Permutáció, mit bijektív függvéy: f: H H Jelölések: S X, S. 1 S X : X-be az összes permutáció S : {1,,, } összes permutációjáak halmaza Ciklusfelbotás, egyértelműség. T: Mide permutáció S -be előáll diszjukt ciklusok szorzatakét. Ez egyértelmű a ciklusok sorredjétől és a cikluso belüli ciklikus sorredtől eltekitve. B: Az ijektivitás miatt midig ugyaazokat a ciklusokat kapom. Iverzió. D: elem iverzióba va, ha sorredjük megváltozott az eredetihez képest. Permutáció paritása. D: Egy permutáció páros, ha az iverziók száma páros. Egy permutáció páratla, ha az iverziók száma páratla. P: (1,,4) = 1 3 4 páros: 4 db iverzió 4 3 1 (i, i + 1) páratla: iverziók száma 1. (i, j) páratla, mert i és j ugyaazokkal lesz iverzióba, plusz egymással T: Ha Π előáll db csere szorzatakét, akkor Π paritása B: Ha egy permutációt megszorzok egy cserével, akkor a paritása megváltozik. Π = (_, _), (_, _), (_, _) ptla, ps, ptla P: hosszú ciklus előáll 1 db csere szorzatakét 1 paritása = ciklus paritása Tehát páros hosszú ciklus páratla permutáció ps ptla ps ps ptla ptla ptla ps Kettes ciklus: csere vagy traszpozíció. T: Mide permutáció előáll kettes ciklusok = cserék = traszpozíciók szorzatakét. B: Elejétől kezdve töltöm fel a helyes elemekkel. Traszpozíció paritása. Mide csere előjele 1 mide traszpozíció paritása páratla. Permutáció paritása értelmes, leolvasható a ciklusszerkezetből. T: Mide permutáció előáll kettes ciklusok = cserék = traszpozíciók szorzatakét. Permutáció redje, red leolvasása a ciklusszerkezetből. D: Egy Π permutációak a redje o(π) a legkisebb olya szám, aháyadikra emelve idetitást kapuk. o(π) = Π-ek külöböző hatváya va Π k = Π l k l () Π t = id t P: o(a 1, a,, a ) = o(π) = diszjukt ciklusok hosszáak legkisebb közös többszöröse [összes prím a legmagasabb hatváyo] A cserék geerálják S -et. S = (1, i) mert: (i, j) = (1, i)(1, j)(1, i) S = (i, i + 1) mert: (1, i) = (i, i 1)(i 1, i ) (,1)(,3)(3,4) (i 1, i) 1/8
Determiás. det A = A = ( 1) sg Π a 1Π1 a Π a Π Π S Boyolult defiíció. T: Ha mátrix csak az első sorba külöbözik, akkor a determiások összege megegyezik aak a mátrixak a determiásával, ahol az első sor az összeg, a többi marad. B: ( a ) + (b + b ) = (a ) ( 1) sigπ a 1Π1 c Π c Π + ( 1) sigπ b 1Π1 c Π c Π = = ( 1) sigπ (a 1Π1 + b 1Π1 ) c Π c Π Sorműveletek hatása a determiásra. 1 T: Ha egy mátrixak va egy csupa sora, akkor det A =. B: téyezőbe sorból szerepel elem T: Ha sort megcserélek, ( 1)-szeresére változik a determiás. B: ( 1) sig(i,j) Π a 1Π1 a Π a iπi a jπj a Π ugyaazok a téyezők, más előjellel 3 T: Ha egy mátrixak va két azoos sora, akkor det A =. B1: ( 1) sigπ a 1Π1 a Π a iπi a jπj a Π σ = (i, j) Π sig σ = 1 sig Π ( 1) sigσ a 1Π1 a Π a iπj a jπi a Π Ellekező előjelűek kiesek B: Ha a két sort kicserélem, a determiás ( 1)-szeresére változik. A mátrix ugyaaz maradt det ugyaaz marad det A = det A = 4 T: Ha az i. sort λ-val szorzom, a determiás λ-szorosára változik. B: téyező λ-val szorzódik. 5 T: Ha egy sorhoz hozzáadom egy másik sor λ-szorosát, a determiás értéke em változik. i i B: ( ) = ( ) + ( ) = det A + j + λi j λi a 11 a 11 vmi P: a = a = a ii vmi a 33 a 33 Kifejtési tétel. T: det A = ( 1) i+j a ij A ij i,j=1 ahol A ij : ( 1) ( 1)-es mátrix, melyből az i. sort és a j. oszlopot elhagyom. Tridiagoális Fiboacci-determiás kiszámolása 1 1 1 1 1 1 1 D = 1 1 1 1 1 1 1 D 1 = 1 Kifejtési tétel első sor szerit: D = D = 1 D 1 1 ( 1) D /8
Vektortér defiíciója, példák pl.: halmazok Z fölött: az összeadás a szimmetrikus differecia, stb. Nem példák is. Legye adott V em üres halmaz, egy T test. V vektortér T felett, ha: Létezik egy + művelet, amelyre: u, v: u + v V (összeadásra zárt) 3 u + v = v + u (u + v) + z = u + (v + z) : v + = + v = v v v : v + v = v + v = (kommutatív) (asszociatív) (létezik ullelem) (létezik az elletett) Létezik egy művelet, amelyre: λ T, v V: λv V (szorzásra is zárt) (λ + μ)v = λv + μv λ(u + v) = λu + λv (λμ)v = λ(μv) 1v = v (disztributív) (disztributív) (asszociatív) (Létezik egységelem) P: sík vektorai, szokásos +,R, szokásos P: sík vektorai, szokásos +, Q, szokásos P: f: R R, potokéti összeadás: (f + g)(x) = f(x) + g(x) és (λ f)(x) = λ f(x) NemP: em folytoos függvéyek: em zárt az +-ra P: R, +, R, P: oszlopvektorok, koordiátákéti +, λ P: V = {H H S} ( db), szimmetrikus differecia: A + B = (A\B) (B\A) A ha λ = 1 T = Z, λ A = { ha λ = kommutatív, asszociatív, =, mide halmazak ömaga az elletettje Altér, altér elleőrzése D: W V: W V: W altér, ha vektortér ugyaazokra a műveletekre P: Sík Tér, folyt. fv fv. P: Origó átmeő egyees vektorai T: W V zárt a műveletekre,, v v-hez B: egyelőséget tartó axiómák automatikusa teljesülek, mert: = v = ( + ) v = v + v = + = v + v = v + v + v = v + = v v, mert: v = v = ( 1) v v + ( 1)v = (1 1)v = v = v egyértelmű, mert tfh: = v + v = v + v. Ekkor: v + v + v = v + v + v v + = v + v = v Akárháy altér metszete altér. T: Alterek metszete altér. B: Kell: W i zárt +, λ-ra Ha v, u W i v, u W i i-re v + u W i i-re v + u W i Ha v W i v W i i-re λ v W i i-re λ v W i 3/8
Geerált altér: S = S W W D: Legye S V. S : az S által geerált altér a legszűkebb olya altér, ami tartalmazza S-t. 3 A defiíció értelmes. S = S W W S S W W S altér, mert alterek metszete. A legszűkebb ilye, mert saját maga is részt vesz a metszetbe. Geerált altér leírása lieáris kombiációkkal. S = { λ i a i a i S} i=1 B: { i=1 λ i a i a i S} S, mert ha a i S λ i a i S λ i a i S S { i=1 λ i a i a i S}, mert elég: { i=1 λ i a i a i S} altér. +-ra zárt: λ i a i + μ i a i = (λ i + μ i ) a i μ-re zárt: μ λ i a i = (μ λ i ) a i Függetleség, összefüggőség véges és végtele vektorredszerekre. D: a 1, a,, a vektorok lieárisa függetleek, ha λ i a i = λ i =. ElleP: a = λb a + ( λ)b =. D: Végtele sok vektor lieáris függetleségé azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lieárisa függetle. D: a 1, a,, a vektorok lieárisa összefüggők, ha em függetlelek. Függetle redszer része függetle. T: Függetle halmaz része függetle. S függetle és S S S függetle. B: Idirekt. Tfh. S függetle és S összefüggő. Ekkor a i S, hogy λ i a i =, ahol em λ i =. S-be még vaak vektorok: b i. λ i a i + b j =, ahol em λ i = S összefüggő. Összefüggőhöz hozzáveszük, összefüggő marad. T: Ha S összefüggő és S S S összefüggő S összefüggő va olya vektor, amely kifejezhető a többivel. S ftl, b em függ S-től, akkor S {b} is ftl. D: a i S V. b függ S-től, ha b = λ i a i v S T: a 1, a,, a vektorok lieárisa függetleek, ha egyik a i sem függ a többitől. B: Ha a 1 = λ i a i = a 1 + λ i a i összefüggőek Ha összefüggők = 1 λ i a i i: λ i λ i a i = λ 1 a 1 + + λ i 1 a i 1 + λ i+1 a i+1 + + λ a a i = λ 1 a λ 1 + + λ i 1 a i λ i 1 + λ i+1 a i λ i+1 + + λ a i λ a i kifejezhető összefüggőek i D: S geerátorredszer V-be, ha S = V. T: Ha g 1, g,, g k véges geerátorredszer V-be, és f 1, f,, f függetleek V-be, akkor k. B: A kicserélési tételt alkalmazva: cseréljük ki az összes f i -t!. Ekkor a függetleség miatt em lehet köztük egyelő. k. 4/8
Kicserélési tétel. T: Ha g 1, g,, g k véges geerátorredszer V-be, és f 1, f,, f függetleek V-be, akkor f i -hez g j, hogy f 1, f,, f i 1, g j, f i+1,, f függetle. 4 B: Idirekt. Tfh. i j-re f 1, f,, f i 1, g j, f i+1,, f összefüggő. = λ 1 f 1 + λ f + + λ i 1 f i 1 + μ g j + λ i+1 f i+1, + λ f, ahol μ vagy λ i. μ, mert: f i -k függetleek, és ha μ =, akkor λ i = i-re. g j = λ 1 f μ 1 + λ f μ + + λ i 1 f μ i 1 + λ i+1 f μ i+1, + λ f μ j-re g j f 1, f,, f i 1, f i+1,, f j re g j = V f 1, f,, f i 1, f i+1,, f f i f 1, f,, f i 1, f i+1,, f f i = λ 1 f 1 + λ f + + λ i 1 f i 1 + μ g j + λ i+1 f i+1, + λ f f i -k összefüggők Bázis, dimezió létezése. D: Bázis = függetle geerátorredszer D: dim V = bázis elemszáma T: v 1,, v bázis V-be V vektora egyértelműe előáll ezek lieáris kombiációjakét. B: : Tfh. v, ami kétféleképpe is előáll. λ i v i = μ i v i (λ i μ i ) v i = Mivel v i -k függetleek λ i μ i = λ i = μ i Mide maximális függetle redszer bázis, T: Ha S = {u 1, u } maximális függetle redszer, akkor bázis. B: Kell: geerátorredszer. Biz. idirekt. Tfh. S V v V\ S. u 1, u, v öf. = λ 1 u 1 + + λ u + μ v, ahol μ vagy λ i. μ, mert: u i -k függetleek, és ha μ =, akkor λ i = i-re. v = λ 1 μ u 1 + λ μ u + + λ μ u v S Mide miimális geerátorredszer bázis, T: Ha S = {u 1, u } miimális geerátorredszer, akkor bázis. B: Kell: függetle. Biz. idirekt. Tfh. S = {u 1, u } öf. = λ 1 u 1 + + λ u, ahol λ i. u i = λ 1 λ i u 1 + + λ i 1 λ i Mide függetle redszer kiegészíthető bázissá, u i 1 + λ i+1 u λ i+1 + λ u i λ u i élkül is ge. redszer i T: Mide függetle redszer kiegészíthető bázissá. B: Tfh. u 1, u maximális függetle redszer. Ha em, akkor hozzávehetek még éháy vektort, és még midig függetle lesz. Stb (Legfeljebb a dimeziószámig.) Mide geerátorredszerből kiválasztható bázis, T: Ha u 1, u geerátorredszer, akkor el lehet hagyi éháy vektort úgy, hogy bázist kapjak. B: Tfh. u 1, u miimáilis geerátorredszer. Ha em, akkor elhagyhatok éháy vektort. Stb Mide bázis ugyaakkora. T: Két külöböző bázis elemszáma egyelő. Ha l 1, l k és h 1, h is bázis, akkor k =. B: Az előző állítás miatt k és k k =. 4 P: Sík: bármely em párhuzamos vektor P: T -be db vektor. P: R -be ( 1 ), ( 1 ) bázis. R -be ( 1 1 ), ( ) is bázis 1 5/8
