1. MTEMTIKI ÖSSZEFOGLLÓ fejeet néhány olyan matematiai össefüggést foglal össe, ao egat bionyítása nélül, amelyete a Fiia I. c. tágy tágyalása soán felhasnálása eülne. 1.1. Vetoo, művelete vetooon 1.1.1. Saláis és vetomennyisége olyan mennyisségeet, amelye poitív és negatív sámoal jellemehető saláis mennyiségene neveü. Ilyen, pl. a töltés, a tömeg, a hőmésélet, a sűűség, a muna. oat a mennyiségeet visont, amelye megadásáho méetü mellett még tébeli helyetüe, iányaia is süség van, vetomennyiségene neveü. Pl. eő, sebesség, gyosulás, eletomos és mágneses téeősség. Mind a saláis, mind a vetomennyisége a hely és idő függvényében váltohatna. míg egy adott időpillanatban egy adott helyen a saláis mennyiséget egy poitív vagy negatív étéű sámadat és a météegysége jellemi, addig egy adott helyen egy adott időpillanatban a vetomennyiséget a nagysága és météegysége mellett a iánya is meghatáoa. F = Fe F (1.1) vetomennyiség F nagysága a veto hossával, a veto F absolút étéével adható meg, F = F, (1.2) a veto e F iányát a F veto iányába mutató = F F (1.3) e F egységveto definiálja. 1.1. ába. F veto ábáolása 1.1. ábán látható F veto a pontból a pont felé mutat, hossa F, iányát a pontoat össeötő egyenes iányába mutató, a pontból a pont felé mutató e F egységveto adja meg.
4. Iványi, Fiia-I 1.1.2. Pont helyvetoa deésögű, Descates oodináta endseben a, y, oodinátáal jellemett P (, y, ), aa a P( ) pont helye (1.2. ába) a oodináta endse oigójából a P pont felé mutató vetoal adható meg, ahol a veto a, y, oodináta vetületeivel és a oodináta tengelye iányába mutató e, ey, e egységvetooal a öveteő = e + yey + e. (1.4) 1.2. ába. P pont a deésögű oodináta endseben Két veto ao teinthető egyenlőne, ha a absolút étéü egyenlő, és iányú megegyei, aa páhuamosa és egyenlő nagyságúa. 1.1.3. Vetoművelete Vetooon alalmaott lineáis opeáció, a jelen esetben lineáis művelete a össeadás, a ivonás és a állandóval való soás. Legyen 1 és 2 ét helyveto, a deésögű oodináta endsebeli (Descates-féle) oodináta vetületeivel adott 1 = 1e + y1e y + 1e, 2 = 2e + y2ey + 2e. (1.5) (i) ét helyveto össege a = 1 + 2, (1.6) 1.3. ába. Két veto össege 1.4. ába. Két veto ülönbsége a a veto, amelye a 1 + 2 = 0 össefüggés fennáll, aa a 1, 2 és a vetoo át háomsöget (több veto esetén át sosöget) alotna (1.3. ába). eedő
1. Fejeet, Matematiai össefoglaló 5 veto oodináta vetületei a omponense oodináta vetületeine össegeént adható meg = + e + y + y e + e. (1.7) ( 1 2 ) ( 1 2 ) y ( 1 + 2 ) (ii) ét helyveto ülönbsége a 1 és a 2 vetoo össege (1.4. ába), = 1 2. (1.8) ülönbségi veto oodináta vetületei a omponense oodináta vetületeine ülönbségével a öveteő alaban fejehető i = e + y y e + e. (1.9) ( 1 2 ) ( 1 2 ) y ( 1 2 ) helyvetona valamely c állandóval való soata a veto hossána, absolút 1 étééne, a megnövelését ( c >1), ill. csöentését ( c < 1) eedményei c 1 = c1e + cy1e y + c1e 2 2 =, ( ) ( ) ( ) 2 = c + + (1.10) 1 cy1 c1 (iii) Két veto saláis soata saláis mennyiség. 1 és a 2 vetoo 1 = 2 saláis soatána a ét veto absolút étééne, és a ét veto által beát isebbi ϕ sög soatával apott = 1 2 cosϕ saláis mennyiséget neveü, (1.5. ába) = cosϕ. (1.11) 1 2 1 2 1.5. ába. Két veto saláis soata 1.6. ába. Egységvetoo saláis soata deésögű Descates-féle oodináta endseben a páhuamos egységvetoo saláis soatai egységnyi saláis étéet eedményene, míg a egymása meőleges egységvetoo saláis soatai nulla étéet adna (1.6. ába) e e = 1, ey ey = 1, e e = 1, (1.12) e e = 0, e e = 0, e e = 0. y y 1 = 2 vetoo saláis soatána eedménye a oodináta omponenseel is megadható, ha figyelembe vessü a egységvetoo saláis soataia vonatoó össefüggéseet. Így a 1 2 saláis soat a öveteő alaban íható = e + y e + e e + y e + e = + y y. (1.13) ( 1 1 y 1 ) ( 2 2 y 2 ) 1 2 1 2 + 1 2 1 2 1 2 = 2 1 cosϕ Két veto saláis soata úgy is ételmehető, mint a egyi vetona a mási vetoa eső vetülete 1 cosϕ soova a mási veto 2 hossával (1.7. ába).
