Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Végeselem-módszerek összehasonlítása tárigény és konvergencia szempontjából Szakdolgozat Szabó Emerencia Éva Alkalmazott matematikus MSc, Alkalmazott analízis szakirány Témavezet : Horváth Tamás, egyetemi tanársegéd Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 2013
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. Folytonos Galjorkin-módszer 5 2.1. Elméleti alapok.............................. 5 2.2. A módszer ismertetése.......................... 7 2.3. A folytonos módszer implementálása.................. 9 2.3.1. τ h felbontás............................ 9 2.3.2. Mátrixösszef zés......................... 12 2.3.3. w kiszámítása........................... 17 2.3.4. H 1 ) és L 2 ) norma...................... 18 3. Nemfolytonos Galjorkin-módszer DG) 19 3.1. A módszer ismertetése.......................... 19 3.2. A nemfolytonos módszer implementálása................ 22 3.2.1. τ h felbontás............................ 22 3.2.2. Mátrixösszef zés......................... 23 3.2.3. w kiszámítása........................... 25 3.2.4. L 2 ) norma........................... 25 4. Konvergencia 26 4.1. Folytonos módszer konvergenciája.................... 26 4.2. Nemfolytonos módszer konvergenciája.................. 28 5. Összehasonlítás 30 5.1. Eredmények háromszögelemekkel.................... 31 5.2. Eredmények téglalapelemekkel...................... 35 Irodalomjegyzék 38 II
Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni témavezet mnek, Horváth Tamásnak, hogy hasznos tanácsaival, észrevételeivel segítette szakdolgozatom elkészülését. Köszönöm a sok segítséget, melyet a konzultációk során és e-mailen keresztül kaptam. Nagyon hálás vagyok, hogy sokat segédkezett az implementáció során felmerül hibakeresésben. Hálával és köszönettel tartozom családomnak, szeretteimnek támogatásukért és az er t adó biztatásért. III
1. fejezet Bevezetés Az elliptikus parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldásának egyik leghatékonyabb módszere a különböz végeselem-módszerek. Gyakorlatban is számos helyen alkalmazzák ezeket a módszereket, pl.: zikai folyamatok modellezése, mérnöki szimulációk stb. Szakdolgozatom témája a folytonos és nemfolytonos Galjorkin-módszerek implementálása és összehasonlítása tárigény és konvergencia szempontjából. A dolgozat során el ször az elméleti hátteret mutatom be, azt követ en áttérek a Matlabban történ implementálásra. A folytonos és nemfolytonos esetben is háromszögeket illetve téglalapokat választottam elemeknek. A 4. és 5. fejezet tárgyalja részletesebben a különböz konvergenciatételeket illetve kiszámításra kerülnek a tárigények. Ezek segítségével deniálok egy hatékonysági függvényt, ami alapján készül az összehasonlítás. Az utolsó részben a Matlabban megírt kódokat néhány tesztfüggvényre futtatom és a kapott konvergencia ábrák egybevetésével vonom le a konklúziót a módszereket illet en. 4
2. fejezet Folytonos Galjorkin-módszer 2.1. Elméleti alapok A végeselem-módszerek összehasonlítása során a következ elliptikus Dirichlet peremérték-feladattal fogunk foglalkozni. Keressük azt az u C 2 ) C) függvényt, melyre u = f -n, u = g, ahol R n korlátos tartomány, f L 2 ), g H 1/2 ). Els ként tekintsük a homogén Dirichlet peremfeltétel esetét u = f -n, u = 0. A klasszikus feladatot írjuk át el ször gyenge alakra. Ehhez válasszunk egy v C0) 1 tesztfüggvényt. Az egyenletet szorozzuk meg a tesztfüggvénnyel és integráljuk -n, uv = fv. Az egyenlet bal oldalán a Green-tételt alkalmazva kapjuk, hogy u v ν uv = fv, ahol ν jelöli a kifelé mutató normálist. Mivel v = 0 a peremen, ezért ν uv = 0. Így a következ összefüggést kapjuk: u v = fv. 2.1) 5
Gyenge alaknál az u megoldásnak nem kell C 2 -ben lennie, elég, ha u H 1 ). Homogén Dirichlet peremfeltétel esetén elegend, ha u H 1 0). 2.1.1. Deníció. H 1 ) = {u L 2 ) : i u L 2 ) i = 1,..., n}, u 2 H 1 ) = u 2 L 2 ) + u 2 L 2 ). 2.1.2. Deníció. H 1 0) = {u H 1 ) : u = 0}, u 2 H 1 0 ) = u 2 L 2 ). 2.1.3. Deníció. Homogén Dirichlet peremérték-feladat gyenge megoldása u H 1 0), mely teljesíti 2.1)-et v H 1 0)-ra. 2.1.4. Állítás. Ha u C 1 ) kielégíti a klasszikus Dirichlet feladatot, akkor gyenge megoldás is. Ha u C 2 ) C 1 ), akkor u a klasszikus feladatnak is megoldása. Legyen au, v) := u v. Ekkor a : H0) 1 H0) 1 R bilineáris forma, amely a) korlátos, azaz M > 0, hogy au, v) M u H 1 0 ) v H 1 0 ) u, v H 1 0) b) koercív, azaz m > 0, hogy au, u) m u 2 H 1 0 ) u H 1 0). A következ állítás bizonyításától eltekintünk, [3]-ban részletesen megtalálható. 2.1.5. Állítás. A H 1 ) norma és a H0) 1 norma ekvivalens a H0)-n. 1 Most tekintsük az egyenlet jobb oldalát. Jelölje lv := fv. Ekkor l : H0) 1 R korlátos, lineáris funkcionál. 2.1.6. Tétel Lax-Milgram lemma). Legyen H valós Hilbert-tér, a : H H R korlátos, koercív, bilineáris forma, l : H R korlátos, lineáris funkcionál. Ekkor!u H, melyre au, v) = lv v H. Tehát a gyenge megoldás keresése során egy olyan u H 1 0) függvényt keresünk, melyre au, v) = lv teljesül a Lax-Milgram lemma biztosítja. v H 1 0) esetén. Ezen u létezését és egyértelm ségét Most térjünk át az inhomogén Dirichlet perem esetére, amely könnyen visszavezethet a homogén esetre. A klasszikus feladat: u = f -n, u = g. Ekkor legyen u 0 olyan, hogy u 0 = g, u = w + u 0. Így w-re egy homogén peremfeltétel feladatot kapunk: w = f u 0 ), w = 0. 6
