1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl) fogalma, tétel az ábrázolt szám hibájáról. Példák a véges számábrázolás miatt előforduló furcsaságokra. Definíció: Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz: Gépi számhalmaz tulajdonságai: 1) 2) a -ra szimmetrikus 3) A legnagyobb pozitív szám: 4) A legkisebb pozitív szám: 5) Relatív hibakorlát: az -et követő gépi szám Gépi szám megfeleltetése valós számnak: Definíció: Az függvényt input függvénynek nevezzük, ha Tétel: Ha,, akkor az ábrázolt szám hibája: az -hez legközelebbi gépi szám a kerekítés szabályai szerint Következmény: ha Azaz az ábrázolt szám relatív hibakorlátja, vagyis csak -től függ.
-ben előforduló furcsaságok 1), ahol Pl. 2) Asszociativitás nem teljesül: Pl. bal oldal: jobb oldal: 3) Kivonási jegyveszteség a. b. átalakítás a pontosabb számításért: c. másodfokú egyenlet gyökei d. részeredmény nem ábrázolható, de a végeredmény igen:
2. A hibaszámítás elemei. Az abszolút és relatív hiba ill. hibakorlát fogalma. Tétel az alapműveletek abszolút és relatív hibájáról. A függvényérték abszolút és relatív hibája. A függvény pontbeli kondíciószámának fogalma. Definíció: Következmény: : pontos érték, : közelítő érték : közelítő érték (pontos) hibája : közelítő érték abszolút hibája : közelítő érték egy abszolút hibakorlátja (gyakorlatban): közelítő érték relatív hibája : közelítő érték relatív hibakorlátja Tétel: Az alapműveletek hibakorlátai problémás műveletek: kis számmal osztás, közeli számok kivonása Bizonyítás: Összeadás: Tegyük fel, hogy és azonos előjelű. Abszolút értéket véve, felülről becsülve és az abszolút hibakorlát fogalmát felhasználva:, tehát Összeg relatív hibakorlátja: Kivonás: Tegyük fel, hogy és azonos előjelű. Abszolút értéket véve, felülről becsülve és az abszolút hibakorlát fogalmát felhasználva:, tehát
Különbség relatív hibakorlátja: Szorzás: ugyanis Tehát Szorzat relatív hibakorlátja: Osztás: Tegyük fel, hogy és azonos nagyságrendű. Hányados abszolút hibakorlátja: Hányados relatív hibakorlátja:
A függvényérték hibája: Tétel:, ekkor, ahol és Bizonyítás: Lagrange-tétellel: Tétel:, ekkor, ahol Bizonyítás: Taylor-formulával: ( : középpont) Jó közelítés, ha kicsi. Következmény: ha kicsi. Definíció: A mennyiséget az függvény -beli kondíciószámának nevezzük.
3. Lineáris egyenletrendszerek (LER) megoldása Gauss-eliminációval. Az elimináció és a visszahelyettesítés műveletigénye. A sor-, illetve oszlopcsere szükségessége. A részleges és teljes főelemkiválasztás. Gauss-elimináció Jelölések: (eredeti) 1. lépés: 1. egyenlet változatlan új. egyenlet. egyenlet. egyenlet //ha Egyenletek:. lépés:. egyenlet változatlan új. egyenlet. egyenlet. egyenlet //ha. lépés után: felsőháromszög alak Visszahelyetteítés:
Műveletigény 1) Gauss-elimináció. lépés: osztás szorzás összeadás, kivonás : olyan függvény, melyet -tel osztva korlátos függvényt kapunk. 2) Visszahelyettesítés osztás meghatározása: osztás szorzás összeadás, kivonás Megjegyzések: 1) Ha, akkor sort vagy oszlopot kell cserélni. Sorcsere nem változtatja a megoldást, oszlopcsere esetén a megoldás komponensei felcserélődnek. 2) A lineáris egyenletrendszer megoldhatósága menet közben kiderül. sok megoldás nincs megoldás 3) Számítógépes megvalósítások a. Részleges főelemkiválasztás A. lépésben az elemek közül a maximális abszolút értékű sorát felcseréljük a. sorral. A megoldás nem változik. sor: vektor Ebben cserélünk. Minden hivatkozás ezen keresztül történik.
