YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához nélkülözhetetlenek, valamint matematikai ismeretek bővítése a szakirodalom tanulmányozásához. Tartalom: Határozatlan integrál alkalmazásai (ívhossz, felszín, súlypont, inercia számítására). Kétváltozós függvények szélsőértékhelyének meghatározása. Improprius integrál. Közelítő integrálás. Lineáris algebra elemei: függetlenség, bázis. Lineáris egyenletrendszer megoldása: Gauss elimináció. Determináns, Cramer szabály a lineáris egyenletrendszer megoldására. Mátrix sajátvektora, sajátértéke. Valószínűségszámítás: Véletlen esemény, eseménytér, műveletek eseményekkel. Klasszikus eseménytér, kombinatorika. Valószínűségi változó és jellemzői (eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, várható érték szórás, medián). Nevezetes eloszlások. Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió. Irodalom: Kovács J., Takács G., Takács M.: Analízis (Matematika a műszaki főiskolák számára), 7. fejezet); Páldi V., Hajdu A., Dr Reimann I., B. Tóth F.: Matematika III. (Nemzeti Tankönyvkiadó, J15-425) 1., 3. fejezetek; Thomas-féle kalkulus II. (Typotex Kiadó), 6.3 6.5, 7., 8.7-8.8, 9.1-9.2, 9.5 fejezetek; Szabó I.: Valószínűségszámítás (Kodolányi János Főiskola), 1.-7.2 fejezetek; Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítás példatár (Nagy Duó Bt. Tatabánya, 2001); Égertné Molnár É., Hujter Mihály, Kálovics F.,. Mészáros J.: Numerikus matematika mérnököknek (Ybl Miklós Műszaki Főiskola, 1995), I.1, I.2, II., III.5 fejezetek. Ajánlott irodalom: Giordano Hass Thomas Weir: Thomas-féle kalkulus 1., Typotex Kiadó, 2011. Hass Thomas Weir: Thomas-féle kalkulus 2., Typotex Kiadó, 2008. Követelmények: 1. zh a 4. alkalommal 2. zh a 8. alkalommal 3. zh a 12. alkalommal Félévi jegy kiszámítása: A hallgatók a 4. héten írnak egy 30 pontos, a 8. héten írnak egy 35 pontos, és a 12. héten írnak egy 35 pontos dolgozatot. Mindegyik dolgozat 45 perces, és a gyakorlati órákon írják a hallgatók. Javító dolgozat az utolsó gyakorlaton, ahol minden zh külön javítható. Ha egy
hallgató legfeljebb 3-3 alkalommal hiányzik az előadásokról, ill. a gyakorlatokról, összesen legalább 30 pontot elér a gyakorlatokon megírt dolgozatokból úgy, hogy mindegyik dolgozatból szerzett legalább 5 pontot, akkor a hallgató megkapja az aláírást. Plusz 10 pontot szerezhetnek a hallgatók egy, a karon tanári felügyelet mellett megírt házi dolgozaton a házi dolgozat kiírásában szereplő feltételek teljesítése esetén -ez a dolgozat lesz a Hajós György Matematika verseny házi válogatója-, ill. további 10 plusz pontot szereznek a 2014-es Hajós György versenyen részt vevő azon diákok, akiket a Mat. és Inf. szakcsoport delegál a versenyre. Megajánlott jegy a következők szerint szerezhető: Az elért összpontszámot tekintve (a maximálisan szerezhető 100 pontból) ajánlott jegy a következőképp szerezhető: 56-65 pont: elégséges (2), 66 ponttól: közepes (3). Aki nem szerezte meg a javító dolgozatokkal sem a megajánlott jegyet, vagy pedig nem fogadja el a megajánlott jegyet, az vizsgázhat az egész félév anyagából. A vizsga 60 perces. A vizsgán megszerzett eredmény alapján az érdemjegy a következő. 56-65 pont: elégséges (2), 66-75 pont: közepes (3), 76-85 pont: jó (4), 86-100 pont: jeles (5). Tematika, ütemezés: ELŐADÁS hét A (65perc) B (70perc) 1 B: Függvények érintkezése, simulókör, Taylor polinom B: Mátrixok (speciális, inverz mátrix), determináns, adjungált mátrix inverz mátrix mátrix sajátértéke, sajátvektora 2 A: Tér koordinátageom., másodr. felületek; B: Lineáris algebra, vektorok, lineáris tér, lin. komb., függetlenség, rang, bázis, dimenzió. 3 A: Kétváltozós függvények: iránymenti derivált, totális diffhatóság, érintősík B: Véletlen események, műv. esem.- kel, Ω eseménytér, kombinatorika (gyak->!), valószínűség fogalma 4 03. A: Integrálszámítás: improprius integrál B: Valószínűség, valószínűségi axiómák, tulajdonságok, feltételes vsz, függetlenség, teljes vsz.tétele, Bayes-tétel 5 A: Közelítő integrálás B: Valószínűségi változók, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
