenségek a köetkezők: t3 0 t s= 0 t t t s=560

12 Ebben az esetben a keresett érényességi tartomány: - 80 ss t s= 0 Ennek a kapacitásnak a bőítése nem hat ki a célfüggény értékére, agyis a duális ár pozití irányban nem érényes. A kapacitás nöeléséel a marginális ár nullára csökken és a kapacitás nem lesz teljes egészében kihasznála. Másrészt ezt a kapacitást csökkenthetjük legtöbb 80 óráal és minden óra csökkentés a célfüggény értékét 5 dinárral csökkenti. Ha a kapacitáscsökkentés több mint 80 órát tesz ki, akkor áltozik a program, s konkrét esetben nem lesz lehetséges megoldás. A kisebb egyenlő korlátokhoz mindig nem negatí marginális ár fűződik. Ha az illető kapacitást a kapott interallum felső határánál többel nöeljük, akkor a marginális ár nullára csökken, ha pedig az alsó határnál többel csökkentjük, akkor a program áltozik, a marginális ár úgyszintén. A } áltozóra onatkozó egyenlőtlenségek => t ss 0 t 3-30 => t ss 40, c 560 t 3-35 => t 3 6 agyis a keresett érényességi tartomány: 560 ss t ss 0 Az egyenlőség korláthoz fűződhet pozití agy negatí marginális ár. Esetünkben az erőforrás marginális ára pozití 05 dinár. Tekintetbe ée ezt az értéket és a kapott interallumot, a köetkező gazdasági magyarázatot adhatjuk: A köetelmény jobb oldalának nöelése programáltozást hoz. Viszont a jobb oldal csökkentése maimum 560/ óráal nem áltoztatja a kapott program szerkezetét, de minden egységnyi csökkentés 05 dinárral csökkenti a jöedelmet. 5. ZÁRÓSZÓ A duális korlátok gazdasági értelmezését minden problémánál külön-külön kell kiizsgálni és különbözőképpen értelmezni. Egy általános gazdasági értelmezést, ami minden duális korlátra onatkozna, nem adhatunk. A duális árak értelmezésénél, éleményük szerint, clmaradhatatlanul ki kell számítani a feldolgozott módon a duális árakra onatkozó interallumot.

13 A duális interallum meghatározása nélkül a duális árat csak egy egységre onatkoztathatjuk, alamint a hatás irányát nem tudjuk. A duális árak érényességi tartományának kiizsgálása különös jelentőséggel bír a fejlesztési programok kidolgozásánál. Rezime Dual linearnog programiranja - ekonomska interpretacija dualnog problema Predmet oog rada je dual linearnog ekonomsko-matematičkog modela kao i ekonomska interpretacija dualnog problema. U radu razmatrane su medjusobne eze i odnosi izmedju primarnog i dualnog problema. Ukazano je na mogućnosti ekonomske interpretacije dualnog modela u zaisnosti od karaktera primarnog problema. Konstatoano je da se u ekonomskoj interpretaciji dualnog problema mora uek poći od specifičnosti datog problema. Posebno je tretiran problem metoda utrdjianja interala definisanosti dualnih cena, sa posebnim akcentom na značaj odredjianja oe eličine prilikom proširianja kapaciteta i donošenja odluka o planoima razoja. Summary The Dual of the Linear Programing - Economic Interpretation of the Dual Problem This work deals with the dual of linear economic-mathematical model as well as the economic interpretation of the dual problem. The analysis points out the corelation between primar and dual problem. It shows the possibility of economic interpretation of dual model depending on the character of primar problem. The author states that the economic interpretation of dual problem must start from the specific characteristics of the problem. Special attention is payed to the method of determining the interal of definition of dual prices and the importance of determining of these alues when epanding the capacities and making decision about plans of deelopment.

14 Jegyzetek ' A tételek bizonyítását a megfelelő szakirodalom tartalmazza. A példa szöegét dr. Szórád György Ekonomsko-matematički metodi i modeli - Zbirka problema című könyéből kölcsönöztük. / rodalomjegyzék l.dr. Djordje Sorad: Ekonomsko matematički metodi i modeli. Ekonomski fakultet, Subotica, 98.. Dr. Djordje Sorad: Ekonomsko-matematički metodi i modeli - Zbirka problema. Ekonomski fakultet, Subotica, Dr. DragišaStojanoić: Operaciona istražianja. Ekonomski fakultet, Beograd, Krckó Béla: Optimumszámítás. Közgazdasági és Jogi Könykiadó, Budapest, Ljubomir Martié: Matematičke metode za ekonomske analize. Informátor, Zagreb, 966.