Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 204 205
A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént) Eze az irracionális számo Egyszerű példá: 2, 3, 5, 6, 7 stb. De: irracionális szám a G (vagy: φ), az e és a π is A racionális és az irracionális számo együtt hézagmentesen lefedi a teljes számegyenest Állítás: Egy szám racionális törtfelírása periodius, vagy egy idő múlva periodius Ez bármely (egész alapú) számrendszerben igaz Feladat: mi az eredeti szám, ha a tört ala 0,3777 0,57878 Minden periodiusságot nélülöző szám irracionális Vigyázzun, a felírás lehet néha becsapós, pl. 0,222222 *0-es számrendszerben egy leegyszerűsített törtszám tizedes alaja véges, ha a nevezőjében csa a 2 és 5 (hatványai) szerepelne tiszta szaaszos (periodius), ha a nevezőjében csa 2-től és 5-től ülönböző príme (hatványai) szerepelne vegyes szaaszos (egy idő múlva periodius), ha a nevezőjében vegyesen szerepelne 2 és 5, ill. 2-től és 5-től ülönböző príme (hatványai) 2
A valós számo ategorizálása Vanna olyan szép irracionális számo, amelye egyszerű egész együtthatós egyenlete megoldásai, pl. 2 : x 2 = 2, : x 3 = 2, 3 2 (G vagy φ) : x 2 = x + Egy számot algebraina nevezün, ha található olyan egész (vagy: racionális) együtthatós véges(egész)foú polinom (egyenlet), amelyne ő gyöe (megoldása) Megj.: csupa 0 együttható nem megengedett Nyilvánvaló, hogy a racionális számo is algebraia (p/q-ra: = q/p x vagy 0 = p/q x) Természetes érdés: minden irracionális szám ilyen vajon? Vá.: nem! Liouville, 844: létezne nem algebrai számo (transzcendens számo elnevezés: Euler; amelye nem elégítene i semmiféle algebrai egyenletet sem)! 2! 3! 4! Konrétan a 0 + 0 + 0 + 0 +... onstans transzcendens 880-as éve eleje: már ismert, hogy az e és a π is transzcendens Cantor: szinte minden szám transzcendens (!) Az algebrai számo megszámlálhatóan soan vanna (ugyanúgy, mint a racionális számo), a transzcendens számo számossága ellenben nem megszámlálhatóan végtelen Azaz: a számegyenesre véletlenül ráböve szinte biztosan transzcendens számot apun 3
A valós számo ategorizálása Lánctört ala Az irracionális (tehát: algebrai és transzcendens) számo jegyeiben hagyományos (tizedes)tört felírás általában nem látszi semmiféle szabályosság A lánctört ala azonban már mélyebb bepillantást enged a számo 6 = 2,449489742783... = 2 + természetébe, és itt egyes irracionális 2 + számo megszelídülne 4 + Ilyenor a lánctört ala mindig végtelen 2 + 4 +... Állítás (már tudju): Egy szám megoldása egy másodfoú algebrai egyenletne lánctört alaja periodius, vagy egy idő múlva periodius Ezeet a számoat vadratius irracionalitásna is nevezi ( 2, 3, 5 stb.) Továbbá tudju, hogy az e számnál és a vele apcsolatban levő számonál is látszi bizonyos szabályosság Általában azonban egy szám, amely nem vadratius irracionalitás, nem mutat a lánctört alajában szabályosságot Példá: 2. slidesor *Feladat: Próbáljun eresni olyan egyéb irracionális számot, amely nem tartozi a fenti ategóriába, és mégis mutat valamilyen szabályosságot a lánctört alajában! 4
Algebrai számo Tétel: Algebrai számo összege, ülönbsége, szorzata és hányadosa (nem nulla nevezővel) is algebrai szám Pl. : 2 + 3 megoldása az x 4 0x 2 + = 0 egyenletne 3 5 30 0 5 6 30 0 5 6 5 2 7 x 5 2 7 Pl. 2: felírható 5 2 7 -ént, és így gyöe az polinomna Bármilyen gyöös ifejezést írun fel, az mindig algebrai Pl.: 5 2 5 3+ 2 gyöe az ( x 3) 2 polinomna De: nem minden algebrai szám írható fel gyöös ifejezésént! (eml.: ötödfoú egyenlete) Pl.: az x 5 4x 2 polinom gyöei nem állítható elő gyöös ifejezésént 5