A homogén eset gyenge alakja alapján v H0)-ra 1 igaz a következ összefüggés: w v = fv u 0 v, } {{ } } {{ } aw,v) au 0,v) lv := fv au 0, v) jelöléssel, v H0)-ra 1 aw, v) = lv. 2.2. A módszer ismertetése A folytonos Galjorkin-módszer során a közelít megoldást, melyre teljesül, hogy au h, v) = lv v H0), 1 a H0) 1 egy véges dimenziós V h alterében fogjuk keresni. V h bázisfüggvényeit jelölje φ 1, φ 2,..., φ N.?u h V h : au h, v h ) = lv h v h V h 2.2) N Az u h közelít megoldást írjuk fel a bázisfüggvények segítségével: u h = c j φ j. Cél a c j együtthatók meghatározása. Az u h bázisfüggvényekkel való felírását a 2.2-be helyettesítve kapjuk, hogy N ) a c j φ j, v h = lv h v h V h. j=1 j=1 Elég a bázisfüggvényekre megkövetelni az egyenl séget, ezért N ) a c j φ j, φ i = lφ i i = 1,..., N). j=1 Mivel a bilineáris forma, ezért érvényes a következ átalakítás, N c j aφ j, φ i ) = lφ i i = 1,..., N). j=1 s ij := aφ j, φ i ), w i := lφ i Így egy lineáris egyenletrendszert kaptunk N s ij c j = w i i = 1,..., N), j=1 ahol s ij = φ j φ i, S = {s ij } i,j=1,...,n. 7
i,j=1 i,j=1 2.2.1. Állítás. S pozitív denit. n Bizonyítás: Legyen c R n, c 0, v h := c j φ j. j=1 n n n ) n Ekkor Sc c = s ij c j c i = aφ j, φ i )c j c i = a c j φ j, c i φ i = av h, v h ). Mivel a koercív, ezért m > 0,hogy av h, v h ) m v h 2. A v h 0, ezért Sc c = av h, v h ) m v h 2 > 0. Ezzel bebizonyítottuk, hogy az S mátrix pozitív denit. 2.2.2. Következmény. Az Sc = w lineáris egyenletrendszernek egyértelm en létezik megoldása. j=1 i=1 A konvergenciatételekr l a kés bbiekben lesz szó. A végeselem-módszereknél a V h alteret szakaszonként polinomok alkotják. Az tartományt felosztjuk két dimenzió esetén pl. háromszögekre vagy téglalapokra, három dimenzió esetén pl. tetraéderekre vagy téglákra. A szakdolgozat két dimenziós feladatokkal foglalkozik els -,másod-, ill. harmadfokú polinomok esetén háromszög felosztással és téglalap felosztással is. Az felbontásának a következ ket kell teljesítenie: 2.2.3. Deníció τ h felbontás). T 1,..., T M, T k Lipschitz-folytonos k = 1,..., M, int T k int T l = k l), M k=1t k = valamint T k T l csak csúcs, teljes oldal vagy üres halmaz lehet. 2.2.4. Deníció. h-val jelöljük a τ h nomságát, ahol h = max k=1,...m diamt k ). A dolgozatban bemutatott módszerek során a τ h minden eleme azonos típusú és minden T k -n azonos fokszámú polinomokat alkalmaztam. A bázisfüggvények bizonyos csomóponti értékek segítségével adhatóak meg egy adott T k elemen. Minden csomóponti értékhez tartozni fog egy bázisfüggvény, amely az adott csomópontban 1-et vesz fel, a többi csomópontban pedig 0-t. Csomóponti értékek pl: csúcsok, felezési pontok stb. A dolgozatban használt felbontások és V h alterek: T k háromszög k = 1,..., M V h = {szakaszonként lineáris függvények} A bázisfüggvényeket az adott T k háromszög csúcspontjaiban lév értékek határozzák meg, ezek lesznek a csomóponti értékek. T k háromszög k = 1,..., M V h = {szakaszonként másodfokú függvények} A csomóponti értékek a T k háromszög csúcspontjai és az oldalak felezési pontjai. 8
T k háromszög k = 1,..., M V h = {szakaszonként harmadfokú függvények} A csomóponti értékek a T k háromszög csúcspontjai, az oldalak harmadoló pontjai és a súlypont. T k téglalap k = 1,..., M V h = {a + bx + cy + dxy alakú, elemenként bilineáris függvények } A T k téglalap csúcspontjai a csomóponti értékek. T k téglalap k = 1,..., M V h = {u : u Ti span{1, x, y, xy, x 2, y 2, x 2 y, x 2 y 2, xy 2 }} A csomóponti értékek: a T k téglalap csúcspontjai, az oldalak felezési pontjai és a súlypont. T k téglalap k = 1,..., M V h = {u : u Ti span{1, x, y, xy, x 2, y 2, x 2 y, x 2 y 2, xy 2, x 3, y 3, x 3 y 2, x 3 y, x 2 y 3, xy 3, x 3 y 3 }} A csomóponti értékek az alábbi ábrán látható pontok, ahol a téglalap oldalain a csúcsokon kívül a harmadoló pontok találhatóak. 2.3. A folytonos módszer implementálása Ebben a fejezetben a folytonos Galjorkin-módszer implementálásáról lesz szó. A kódokat Matlab-ban készítettem. A megoldandó feladat a következ : u = f, u = g. Az tartomány minden esetben a [0, 1] [0, 1] egységnégyzet lesz. 2.3.1. τ h felbontás El ször az τ h felbontását készítjük el, ahol az egyik esetben a T i elemek csak háromszögek, a másik esetben pedig csak téglalapok. Az egységnégyzetet x irány- 9
ban m részre, y irányban n részre osztjuk fel. Ezekben a rácspontokban vagyunk kíváncsiak a közelít megoldás értékére. 0, 1) 1, 1) 0, 0) 1, 0) 2.1. ábra. Egységnégyzet felosztása háromszögekre n = 2, m = 2 esetén Els fokú bázisfüggvények esetén a csomóponti értékek csak a háromszögek/téglalapok csúcsai, ezért nem lesz szükségünk a rácspontokon kívül további pontokra. Másod- ill. harmadfokú bázisfüggvények esetén már a csomópontokat is meg kell sorszámozni. El ször mindig a rácspontok kapnak egy sorszámot, utána jönnek csak a csomópontok. Így kés bb könnyebb lesz megkeresni a rácspontokat, hiszen tudjuk, hogy az els n+1) m+1) sorszámot kapták. Egy mátrixban fogjuk eltárolni a pontok sorszámait. A következ ábrákon a rács- és csomópontok sorszámozása valamint a bel lük készített mátrixok láthatóak. Mivel a pontok sorszámozása háromszögek és téglalapok esetén is ugyanaz, csak az elemek lesznek mások, ezért az ábrákon csak a háromszögrács szerepel. 1 4 7 2 5 8 3 6 9 1 4 7 2 5 8 3 6 9 2.2. ábra. Felosztás és sorszámozás els fokú bázisfüggvények esetén 1 12 4 19 7 10 2 13 14 17 5 20 21 24 8 11 15 18 22 25 1 12 4 21 7 10 13 17 22 23 2 14 5 18 8 11 15 19 23 25 3 16 6 20 9 3 16 6 23 9 2.3. ábra. Felosztás és sorszámozás másodfokú bázisfüggvények esetén 10
