Elektromos áram mágneses erőtere, a Biot Savart-törvény

Átírás

1 TÓTH A: Mágneses eőté/ (ibővített óavázlat) 1 Eletomos áam mágneses eőtee, a iot Savat-tövény A mágneses eőtében fellépő eőhatáso számításánál mindig feltételeztü, hogy a té minden pontjában ismejü a mágneses inducióvetot Felmeül a édés, hogy hogyan lehet iszámítani egy mágneses eőteet létehozó onét tágy öül ialault eőtében a mágneses inducióvetot A tágy elvileg lehet egy áamvezető vagy egy mágnes, de az utóbbi esettel bonyolultsága miatt itt nem foglalozun Így a feladat tulajdonéppen egy eletomos áam mágneses eőteéne iszámítása A iot Savat-tövény A mágneses eőté számításána egy módszeét saját méési eedményeie támaszodva J iot és F Savat adtá meg A méése alapján aa a öveteztetése jutotta, hogy egy áam dl hosszúságú, elemi szaasza által egy P pontban létehozott d inducióveto-jáulé nagysága az dl alábbi ifejezéssel adható meg (ába): u T dl α d ~ sinα u P tt α az áam iánya és a dl áamelemtől a vizsgált ponthoz (P) húzott egyenes által bezát szög Ha d (befelé) az aányossági tényezőt K m -mel jelöljü, ao azt apju, hogy dl d = Km sinα Ha bevezetjü az áam iányába mutató u T -, és az áamelemtől a P ponthoz mutató u egységvetooat (ába), ao a d jáuléot vetoi alaban is felíhatju Az inducióvetoa vonatozó mééseből ugyanis ideült, hogy a mágneses inducióveto-jáulé ( d ) mindét egységvetoa meőleges, és az ábán látható esetben a ajz síjába befelé mutat Ez azt jelenti, hogy d ut u, vagyis az áamelem jáuléa vetoi alaban így íható: ut u d = K m dl (tt felhasználtu, hogy u u sinα ) Ez az áamelem mágneses eőteée T = vonatozó iot Savat-tövény (egyes főleg angol nyelvű önyveben Ampèe aplace-tövényént szeepel) Mivel a sztatius mágneses eőteet egy adott helyen (P) mindig egy zát áamhuo hozza léte, a mágneses inducióveto számításánál a teljes áamhuo mentén öbejáva összegezni (integálni) ell az egyes áameleme jáuléait: ut u ( P ) = K m dl Ez a teljes áamöe vonatozó iot Savat-tövény Kíséletileg ezt a tövényt lehet ellenőizni, az áameleme vonatozó tövény csa özvetve igazolható (a belőle apott teljes áamöe vonatozó fenti tövény helyessége igazolja)

2 TÓTH A: Mágneses eőté/ (ibővített óavázlat) K m Fomai ooból a aányossági tényezőt egy mási állandóval szoás helyettesíteni, amit -lal jelölne, és amelyne definícióját a Km = összefüggés adja Ezzel a iot Savat-tövény így alaul: ut u ( P ) = dl Ha az áameősség egységét ismejü, ao az egyenletben szeeplő állandó étéét a fenti összefüggés elvileg egyételműen definiálja Az S egységendszeben azonban előszö étéét definiáltá, és csa ezután az áameősségét (l ésőbb) A 7 definiált été: = 1 Vs /( Am) A iot Savat-tövény segítségével elvileg tetszőleges áam által létehozott mágneses eőté tetszőleges pontjában meghatáozható a mágneses inducióveto, de szabálytalan alaú áamvezető esetén a számítás omoly nehézségeet oozhat, többnyie csa özelítő módszeeel hajtható vége A iot Savat-tövény alalmazásai tt példaént ét egyszeű esetet tágyalun: előszö iszámítju a mágneses inducióvetot egy ö alaú vezető esetén a ö özéppontjában, majd összefoglalju, hogy hogyan lehet meghatáozni egy hosszú egyenes vezetőben folyó áam mágneses eőteét Mágneses inducióveto övezető öéne özéppontjában tt a mágneses inducióveto nagyságát a iot Savattövény alalmazásával, az vezetőhuo (ö) mentén töténő összegzéssel apju meg Felhasználva, hogy az u T és egységvetoo meőlegese egymása u ( u u = 1), továbbá a vezető minden pontja ugyanolyan T távolsága () van a P ponttól, azt apju, hogy ut u 1 ( P ) = dl = dl = dl R R R d u T xu A dl szaaszo összege a ö mentén viszont éppen a ö eületével egyenlő, ezét a eesett inducióveto nagysága ( P ) = π = R R Az inducióveto iányát u T u vetoszozat iánya adja meg, vagyis az ába szeinti elendezésben az inducióveto a ö síjáa meőlegesen felfelé mutat Vonalszeű, egyenes vezető mágneses eőtee Kicsit hosszabb számolással, de ülönösebb bonyodalma nélül iszámítható az inducióveto egy nagyon véony, nagyon (elvileg végtelen) hosszú egyenes vezető öül ialauló mágneses eőtében Az inducióveto a iot Savat-tövénnyel, és a tapasztalattal összhangban meőleges az áam iányáa, nagysága pedig a számolás szeint az áamvezetőtől mét R távolsággal csöen, a = πr összefüggés szeint P R u T u dl

