Friedmann- és Schwarzschild-megoldás Klasszikus Térelméletek Elemei Szeminárium, 2016. 11. 30.
Vázlat Einstein egyenletek Robertson-Walker metrika és a tökéletes folyadékok energia-impulzus tenzora Friedmann megoldás Einstein egyenletek vákuumban Schwarzschild metrika Schwarzschild megoldás
Einstein egyenletek Összefüggés a térid metrikája és az anyag eloszlása között:
Einstein egyenletek Összefüggés a térid metrikája és az anyag eloszlása között: G ab R ab 1Rg 2 ab Λg ab = 8πG T c 4 ab
Einstein egyenletek Összefüggés a térid metrikája és az anyag eloszlása között: G ab R ab 1Rg 2 ab Λg ab = 8πG T c 4 ab Ahol: G ab : Einstein-tenzor R ab : Ricci-tenzor R: Ricci-skalár Λ: Kozmológiai konstans T ab : Energia-impulzus tenzor
Einstein egyenletek Összefüggés a térid metrikája és az anyag eloszlása között: G ab R ab 1Rg 2 ab Λg ab = 8πG T c 4 ab Ahol: G ab : Einstein-tenzor R ab : Ricci-tenzor R: Ricci-skalár Λ: Kozmológiai konstans T ab : Energia-impulzus tenzor A megjelen tenzorok szimmetrikusak 10 darab csatolt parciális dierenciálegyenlet a metrikára Probléma: T ab általában maga is függ a metrikától
Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb l (.) nézve izotrop anyageloszlás.
Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb l (.) nézve izotrop anyageloszlás. Ez matematikailag: T 00 = ϱ T ij = δ ij p T 0i = T i0 = 0
Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb l (.) nézve izotrop anyageloszlás. Ez matematikailag: T 00 = ϱ T ij = δ ij p T 0i = T i0 = 0 Általános koordináta-rendszerre áttérés a Lorentz transzformációval:
Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb l (.) nézve izotrop anyageloszlás. Ez matematikailag: T 00 = ϱ T ij = δ ij p T 0i = T i0 = 0 Általános koordináta-rendszerre áttérés a Lorentz transzformációval: T αβ = Λ α γ(v)λ β δ(v) T γδ T 00 = ϱ+pv 2 1 v 2 T i0 = ϱ+p 1 v v i 2 T ij = δ ij p + v i v j ϱ+p 1 v 2
Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora II. El bbiek röviden összefoglalhatóak:
Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora II. El bbiek röviden összefoglalhatóak: T ab = pg ab + (p + ϱ)u a u b = ϱu a u b + p(g ab + u a u b )
Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora II. El bbiek röviden összefoglalhatóak: T ab = pg ab + (p + ϱ)u a u b = ϱu a u b + p(g ab + u a u b ) Ahol: g ab : metrikus tenzor u a : négyes-sebesség
Robertson-Walker metrika I. Feltételezések:
Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont
Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont Konstans görbület térid!
Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont Konstans görbület térid! A metrika ilyen esetben: ( ) ds 2 = dt 2 + a 2 (t) dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2 1 kr 2
Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont Konstans görbület térid! A metrika ilyen esetben: ( ) ds 2 = dt 2 + a 2 (t) dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2 1 kr 2 Ahol: a(t): ismeretlen pozitív függvény k: ismeretlen konstans, ami meghatározza a tér alakját:
Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont Konstans görbület térid! A metrika ilyen esetben: ( ) ds 2 = dt 2 + a 2 (t) dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2 1 kr 2 Ahol: a(t): ismeretlen pozitív függvény k: ismeretlen konstans, ami meghatározza a tér alakját: k = 1: A tér adott t-hez tartozó Σ t felületei 3 dimenziós gömbfelületek k = 0: Σ t sík, Euklideszi tér Newton, Speciális Relativitáselmélet k = 1: Σ t hiperboloid alakú
Robertson-Walker metrika II. Az izotrop és homogén megkötés több lehetséges modellt is megenged
Robertson-Walker metrika II. Az izotrop és homogén megkötés több lehetséges modellt is megenged k = 0, 1 által meghatározott térid k nyílt térid k (végtelenek) k = 1 által meghatározott térid k zártak (végesek), azaz kompakt sokaságot írnak le (bár határa nincs) A metrika összefoglalva: dψ 2 + sin 2 Ψ(dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) (k = 1) ds 2 = c 2 dt 2 +a 2 (t) dx 2 + dy 2 + dz 2 (k = 0) dψ 2 + sinh 2 Ψ(dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) (k = 1)
Robertson-Walker metrika III. 1. ábra. A metrika ábrázolása különböz k (itt Ω 0 ) értékekre
Friedmann megoldás I. Az Einstein-egyenlet megoldása homogén és izotrop univerzum feltételezése mellett ideális folyadékok energia-impulzus tenzorjával Λ-s tagot elhanyagoljuk
Friedmann megoldás I. Az Einstein-egyenlet megoldása homogén és izotrop univerzum feltételezése mellett ideális folyadékok energia-impulzus tenzorjával Λ-s tagot elhanyagoljuk Viszonylag egyszer számolások után...