Lieáris leképezés, D: φ: V 1 V függvéy, ahol: 5 φ(u + v) = φ(u) + φ(v) u, v V 1 -re λ φ(v) = φ(λ v) v V 1 -re D: Lieáris traszformáció: V 1 = V P: V 1 = V = R, φ = (u + v) = u + v és λ v = λ v P: R R, α szögű origó körüli elforgatás P: Legfeljebb -ed fokú poliomok P: Nyírás: ( a b ) ( a b + λ a ) +, λ tartó: ( μa μb ) ( μa μb + μ λ a ) = μ ( a b + λ a ) Magtér, képtér (ezek alterek), D: Ker φ = {v V 1 és φ(v) = } Im φ = {φ(v) v V 1 } P: deriválás Ker φ = {c} és Im φ = {T [x] } T: φ() = B: φ( ) = φ() φ() = T: Ker φ V 1 B: bee va T: Im φ V +-ra zárt: u, v Kerφ φ(u + v) = φ(u) + φ(v) = + = u + v Kerφ λ-ra zárt: φ(λ v) = λ φ(v) = λ = λ φ(v) Kerφ B: bee va +-ra zárt: u, v Imφ u 1, v 1 V 1 : φ(u 1 ) = u, φ(v 1 ) = v φ(u 1 + v 1 ) = φ(u 1 ) + φ(v 1 ) = u + v Imφ λ-ra zárt: u Imφ u 1 V 1 : φ(u 1 ) = u φ(λ u 1 ) = λ φ(u 1 ) = λ u Imφ Dimezió tétel, T: dim Kerφ + dim Imφ = dim V 1 B: dimv 1 = és dim Kerφ = s és b 1,, b s = Kerφ és b 1,, b = V 1. Kell: φ(b s+1 ),, φ(b ) bázisa Im φ-ek. Geerátorredszer: φ(u) Imφ. Ekkor u = λ i b i 1. φ(u) = φ ( λ i b i ) = λ i φ(b i ) = λ i φ(b i ) 1 Függetleek: 1 s+1 = λ i φ(b i ) = φ ( λ i b i ) u = λ i b i Kerφ u = λ i b i λ i = s+1 s+1 s+1 s 1 6/8
Előírhatósági tétel, T: Legye v 1,, v bázis V 1 -be és u 1,, u bázis V -be.! φ: V 1 V lieáris leképezés, amire φ(v i ) = u i. B: Egyértelműség: Tfh. φ és γ is ilye. Ekkor: u i = φ(v i ) = γ(v i ). v = λ i v i V 1. Ekkor φ(v) = φ( λ i v i ) = λ i φ(v i ) = λ i γ(v i ) = γ( λ i v i ) = γ(v) Létezés: +-tartó, mert: φ(u + v) = φ( λ i v i + μ i v i ) = φ( (λ i + μ i ) v i ) = ((λ i + μ i ) φ(v i )) φ(u) + φ(v) = λ i φ(v i ) + μ i φ(v i ) = ((λ i + μ i ) φ(v i )) λ-tartó, mert: φ(λ v) = φ(λ λ i v i ) = φ( λ λ i v i ) = λ λ i φ(v i ) λ φ(v) = λ λ i φ(v i ) = λ λ i φ(v i ) Összefüggő redszer képe összefüggő, függetle ősképe függetle. 7/8
Vektortér izomorfizmus, az iverz is lieáris leképezés, D: A φ Hom (V 1, V ) izomorfizmus, ha kölcsööse egyértelmű. V 1 V izomorf vektorterek, ha va közöttük izomorfizmus. 6 P: Iverz is lieáris leképezés B: +-tartó, mert:! u 1 : φ(u 1 ) = v 1 és u : φ(u ) = v φ(u 1 + u ) = φ(u 1 ) + φ(u ) φ(φ 1 (v 1 ) + φ 1 (v )) = v 1 + v /φ 1 φ 1 (v 1 ) + φ 1 (v ) = φ 1 (v 1 + v ) λ-tartó, mert: φ(u) = v φ(λ u) = λ φ(u) φ(λ φ 1 (v)) = λ v λ φ 1 (v) = φ 1 (λ v) P: dim V = V T Egyforma dimeziós vektorterek izomorfak. dim V 1 = dim V V 1 V B: bijekció Műveletek leképezésekkel: skalárral való szorzás, összeadás, kompozíció (szorzás ics). (λ φ)(v) = λ φ(v) (φ + γ)(v) = φ(v) + γ(v) φ γ csak akkor létezik, ha φ: V 1 V és γ: V V 3. Asszociatív: (φ γ)(v) = φ(γ(v)) Hom(V1, V) vektortér, dimeziója m. T: Hom(V 1, V ) vektortér. B: (φ + γ)(v) = φ(v) + γ(v) = γ(v) + φ(v) = (γ + φ)(v) ((φ + γ) + σ)(v) = (φ + γ)(v) + σ(v) = φ(v) + γ(v) + σ(v) = φ(v) + (γ + σ)(v) = (φ + (γ + σ))(v) = traszformáció elletett: φ ((λ + μ) φ)(v) = (λ φ + μ φ)(v) = (λ φ)(v) + (μ φ)(v) = λ φ(v) + μ φ(v) (λ (φ + γ))(v) = λ (φ(v) + γ(v)) = λ φ(v) + λ γ(v) = (λ φ + λ γ)(v) ((λ μ) φ)(v) = (λ μ) φ(v) = λ (μ φ(v)) = (λ (μ φ)) (v) 1 = id M: Dimeziója: m Hom(V) gyűrű is. T: Hom(V) gyűrű. B: Kell: (φ (γ 1 + γ ))(v) = ((φ γ 1 ) + (φ γ ))(v) φ((γ 1 + γ )(v)) = φ(γ 1 (v) + γ (v)) = φ γ 1 (v) + φ γ (v) = (φ γ 1 )(v) + (φ γ )(v) = ((φ γ 1 ) + (φ γ ))(v) Vektor koordiátája, 1 1 λ 1 λ M: Bázis: e 1 =, e =,, e =. v = λ i e i koordiáták. ( ) ( ) ( 1 ) ( λ ) 1 a 11 a 1 v 1 a 1 1 a v M: Ha φ =, φ =,, akkor φ ( ) ( a 1 ) ( ) ( a ) ( v ) a 11 a 1 = ( ) ( a 1 a v 1 v ) 8/8
Leképezés mátrixa. 6 Rögzített bázisál kölcsööse egyértelmű megfeleltetés a mátrixokkal. Példák: deriválás (több test fölött), tükrözés 3 bázisba, forgatás bázisba, stb. P: Deriválás P: Tükrözés az x tegelyre 3 bázisba: Bázis: ( 1 ), ( ) Mátrix: (1 1 1 ) Bázis: 45 -os vektorok. Mátrix: ( 1 1 ) Bázis: ( 1 1 ), 6 -os vektor Mátrix: (1 1 ) P: Forgatás 6 -kal bázisba: Bázis: ( 1 ), ( α si α ) Mátrix: (cos 1 si α cos α ) Bázis: ( 1 ), α szögű vektor. Mátrix: ( 1 1 1 ) 9/8
