STATISZTIKA II. kötet

Szeged Tudomáyegyetem Gazdaságtudomáy Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA II. kötet

Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egyetem doces Statsztka és Demográfa Taszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomáy Kar

Másodk kötet

Tartalomjegyzék 7. Statsztka mták módszere 6 7.. Általába a mtákról 6 7.. A véletle mtavétel 7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata 5 7.4. Véletle mtavétel tervek 4 8. Mta alapjá törtéő becslések 9 8.. Becslőfüggvéyek és tulajdoságak 9 8.. Potbecslés 38 8.3. Itervallumbecslés 4 8.4. Itervallumbecslés FAE mta eseté 43 8.5. Itervallumbecslés EV mta eseté 57 8.6. Itervallumbecslés R mta eseté 6 9. Hpotézsek vzsgálata 63 9.. Alapfogalmak 63 9.. Egymtás próbák 68 9.3. Két függetle mtás próbák 8 9.4. Több függetle mtás próbák 86 4

. Damkus elemzés 93.. Egyszerű elemzés módszerek 93.. Mozgó átlagok módszere 98.3. Aaltkus tredszámítás 34.4. Szezoáls gadozások elemzése 33. Többváltozós regresszó- és korrelácószámítás 38.. Többváltozós regresszószámítás 38.. Többváltozós korrelácószámítás 334.3. Multkolleartás, autokorrelácó, heteroszkedasztctás 337.4. Általáosított legksebb égyzetek módszere 364.5. Főkompoes aalízs 374 Tesztkérdések 385 Tárgymutató 396 Képletgyűjteméy 44 Statsztka táblázatok 47 Irodalom 43 5

7. Statsztka mták módszere 7.. Általába a mtákról Az.3. fejezetbe már smertettük, hogy mlye módszerekkel juthatuk statsztka adatokhoz. Itt említettük meg azt s, hogy az adatgyűjtés (körét tektve) lehet teljes vagy részleges, de ezekkel em foglalkoztuk részletese. A továbbakba azoba eek a témáak több fgyelmet szetelük. Teljes körű megfgyelés A teljes körű adatfelvétel klasszkus példája a épszámlálás. Népszámlálást már a Róma Brodalomba s végeztek. A cezus szó a épszámlálás szomájává vált, és azóta s mde ország statsztka hvataláak legkomolyabb (legtöbb erőforrást géylő) feladata. Magyarországo a emzetköz gyakorlatak megfelelőe általába évekét tartaak épszámlálást. (Megjegyzés: a épszámlálások között dőszakba egy ú. mkrocezust s leboyolítaak. Ez azoba em teljes körű.) Legutóbb - be volt hazákba lye összeírás. A több mllárd fortba kerülő adatfelvételt a Közpot Statsztka Hvatal (KSH). február elejé kezdte meg. A három hétg tartó mukába megközelítőleg 4 számlálóbztos vett részt. A válaszadás állampolgár kötelesség, az adatszolgáltatás megtagadása pézbírsággal bütethető. A épszámlálással kapcsolatba a parlamet külö törvéyt alkot. Részleges megfgyelés A épszámlálás példájá vlágossá vált, hogy egyes gazdaság, társadalm jeleségek teljes megfgyelése alapuló vzsgálata agyo költséges, esetleg lehetetle. A gyakorlat egyre gyakrabba alkalmazza a részleges adatgyűjtést, külöösképpe aak egyk módját, a reprezetatív megfgyelést. A reprezetatív adatgyűjtés célja, hogy a sokaság egy részéek megfgyeléséből következtessük aak egészére. Azt a sokaságot, amelyre a reprezetatív megfgyelés segítségével következtetük alapsokaságak vagy sokaságak (jelöljük pl. A-val), az alapsokaság azo részét, amelyet megfgyelük mtasokaságak vagy mtáak (jelöljük pl. a-val) evezzük. Eek megfelelő llusztrácó a 7. ábrá látható. 6

7.. Általába a mtákról A mtavétel grafkus modellje A a a A 7. ábra Az alapsokaság lehet véges vagy végtele, de a mtasokaság mdg véges elemszámú. Mtavétel és emmtavétel hba A mta alapjá a sokaság jellemzők, a em teljes körű megfgyelés matt, csak bzoyos hbával közelíthetőek. Fotos azoba megkülöböztetük ezt a részlegességből adódó hbát a több hbalehetőségtől, ezért ezt mtavétel hbáak fogjuk evez. Azokat a hbalehetőségeket, amelyek md a teljes, md a részleges megfgyelés sorá feállak emmtavétel hbákak evezzük. Ezek (mt például a defícós, válaszadás, végrehajtás hba) a statsztka muka mde fázsába előfordulhatak. A tervezés sorá defícós hba az, ha a kérdőív potatlaul, hbása va megszerkesztve, az adatgyűjtéssel kapcsolatos fogalmak em tsztázottak, stb. Az adatgyűjtés sorá törtéhetek válaszadás hbák, amkor az adatszolgáltató szádékosa vagy öhbájá kívül a valóságak em megfelelő adatokat szolgáltat az adatfelvétel tárgyáról, a megfgyelés egységről. Az adatfelvétel (a tervezetek) em megfelelő elvégzése végrehajtás hbát jelet. Természetese a feldolgozás fázsába s törtéhet potatlaság, például adatrögzítés hba. A mtavétel megbízhatóságát a emmtavétel és a mtavétel hba agysága együttese jellemz. A emmtavétel hbák agyságára csak előző tapasztalatok 7

