Mechanikai rezgések, rezonancia előadás I. éves orvostanhallgatóknak Maróti Péter 0. szept. 4.
Felkészülés Előadás anyaga (lásd az intézet honlapjára felkerülő segédanyagokat) Minden tudás annyit ér, amennyit belőle alkalmazni tud. probléma- ill. feladatmegoldás fontos: kérem, hogy aktivizálja magát a szemináriumi foglalkozásokon. jánlott olvasnivalók Budó Á.: Kísérleti Fizika, Tankönyvkiadó, Budapest 965. Holics L.: Fizika,. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 986. Damjanovich S, Fidy J, és Szöllősi J.: Orvosi biofizika, Medicina, Budapest, 005. Fercher.F.: Medizinische Physik, Springer, Wien, New York 999. Maróti P. Biomechanika, Doktori (PhD)-kurzusok fizikából (szerk.: Hevesi I.), 99-37, Szegedi Egyetemi Kiadó, Szeged, 0. Maróti P. és Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JTEPress Szeged (több kiadás). Maróti P. és Tandori J.: Biofizikai feladatok, JTEPress, Szeged 996. Maróti P., Berkes I. és Tölgyesi F.: Biophysics Problems. tetbook with answers, kadémiai Kiadó, Budapest 998.
kárhol meglököm, az egész test (mint a miskolci kocsonya) rezegni kezd. z emberi test mechanikai rezgései, sajátfrekvenciái és helyettesítő mechanikai modelljei, (Voigttestek), amelyek hálózatot képeznek. Voigt-test: párhuzamosan kötött rugó és csillapítás.
z emberi testben felléphetnek - saját (rezonancia) rezgések, amelyek az alacsony frekvenciák tartományába esnek és - kényszerrezgések, amelyeket külső (periodikus) kényszer vált ki, és rezonanciába (együttrezgésbe) kerülhetnek a sajátrezgésekkel. rezgő testrészek mechanikai csatolásban állnak egymással. Rugalmas (elasztikus) és csillapító (viszkoelasztikus) elemek kapcsolódnak bonyolult hálózattá. Ezeknek fontos orvosi, egészségügyi következményei vannak. lapvető fontosságú a fizikai alapok (definíciók, törvények, összefüggések) megértése, hogy ezekre támaszkodva tudjon az orvos - diagnosztizálni, - hatékony terápiát alkalmazni és - mérnökökkel (legalább) szót érteni.
mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, a szív ritmikus mozgása
Mechanikai rezgések okozta panaszok fejfájás beszédbeli nehézségek állkapocs-fájdalmak mellkasi fájdalmak légzési nehézségek hasi fájdalmak derékfájás székelési inger vizelési inger J.R. Cameron és J.G. Skofronick, 978
mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, kopogtatás (percussio) és hallgatózás (auscultatio) L. uenbrugger már 76-ben bevezette az orvosi vizsgálatokba a beteg kopogtatásának (perkusszió) módszerét, amelynek során a rezgésbe hozott szövetrészek sajátrezgéseiből (intenzitás és hangmagasság) lehet kóros elváltozásokra következtetnie a gyakorlott és érzékenyített hallású orvosnak. z ő nevéhez kötődik a kopogtatás (percussio) és a hallgatózás (auscultatio) eljárásainak meghonosítása, mely a belgyógyászat mai napig használt diagnosztikai módszere.
mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, a tremor tremor valamely testrész, leggyakrabban a felső végtag akarattól független, ritmikus, oszcilláló mozgása. Klinikai megjelenése alapján több mint tízféle tremor különíthető el, a leggyakoribb a fiziológiás, a fokozott fiziológiás, az essentiális (ET), és a Parkinson-betegségben (PT) megjelenő tremor. z egyes tremorok frekvenciatartománya karakterisztikus, de egymást átfedhetik: < 4 Hz a cerebellaris és Holmes-tremor, 4 6 Hz közé esik a PT 80%-a, az ET-ok 50%-a, 6 - Hz physiológiás tremor, az essentialis tremorok 50%-a, a Parkinson-kórban megjelenő tremor 0%-a és > Hz az orthostaticus tremor.
mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, intervenciós radiológia, lithotripsia Endoszkópos retrográd kolangiopankreatográfia. Nagyméretű kő a ductus choledochusban. ductus choledochus kő az intraendoszkópos mechanikus litotriptor kosarában. Kőzúzás intraendoszkópos mechanikus litotriptorral. kosár megkisebbedett.
z összezúzandó kő a fókuszban Piezoelektromos lithotriptor Lökéshullámok Piezoelektromos elemek (kristályok) gömbfelület mentén elrendezve lökéshullámok időbeli lefutása a lithotriptorban. nyomás nagyon rövid (kb. 30 ns) idő alatt hatalmas értékre (kb. 40 MPa) emelkedik, amelynek a kő nem tud ellenállni, és elporlad.
mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, lézeres szemműtétek, KO Ha lézerrel szaruhártya-szobrászatot (ablációt) végeznek el, elkerülhetetlenül nagy intenzitású mechanikai lökések (hullámok) keletkeznek, és verődnek vissza a szem belsejének zárt üregében, amelyek az egészségre károsak lehetnek (erről szívesen elfeledkeznek a dobja el a szemüvegét program munkatársai). Hasonló rezgéssel, ill. az ezzel együttjáró lökéshullám hatásaival kell számolni a koponyába zárt, alapvetően folyékony halmazállapotú agyban, amikor kivülről mechanikai behatás (tartós rázkódás (pl. munkagépen), vagy hirtelen ütés (baleset, ökölvívásban KO)) éri.
mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, csont-, porc-, ízületi sérülések felugró, majd a talajra visszaérkező sportoló (pl. kosár- és kézilabdázó) testében (csillapodó) rezgések ébrednek, amelyek igénybe veszik az emberi test tartó- és mozgatószerkezeteit. z chilles-ín krónikus túlterhelése szalag-sérülések a térdízület megcsavarodásával és oldalra billenésével, esetleg ugrásból nyújtott térddel való érkezéskor, túlfeszüléssel következik be leggyakrabban. Fáradásos törés következik be, ha lábszárcsontokra ható erők meghaladják a csontok teherbírását, így állományukban repedés keletkezik.
mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, munkaegészségügy 0-8 khz frekvenciájú mechanikai rezgések a test szöveteit, alacsonyabb frekvenciák esetén pedig az egész testet rezgési állapotba kényszerítik (pl. pneumatikus munkagépek, járművek rezgései, amelyeket a padlózat is közvetít). Ezek hatásai: látási zavarok, szövetelváltozások, ideg- és érzészavarok, csont- és ízületi károsodások. mechanikai rezgések között különösen rombolóak és súlyos károsodáshoz vezetnek az infrarezgések (0-6 Hz). Külső mechanikai rezgéseknek (légkalapácsnak) kitett kőtörők első szisztematikus orvosi vizsgálatait. Hamilton végezte 98-ban. rezgéseknek kitett munkavállalóknál egészségi és biztonsági kockázatokat jelent a a) kéz/kar rezgése: különösen érrendszeri, csont-, izom-, ízületi, illetve idegrendszeri elváltozásokat okozhat (a napi megengedett epozíciós határérték napi 8 órás referencia-időszakra vonatkoztatva, négyzetes középértékben (rms-ben) mérve 5 m/s (/005. (VI. 4.) EüM rendelet), b) az egész testre ható rezgés: gerincelváltozások léphetnek fel (a napi megengedett epozíciós határérték 8 órás referencia-időszakra vonatkoztatva,5 m/s ).
mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, természetgyógyászat, ezotéria biorezonancia, lökéshullám terápia, stb. Nem kell szükségszerűen azt a látszatot kelteni, hogy értjük mi van a megfigyelések hátterében. Őszintébb azt mondani, hogy - nem ismerjük a hatásmechanizmusokat, de - kizárhatunk bizonyos fizikai elveken alapuló értelmezéseket.