Sajátérték, sajátvektor, diagoalizálhatóság, karakterisztikus poliom. D: Ha {v Av = λv}, akkor v sajátvektor, λ sajátérték. 7 M: Sajátértékkeresés: a 11 x = ( 1) k(x) a x k(x) karakterisztikus poliom, gyökei a sajátértékek. M: α 1, α, hogy α x + + α 1 x + α I-ak gyöke A. B: I, A, A,, A,, A lieárisa öf., mert dim T =, de + 1 db mátrix. α A + + α 1 A + α I = M: Sajátaltér: A λ-hoz tartozó sajátvektorok +. Poliom behelyettesítés mátrixba (vagy ikább fordítva). f(x) = g(x)h(x)-ből em következik f(a) = g(a)h(a), csak ha g és h együtthatói (lehetek mátrixok is) felcserélhetőek A-val. M: f(x) = g(x)h(x) f(a) = g(a)h(a) csak akkor, ha g és h együtthatói felcserélhetők A-val. Miimálpoliom, m f f(a) =. D: Miimálpoliom: m a (x): a legkisebb fokú, 1 főegyütthatós poliom, amelyek gyöke a mátrix. T: f(a) = m(x) f(x) B: f(x) = m(x) q(x) + r(x) f(a) = m(a) q(a) + r(a) = + r(a) r(a) = r(x) = A miimálpoliom osztja a karakterisztikus poliomot (em biz). T: Cayley-Hamilto-tétel: m A (x) k A (x) Mátrixok hasolósága, diagoalizálhatóság fogalma. D: Hasoló mátrixok: A~B x 1 Ax = B D: Lieáris traszformáció diagoalizálható, ha va szép bázis. A diagoalizálható, ha va olya bázis, amibe A-t felírva diagoális alakú. M: Va szép bázis, ha va sajátértékekből álló bázis. T: A diagoalizálható m A (x) gyöke egyszeres. T: A diagoalizálható dim(v λi ) = dim V T: Ha A sajátértéke külöböző, akkor A diagoalizálható. T: Ha A-ak külöböző sajátértéke, akkor A diagoalizálható. Ivertálhatóság: φ A 6 e 1 A 1 (det A ) dim Imφ = dim Kerφ = γ φ γ = γ γ φ = r(a) = Ax =! mo. B A B = B B A = em s.é. 1/8
Áttérés egyik bázisból a másikba. M: Áttérés egyik bázisból a másikba: C v f = v e C 1 v e = v f C 1 AC = B??? 7 Példa diagoalizálható és em diagoalizálható mátrixokra. P: A = ( 1 1 ) k A(x) = x 1 gyöke s.v. szép bázis em diagoalizálható P: A = ( 1 1 ) k A(x) = x x 3 x 1 = 1, 3 gyöke egyszeres diagoalizálható 11/8
Traszformáció ragja, 8 Mátrix ragja, sor-, oszlop- és determiás rag megegyezik (magyarázat, de teljes biz. később). D: Rag = dim a 1, a,, a, azaz a maximális függetle oszlopok száma D: Sorrag = a maximális függetle sorok száma T: Sorműveletek em változtatják meg a sorragot. B: Nem változik a geerált altér, mert a vektorok egymással kifejezhetők. P: λ s i = s i s i = 1 λ s i s i + λ s j = s i s i = s i λ s j D: Determiásrag = maximális r, ahol r r-es em aldet, és (r + 1) (r + 1)-es aldet =. T: detrag = sorrag = oszloprag B: Sorműveletek em változtatják a sorragot mo. k = KerA KerA em változik. dim KerA em változik dim ImA em változik. dim ImA = oszloprag oszloprag sem változik. Átalakítás: 1 1 1 vmi 1 r s = lieárisa függetle sorok = vezéregyesek száma = lieárisa függetle oszlopok = r o. r det = k, és det B és az első k sor függetle. k + 1-dik sor függ az első k-tól, mert: Kifejtési-tétel: a 1j A 1j + + a (k+1)j A (k+1)j = Összeg és szorzat ragja. =a 1j A 1j + + a (k+1)j det B = det B li. öf. r s = k Mag és kép kapcsolata a homogé lieáris egyeletredszerek megoldásával és megoldhatóságával. M: Ker A = Ax = megoldásai Im A = {b Ax = b} megoldható Rag és megoldhatóság. Jobbiverz, baliverz, kétoldali iverz. D: Jobbiverz: AB = I k Baliverz: BA = I T: Ha baliverz, akkor Ax = b-ek! mo.-ja. B: Ax = b BAx = Bb Ix = Bb x = Bb M: Ha > k jobbiverz Ha < k baliverz??? 1/8
M: Ha baliverz és jobbiverz is, akkor B b = B j. M: B: { B b (A B j ) = B b I = B b (B b A) B j = I B j = B j B b = B j A 11 A 1 + ( A 1 ) A a 11 a 1 det A ( ) ( ) a 1 a det A A 11 A 1 Ha A 1, akkor A 1 = 1 ( A det A 1 ) A 7 Létezés raggal, pl.: A-ak potosa akkor létezik jobbiverze, ha r(a) = sorok száma. M: A T k jobbiverz A oszlopai = T k r(a) = k baliverz A sorai = T r(a) = kétoldali iverz r(a) = k det A Négyzetes mátrix iverzéek kiszámolása determiásokkal φ A e 1 A 1 (det A ) dim Imφ = dim Kerφ = γ φ γ = γ γ φ = r(a) = Ax =! mo. B A B = B B A = em s.é. 13/8