b. Teljes főelemkiválasztás A. lépésben a. sorok,. oszlopok által meghatározott mátrix részben a maximális abszolút értékűt keressük. Sorát a. sorral, oszlopát a. oszloppal cseréljük. A megoldás változik. sor:, oszlop: vektorok Ezekben cserélünk, hivatkozások.
4. A GE alkalmazásai: determináns számítása, azonos mátrixú lineáris egyenletrendszerek megoldása, mátrix inverz számítás. A GE felírása speciális mátrix szorzásokkal. Kapcsolata az LU felbontással. A Gauss-elimináció alkalmazásai: 1) Determináns számítása felsőháromszög alakból : a sor- és oszlopcserék inverzióinak együttes száma 2) Azonos mátrixú lineáris egyenletrendszerek megoldása,, 3) Mátrix inverzének meghatározása (Gauss-elimináció végrehajtása) mátrixegyenletet kell megoldani. Ez darab mátrixú lineáris egyenletrendszer megoldását jelenti. Ha a jobboldalakat egymás mellé rakjuk, a 2) pont alapján csak egyszer kell eliminálni, tehát az kiegészített táblázatra alkalmazott Gauss-eliminációval meghatározhatjuk az inverzet. Gauss-elimináció felírása speciális mátrix szorzásokkal 1 1 0 1 0 0 1 1 jelentése: 1) Az. oszlopa változatlan 2) Az új. sor. sor. sor 3) A Gauss-elimináció. lépése: Következmény: A főelemkiválasztás nélküli Gauss-elimináció felírható a következő alakban: Ahol alsóháromszög mátrix a főátlóban -esekkel és felsőháromszög mátrix.
Állítás: Bizonyítás: Állítás: Bizonyítás: Teljes indukció Tfh -ra igaz, bizonyítsuk -re Megjegyzés: -t összepakoljuk nem elemeiből. 1. Gausseliminációs lépés után 2. GE lépés után az eredeti oszlopot -gyel végigosztjuk Egy mátrixban van és.
5. Az LU felbontás, tétel az -ről. A főminorok és az LU felbontás kapcsolata. és elemeinek meghatározásának menete, sorrendek az elemek kifejezésére. Műveletigénye. Definíció: LU felbontás, ahol alsóháromszög mátrix főátlóban -esekkel és felsőháromszög mátrix. 1) 2) Az LU felbontás ismeretében két háromszögmátrixú egyenletrendszer megoldásával (visszahelyettesítéssel) megoldható a lineáris egyenletrendszer. Tétel: Az LU felbontás GE végrehajtható sor- és oszlopcsere nélkül. Bizonyítás: Ha a Gauss-elimináció nem akad el miatt (tehát nincs szükség sor- vagy oszlopcserére), akkor a. lépés felírható alsóháromszög mátrixszal történő szorzással. Az elimináció végén kapott és mátrixok a felbontásban szereplő mátrixok. Tétel: Jelöljük -val a. főminort. Ha, akkor felbontás és Bizonyítás: teljes indukcióval Tfh felbontás és. Készítsük el felbontását! 1) 2) 3) 4) és elemeinek meghatározása az szorzásból Fontos a jó sorrend: sorfolytonos, oszlopfolytonos vagy parketta-szerű. Műveletigény: 2 / 3 n 3 * (n 2 )