6. Iványi, Fiia-I 1.7. ába 1 vetona a 2 vetoa vonatoó vetülete (iv) Két veto vetoiális soata vetot eedménye. 1 és a 2 vetoo 1 = 2 vetoiális soatána at a vetot teintjü, amelyne a 1 2 sin ϕ hossúsága a 1 és a 2 vetoo által ifesített paalelogamma teületével egyenlő, iánya meőleges mind a 1 mind a 2 vetoa, olyan iányítással, hogy a 1, a 2 és a vetoo jobbsodású hámast alotna (1.8. ába) = = sinϕ. (1.14) 1 2, 1 2 1 2 1.8. ába. 1 és a 2 vetoo vetoi soata 1.9. ába. Egységvetoo vetoiális soata deésögű, Descates-féle oodináta endseben a páhuamos egységvetoo vetoiális soatai nullahossúságú vetot eedményene, míg a egymása meőleges egységvetoo vetoiális soatai mindét vetoa meőleges, egységnyi hossúságú, egységvetot adna (1.9. ába) e ey = e, ey e = e, e e = ey, (1.15) e e = 0, e e = 0, e e = 0. y y Figyelembe véve a egységvetoo vetoiális soataia vonatoó fenti össefüggéseet, ét veto vetoi soata a vetoo oodináta omponenseivel is ifejehető a öveteő detemináns iétéelésével e ey e = y = e y y e + e y y ). (1.16) 2 y2 2 ( 1 2 1 2 ) y ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 2 1 2 1 1 1
1. Fejeet, Matematiai össefoglaló 7 vetoo soataina tulajdonságai öül i ell emelni a saláis soat ommutatív tulajdonságát, míg meg ell jegyeni, hogy a vetoiális soat nem ommutatív, aa vetoiális soat eleine felcseélése ugyanolyan nagyságú, de elleneő iányú vetot eedménye = =. (1.17) 1 2 2 1, 1 2 2 1 1.2. integál és a deivált fogalma 1.2.1. Salá-veto és veto-veto függvénye olyan Φ saláis mennyiséget, amely a geometiai té egy tatományána minden veto által ijelölt pontjában maghatáoott étéet ves fel Φ = Φ( ) salá-veto függvényne neveü. Ilyen salá-veto függvény pl. a hőmésélet, a sűűség, a salá potenciál. olyan V vetomennyiséget, amely a geometiai té egy tatományána minden veto által ijelölt pontjában maghatáoott veto étéet ves fel V = V ( ) veto-veto függvényne neveü. Ilyen pl. a sebesség, a eletomos és a mágneses téeősség, stb. 1.2.2. vonalintegál Mint ismeetes, ha a geometiai té valamely pontjában egy F( ) eő hat egy tömegponta, amely a eő hatásáa valamely iányába l elmodulást vége, ao a tömegpont W munát vége, W = Fl, (1.18) ahol F l ( ) ( ) l a eőne a elmodulás iányába eső omponense, l pedig a út hossa (1.10.a ába). fenti (1.18) össefüggés a vetoo saláis soata alapján megadható a eő és a elmodulás vetoo saláis soataént W = F l, W = F l cosϕ. (1.19) 1.10.a ába. elemi tömegpont F l eő hatásáa a l úton való elmodulása 1.10.b ába. vonalintegál ételmeése, a munavégés sámítása
8. Iványi, Fiia-I Ha a F( ) eő hatásáa a elemi tömegpont a pontból a pontba modul el valamely l út mentén, ao a út elemi saasain végett munavégése össege a pontból a pontba való elmodulás soán ifejtett munát eedményei (1.10. b ába). N W = W. (1.20) = 1 Et a munát úgy hatáohatju meg, hogy a ponto öötti útsaast N elemi ése bontju. adi elemi útsaast a l veto jelleme. Minden elemi saas belsejében felvesün egy pontot, és ott meghatáou a eőhatás nagyságát F ( ), amelyet a elemi elmodulás vetoal saláisan soova a -adi saason végett munát apju W = F l. (1.21) ( ) össes elemi saason apott munavégéseet össegeve a ét pont öötti munavégést apju W N N = W = F( ) l. (1.22) = 1 = 1 Ha a elemi saaso hossát, absolút étéét, minden hatáon túl csöentjü, ao a út elemi l saasaina végtelen finom dl ostása seinti össegeéshe, a F( ) eőne a ponto öötti vonalintegáljáho, a tömegpont elmodításáho süséges munavégéshe jutun W = l lim N F 0 = 1 ( ) l = F( ) dl. (1.23) Minthogy a lassius fiia ételemben a pontból a pontba való elmodulás soán végett muna valamint a pontból a pontba való vissatéés soán végett össes muna nulla, W = F ( ) dl + F( ) dl = 0, (1.24) aa a integál alsó és felső hatáaina felcseélése a integál eedményében egy negatív előjelet eedménye F = dl. (1.25) ( ) dl F( ) dju meg a F( ) eőt a eő F( ) = F( ) absolút éétével és a eő iányába mutató es F s egységvetoal, F( ) = F( ) ef, valamint a ponto öti elmodulást a l úthoss l absolút éétével (hossával), valamint a elmodulás éintője iányába mutató e l egységvetoal, l = lel. fenti jelöléseet a (1.23) ifejeésbe helyettesítve a ponto öti elmodulás soán végett muna ifejeésée a öveteőt apju