1 14 21 4 32 39 7 10 15 22 28 33 40 46 11 16 23 29 35 41 47 2 17 24 5 34 42 8 12 18 25 30 36 43 48 13 19 26 31 37 44 49 1 14 21 4 32 39 7 10 15 22 28 33 40 46 11 16 23 29 34 41 47 2 17 24 5 35 42 8 12 18 25 30 36 43 48 13 19 26 31 37 44 49 3 20 27 6 38 45 9 3 20 27 6 38 45 9 2.4. ábra. Felosztás és sorszámozás harmadfokú bázisfüggvények esetén A sorszámok legenerálása után el kell raktározni az adott indexhez tartozó csúcs koordinátáit is. Ezután az elemeket is megszámozzuk fentr l lefelé és balról jobbra. Tehát a bal fels sarokban lév elem lesz az els elem a jobb alsó sarokban lév pedig az utolsó. Egy mátrixban tároljuk majd az elemeket. A mátrixnak annyi sora lesz, ahány elem keletkezett a felosztás során és annyi oszlopból fog állni, ahány rácspont és csomópont található az adott elemen. Így például a 2.2 esetén a mátrix els két sora: háromszögelemeknél: téglalapok esetén: 1 2 4 5 4 2 2.3 esetén háromszögelemeknél: 2 5 4 1 3 6 5 2 téglalapok esetén: 1 2 4 10 13 12 5 4 2 17 13 14 2 5 4 1 14 17 12 10 13 3 6 5 2 16 18 14 11 15 11
2.4 esetén háromszögelemeknél: téglalapok esetén: 1 2 4 10 11 16 22 21 14 15 5 4 2 29 28 22 16 17 24 23 2 5 4 1 17 24 29 28 21 14 10 11 16 23 22 15 3 6 5 2 20 27 31 30 24 17 12 13 19 26 25 18 2.3.2. Mátrixösszef zés Az felosztása után az S mátrixot készítjük el. S ij = φ j φ i φ i -vel és φ j -vel a bázisfüggvényeket jelöljük. Elemenként fogjuk összef zni a mátrixot. Ez azt jelenti, hogy minden T s elemen kiszámoljuk a következ integrált: T s φ k φ l, ahol φ k és φ l azon bázisfüggvények, amelyekre igaz, hogy T s suppφ k ) suppφ l ). Ezeket az integrálokat egy E referenciaelem segítségével számoljuk ki. Tehát a referenciaelemen integráljuk az E-n deniált bázisfüggvényeket, majd integráltranszformáció segítségével kapjuk az aktuális T s -en vett integrál értékét. A referenciaelemek az elemek típusától függ en a következ ek: Ha háromszögekre bontjuk az tartományt, akkor az E a 0, 0), 1, 0) és 0, 1) csúcsokkal rendelkez háromszög. Ha téglalapokra bontjuk az tartományt, akkor az E a 0, 0), 1, 0),0, 1) és 1, 1) pontok által meghatározott négyzet. A referenciaelemen deniált bázisfüggvények: p = 1, háromszög: φ 1 = 1 x y φ 2 = x φ 3 = y 12
p = 1, téglalap: φ 1 = x 1)y 1) φ 2 = x1 y) φ 3 = xy φ 4 = y1 x) p = 2, háromszög: ) 1 φ 1 = 2 1 x y) 2 x y φ 2 = 2x x 1 ) 2 φ 3 = 2y y 1 ) 2 φ 4 = 4x 1 x y) φ 5 = 4xy φ 6 = 4y 1 x y) p = 2, téglalap: φ 1 = 4 x 1 ) x 1) y 1 ) y 1) 2 2 φ 2 = 4 x 1 ) x y 1 ) y 1) 2 2 φ 3 = 4 x 1 ) x y 1 ) y 2 2 φ 4 = 4 x 1 ) x 1) y 1 ) y 2 2 φ 5 = 8x x 1) y 1 ) y 1) 2 φ 6 = 8 x 1 ) xy y 1) 2 φ 7 = 8x x 1) y 1 ) y 2 φ 8 = 8 x 1 ) x 1) y y 1) 2 φ 9 = 16x x 1) y y 1) 13
p = 3, háromszög: φ 1 = 9 2 1 x y) 1 3 x y ) 2 3 x y ) φ 2 = 9 2 x x 1 ) x 2 ) 3 3 φ 3 = 9 2 y y 1 ) y 2 ) 3 3 φ 4 = 27 2 x 1 x y) 2 φ 5 = 27 2 x φ 6 = 27 2 xy φ 7 = 27 2 xy φ 8 = 27 2 φ 9 = 27 2 ) 3 x y x 1 ) 1 x y) 3 x 1 ) 3 y 1 ) 3 1 x y) y y 1 ) 3 ) 2 1 x y) y 3 x y φ 10 = 27xy 1 x y) p = 3, téglalap: φ 1 = 81 4 φ 2 = 81 4 φ 3 = 81 4 φ 4 = 81 4 φ 5 = 243 4 φ 6 = 243 4 x 1 ) x 2 ) x 1) y 1 ) y 2 ) y 1) 3 3 3 3 x 1 ) x 2 ) x y 1 ) y 2 ) y 1) 3 3 3 3 x 1 3 ) x 2 ) x y 1 ) y 2 ) y 3 3 3 x 1 ) x 2 ) x 1) y 1 ) y 2 ) y 3 3 3 3 x 1 ) x 2 ) x y 1 ) y 2 ) y 1) 3 3 3 3 x 1 3 ) x x 1) y 1 ) y 2 ) y 1) 3 3 14
φ 7 = 243 x 1 ) x 2 ) x y 1 ) y 2 ) y 4 3 3 3 3 φ 8 = 243 4 φ 9 = 243 4 φ 10 = 243 4 x φ 11 = 243 4 φ 12 = 243 4 φ 13 = 729 4 x φ 14 = 729 4 φ 15 = 729 4 φ 16 = 729 4 x x 1 ) x 2 ) x y 1 ) y y 1) 3 3 3 x 1 ) x x 1) y 1 ) y 2 ) y 3 3 3 x 2 ) x 1) y 1 ) y 2 ) y 3 3 3 x 1 ) x 2 ) x 1) y 1 ) y y 1) 3 3 3 x 1 ) x 2 ) x 1) y 1 ) y y 1) 3 3 3 x 2 ) x 1) y y 2 ) y 1) 3 3 x 1 ) x x 1) y y 2 ) y 1) 3 3 x 1 3 ) x x 1) y 1 ) y y 1) 3 x 2 ) x 1) y 1 ) y y 1) 3 3 Az integrálok kiszámolásához szükségünk lesz arra az an transzformációra, ami az E referenciaelemet az aktuális elemre képezi. Az an transzformációt írjuk fel Ax + b alakban, ahol A R 2 2, b R 2 x R 2. Az aktuális elem három csúcsát jelölje x 1, y 1 ), x 2, y 2 ), x 3, y 3 ). Tegyük fel, hogy a következ módon képezi le a referenciaelemet a transzformáció: ) 0 A + b = 0 ) 1 A + b = 0 ) 0 A + b = 1 x1 y 1 x2 y 2 x3 y 3 ) ) ) Ekkor az A és b a következ : x2 x 1 x 3 x 1 ) x1 ) A = y 2 y 1 y 3 y 1 b = y 1 15
Téglalapelemek esetén ezután az 1, 1) csúcsot a transzformáció automatikusan a téglalap negyedik, x 4, y 4 )-gyel jelölt csúcsába képezi. Jelöljük Cx + d-vel az el z an transzformáció inverzét, azaz a Cx + d az adott T s elemet képezi a referenciaelemre. Így a T s elemen vett φ i bázisfüggvények és a referenciaelem φ i bázisfüggvényei között igaz az alábbi összefügés: φ i x) = φ i Cx + d). 2.3) A T s elemen kiszámolt integrálok értékét egy lokális mátrixban tároljuk el: Loc ij = φ i φ j. T s Loc mátrix elemeinek kiszámolása: T s l=1 φ i φ j = T s T s l=1 T s 2 l φ i l φ j. Az integrál további átalakításához használjuk fel a 2.3 összefüggést: 2 2 l φ i l φ j = l φi Cx + d) l φj Cx + d) = T s l=1 2 2 l=1 m=1 m φi C ml) 2 n=1 l=1 m=1 n=1 ) n φj C nl. 2.4) Számoljuk ki a következ integrál értékét s = Cx + d helyettesítéssel: m φi Cx + d) n φj Cx + d) = m φi s) n φj s) det A. 2.5) T s E Az φ E m i s) n φ j s) értéket tároljuk el egy M mn mátrix i-edik sorának j-edik elemeként, hiszen erre az értékre a felosztás minden eleme esetén szükségünk lesz. Az M mn mátrixok segítségével a 2.4 kifejezésb l a következ t kapjuk: 2 2 2 det A M mn ) ij C ml C nl. 2.6) Így a lokális mátrix a következ lesz: 2 2 2 Loc = det A M mn ) C ml C nl. 2.7) l=1 m=1 n=1 Összefoglalva, tehát a T h felbontás elkészítése után kiszámoljuk az M mn mátrixot, majd minden elemre legyártjuk a Loc mátrixot és ezt f zzük be S-be a megfelel helyre. A bef zés azt jelenti, hogy ha a Loc mátrix adott eleme a φ i és φ j bázisfüggvényekhez tartozik, akkor azt az S j-edik sorának i-edik eleméhez adjuk hozzá. 16
