Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor
Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html webhelyen. A Matematika Tanszék honlapja: http://math.sze.hu
Tervezett tematika 1. Komplex számok. Műveletek algebrai és trigonometrikus alakban adott komplex számokkal. 2. Egyváltozós valós függvények, tulajdonságai. Elemi függvények. 3. Számsorozatok. 4. Egyváltozós valós függvények határértéke, folytonossága. 5. Egyváltozós valós függvények differenciálása. Alapderiváltak. 6. Differenciálási szabályok, tételek. 7. A L Hospital-szabály. Függvények menetének vizsgálata. 8. Szélsőérték feladatok. 9. Taylor-polinomok, Taylor-sorok. 10. A határozatlan integrál fogalma, alapintegrálok, parciális integrálás. 11. Riemann-integrál, Newton-Leibniz tétel. 12. A Riemann-integrál alkalmazásai. 13. Közönséges differenciálegyenletek bevezetése. 14. Közönséges differenciálegyenletek néhány megoldási módszere. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1. előadás Komplex számok (1)
1. Az a és b valós számokból alkotott rendezett párt (a, b) jelöli. A rendezett párok egyenlőségét így definiáljuk: (a, b) = (c, d) a = c és b = d. (1) Tehát nem csak az számít, hogy milyen számok alkotják a rendezett párt, a számok sorrendje is fontos. Rendezett párokkal már korábban is találkoztunk. Például a sík pontjait a pont koordinátáiból alkotott rendezett párokkal lehet megadni. 2. A komplex számok C halmaza az összes (a, b) valós számokból alkotott rendezett párok halmaza: C = {(a, b) a, b R}. (2) Tekintsük a z = (a, b) komplex számot. Az a valós számot a komplex szám valós részének hívjuk és Re(z)-vel jelöljük, a b valós számot a komplex szám képzetes részének hívjuk és Im(z)-vel jelöljük. 3. A rendezett párok egyenlőségének (1) definíciójából következik, hogy két komplex szám csak akkor egyenlő, ha egyenlők a valós és egyenlők a képzetes részek is.
4. A komplex számok halmazán a következő módon definiáljuk az összeadás és a szorzás műveletét: legyen (a, b), (c, d) C, ekkor (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (3) Példa 1 (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). (4) (3, 1) + ( 2, 4) = (1, 3), (3, 1) ( 2, 4) = ( 2, 14).
5. Az (a, 0) a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés és az (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) (5) azonosságok mutatják, hogy a komplex számok halmazának van egy részhalmaza, a nulla képzetes részű komplex számok halmaza, amely izomorf a valós számok halmazával. A komplex számok halmaza a valós számok halmazának kibővítése. Ha a komplex összeadást és szorzást valós számra, mint speciális komplex számra alkalmazzuk, akkor visszakapjuk a jól ismert valós összeadást és szorzást. Ezentúl használni fogjuk az (a, 0) = a jelölést. 6. Az (a, b)+(0, 0) = (a, b) és az (a, b) (1, 0) = (a, b) azonosságok mutatják, hogy (0, 0) = 0 játsza a zérus, (1, 0) = 1 az egység szerepét. A (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1 (6) képlet alapján a komplex számok között van egy olyan szám, amelynek a négyzete 1. Ennek a komplex számnak rendkívül nagy szerepe van, ezt a komplex számot képzetes egységnek hívjuk és i-vel jelöljük. i = (0, 1), i 2 = 1. (7)
7. Tekintsük a következő felírást: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) (1, 0) + (b, 0) (0, 1) = = a (1, 0) + b (0, 1) = a 1 + b i = a + bi. (8) Ezek szerint a komplex számok felírhatók a + bi alakban, ahol a, b R, i 2 = 1, azaz C = {a + bi a, b R, i 2 = 1}. (9) Az összeadás és a szorzás ebben az alakban: Példa 2 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (10) (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i (11) (2 3i) + ( 1 + i) = 1 2i, (12) (2 3i) ( 1 + i) = 1 + 5i. (13)
8. A továbbiakban ezt a jelölést fogjuk használni és a szorzást jelölő pontot nem rakjuk ki. A szorzást elvégezhetjük a definíció alapján is, de úgy is, hogy a kéttagú algebrai kifejezésekben minden tagot minden taggal megszorzunk, figyelembe vesszük, hogy i 2 = 1, majd összevonjuk az azonos típusú tagokat. (a+bi)(c+di) = ac+bci+adi+bdi 2 = (ac bd)+(ad+bc)i. Ezt a számolási módot javasoljuk a szorzás elvégzésére, a tapasztalat szerint biztonságosabb, mint a definíció használata. Abban a speciális esetben, ha a szorzat egyik tényezője valós szám, kapjuk, hogy (a + 0i)(c + di) = a(c + di) = ac + adi. (14) Tehát valós számmal úgy szorzunk meg egy komplex számot, hogy megszorozzuk mind a valós, mind a képzetes részt.