3 TÓTH A: Mágneses eőté/ (ibővített óavázlat) 3 ************ ************* A számolást a melléelt ába segítségével végezhetjü el, amelyen látható az áam egy elemi dl szaasza, amelyne indució-jáuléát a iot Savat-tövény u segítségével íhatju fel: T dl ds ut u d( P ) = dl ϑ u dα 4 π d Ebből látszi, hogy az inducióveto meőleges az áam R α iányáa és az R szaasza, és az ábán beajzolt ö éintője P iányába mutat Az inducióveto nagysága a P pontban Mivel így ( π ϑ) ut u sin sin d( P ) = dl = dl = dl sinϑ ϑ dl cosα ds = = dα = továbbá sinϑ d( P ) = dl = cosαdα R R =, cosα Az egyenes vezető által oozott inducióveto teljes nagyságát a dl szaaszo jáuléaina összegzésével, azaz integálással apju meg (minden szaasz jáuléa azonos iányú): ( P ) + π / + / = cosαdα [ sinα] / R = π π = = R R πr π / ************ ************* dl A sztatius mágneses eőté alaptövényei A sztatius eletomos eőté esetén az eőteet jellemző E téeősségvetoa ét alapvető integál-tövény, az eletosztatia és alaptövénye évényes Felmeül a édés, hogy a sztatius mágneses eőté jellemzésénél felhasználhatju-e ezeet az eedményeet Nehézséget az oozhat, hogy a mágneses eőteet jellemző mágneses inducióveto a mágneses eőhatásoal csa áttételes módon egy vetoszozat segítségével hozható apcsolatba Ez lényeges eltéés az eletomos eőtétől, ahol a téeősség aányos a töltése ható eővel, így az Ed salászozatna özvetlen fiziai jelentése van (számétéét teintve az eőté által egységnyi töltésen végzett muna) Ezzel szemben a mennyiség fiziai szempontból semmit nem jelent Megtatható azonban a ét alaptövény matematiaigeometiai jelentése, ami az eőté eővonalaina szeezetée vonatozó infomációat ad A sztatius mágneses eőté alaptövénye (a magnetosztatia Gauss-tövénye) Az eletosztatia alaptövénye azt fogalmazza meg matematiai fomában, hogy az eletosztatius eőté eővonalai töltéseen ezdődne és töltéseen végződne, vagyis enne az eőténe foásai vanna Ez a édés a mágneses inducióvetoal apcsolatban is felvethető, és a válasz matematiai megfogalmazása ugyanúgy adható meg, mint az eletosztatius eőténél Az inducióveto esetén az eletosztatius té fluxusána mintájáa bevezethető az A felülete vonatozó d