2.3.3. w kiszámítása Az S mátrix összef zése után szükségünk van az egyenletrendszer jobb oldalának, a w vektornak a meghatározására. w i = lφ i = fφ i u 0 φ i, 2.8) ahol u 0 = g. A második tag átírható a következ alakba: u 0 φ i = au 0, φ i ) = gx j, y j )aφ j, φ i ), 2.9) x j,y j ) ahol x j, y j ) jelöli azt a pontot, ahol a φ j bázisfüggvény értéke 1. Mivel az aφ j, φ i ) az adottelemhez tartozó Loc mátrix egyik eleme, ezért a numerikus integrálást csak az fφ i esetében kell elvégeznünk. Ezen értékek meghatározásához Gausskvadratúrát használtam: s k fx k )φ i x k ), 2.10) k ahol x k R 2 a k. integrálási alappont, s k pedig az ehhez tartozó súly. A numerikus módszer háromszögön való integrálás esetén a 1, 1), 1, 1) és 1, 1) csúcsokkal rendelkez T 0 háromszögön van deniálva. Téglalapok esetén a T 0 a 1, 1), 1, 1), 1, 1) és 1, 1) pontok által meghatározott téglalap. Ezért ismét integráltranszformáció alkalmazására lesz szükségünk. Az integrálást elemenként végezzük el. Jelölje Bx + e azt az an leképezést, ami a T 0 -t az E referenciaelembe viszi. Így a T 0 az ABx + Ae + b leképezéssel az aktuális T j -be vihet. Ekkor fx)φ i x) = det AB fabx + Ae + b) φ i ABx + Ae + b). 2.11) T j T 0 A bázisfüggvények közötti 2.3 összefüggést felhasználva: det AB fabx + Ae + b) φ i ABx + Ae + b) = 2.12) T 0 det AB fabx + Ae + b) φ i CABx + CAe + Cb + d). 2.13) T 0 Mivel az Ax+b leképezés a Cx+d leképezés inverze, ezért CA = I és Cb+d = 0. A 2.13 ezért az alábbi módon írható át: det AB fabx + Ae + b) φ i Bx + e). 2.14) T 0 Ezzel az x k pontok kiszámítása: x k = ABx k + Ae + b, 2.15) ahol x k a T 0 elemhez tartozó integrálási alappontok. A φ i Bx + e) értékeket nem kell minden elemen újraszámolni, hiszen nem függ, attól, hogy melyik elemen integrálunk. 17
2.3.4. H 1 ) és L 2 ) norma Az S és w kiszámolása után megoldjuk az Sc = w egyenletrendszert, ahol a c i értékek lesznek a bázisfüggvények együtthatói. Az u h közelít megoldás: u h = N c i φ i. i=1 Ezután az u u h H 1 )-t és az u u h L 2 )-t számoljuk ki, ahol u a pontos megoldás. A H 1 ) norma kiszámolásához szükségünk lesz a x u u h ) és a y u u h ) függvényekre is, hiszen u u h 2 H 1 ) = u u h 2 L 2 ) + xu u h ) 2 L 2 ) + yu u h ) 2 L 2 ), ahol u u h 2 L 2 ) = u u h 2. Az integrálok meghatározása itt is Gauss-kvadratúrával történik. Az u u h, x u u h ) és a y u u h ) integrálási alappontokban vett értékeit úgy számítjuk ki, hogy a rácspontokban és a csomópontokban kiszámolt u h értékek segítségével interpolációt végzünk. Az interpoláció során háromszögek esetén egy legfeljebb p-ed fokú polinomot illesztünk az adott pontokra, téglalapok esetén pedig változójukban legfeljebb p-ed fokú polinomot keresünk. 18
3. fejezet Nemfolytonos Galjorkin-módszer DG) 3.1. A módszer ismertetése A szakdolgozatban vizsgált másik végeselem-módszer a nemfolytonos interior penalty Galjorkin-módszer. Továbbra is a következ elliptikus peremérték-feladatot szeretnénk megoldani. Keressük azt az u C 2 ) C) függvényt, melyre u = f -n, 3.1) u = g, 3.2) ahol R n korlátos tartomány, f L 2 ), g H 1/2 ). A gyenge alak meghatározásához osszuk fel el ször az tartományt az alábbi módon. τ h = {E 1, E 2,..., E m }, ahol m i=1e i = és E i E j 0, ha i j. Nemfolytonos Galjorkin-módszer esetében a τ h felbontásnak nem kell teljesítenie azt a feltételt, hogy E i E j csak csúcs, teljes oldal vagy üres halmaz lehet. A módszer akkor is m ködik, ha megengedünk ún. "függ csúcsokat" angolul hanging node), ahol E i E j pl. nem az egyik elem teljes oldala, hanem az elem oldalának csak egy szakasza. 3.1.1. Deníció. H s τ h ) = {v L 2 ) : E i τ h v Ei H s E i )} H s τ h ) neve tört Szoboljev tér, ami nem egyezik meg a törtrend Szoboljev tér deníciójával. Itt a tört kifejezés arra utal, hogy elemenként H s -beli a függvény. A gyenge alak el állításához, most is válasszunk egy v tesztfüggvényt. Legyen v H s ), ahol s 2. Szorozzuk be v-vel 3.1-et és integráljuk egy E i elemen: uv = fv. E i E i 19
Ezután alkalmazzuk a Green-tételt és jelölje ν Ei az E i elem kifelé mutató normális vektorát: u v E i νei u)v = E i fv. E i Miután minden E i elemen elvégeztük a szorzást és az integrálást, adjuk össze az egyenleteket. Így a következ t kapjuk: u v νei u)v = E i E i E i τ h E i τ h fv. 3.3) Ezt a kifejezést fogjuk tovább alakítani, de el tte deniáljuk az ugrás és az átlag fogalmát. Jelölje Γ h a bels élek halmazát, ν e pedig az élre mer leges egységvektort. Ha az e él az E 1 és E 2 elemet határolja, akkor ν e azon egységvektor, ami E 1 -r l E 2 -re mutat. 3.1.2. Deníció. v átlagát jelölje {v } és {v } := 1 2 v E 1 + 1 2 v E 2. 3.1.3. Deníció. v ugrására a [v ] jelölést használjuk majd, ahol [v ] := v E1 v E2. Ha az e él peremél, akkor {v } = [v ] = v E1. Most vizsgáljuk a 3.3 egyenlet bal oldalának 2. tagját. Ehhez tekintsünk egy E i és egy E j elemet, melyek közös élét jelölje e. Ekkor e bels él, ν Ei és ν Ej legyenek az e-re mer leges egységvektorok, ν Ei E i -r l E j -re, ν Ej pedig E j -r l E i -re mutasson. Így fennáll, hogy ν Ej = ν Ei. Ekkor, νei u Ei )v Ei + νej u Ej )v Ej = νei u Ei )v Ei νei u Ej )v Ej = e Minden e τ h -ra szummázva: e E i τ h E i νei uv = e Γ h e e [ νe uv ] + e e [[ ]] νei u)v. νe u)v. 3.4) Mivel u folytonosan dierenciálható, ezért νe u = { νe u }. Ennek következményeként, [ νe u)v ] = νe u)v) Ei νe u)v) Ej = νe u) [v ] = { νe u } [v ]. 3.5) e 3.4 és 3.5 felhasználásával 3.3 a következ alakba írható, u v { νe u } [v ] + νe uv = E i τ E i h e Γ e h e e A 3.5-ot a pereméleken vett integrálok esetén alkalmazva kapjuk, hogy u v { νe u } [v ] = fv. E i e τ e h E i τ h 20 fv. 3.6)
