1. Számelméleti lismeretek, számelmélet ltétele. A rímszámelmélet elemei. A kongruenci foglm, mrdékosztályok, Euler Fermt-tétel. Lineáris és mgsbb fokú lgebri kongruenciák. Binom kongruenciák, kvdrtikus kongruenciák. Oszthtóság Definíció: (oszthtóság Z-ben) A b egész szám oszthtó z egész számml, h z x = b egyenletek Z-ben megoldhtó, zz b x Z x = b Definíció: H egy szám minden számnk osztój, kkor egységnek nevezzük. Tétel: Az egész számok körében két egység vn, z 1 és -1. Tétel: H ε és δ egységek és b, kkor εb δ is teljesül. Tétel: (oszthtóság tuljdonsági) 1) reflexív,, 2) nem szimmetrikus, ℸ b, b b 3) trnzitív, b c, b b c c 4) oszthtóság dditív tuljdonság, b c b + c 5) oszthtóság multiliktív tuljdonság, b c d c bd 6), 0 7) 0 = 0 8), 1 9) b c b c 10) b c b c 11) b bc 12) b c bc Mrdékos osztás Tétel: (Euklidészi osztás tétele, mrdékos osztás tétele), b Z, b 0,! q, r Z, = bq + r, 0 r < b Tétel: Tetszőleges és b 0 egész számokoz léteznek olyn egyértelműen meghtározott q és r egész számok, melyekre = bq + r és b b < r 2 2 Tétel: Legyen t > 1 rögzített egész. Ekkor bármely A ozitív egész egyértelműen felírhtó z lábbi lkbn: A = n t n + n 1 t n 1 + + 1 t 1 + 0, ol 0 i < t és n 0. Tétel: (Euklidészi lgoritmus) Euklidészi osztások soroztát Euklidészi lgoritmusnk nevezzük z és b b 0 egész számokon = bq + r, 0 r < b ; b = rq 1 + r 1, 0 r 1 < r. r n 2 = r n 1 q n + r n r n lnko r n 1 = r n q n+1 Mivel b > r > r 1. >= 0 ezért z lgoritmus véges, mrdék bizonyos számú léés után 0 lesz. Legngyobb közös osztó Definíció:!, b Z, és leglább z egyik zérustól különböző. Az, b legngyobb közös osztójánk nevezünk egy d Z elemet, melyre i) d közös osztó, d d b ii) d többi közös osztó többszöröse; (d d b) d d Jelölés (,b)=d 1
Definíció: H (,b)=1, kkor z és b egész számokt reltív rímeknek nevezzük. Definíció: Az n 1, n 2,.. n k nem mind zérus egész számokt reltív rímeknek nevezzük, h lnko-jut 1 (n 1, n 2,.. n k ) = 1, h továbbá bármely két eleme különböző reltív rím, kkor áronként reltív rímek, zz n i, n j = 1, minden 1 i j k. Definíció: Az és b számok kitüntetett közös osztój δ, h δ, δ b egy c re c, c b teljesül, kkor c δ Tétel: Bármely egész számnk létezik kitüntetett közös osztój. Tétel: H c > 0, kkor (c, cb) = c(, b) Tétel: Az,b b 0 egész számok lnko-ját rjtuk végrehjtott Euklidészi lgoritmusbn z utolsó osztó (r n ) dj. Tétel: (lnko tuljdonsági), b, c, d Z 1), b, c =, b, c ssz. 2), b = b, kom. 3) (, ) = 4) (, b) = ( + bc, b) 5) (, b)c = (c, bc) 6), b,b,b = 1 7) x, y Z: x + by =, b, z lnko mindig előállíthtó két egész szám lineáris kombinációjként 8) (, b) = 1 és (, c) = 1, kkor (, b, c) = 1 9) ( bc és b = 1) kkor c, áltlános rímtuljdonság 10) (, b) = b Definíció:!, b Z, és leglább z