Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét

Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C

Elliptikus paraboloid z h x a + a h b y b

Hiperbolikus paraboloid, nyeregfelület

Nyeregfelület z h 1 x a h y b

Nyeregfelület Felületre fektethető egyenesek az alkotók Az alkotók vetületei által bezárt szög szerint, derékszögű ferdeszögű

Torznégyszög z 4 f ab x y

Konoid z f 4x y 1 b a

Forgásfelületek gömb ellipszoid hiperbolikus hiperboloid

Felületek A felületekről kétféleképpen lehet gondolkozni 3D objektum Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét D objektum A kettő között Gauss görbületre vonatkozó tétele teremt kapcsolatot

Felületek 3D objektum: a 3D-s Euklideszi teret két részre osztja D objektum: két paramétert használunk pl. a Föld felszínén hosszúsági és szélességi körök így könnyebb, mint x,y,z koordinátákkal

Felületek A vonal hossza nem változik, ha hengerré görbítem de a henger rádiusza nem kezelhető a D-s felület segítségével

Külső és belső geometriai jellemzők Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Túl szigorú definíció Bizonyos tulajdonságok a felület rögzítettsége nélkül is megmaradnak, mások nem A rögzített és a felszabadított felületen is megmaradnak a belső jellemzők Csak a háromdimenzióban rögzített felületen érvényesek a külső tulajdonságok

Síkban: Görbület 1. Görbület: a görbe érintőjének az ívhossz szerinti irányváltozási sebessége k Ψ s

Görbület. A vizsgált pontban a görbéhez símuló kör sugarának reciproka k 1 R

Görbület 3. Az yf(x) függvénnyel leírt görbe görbülete: k f ( x) 3 ( ) 1+ f ( x)

Reguláris pont A felületen felvett P ponton átfektetett síkok a felületből különböző vonalakat metszenek ki. Ha e vonalaknak a P pontban van érintőjük és valamennyi érintő közös síkban fekszik, akkor ezt síkot érintő síknak a P pontot reguláris pontnak hívjuk

Szinguláris pont A reguláris pont definíciójának nem megfelelő pontot szinguláris pontnak nevezzük. Az ilyen pontnak nem érintő síkja, hanem érintő kúpja van.

Síma felület, nincs él Görbület 4. P reguláris pont körüli felület Görbe görbülete olyan síkokban melyekben az n normális benne van Merőleges az érintő síkra és mivel síma a felület ezért csak egy sík van

Görbület 5. Több görbe is generálható, mivel a sík elforgatható a t érintő vektor körül Meusnier tétel

Meusnier tétel 1. Egy felület P pontjában a t irányvektorú érintő egyeneshez tartozó metsző síkok által kimetszet felületi görbék közül a normálishoz is illeszkedő sík által kimetszet görbe P pontbeli görbülete a legkisebb. Az érintő síkkal a szöget bezáró síkmetszet görbülete: k α k n sinα

Meusnier tétel. 1 r 1 a sinα r a sinα

Görbület 6. Ahogy a görbe mentén haladunk az n normális is elfordulhat dφ A felületben csavarás (twist) van, ha k 0 ds

Görbület 7. Hogyan változik a görbület és csavarás Q függvényében? Vegyünk egy felületet X, Y, Z koordinátákkal ZZ(X,Y) X-Y sík érinti a felületet

Görbület 8. Fejtsük Taylor sorba P pont körül Z tehát k11, k1, k pont körül teljesen leírja a felületet a P (Bizonyítás) A Q forgatás lényegében egy kört ír le Mohr kör 1 k 11 X + k 1 XY + 1 k Y +L

Görbület 9. Egyértelműen leírja a felület görbületét a P pontban Mindig van két pont ahol a twist zérus, ezek a fő görbületi irányok

Euler tétel 1. A P reguláris ponton átmenő normálmetszetek közül azt a kettőt, melyek P pontbeli görbülete algebrai értelemben szélső értékű, fő normálmetszetnek, ezek P pontbeli érintőjét fő görbületi iránynak nevezzük. A két fő normálmetszet síkja egymásra mindig merőleges. Az 1. főgörbületi iránnyal F szöget bezáró normálmetszet görbülete: k Φ k1 + k k1 k k1 cos Φ + k sin Φ + cos(φ)

Euler tétel. Tehát a felületi pont görbületi viszonyait egy kétdimenziós másodrendű tenzor írja le K k k ξ ξη A főgörbületi irányokban nincsen a felületnek elcsavarodása k k ξη η

Tenzor tulajdonságok Invariáns: a választott koordinátarendszertől független mennyiség Átlaggörbület: kξ + kη k 1 + k H Szorzatgörbület (Gauss féle szorzatgörbület): det( K) K kξ kη kξη k 1 k

Számítási módszer Adjuk meg a felület egy pontját a Descartes féle koordinátarendszerben az r helyzetvektorral: Jelöljük a z(x,y) parciális deriváltjait ), ( y x z y x + + k j i r ; ; ; y z t y x z s x z r y z q x z p

Görbületek invariánsai ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 1 q p s t r K q p s p t s q p q r H + + + + + + +

Görbület Eddig külső tulajdonságokat használtunk A görbékhez hasonlóan a felület görbülete is definiálható történelmi Gauss szorzatgörbület dβ K da da a felületen értelmezett kis terület dba da által bezárt térszög Ennek a levezetését kiséreljük meg...