Definíciók. Szigorú (matematikai) értelemben rezgésnek nevezünk minden olyan fizikai jelenséget, amely az idővel szakaszosan (periodikusan) ismétlődik. g( t) g( t T) Itt g(t) a fizikai mennyiségnek a t-edik időpontban felvett értékét jelenti. periódusidő (rezgésidő, T) az a legkisebb időtartam, amelynek elmúltával a fizikai mennyiség ismét ugyanezt az értéket veszi fel. reciprokát frekvenciának hívjuk: f = /T, dimenziója /idő, mértékegysége /s = Hz. Tágabb értelemben rezgésről beszélünk akkor is, ha a fizikai mennyiségnek időbeli ismétléses jellege felismerhető. Pl. a csillapított rezgés szigorúan nem periodikus, mégis a rezgések közé soroljuk (ha a csillapítás az aperiodikus határeset alatti). Felosztások. g(t) függvény konkrét matematikai alakja szerint sokféle rezgés lehet. Harmonikus rezgés (szinuszrezgés): g( t) sin( t ) nharmonikus rezgések: a fizikai mennyiség egyidejűleg véges (lásd pl. Lissajous-görbéket) vagy végtelen sok (lásd a Fourier-tételt) harmonikus rezgést végez. Típikus példák a relaációs (fűrészfog) rezgések. Szabad és kényszerített rezgések
Harmonikus rezgő mozgás Kinematikai leírás. hely-idő összefüggésből indulunk ki, és ebből leszármaztathatók más mennyiségek is. kitérés (helykoordináta): sin( t ) sebesség: v d dt cos( t ) legnagyobb a kezdőponton való áthaladás pillanataiban (t = 0, T/, T,...) és zérus a fordulópontokban (t = T/4, 3T/4,...). gyorsulás: a dv dt sin( t ) a kitéréssel arányos, és ezzel ellentétes irányú, vagyis mindig a kezdőpont felé mutat.
Harmonikus rezgő mozgás Dinamikai leírás. mozgás gyorsulás-idő függvényét behelyettesítjük a dinamika alapegyenletébe (Newton II. törvényébe): F m a m k direkciós (irányító) erő: k m m T harmonikus rezgő mozgás rezgésideje: T m k
harmonikus rezgő mozgást végző test energiája z erőtér konzervatív, a teljes mechanikai energia megmarad: E összes mv k m állandó
Feladatok harmonikus rezgőmozgásra. Egy vízen úszó fahasábot egy kissé lenyomjuk, majd magára hagyjuk. Határozzuk meg a fel-le mozgó fadarab rezgésidejét!. négykerekű vasúti kocsik rugói a síncsatlakozásoknál kapott lökések következtében rezgésbe jönnek. rugók N erő hatására,6 μm-t nyomódnak össze, a kocsi tömege tonna, a síndarabok hossza 8 m. Milyen menetsebesség esetén legnagyobb a rugók kirezgése (a kocsi zötykölődése )? 3. 00 kg tömegű bedobó kosárlabdázó felugrásnál a tömegközéppontját m magasra emeli, a talajra való visszaérkezésekor a sebességét 0 cm (rugalmas landolás) ill. cm (tehetetlen, krumplis-zsák -szerű esés) hosszú úton fékezi le. Mekkora átlagos erő ébred testének tartószerkezetében? 4. középfül csontjainak (kalapács-üllő-kengyel) szerepét egy olyan modell-lel közelítjük, amelyben az m = mg tömegű csontocskákat egy k = 7 N/m és egy k = 7, N/m direkciós erejű rugóval a dobhártyához ill. az ovális ablakhoz erősítjük. Mekkora lesz a frekvenciája ennek a rendszernek?