Diagoalizálhatóság átfogalmazása sajátbázissal, sajátalterek dimezióival. D: Lieáris traszformáció diagoalizálható, ha va szép bázis. A diagoalizálható, ha va olya bázis, amibe A-t felírva diagoális alakú. 9 M: Va szép bázis, ha va sajátértékekből álló bázis. T: A diagoalizálható m A (x) gyöke egyszeres. T: A diagoalizálható dim(v λi ) = dim V A miimálpoliom gyökei pot a sajátértékek. T: A miimálpoliomak mide sajátérték gyöke. B: x = x A x = λ x A x = A(λ x) = λ (A x) = λ λ x = λ x A 3 x = λ 3 x Stb. (a A + a 1 A 1 + + a I)x = (a λ + a 1 λ 1 + + a )x p(a) x = p(λ) x m A (A) x = m A (λ) x x = m A (λ) x = m A (λ) x Mivel x m A (λ) = Hasoló mátrixok karakterisztikus poliomja megegyezik. T: Hasoló mátrixok k A -ja megegyezik. B: B λi = x 1 Ax λi = x 1 Ax λx 1 Ix = x 1 (A λi)x = x 1 A λi x = = A λi x 1 x = A λi x 1 x = A λi a b M: ( c d ) ~ (λ 1 ) λ a b ( c d ) ~ (λ λ ) A skalár mátrixok csak ömagukhoz hasolók. M: Ha A~B, akkor det A = det B és tr A = tr B. A mátrix yoma a sajátértékek összege, a determiás a szorzatuk. D: A yoma: tr A = a ii = λ i det A = a ii B: k A (x) = ( x) a ii ( x) 1 + + det A Külöböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetleek. T: A külöböző sajátértékhez tartozó sajátvektorok lieárisa függetleek. B: Teljes idukció: 1-re: 1 db vektor függetle Tfh k-ra igaz k + 1-re: α i v i = és = A( α i v i ) = α i A v i = α i λ i ( α i v i ) λ 1 ( α i λ i ) = + α (λ λ 1 )v + + α (λ λ 1 )v = Mivel k 1-re függetleek voltak α i = függetleek 14/8
Kétszer-kettes mátrixok hasolóságáak elemzése. Jorda féle ormálalak (csak kimodva) segítségével T: ( λ 1 1 1 λ 1 λ 1 1 λ λ 3 1 1 λ 3 ) alakba mide mátrix felírható. 9 15/8
Csoport fogalma, példák. D: CsoporT: G halmaz és művelet 1 Asszociatív: (ab)c = a(bc) EgységeleM: e: ea = ae = a Iverz: a a : aa = a a = 1 P: D diédercsoport: szabályos -szög szimmetriái, művelet: kompozíció P: S szimmetrikus csoport: elem összes permutációi M: Ha kommutatív, akkor Abel-csoport. P: (R +, ) D: Csoport redje: csoport elemszáma: G. Sok példa elképzelhető, mit permutációk egy csoportja. Csoporthatás defiíciója, sok példa, ijektív és em ijektív is. D: G csoport hat Ω halmazo, ha g G és x Ω esté értelmezve va a g x Ω elem úgy, hogy g (h x) = (gh) x és 1 x = x. Permutációcsoportok. Sok példa. Ijektív pl. 3-,4-,6-szög a csúcsoko, oldalako. Ami em ilye, pl.: a hatszög szimmetriái az átlóko, mert ez em bijektív. e, g 1 egyértelmű. 16/8
Részcsoport, részcsoportok metszete részcsoport. D: RészcsoporT: H G: Egy H G részcsoport, ha H is csoport ugyaarra a műveletre ézve. P: Triviális részcsoport: G G, {e} G 1 P: (Z, ) (Z, ), f i D 3 T: H G részcsoport h, g H hg H és h 1 H B: asszociativitás, hh 1 H T: Részcsoportok metszete is részcsoport: H i G H i G B: Ha h, g H i h, g H i i-re hg H i i-re hg H i Ha h H i h H i i-re h 1 H i i-re h 1 H i A részcsoportbeli egységelem és iverz ugyaaz, mit a csoportba. T:! e: e H = e G B: e H és e G is egységelem e H e G = e H és e H e G = e G e H = e G T:! g 1 : g 1 = g B: Tfh. g g 1 = g g = e g 1 g g 1 = g 1 g g e g 1 = e g g 1 = g Geerált részcsoport, eek létezése D: Legye K G. K : K által geerált részcsoport a K-t tartalmazó legszűkebb részcsoport. 17/8
A hatváyozás tulajdoságai, g k defiíciója, tulajdoságok kiterjesztése egatív számokra. M: g g k = g +k, (g ) k = g k D: g = (g ) 1 = (g 1 ) M: g g k = g g g 1 g 1 = g k, (g ) k = g k 11 Red, red tulajdoságai, ciklikus csoport. D:g redje: o(g) = k, ha a k = e és a i e < i < k-ra T: Ekvivalesek: o(g) = k g = e k g i = g j k i j g-ek potosa k külöböző hatváya va. B: 1 : g = e g = g k q g r = (g k ) q g r = e q g r = g r = e és r < k r = k k = qk g = (g k ) q = e q = e 1, 3: g i = g j g i j = e k i j 3 4: Kell: 1, g, g,, g k 1 külöböző. Tfh. g i = g j k i j i j = i = j Ciklikus csoport részcsoportja ciklikus. D: C : Ciklikus csoport: egy elem által geerált csoport M: Izomorfjai erejéig 1 db m-edredű ciklikus csoport va. B: g i g j = g i+j mod m és g m = 1 G Z m, +, azaz g i i. P: -dik egységgyökök a szorzásra, szabályos -szög forgatásai T: H < G. G ciklikus H ciklikus B: G = g H = {g a 1,, g a k}. a i = a 1 q + r g a i = (g a 1) q a r g a i (g a 1) q = a r H Mivel r < a 1 és a 1 < a i i-re, ezért r = a 1 a i. Jobb- és baloldali mellékosztályok. D: Legye H G részcsoport. g G. A Hg szorzat H g szeriti jobboldali mellékosztálya. Legye H G részcsoport. g G. A gh szorzat H g szeriti baloldali mellékosztálya. T: Hg H = B: Tfh a Hg. Ekkor a H: a = a g g = a 1 a. a H a 1 H a 1 a H g H T: Hg = H B: Ha g H H = Hg. Külöbe h 1 g = h g h 1 gg 1 = h gg 1 h 1 = h T: Két külöböző jobboldali mellékosztály vagy egybeesik, vagy diszjuktak. B: Hg 1 = Hg Hg 1 g 1 = H g 1 g 1 H g Hg 1 a H: g = ag 1 a = g g 1 1 Ha = H Hg g 1 1 = H Hg 1 = Hg 18/8