7. Statsztka mták módszere alapjá vagy szubjektív módó következtethetük, míg a mtavétel hba elmélet megfotolásokra támaszkodva matematka-statsztka eszközökkel becsülhető. Ezzel a továbbakba majd külö s foglalkozuk. A emmtavétel hba bemutatására smertetük két részleges adatgyűjtést. Háztartás-statsztka Az egyk legagyobb elemszámú mtavételre példa a KSH háztartás-statsztka felvétele. Évete körülbelül ezer háztartást kérek fel arra, hogy bevételekről és kadásakról aplót vezesseek. A felvétel,-,3%-os mtájáak statsztka mutató természetese ksebb potosságúak, mt a teljes körű épszámlálás vagy a %-os mtájú mkrocezus adata. A mtavétel hbá kívül tovább torzítást eredméyez, hogy a háztartás költségvetés felvételek em tartalmazzák a legjobb és legrosszabb életkörülméyek között élők adatat. Ez a felvétel ugyas ökétes, így a leggazdagabb rétegek (emzetköz tapasztalatok s ezt mutatják) általába elzárkózak az adatszolgáltatástól. A lakcímmel em redelkező hajléktalaok szté em kerülek bele a felmérésbe. A részvétel megtagadása mellett a másk legagyobb torzító téyező a jövedelmek tedecózus elttkolása, általába a gazdagabb háztartásokba, de az alacsoyabb jövedelműek körébe s. Az említett jellemzők matt a háztartás-statsztka közleméyekbe a valóságosál kevesebb magas jövedelmű és több alacsoy jövedelmű háztartás szerepel. Ezt szem előtt kell tarta az adatok felhaszálása sorá. Közvéleméy-kutatás A közvéleméy- és packutatással általába erre szakosodott tézetek foglalkozak. Ezek adatakat szte kzárólag mtavételes felvétel útjá yerk. Az egyk leggyakorbb közvéleméy-kutatás téma az állampolgárok pártpreferecájára voatkozk. Eek felmérésére általába havota körülbelül főt kérdezek meg személyes megkereséssel. A mtába kerülő személyeket a szavazásra jogosult állampolgárok közül teljes véletlet bztosító módszerrel választják k úgy, hogy az alapsokaság és a megkérdezettek összetétele megegyezze. A pártpreferecák felmérése sorá több torzító téyező s előfordul, amely emmtavétel hbát eredméyez. Ilye például az, hogy a szélsőséges pártok szmpatzása általába elhallgatják véleméyüket, és bzoytalaak modják magukat a szavazatukat lletőe. 8

7.. Általába a mtákról A következő példáál (elletétbe ez előző kettővel) a részleges megfgyelés már em tartalmaz válaszadás hbát. Gyógyszerek hatásosságáak vzsgálata Újoa kfejlesztett gyógyszerek hatásosságáak vzsgálatára s gyakra alkalmazzák a mtavétel módszeret. Egy adott betegségbe szevedők közül kválasztaak éháyat, és kezelések vetk alá őket. Ezzel párhuzamosa megfgyelek egy olya csoportot (kotrollcsoport), amelyek tagja hatóayag élkül gyógyszert, ú. placebót kapak. Ilye esetbe a statsztka eszközevel arra kereshetjük a választ, hogy a két csoport egészség állapotába bekövetkezett változások között va-e statsztkalag jeletős, ú. szgfkás külöbség. 9

7. Statsztka mták módszere 7.. A véletle mtavétel Ahhoz, hogy a mtavétel hba matematka-statsztka eszközökkel kezelhető legye olya mtát kell választa, amely valamlye értelembe reprezetálja a sokaságot. Erre egy lehetséges eljárás a véletle mtavétel. A továbbakba törvéyszerűségeket foguk megfogalmaz olya mtákra voatkozóa, amelyek elemet az alapsokaságból úgy választottuk k, hogy mde sokaság elem előre adott valószíűséggel kerülhetett a mtába. (Megjegyzés: a véletle fogalmával most em foglalkozuk részletese, aak értelmezése a valószíűségszámításból smertek; véletlee valamlye valószíűséggel bekövetkező eseméyt értük.) Véletle számok előállítása és alkalmazása Ha a sokaság mde egyes tagjához egy sorszámot redelük, akkor a mtavétel véletleszerűségéek bztosításához egy olya számsort kell megaduk, amelyek eleme egyelő valószíűséggel kerültek kválasztásra. Ilye számsort háromféleképpe s kaphatuk. Sorsolás: például cédulákra felírt sorszámokat húzuk k egy urából, amelyet előtte jól megkevertük. Véletle számok táblázata: létezek olya táblázatok, amelyek ú. pszeudovéletle számsorozatokat tartalmazak. (Ezeket a számsorozatokat matematka képletekkel állították elő.) Úgy haszáljuk őket, hogy ksorsoljuk valamely sorát és oszlopát, és az ott található számtól kezdve folyamatosa kolvassuk a táblázatba szereplő számokat. Ha a táblázatba szereplő számok közül olyahoz érük, amelyk agyobb a sokaság elemszámáál, akkor azt átugorjuk. Gép sorsolás: a számológépek legtöbbjébe va beépített véletleszám-geerátor. Eek többször meghívásával készíthetjük el a mtába kerülő elemek sorszámaak sorozatát. Véletle számokat az Ecel segítségével s kaphatuk. A VÉL() paraméter élkül függvéy meghívásával -ál agyobb vagy egyelő és - él ksebb egyeletes eloszlású véletle számot kapuk. (Ezt fel kell szorozuk a sokaság elemszámával és hozzá kell aduk egyet, ahhoz hogy sorszámot kapjuk.)