1. Fejeet, Matematiai össefoglaló 9 F ( ) dl = F( ) dl e F e. (1.26) l Vegyü figyelembe, hogy a ét egységveto, e F, el saláis soata a ( F ) eő és a l útsaas éintője öti sög osinusát eedményei, így a fenti (1.26) ifejeés a eőne a elmodulás iányába eső vetületéne a elmodulás menti integálját adja F ( ) dl e e = F l F cosϕ dl. (1.27) 1.2.3. felületi integál Mint ismeetes, ha egy felületen mágneses inducióvonala menne át, ao össege a felület fluusát adjá. Enne meghatáoásáho teintsü a 1.11. ábát, ahol a a felület a felület a méősámával és a hoá endelt n felületi nomálissal adható meg, a = a n. 1.11. ába. elemi felület ételmeése 1.12. ába. felületi integál ételmeése ontsu fel a 1.12. ábán látható a felületet N elemi a felülete, amely belsejében a veto egy pontot hatáo meg. megfelelően is méetű elemi a felület pontjában a ( ) mágneses inducióveto állandóna teinthető. Een elemi felületeen a inducióvetona a elemi felület nomálisával való saláis soata a inducióvetona a felülete meőleges omponensét eedményei ( ) = n. (1.13 ába) n 1.12. ába. elemi felület fluusa 1.14. ába. Zát felület fluusa Eo a a elemi felület Ψ fluusa Ψ = ( ) n a, aa Ψ = a. (1.28) teljes felület Ψ fluusa a elemi felülete fluusaina össege,
10. Iványi, Fiia-I N N Ψ = Ψ = ( ) a. (1.29) = 1 = 1 Ha a elemi felülete méetét minden hatáon túl csöentjü egy végtelen so elemből álló össeghe, a inducióna a a felülete vett integáljáho jutun, N Ψ = lim a = ( ) da. (1.30) a 0 = 1 a Egy át felületen a belépő fluus i is lép, (1.14. ába) da = Ψ, da =Ψ, (1.31) a1 1 1 a2 2 2 és minthogy Ψ 1 = Ψ2, így a át felület fluusa nulla, da = 0. (1.32) a 1.2.4. téfogati integál Egy test tömegét a ρ sűűsége és a v téfogata hatáoa meg. Ha aonban a test sűűsége nem állandó, hanem a geometiai té egyes pontjaiban más-más étéet ves fel ρ = ρ( ), a test tömege a test sűűségfüggvényéne a téfogata vett integáljával hatáoható meg. ontsu fel a test v téfogatát olyan N sámú elemi v téfogatoa, amelye helyetét a vetooal lehet jellemeni. Teintsü a elemi v téfogat pontjában a test ρ = ρ( ) sűűségét állandóna, eo a elemi téfogat m tömegét a öveteő soattal fejehetjü i (1.15. ába) m = ρ v. (1.33) 1.15. ába. elemi téfogat 1.16. ába. téfogati integál ételmeése teljes v téfogat m tömege een elemi m tömege össegeént állítható elő, (1.16. ába) N m = Dm = ρ Dv. (1.34) = 1 N = 1
1. Fejeet, Matematiai össefoglaló 11 Ha a elemi v téfogato méeteit minden hatáon túl csöentjü, ugyancsa egy végtelen so elemből álló össeghe, a test ρ ( ) sűűségéne a v téfogata vonatoó integáljáho jutun m = N lim Dv 0 = 1 ρ Dv = ρ( ) dv. (1.35) v 1.2.5. idő seinti deivált Teintsü egy téfogatban elhelyeedő Q ( t) töltés időbeli váltoását (1.17. ába). 1.17. ába. időseinti diffeenciálhányados ételmeése Legyen a t 1 időpillanatban a töltés étée Q 1 = Q t 1, a t 2 Q 2 = Q t 2. téfogat töltése D t = t 2 t1 idő alatt D Q = Q 2 Q1 étéel váltoi meg. téfogat töltéséne megváltoásáa a töltés idő seinti diffeenciálhányadosa ad tájéotatást, amely a Dt időegység alatt létejött DQ töltés megváltoás hányadosána aon hatáétéével adható meg, amio a idő Dt növeménye nulláho tat dq dt t = ( ) t = időpillanatban ( ) DQ = lim. (1.36) Dt 0 Dt Ha a 1.17. ábán a t2 időpillanat megegyei a t 1 időpillanattal, aa Dt nulláho tat, a (1.36) diffeenciálhányados a Q töltés időfüggvényéne időpillanatbeli éintőjét adja. t 1