Harmonikus rezgések összetevése lapelv: a rezgések egymástól FÜGGETLENÜL fejtik ki hatásukat, azaz, mintha a másik ott sem lenne.. Egy egyenesbe eső (egy irányú) rezgések összetevése. a) frekvenciák megegyeznek sin t sin( t ) z eredő rezgés az egyes rezgések algebrai összege: cos sin( t ) 0 0 tg sin0 cos Speciális esetek: - azonos fázisú rezgéseknél (együttrezgésnél, α 0 = 0) az amplitúdók összegződnek: = +, és az eredő fázis az összetevő rezgések fázisával egyezik meg α = 0. rezgések (ill. később látjuk, a hullámok interferencia révén) erősítik egymást. - ellentett fázisú rezgéseknél (α 0 = π) az amplitúdók kivonódnak: = és az eredő fázisa a nagyobb amplitúdójú rezgés fázisával egyezik meg. Ha =, akkor = 0, vagyis a rezgések kioltják egymást (hasonlóan, mint ahogy az ilyen hullámok teszik, lásd később a (fény)hullámok interferencia-jelenségeit). 0
Harmonikus rezgések összetevése b) frekvenciák különböznek: sin t sin( t ) z eredő rezgés most nem hozható sin( t ) 0 alakra, és ezért nem harmonikus rezgés, sőt általában nem is periodikus folyamat, csak akkor, ha a frekvenciák aránya (ω /ω ) racionális szám. Ekkor ω = n ω és ω = n ω (n és n relatív prím egész számok), és az sin( nt ) sin( nt 0) függvény értéke T = π/ω időközönként ismétlődik.
Harmonikus rezgések összetevése, a lebegés Legyenek megegyezőek az amplitúdók, közel megegyezőek a frekvenciák és nulla a fáziskülönbség! t t sin sin z eredő rezgés t t sin cos leb f f T lebegési idő leb f f f
Lebegés z eredő rezgés amplitúdója periodikusan, a lebegési frekvenciával (a két közel egyenlő frekvencia különbségével) változik, LÜKTET. lkalmazás: hangtan (pl. hangszerek hangolása, mert kis elhangolódás is észrevehető a lebegés jelensége miatt).
Egymásra merőleges rezgések összetevése, Lissajous-görbék frekvenciák megegyeznek. rezgés eredője általában elliptikus rezgés (ellipszisben poláros rezgés) frekvenciák különböznek. sint sin t a y Bsin( t ) y Bsin( t ) b
Példa: ellipszisben poláros rezgés ) sin( sin t B y t Kezdőfázis α y Görbe egyenlete Ábrázolás 0 o sin(ωt) B sin(ωt) 90 o sin(ωt) B cos(ωt) 80 o sin(ωt) -B sin(ωt) 70 o sin(ωt) -B cos(ωt) B y sin cos cos sin ) sin( t t t B y B y B y y y y y
Példa: ellipszisben poláros rezgés, bármely fázisszögre sint y Bsin( t ) Bsin t cos Bcos t sin z időt elimináljuk (sin ωt és cos ωt helyére kifejezéseit írjuk): y B cos sin y B y cos sin B y B cos y sin Ez egy másodrendű görbének, egy ellipszisnek az egyenlete. z,y koordináták csak véges, legfeljebb, ill. B értékeket vesznek fel. Két, egymásra merőleges, egyenlő frekvenciájú harmonikus rezgés eredője elliptikus rezgés. B z ellipszis és B oldalhosszúságú téglalapban fekszik, centruma a két rezgés kezdőpontjában van.
Rezgések felbontása harmonikus rezgésekre, Fourier tétele Fourier-féle tétel: ha g(t) az idő periodikus függvénye, azaz g( t) g( t T) akkor egy és csakis egyféleképp szinusz- és koszinusz-függvények összegére bontható, amelyben az összetevők (felharmonikusok) amplitúdói ( i és B i, i = 0,,,...) különbözőek és a frekvenciái egy alapfrekvencia (ω) egész számú sokszorosai: ω i = i ω (i =,,...): g(t) = 0 / + cosωt + cosωt +...+ B sinωt + B sinωt +... ahol az i és B i együtthatókat a következő integrálok határozzák meg: i T T 0 g( t)cos( it) dt B i T T 0 g( t)sin( it) dt ( i 0,,,3,...)