Lagrage-tétel. T: Lagrage-tétel: Ha G véges és H G H G B: G: H : H mellékosztályaiak száma. G = Hg G = Hg = Hg = G: H H 11 spec eset: Euler-Fermat tétel. T: g = o(g) Köv.: o(g) G g G = e speciális eset: Euler-Fermat-tétel: Z redukált maradékosztályai -ra: φ() = rmo. a φ() Csoportizomorfizmus. T: Cayley-tétel: Mide csoportak va permutációreprezetációja. Mide csoport izomorf egy permutációcsoporttal. B: φ: G S G g ( g 1 g g 1 g g g ) és k G Ez permutáció, mert: elem szerepel alul: g i g = k g i = kg 1 elem potosa egyszer szerepel: g i g = g j g g i = g j Művelettartó, mert: φ(gh) = ( g i (gh) ) = ( (g i g)h ) = φ(g)φ(h) S 3 D 3 és S 4 T, de pl. D 4 S 4 g i D: G 1 G : G 1 és G izomorf φ: G 1 G bijektív leképezés, hogy φ(g 1 g ) = φ(g 1 )φ(g ) Pl.: S 3 D 3 Pl.: K: kocka szimmetriái: H S 6, hogy K H és H S 8, hogy K H g i Mide m-elemű ciklikus csoport izomorf (Z m, +)-szal. Cayley-táblázat, aak éháy tulajdosága + 1 3 1 3 T: Cayley-tábla: Z 4 : 1 1 3 3 1 3 3 1 M: Sudokus : mide sorba és mide oszlopba mide elem potosa egyszer szerepel B: Egy sor tartalmazza a csoport összes elemét. y = g(g 1 y) = gx alakba. 19/8
Absztrakt számolás D -be, elemek előállítása. 1 Pálya, stabilizátor, D: α Ω stabilizátora azo elemek halmaza, amelyekre {g G αg = α} P: Ω = {1,,6}, 3 stabilizátora: st G (3) = {tf, id} T: A stabilizátor csoport. B: Részcsoport, mert ha αg = α és αh = α, akkor: αgh = αh = α α = αg 1 D: α pályája: ahova α mehet: orb G (α) = G(α) = {αg g G} P: Ω = {1,,5}, G(1) = {1,}, G(3) = {3,4,5} T: A pálya ekvivaleciareláció: D: ~ reláció: α~β g: αg = β B: α~α, mert α id = α α~β β~α, mert αg = β α = βg 1 α~βés β~γ α~γ, mert αg = β, βh = αgh = γ Orbit-stabilzátor-lemma. T: Orbit-stabilizátor lemma: G = st G (α) G(α) G(α) = G: G(α) B: Bijekció: G(α) és a baloldali mellékosztályok között β {g G αg = β} Alkalmazások pl.: égyzet és a kocka szimmetriáiak száma. Négyzet szimmetriái: orb (1) = 4, st 1 = 8 db szimmetria Kocka szimmetriái: orb (1) = 8, st(1) = orb st(1) () st 1, = 3 orb st(1,) (4) st 1,,4 = 3 = 6 48 db szimmetria Ciklikus csoport részcsoportjai. /8
Homomorfizmus, mag, kép. D: Legyeek G 1, G csoportok. A φ: G 1 G leképezést homomorfizmusak evezzük, ha a, b G 1 -re φ(ab) = φ(a)φ(b). P: G 1 = G, φ = id P: (C, +) (R, +), φ: C R, a + bi a D: Homomorfizmus magja: Ker φ = {g G 1 φ(g) = 1 G } 13 D: Homomorfizmus képe: Im φ = {g G h G 1 : φ(h) = g} A mag mellékosztályai megfelelek a kép elemeiek. T: A mag mellékosztályai megfelelek a kép elemeiek: B: Kerφx mellékosztály mide eleme ugyaabba a g elembe képződik le, mert: h Kerφ, x G 1 : φ(x) = g, g Imφ: φ(xh) = φ(x)φ(h) = g φ(y) = g: φ(yx 1 ) = φ(y)φ(x 1 ) = gg 1 = 1 G yx 1 = k Ker φ y = kx G 1 Kerφ A mag jobb- és baloldali mellékosztályai megegyezek. T: Ker φ jobb és baloldali mellékosztályai megegyezek. N = Ker φ ormálosztó hn = Nh h G re h 1 Nh = N h G-re h 1 gh N h, g-re B: Ker φ G 1, mert ha g 1, g Kerφ φ(g 1 g ) = φ(g 1 )φ(g ) = I G és φ(g 1 1 ) Kerφ. h G 1 φ(h 1 gh) = φ(h 1 )φ(g)φ(h) = φ(h 1 )I G φ(h) = I G G 1 = Im Ker. T: G = Imφ Kerφ Sok-sok példa, pl.: Z-ből a maradékosztályokba, determiás, logaritmus, e x. P: Z + mod m maradékosztályok Kerφ = {u Z + m u}, Imφ =teljes maradékredszer P: GL (k) {k {}}, A det A det(ab) = det(a) det(b) Kerφ = SL (k): 1 determiású mátrixok, Imφ = k P: S Z, A előjele Kerφ = A : alteráló csoport: ps. permutációk, Imφ = {±1} P: D Z + ha f : φ(x) = { 1 ha t + Kerφ = f, Imφ = Z P: A B B, φ: (a, b) b Kerφ = {(a, e)}, Imφ = B P: { R+, R, +, φ(a) log a R, + R + a bijekció,, φ(a) e P: Kocka S 8 : csúcsok: Kerφ = id Kocka S 6 : lapok: Kerφ = id Kocka S 4 : testátlók: Kerφ = id, középpotos tükrözés, Imφ = S 4 Kocka S 3 : szembe lévő lapátlók: Imφ = S 3 1 1/8
Homomorfizmusok D -ből és S -ből Z -be, példák csoporthatásra. 13 Kocka szimmetriáiból S 8,6,4,3 -ba. Direkt szorzat, elemred a direkt szorzatba. D: A és B csoport. A B = {(a, b) a A, b B} csoport. (a 1, b 1 )(a, b ) = (a 1 a, b 1 b ), (e, e) egységelem, (a, b)(a 1, b 1 ) = (e, e) iverz T: Mide végese geerált Abel-csoport előáll prímhatváy redű ciklikus csoportok direkt összegekét és sorredtől eltekitve egyértelmű. P: C 6 = C C 3 : C = {a 3, e} és C 3 = {a, a 4, e} a = a 4 a 3, a = a e, a 3 = ea 3, a 4 = a 4 e, a 5 = a 3 a P: C 1 = C 4 C 5, C C C 5, C 4 C 5 C 5, C C C 5 C 5 4 féle 1 elemű Abel-csoport létezik. /8