A bal oldalon található kifejezés még nem lenne jó bilineáris formának, mert nem koercív. Ezért adjuk hozzá a következ tagot, σ [u] [v ]. e e τ h e A koercivitás csak elég nagy σ esetén fog teljesülni. A dolgozatban σ értéke a Süli Endréék által javasolt 10p 2. A σ értékér l részletesebben [1]-ben olvashatunk. Ezenkívül hozzáadunk még egy tagot, amivel elérhetjük azt is, hogy szimmetrikus legyen a bilineáris forma: ε e τ h e { νe v } [u]. Az ε értékét 0, 1, 1 közül szokták választani. ε = 1 esetén a szimmetria is fennáll, ezért a szakdolgozat csak ezzel az esettel foglalkozik. Így a bilineáris formát az alábbi módon deniáljuk: a DG u, v) := { νe u } [v ] + ε e τ h E i τ h u v E i e τ e h + σ [u] [v ]. e e τ e h e { νe v } [u] A két tag hozzáadásakor, a jobb oldalon csak akkor adtunk hozzá nemnulla értéket, ha e, ugyanis mindkét tag tartalmazza [u]-t, ami pedig 0 a bels éleken. Így a jobb oldalon a következ lineáris funkcionált kapjuk: l DG v := fv + ε νe v + σ ) e v g. e 3.1.4. Állítás. A bilineáris forma és a lineáris funkcionál független ν e választásától. Bizonyítás: Legyen e egy olyan él, melyre E i E j = e. Ekkor jelölje n ij azt az e-re mer leges normálvektort, ami E i -r l E j -re mutat. Ha ν e -nek ν ij -t választjuk, akkor ) νij v Ei + νij v Ej u Ei { νi jv } [u] = 2 u ) Ej ) νij v Ei + νij v Ej u Ej = 2 u ) Ei ) νji v Ej + νji v Ei u Ej = 2 u ) {{ Ei = νj iv }} [u]. 3.1.5. Deníció. A Dirichlet peremérték-feladat gyenge megoldásának közelítése az az u H s ) s 2), melyre teljesül, hogy a DG u, v) = l DG v v H s ). 21
A folytonos Galjorkin-módszerhez hasonlóan a közelít megoldást itt is egy V DG véges dimenziós altérben keressük. A V DG H s ) altér lehet pl. az elemenként legfeljebb p-ed fokú polinomok tere vagy téglalapelemek esetén pl. az elemenként változóikban legfeljebb p-ed fokú polinomok tere. A feladat során az u DG V DG közelít megoldást keressük, melyre a DG u DG, v) = lv v V DG. 3.7) Minden elemhez N loc db bázisfüggvény tartozik. Így a V DG bázisfüggvényeinek száma összesen N loc elemek száma), amit jelöljünk N-nel, a bázisfüggvényeket pedig φ i -vel. Az u DG megoldást a bázisfüggvények segítségével szeretnénk felírni: u DG = N c j φ j. j=1 Elég ha a bázisfüggvényekre teljesül a 3.7, azaz a DG u DG, φ i ) = lφ i i = 1, 2,..., N. A bilinearitás miatt, N c j a DG φ j, φ i ) = lφ i i = 1, 2,..., N. i=1 Ez egy lineáris egyenletrendszer a c i együtthatókra, azaz Sc = w, ahol S i,j = a DG φ j, φ i ) és w i = lφ i. Az egyenletrendszer megoldása után a c i együtthatók segítségével már meghatározható az u DG közelít megoldás. A módszer konvergenciájáról szóló tételek a 4. fejezetben találhatóak. 3.2. A nemfolytonos módszer implementálása A nemfolytonos Galjorkin-módszer kódjai közül a téglalapelemes kódokat implementáltam V DG = P k τ h ) és V DG = Q k τ h ) esetén, ahol P k τ h ) = {az elemenként legfeljebb p-ed fokú polinomok tere }, Q k τ h ) = { az elemenként változóikban legfeljebb p-ed fokú polinomok tere }. A p értéke 1, 2, 3 volt. A témavezet mt l kapott háromszögelemes kódokat csak futtattam az összehasonlítás során. 3.2.1. τ h felbontás Els lépésként most is a felbontást kell elkészíteni. Nem használtam függ csúcsokat, ezért ugyanolyan felosztást készítettem, mint a nemfolytonos esetben. A 22
rácspontok sorszámozása, csúcsok, elemek eltárolása mellett, szükség van az élek nyilvántartására is. Az éleket egy élek száma) 4 méret mátrixban tároltam. Az i-edik sor els és második eleme azon két csúcs sorszáma, amiket az adott él összeköt. A harmadik elem vízszintes élek esetén az él felett lév téglalapelem sorszáma, a negyedik elem az él alatti téglalapelem sorszáma. Függ leges éleknél a bal oldali téglalapelem sorszáma a harmadik helyre kerül, a jobb oldali téglalapelem sorszámát pedig a negyedik elemként tároljuk el. Ha az adott él a peremen található, azaz csak egy elemet határol, akkor az élmátrixban a hiányzó elem sorszámához nullát írunk. Nézzünk egy példát az élmátrixra p = 1 esetén! 1 4 7 2 5 8 3 6 9 1 2 0 1 2 3 0 2 4 5 1 3 5 6 2 4 7 8 3 0 8 9 4 0 1 4 0 1 4 7 0 3 2 5 1 2 5 8 3 4 3 6 2 0 6 9 4 0 3.1. ábra. Élmátrix 2 2-es felosztás esetén 3.2.2. Mátrixösszef zés Az S mátrix kiszámolása itt is mátrixösszef zéssel történik. S ij = φ j φ i { νe φ j } [φ i ] + E i τ E i h e τ e h ε { νe φ i } [φ j ] + σ [φ j ] [φ i ]. e e τ h e τ h e Most is elemenként fogunk haladni. A bázisfüggvények x k y l alakúak lesznek. V DG = P k τ h ) esetén k, l = 0, 1,... p és k + l p, Q k τ h ) altérnél k, l = 0, 1,... p. Így n m-es felosztás esetén egy elemen a bázisfüggvények száma P k τ h )-nál p+1)p+2) 2, Q k τ h )-nál p + 1) 2. Ha a bázisfüggvények számát egy elemen N-nel jelöljük, akkor összesen N nm függvényünk lesz, azaz ennyi sora és oszlopa lesz az S mátrixnak. Az S ij -ben szerepl tagokat szétválasztjuk az elemen vett integrálokra és az éleken 23 e
vett integrálokra. Az elemen vett integrálok esetén hasonlóan járunk el, mint a folytonos módszernél. Minden elem esetén kiszámoljuk az an leképezést, ami a referenciaelemet az aktuális elemre képezi. Ezután elkészítjük a Loc mátrixot és bef zzük S megfelel helyeire. Ha a Loc mátrix az i. elemhez tartozik, akkor a bef zés a következ képpen történik: befuzes_helye = i-1)n+1):in; Sbefuzes_helye,befuzes_helye) = Loc; Az éleken vett integrálok esetén bontsuk szét S ij maradék tagjait: { νe φ j } [φ i ] + ε { νe φ i } [φ j ] + σ [φ j ] [φ i ] = e τ e h e τ e e h e τ e h m 11 + m 12 + m 22 + m 21. m kl az integrálokból csak azokat a tagokat tartalmazza, ahol a φ i bázisfüggvényt a k-adik elemen, a φ j -t pedig az l-edik elemen vesszük. Az ugrások és átlagok kiszámolásához a ν e vektort az alábbi módon választjuk. Peremélek esetén a ν e a kifelé mutató normális egységvektor, függ leges bels éleknél ν e = 1, 0), vízszintes bels éleknél ν e = 0, 1). Az m kl kiszámításakor φ E1,i := φ i E1 és φ E2,i := φ i E2. Az m kl értékeket mátrixokba rendezzük a következ módon: M 11 ) ij = 1 νe φ E1,j φ E1,i + ε νe φ E1,i φ E1,j + σ φ E1,j φ E1,i 2 e 2 e e e M 12 ) ij = 1 νe φ E2,j φ E1,i ε νe φ E1,i φ E2,j σ φ E2,j φ E1,i 2 e 2 e e e M 21 ) ij = 1 νe φ E1,j φ E2,i + ε νe φ E2,i φ E1,j σ φ E2,j φ E2,i 2 e 2 e e e M 22 ) ij = 1 νe φ E2,j φ E2,i ε νe φ E2,i φ E2,j + σ φ E2,j φ E2,i. 2 e 2 e e e Ezután az M ij mátrixokat is bef zzük az S mátrixba. Tegyük fel, hogy az akutális e élhez tartozó E 1 elem az i-edik sorszámú elem, az E 2 elem pedig a j-edik elem. Ekkor az összef zés: E1en_levok = i-1)p+1)^2+1):ip+1)^2; E2n_levok = j-1)p+1)^2+1):jp+1)^2; SE1en_levok,E1en_levok) = SE1en_levok,E1en_levok) + M11; SE2n_levok,E2n_levok) = SE2n_levok,E2n_levok) + M22; SE1en_levok,E2n_levok) = SE1en_levok,E2n_levok) + M12; SE2n_levok,E1en_levok) = SE2n_levok,E1en_levok) + M21; Peremélek esetén egy M 11 ) ij = e M 11 mátrixot készítünk el és ezt f zzük az S mátrixba. νe φ E1,j φ E1,i + ε νe φ E1,i φ E1,j + σ φ E1,j φ E1,i e e e 24
3.2.3. w kiszámítása A w kiszámításánál ismét Gauss-kvadratúrát használtam. w i = fφ i + ε νe φ i + σ ) e φ i g, e ahol g. Az els tagot, ugyanúgy számoljuk, mint a folytonos módszer esetében. fφ i det AB s k fabx k + Ae + b) φ i Bx k + e), k ahol s k a súlyok, x k pedig az integrálási alappontok a 1, 1), 1, 1), 1, 1) és 1, 1) pontok által meghatározott négyzet esetén. A w i 2. tagját csak a peremélek esetén kell kiszámolnunk, mivel ez a tag bels élek esetén nulla. 3.2.4. L 2 ) norma Az Sc = w egyenletrendszer megoldása után a hibafüggvény L 2 ) normáját számoljuk ki, u u DG L 2 ) = u u DG 2. A norma értékének meghatározásához szükségünk lesz u DG értékére az integrálási alappontokban. Ehhez kiszámoljuk u DG értékét a rácspontokban és csomópontokban majd elemenként interpolációt végzünk az u DG meghatározása végett. Az interpolációnál P k τ h ) esetén legfeljebb változóikban p-ed fokú polinomot, Q k τ h ) esetén pedig legfeljebb p-ed fokú polinomot keresünk. Az interpolációs értékek kiszámolása a következ módon történik. Tudjuk, hogy u DG = i c iφ i. Ha egy adott elemen szeretnénk kiszámítani az interpolációs értékeket, akkor el ször elkészítjük a következ mátrixot: I ij = φ j x i ) i = 1,..., p + 1) 2 j = 1,..., N. Tehát a mátrixnak annyi sora lesz ahány rácspont és csomópont van összesen egy elemen. Az oszlopok száma az egy elemen lév bázisfüggvények számával fog megegyezni. Ekkor ha az I ij mátrixot, beszorozzuk c azon részével, ami az adott elemhez tartozik, akkor megkapjuk az u DG függvény helyettesítési értékeit az elemen lév rács- és csomópontokban. Ezek lesznek az interpolációs értékek. Az integrálási alappontokat az interpolációval kapott polinomba helyettesítve végezzük el a numerikus integrálást. 25
4. fejezet Konvergencia A következ részben a módszerekre vonatkozó konvergencia tételekr l lesz szó. 4.1. Folytonos módszer konvergenciája 4.1.1. Állítás. Az a.,.) bilineáris forma korlátos a. H 1 0 ) normában, azaz au, v) C 1 u H 1 0 ) v H 1 0 ). Bizonyítás: au, v) = u v = u, v H 1 0 ) 1 u H 1 0 ) v H 1 0 ) 4.1.2. Állítás. Az a.,.) bilineáris forma koercív a. H 1 0 ) normában, azaz au, u) C 2 u 2 H 1 0 ). Bizonyítás: au, u) = u u = 1 u 2 H 1 0 ) Mivel a. H 1 ) és a. H 1 0 ) norma ekvivalens, ezért a korlátosság és koercivitás igaz. H 1 ) normában is. 4.1.3. Tétel. Mivel a korlátos: au, v) C 1 u H 1 ) v H 1 ), a koercív: au, u) C 2 u 2 H 1 ), a konzisztens: au, v) = lv v V h, háromszögek esetén P k τ h ), téglalapok esetén Q k τ h ) használata során igaz a közelítési tétel: u u I H 1 ) C 3 h p u p+1, ahol u I az interpoláns, p a közelítésnél használt polinomfok, h a felosztásnál használt legnagyobb átmér u u h H 1 ) C 4 h p u p+1, ahol u 2 p+1 = α =p 26 α u 2
L 2 ) normában magasabb konvergenciarend érhet el a Nitsche-trükk segítségével [3]: u u h L 2 ) C h p+1 u p+1 Nézzünk néhány p és C értéket konkrét példák esetén! Jelölje p H a H 1 ) normabeli, p L pedig az L 2 ) normabeli konvergencia rendjét. 1. példa: sin5πx)sin4πy) elem típusa p C 4 p H C p L háromszög 1 61,15 0,96 20,21 1,91 téglalap 1 40,57 0,99 10,76 2,01 háromszög 2 169,37 1,96 21,55 3 téglalap 2 77,48 1,99 9,74 2,92 háromszög 3 346,65 3 38 4,1 téglalap 3 97,55 2,98 9,5 3,96 2.példa: lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) elem típusa p C 4 p H C p L háromszög 1 3,93 1 0,6 2,06 téglalap 1 1,36 1 0,38 2 háromszög 2 3,95 1,93 0,55 3,1 téglalap 2 1,38 1,85 0,198 2,83 háromszög 3 4,28 2,83 0,38 3,85 téglalap 3 2,05 2,83 0,21 3,82 3.példa: 16xyx 1)y 1)) 16 elem típusa p C 4 p H C p L háromszög 1 8,4 0,97 2,67 1,93 téglalap 1 6,48 0,97 1,85 1,96 háromszög 2 16,9 1,88 2,63 2,97 téglalap 2 14,35 1,95 2,01 2,93 háromszög 3 40,11 2,94 4,82 4,06 téglalap 3 24,6 2,95 2,53 3,94 27