Példa Fourier-analízisre: négyszögrezgés ( t) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t...) 3 5 7
Csillapított rezgő mozgás Rugóerő: F = -k Súrlódási (fékező) erő: F = -η v
Voigt-test periodikus mozgása m 0 k m súrlódás kicsiny m d dt k d dt frekvenciát a csillapítás eltolja (a súrlódás csökkenti a frekvenciát): 0 mozgás csillapodó amplitúdójú rezgés: e t sin( t )
Voigt-test aperiodikus mozgása, κ > ω 0 súrlódás nagy z (t = 0) = 0 és v(t = 0)= v 0 kezdőfeltételekhez tartozó analitikai megoldás v 0 0 e sh t t 0 ahol sh () az ú.n. szinuszhiperbolikusz függvény: sh ep( ) ep( ) mozgás aperiodikus, mert a csillapítás (súrlódás) olyan nagy, hogy a rendszer csak az egyik irányban tér ki, és csak (elvileg) végtelen hosszú idő elteltével fogja az egyensúlyi helyzetét újra felvenni. Példa: nagy viszkozitású folyadékban (pl. mézben) kitérített inga mozgása.
Kényszerrezgések Ha a rendszerre tartósan egy külső, periodikusan változó ( gerjesztő ) erő is hat, akkor az kényszerrezgést fog végezni. hozzá tartozó mozgásegyenlet a csillapított rezgésnél megismert egyenletben kiegészül a periodikus gerjesztést kifejező erővel: m d dt k d dt F 0 sin t amelynek általános megoldása κ < ω 0 (kis csillapítás) esetében ( t) cos( t ) ae 0 / sin t 0 tg 0 4 0 t ahol Periódikus tag (rezgés) Átmeneti, csillapodó tag, (elég hosszú) idővel eltűnik. F m
m csillapítás 0 k m Rezonancia mplitúdó Fázis Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb (nagyobb amplitúdójú) a rezonancia. Határesetben ez ú.n. rezonanciakatasztrófához vezethet. Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb a fázisváltás a rezonancia-frekvenciánál. Rezonanciánál π/ a fáziskülönbség a gerjesztés és a kényszermozgás között, azaz egyirányba esnek.
Feladatok csillapított rezgésre és rezonanciára. Írja fel a sorosan kapcsolt rugóra és csillapítóra erősített test mozgásegyenletét (Mawell-modell)!. Mi az oka a Lépést ne tarts! vezényszónak, amikor katonai menetoszlop hídon halad át? 3. belvárosi hídra egy szúnyog száll, és a lábával a rezonanciafrekvencián ütögeti a hidat. tapasztalat szerint a híd nem fog leszakadni, rezonancia-katasztrófa nem következik be. Miért?
Egyéb feladatok ) Egy gépkocsi tömege terheletlenül 800 kg. 5 személy (500 kg) beülésével a karosszéria 6 cm-t süllyed. Mennyi az autó rezgésideje üresen és utasokkal megterhelve? ) járást a Weber testvérek (836) a nem terhelt láb fizikai ingaként való viselkedéseként fogták fel, azaz ezen láb izomzatának teljes passzivitását tételezték fel a hátulról előre való lendítés során ( lógó láb koncepciója). Mekkora az s = 0,8 m lépéshossz esetén a járás sebessége, ha az l = m hosszúságú szabad lábat a csípő mint tengely körül mozgó fizikai ingának tekintjük? 3) Demonstráljuk számítógépes grafikai eljárásokkal a rezgések összetevésének fentebb tárgyalt elemi szabályait! Konstruáljunk egyszerűbb Lissajous-görbéket! 4) z egységnyi magasságú háromszög-rezgés Fourier-sora 8 ( t) (sin t sin 3t sin 5t 3 5 7 sin 7t Érzékeltessük ezt számítógépes grafikai eljárással (ami messze nem matematikai erejű bizonyíték, csak vizuális inspekció )....)