7.. A véletle mtavétel Eél összetettebb és több beállítás lehetőséget tartalmaz az Eszközök meü Adatelemzés almeüjébe a Véletleszám-geerálás pael. Itt egy egész tartomáyt tölthetük fel egymástól függetle véletle számokkal. Az ezt megelőzőe smertetett eljárások egyeletes eloszlású véletle számokat adak, mert a leggyakrabba ezt haszáljuk. A véletleszám-geerálás párbeszédpaeljébe azoba mód va többféle eloszlás beállítására és azok paramétereek megadására. A mtajellemzők, mt valószíűség változók Egy adott sokaságból egy véletleszerűe kválasztott egyed smérvértéke (a pror) véletleek tekthető. Ezt a véletletől függő smérvértéket ezért mt valószíűség változót fogjuk tekte. Egy többelemű mta valamlye jellemző adata szté valószíűség változó. Egy adott elemszámú (azoos módo végrehajtott) mtavétel agyo sokféle mtajellemzőt eredméyezhet, a mták statsztka jellemző mtáról mtára változhatak, attól függőe, hogy mely sokaság elemek kerültek a mtába. A véletle mtavétel eredméyekét kapott részsokaságot valószíűség mtáak s evezzük. A fetekkel való összhag érdekébe azt fogjuk feltételez, hogy dszkrét sokaságak valószíűségeloszlással, míg folytoos sokaságak eloszlásfüggvéyükkel adottak. (Megjegyzés: az eddgekbe kább azt a megközelítést követtük, hogy a sokaságak elemek felsorolásával adottak. Ez természetese csak véges sokaság eseté lehetséges. Igaz persze, hogy a gyakorlatba szte kzárólag véges sokaságokkal találkozuk, ám a statsztka tárgyából adódóa ezek agy elemszámú sokaságok, gyakorlatlag végteleek tekthetőek. Ezzel szembe a mtát mdg elemeek felsorolásával adjuk meg, mert az mdg véges.) Mtaelemek kválasztása vsszatevéssel vagy vsszatevés élkül A mtavétel sorá a mtaelemek kválasztásáál két eltérő módszer létezk. Az egyk szert a már khúzott elemeket azoal vsszahelyezzük az alapsokaságba, így ugyaazo elem többször s beválogatható a mtába. Ezt a módszert vsszatevéses

7. Statsztka mták módszere mtavételek (leggyakrabba FAE 6) -ek) evezzük. A másk módszer szert a kválasztásra került mtaelemeket em rakjuk vssza, így mde sokaság egység csak egyszer kerülhet az adott mtába. Ezt a módszert vsszatevés élkül mtavételek (leggyakrabba EV 7) -ek) evezzük. Egy N elemszámú sokaságból vsszatevéses mtavétellel elemet k N FAE (5) féleképpe választhatuk k. Egy N elemszámú sokaságból vsszatevés élkül mtavétellel elemet N k EV (53) féleképpe választhatuk k. 58. példa A 7.. fejezetbe említett háztartás-statsztka felvétel eseté mey a lehetséges mták száma, ha az ország megközelítőe 3,8 mlló háztartásából veszük ezres elemszámú mtát? Legye N 3,8 és. 6 Az összes lehetséges FAE mták száma (5) szert: 4 k FAE 4 4 4 6 ( 3,8 ) ( 3,8) ( ) ( 3,8 ) 6 6 4. A megfelelő műveletek elvégzése utá a következő eredméyt kapjuk: 65 797 k 6,9. FAE 6) Az FAE rövdítés arra utal, hogy a vsszatevéses mtavétel eseté a mtaelemek függetle és azoos eloszlású valószíűség változók, hsze a mtaelemeket egymástól függetleül választjuk k és mdg ugyaabból a sokaságból, az alapsokaságból. 7) Az EV rövdítés a vsszatevés élkül módszert haszáló mtavétel terv elevezésére, az egyszerű véletle mtavételre utal.

7.. A véletle mtavétel Az összes lehetséges EV mták száma (53) szert: 6 6 ( 3,8 )! 4 6 4 ( )! 3,8! 3,8 k EV 4. Eek kszámításához felhaszáljuk az ú. STIRLING-féle összefüggést:! π e + + +..., 88 ahol > értékekre a zárójelbe levő kfejezés elhayagolható. Ezt felhaszálva: k EV π 4 6 6 6 6 3,8 3,8 π 3,8 ( 3,8 ) e 4 4 4 6 6 ( ) e π 3,79 ( 3,79 ) 6 3,79 e 6 3,79. A megfelelő műveletek elvégzése utá a következő eredméyt kapjuk: 33 k 4,6. EV Megjegyzés: a kapott eredméyek agyságredjéek érzékeltetése végett, összevetésül megemlítjük, hogy a Vlágegyetemük tömege megközelítőleg csak gramm! (Paul Daves: Az utolsó három perc, Kulturtrade Kadó Kft, Bp., 994.) 56 Adott alapsokaság eseté az Ecel segítségével s k tuduk választa véletle mtát. Vgyük be az alapsokaságuk adatat egy mukatartomáyba, majd az Eszközök meü Adatelemzés... almeüjébe hívjuk meg a Mtavétel meüpotot. A Bemeet tartomáy mezőbe adjuk meg az alapsokaságot tartalmazó mukatartomáyt. Két mtavétel módszer közül választhatuk: A Perodkus dőszak: választókapcsoló segítségével szsztematkus kválasztást (ezt a 7.4. fejezetbe részletesebbe smertetjük) végezhetük, míg a A Véletle mták száma: választókapcsolóval smétléses véletle mtát kapuk. Az előbb esetbe meg kell aduk a lépésközt. Ha a program az alapsokaság végére ér, akkor befejez a mtavételt. 3

7. Statsztka mták módszere (Megjegyzés: ez a mtavétel módszer csak bzoyos esetekbe tekthető véletle mtavétel módszerek.) A Véletle mtavétel módszert alkalmazva azt tudjuk megad, hogy a program háy véletleszerűe kválasztott cella adatát másolja a Kmeet tartomáy mezőbe. 4

7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata 7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata A mtákból a sokaságra voatkozó következtetések levoását evezzük statsztka dukcóak. Ezzel a statsztka következtetéselmélet foglalkozk. A továbbakba azt fogjuk megvzsgál, hogy melyek azok a törvéyszerűségek, amelyek feljogosítaak mket arra, hogy az alapsokaság egy megfelelő módo kválasztott részsokasága alapjá az alapsokaságra voatkozó állításokat fogalmazzuk meg. Elemezzük egy adott sokaság eseté az (ebből azoos módo kválasztható) elemű mták összességét. Ha mde egyes mtára kszámítjuk valamelyk mtajellemzőt, akkor az adott jellemző eloszlását kaphatjuk meg. A mtajellemzők eloszlását mtavétel eloszlásak evezzük. Vzsgáljuk most meg, hogy mlye tulajdoságokkal redelkezk az egyk legfotosabb mtajellemző, a mtából számított átlag (az ú. mtaátlag). Haszáljuk a következő jelöléseket: a sokaság elemszáma legye N, várható értéke µ, szóráségyzete σ. A mta elemszáma legye, a mtaátlag, szóráségyzete pedg v. Eek megfelelő llusztrácó a 8. ábrá látható. (Megjegyzés: ebbe a fejezetbe tehát v em a relatív szórást jelöl!) A sokaság és a mta fotosabb jellemző N µ σ v < N 8. ábra 5