egyik zérustól különböző. Az, b legkisebb közös többszörösének nevezünk zt z m Z számot, melyre i) m közös többszörös, m b m ii) többi közös többszörös osztój; ( m b m ) m m Jelölés [,b]=m Tétel: (lkkt tuljdonsági), b, c, d Z 1), b, c =, b, c ssz. 2) [,b] = [b, ] kom. 3) [,] = 4) [,b]c = [c,bc] 5), b = b (,b) Definíció: (vlódi osztó) A b egész szám egységtől és +- b től különböző osztóit vlódi osztóknk nevezzük. b ℸ ~ ~b vlódi osztój b nek Definíció: (fktorizáció) H egy nem zérus b egész számot felírunk b = c (, c Z) lkbn, kkor b egy fktorizációját kjuk. H itt és c egyike sem egység (±1), kkor b = c vlódi fktorizáció. Definíció: (törzsszám) A zérustól és egységtől különböző q egész számot törzsszámnk vgy irreducibilis (felbonthtln) számnk nevezzük, h nincs vlódi fktorizációj. Ellenkező esetben összetett szám. 2
Definíció: (rímszám) A zérustól és egységtől különböző b egész számot rímszámnk nevezzük, h rímtuljdonságú, zz vlhányszor osztój egy szorztnk mindnnyiszor osztój szorzt leglább egy tényezőjének. Z 0, 1 rímszám [ b b] Tétel: Egy egész szám kkor és cskis kkor rímszám, h törzsszám. Tétel: (számelmélet ltétele) Minden összetett egész szám sorrendtől eltekintve egyértelműen bonthtó fel rímszámok szorztár. Tétel: Minden n>1 egész szám felírhtó Knonikus lk n = 1 α 1 α 2 α r = i=1 lkbn, hol 1, r különböző (ozitív) rímek és α i > 0 egész. Ez felírás i α i rímhtványtényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Ezt z előállítást z n szám knonikus lkjánk nevezzük. Tétel: Az n = 1 α 1 α 2 α r knonikus lkú n számnk egy d ozitív egész kkor és csk kkor osztój, h d knonikus lkj d = 1 β 1 β 2 β r, hol 0 β i α i, i = 1,2, r. Tétel: Legyen z és b ozitív egészek knonikus lkj r i α i = 1 α 1 α 2 α r és b = 1 β 1 β 2 β r hol αi 0, β i 0. Ekkor (, b) = 1 min(α 1 β 1 ) min(α 2 β 2 ) min(α r β r ) Tétel: Legyen z és b ozitív egészek knonikus lkj = 1 α 1 α 2 α r és b = 1 β 1 β 2 β r hol αi 0, β i 0. Ekkor [, b] = 1 mx(α 1 β 1 ) mx(α 2 β 2 ) mx(α r β r ) Tétel: Végtelen sok rímszám vn. A rímszámok keresésére szolgál ertoszthenészi szit. Tétel: Bármely n-re vn egymást követő összetett szám. Definíció: Ikerrímek zok rímek, melyeknek kettő különbsége. Pl.: 3,5 29,31 101,103 Tétel-Sejtés: Végtelen sok ikerrím vn. (To7 milen.rob.) Tétel: Legyen n>=2 tetszés szerinti természetes szám. A rímszámok soroztábn mindig tlálhtó két olyn szomszédos rímszám, melyeknek egymástól vló eltérése leglább n. Sejtés: (Fermt sejtés) 2 2k + 1 lkú számok minden k értékére rímszámokt kunk. Ez k=1,2,3,4 re igz, de k=5-re már nem (Euler muttt meg). {l : n=0-r 3, 1-re 5, 2-re 17, 3-r 257, 4-re 65537} Tétel: H 2 m + 1 rímszám, kkor m = 2 n Tétel: Az N oldlú szbályos sokszög ontosn kkor szerkeszthető meg, h N = 2 n 1 k, kkor i számok különböző Fermt rímek. 3