Transzcendens számo Probléma: a transzcendens számoat nehéz elépzelni Az általun használt számo néhány ivételtől elteintve nem ilyene Ha véletlenszerűen írun számjegyeet egy tizedestörtbe, szinte biztosan transzcendens számot apun Persze a végtelenségig ell folytatnun a felírást De: anna pontos bizonyítása, hogy egy megadott onrét onstans valóban transzcendens (pl. e + π, e π, π π ) nehéz (vagy: nagyon nehéz) feladat (!) Hilbert (900, Párizs): 23 egyszerűen megfogalmazható probléma, amelye az aori matematia számára megoldhatatlano volta (és nagyon nehezen megoldhatóna tűnte) 2 A 7. probléma: igazolju, hogy 2 transzcendens! Megoldás (930-as éve, Gelfond és Schneider, tétel): Ha a 0, algebrai szám, és b nem racionális algebrai szám, aor a b transzcendens Ezzel rengeteg transzcendens szám onstruálható *A tétellel igazolható, hogy e π transzcendens. Valóban, az Euler-féle azonosságból e i π = (az i épzetes egység algebrai). ( ) ( ) i π ( ) i i i π Átalaítással e =, azaz e =. 6
Transzcendens számo *Az első ismert transzcendens szám ilyen tulajdonságána (vázlatos) igazolása Tétel (Liouville, 844): Az α = = 0,0000000000000000000000... onstans transzcendens! = 0 Megj.: Az összeg nyilvánvalóan véges A bizonyításban ihasználju (igazolás nélül): Tétel 2. (Liouville): Ha α gyöe egy egész együtthatós n-edfoú polinomna, aor csa véges so olyan p/q tört létezi, amelyre p α < n+ q q Azaz: az algebrai számo racionális törteel nem özelíthető nagyon jól, tehát ha egy szám törteel nagyon-nagyon jól özelíthető, aor transzcendens Bizonyítás: Teintsü α özelítő részösszegeit. A -adi részösszeg legyen p /q, ahol lno(p, q ) =. 0A + Közös nevezőre hozva =, azaz q = 0!, és p utolsó jegye. n!! 0 0 n= A γ ülönbség becsülhető a övetezőéppen: 0 p < γ = α = <. m! ( + )! q 0 0 m= + Itt felhasználtu, hogy γ -ban az első nullától ülönböző jegy a (+)!-adi helyen szerepel, és a további jegye özött so nulla is van; ezért γ biztosan isebb azon számnál, ahol az eggyel isebb pozícióban szerepel, és utána csupa 0 van. Mivel ( + )! =! + (! ) >!, ezért γ < /0! = /(q ) -nál. Legyen most n rögzített, és teintsü az összes > n + számot. p Ezere α = γ <. q ( q ) ( q ) n+ Eze a törte egyszerűsíthetetlen alaban vanna megadva, ezért mind ülönbözőe. Eszerint α bármely n-re végtelen soszor jól özelíthető, tehát egyetlen n-re sem lehet gyöe egy egész együtthatós n-edfoú polinomna. Így α transzcendens. 7
Nevezetes onstanso A G (vagy: φ) szám (már tudju) Bevezetés (már az óorban is ismert): az aranymetszés aránya Kapcsolat a Fibonacci-sorozattal és az eulideszi algoritmussal Algebrai szám, lánctört alaja egyszerű π (már tudju) Bevezetés (már az óorban is ismert) Nevezetes óori probléma a ör négyszögesítése Jegye meghatározása legalább 4-5000 éves problémaör Irracionalitás és transzcendens tulajdonság igazolása (Lambert és Lindemann) e szám (már tudju) n Bevezetés (Bernoulli): bani probléma (690.), lim + = e ζ(2) Vizsgálat (Euler, 740-es és 50-es éve): fontosabb tulajdonságo, irracionalitás, e x függvény Transzcendens tulajdonság igazolása (Hermite, 873) 2 π = 6 Bevezetés: Riemann zeta-függvény, négyzetszámo reciproösszege Reciproa: anna esélye, hogy ét véletlenül választott nagy szám relatív prím Transzcendens További nevezetes onstanso Euler-γ és Catalan-állandó (még nem ismert, hogy irracionálisa-e), ζ(3) irracionális, sin() transzcendens, Champernowne-onstans transzcendens n n 8
Nevezetes onstanso A Brun-onstans Sejtés: Végtelen so ierprím van Tétel (Brun): Az ierpríme reciproösszege véges Definíció (Brun-onstans): B = + + + + + + + +... = 3 5 5 7 3 7 9 Nem tudju, hogy a Brun-onstans irracionális vagy racionális-e Maple program a Brun-onstans meghatározására, futtatási eredménye 0-ig:,350600094 00-ig:,58032464 000-ig:,66893557 0000-ig:,672799585,9026058... 9
Ajánlott irodalom Fried Ervin: Létezne-e transzcendens számo?, KÖMAL, 200/4. Edward Kofler: Fejezete a matematia történetéből, Gondolat, Budapest, 965 Németh Regina: Nevezetes számo a matematiában (szadolgozat), ELTE, 203 Pelián József: Matematiai onstanso (előadás, pdf változat Törö L., Hrasó A.), 2006 0