7. Statsztka mták módszere Va-e valamlye kapcsolat a 8. ábrá feltütetett (sokaság és mta-) jellemzők között? A (54)-(56) képletek defálják ezeket a fotos összefüggéseket. A mtaátlagok mtavétel eloszlása A 8. ábrá látható mta csak egy az összes lehetséges mta közül. A mtavétel módszertől függőe ezek száma (5)-(53) szert adott. Természetese mdegykek megva a saját mtajellemzője. Az összes lehetséges mtaátlag gyakorság sorát az 5. táblázat tartalmazza. Az összes lehetséges mták átlagaak eloszlása Mtaátlagok Gyakorságok 5. táblázat f f M k Összese M f k k FAE vagy k EV A fet eloszlásak ktütetett szerepe va a statsztkába, mert ez az összekötő kapocs a mták és a sokaság között. Mt mde gyakorság sorak, eek s va átlaga és szórása. Megkülöböztetésül jelöljük ezeket a következő szmbólumokkal: σ. µ, lletve Az összes lehetséges elemű vsszatevéses mták eseté a mtabel átlagok eloszlásáak várható értéke: E ( ) µ µ (54) és szórása: σ σ. (55) 6

7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata A vsszatevés élkül mtákra feáll a következő két összefüggés: E ( ) µ µ és σ N σ. (56) N A mtajellemzők szórásával a mtavétel hbát tudjuk jellemez, amely szórásak a statsztkába külö elevezése va: ezt evezzük a mtajellemző stadard hbájáak 8). A stadard hba égyzetét mtavétel szóráségyzetek evezzük. A mtaátlagok eloszlásával kapcsolatba megemlítük éháy fotos téyt. A mtaátlagok eloszlása függ az alapsokaság eloszlásától. Ha az alapsokaság Ha ormáls eloszlású, akkor a mtabel átlagok s ormáls eloszlást követek. 3, akkor az alapsokaság eloszlásától függetleül a mtaátlagok közelítőleg ormáls eloszlásúak leszek µ várható értékkel (ez a valószíűségszámításból smert közpot határeloszlás tételéek következméye) és σ szórással. Ematt a továbbakba a 3 elemszámúál em ksebb mtákat agy mtákak, a 3-ál kevesebb elemet tartalmazó mtákat pedg ks mtákak fogjuk evez. A mtaátlagok eloszlása aál jobba közelít a ormáls eloszlást mél agyobb a mta elemszáma. Az lye típusú eloszlásokat aszmptotkusa ormáls eloszlásokak evezzük. A ormáls eloszlás Az egyk agyo fotos folytoos eloszlás az ú. ormáls eloszlás, vagy GAUSS-féle eloszlás. Eek két paramétere va, amelyeket µ -vel és σ -val jelölük. Az eloszlás sűrűségfüggvéye: 8) A statsztkába fotos szerepe matt kemeljük, hogy a stadard hba egy közöséges szórás, csak em akármelyk eloszlás szórása, haem a mtavétel eloszlás szórása! 7

7. Statsztka mták módszere ( ) µ σ f e. (57) σ π A (57) grafkus ábrája az ú. GAUSS-görbe. A ormáls eloszlást jellemző fotosabb mometumokat és mutatószámokat az 53. táblázat tartalmazza. A ormáls eloszlás jellemző várható érték µ 53. táblázat szórás σ ferdeség-mutató ( α 3 ) csúcsosság-mutató ( α 4 ) 3 (57) rövdebb jelölése: N( µ, σ ). Megjegyzés: egy ormáls eloszlású valószíűség változó a (, ) tervallumba bármlye értéket felvehet. A gyakorlatba (gazdaság, társadalm jeleségek vzsgálatáál) lye természetese sohasem fordul elő, de gyakra találkozuk jó közelítéssel ormáls eloszlásúak tekthető sokaságokkal. Például az emberek magasságáak, testtömegéek, értelm sztjéek, stb. gyakorság görbéje megközelítőleg GAUSS-görbe alakú. Általába mde olya jeleség megközelítőleg ormáls eloszlású, amelyet befolyásoló téyezőkre jellemzőek az alábbak: a téyezők száma agy és egymástól függetleek, egyekét hatásuk az összhatáshoz képest kcs, külöböző ráyúak és teztásúak. 8

7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata Ha ormáls eloszlású valószíűség változókat (55) szert stadardzáljuk, akkor a traszformált változó stadard ormáls eloszlású lesz. (Megjegyzés: az lye változókat a statsztkába gyakra z-vel vagy u-val jelöljük.) Eek sűrűségfüggvéye: z ϕ ( z) e, (58) π grafkoja a 9. ábrá látható. Megjegyzés: fotossága matt kemeljük a z értékhez tartozó valószíűséget. A ϕ( ),39897,4 mde átlagos (ormáls eloszlású) tulajdoság előfordulásáak valószíűségét mutatja. Mvel (az előzőek alapjá) az összes lehetséges mtaátlag s ormáls eloszlású, a sokaság várható értékével egyelő mtaátlag előfordulásáak va a legagyobb valószíűsége, körülbelül 4%. A sokaság várható értékétől jeletőse eltérő mtaátlagok előfordulásáak valószíűsége eél jóval ksebb. A stadard ormáls eloszlás sűrűségfüggvéyéek grafkoja ϕ(z),5,4,3,, -3,5 -,5 -,5 -,5,5,5,5 3,5 z 9. ábra A z stadardzált változó várható értékű és szórású ormáls eloszlású valószíűség változó, azaz 9