4.2. Nemfolytonos módszer konvergenciája A nemfolytonos módszer konvergenciájának vizsgálatához deniáljuk a következ normát: u 2 DG = u 2 [L 2 )] d + e Γ D Γ N e 1 e [u] 2 L 2 e) + E τ h E h ν E E 2 L 2 ) 4.2.1. Állítás. a.,.) DG korlátos az. DG normában, azaz C 1 > 0 a DG u, v) C 1 u DG v DG u, v V DG. 4.2.2. Állítás. σ 0 > 0, hogy bármely σ > σ 0 esetén a DG koercív a. DG normában, azaz C 2 > 0 4.2.3. Tétel. Mivel igaz, hogy a DG korlátos a. DG normában a DG u, u) C 2 u 2 DG u V DG. a DG koercív a. DG normában elég nagy σ esetén a DG konzisztens háromszögek esetén P k τ h ), téglalapok esetén Q k τ h ) használata során igaz a közelítési tétel: u u I DG C h p u p+1, ahol a közelítésnél használt függvényekr l sem tesszük fel, hogy folytonosak u u DG DG Ch p u p+1, ahol u 2 p+1 = α =p α u 2 Szimmetrikus esetben, azaz ε = 1 esetén, a folytonos esethez hasonlóan. L 2 ) normában a következ igaz a konvergenciára: u u DG L 2 ) C h p+1 u p+1 Példák nemfolytonos módszer esetén. L 2 ) norma esetén: 1. példa: sin5πx)sin4πy) elem típusa p V DG C p L háromszög 1 P k τ h ) 12,02 1,84 téglalap 1 Q k τ h ) 7,64 1,9 téglalap 1 P k τ h ) 2,33 0,86 háromszög 2 P k τ h ) 22,14 3,01 téglalap 2 Q k τ h ) 9,69 2,94 téglalap 2 P k τ h ) 12,01 1,9 háromszög 3 P k τ h ) 36,01 4,03 téglalap 3 Q k τ h ) 8,78 3,93 téglalap 3 P k τ h ) 48,22 3,57 28
2.példa: lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) elem típusa p V DG C p L háromszög 1 P k τ h ) 0,34 1,94 téglalap 1 Q k τ h ) 0,15 1,83 téglalap 1 P k τ h ) 0,96 0,69 háromszög 2 P k τ h ) 0,43 3,01 téglalap 2 Q k τ h ) 0,15 2,79 téglalap 2 P k τ h ) 1,88 0,98 háromszög 3 P k τ h ) 0,35 3,83 téglalap 3 Q k τ h ) 0,16 3,77 téglalap 3 P k τ h ) 2,23 1 3.példa: 16xyx 1)y 1)) 16 elem típusa p V DG C p L háromszög 1 P k τ h ) 1,85 1,89 téglalap 1 Q k τ h ) 1,36 1,87 téglalap 1 P k τ h ) 0,63 1,09 háromszög 2 P k τ h ) 2,93 3,01 téglalap 2 Q k τ h ) 2,14 2,97 téglalap 2 P k τ h ) 1,91 1,94 háromszög 3 P k τ h ) 4,36 3,83 téglalap 3 Q k τ h ) 2,31 3,98 téglalap 3 P k τ h ) 10,76 3,83 A téglalapelemekkel dolgozó, P k τ h ) alteret használó nemfolytonos módszer esetében nem ismert interpolációs becslés, így az el z tétel sem érvényes. Mivel a kódban nem jelentett nagy módosítást a Q k τ h )-ról P k τ h )-ra váltás, ezért megnéztem P k τ h )-ra is, hogy milyen p L értékeket kapunk. Ha megnézzük a táblázatok megfelel oszlopában ezeket az értékeket, akkor azt látjuk, hogy a p L értéke nem éri el a p + 1-et. Tehát téglalapelemek esetén nem elég a kevesebb bázisfüggvényb l álló P k τ h ) altér a konvergenciarend eléréséhez, szükség van a Q k τ h ) altérre. 29
5. fejezet Összehasonlítás A dolgozatom során tárigény és konvergencia szempontjából hasonlítottam össze a folytonos és nemfolytonos módszert. A tárigény esetén az S mátrixot fogjuk vizsgálni. Mivel S ritkamátrix, ezért a letárolt elemek száma a sorok számával lesz arányos. Sorok száma n n-es felosztás mellett, legfeljebb p-ed fokú bázisfüggvények mellett: folytonos módszer: háromszöelemek esetén: pn + 1) 2 téglalapelemek esetén: pn + 1) 2 nemfolytonos módszer: háromszöelemek esetén: 4n 2 p+1)p+2) 2 téglalapelemek esetén: n 2 p + 1) 2 Konvergencia szerint. L 2 ) normában történik az összehasonlítás. Vezessük be a következ jelölést: C := C u p+1. Mivel a téglalapelemeket használó nemfolytonos módszernél a V DG = P k τ h ) választással nem kapható meg a p + 1-es konvergenciarend a korábbiakban táblázatban összefoglalt eredmények szerint, ezért az összehasonlítás során ezen típusú módszerrel nem foglalkozunk. Így a háromszögelemeknél a folytonos és nemfolytonos módszernél is P k τ h ), téglalapelemeknél pedig Q k τ h ) lesz a véges dimenziós altér. Az összehasonlításhoz deniáljuk a következ hatékonysági függvényt: H := C f M f, C DG M DG ahol M f a folytonos módszer tárigénye, M DG a nemfolytonos módszer tárigénye, Cf a folytonos módszerhez, CDG pedig a nemfolytonos módszerhez tartozik. 30
Ekkor ha H < 1 akkor a folytonos módszer, ha H > 1 akkor pedig nemfolytonos módszer a hatékonyabb. 5.1. Eredmények háromszögelemekkel Ebben a részben a háromszögelemes módszerek kerülnek összehasonlításra. A konvergencia ábrák a következ módon készültek. Az felosztása 10 10-es rácstól megy 20 20-as vagy 50 50-es rácsig. Az ábrákon az x tengelyen a felosztás logaritmusa, az y tengelyen pedig a hiba. L 2 ) normájának logaritmusa található. Els pédaként tekintsük a 16xyx 1)y 1)) 16 függvényt! 5.1. ábra. Konvergenciaábra 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében p = 1, 2, 3 választással A kapott C értékek táblázatba foglalva: p = 1 eset, maximum rácsméret: 50 50: C M H folytonos 2,67 2601 nemfolytonos 1,85 30000 0,125 5.2. ábra. H kiszámítása 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében, p = 1 A táblázatból kiolvasható, hogy habár a nemfolytonos módszer C értéke a kisebb, a nagy méretkülönbség miatt H értéke kisebb, mint 1. Ez azt jelenti, hogy erre a 31