Friedmann megoldás I. Az Einstein-egyenlet megoldása homogén és izotrop univerzum feltételezése mellett ideális folyadékok energia-impulzus tenzorjával Λ-s tagot elhanyagoljuk Viszonylag egyszer számolások után... ( ȧ ) 2 a = 8πG ϱ kc2 3 a 2 3 ä 3p a = 4πG(ϱ + ) c 2
Friedmann megoldás II. (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ϱ kc 2 a 2 (1) 3p 3ä = 4πG(ϱ + a c ) (2) 2 Mivel ϱ > 0 és p 0, ezért (2)-b l látszik, hogy az univerzum nem lehet statikus!
Friedmann megoldás II. (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ϱ kc 2 a 2 (1) 3p 3ä = 4πG(ϱ + a c ) (2) 2 Mivel ϱ > 0 és p 0, ezért (2)-b l látszik, hogy az univerzum nem lehet statikus! ä < 0 ȧ > 0 (tágulás) vagy ȧ < 0 (összehúzódás) + fordulópontnál lehet 0
Friedmann megoldás III. Fontos, hogy a tágulásnak nincs középpontja, minden pont egyenl arányú gyorsasággal távolodik egymástól a két pont távolságának arányában
Friedmann megoldás III. Fontos, hogy a tágulásnak nincs középpontja, minden pont egyenl arányú gyorsasággal távolodik egymástól a két pont távolságának arányában Hubble-törvény: v = ȧ a R = HR Ahol: R: Két pont távolsága H: Hubble állandó
Friedmann megoldás III. Fontos, hogy a tágulásnak nincs középpontja, minden pont egyenl arányú gyorsasággal távolodik egymástól a két pont távolságának arányában Hubble-törvény: v = ȧ a R = HR Ahol: R: Két pont távolsága H: Hubble állandó Megjegyzések: H id ben változik v lehet nagyobb, mint a fénysebesség (lokálisan mért relatív sebesség adott térid pontban globálisan mért sebesség távoli objektumok között)
Friedmann megoldás IV. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben nem hagyjuk el a kozmológiai állandót, lehetséges volna statikus megoldást generálni, ami azonban nagyon instabil lenne
Friedmann megoldás IV. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben nem hagyjuk el a kozmológiai állandót, lehetséges volna statikus megoldást generálni, ami azonban nagyon instabil lenne Mérések alapján (galaxisok vöröseltolódása) tudjuk, hogy az univerzum tágul ȧ > 0 Valamint láttuk, hogy ä < 0
Friedmann megoldás IV. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben nem hagyjuk el a kozmológiai állandót, lehetséges volna statikus megoldást generálni, ami azonban nagyon instabil lenne Mérések alapján (galaxisok vöröseltolódása) tudjuk, hogy az univerzum tágul ȧ > 0 Valamint láttuk, hogy ä < 0 Következik, hogy az univerzum tágulásának gyorsasága változott: minél régebben nézzük, annál gyorsabb volt (vagy legalábbis nem volt lassabb) Azaz kellett egy olyan id pontnak lenni, amikor a(t ) = 0, amikor az univerzum minden pontjának távolsága 0 volt
Friedmann megoldás V. Fels korlátot egyszer en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult
Friedmann megoldás V. Fels korlátot egyszer en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult Ismerve, hogy H 67.6 km/s Mpc [Grieb, Jan N. et al.]
