AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 4. gyakorlat
Interpretáció A ϱ függvényt az L (0) = LC, Con, Form nulladrendű nyelv egy interpretációjának nevezzük, ha Dom(ϱ) = Con Ha p Con, akkor ϱ(p) {0,1}.
Megjegyzések az interpretáció feladata az, hogy szemantikai értéket rendeljen a nemlogikai konstansokhoz. A nulladrendű logikában a nemlogikai konstansok állítások helyettesítésére szolgálnak. (Az állítások lehetséges szemantikai értékei az igazságértékek, így egy interpretáció minden nemlogikai konstanshoz egy igazságértéket rendel.) Ha a nulladrendű nyelvben n darab nemlogikai konstans van, akkor a különböző interpretációk száma 2 n.
Szemantikai szabályok A ϱ jelöli az A formula ϱ interpretáció szerinti értékét. Ha p Con, akkor p ϱ =ϱ(p) Ha A Form, akkor A ϱ =1- A ϱ. Ha A,B Form, akkor (A B) ϱ = 0, ha A ϱ =1 és B ϱ =0 1, egyébként. (A B) ϱ = 1, ha A ϱ =1 és B ϱ =1 0, egyébként.
Szemantikai szabályok (A B) ϱ = 0, ha A ϱ =0 és B ϱ =0 1, egyébként. (A B) ϱ = 1, ha A ϱ = B ϱ 0, egyébként.
Példa Tfh. p ϱ = 0 és q ϱ = 0 Ekkor ( p (p q)) ϱ =? ( p (p q)) ϱ = 1 - ( p (p q)) ϱ = * p ϱ = 1 (p q)) ϱ = 0 ezért: ( p (p q)) ϱ = 0 * = 1-0 = 1
Igazságfunktorok Azokat a logikai konstansokat (logikai műveleteket), amelyek szemantikai szabálya egy f:{0,1} (n) {0,1} függvénnyel megadható, n argumentumú igazságfunktoroknak nevezzük. A logikai konstansok igazságfunktorok: negáció (n=1) implikáció (n=2) konjunkció (n=2) diszjunkció (n=2) ekvivalencia (n=2)
A negáció p p 0 1 igazságtáblázata Tipikus természetes nyelvi alakja: 'Nem igaz, hogy...' Legyen A Form. A kiolvasása: Nem igaz, hogy A. Non A. Negáció A. Kettős negáció törvénye: A A 1 0
Az implikáció 0 1 0 1 1 igazságtáblázata Tipikus természetes nyelvi alakja: Ha..., akkor... Legyen A,B Form. (A B) kiolvasása: Ha A, akkor B. Amennyiben A, úgy B. A implikáció B. A implikálja B-t. 1 0 1
Az implikáció tulajdonságai (A A) Modus ponens (leválasztási szabály): {(A B),A} B Modus tollens (indirekt cáfolás sémája):{(a B), B} A Láncszabály: {(A B),(B C)} (A C) Redukció ad abszurdum: {(A B),(A B)} A A (A B) B (A B)
Az implikáció tulajdonságai Áthelyezési törvény: ((A B) C) (A (B C)) Kontrapozíció: (A B) ( B A) (A A) A ( A A) A (A (B C)) ((A B) (A C)) (A ( A B)) ((A B) C) ((A C) (B C))
A konjunkció 0 1 0 0 0 igazságtáblázata Tipikus természetes nyelvi alakja:... és... Legyen A,B Form. (A B) kiolvasása: A és B. A konjunkció B. 1 0 1
A konjunkció tulajdonságai Felcserélhető (kommutatív): (A B) (B A) Csoportosítható (asszociatív): (A (B C)) ((A B) C) Idempotens: (A A) A (A B) A, (A B) B Az ellentmondás törvénye: (A A)
A diszjunkció 0 1 0 0 1 igazságtáblázata Tipikus természetes nyelvi alakja:... vagy... (megengedő értelemben) Legyen A,B Form. (A B) kiolvasása: A vagy B. A diszjunkció B. 1 1 1
A diszjunkció tulajdonságai Felcserélhető (kommutatív): (A B) (B A) Csoportosítható (asszociatív): (A (B C)) ((A B) C) Idempotens: (A A) A A (A B) {(A B), A} B A kizárt harmadik törvénye. (A A)
A (materiális) ekvivalencia 0 1 0 1 0 igazságtáblázata 1 0 1 Tipikus természetes nyelvi alakja:... akkor és csak akkor, ha... Legyen A,B Form. (A B) kiolvasása: A akkor és csak akkor, ha B. A ekvivalens B(-vel). A materiálisan ekvivalens B(-vel). A materiális jelzőt gyakran elhagyjuk. Szerepeltetését pusztán az indokolja, hogy megkülönböztessük a (materiális) ekvivalencia műveletét a logikai ekvivalencia relációjától.
A (materiális) ekvivalencia tulajdonságai (A A) (A A) Kommutatív: (A B) (B A) Asszociatív: (A (B C)) ((A B) C)
A konjunkció és a diszjunkció De Morgan törvények Mit állítunk akkor, amikor egy konjunkciót tagadunk? (A B) ( A B) Mit állítunk akkor, amikor egy diszjunkciót tagadunk? (A B) ( A B)
Az első De Morgan törvény bizonyítása A B A B ( A B) (A B) (A B) 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0
A második De Morgan törvény bizonyítása A B A B ( A B) (A B) (A B) 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0
Centrális logikai fogalmak modell kielégíthetőség kielégíthetetlen következményreláció érvényesség logikai ekvivalencia
Modell Legyen L (0) = LC,Con,Form egy nulladrendű nyelv és Γ Form egy tetszőleges formulahalmaz. A ϱ interpretáció nulladrendű modellje a Γ formulahalmaznak, ha minden A Γ esetén A ϱ =1. Legyen L (0) = LC,Con,Form egy nulladrendű nyelv és A Form egy tetszőleges formula. Az A formula modelljén az {A} egyelemű formulahalmaz modelljét értjük.