6 A: Integrálszámítás alkalm: ívhossz B: Valószínűségi változók számjellemzői, várható érték,szórás, medián, kvantilis 7 A: Integrálszámítás alkalm: felszín, súlypont B: Csebisev egy. Nevezetes eloszlások (binomiális, Poisson, egyenletes) 8 31. A: Integrálszámítás alkalmazásai: súlypont, inercia B: Nevezetes eloszlások (exponenciális, normális, egyenletes) 9 07. A: Szétválasztható változójú és erre visszavezethető B:Numerikus bevezető; függvényközelítés: Lagrange interpoláció 10 14. A: Elsőrendű lineáris diffegyenletek B: Numerikus bevezető; függvényközelítés: Lagrange interpoláció 11 28. A: Másodrendű lineáris diffegyenletek. B: Függvényillesztés: lin.regresszió 12 máj. 05. A: Hiányos másodrendű. B: Nemlineáris egyenletek megoldása (húr, Newton) 13 máj. 12. A: csúszás, félévi összefoglaló, vizsgafelkészülés B: csúszás, félévi összefoglaló, vizsgafelkészülés GYAKORLAT hét A (90perc) B (90perc) 1 Differenciálszám.(logaritmikus deriválás, paraméteres és implicit függvények magasabb rendű deriváltjai) Mátrixok, mátrixműveletek, determináns, inverz mátrix 2 Függvények érintkezése, Taylor polinom, simulókör Lineáris algebra: vektorműveletek, lineáris függetlenség, bázis, koordináták 3 Cramer szabály sajátérték, sajátvektor Lineáris egyenletrendszer alakjai, Gauss elimináció
4 03. 1. ZH (45 perc, 30 pont, 1-3. hét Koordináta geometria; sík megadása, egyenlete; másodrendű felületek Műveletek véletlen eseményekkel, kombinatorika 5 Kétváltozós függvények: parciális derivált, gradiens, iránymenti derivált Valószínűségi tulajdonságok, klasszikus valószínűség számítása 6 Integrálszámítás: impropius integrál feltételes valószínűség, teljes valószínűség tétele, Bayes tétel, függetlenség, valószínűségi változók bevezetése 7 Közelítő integrálás Valószínűségi változók (eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény.) valószínűség kiszámítása 8 31. 2. ZH (45 perc, 35 pont, 4-7. hét Integrálszámítás alkalmazásai: ívhossz, felszín Valószínűségi változó (várható érték, szórás) 9 07. Integrálszámítás alkalmazása: súlypont, inercia, Pappus-Guldin tételek Nevezetes diszkrét eloszlások. 10 14. Differenciálegyenletekkel kapcsolatos alapfogalmak (általános, partikuláris megoldás), Szétválasztható változójú lineáris Nevezetes folytonos eloszlások Csebisev egyenlőtlenség 11 28. Szétválasztható változójú, valamint erre visszavezethető. Lineáris Elsőrendű lineáris 12 máj. 05. 3. ZH (45 perc, 35 pont, 8-11. hét Másodrendű lineáris Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása 13 máj. 12. Lagrange interpoláció, Hermite interpoláció. Lineáris regresszió (az előadás képletének alkalmazása) Javító zh Nemlineáris egyenletek megoldása (húr módszer, Newton módszer) Javító ZH: az utolsó gyakorlaton, minden zh külön javítható. (1db zh ideje 45 perc, 2db zh ideje 2x45=90 perc, 3db zh ideje 2x45=90 perc) Dolgozatokban grafikus számológépet nem lehet használni, és olyat sem, amely tud szimbolikus műveletekkel (x-et tartalmazó kifejezésekkel) számolni határértéket, deriváltat, határozatlan integrált vagy határozott integrált.