Friedmann megoldás V. Fels korlátot egyszer en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult Ismerve, hogy H 67.6 km/s Mpc [Grieb, Jan N. et al.] Id ben visszafelé menve egyenletesen összehúzódva pontosan T = H 1 id alatt érnénk el az a(t ) = 0-t Kiszámolva: T 14.5 milliárd év
Friedmann megoldás V. Fels korlátot egyszer en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult Ismerve, hogy H 67.6 km/s Mpc [Grieb, Jan N. et al.] Id ben visszafelé menve egyenletesen összehúzódva pontosan T = H 1 id alatt érnénk el az a(t ) = 0-t Kiszámolva: T 14.5 milliárd év Megjegyzés: Az univerzum valódi életkora ennél természetesen kevesebb, hiszen nem egyenletes tágulást, hanem id ben lassuló tágulást kell feltételeznünk. Valójában T 13.8 milliárd év
Friedmann megoldás VI. Korábbi egyenletek alakításával összefüggést kaphatunk a és ϱ között: ϱ legalább a 3 gyorsan csökken id ben (a 3 porfelh re, a 4 sugárzásra)
Friedmann megoldás VI. Korábbi egyenletek alakításával összefüggést kaphatunk a és ϱ között: ϱ legalább a 3 gyorsan csökken id ben (a 3 porfelh re, a 4 sugárzásra) ( ȧ a ) 2 = 8πG 3 ϱ kc2 a 2 Itt a jobb oldalon az els tag tehát id vel gyorsabban csökken, mint a második tag
Friedmann megoldás VI. Korábbi egyenletek alakításával összefüggést kaphatunk a és ϱ között: ϱ legalább a 3 gyorsan csökken id ben (a 3 porfelh re, a 4 sugárzásra) ( ȧ a ) 2 = 8πG 3 ϱ kc2 a 2 Itt a jobb oldalon az els tag tehát id vel gyorsabban csökken, mint a második tag Ha k = 0, 1 akkor ȧ csak aszimptotikusan lehet 0 t esetben Ha k = 1 akkor viszont létezik egy kritikus a C érték, amikor ȧ = 0, itt az univerzum tágulása megáll, és elkezd összehúzódni Azaz amennyiben elfogadjuk, hogy az univerzumunk egy véges, és zárt sokaság, ebb l következik, hogy életkora csakis véges lehet
Friedmann megoldás VII. A dierenciálegyenletek megoldásával felvázolható a(t) függvény különböz k értékekre: 2. ábra. Friedmann kozmológia: Univerzumok távolságának változása az id függvényében
Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag
Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag Vákuum energia-impulzus tenzorja azonosan 0, azaz az Einstein-egyenlet jobb oldala elt nik R kl + 1 2 Rg kl = 0
Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag Vákuum energia-impulzus tenzorja azonosan 0, azaz az Einstein-egyenlet jobb oldala elt nik R kl + 1 2 Rg kl = 0 Megmutatható, hogy ez ekvivalens az R kl = 0 egyenlettel
Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag Vákuum energia-impulzus tenzorja azonosan 0, azaz az Einstein-egyenlet jobb oldala elt nik R kl + 1 2 Rg kl = 0 Megmutatható, hogy ez ekvivalens az R kl = 0 egyenlettel Ez nem jelenti azt, hogy a görbület 0, amennyiben legalább 4 dimenzióban vagyunk! Azaz például 3 dimenziós térid ben nincs gravitáció!