Példák Γ={A, B, (A B)} modellje: A ϱ =1 B ϱ =1 mert így (A B) ϱ =1, tehát Γ minden eleme igaz ϱ szerint Γ={A, (A B), (A B)} modellje: A ϱ =1 B ϱ =1
Példák modell megkeresése igazságtáblával Γ = {p, (q p), (q p)} p (q p) (q p) 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 Keressük azt Ehhez az interpretációt, felírjuk táblázatos amely szerint a formulahalmaz formában minden a halmaz eleme igaz. minden formuláját, alá pedig minden lehetséges interpretációt, azaz Alkalmazzuk p harmadik és q összes sor, a szemantikai lehetséges azaz szabályokat interpretáció igazságértékét lesz és kiszámoljuk sorra a modell. vesszük. az egyes Ennek Ebből a műveletek négyfélét sornak és alatti tudunk a p oszlopokat oszlopának elkészíteni: is. a Így metszetében kapunk 31-es főoszlopot. szerepel, p hamis, tehát q hamis a modell (1. sor) 1-et Olyan rendel p hamis, sort p-hez. q kell igaz Hasonló keresni, (2. sor) módon amelyben megállapíthatjuk, p igaz, q mindhárom hamis (3. hogy sor) zöld a q-hoz szám 0-t p rendel igaz, igaz q a (azaz igaz modell. (4. 1). sor) Ha Tehát: találunk, A lényeg, ϱ(p)=1 akkor hogy és megvan minden ϱ(q)=0a p alatt modell. ugyanaz az oszlop és minden q alatt ugyanaz az oszlop lesz.
Kielégíthetőség Legyen L (0) = LC, Con, Form egy nulladrendű nyelv és Γ Form egy tetszőleges formulahalmaz. A Γ formulahalmaz kielégíthető, ha van modellje. Legyen L (0) = LC, Con, Form egy nulladrendű nyelv és A Form egy tetszőleges formula. Az A formula kielégíthető, ha az {A} formulahalmaz kielégíthető.
Példa Γ={A, B, (A B)} kielégíthető-e? IGEN, van modellje: A ϱ =1 és B ϱ =1 A B (A B) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Kielégíthetetlenség Legyen L (0) = LC, Con, Form egy nulladrendű nyelv és Γ Form egy tetszőleges formulahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégíthetetlen, ha nem kielégíthető, azaz nincs modellje. Legyen L (0) = LC, Con, Form egy nulladrendű nyelv és A Form egy tetszőleges formula. Az A formula kielégíthetetlen, ha az {A} formulahalmaz kielégíthetetlen.
Példa Γ={A, B, (A B), (A B)} kielégíthetetlen-e? IGEN, nincs modellje: A B (A B) (A B) 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1
Következményreláció Legyen L (0) = LC, Con, Form egy nulladrendű nyelv, Γ Form egy tetszőleges formulahalmaz és A,B Form két tetszőleges formula. A Γ formulahalmaznak logikai következménye az A formula, ha a Γ { A} formulahalmaz kielégíthetetlen. Jelölés: Γ A. Az A formulának logikai következménye a B formula, ha a {A} B. Jelölés: A B
Példa {A, B, (A B)} (AV B)? - IGEN A B (A B) (A B) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0
Érvényesség Legyen L (0) = LC, Con, Form egy nulladrendű nyelv, és A Form egy tetszőleges formula. Az A formula érvényes, ha A, azaz ha az A formula logikai következménye az üres halmaznak. Jelölés: A
Példa (AV B)? - NEM A B (A B) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0
Logikai ekvivalencia Legyen L (0) = LC, Con, Form egy nulladrendű nyelv, és A,B Form két formula. Az A és a B formula logikailag ekvivalens, ha A B és B A. Jelölés: A B
Példa ( A B) (AV B)? - Ha I. és II. I. ( A B) (AV B)? - IGEN A B A B ( A B) ( A B) (AV B) (AV B) 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0
Példa ( A B) (AV B)? II. (AV B) ( A B)? - IGEN A B A B ( A B) ( A B) (AV B) ( A B) 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0
Centrális logikai fogalmak tulajdonságai Legyen L (0) = LC, Con, Form egy nulladrendű nyelv, Γ Form egy tetszőleges formulahalmaz és A,B Form két tetszőleges formula. 1. Ha Γ kielégíthető formulahalmaz és Δ Γ, akkor Δ kielégíthető formulahalmaz. 2. Ha Γ kielégíthetetlen formulahalmaz, és Γ Δ, akkor Δ kielégíthetetlen formulahalmaz. 3. Γ A akkor és csak akkor, ha a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az A formulának (azaz az {A} egyelemű formulahalmaznak) is.
Centrális logikai fogalmak tulajdonságai 4. Ha A érvényes formula ( A), akkor minden Γ Form formulahalmaz esetén Γ A. 5. Ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor minden A formula esetén Γ A. 6. Dedukció tétel: Ha Γ {A} B, akkor Γ (A B). 7. Dedukció tétel megfordítása: Ha Γ (A B), akkor Γ {A} B.
Centrális logikai fogalmak tulajdonságai 8. A B akkor és csak akkor, ha (A B) 9. A B akkor és csak akkor, ha (A B) 10. Metszet tétel: Ha Γ {A} B és Δ A, akkor Γ Δ B. Megjegyzés: bizonyítások lásd KISKÁTÉ