7. Statsztka mták módszere z N(,). A stadardzált változó uverzálsa haszálható (mvel mértékegység élkül), azaz külöböző típusú sokaságok eseté s alkalmazható összehasolítás céljára. A ormáls eloszlás egyk fotos tulajdosága a következő: µ m z σ (59) tervallumba található ( z,, 3 eseté) az összes (9. ábrá látható) görbe alatt terület 68,7; 95,45 és 99,73%-a. Gyakra azoba szükség va stadard ormáls eloszlású változó eloszlásfüggvéyéek értékere akkor s, ha z em egész szám. Ezekre az esetekre táblázatokat szoktuk haszál. Lásd az I. táblázatot! Ebbe a külöböző z értékek az első tzedes jegyg az első oszlopba szerepelek, míg a másodk tzedes az első sorba va. A táblázat belseje tartalmazza az eloszlásfüggvéy értékeek törtrészét. Ebből a táblázatból vsszafelé s tuduk keres: ha a lefedett terület agysága adott, akkor meg tudjuk moda az tervallumhoz tartozó z értéket. A statsztka rodalomba a (59) szert táblázatot legtöbbször em közlk. Ez azzal magyarázható, hogy az eloszlásfüggvéy (defícójából adódóa) em a (59) szert, haem a (, z) tervallumba adja meg a 9. ábrá látható görbe alatt területet. Eek megfelelő értéket a II. táblázat tartalmazza. M az összefüggés a két táblázatba közölt adatok között? Az összefüggés felírása végett, a (59) szert valószíűségre vezessük be az ( α ) jelölést. Ebből következk, hogy a kegészítő valószíűség α -val egyelő. Például z eseté a valószíűség ( α ) 95,45%; azaz α,9545, 455 ; tehát ( ) 4,55%. Fgyelembe véve a feteket, az I. táblázat közvetleül α -ra, a II. táblázat pedg α -re adja meg a (59) képlethez szükséges megfelelő z értéket. Az I. és a II. táblázat értéket az Ecel segítségével számítottuk k. A statsztka függvéyek közül a STNORMELOSZL(z) függvéy stadard ormáls eloszlású

7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata változó eloszlásfüggvéyéek értéket adja, míg verzét az INVERZ.STNORM(valószíűség) függvéy segítségével határozhatjuk meg. 59. Példa Mlye z értékre lesz a (59) által adott tervallumhoz tartozó terület az összterület legalább 9%-a? A z,96 értékhez háy százalékos részterület tartozk? Az I. táblázatba közölt elmélet értékek alapjá mdkét kérdés megválaszolható. Keressük meg a táblázatba a 9%-ak (lletve táblázatuk potossága szert,9- ek) megfelelő értéket. (Lásd a 3. ábrát.) Az I. táblázat része z... 4 5 6... 9 M,5 86639 87644 87886 884 8887,6 894 89899 96 939 9897,7 987 984 9988 959 9655 M 3. ábra Legalább 9%-ak megfelelő terület a vastago szedett,96. Ebbe a sorba z-ek megfelelő szám,6; függőlegese pedg 5; ezért z értéke,65 ( z,6 +,5,65 ). A táblázatba közölt adatok alapjá a 9%-ak megfelelő potosabb értéket em tuduk megállapíta, de az Ecel INVERZ.STNORM(,95) függvéyhívás segítségével ez köye meghatározható: z,644853.

7. Statsztka mták módszere Megjegyzés: az említett Ecel függvéy paraméteréél fgyelembe kell ve azt, hogy α valószíűség ( α) helyett valószíűség ( ) -t kell ve, ahol α,9. A z,96 értékhez tartozó terület agyságát szté meg tudjuk határoz az I. táblázatból és az Ecel segítségével s. A táblázatba a 3. ábrá látható módo (vastago szedett,9 és 6 számokál) keressük a megfelelő értéket. A keresett érték tehát,95; vagys z,96 -hoz 95%-os terület tartozk. Az I. táblázat része z... 5 6 7... 9 M,8 984 93569 937 9385 944,9 9457 9488 95 956 9534, 9545 95964 966 9655 96338 M 3. ábra Mt már említettük, az összes lehetséges mták átlaga ormáls eloszlásúak, ezért felírható a következő összefüggés: N( µ, σ ). (6) Ezek szert, a ormáls eloszlásra voatkozó (eddg említett) tulajdoságok a mtaátlagokra s érvéyesek. A (59) alapjá, gaz a következő összefüggés: µ m z σ. (6)

A 3. ábra a z 7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata értékhez tartozó területet llusztrálja. A mtaátlagok (6) szert ábrázolása ϕ(z),5,4,3, 95,45%, -3 - - 3 < µ m σ > z 3. ábra 6. Példa Az összes lehetséges mtaátlag háy százaléka található a µ,58 σ tervallumba; lletve melyk az az tervallum, amely ezekek 99,5%-át tartalmazza? Az I. táblázatba a,58 értékek (,5 és 8 számok kereszteződésébe),99 vagy 99,%-os valószíűség felel meg. Tehát (a mtavétel módszertől függőe),99 k FAE vagy,99 kev m mtaátlag található a vzsgált tartomáyba. Az I. táblázatba a 99,5%-ál em ksebb legközelebb érték,9955. Ehhez z,8 tartozk. A keresett tervallum: µ m,8 σ. Megjegyzés: az összes lehetséges mtaátlag %-át elméletleg a tervallum tartalmazza. z értékkel adott 3