Ütemezés levelezőknek: Előadás és gyakorlat 1. Lineáris algebra elemei 1. Lineáris egyenletrendszerek megoldása (Gauss elimináció), n komponensű vektorok, műveletek vektorokkal, lineáris tér, az R n tér, vektorok lineáris kombinációja, vektorok lineáris függetlensége, összefüggő vektorok. Vektorrendszer rangja, lineáris tér dimenziója. Bázis. Reprezentációs tétel. Bázisra vonatkozó koordináták. Mátrixok. Műveletek mátrixokkal. Speciális mátrixok. Inverz mátrix. Determináns. Cramer - szabály. Mátrix sajátértéke, sajátvektora 2. 1. ZH (45 perc, 30 pont, 1. foglalkozás A tér analitikus geometriája. Az egyenes és sík egyenletei. Kétváltozós függvények 2. A totális derivált és geometriai jelentése. P0-ban totálisan deriválható függvények tulajdonságai, érintősík felírása. Iránymenti derivált, gradiens vektor és jelentése, szélsőértékszámítás. Analízis 1. Differenciálszámítás alkalmazásai: síkgörbék érintkezése. Taylor - polinom, Taylor - formula. A Taylor formula felhasználása függvények közelítő értékeinek meghatározására. Simulókör. Görbület. 3. Analízis 2. Határozatlan integrál. Határozott integrál. Improprius integrál. A határozott integrál alkalmazásai: ívhossz, felszín. Valószínűség-számítás 1. Kombinatorika. Véletlen esemény, eseményalgebra, valószínűség fogalma, axiómái, tulajdonságai. Klasszikus valószínűség-számítási feladatok. Feltételes valószínűség, teljes valószínűség tétele, Bayestétel. Események függetlensége. 4. 2. ZH (45 perc, 35 pont, 2-3. foglalkozás Analízis 3. Integrálszámítás alkalmazása: Homogén síklemez súlypontja és inercia-nyomaték számítása. Forgástestek térfogatának számítása Pappus-Guldin tételek segítségével. Közelítő integrálás: Trapéz-formula, Simpson- formula. Valószínűség-számítás 2. Valószínűségi változók, eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény. Várható érték, szórás. 5. Analízis 4. Differenciálegyenletek fogalma, típusai. Általános és partikuláris megoldás. Kezdeti érték feladat. Szétválasztható változójú és arra visszavezethető. Elsőrendű lineáris. Valószínűség-számítás 3. Nevezetes eloszlások: binomiális, egyenletes, exponenciális, normális eloszlás. Csebisev egyenlőtlenség. 6. 3. ZH (45 perc, 35 pont, 4-5. foglalkozás 1. illetve 2. zh javítása. Analízis 5. Másodrendű lieáris megoldása. Numerikus módszerek. Alapfogalmak, a numerikus módszerek típusai, alkalmazásának szükségessége. Függvényközelítés interpolációval: Lagrange-interpoláció. Regresszió-számítás. Nem lineáris egyenletek megoldása: érintőmódszer, húrmódszer. Mintafeladatok. Dolgozatokban grafikus számológépet nem lehet használni, és olyat sem, amely tud szimbolikus műveletekkel (x-et tartalmazó kifejezésekkel) számolni határértéket, deriváltat, határozatlan integrált vagy határozott integrált.