Mikroökon konómiai optimumfeladatok megoldási módszereim Alapvetõ deriválási szabálok. Feltételes szélsõ érték feladatok megoldása. Mit jelent az optimalizálás? feltételes szélsõérték-feladat döntési helzet feltárása egszerûsítõ feltevések, modellek döntési változók azonosítása választási lehetõségek, korlátozó feltételek döntési kritérium, célfüggvén, racionális magatartás, optimum: maimum- vag minimum a gazdálkodás fogalma, alkalmazási területek A hasznosság g maimalizálása egváltozós hasznossági függvének a határhaszon fogalma a határhaszon mint differenciahánados a határhaszon mint differenciálhánados a legfontosabb deriválási szabálok egváltozós hasznossági függvének szélsõ értékének meghatározása deriválással Kapcsolódó irodalom: Koppán Krisztián [005]: Módszertani segédlet... niversitas-gõr Kht. 17-19., 36-41., 46-47. o. 1
Egváltoz ltozós s hasznossági függvf ggvén A hasznossági függvén jelölése vag T. Mind a tankönvben, mind a példatárban találkozhatunk mindkét jelöléssel! 3,5 () 0 0,00 3,0 1 1,00 1,41,5 3 1,73,0 4,00 5,4 1,5 6,45 7,65 1,0 8,83 0,5 9 3,00 10 3,16 0,0 Ez csupán eg példa formulával megadott hasznossági függvénre! Miért jó hasznossági függvének a gökfüggvén és a logaritmusfüggvén? 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Az ( ) hasznossági függvén néhán pontja és grafikonja A határhaszon fogalma Total tilit Marginal tilit T M 0 0-7 3,5 5 13 10 0 1,4 T M A határhaszon mint differenciahánados nados 0 13 ( ) ( 1) ( 1) ( 0 ) tg1 1 0 ( ) ( 1) tg 1 ( ) ( ) 1 ( ) +6 1 ( ) ( ) 1 0 7 ( 0 ) 1 1 0 0 1 +3 5 10
A határhaszon mint differenciálh lhánados ( ) ( 0 ) A 0 dt( ) M( ) T( ) d A legfontosabb deriválási szabálok... f ( ) f ( ) 1 f ( ) f ( ) 5 5 4 g( ) g ( ) h h 0 ( ) ( ) 1 1 f ( ) f ( ) 3 6 3 g g 0 ( ) ( ) 1 h( ) 7 h( ) 0... és s alkalmazásuk T ( ) M ( ) T ( ) 0,5 T ( ) 5 0, 3 T ( ) 0,5 0,5 1 0,8 1 M ( ) 50, 1 3 4 M ( ) 3 3 3 T ( ) 6 M ( ) 6 0,8 1 ( ) ln ( ) 3
Széls lsõ érték k meghatároz rozása deriválással vegünk eg telítõdési ponttal rendelkezõ hasznossági függvént pl. ( ) 6 ábrázoljuk! értelmezzük a telítõdési pontot! határozzuk meg a függvén maimumhelét a derivált (határhaszon függvén) zérushele segítségével! ezzel az optimumfeladatok megoldásának egik (bár nem minden esetben legkénelmesebb) módszerét elõ is készítettük! Feltételes teles széls lsõérték-feladatok megoldása: a legegszerûbb módszerm kétváltozós korlátozó feltételek értelmezése és felírása gakorlatias példák költségvetési halmaz és költségvetési egenes tengelmetszet, meredekség eltolódások, elfordulások kétváltozós célfüggvének értelmezése az optimális megoldás meghatározása az egik változót kifejezzük a korlátozó feltételbõl a kapott formulát a hasznossági függvénbe írjuk egváltozós hasznossági függvént kapunk ennek szélsõ értéke a korábbiak alapján meghatározható Kapcsolódó irodalom: Koppán [005] 19-0., 75. és 79. o. Korlátoz tozó feltételek telek a fogasztásban sban eg egetemi hallgató a félév elején 5000 Ft-os kártával töltötte fel mobilját a mobiltelefont csak két célra használja szülõk hívása: vezetékes hálózatba történõ hívás, kedvezménes idõszakban, 30 Ft/perc barátnõ/barát hívása: hálózaton belüli hívás, éjszaka, díja 15 Ft/perc 4
Jelölések jövedelem vag a fogasztásra költött pénzösszeg: I (esetünkben I = 5000 Ft) a termékekbõl vásárolt (vásárolható) menniség: és szülõkkel való beszélgetési idõ percben () barátnõvel/baráttal való beszélgetési idõ percben () az eges termékek árai: p és p hívás vezetékes hálózatba, kedvezménes idõszakban (p = 30) éjszakai hívás, hálózaton belül (p = 15) Költségvetési halmaz és költségvetési egenes általában I / p függõleges tengelmetszet I p p I p p I p p p meredekség A költségvetési egenes felírása, meredeksége és tengelmetszetei az elõzõ számpéldában. I / p A költsk ltségvetési egenes elmozdulásai I p A fenti változások értelmezése a korábbi konkrét példánkban. 5