7. Statsztka mták módszere 7.4. Véletle mtavétel tervek Függetle, azoos eloszlású mta (FAE) Egyelő valószíűséggel vett vsszatevéses mta eseté függetle, azoos eloszlású mtát (FAE) kapuk. Végtele sokaságból vett vsszatevés élkül mta s FAE mtáak tekthető, hsze ebbe az esetbe a kválasztott elemek em befolyásolják a megmaradó sokaság eloszlását. A gyakorlatba a agy elemszámú sokaságok s (jó közelítésbe) végteleek tekthetőek. Az emprkus elemzésekél (a agy elemszámú sokaságból vett) vsszatevés élkül mtavétel módszert alkalmazzuk leggyakrabba. Egyszerű véletle mta (EV) Ha homogé, véges elemszámú sokaságból vsszatevés élkül kválasztást alkalmazuk, akkor egyszerű véletle mtát (EV) kapuk. Egyszerű véletle mta kválasztásához gyakra alkalmazzák az ú. szsztematkus kválasztást. Eek léyege az, hogyha redelkezük egy lstával a sokaság elemeről, akkor mde k-adk elemet kválasztva véletle mtához jutuk, ameybe a lsta sorba redezéséek alapjául szolgáló és a vzsgál kívát smérv függetle egymástól. N A k lépésköz értékét a k képlettel határozhatjuk meg. A kválasztás kdulópotját véletleszerűe jelöljük k, majd ettől kezdve mde k-adkat kválasztjuk. Ha a lsta végére érük, akkor folytatjuk a lsta elejéről folyamatosa. Eek a módszerek az előye egyszerűségébe va. Rétegzett mta (R) Mde mtavétel tervél felmerül a következő kérdés: hogya lehete olya módo kválaszta a mtát, hogy az mél jobba reprezetálja a sokaságot. A 4.. fejezetbe már láttuk, hogy a heterogé sokaságok (valamlye megfelelőe megválasztott csoportképző smérv szert) gyakra megközelítőleg homogé részsokaságokra bothatóak. Ezt haszáljuk k a rétegzett mtavétel eseté, amelyek végrehajtása a következőképpe törték: először a sokaságot mél homogéebb (a vzsgált smérv szempotjából ksebb szórású) részsokaságokra (átfedésmetese és hézagmetese) 4

7.4.Véletle mtavétel tervek botjuk szét. Ezeket a részsokaságokat evezzük rétegekek vagy sztrátumokak. A rétegeke belül ezutá egyszerű véletle mtavételt hajtuk végre. Heterogé sokaságok eseté a rétegzett mtavétel (ugyaakkora agyságú mtát feltételezve) általába ksebb mtavétel hbát eredméyez, mt az EV vagy FAE mta. Az R mta hatásossága azo múlk, hogy skerül-e megfelelőe homogé rétegeket kalakíta. A rétegzett mtavétel tárgyalásához a következőkbe smertetett jelölésredszert alkalmazzuk. A rétegek számát jelölje M, elemszámakat pedg redre: N, N,..., N M ; míg a rétegekből kválasztott elemek száma legye,,..., M. Ezek alapjá a vzsgált sokaság elemszáma: M j N j N, míg a mtaagyság: M j j. A sztrátumok és a rétegekből vett mták más jellemzőre s deeléssel utaluk. A rétegzett mtavételél döteük kell, hogy hogya osztjuk szét a mta teljes elemszámát () a rétegek között. Erre többféle elosztás terv létezk. 5

7. Statsztka mták módszere Egyeletes elosztás: az egyes rétegekből azoos számú elemet választuk a mtába. A j-edk sztratumból kválasztott mta elemszáma: j j,,..., M. (6) M Aráyos elosztás: a rétegek elemszámáak sokaságbel aráyát fgyelembe véve törték a kválasztás. A j-edk rétegből kválasztott mta elemszáma: N j j M j N j N j N. (63) Az aráyos elosztás több haszos tulajdosággal redelkezk, ezért a gyakorlatba gyakra alkalmazzák. Ez a mtavétel terv az egyeletes elosztáshoz hasolóa szté egyszerű, tt a sokaságba és a mtába ugyaazok a súlyaráyok szerepelek. Eek következméyekét belátható, hogy az aráyos elosztással yert mtából számított főátlag hbája (a rétegezéstől függetleül) em lehet agyobb, mt EV mta eseté. NEYMAN-féle optmáls elosztás: ha smerjük az egyes részsokaságok vzsgált smérv szert szórását, vagys az egyes rétegek heterogetásáak mértékét, akkor ezt fel tudjuk haszál arra, hogy a sokaságot jobba reprezetáló mtát válasszuk k. A NEYMAN-féle optmáls elosztás eseté a ksebb szórású rétegekből ksebb, míg a agyobb szórású rétegekből agyobb mtát veszük. A j-edk rétegből kválasztott mta elemszáma: j M N σ j j j j N σ j. (64) Ez a mtavétel a főátlagot a legksebb mtavétel hbával közelít, de a gyakorlatba mégs rtká alkalmazzuk, mert a rétegekét szórások általába smeretleek. 6

7.4.Véletle mtavétel tervek Csoportos mta (CS) Az eddg mtavétel tervekél feltételeztük, hogy redelkezésükre áll a sokaság összes egyedét tartalmazó lsta, am alapjá a kválasztás elvégezhető. A gyakorlatba lyeel általába em redelkezük, és elkészítése s agyo költséges esetleg lehetetle lee. Ilyekor a sokaságot agyobb összetartozó egységekre botjuk szét, amelyekél a lsta köyebbe beszerezhető. Ha eze összetartozó csoportok (pl. területleg) kocetrálta helyezkedek el, akkor egy csoport teljes körű megfgyelése olcsóbb lehet, mt a más tervek szert kválasztott em kocetrálta elhelyezkedő mtaelemek megfgyelése. A csoportos mtavétel eseté tehát a homogé sokaságot csoportokra botjuk szét (általába természetese adódó módo), és a csoportok halmazából választuk EV mtát, majd a kválasztott csoportokat teljes körűe megfgyeljük. A csoportos mtavétel általába egyszerűbbé és olcsóbbá tesz a felvételt. Potossága a csoportoko belül homogetástól függ. A csoportos mtavétel eseté a rétegzettel elletétbe az ad hatásosabb becslést, ha a csoportok heterogéek, hsze mde elemüket megfgyeljük, így homogé csoportok eseté ez redudás és rotja a hatásosságot. Fotossága matt még egyszer kemeljük, hogy a rétegzett mtavétel akkor hatásos, ha (a megfgyelt smérv szempotjából) a sokaság heterogé és a rétegek homogéek, míg a csoportos mtavétel akkor hatásos, ha a sokaság homogé és a csoportok heterogéek. Többlépcsős mta (TL) A többlépcsős mtavételt hasoló esetekbe alkalmazzuk, mt a csoportos mtavételt. Eél a mtavétel tervél több lépésbe jutuk el a megfgyelés egységekhez. A leggyakorbb a kétlépcsős mtavétel, amelyek sorá (a csoportos mtához hasolóa) csoportokat (elsődleges megfgyelés egység) választuk k a sokaságból, de em fgyeljük meg ezeket teljes körűe, haem újabb mtavételt alkalmazuk a csoportoko belül. A többlépcsős mtavétel előye, hogy az elsődleges megfgyelés egység homogetása eseté csökket a megfgyelés redudacáját, így övel a hatásosságot. A TL mta elosztásáak kérdése boyolultabb az egylépcsős mtákéál, általába arra törekszük, hogy a végső mta a sokaság aráyokak megfelelő legye. 7