Kúp esetén a térszög: Dimenzió nélküli Térszög A / r Hasonló a szög definícióhoz: a/r Teljes kör: rp Max. szög: p Teljes gömb felszíne: 4r p Max. térszög: 4p

Térszög Hogy néz ki egy tetszőleges felület esetén? A felület minden pontját vetítsük egy egység sugarú gömbre Az A pont és vetített párja A pont normálisa párhuzamos A gömbön adódó terület a térszög, hiszen r 1

Térszög példa1. Egy pont: K0 Egy vonal: K0

Térszög példa. Vegyük a felületet 1 X Y Z + R R R 1 és R a fő görbületi sugarak X és Y a fő görbületi irányok Az egység sugarú gömb egy kis része 1 z x + 1 y

Térszög példa. A meredekség az X és az Y irányban: Hasonlóan a gömbön: A vetítés miatt 1, R Y Y Z R X X Z y y z x x z, y z Y Z x z X Z, így 1, R Y y R X x

Térszög példa. vagyelemi darabokra is dx dx, dy R 1 dy R A terület az eredeti felületen és a gömbön így d β dx dy da dx dy K dβ da K R 1 1 R

Felület éllel Térszög, egy él Az él mentén nem meghatározott a normális így egy ívet definiál K 0 Egy él készítése egy lapon nem változtatja meg a Gauss görbületét

Térszög, két él Két élet készítünk melyek m szöget zárnak be Eredetileg egy pont Két él a gömbön, melyek m szöget zárnak be

Térszög, tető idom Vegyünk egy tető idomot A gömbön az ívek által bezárt külső szögek Van egy tétel mely kimondja: Az egység gömbön a főkörökkel egybe eső ívek által bezárt felület nagysága megegyezik a felületi excesszussal

Térszög, tető idom Egy n pontú síkbeli poligon eseténa Egy n pontú gömbi poligon esetén: b az excesszus és a térszög π ) (, n b i sík i gömb i gömb i sík i gömb i gömb i gömb i gömb i gömb k n k n b b k n b k b,,,,,,,, ) ( π β π π π π π

Térszög, tető idom, eredmény Mindegy hogy hány él van a tető idomban ugyanazt kapjuk Határesetben egy kúp lesz A ponthoz tartozó excesszus meghatározható Ez módszer tetszőleges poligonokból álló felület esetén alkalmazható

Poligonizált felület A felületet felosztjuk tetszőleges poligonokra A felület közepeit összekötjük Ez a felületnek egy közelítését adja

Poligonizált felület Csak a középponttokban értelmezhető az excesszus és a térszög A Gauss görbület a pontokban koncentrálódik, többi helyen zérus a görbület A pontokhoz rendelhető a poligon területe A Gauss görbület jól közelíthető K β A excesszus pont körüli terület

Következmény Láttuk hogy a tető idomnál a térszög nem változik még ha él alakul is ki Az él nyúlásmentes módon jön létre, hiszen minden hosszmérés változatlan értéket adna Ha nem nyúlásmentes az alakváltozás akkor a Gauss görbület megváltozik

Theorema Egregium (Kimagasló Jelentőségű Tétel) Gauss (1777-1855) felületelmélete Összefüggés a felület görbülete és belső geometriai jellemző között Egy felület Gauss görbülete meghatározható a felületen végzett hossz mérésekből

Theorema Egregium A tétel jelentősége, hogy habár a Gauss görbület definíciója függ attól hogy a felület hogyan helyezkedik el a térben, a Gauss görbület csak belső tulajdonságokból kiszámolható, a környező tér ismerete nélkül ), ( y x z y x + + k j i r ; ; ; y z t y x z s x z r y z q x z p ( ) 1 q p s t r K + +

Theorema Egregium Másik megfogalmazás: Egy felület K szorzatgörbülete nem változik meg, ha nyúlás-és torzulásmentes alakváltozásnak vetjük alá.

Theorema Egregium, következmény Egy gömb Gauss görbülete: R - Egy sík Gauss görbülete: 0 Következmény: Egy gömböt nem lehet kihajtogatni síkba, torzulások nélkül Térképészet: A Földről soha nem lesz tökéletes térkép

Pontok osztályozása 1. Ha a pontban igaz, hogy: K >0: Elliptikus pont Elliptikus felületi pontban a két főgörbület azonos előjelű K < 0 : Hiperbolikus pont Hiperbolikus felületi pontban a két főgörbület eltérő előjelű K 0 : Parabolikus pont Parabolikus felületnél az egyik főgörbület zérus

Pontok osztályozása. K számlálója eldönti az előjelet így G alapján: K r t ( 1+ p + q ) r t s G > 0 : elliptikus pont G < 0 : hiperbolikus pont G 0 : parabolikus pont s

Elliptikus pont

aszimptota: Olyan normálmetszet melynek a görbületi középpontja a végtelenben van Hiperbolikus pont

Parabolikus pont

Síkpont

Felületek osztályozása A különféle osztályba sorolt pontok a felületen egységesen vagy vegyesen fodulhatnak elő Ha minden ponton ugyanolyan osztályba tartozik, akkor a felület is osztályozható

3 féle pont egy felületen

Speciális felületek Vonalfelület: A felület minden pontján át legalább egy alkotó, egy teljesen a felületen fekvő egyenes húzható (henger, kúp, konoid) Olyan felület melynek minden pontján át két alkotó szerkeszthető csak kettő van: Hiperbolikus paraboloid Hiperbolikus hiperboloid

Hiperbolikus paraboloid és hiperboloid Hiperbolikus paraboloid Hiperbolikus hiperboloid

Speciális felületek Transzlációs felületek: Egymással párhuzamos síkmetszetek egymással egybevágó görbék Forgásfelületek: Egy vezérgörbét megforgatunk egy tengely körül

Speciális felületek Vannak olyan vonalfelületek, melyek érintősíkja az alkotó mentén azonos Az alkotó két oldalán fekvő felületrészek egymáshoz képest elforgathatók anélkül, hogy a felület vonalelemei hosszváltozást szenvednének Kifejthető felület Ki nem fejthető felület, torz felület