A célfc lfüggvén és s a teljes optimumfeladat tételezzük fel, hog a telefonhívásokból származó hasznosság a következõ függvén szerint alakul: (, ) hogan használja fel a fenti fogasztó a leghasznosabb módon az 5000 Ft-os egenleget? a célfüggvén és a korlátozó feltétel felírása A megoldás s lépéseil fejezzük ki az egik változót a korlátozó feltételbõl a kapott formulát helettesítsük be a célfüggvénbe a célfüggvén egváltozóssá alakult keressük meg az egváltozós célfüggvén maimumhelét a korlátozó feltételbe való visszahelettesítéssel határozzuk meg a másik változó optimális értékét Optimumfeladatok eg másik m megoldási módszerem fontos elõzetes tudnivalók ez a megoldási módszer bír a legtöbb közgazdasági tartalommal a megoldás lénege grafikusan jól szemléltethetõ kétváltozós esetben a leginkább ajánlott eljárás a kétváltozós hasznossági függvének szintvonalai, közömbösségi görbék az optimális megoldás grafikus szemléltetése a helettesítési ráta és helettesítési határráta a parciális deriválás, kétváltozós hasznossági függvének parciális deriváltjai MRS meghatározása parciális deriváltak segítségével az MRS = költségvetési egenes meredeksége optimumfeltétel alapján történõ megoldás menete Kapcsolódó irodalom: Koppán [005] 75-78. o. 6
Kétváltozós s hasznossági függvf ggvén diagramja és s szintvonalai Jól l viselkedõ közömbösségi görbg rbék A fogasztó optimális választv lasztásasa opt A E opt C D 0 1 A költségvetési egenes érinti az elérhetõ maimális hasznossági szinthez tartozó közömbösségi görbét. A költségvetési egenes meredeksége megegezik a közömbösségi görbe adott pontban mért meredekségével. 7
6 A 1 6 A helettesítési si rátar RS Kapcsolódó irodalom: Koppán [005] 69-75. o. (, ) (, ) M M M M M M 0 0 1 M M M M A helettesítési si határr rráta 0 15 MRS d d 10 A 5 0 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 M MRS M (, ) (, ) Kapcsolódó irodalom: Koppán [005] 69-75. o. Parciális deriválás (, ) (, ) (, ) (, ) 3 3 (, ) 6 3 (, ) 9 (, ) (, ) 1 (, ) 1 Kapcsolódó irodalom: Koppán [005] 66-68. o. 8
A megoldás s lépései l a telefonos mintapéld ldán n keresztül a határhasznossági függvének meghatározása az optimumfeltétel formális felírása az optimumfeltétel egik változóra való rendezése és visszahelettesítési a korlátozó feltételbe az il módon egváltozóssá alakult korlátozó feltétel megoldása a másik változó optimális értékének meghatározása visszahelettesítéssel Optimális megoldás s eg másfajta m preferencia-rendez rendezés s esetén legen most a fogasztó hasznossági függvéne (, ) hogan értelmezhetjük a preferenciák ilen fajta változását? hogan alakulnak ebben az esetben az optimális beszélgetési idõtartamok? optimális megoldás 55,56, Optimumfeladatok a mikroökon konómia tananagban optimális fogasztási szerkezet: a maimális hasznosságot biztosító fogasztói kosár optimális munkavállalói döntés: a maimális életminõséget biztosító szabadidõ-jövedelem kombináció optimális intertemporális választás: a maimális hasznosságot biztosító jelenbeli és jövõbeli fogasztás kombináció optimális erõforrás-felhasználás adott költségkerettel megvalósítható maimális kibocsátás adott kibocsátás minimális költséggel mindig adott preferenciákkal és technológiákkal dolgozunk 9
Példa: optimális munkavállal llalói i döntd ntés Eg munkavállaló számára a szabadidõ és a bérjavak egüttes hasznosságát az (sz,j)=(sz-8)j függvén írja le, ahol sz a napi szabadidõ mennisége órákban, 8<sz<=4, j pedig a napi jövedelmet jelöli. Ábrázolja az életminõség közömbösségi térképét néhán közömbösségi görbe segítségével! Ábrázolja az életminõség költségvetési egenesét 300, 40 és 650 Ft-os órabér mellett! Mekkora az optimális munkamenniség 300 Ft-os órabér esetén? Mekkora a napi bérjövedelem? Példa: optimális intertemporális allokáci ció Tamás most írt alá eg kétéves, 8 millió Ft összegû megbízási szerzõdést. A megbízási díjat két részletben kapja: idén 5 millió Ft-ot, jövõre 3 milliót. A kamatláb 10 százalékos, Tamás intertemporális hasznossági függvéne (C 1,C )=lnc 1 +lnc. Határozza meg Tamás optimális intertemporális allokációját! Ábrázolja a szituációt! Megtakarító vag hitelfelvevõ pozícióban van Tamás az elsõ idõszakban Példa: optimális ténezõfelhasználás A termelési technológiát eg Q=K 0,4 L 0,6 alakú Cobb-Douglas-féle termelési függvén írja le. A rendelkezésre álló költségkeret 75 millió Ft, a munka után fizetett ténezõjövedelem 10 ezer Ft, a tõke utáni kamat pedig 0 százalékos. Határozza meg az adott költségkeretbõl megvalósítható maimális kibocsátási szintet és az ehhez tartozó optimális ténezõkombinációt! Határozza meg a 100 ezer darabos kibocsátási szinthez tartozó, minimális költséget biztosító, optimális ténezõkombinációt! Mekkora ez a minimális költség? 10
További nehezebb témakt makörök rugalmassági mutatók profitmaimalizálás, optimális kibocsátási nagság piaci szerkezetek versenpiac és monopólium árdiszkriminációs stratégiák monopolerõ esetén Cournot- és Stackelberg-duopólium vállalatok munkakereslete, optimális ténezõfelhasználás és kibocsátás az inputpiac oldaláról 11