7. Statsztka mták módszere Az említett mtavétel terveke kívül még számos más s smeretes, de köyvükbe ezekkel em foglalkozuk. A következő két fejezetbe csak az FAE, EV és R mták alkalmazásával foglalkozuk. 8

8. Mta alapjá törtéő becslések 8.. Becslőfüggvéyek és tulajdoságak Ahogy azt a 7. fejezetbe már megállapítottuk, céluk az, hogy mta alapjá következtessük az alapsokaságra, lletve aak valamelyk jellemzőjére. Ebbe a fejezetbe olya módszerekkel foglalkozuk, amelyek segítségével egy sokaság valamely jellemzőjét vagy eloszlását, lletve egy statsztka modell valamlye paraméterét tudjuk közelítőleg meghatároz. A becslésük tárgyát képező sokaság jellemzőt a továbbakba Θ -val jelöljük. A sokaság jellemző mtából törtéő közelítő meghatározására szolgáló statsztkát becslőfüggvéyek evezzük. Az,..., mtaelemekhez tartozó, becslőfüggvéyre a következő jelöléssel hvatkozuk: Θˆ (,,..., ) Θˆ Θˆ. A becslőfüggvéy tehát olya statsztka, amely a sokaság jellemzőt a mtajellemzők valamlye függvéyével közelít, és mvel értéke a mtaelemektől függ, vagys mtáról mtára változk, ez s valószíűség változóak tekthető. (A mtavétel végrehajtása utá természetese md a mta, md a becslőfüggvéy értéke realzálódak, tehát a posteror módo már em tekthetőek valószíűség változókak.) Először a potbecsléssel, majd az tervallumbecsléssel foglalkozuk. Potbecslés eseté (a becslőfüggvéyük segítségével) a mtához egyetle számszerű értéket redelük, és ezt tektjük a becsül kívát paraméter értékéek. Itervallumbecslés eseté azoba egy olya tervallumot határozuk meg, amely előre adott agy valószíűséggel tartalmazza a becsül kívát paramétert. Egy sokaság jellemző becslésére természetese többféle becslőfüggvéy s készíthető. A kérdés az, hogy hogya lehet ezeket a statsztkákat összehasolíta, és kválaszta közülük a legjobbat. A becslőfüggvéyeket, mt mde más valószíűség változót, kézefekvő eloszlásukkal, várható értékükkel és varacájukkal jellemez. 9

8. Mta alapjá törtéő becslések Torzítatlaság A legalapvetőbb krtérum a becslőfüggvéyekkel szembe, hogy értékük (a külöböző mtáko) a sokaság jellemző körül gadozzo. Torzítatlaak evezük egy becslőfüggvéyt, ha aak várható értéke a becsül kívát sokaság jellemzővel egyelő. Vagys: E ( Θ) ˆ Θ. (65) A torzítás mértékét a Bs ( Θˆ ) Θ E( Θˆ ) (66) mérőszámmal szoktuk kfejez. 9) Bzoyos statsztkákál előfordul, hogy a torzítás mértéke függ a mtaagyságtól. Ha a mtaagyság mde határo túl törtéő övelésekor a becslőfüggvéy torzítatlaá válk, vagys lm Bs ( Θˆ ), akkor azt modjuk, hogy aszmptotkusa torzítatla. A torzítatla becslőfüggvéyek természetese szté aszmptotkusa torzítatlaok. Azt már láttuk, hogy az FAE és az EV mtából számított mtaátlag a sokaság várható érték torzítatla becslése, mvel (54) szert: E ( ) µ. A 3. fejezetbe taglaltak szert, az átlag, lletve a várható érték mellett a sokaságok másk legfotosabb jellemzője a szórás, lletve aak égyzete a varaca. A mtából számított szóráségyzet, amelyet tapasztalat szóráségyzetek evezük, torzította becsül a sokaság varacát. A torzítás mértéke FAE mta eseté: σ Bs(v). 9) A torzított szó agol megfelelője: based. 3

8.. Becslőfüggvéyek és tulajdoságak Ha képezzük az s ( ), (67) lletve s k f ( ) (68) becslőfüggvéyt, akkor a sokaság varaca torzítatla becslését kapjuk. E ( s ) σ (69) A (67)-(68) segítségével defált mtajellemzőt korrgált tapasztalat szóráségyzetek, égyzetgyökét korrgált tapasztalat szórásak evezzük. EV mta eseté s égyzetét (7) szert még egy korrekcós téyezővel kell szorozuk, hogy torzítatla becslőfüggvéyt kapjuk. N E s σ (7) N 6. példa A. példáál a. táblázat a kötelező gépjármű-bztosítással foglalkozó társaságok díjbevételeek adatat tartalmazza 999 első egyedévére. Ugyaezeket az adatokat tartalmazza az 54. táblázat s, de most em ezer, haem mlló Ft-ba. Megjegyzés: ezt a példát csak szemléltető gazolás céljából tárgyaljuk, a valóságba lye ks elemszámú sokaságál mdg teljes körű felmérést alkalmazuk (em pedg mtavételt)! 3