9. Legyen z, v, w C. Az összeadásra és a szorzásra vonatkozó legfontosabb azonosságok: z + w = w + z, (15) (z + v) + w = z + (v + w) = z + v + w, (16) zw = wz, (17) (zv)w = z(vw) = zvw, (18) z(v + w) = zv + zw. (19) Tehát a komplex számok körében az összeadására és szorzására ugyanazok az azonosságok érvényesek, mint a valós számok körében. Be lehet bizonyítani, hogy ha z, w C és zw = 0, akkor z = 0 vagy w = 0.
10. A kivonást a következőképp definiáljuk: z w = z + ( 1)w. (20) Ha z = a + bi, w = c + di, akkor ezt azt jelenti, hogy z w = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (21) Példa 3 (2 + 3i) ( 1 + 5i) = 3 + ( 2)i = 3 2i. (22) 11. A z = a+bi komplex szám konjugáltja a z = a bi komplex szám. A későbbiekben fontos szerepe lesz annak, hogy ha z = 0, akkor z = 0, és zz = (a + bi)(a bi) = a 2 + b 2 R, (23) Ez alapján tehát zz akkor és csak akkor nulla, ha z = 0.
12. Ezután az osztás definíciója a következő. Legyen z = a + bi tetszőleges, w = c + di = 0 komplex szám. Ekkor z w = z w w w = z w w w = (a + bi)(c di) (c + di)(c di) = (a + bi)(c di) (ac + bd) + ( ad + bc)i = = = c 2 + d 2 c 2 + d 2 ac + bd ad + bc = + i. (24) c 2 + d 2 c 2 + d 2 Még inkább, mint a szorzásnál, itt sem a (24) képletet érdemes megjegyezni, hanem az eljárást, amivel azt kaptuk. Erre úgy szoktunk hivatkozni, hogy osztáskor bővítünk a nevező konjugáltjával, majd elvégezzük a kijelölt műveleteket.
Példa 4 3 i 1 + 2i = (3 i)(1 2i) (1 + 2i)(1 2i) (3 i)(1 2i) = = 1 7i 1 2 + 2 2 5 = 1 5 7 5 i. Példa 5 3 2 i 3(2 + i) = (2 i)(2 + i) = 6 + 3i 2 2 + 1 = 6 + 3i 2 5 = 6 5 + 3 5 i. Példa 6 4 + 2i i = ( 4 + 2i)i ( i)i = 2 4i 1 = 2 4i.