Ivertálható traszformációk és ivertálható mátrixok jellemzése. 14 Relációk jellemzése, fogalmak. D: A halmaz. H A M: A halmaz bármely elemére eldöthető, hogy relációba állak vagy sem. P: KisebB: {(a, b) a < b} A P: Függvéy: {(x, x )} A P: R(a, b) c: ac = b P: R(a, b) 7 a b D: MűveleT: A A P: +: (3,7) 1 D: R reflexív R(a, a) R teljes R(a, b) vagy R(b, a) R szimmetrikus R(a, b) R(b, a) R atiszimmetrikus R(a, b) em R(b, a) R trazitív R(a, b) és R(b, c) R(a, c) R trichotóm R(a, b) vagy R(b, a) vagy a = b P: <: atiszimmetrikus, trichotóm, trazitív P: =: reflexív, szimmetrikus, trazitív P: : reflexív, trazitív D: Ekvivaleciareláció: A = A i (diszjuktak) a~b i: (a, b) A i M: a és b ugyaabba a részhalmazba esik. M: reflexív: R(a, a) trazitív: R(b 1, a) és R(a, b ) R(b 1, b ) szimmetrikus: R(a, b) R(b, a) P: 7 a b: reflexív, szimmetrikus, trazitív Sor-, oszlop- és determiásrag egyelősége, két bizoyítás. Cayley-tétel 3/8
Traszpozícióval való szorzás változtatja az iverziók számáak paritását. Puskás tételek T: Traszpozícióval való szorzás változtatja az iverziók számáak paritását. B: ( a i a j 1 i j 1 i j a j a ) ( i Π 1 Π i Π ) = ( j Π Π 1 Π j Π ) i Π Iverziók számáak változása: i, j elemek i, j közötti elemek: Ha i-vel iverzióba volt, j-vel em, akkor ez éppe megfordul. Ha midegyikkel iverzióba volt, egyikkel sem lesz. Ha egyikkel sem volt iverzióba, midegyikkel lesz. Tologatós játék: két kiskocka em cserélhető fel. Tologatós játék: Két kiskocka em cserélhető fel. B: Egy lépés = egy csere Két kiskocka cseréje = (1,) páratla De ha a lyuk visszaér k-szor fel és k-szor le, l-szer jobbra, l-szer balra Rubik-kocka: egy élkocka em fordítható meg. Két élkocka em cserélhető fel. Páros-város (bizoyítása deteriással is és raggal is). Páros-város, kocsmábajárási mátrix: B1: ember kocsma Polgármester: kocsmába páros sok ember járjo párba állak kocsma Polgármester: kocsmába páratla sok ember járjo polgármester is járjo midehova Polgármester: k i = páros és k i k j = páratla: k 1 k t e kocsmábajárási mátrix: 1 1 e 1 A T A: mod e 1 e k 1 1 1 t k e 1 1 e 1 k 1 ( k 1 k k 1 k t ) k 1 Kell: A T A = ( ) det A T A =. 1 Tfh. t > kip=tolom -kal égyzetesre A T A = B T B, de det(a T A) = 1 és det(b T B) = det B T det B = B: Raggal??? 11 szám 3-ál kisebb prímosztókkal. 11 szám 3-ál kisebb prímosztókkal. Va köztük éháy, amelyek szorzata égyzetszám. α 1 B: 1 db prím: c i ( ) kitevők mod. α 1 Max 1 lehet függetle ez a 11 darab li. öf. λ i a i =. Szorozzuk össze azokat, amelyekre λ j, azaz λ j = 1. Ezekre λ j a j = a j =. Tehát c j = égyzetszám. 4/8
Sortüdérek-oszloptüdérek Puskás tételek 1 1 Összekevert sakktábla: ( 1). 1 1 1 1 Egy sortüdér vagy oszloptüdér változtatása: ( ) vagy ( 1 ) alakút ad hozzá 1 16 darab, amiből 15 függetle ( )-ból előáll az eredeti elég a ( )-t előállítai A visszaállítható A s i, o i dim V = 15 15 darab sakktábla állítható vissza dim(m 8 8 (Z)) = 64 -es tüdérek (potos jellemzés). Négyzetes tüdérek: 49 db tüdér 49 dimeziós alteret geerálak, azaz dim Im i = 49 Egy égyzetes tüdér mátrixa pl.: ( 1 1) Mide sorba és oszlopba páros sok 1-es va. 1 1 A -ból olya szíezések állak elő, amelybe mide sorba és oszlopba páros sok 1-es va 16 db feltétel, amiből 15 függetle dim Ker i = 15 Nics több feltétel, mert 15 + 49 = 64, azaz dim Ker i + dim Im i = dim i A visszaállítható mide sorba és oszlopba páros sok 1-es va Az előző kettő együtt sem elég. Determiások szorzástétele. A mátrix műveletek és a traszformációk közti műveletek kapcsolata: kompozíció párja a mátrixszorzás. T: A mátrix műveletek és a traszformációk közti műveletek kapcsolata: kompozíció párja a mátrixszorzás. Sor- oszlop- és determiás rag megegyezik ( bizoyítás). Cramer-szabály. T: Cramer-szabály: Legye A T és det A. Ax = b-ek! mo. a 11 b 1 a 1 x i = A i, ahol A A i = ( ) a 1 b a B: A 1 A 11 A 1 b 1 b 1 A 11 b A 1 + x = A 1 b = 1 ( A det A 1 ) ( ) = 1 ( ) det A A b ±b 1 A 1 ± b A + x i = b 1 ( 1)i+1 A 1i +b ( 1) i+ A i + det A = A i a kifejtési tétel (i. sor) szerit A 5/8
Mide poliomak va olya többszöröse, amelybe mide kitevő prímszám. Puskás tételek T: Mide poliomak va olya többszöröse, amelybe mide kitevő prímszám. (α x + + α 1 x + α ) g(x) = a 1 x p 1 + a +1 x p +1 x p 1 = q 1 (x) f(x) + r 1 (x) B: {, ahol deg r i < vagy r i =. x p +1 = q +1 (x) f(x) + r +1 (x) Ekkor f(x) x p i r i (x) és r i -k lieárisa öf. a 1 r 1 + a +1 r +1 = : em a i = { a 1r 1 + a +1 r +1 a 1 x p 1 + a +1 x p +1 f(x) a 1(r 1 x p 1) + + a +1 (r +1 x p +1) f(x) a 1 x p 1 + a +1 x p +1 A Fiboacci-számok képlete mátrix diagoalizálással. Fiboacci-számok képlete mátrix diagoalizálással ( f i ) f ( i+1 ( 1 1 ) ( 1 1 1 ) (f i+1 ) ( 1, 1 ) ( 1 ) f i+ 1 1 ) (1 1 ) ( 1 1 1 ) (1 ) ( 1 1 1 ) ( f ) f +1 ( 1 1 1 ) = x 1 Dx D = ( λ 1 ) D λ = ( λ 1 λ) ( 1 1 1 ) = (x 1 Dx) = x 1 Dxx 1 Dx x 1 Dx = x 1 D x ( 1 x 1 ) sajátértékei: 1 1 1 1 x = x x 1 λ 1 = 1± 5 Sajátvektorok: ( 1 1 1 ) (x 1 x ) = 1+ 5 ( x 1 5 1 1 x ) ( ) ( x 1 1 1 1+ 5 x ) = ( ) sv: ( 1 1+ 5) λ 1 -hez ( 1 1 5) λ -hez D = ( 1+ 5 1 5 ) ( 1 1 1 ) = ( 1 1 + 5 ( 1 1 1 1 ) = ( 1 + 5 1 1 5 1 1 5 ( f f +1 ) = ( 1 1 1 ) ( 1 ) f = 1 5 1 + 5 1 5 ) 1 1 1 5 5 1 1 + 5 ( ) ( ) ( 1 + 5 ) 1 5 1 1 ) ( 1 5 5 ) 1 1 + 5 ( ) ( ) + 5 ((1 ) ( 1 5 ) )??? Kettős leszámlálás módszere. pl: Osztók számáak átlagértéke log. Kettős leszámlálás módszere: pl: Osztók számáak átlagértéke log. d(j) = [ i ] ~ i d(j) = i = 1 ~ log i 6/8
Bursidelemma, Puskás tételek T: Burside-lemma: 1 fix(g) = pályák száma. fix(g) = {α αg = α} G B: Vegyük (α, g) párokat. Ha g rögzített, akkor (g, α) párok száma g fixpotjai Ha α rögzített, akkor (g, α) párok száma α stabilizátoráak elemszáma: G α α Ω G α = g G fix(g) G α α Ω G orb G (α) G α G α α Ω = 1 G G g G fix(g) = pálya = pálya 1 = pályák száma G 1 fix(g) = pályák száma G eek alkalmazása leszámlálásra: tetraéder lapjaiak szíezése 3 szíel, Elforgatás erejéig háy külöböző módo lehet kiszíezi 3 szíel egy tetraédert? (,3,4) 4 = 8 db 3 = 9 szíezés (1,) ( 4 ) = 6 db 33 = 7 szíezés (1,,3,4) 4! 4 = 6 db 3 szíezés (1,)(3,4) 3 db 3 = 9 szíezés id 1 db 3 4 szíezés 8 9 + 6 7 + 6 3 + 3 9 + 34 = 15 4 karkötő 4-4 piros és kék golyóból. Karkötő 4 kék és 4 piros gyögyből t 1 4 db ( 4 ) fixpot t 4 db ( 4 ) fixpot f, f 3, f 5, f 7 4 db gyögy ugyaolya szíű lee f, f 6 db fixpot f 4 1 db ( 4 ) fixpot id 1 db ( 8 4 ) fixpot 4 6 + 4 6 + + 6 + ( 8 4 ) = 8 16 Tetszőleges sokszíű karkötők darabszáma. 7/8
Prímoldalú sokszög szíezése: 1. Fermat-tétel.. Cauchy-tétel. Puskás tételek Prímoldalú sokszög szíezése: Fermat-tétel bizoyítása p oldalú sokszöget szíek szíezük id helybehagy p darabot f i helybehagy darabot ( f i ugyaayit hagy helybe, mert ugyaayi az orbitja, az összes csúcs) A em egy szíűek p-es csoportokba oszthatók. (p darab elforgatás) p darabot p csoportba osztok p p Prímoldalú sokszög szíezése: Cauchy-tétel bizoyítása p G. p oldalú sokszöget szíezük g G csoportelemekkel. Összese g p darab szíezés Csak azokat veszem, ahol g 1 g g p = 1 g 1 g g p = 1 g p g 1 g g p 1 g p g p 1 = g p g p 1 g p g 1 g g p 1 = 1 elforgatottjára is igaz g p egyértelmű g 1 g g p 1 -ből G p 1 ilye szíezés va Forgatás szerit csoportba redezem a szíezéseket: p-es csoportok (forgatással p külöbözőt kapok) 1-es csoportok (g p = 1)( ugyaolya szíű): pl.: (1,1,,1) G p 1 = p sok + 1 (1 + más) p G p 1 és p p sok p 1 + más más Cauchy-tétel: Ha p G, akkor G-be va p-edredű elem.??? Példa alakzatra, amelyek végtele sok szimmetria tegelye va, és em középpotosa szimmetrikus. t 1, t = t 1 vagy f k t 1??? A traszformációk kompozíciója megfelel a mátrixszorzásak. Ebből: mátrixszorzás jó defiíciója, asszociativitás. A determiás, mit térfogat (mérték), azaz a determiás kostas szorzó erejéig az egyetle emelfajuló alteráló multilieáris forma. T: A determiás, mit térfogat (mérték), azaz a determiás kostas szorzó erejéig az egyetle emelfajuló alteráló multilieáris forma. B: V(g 1,, g ): Π Π V(e 1,, e ) = 1 V(a 1,, λa i,, a ) = λv(a 1,, a ) V(a 1,, a i, +b i, a ) = V(a 1,, a i,, a ) + V(a 1,, b i,, a ) V(a 1,, a i,, a i, a ) = V(a 1,, a i, λ i a i ) = = λ V(a 1,, a i,, a i, a ) = V(a 1,, a i,, λ a i, a ) V(a 1,, a i,, a j, a ) = A V(a 1,, a i,, a j + λ a i, a ) = A V(a 1,, a i,,) = V(a 1,, a i,, λ ) = λ V(a 1,, a i,,) V(a 1,, a i,,) = V(a 1,, a i, +b i,, a i, +b i,, a ) = V(a 1,, a i,, a i + b i,, a ) + V(a 1,, b i,, a i + b i,, a ) = = V(a 1,, a i,, a i,, a ) + V(a 1,, a i,, b i,, a ) + V(a 1,, b i,, a i,, a ) + V(a 1,, b i,, b i,, a ) = = V(a 1,, a i,, b i,, a ) + V(a 1,, b i,, a i,, a ) V(a 1,, a i,, b i,, a ) = 1 V(a 1,, b i,, a i,, a ) V(a 1,, a ) = V( λ i1 e i, λ i e i,, λ i e i ) = V(λ 11 e 1, λ i e i,, λ i e i ) + + V(λ 1 e, λ i e i,, λ i e i ) = db tag = V(λ Π(1)1 e Π(1),, λ Π() e Π() ) = λ Π(1)1 λ Π() V(e Π(1),, e Π() ) = λ Π(1)1 λ Π() ( 1) sgπ = det A 8/8