6. Fogalmak: A szimmetrikus, pozitív definit, szigorúan diagonálisan domináns a sorokra ill. oszlopokra, fél sávszélesség, profil, Schur-komplementer. A GE (LU felbontás) megmaradási tételei. Definíció: 1) szimmentrikus, ha. 2) pozitív definit, ha. 3) soraira nézve szigorúan diagonálisan domináns, ha oszlopaira nézve szigorúan diagonálisan domináns, ha 4) fél sávszélessége, ha, de. 5) profilja a (sorra) és (oszlopra) számok, ha rögzített,, de és rögzített,, de. 6) Tfh és invertálható. Ekkor az az mátrix -re vonatkozó Schur-komplementere. Megmaradási tételek: Tétel: A GE során (LU felbontás) a következő tulajdonságok nem változnak: 1) A szimmetrikus => [A A 11 ] is szimmetrikus 2) Det(A) 0 => det (*A A 11 +) 0 3) A poz. def => [A A 11 ] is poz. def. 4) A félsévszélessége > *A A 11 ] félsévszélessége 5) [A A 11 ]-ben az l i, k j értékek nem csökkennek
7. Az LDU felbontás és a Cholesky-féle felbontás, kapcsolatuk az LU felbontással. Tétel a Choleskyféle felbontásról. LDU felbontás: A = L * D * U, ahol L felső háromszög, egyes diagonálissal; U alsó, 1-es diagonálissal; D diagonális. Visszavezetjük az LU felbontásra: A = L * U ~ = L * D <=> D -1 * U ~ = U; D diag(u ~ 11,, u ~ nn) Áll.: A szimmetrikus => A = L * D * U-ban U = L T Biz.: L -1 *\ A = L * D * U /* (L -1 ) T L -1 * A * (L -1 ) T = D * U * (L T ) -1 Szimmetrikus [ 0 \ 0 1 - ] [ - 0 1 - ] => U * (L T ) -1 = I => U = L T LL T (Cholesky-féle) felbontás: A szimmetrikus; A = L * L T, ahol L teljes felső háromszög, és l ii > 0. Tétel: Ha A szimmetrikus és poz def, akkor! A = L * L T felbontás. Biz.: : A = L *D * L T felbontásból A poz def => det(a k ) > 0 => u kk > 0 => d kk > 0 D diag( d 11,, d nn ) A = (L * D) * ( D * L T ) L ~ L ~T Megj.: LU-ból ugyanígy!: Indirekt TFH L 1 L 2 : A = L 1 * L 1 T = L 2 * L 2 T ; D i = diag(l 11 (i),, l nn (i) ) (L 1 * D 1-1 ) * (D 1 * L 1 T ) = (L 2 * D 2-1 ) * (D 2 * L 2 T ) Mivel az LU felbontás egyértelmű, => D 1 * L 1 T = D 2 * L 2 T <=> D 1 2 = D 2 2 (mivel d ii > 0) D 1 = D 2 => L 1 T = L 2 T ELLENTMONDÁS!
8. QR felbontás Gram-Schmidt ortogonalizációval. Tétel a létezésről, egyértelműségről. QR felbontás Gram-Schmidt ortogonalizációval: Numerikus módszerek tételek TFH q 1,, q k-1 ismert Tétel: Ha A oszlopai lineárisan függetlenek, akkor A = Q * R felbontás. Ha feltesszük, hogy r kk > 0 k-ra, akkor egyértelmű is. Biz.: : lásd levezetés.!: Indirekt: TFH két különböző QR felbontás A = Q 1 * R 1 = Q 2 * R 2 Q Q T 2 * Q 1 = R 2 * R -1 1 =: R Q * Q T = (Q T 2 * Q 1 ) * (Q T 2 * Q 1 ) T = Q T 2 * (Q 1 * Q T 1 ) * Q 2 = I I I = Q T * Q = R T * R => R = I <=> R 2 * R 1-1 = I => R 2 = R 1 ELLENTMONDÁS.