Definíció: Mersenne-féle rím 2 1 lkúk. {l : n=2-re 3, 3-r 7, 5-re 31, 7-re 127} Tétel: 2 1 rímszám, kkor rím. Tétel: H n összetett szám, kkor 2 1 összetett. Tétel: Végtelen sok 4k 1 lkú rímszám vn. Tétel: (Dirichlet tétel) H és b egymáshoz reltív rímszámok, kkor z k + b (k=1,2, ) végtelen számtni soroztbn végtelen sok rímszám vn. Tétel: A rímszámok recirokiból kéezett 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 + végtelen sor minden 2 3 5 7 htáron túl nő, zz divergens. Eloszlássl kcsoltos tételek. Tétel: (Csebisev tétel) H n 1, kkor n és 2n között biztos vn rímszám. Tétel: H n 2, kkor vn n 1 utáni természetes szám, melyek egyike sem rím. Tétel: n n-edik rímszám 1 = 2, = 3, 3 = 5, n ~nlnn Definíció: Legyen π x z x vlós számoknál nem ngyobb rímszámok szám. Tétel: Tlálhtó olyn c 1 és c 2 ozitív vlós szám, melyre c 1 < π x < c lnx 2 lnx Vgyis π x ~ x (ngy rímszámtétel). Továbbá lim π x lnx x x = 1 (rímszámtétel). lnx Goldbch sejtés: Minden 2-nél ngyobb áros szám két rímszám összegére bonthtó. Minden 5-nél ngyobb ártln szám három rímszám összegére bonthtó. x x Riemnn sejtés: ζ s = n=1 1, ζ s = 0 egyenlet gyökei z s = 1 + it egyenesen vnnk. n 3 2 Kongruenciák Definíció: Legyenek és b egész számok és m ozitív egész. Azt mondjuk, hogy kongruens b-vel modulo m, h m b. Vgyis: b m : m b. m-et reláció modulusánk nevezzük. (m) helyett (mod m)-et is szokás írni. Tétel:, b, c, d Z elemre teljesülnek következők: 1) m, reflexív 2) b m b m, szimmetri 3) [ b m b c m ] c m trnzitivitás 4) komtibilitás mindkét művelettel 5) b m ± c b ± c m 6) b m c bc m b m c d m + c b + d m [ b m c d m ] c bd m 4
7) b m k b k m 8) c bc m b m (m,c) Tétel: H c bc m és, c = 1 b m Tétel: (1) b n b n (2) + b 2n+1 + b 2n+1 (3) + b 2n b 2n Definíció: A moduló m mrdékos osztályok 0, 1, m 1. Máskéen: Rögzített m modulus mellett z -vl kongruens elemek hlmzát z áltl rerezentált mrdékosztálynk nevezzük. Definíció: Azokt mrdékosztályokt, melyeknek z elemei m-hez reltív rímek, rímmrdékosztályoknk nevezzük. Definíció: H rögzített m modulus mellett minden mrdékosztályból egy és csk egy elemet kiveszünk, z így kott számokt modulo m teljes mrdékrendszernek nevezzük. {jel.: TMR} Péld: A 7,12,21,30 TMR, mert (mod 4) 7~3,12~0, 21~1, 30~2 Tétel: Az 1, 2, 3, k számok kkor és cskis kkor lkotnk teljes mrdékrendszert (mod m), h (1) k = m (2) i j (m) Tétel: Legyen r 1, r 2, r 3, r m TMR modulo m, (,m)=1 és b tetszőleges. Ekkor r 1 + b, r 2 + b, r 3 + b, r m + b, is TMR modulo m. Tétel: b m, m = (b, m) Definíció: Az () m mrdékosztályt modulo m redukált mrdékosztálynk nevezzük, h (, m) = 1 Definíció: H rögzített m modulus mellett minden redukált mrdékosztályból