Schwarzschild metrika I. Feltételezések: Gömbszimmetrikus térid Statikus megoldás (id ben állandó) Anyagmentes (T kl 0)
Schwarzschild metrika I. Feltételezések: Gömbszimmetrikus térid Statikus megoldás (id ben állandó) Anyagmentes (T kl 0) Megmutatható, hogy statikus esetben a legáltalánosabb metrika a következ : ds 2 = V 2 (x 1, x 2, x 3 )dt 2 + 3 µ,ν=1 h µν(x 1, x 2, x 3 )dx µ dx ν Statikus: nem jelennek meg a kereszttagok
Schwarzschild metrika I. Feltételezések: Gömbszimmetrikus térid Statikus megoldás (id ben állandó) Anyagmentes (T kl 0) Megmutatható, hogy statikus esetben a legáltalánosabb metrika a következ : ds 2 = V 2 (x 1, x 2, x 3 )dt 2 + 3 µ,ν=1 h µν(x 1, x 2, x 3 )dx µ dx ν Statikus: nem jelennek meg a kereszttagok Még kell a gömbszimmetria A gömbszimmetria megköti, hogy minden egyes gömbfelületen a metrikának számszoros kapcsolatban kell lennie az egység-gömbön vett metrikával
Schwarzschild metrika II. Gömbszimmetria: g (t) kl = λg (0) kl
Schwarzschild metrika II. Gömbszimmetria: g (t) kl = λg (0) kl A metrika paraméterezhet a gömbfelület A nagyságával Vezessük be r paramétert: r(a) = Ez nem a klasszikus értelemben vett sugár, s t...! A 4π
Schwarzschild metrika II. Gömbszimmetria: g (t) kl = λg (0) kl A metrika paraméterezhet a gömbfelület A nagyságával Vezessük be r paramétert: r(a) = Ez nem a klasszikus értelemben vett sugár, s t...! A 4π Ezzel a sugár jelleg paraméterrel viszont bevezethetjük a jól ismert gömbi koordinátákat a gömbfelületen: ds 2 (3) = r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) = r 2 dω
Schwarzschild metrika II. Gömbszimmetria: g (t) kl = λg (0) kl A metrika paraméterezhet a gömbfelület A nagyságával Vezessük be r paramétert: r(a) = Ez nem a klasszikus értelemben vett sugár, s t...! A 4π Ezzel a sugár jelleg paraméterrel viszont bevezethetjük a jól ismert gömbi koordinátákat a gömbfelületen: ds 2 (3) = r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) = r 2 dω A teljes metrikát az egyes gömbfelületek paraméterezésével kapjuk meg: ds 2 = f (r, t)dt 2 + h(r, t)dr 2 + r 2 dω
Schwarzschild metrika III. Mivel a metrika már adott, R kl elemeinek kiszámítása elvileg elvégezhet (de hosszadalmas...)
Schwarzschild metrika III. Mivel a metrika már adott, R kl elemeinek kiszámítása elvileg elvégezhet (de hosszadalmas...) Többféle módszerrel is megkaphatjuk a megoldást, ezek közül néhány példa: Tetrád módszer alapötlete: ortonormált, nem-holonóm (nem koordinátavektorokból álló) bázis bevezetése a metrikán, ezek segítségével felírható a Riemann-tenzor (B vebb információ: Robert M. Wald - General Relativity)
Schwarzschild metrika III. Mivel a metrika már adott, R kl elemeinek kiszámítása elvileg elvégezhet (de hosszadalmas...) Többféle módszerrel is megkaphatjuk a megoldást, ezek közül néhány példa: Tetrád módszer alapötlete: ortonormált, nem-holonóm (nem koordinátavektorokból álló) bázis bevezetése a metrikán, ezek segítségével felírható a Riemann-tenzor (B vebb információ: Robert M. Wald - General Relativity) f (r, t) = e ν(r,t) és g(r, t) = e µ(r,t) bevezetése, ezek után a Christoel -szimbólumok, és a Ricci-tenzor elemei egyszer (de hosszú) számolásokkal megkapható
Schwarzschild megoldás I. Láthatjuk, hogy az eredeti 10 egyenletb l csak 2 maradt f -re és g-re
Schwarzschild megoldás I. Láthatjuk, hogy az eredeti 10 egyenletb l csak 2 maradt f -re és g-re A megoldás során kiderül, hogy f és g függvények egymás reciprokai, valamint, hogy csak r változótól függenek. A végs megoldandó dierenciálegyenlet nagyon egyszer : f + 1 f r = 0