4 TÓTH A: Mágneses eőté/ (ibővített óavázlat) 4 Φ = da A induciófluxus, amine ugyanolyan jelentése van, mint az eletomos téeősség fluxusána (számétée a felületet átmetsző inducióvonala számána előjeles összegével egyenlő) Az hogy egy zát felülete vonatozó induciófluxus milyen, infomációt ad az inducióvonala jellegée, az eőté foásos vagy foásmentes voltáa (vagyis aa, hogy az inducióvonala ezdődne és végződne valahol vagy nem) Az áamo által létehozott mágneses eőtéel apcsolatos tapasztalatai azt mutatjá, hogy az inducióvonala az áamot öülvevő zát vonala, amelye nem ezdődne és nem végződne sehol Ez viszont azt jelenti, hogy a felület által hatáolt téfogatba belépő inducióvonalana záódniu ell, vagyis ismét i ell lépniü a téfogatból Az inducióvonala tehát étsze metszi a zát felületet, és a ét metszés ellenező előjelű jáuléot ad a fluxusban Emiatt egy zát felülete vett induciófluxus csa nulla lehet: da = A Ezt a tövényt gyaan a sztatius mágneses eőté alaptövényéne vagy a magnetosztatia Gauss-tövényéne nevezi A tövény azt fejezi i, hogy szemben az eletomos eőtéel mágneses eőtében nincsene olyan helye, amelyeben az inducióvonala ezdődne vagy végződne, más ifejezéssel a mágneses eőté foásmentes Ezt a tapasztalatot úgy is meg lehet fogalmazni, hogy nincs "mágneses töltés", amelyen az inducióvonala ezdődnéne és végződnéne Ezt eősíti meg az a íséleti eedményün is, hogy egy étpólusúna mutatozó mágnesúd ettévágásával a ét daab továbba is étpólusú maad: a mágnes ét pólusa nem választható szét A magnetosztatia alaptövénye (gejesztési tövény) Az eletosztatia alaptövényéne mintájáa fomálisan megpóbálhatju iszámítani egy zát göbe mentén a d mennyiséget, amit gyaan övényeősségne nevezne Az övényeősség az inducióvonala jellegée adhat infomációt áttu, hogy egy áam által eltett mágneses eőtében az inducióvonala önmaguban záódó huo, amelye az áamot veszi öül Ebből előszö is övetezi, hogy ha zát göbéne egy ilyen zát inducióvonalat választun, és ee iszámítju az övényeősséget, ao biztosan nullától ülönböző étéet apun Ha ugyanis a göbét az inducióveto iányában jáju öül, ao az elmozdulásveto és az inducióveto mindenütt páhuzamos lesz egymással (az inducióveto a vonal éintője), tehát minden elemi szaaszon d >, így a teljes integál étée is pozitív Ha viszont a öüljáás iánya ellentétes, ao minden szaaszon d <, tehát az integál negatív ebizonyítható, hogy zát inducióvonala esetén az övényeősség ao sem lehet nulla, ha a számítást nem inducióvonal mentén végezzü el A tapasztalatoa alapozva önmaguban záódó inducióvonalaat feltételezve annyit tehát megállapíthatun, hogy d

5 TÓTH A: Mágneses eőté/ (ibővített óavázlat) 5 A édés az, hogy az övényeősség milyen mennyiséggel van összefüggésben, és mivel egyenlő Az eőté tanulmányozása soán ideült, hogy az övényeősség csa ao ülönbözi nullától, ha a zát göbe, amelye az övényeősséget iszámítju, áamot fog öül (ába) A ísélete azt is megmutatjá, hogy az övényeősség a zát göbe által öbevett vagyis a zát d göbe által hatáolt A felületet átmetsző áam eősségével aányos: A d ~ Ha a felületet több áam metszi át, ao a jobboldalon az áamo előjeles összege áll, vagyis d ~ Az áam előjelét a göbén töténő öüljáás iánya > d szabja meg az ábán látható jobbéz-szabályna megfelelően Eszeint az ábán 1 és >, 3 < A tövény pontos alajána felíásához ismeni ell az 1 aányossági tényező étéét Ezt méés útján d meghatáozhatju, de megaphatju úgy is, hogy a fenti tövényt alalmazzu egy ismet, speciális A mágneses eőtée lyen például az egyenes vezető eőtee Az egyenes vezetőben folyó áam mágneses teéne jellegét íséleteből jól ismejü, és az inducióvetot a iot Savat-tövény segítségével i is tudju számítani Alalmazzu a fenti tövényt úgy, hogy az integálás útvonalaént () az eőté eővonalait övető zát göbét, azaz az áama meőleges síban, az áam d öé ajzolt öt veszün fel (ába) Az elendezés d hengeszimmetius, ezét a ö mentén a veto nagysága mindenütt ugyanaoa, és mindenütt d, így a zát göbée vett integál: d = d = d = π = π = π aányossági tényező tehát a oábban bevezetett állandó Az övényeőssége vonatozó tövény pontos alaja tehát a övetező: d = tt Σ az zát göbe által öülfogott áamo algebai összege, amelyben az áamona a zát göbe öüljáásával összefüggő, és a fenti ábán látható előjelet tulajdonítun Az összefüggést, amely bámilyen zát göbée töténő integálásnál évényes, a sztatius mágneses eőté alaptövényéne, vagy gejesztési tövényne nevezi (egyes önyveben az Ampee-tövény elnevezést használjá) Fontos hangsúlyozni, hogy a tövényben szeeplő áamösszeg az áamo előjeles összege, így ao is lehet nulla, ha a zát göbe áamoat vesz öül, de azo ellenező iányúa és azonos nagyságúa 3

6 TÓTH A: Mágneses eőté/ (ibővített óavázlat) 6 A gejesztési tövény alalmazása áamo mágneses eőteéne számításáa A gejesztési tövény segítségével bizonyos eseteben a mágneses inducióveto igen egyszeűen meghatáozható Ehhez azonban az szüséges, hogy az eőténe valamilyen szimmetiája legyen, ami lehetővé teszi, hogy az integál alaú tövényből a mágneses inducióvetot iemeljü Most néhány egyszeű geometiájú áam mágneses teét számítju i a gejesztési tövény segítségével Hosszú, vonalszeű egyenes vezető mágneses eőtee A nagyon véony, hosszú, egyenes vezető esetét fodított soendben tulajdonéppen egysze má végigszámoltu, amio a gejesztési tövényben szeeplő aányossági tényezőt eestü Ao ismetne tételeztü fel az inducióvetot, és a tövény pontosabb alaját eestü Most a tövényt ismejü és a mágneses inducióvetot aaju meghatáozni A végeedmény ugyan nyilvánvaló, de a tövény alalmazásána menete jól bemutatható enne az egyszeű feladatna a megoldása apcsán A megoldásnál ugyanazt az ábát használhatju, amit oábban, és a szimmetiáa vonatozó évelés is ugyanaz Az egyenes vezetőben folyó áam mágneses teéne tágyalásához az integálás útvonalaént az eőté d eővonalait övető zát göbét, azaz az áama meőleges d síban, az áam öé ajzolt öt célszeű felvenni (ába) Az elendezés hengeszimmetius, ezét a ö mentén a veto nagysága mindenütt ugyanaoa, és mindenütt d, így a zát göbée vett integál: d = d = d = π Másészt viszont a gejesztési tövény szeint d =, ezét a mágneses inducióveto nagyságáa azt apju, hogy = π vagyis az eőteet jellemző inducióveto nagysága a vezetőtől távolodva a távolsággal fodított aányban csöen A téeősség iányát adott pontban a ponton át, az áam, mint özéppont öül ajzolt ö éintője adja meg Egyenes teecs mágneses eőtee Tapasztalatból tudju, hogy egy teecs belsejében jó özelítéssel homogén, a teecs tengelyével páhuzamos mágneses eőté jön léte Most példaént a gejesztési tövény alalmazásával iszámítju mágneses inducióveto nagyságát egy N menetű, l hosszúságú egyenes teecs belsejében A számításhoz az ábán látható, téglalap alaú zát göbét célszeű felvenni, amelyne 1- szaasza a teecs belsejében, a teecs tengelyével páhuzamosan halad Eo az 1- szaaszon d, másészt a -3 és 4-1 szaaszoon özelítőleg igaz, hogy d, ezét ez utóbbi ét szaasz elhanyagolható jáuléot ad az integálhoz Végül a 3-4 szaaszt tetszőleges távolsága elvihetjü (ezt szimbolizálja az ábán a zát göbe

