AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA ESETÉN A mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak k az elmúlt évszázadba a statsztkusok, a gyakorlatba mégs csak egy terjedt el gazá. Eek az a legfıbb oka, hogy a sokaság aráy tervallumbecslésé alapuló megközelítés akkor s alkalmazható, amkor a több módszer csıdöt mod, hsze kküszöböl azok legagyobb hbáját, vagys cs szükség az alapsokasággal kapcsolatos elızetes smeretekre (pl.: szórás). A következıkbe részletese smertetem a mtaagyság aráybecslése alapuló meghatározásáak két alapesetét, a végtele és a véges alapsokaság eseté törtéı mtaagyság meghatározást. 1.2. Végtele alapsokaság eseté Ha a mtaagyságot végtele alapsokaság eseté kívájuk meghatároz, akkor mdössze két paramétert kell rögzíteük: megbízhatóság szt, potosság szt. A feladat tehát az, hogy határozzuk meg azt a mtaagyságot, amely eleget tesz az elıbb paraméterek elıre rögzített értékeek. A kérdés úgy s megfogalmazható, hogy mlye mtaagyság mellett lesz a potosság szt egy elıre rögzített érték. A mtaagyság meghatározása eze a poto kapcsolódk az aráybecsléshez, hsze ha kfejezzük a potosság szt képletébıl a mtaelemszámot, már választ s kaptuk a kérdésükre. (1.) ~ z 2 π p (1 = 2 p) A képletbe törtéı behelyettesítéshez valamey paraméter adott, kvéve a mtabel aráy. Ez az formácó a mtaagyság meghatározásakor, vagys a kutatás tervezés fázsába ylvávalóa em áll redelkezésre. Értékét úgy kell megválaszta, hogy azt a mtaelemszámot adja eredméyül, amely mellett egy tetszıleges aráy tervallumbecslése legfeljebb az elıre rögzített potosság sztet eredméyez. Más szóval, keressük azt a mtabel aráyt, amely mellett a mtaelemszám maxmáls. A részfeladat megoldásához a függvéyta smeretekre kell támaszkoduk, ahoa tudjuk, hogy az f(p) = p (1 p) függvéy maxmuma ott va, ahol az
elsıredő dervált f' (p) = 0, a másodredő dervált pedg f" (p) < 0. A számítások elvégzése utá p = 0,5 eredméyt kell, hogy kapjuk. A mtabel aráy megfejtése utá az alábbak szert egyszerősíthetjük a végtele alapsokaság eseté alkalmazott mtaelemszámítás képletet. (2.) ~ 0,25 z 2 = π 2 1.2. Véges alapsokaság eseté A mtaagyság meghatározásáak ebbe a potba még cs vége, ameybe em végtele, haem véges az alapsokaságot képezı elemek száma. A megbízhatóság és potosság szt mellett rögzíte kell az alapsokaság elemszáma, mt paraméter értékét. Ezt követıe írható fel az a képlet, amely felhaszálja a végtele alapsokaság eseté meghatározott mtaagyságot, vagys korrgálja azt véges alapsokaság esetre. Akkor jutuk erre a megoldásra, ha a potosság szt képletébıl kfejezzük a mtaelemszámot. (3.) ~ = ~ 1+ N Ahogy azt korábba már említettem, a társadalomtudomáy kutatások gyakorlatába többségébe véges alapsokasággal találkozhatuk, ezért az elıbbekbe leírtakat tartsuk szem elıtt a mtavétel terv készítéséek folyamatába. 2. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA RÉTEGZETT (R) MINTA ESETÉN A rétegzett mtavétel a véletle mtavétel eljárások közé tartozó kétlépcsıs folyamat, amely sorá elıször a sokaságot osztjuk részsokaságokra, vagy más éve rétegekre. A rétegekek egymást kölcsööse kzáróak és együttese teljesek kell lee, amelybe mde sokaság elemet be lehet sorol egy, és csaks egy rétegbe, ugyaakkor egyetle elem sem marad k. Ezt követıe mde egyes rétegbıl egyszerő véletle (EV) mtavétel segítségével részmtákat veszük, amelyek együttese alkotják a teljes mtát. Azokat a változókat, amelyek segítségével az alapsokaságot egymást kölcsööse kzáró részekre osztjuk rétegképzı smérvekek evezzük. A rétegképzı smérveket úgy kell megválaszta, hogy a rétegeke belül az elemekek homogéek, a sokaságo belül a rétegek pedg heterogéek legyeek. A legelterjedtebb rétegképzı smérvek lakosság (B2C) kutatások eseté a demográfa változók (pl.: földrajz terület, em, életkor), üzlet (B2B) kutatások eseté pedg az általáos cégadatok (pl.: földrajz terület, létszám, árbevétel).