13. A konjugálásra vonatkozó legfontosabb azonosságok a következők. Legyen z, w tetszőleges, ha w a nevezőben van, akkor w = 0. z ± w = z ± w, z w = z w, (25) ( ) z = z, w w (z) = z. (26) 14. Ha z = a + bi, akkor a z komplex szám hossza vagy abszolút értéke z = a 2 + b 2. (27) Az abszolút értékre vonatkozó azonosságok: zz = z 2, zw = z w, z w = z w, (28) z = z, z + w z + w. (29)
Feladat 1 Számítsuk ki az alábbi kifejezés értékét. ( 4 2i (2 + i)(1 i) Megoldás: Az ilyen bonyolultabb kifejezéseket több úton is ki lehet számítani. Olyan utat kell választani, hogy lehetőleg mindig csak egyszerű dolgot kelljen elvégezni, és az eredeti kifejezés mégis egyszerűsödjön. Most például célszerűtlen lenne a négyzetre emelés elvégzésével kezdeni. Inkább elvégezzük a számlálóban a konjugálást, eredményül 4 + 2i-t kapunk. Ezután kiszámoljuk a nevezőben álló szorzatot. Kapjuk, hogy ) 2 (2 + i)(1 i) = 2 + i 2i i 2 = 3 i. A törtünk tehát, aminek a négyzetét ki kell számolnunk 4 + 2i 3 i. De 4 + 2i 3 i = (4 + 2i)(3 + i) (3 i)(3 + i) = 10 + 10i 10 = 1 + i. Az eredeti kifejezés értéke tehát (1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = 2i. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Feladat 2 Oldjuk meg a komplex számok halmazán az alábbi egyenletrendszert. iz 1 + 2z 2 = 1 + 2i (1 i)z 1 (3 + i)z 2 = 1 3i Megoldás: Ez egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer z 1 -re és z 2 - re. Mivel az eddigiek alapján a komplex számokkal ugyanúgy kell számolni, mint a valós számokkal, a középiskolában tanult módszerek alkalmazhatók. Szorozzuk meg az első egyenletet 1 i-vel, a másodikat i-vel. Mivel (1 i)i = 1 + i, és (1 + 2i)(1 i) = 3 + i (1 + i)z 1 + (2 2i)z 2 = 3 + i (1 + i)z 1 ( 1 + 3i)z 2 = 3 i Ha most a második egyenletet kivonjuk az elsőből kapjuk, hogy (1 + i)z 2 = 2i, amiből z 2 = 1 + i. Ha ezt behelyettesítjük az első egyenletbe, akkor iz 1 = 1, amiből z 1 = i. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Feladat 3 Oldjuk meg a komplex számok halmazán az alábbi egyenletet. z 2 = iz Megoldás: Legyen z = a + bi. Ha ezt behelyettesítjük az egyenletbe, kapjuk, hogy a 2 b 2 + 2abi = b + ai. Két komplex szám csak úgy lehet egyenlő, hogy egyenlők a valós és a képzetes részeik is. Tehát teljesülnie kell az a 2 b 2 = b 2ab = a valós számokra vonatkozó, igaz nemlineáris egyenletrendszernek. Itt a második egyenlet teljesül, ha a = 0, ezt beírva az első egyenletbe kapjuk, hogy b 2 = b, amiből b = 0 vagy b = 1. Ha a = 0, akkor a második egyenletből b = 1/2, amit az elsőbe beírva a 2 = 3/4 adódik, innen a = ± 3/2. Négy megoldás van tehát: 0 + 0i = 0, 0 + ( 1)i = i, 3/2 + i/2 és 3/2 + i/2.
Feladat 4 Oldjuk meg a komplex számok halmazán az alábbi egyenletet. z 2 = 8 + 6i Megoldás: Legyen z = a + bi. Ha ezt behelyettesítjük az egyenletbe, kapjuk, hogy a 2 b 2 + 2abi = 8 + 6i. Megint, a valós és képzetes részek egyenlősége miatt, kapjuk, hogy a 2 b 2 = 8 2ab = 6. Először is sem a, sem b nem nulla. Így a második egyenletből b = 3/a, ezt beírva az első egyenletbe kapjuk, hogy a 2 9/a 2 = 8. Beszorozva a 2 -el és rendezve nyerjük az a 2 -re másodfokú (a 2 ) 2 8a 2 9 = 0 egyenletet. Ebből a megoldóképlettel a 2 = 9 vagy a 2 = 1, de mivel a valós szám, ez nem lehet. Tehát a = ±3. Ha a = 3, akkor b = 1, ha a = 3, akkor b = 1. Két megoldás van tehát: 3 + i, és 3 i. Vegyük észre, hogy nem csináltunk mást, mint algebrai alakban négyzetgyököt vontunk 8 + 6i-ből, ez eddigi ismereteinkel összhangban a két négyzetgyök egymás mínusz egyszerese. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit