Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I jún. 11.

Hasonló dokumentumok
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30.

Matematika III. harmadik előadás

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

Diszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

3. Lineáris differenciálegyenletek

Függvények Megoldások

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

Diszkrét matematika I. gyakorlat

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

Gyakorló feladatok I.

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Matematika (mesterképzés)

Lineáris egyenletrendszerek

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

Mátrixok 2017 Mátrixok

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I márc.11. A csoport

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma

Hatvány, gyök, normálalak

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Diszkrét matematika 2.C szakirány

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

Valasek Gábor

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: június 8.

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

1. Transzformációk mátrixa

Kisérettségi feladatgyűjtemény

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

? szimmetrikus antiszimmetrikus reflexív tranzitív egyik sem?

KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

2017/2018. Matematika 9.K

Átírás:

Matematia szigorlat, Mérnö informatius sza I. 007. jún. 11. Megoldóulcs 1. Adott az f(x) = (x ) függvény. (a) Végezzen teljes függvényvizsgálatot! D f = R \ {} 13 zérushely: x = y-tengelyen a metszet: f(0) = 3 f nem áros, nem áratlan, nem eriodius, mert 1db zérushelye van lim x f (x) = (x ) = 0+ lim x 3(x + 6) (x ) 3 = 0 x = 6 x < 6 6 6 < x < < x f 0 + f ց lo. min. ր ց (x ) = 0 lim x (x ) = f-ne az x = 6 helyen loális minimuma van, amine értée: f( 6) = 3 16 f (x) = 6(x + 10) (x ) 4 = 0 x = 10 x < 10 10 10 < x < < x f 0 + + f infl. A grafion: y 1 6 6 x [ R f = 3 [ 16, 1

(b) Számolja i a függvénygrafion, a grafionhoz az x 0 = 1 ontban húzható érintő egyenes és az x-tengely által özrezárt orlátos sírész területét! Az érintő egyenes egyenlete: e(x) = f(1)+f (1)(x 1) = 1x 1 e(x) = 0 x = 4 7 Felhasználju továbbá, hogy (x ) = 3 x + 1 (x ) t = 1 (x ) dx 1 4/7 (1x 1) dx = 7 [ 3 ln x 1 ] 1 [ ] 1x 1 1x x 4/7 (9 ln 64) (1, 985), 91 [ ] 1 1x megj.: a 1x érté egy olyan derészögű háromszög területeént is számolható, 4/7 amelyne a ét befogója 3/7 ill. 9 hosszú.

. Adott a övetező három sí a háromdimenziós térben: S 1 : 3x y z = 1 S : x 3y + z = 1 S 3 : 5x + y 4z = 6 (a) Van-e özös ontja a három sína? Ha igen, határozza meg az összeset, ha nincs, indoolja meg, miért nincs! Megoldju a lineáris egyenletrendszert (az együtthatómátrix oszlovetorait a 1, a, a 3 -mal, az egyenlete jobboldalán álló számoból ézett vetort b-vel jelölve): 7 e 1 3 1 1 1 e 3 1 1 e 3 5 4 6 1 3 1 1 5 4 6 a 1 1 e 0 7 5 5 e 3 0 8 6 4 1 0 1 1 1 0 8 6 4 a 1 1 0 0 4 a 0 1 1 1 e 3 0 0 1 1 0 0 4 0 1 1 1 0 0 1 6 Katu: a három sína egyetlen özös ontja van: M(4, 5, 6) 3 1 1 1 (b) Írja fel a nullvetort a, 3, 1, 1 vetoro 5 4 6 nem-triviális lineáris ombinációjaént! Mivel b = 4a 1 + 5a + 6a 3, ebből l.: 4a 1 + 5a + 6a 3 b = 0 3 1 1 1 (c) Határozza meg a 3 1 1 mátrix rangját! 5 4 6 Az (a)-beli eljárásból adódi: ρ = 3 a 1 1 0 0 4 a 0 1 0 5 a 3 0 0 1 6 6 4 (d) Adjon meg egy olyan v vetort, amely merőleges az S 1 síra és oordinátáina szorzata 1! Mivel az S sí egy normálvetora: n S (3, 1, 1), ezért a eresett v vetorra v = λ(3, 1, 1) = (3λ, λ, λ) adódi. Ebből: λ = 3 1 ( 3, v = 3 3, 1 3 3, 1 3 3 ). 3 3

3. Teintsü az A = {1,, 3, 4, 5} és B = {1,, 3} halmazoat! (a) Határozza meg az alábbi értéeet: 1 P (A B) = 15 = 3768 P (A B) = = 4 P (A) P (B) = 5 3 = 56 P (A) P (B) = 5 3 = 4 (b) Határozza meg az f : A B függvénye számát! (c) A függvényeet ényelmesen megszámolhatju a övetezőéen: egy ét-oszloos táblázatba foglalju, hogy egy függvény az egyes A-beli elemehez mit rendel B-ből: A B 1 b i1 b i 3 b i3 4 b i4 5 b i5 A bal oldali oszloban A elemei szereelne sorbarendezve, a jobb oldali oszloban B elemei tetszőlegesen, ismétlődés megengedésével. Azt ell megszámolnun, hogy a. oszloba hányféleéen tudju B elemeit tetszőlegesen, ismétlődés megengedésével beírni, azaz hogy 3 elemből hányféleéen tudun 5-hosszú sorozatoat észíteni, ha ismétlés megengedett. Ez V3,5 i = 3 5 = 43 - féleéen lehetséges. Írja fel algebrai alaban azoat a z omlex számoat, amelyere 3 Re(z) A, Im(z) B és z Az egyetlen megoldás: z = 1 + j (d) Teintsü a fenti B halmazon értelmezett S 1 és S homogén bináris relációat, amelyere xs 1 y, ha x + y < 5 xs y, ha x y Z i. Határozza meg az alábbi halmazoat elemei felsorolásával: 3 S 1 = {(1, 1), (1, ), (1, 3), (, 1), (, ), (3, 1)} S = {(1, 1), (, 1), (3, 1), (, ), (3, 3)} S S 1 = {(1, 1), (1, ), (1, 3), (, 1), (, ), (3, 1)} = S 1 4 3 ii. Döntse el, hogy a reflexív, szimmetrius, antiszimmetrius, tranzitív tulajdonságo özül melye teljesülne az S 1 és S relációra! S 1 : szimmetrius S : reflexív, antiszimmetrius, tranzitív 1 P (X) az X halmaz hatványhalmazát jelöli.

4. (a) Vizsgálja meg, hogy a {0, 1, 3} halmaz zárt-e az 4 ill. 4 műveletere! A halmaz 4 -re nem zárt, l. mert 1 4 1 = / {0, 1, 3}; A halmaz 4 -re zárt. (b) Legyen (F 6 ; ) a szabályos hatszög forgáscsoortja a szoásos omozíció művelettel. A hatszög csúcsait jelöljü A, B, C, D,E, F -fel, a hatszög özéontját O-val. i. Adja meg az O özéontú, ozitív irányú 10 -os forgatást táblázatos és cilius írásmóddal! ( ) A B C D E F = (ACE)(BDF) C D E F A B ii. Teljesül-e az (ADC) (EB) (F) = (ADCE)(BF) (A)(CEFB)(D) egyenlőség? Igen. iii. Vizsgálja meg, hogy izomorf-e a D 3 diédercsoort és F 6, azaz döntse el, hogy (D 3 ; ) = (F 6 ; ) teljesül-e! 3 A ét csoort nem izomorf: F 6 cilius csoort, D 3 viszont nem. (c) Teintsü a valós számo halmazát a szoásos összeadás és szorzás műveleteel: (R ; +, ) Továbbá teintsün egy elsőrendű nyelvet, amelyben az individuumváltozó: x, y adott ét étváltozós függvényjel: f,g adott egy étváltozós rediátumjel: P. Adjon meg egy olyan interretációt, amelyben formalizálható a övetező ijelentés: Az (R ; +, ) strutúrában mindét művelet idemotens. Formalizálja a ijelentést és határozza meg logiai értéét a megadott interretációban! Legyen U = R f(x,y) = x + y g(x,y) = x y Pxy : x = y A ijelentés formalizálva: x (Pf(x,x)x Pg(x,x)x) A ijelentés a fenti interretációban: hamis. (Pl.: + ) 4 a modulo 4 összeadást, 4 a modulo 4 szorzást jelöli 3 D 3 a szabályos háromszög egybevágóságaina halmaza 5

5. (a) Lehetne-e egy egyszerű gráf foszámai: 1,,3,3,4,5? Igen, ld.: (b) Teintsü a övetező G gráfot: i. Hány ör van G-ben? 6 db ii. Legfeljebb hány él hagyható el belőle, hogy még összefüggő maradjon? 8 ontú összefüggő gráfban 7 a minimális élszám, így azt aju, hogy legfeljebb 4 él hagyható el. (Eor a maradé gráf egy fagráf.) iii. Be lehet-e húzni egy élt úgy, hogy a gráf egyszerű maradjon és ne nőjön a romatius szám? (Azaz: bővíthető-e G élhalmaza egy elemmel úgy, hogy az így aott G egyszerű gráffal χ(g) = χ(g ) teljesüljön?) Igen. χ(g) = 3, és az alábbi G gráfra szintén χ(g ) = 3. (Ld. egy színezését a,, s színeel.) s G* iv. Elhagyható-e G-ből egy él úgy, hogy azzal csöenjen a romatius szám? Igen. Az alábbi G gráfna a romatius száma: G** (c) Melye izomorfa az alábbi gráfo özül? G1 G G3 G4 G = G3

6. (a) Határozza meg az alábbi integráloat! 8 i. x e x dx = x e x xe x + e x + C (arciális integrálással) ii. xe x dx = 1 ex + C (g (x) f(g(x)) alara hozható integrandus) (b) Igazolja az alábbi egyenlőséget! 7 = + = =0 (0, 4) A bal oldal (arciális törtere bontással): ( + = 1 1 ) = 1 + 1 4 + 1 3 1 5 + 1 4 1 6 + 1 5 1 7 +... = 1 + 1 3 = 5 6 = = A jobb oldal (mértani sor): (0, 4) = 1 =0 1 1 4 = 1 10 6 = 5 6 10 A ét sorösszeg tehát megegyezi. (c) Határozza meg az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását! 5 y y = Y Y = 0 Y = C 1 + C e x y = Ax y = A y = 0 0 A = A = y = x (rezonancia!) y = Y + y = C 1 + C e x x