Schwarzschild megoldás I. Láthatjuk, hogy az eredeti 10 egyenletb l csak 2 maradt f -re és g-re A megoldás során kiderül, hogy f és g függvények egymás reciprokai, valamint, hogy csak r változótól függenek. A végs megoldandó dierenciálegyenlet nagyon egyszer : Aminek megoldása: f + 1 f r = 0 f = 1 + C r Matematikailag C egy tetsz leges konstans, azonban zikailag ezt konkrétan meghatározhatjuk (határeset: Newton) C = b = 2GM, ahol b a Schwarzschild sugár c 2
Schwarzschild megoldás II. A teljes megoldás tehát: ( ds 2 = 1 2GM ) ( ) 1 c 2 dt 2 1 + c 2 r 1 2GM dr 2 + r 2 dω 1 c 2 r
Schwarzschild megoldás II. A teljes megoldás tehát: ( ds 2 = 1 2GM ) ( ) 1 c 2 dt 2 1 + c 2 r 1 2GM dr 2 + r 2 dω 1 c 2 r Érdekes észrevétel, hogy a metrika két helyen is szingulárissá válik: r = 0 helyen valódi szingularitás van. Mivel az egyenletet csak olyan r tartományban oldottuk meg, ahol nincs anyag, ezért ez azt jelenti, hogy ez esetben minden anyag az origóban pontszer en helyezkedik el! Fekete lyuk?
Schwarzschild megoldás II. A teljes megoldás tehát: ( ds 2 = 1 2GM ) ( ) 1 c 2 dt 2 1 + c 2 r 1 2GM dr 2 + r 2 dω 1 c 2 r Érdekes észrevétel, hogy a metrika két helyen is szingulárissá válik: r = 0 helyen valódi szingularitás van. Mivel az egyenletet csak olyan r tartományban oldottuk meg, ahol nincs anyag, ezért ez azt jelenti, hogy ez esetben minden anyag az origóban pontszer en helyezkedik el! Fekete lyuk? Érdekesebb következmény viszont, hogy r = b helyen is találunk szingularitást, ez azonban csak a koordinátázásunk összeomlását jelenti, nem egy valódi szingularitás.
Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak
Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól
Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól Minden zikai objektum, melyre R b gravitációs összeomlást szenved, és egy szinguláris fekete lyukba omlik össze
Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól Minden zikai objektum, melyre R b gravitációs összeomlást szenved, és egy szinguláris fekete lyukba omlik össze Azonban a megoldásnak helyesnek kell lennie r < b-re is, mi van az eseményhorizonton belül?
Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól Minden zikai objektum, melyre R b gravitációs összeomlást szenved, és egy szinguláris fekete lyukba omlik össze Azonban a megoldásnak helyesnek kell lennie r < b-re is, mi van az eseményhorizonton belül? Az id és térkoordináták felcserél dnek, r id szer, míg t térszer lesz. De megmutatható, hogy ez is csak a rossz koordinátázás eredménye (Kruskal-Szekeres koordináták)
Schwarzschild megoldás IV. 3. ábra. Schwarzschild megoldás ábrázolása; az úgynevezett Flemm paraboloid
Schwazschild geodetikusok A szabad részecskék mozgását 3 kategóriába lehet sorolni a sugár függvényében:
Schwazschild geodetikusok A szabad részecskék mozgását 3 kategóriába lehet sorolni a sugár függvényében: r > 3b Stabil pálya lehetséges 3b < r < 3b Instabil körpályák (keringési sebesség eléri a 2 fénysebességet 3b-nél) 2 3b belül nincs lehetséges körpálya 2
Köszönöm a gyelmet!
Hivatkozások 1 Robert M. Wald - General Relativity 2 Steven Weinberg - Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity 3 Wikipedia - Schwarzschild metric, FriedmannLemaîtreRobertsonWalker metric, Hubble's law 4 Stephen Hawking - Into a Black Hole (Lecture)