2.1. Felosztó (dvzív) rétegzés A rétegzett mtavétel agyo s gyakorlat kérdése a részmták és az általuk együttese alkotott teljes mta agyságáak meghatározása. Ha smertek feltételezzük a teljes mta elemszámát, akkor több megoldása létezk a mta rétegek között elosztás tervéek. Nevezzük ezeket a módszereket összefoglalóa az osztályozás eljárások aalógájára felosztó (dvzív) rétegzések. A dvzív rétegzés meetét a következı 6 lépés alkotja: 1. defáljuk a teljes sokaságot, 2. válasszuk k a rétegképzı smérveket és alakítsuk k a részsokaságokat, 3. rögzítsük a teljes mta megbízhatóság és potosság sztjét, 4. határozzuk meg a teljes mta agyságát, 5. válasszuk k az elosztás tervet, 6. a teljes mta felosztása megadja a részmták elemszámát. 2.1.1. Egyeletes elosztás Az egyeletes elosztás esetébe úgy jutuk a részmták elemszámához, hogy a teljes mta elemszámát elosztjuk a rétegek tervezett számával, vagys mde egyes rétegbıl azoos agyságú mtát veszük. (4.) = m Az egyeletes elosztás egyszerő, em géyel komolyabb tervezés-szervezés elıkészítést, kéyelmese végrehajtható, és bzoyos feltételek mellett az egyes rétegek mtavétel hbáak összege mmáls. Ha kívácsak vagyuk az egyes rétegek statsztka mutatóra elfogadható megbízhatóság és potosság szt mellett, akkor az egyeletes elosztás jó megoldásak tekthetı. 2.1.2. Aráyos elosztás Az aráyos elosztás léyege az, hogy a részmták úgy aráylaak a teljes mtához, mt a részsokaságok a teljes sokasághoz. Eek megfelelıe egy agyobb rétegbıl agyobb mtát veszük. (5.) = N N Az aráyos elosztás szté egyszerő, elıkészítése em géyel komolyabb erıfeszítést, köye végrehajtható, és a mtába ugyaazok az aráyok érvéyesülek, mt a sokaságba. A mta a rétegképzı smérvre ézve reprezetatívak tekthetı, ezért szokták ösúlyozó mtáak s evez. 2.1.3. Neyma-féle optmáls elosztás
A Neyma-féle optmáls elosztás esetébe a részmták elemszáma em csak a részsokaság aráyától, haem aak elıre smert vagy legalább becsült szórásától (σ ) s függ. Nagyobb szóródású rétegekbıl agyobb, ksebb szóródásúakból ksebb mtát veszük feltéve, hogy a részsokaságok egyforma agyságúak. (6.) N σ = m N σ = 1 Az elosztás elıyös tulajdosága, hogy a fıátlagot lye mtából számítva mmáls mtavétel hbához jutuk, végrehajtása azoba em egyszerő, hsze ehéz megbízható formácókat yer a rétegekét szórásokra, ezért ez az elosztás kzárólag az elmélet számára fotos. Azoos rétegekét szórások eseté a Neyma-féle optmáls elosztás megegyezk az aráyos elosztással. 2.1.4. Költségoptmáls elosztás A Neyma-féle optmáls elosztás továbbfejlesztett változata a költségoptmáls elosztás, amely a rétegek agysága és szórása mellett a részsokaságok megfgyelés egységköltséget (π ) s fgyelembe vesz. A mtavétel teljes költsége (C) az alább képlet segítségével kalkulálható. (7.) C = m π = 1 Rögzített költségkeret eseté a fıátlag mtavétel hbáját mmalzáló elosztás a következı formulába törtéı helyettesítéssel kapható meg. (8.) N σ π = m N σ = 1 π A részsokaságok egyforma agysága és szórása eseté abból a rétegbıl vesszük a agyobb mtát, amél ksebb a megfgyelés egységköltség. Azoos egységköltségek eseté a költségoptmáls elosztás megegyezk a Neyma-féle optmáls elosztással és redelkezk aak elıyös és hátráyos tulajdoságaval. Az smertek feltételezett teljes mta rétegek között elosztás terveek elmélet és gyakorlat aspektusból vett elıyös és hátráyos tulajdoságat az alább 1. táblázat tartalmazza.