18. A Newton-módszer és konvergencia tételei (monoton, lokális). f(x) = 0-ra, x 0 tetszőleges kezdőérték A k. lépésben az (x k, f(x k )) ponton átmenő érintővel közelítjük az f-et. X k+1 az érintőnek az x tengellyel vett metszéspontja. Globális vagy monoton konvergencia tétel: Érintő: y - f(x k ) = f (x k ) * (x x k ) m X tengellyel vett metszéspont: -f(x k ) = f (x k ) * (x k+1 - x k ) -f(x k )/f (x k ) = x k+1 x k x k+1 xk - f(x k )/f (x k ) TFH f C 2 *a,b+ és 1) x* [a,b] : f(x*) = 0 2) f és f állandó előjelű 3) x 0 [a,b] : f(x 0 ) * f (x 0 ) > 0 Ekkor x 0 -ból indított Newton módszer konvergens x*-hoz. Biz.: Spec. Eset: f, f > 0 (a többi ugyan így megy) Taylor-formula alkalmazása: x k kp. ϕ (x; x k ) v. (x k ; x) x x k+1 : => f(x k+1 ) > 0 k-ra f(x 0 ) > 0 3. feltétel => f(x k ) > 0 k. T á k) konv.:
L ká k v g é TFH f C 2 *a,b+ és 1) x* [a,b] : f(x*) = 0 2) f állandó előjelű 3) 0 < m 1 f (x), x [a,b] 4) f (x) M 2, x [a,b] M M 2 /2*m 1 5) X 0 [a,b] Ekkor az x 0 -ból indított Newton-módszer másodrendben konvergens, és hibabecslése: Biz.: Taylor-formula alkalmazása: x k kp., x x * hely. Becslés: Belátjuk teljes indukcióval, hogy az x k k r (x * ): x 0 x * < r. OK 5. feltétel TFH x k x * < r ε k Vizsgáljuk: Hibabecslésből folytatjuk a konvergencia bizonyítását: ε k+1 M * ε k 2 /*M M * ε k+1 (M * ε k ) 2 d k+1 d k 2 d k+1 d k 2 (d k-1 2 ) 2 (d 0 ) 2^k+1
M * ε k+1 (M * ε 0 ) 2^k+1 ε k+1 1/M * (M * ε 0 ) 2^k+1 k 0 k+1 hiba <1 konvergencia rend bizonyítása: -ból x k x * (k )
19. Húrmódszer, szelőmódszer, többváltozós Newton-módszer. Húrmódszer: f(x) = 0-ra, x 0 a, x 1 b, és f(a)*f(b) < 0. A k. lépésben az (x k ;f(x k )) és (x s ;f(x s )) pontokon átmenő egyenes közelíti f-et, ahol x s : a legnagyobb indexű pont, melyre f(x k )*f(x s ) < 0 x k+1 : az egyenes metszéspontja x tengellyel. Tétel: TFH f C 2 *a,b+ és 1) f(a) * g(b) < 0 2) M M 2 /2*m 1 (mint a Newton-módszernél) 3) M * (b-a) < 1 Ekkor az x 0 -ból indított húrmódszer konvergens, és x k+1 x * 1/M * (M * x 0 x * ) 2 NEM BIZ! Szelőmódszer: Húrmódszerből származtatható, úgy, hogy i k+1, és nincs előjel feltétel. Tétel: Ha teljesülnek a Newton-módszer lokális konvergencia tételének feltételei, akkor a szelőmódszer konvergens rendben, és NEM BIZ! Többváltozós Newton-módszer: F-nek az elsőfokú Taylor-polinómja: x (k+1) : Taylor-poli = 0 Végrehajtása:
á é
20. A Horner algoritmus polinom és deriváltja helyettesítési értékeinek gyors számolására. Becslés a polinom gyökeinek elhelyezkedésére. Horner algoritmus: Polinomok helyettesítése értékeinek, és derivált értékeinek számolására Algoritmus: Állítás: Biz.: é Állítás: é NEM BIZ! Polinomok gyökeinek becslése: Tétel: A P(x) polinom bármely x k gyökére
Biz.: a)tfh x R belátjuk, hogy P(x) > 0 => x nem gyök b) x 1/y hely