egy és csk egy elemet kiveszünk, z így kott számokt modulo m redukált mrdékrendszernek nevezzük. {jel.: RMR} Péld:A {17,-5, 11,-11} RMR modulo 12 Definíció: Az 1, 2, 3, k számok kkor és cskis kkor lkotnk redukált mrdékrendszert (mod m), h (1) k = φ(m) (2) i j (m) (3) ( i, m) = 1 Tétel: Legyen r 1, r 2, r 3, r φ(m) RMR modulo m, (,m)=1 és b tetszőleges. Ekkor r 1, r 2, r 3, r φ(m ), is RMR modulo m. Tétel: Az 1, 2, 3, k (m)teljes mrdékrendszer, kkor 1 + c, 2 + c, 3 + c, k + c (m) is TMR. 5
Tétel: 1, 2, 3, k (m) TMR (RMR) és (c,m)=1, kkor 1 c, 2 c, 3 c, k c (m) is TMR (RMR). Definíció: (Euler-féle φ függvény) A φ(n)jelöli 0,1, n-1 soroztbn z n-hez reltív rímek számát. t Tétel: Az φ(n)számelméleti függvény multiliktív. Továbbá, h n = 1 t 1 k k, kkor φ n = n 1 1 1 1! többit lásd másik tételben 1 Tétel: (Euler-Fermt tétel) H, m = 1, kkor φ(m) 1 (m) k Tétel: H, ~1, zz, kkor 1 1 () ( kis Fermt tétel egyik lkj), mindkét oldlt -vl szorozv: ( kis Fermt tétel másik lkj). Tétel: (Ngy Fermt tétel) x n + y n = z n n>2 nincs megoldás Z-ben. (n=1,2 esetén vn). Lineáris kongruenciák Definíció: Legyenek és b egészek és m ozitív egész. Ekkor z x b(m) kongruenciát lineáris kongruenciánk nevezzük, és ennek egy megoldásán egy olyn s egész számot értünk, melyet z x helyére beírv kongruenci fennáll. Definíció: Legyen f egy egész együtthtós olinom. Ekkor z f x 0 (m) kongruenci megoldásszámán egy modulo m TMR zon s elemeinek számát értjük, melyekre f s 0 m. Tétel: H z x b m kongruenci kkor és csk kkor létezik megoldás, h (, m) b Tétel: H z x b m kongruenci megoldhtó, kkor megoldásszám (, m) Tétel: Legyen (, m) = d, m = dm 1 és tegyük fel, hogy z s egész szám megoldás z x b m kongruenciánk. Ekkor z s, s + m 1, s + 2m 1, s + d 1 m 1 számok áronként inkongruensek (modulo m), kielégítik kongruenciát, és z összes megoldás ezek vlmelyikével kongruens modulo m. Tétel: H (, m) = 1, kkor z x b m kongruenci bármely b esetén megoldhtó és megoldásszám 1. Megoldási módok: Végigróbálgtás, Diofntikus egyenlettel, Euler-Fermt-tétellel, Ügyeskedések Szimultán kongruenci rendszerek 1 Definíció: Szimultán kongruencirendszernek zt nevezzük, mikor ugynrr z ismeretlenre egyidejűleg több, különböző modulus szerinti kongruenci feltételt is előírunk. f 1 x 0 m 1, f 2 x 0 m 2, f k (x) 0 m k hol f 1, f 2, f k egész együtthtós olinomok. Tétel: Az x c 1 mod m 1 x c 2 mod m 2 szimultán kongruencirendszer kkor és csk kkor oldhtó meg, h (m 1, m 2 ) c 1 c 2 1 Ezt szerintem nem kell megtnulni, de jó, h egyszer elolvssuk Wilson tétellel bezárólg. 6