7 TÓTH A: Mágneses eőté/ (ibővített óavázlat) 7 szaggatott észe), ahol a mágneses eőté má igen icsi, így enne a szaaszna a jáuléát is elhanyagolhatju Ezét a zát göbée vett integál így egyszeűsödi: d d l A gejesztési tövény szeint viszont d = N =, 1 így a mágneses inducióveto nagysága a teecsben N l (Az N szozó azét jeleni meg, met az áam ugyanabban az iányban N-sze metszi át a zát göbe által hatáolt A felületet) A valóságban az eőté a teecs végeinél biztosan nem homogén, ezét a fenti összefüggés csa öülteintően alalmazható Jó özelítéssel évényes hosszú, véony teecsben, a teecs végéhez nem túl özeli pontoban A teecs széleine hatását eleülhetjü, ha az inducióvetot csa a teecs belsejében számítju i Ha N ott egy l hosszúságú szaaszon a menete száma N, ao bevezetve a n = l menetsűűséget, az inducióveto nagyságáa a = n összefüggést apju Áamvezető ölcsönhatása, az áameősség S egysége Miután megismetün néhány módszet aa, hogy hogyan lehet iszámítani egy áam által létehozott mágneses eőtében az inducióvetot, és oábból tudju, hogy egy áama milyen eő hat adott induciójú mágneses eőtében, lehetőségün van az áamo özötti ölcsönhatás számításáa is Az alapelv itt az, hogy iszámítju az egyi áam által a mási helyén létejött inducióvetot, és meghatáozzu, hogy ebben az eőtében milyen eő lép fel a másodi áamvezetőe Áammal átját, hosszú, egyenes vezető ölcsönhatása Az áamvezető özött létejövő ölcsönhatást oábban má íséletileg is megvizsgáltu, és azt tapasztaltu, hogy ét páhuzamos, áammal átját egyenes vezető egymást vonzza, ha a ét áam egyiányú, és egymást taszítja, ha a ét áam ellenező iányú Koábbi eedményein segítségével ezt az eőt most má i is tudju számítani Két egymástól d távolsága lévő, nagyon hosszú, páhuzamos vezetőben azonos iányban folyó áamo ( 1 és ) ölcsönhatását vizsgálju 1 (ába) Az áamo a ajz síjáa meőlegesen, abból ifelé 1 folyna, és nagyon nagy l hosszúságú szaaszai állna egymással ölcsönhatásban d 1 Az áama ható eőt a oábban megismet F 1 F 1 = lut 1 összefüggés adja meg, ahol u T az áam iányába esetünben az ába síjából if elé mutató egységveto, 1 pedig az 1 áam által az áam helyén létehozott mágneses inducióveto A vetoszozat eedménye egy

8 TÓTH A: Mágneses eőté/ (ibővített óavázlat) 8 olyan eő, amely az 1 áam felé mutat, vagyis az 1 áam vonzza az áamot Mivel ut 1, a vonzóeő nagysága: F 1 = l1 Tudju, hogy egy nagyon hosszú vezetőben folyó 1 áam által a tőle d távolságban (vagyis az áam helyén) létehozott mágneses inducióveto nagysága = 1 1 dπ, így a vonzóeő nagysága l F = 1 1 dπ Ugyanezt az eedményt apju ao is ha az áam által az 1 áama ifejtett eőt számítju i A ét nagyon hosszú vezető özött fellépő ölcsönhatást legtöbbszö a vezető egységnyi hosszáa ható F 1 f = = l dπ eővel jellemzi Az áameősség S egysége Az áamvezető ölcsönhatásáa apott eedmény felhasználható aa, hogy az eletomos áam méését eőméése vezessü vissza Ha észítün egy olyan eőméő beendezést, amellyel ét azonos nagyságú, páhuzamos áam özött fellépő f eőt meg tudju méni, ao az f = dπ összefüggésből az áam dπf = étée meghatáozható Ehhez az elendezésben adott d mellett ismeni ell a állandót, amit a mágneses eőhatáso méése útján elvileg meg lehet hatáozni Az S météendszeben azonban nem ezt az eljáást övetté, hanem előszö definiáltá a állandó étéét, amit temészetesen a oábban bevezetett áamegységhez (C/s) illesztette Így a Vs állandó definiált étée: = 1 Am Ezzel az áameősséget eőméése visszavezető definíciós egyenlet az dπf f = = d 1 1 alaot ölti Enne alapján egységnyi, azaz 1A áam folyi a ét ölcsönható vezetőben, ha l = 1m hosszúságú szaaszai özött d = 1m távolságban F = 1 N eő lép fel (vagyis f = 1 N / m ) Az áam méésée és az áameősség egységéne meghatáozásáa a gyaolatban használt eszözö általában a aos méleg elvén alapulna, ezét ezeet áammélegene nevezi Az áammélegeben patius ooból nem egyenes vezetőben, hanem teecseben folyó áamo ölcsönhatását méi

9 TÓTH A: Mágneses eőté/ (ibővített óavázlat) 9 Az S endszeben az áameősség egységéne fenti definíciójából számaztatjá a eletomos töltés egységét a Q = t összefüggés segítségével Az így definiált töltésegység az 1As, amelyet Coulombna (C) nevezne: 1C=1As