tesztfüggvényre a folytonos módszer a hatékonyabb. p = 2 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 2,63 1681 nemfolytonos 2,93 9600 0,157 5.3. ábra. H kiszámítása 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében, p = 2 p = 3 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 4,82 3721 nemfolytonos 4,36 16000 0,157 5.4. ábra. H kiszámítása 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében, p = 3 Következ példánk: lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ). 5.5. ábra. Konvergenciaábra lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében p = 1, 2, 3 választással 32
p = 1 eset, maximum rácsméret: 50 50: C M H folytonos 0,6 2601 nemfolytonos 0,34 30000 0,154 5.6. ábra. H kiszámítása lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében, p = 1 p = 2 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 0,55 1681 nemfolytonos 0,43 9600 0,224 5.7. ábra. H kiszámítása lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében, p = 2 p = 3 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 0,38 3721 nemfolytonos 0,35 16000 0,25 5.8. ábra. H kiszámítása lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében, p = 3 3. példa: sin5πx)sin4πy) 5.9. ábra. Konvergenciaábra sin5πx)sin4πy) függvény esetében p = 1, 2, 3 választással 33
p = 1 eset, maximum rácsméret: 50 50: C M H folytonos 20,21 2601 nemfolytonos 12,02 30000 0,146 5.10. ábra. H kiszámítása sin5πx)sin4πy) függvény esetében, p = 1 p = 2 eset, maximum rácsméret: 50 50: C M H folytonos 21,55 10201 nemfolytonos 22,14 60000 0,166 5.11. ábra. H kiszámítása sin5πx)sin4πy) függvény esetében, p = 2 p = 3 eset, maximum rácsméret: 50 50: C M H folytonos 38 22801 nemfolytonos 36,01 100000 0,166 5.12. ábra. H kiszámítása sin5πx)sin4πy) függvény esetében, p = 3 34
5.2. Eredmények téglalapelemekkel A következ részben a téglalapelemekkel dolgozó módszereket hasonlítom össze. 1. tesztfüggvény: sin5πx)sin4πy). 5.13. ábra. Konvergenciaábra sin5πx)sin4πy) függvény esetében p = 1, 2, 3 választással p = 1 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 10,76 441 nemfolytonos 7,64 1600 0,388 5.14. ábra. H kiszámítása sin5πx)sin4πy) függvény esetében, p = 1 p = 2 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 9,74 1681 nemfolytonos 9,69 3600 0,469 5.15. ábra. H kiszámítása sin5πx)sin4πy) függvény esetében, p = 2 35
p = 3 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 9,5 3721 nemfolytonos 8,78 6400 0,629 5.16. ábra. H kiszámítása sin5πx)sin4πy) függvény esetében, p = 3 2. példa: lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ). 5.17. ábra. Konvergenciaábra lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében p = 1, 2, 3 választással p = 1 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 0,38 441 nemfolytonos 0,15 1600 0,698 5.18. ábra. H kiszámítása lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében, p = 1 36
p = 2 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 0,198 1681 nemfolytonos 0,15 3600 0,616 5.19. ábra. H kiszámítása lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében, p = 2 p = 3 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 0,21 3721 nemfolytonos 0,16 6400 0,763 5.20. ábra. H kiszámítása lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében, p = 3 Utolsóként tesztelt függvény: 16xyx 1)y 1)) 16. 5.21. ábra. Konvergenciaábra 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében p = 1, 2, 3 választással 37
p = 1 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 1,85 441 nemfolytonos 1,37 1600 0,375 5.22. ábra. H kiszámítása 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében, p = 1 p = 2 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 2,01 1681 nemfolytonos 2,14 3600 0,439 5.23. ábra. H kiszámítása 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében, p = 2 p = 3 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 2,53 3721 nemfolytonos 2,31 6400 0,637 5.24. ábra. H kiszámítása 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében, p = 3 n 2 esetén a nemfolytonos módszer tárigénye mindig nagyobb. Így az a kérdés, hogy kisebb-e a nemfolytonos módszer C értéke és ha igen, mennyivel. A tesztelés során az eredmények azt mutatták, hogy általában a folytonos módszer C értéke a nagyobb. Azonban a különbség nem jelent s. Ez az ábrákon is jól meggyelhet, hiszen a legtöbb esetben a módszerekhez tartozó egyenesek nagyon közel vannak egymáshoz. Így a nemfolytonos módszer tárigénye nagyobb annyival, hogy a hatékonysági függvény kisebb 1-nél. Tehát az összehasonlítás során a folytonos módszer bizonyult hatékonyabbnak. 38
Irodalomjegyzék [1] D. A. Di Pietro és A. Ern. Mathematical aspects of discontinuous Galerkin methods, volume 69 of Mathématiques & Applications Berlin) [Mathematics & Applications]. Springer, Heidelberg, 2012. [2] B. Rivière. Discontinuous Galerkin methods for solving elliptic and parabolic equations, volume 35 of Frontiers in Applied Mathematics. Society for Industrial and Applied Mathematics SIAM), Philadelphia, PA, 2008. Theory and implementation. [3] Horváth Róbert, Izsák Ferenc és Karátson János: Parciális dierenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal [4] Horváth Tamás: Nemfolytonos Galjorkin módszer leírása [5] P. Solin, K. Segeth és I. Dolezel: Higher-Order Finite Element Methods, Chapman & Hall/CRC Press, 2003. [6] Stoyan Gisbert és Takó Galina: Numerikus módszerek 1., Typotex, 2002. 39