Tétel: Megoldhtóság esetén z összes megoldás egy mrdékosztályt lkot modulo [m 1, m 2 ]. Ez más megfoglmzásbn zt jelenti, hogy h z s egész szám szimultán kongruencirendszer egy megoldás, kkor z lábbi t értékek dják z összes megoldást: t mod m 1, m 2, zz t = s + k m 1, m 2, hol k egész. Tétel: H m 1, m 2 = 1, kkor z x c 1 mod m 1 x c 2 mod m 2 szimultán kongruencirendszer bármilyen c 1 és c 2 egész szám esetén megoldhtó, és megoldások egyetlen mrdékosztályt lkotnk modulo m 1 m 2 Tétel: (Kíni mrdéktétel) Legyen z m 1, m k modulusok áronként reltív rímek. Ekkor z x c 1 mod m 1 x c 2 mod m 2.. x c k mod m k szimultán kongruencirendszer bármilyen c 1 c k egészek esetén megoldhtó, és megoldások egyetlen mrdékosztályt lkotnk modulo m 1 m 2 m k Tétel: (Wilson tétel) H ozitív rím, kkor 1! 1 (modulo ) Mgsbb fokú kongruenciák Definíció: Az f = 0 + 1 x + + n x n olinom modulo m vett fokszám (vgy fok) k, h k 0 mod m, de minden i > k esetén i 0 mod m. H minden i-re i 0 mod m, zz f minden együtttüj 0 mod m, kkor f nek modulo m nincs fok. Tétel: H rím és z f olinom modulo vett fok k, kkor z f x 0 (m) kongruenci megoldásszám legfeljebb k. Tétel: Bármely rím és f egész együtthtós olinom esetén létezik olyn g egész együtthtós olinom, hogy g modulo vett fok legfeljebb 1 vgy g minden együtthtój 0 modulo és minden c egész számr f c g c (mod ) Binom kongruenciák Definíció: Az x k mod kongruenciákt kéttgú vgy binom kongruenciánk nevezzük. Az áltlános lkj: cx k mod Tétel: Legyen rím és (, ) = 1. Az kkor és cskis kkor oldhtó meg, h x k mod 1 (k, 1) 1 mod Megoldhtóság esetén megoldások szám k, 1. Definíció: Legyen rím és (,)=1. Az számot k dik htványmrdéknk nevezzük, h z x k mod kongruenci megoldhtó, és k dik htvány-nemmrdéknk nevezzük, h z x k mod kongruenci nem oldhtó meg. Tétel: Legyen rím és (, ) = 1. Az szám kkor és csk kkor k-dik htványmrdék, h 1 (k, 1) 1 mod. Hsznos: x b(m) m x b x b = my x my = b 7
Kvdrtikus kongruenciák Definíció: Legyen > 2 rím és (, ) = 1. Az számot szerint nevezzük kvdrtikus mrdéknk, illetve kvdrtikus nemmrdéknk modulo, hogy z x 2 mod kongruenci megoldhtó-e, vgy sem. Tétel: Az szám kvdrtikus mrdék modulo, h ( 1)/2 1 mod Az szám kvdrtikus nemmrdék modulo, h ( 1)/2 1 mod A kvdrtikus mrdékok szám, illetve kvdrtikus nemmrdékok szám egyránt ( 1)/2 H kvdrtikus mrdék, kkor x 2 mod kongruenciánk két megoldás vn Definíció: Az Tétel: b mod b 1 = = Legendre szimbólumot következőkéen értelmezzük: 1, kvdrtikus mrdék modulo m = 1, kvdrtikus nemmrdék modulo m b = b 1, 1 (modulo 4) 1, 1(modulo 4) Tétel: (Kvdrtikus recirocitási tétel) H > 2 és q > 2 két különböző rím, kkor q q = ( 1) 1 2 q 1 2 zz, q 1 (modulo 4) q = q q, egyébként Definíció: Legyen m > 1 ártln szám, m = 1 r, ol i számok ozitív rímek. Legyen (, m) = 1. Ekkor z Jcobi-szimbólumot mint z Legendre szimbólumánk soroztát értjük Tétel: m m = 1 r i b (mod m) m = b m b = b m m m mn = n m 8