1. táblázat Az elosztás tervek elıye és hátráya Egyeletes Aráyos Neyma-féle optmáls Költségoptmáls Elıye Egyszerő, köye végrehajtható; Alacsoy a rétegek mtavétel hbája Egyszerő, köye végrehajtható; Reprezetatív Fgyelembe vesz a rétegek szórását Fgyelembe vesz a rétegek megfgyelés egységköltségét Hátráya Nem reprezetatív Magas a rétegek mtavétel hbája Boyolult, eheze végrehajtható Boyolult, eheze végrehajtható A gyakorlat számára a legfotosabb elosztások az egyeletes és az aráyos, amelyek egyszerőek, köye végrehajthatók és kedvezı statsztka tulajdoságokkal redelkezek. A Neyma-féle optmáls és a költségoptmáls elosztások feltételezk a rétegekét szórás smeretét, amelyre a legrtkább esetbe áll redelkezésre, vagy érhetı el megbízható és potos formácó. 2.2. Összevoó (agglomeratív) rétegzés A részmták és az általuk együttese alkotott teljes mta elemszámáak meghatározása törtéhet összevoó (agglomeratív) rétegzéssel, amelyek az a léyege, hogy em a teljes mta agyságát rögzítjük elıre, haem a részmták agyságát. Mdezt aak érdekébe tesszük, hogy a rétegek ömagukba s elemezhetık legyeek elfogadható megbízhatóság és potosság szt mellett. Az agglomeratív rétegzés meetét a következı 5 lépés alkotja: 1. defáljuk a teljes sokaságot, 2. válasszuk k a rétegképzı smérveket és alakítsuk k a részsokaságokat, 3. rögzítsük mde egyes részmta megbízhatóság és potosság sztjét, 4. határozzuk meg a részmták agyságát, 5. a részmták összevoása megadja a teljes mta elemszámát. A dvzív és az agglomeratív rétegzés módok elıyös és hátráyos tulajdoságat a következı 2. táblázat tartalmazza. A vzsgálat szempotjat a mta agysága és költsége, valamt a teljes sokaság és a rétegek megbízhatóság és potosság sztje jeletették.
2. táblázat Az rétegzés módok elıye és hátráya Felosztó (dvzív) rétegzés Összevoó (agglomeratív) rétegzés Elıye Elfogadható megbízhatóság és potosság szt a teljes sokaságra ézve; Ksebb mta s elegedı hozzá; Kevésbé költséges Kváló megbízhatóság és potosság szt a teljes sokaságra ézve; A rétegek általába ömagukba s elemezhetık Hátráya A rétegek általába em elemezhetık ömagukba Nagyobb mta szükséges hozzá; Költségesebb Összefoglalva elmodható, hogy a dvzív rétegzés módokat akkor célszerő alkalmaz, amkor a kutatás költségvetés kerete relatíve ksebb (em több mt 400) mta vételét tesz lehetıvé, eze belül pedg az aráyos rétegzés bztosítja a mta súlyozás élkül reprezetatvtását. A dvzív rétegzést alkalmazva akkor jutuk ömagukba s elfogadható megbízhatóság és potosság szt mellett elemezhetı részmtákhoz, ha relatíve agyobb (mtegy 800-1 600) mta áll a redelkezésükre és az egyeletes rétegzést választjuk. Abba az esetbe, amkor kutatás költségvetés kerete agyobb mtaelemszám vételét s lehetıvé tesz, célszerő agglomeratív rétegzést alkalmaz. Ezzel az eljárással ömagukba s elemezhetı részmtákhoz jutuk, em beszélve a teljes mta kváló megbízhatóság és potosság sztjérıl. IRODALOMJEGYZÉK [1] HAJDU: Többváltozós statsztka számítások, Közpot Statsztka Hvatal, 2003 [2] HUNYADI MUNDRUCZÓ VITA: Statsztka, Aula Kadó, 1997 [3] HUNYADI VITA (2002): Statsztka közgazdászokak, Közpot Statsztka Hvatal, 2002 [4] KETSKEMÉTY IZSÓ (2005): Bevezetés az SPSS programredszerbe, ELTE Eötvös Kadó, 2005 [5] MALHOTRA: Marketgkutatás, KJK-KERSZÖV Jog és Üzlet Kadó, 2002