8. Mta alapjá törtéő becslések 999 első egyedévéek díjbevétele 54. táblázat Bztosítók Díjbevételek (mlló Ft) Argosz 48 Aa Coloa 479 ÁB-Aego 986 Geeral-Provdeca 3 456 Hugára 8 38 Közlekedés Bztosító Egyesület OTP-Garaca 55 Összese 5 74 Forrás: ÁBIF Az adott sokaságból származó összes lehetséges mta alapjá vzsgáljuk meg, hogy N torzítatla becslőfüggvéy-e az, a v, az s, az s és az s! N A sokaság 7 elemű: N 7. A sokaság eleme: 48, 479, 986, 3456, 838,, 55. A sokaság átlag: X 48, 86. A sokaság szórás: σ 63,4; a varaca: σ 6 94 33, 98. Számításakhoz vegyük pl. kételemű mtákat! Tektsük először az FAE mtákat. Az összes lehetséges kételemű FAE mták száma a (5) képlet szert: k 7 49. FAE Ezeket a mtákat és a mtákból kszámított mutatókat az 55. táblázat tartalmazza (ahol,,...,49 ). 3

Mtaelemek 8.. Becslőfüggvéyek és tulajdoságak Az összes lehetséges kételemű FAE mta és éháy jellemzője v s 55. táblázat 48, 48 48,,,, 48, 479 453,5 65,5 3,5 36,6 48, 986 7, 66 84, 3 68,,67 48, 3456 94, 9 96, 4 584 39, 4, 48, 838 4 83, 4 86 5, 9 7 5, 5 45,79 48, 64, 6 896, 53 79, 3,93 48, 55 79,5 3 3,5 64 64,5 54,7 479, 48 453,5 65,5 3,5 36,6 479, 479 479,,,, 479, 986 3,5 567 76,5 35 54,5 65,6 479, 3456 967,5 5 63,5 4 43 64,5 5,6 479, 838 4 38,5 4 665 7,5 9 33 4,5 5 45,73 479, 89,5 35 9,5 7 8,5 67,99 479, 55 87, 4 44, 8 488, 478, 986, 48 7, 66 84, 3 68,,67 986, 479 3,5 567 76,5 35 54,5 65,6 986, 986 986,,,, 986, 3456 7, 54 5, 8 45, 39,45 986, 838 5 6, 9 46 776, 8 93 55, 4 35, 986, 43, 889 49, 778 498, 333,6 986, 55 57,5 7 64,5 345 8,5 587,6 3456, 48 94, 9 96, 4 584 39, 4, 3456, 479 967,5 5 63,5 4 43 64,5 5,6 3456, 986 7, 54 5, 8 45, 39,45 3456, 3456 3 456,,,, 3456, 838 5 797, 5 48 8, 96 56, 3 3,67 3456, 778, 85 684, 5 63 368, 373,5 3456, 55 35,5 33 65,5 647 3,5 67,5 838, 48 4 83, 4 86 5, 9 7 5, 5 45,79 838, 479 4 38,5 4 665 7,5 9 33 4,5 5 45,73 838, 986 5 6, 9 46 776, 8 93 55, 4 35, 838, 3456 5 797, 5 48 8, 96 56, 3 3,67 838, 838 8 38,,,, 838, 4 9, 6 5 36, 3 34 7, 5 683,7 838, 55 4 646,5 9 57,5 4 38 44,5 4 937,73, 48 64, 6 896, 53 79, 3,93, 479 89,5 35 9,5 7 8,5 67,99, 986 43, 889 49, 778 498, 333,6, 3456 778, 85 684, 5 63 368, 373,5, 838 4 9, 6 5 36, 3 34 7, 5 683,7,,,,,, 55 67,5 78 56,5 556 5,5 746, 55, 48 79,5 3 3,5 64 64,5 54,7 55, 479 87, 4 44, 8 488, 478, 55, 986 57,5 7 64,5 345 8,5 587,6 55, 3456 35,5 33 65,5 647 3,5 67,5 55, 838 4 646,5 9 57,5 4 38 44,5 4 937,73 55, 67,5 78 56,5 556 5,5 746, 55, 55 55,,,, Átlag: 48,86 3 46 65,49 6 94 33,98 88,49 s 33

8. Mta alapjá törtéő becslések Vzsgáljuk meg, hogy melyk becslőfüggvéy torzítatla, vagys melykek a várható értéke egyezk meg a becsül kívát sokaság jellemzővel. E 49 49 ( ) 48 +... + 55 48, 86 X A vártak megfelelőe a mtaátlag torzítatlaul becsül a sokaság várható értéket. E 49 49 49 E ( v), + 65,5 +... +, 3 46 65, 49 σ 6 94 33, 98 ( s ), + 3,5 +... +, 6 94 33, 98 σ 6 94 33, 98 49 49 49 E ( s), + 36,6 +... +, 88, 49 σ 63,4 49 49 49 Ez alapjá azt látjuk, hogy a (em korrgált) tapasztalat szóráségyzet (v) torzította, míg a korrgált tapasztalat szóráségyzet ( s ) torzítatlaul becsül a sokaság szóráségyzetet. Fotos összefüggés azoba, hogy a sokaság szórást a korrgált tapasztalat szórás s torzította becsül, tehát E (s) σ. Tektsük most az EV mtákat. Az összes lehetséges kételemű EV mták száma a (53) képlet szert: 7 k EV. Ezeket a mtákat és a mtákból kszámított mutatókat az 56. táblázat tartalmazza (ahol,,...,). 34

8.. Becslőfüggvéyek és tulajdoságak Az összes lehetséges kételemű EV mta és éháy jellemzője Mtaelemek 56. táblázat N s N 48, 479 453,5 4,7 48, 986 7, 4 98,86 48, 3456 94, 3 99 478,86 48, 838 4 83, 5 476 4,86 48, 64, 46 7,43 48, 55 79,5 6 5,43 479, 986 3,5 973 36,7 479, 3456 967,5 3 798 6,7 479, 838 4 38,5 5 4,43 479, 89,5 6 56,43 479, 55 87, 95 846,86 986, 3456 7, 96, 986, 838 5 6, 6 87,43 986, 43, 54 46,86 986, 55 57,5 95 954,7 3456, 838 5 797, 9 394 767,43 3456, 778, 4 86 886,86 3456, 55 35,5 69 4,7 838, 4 9, 7 689 76,7 838, 55 4 646,5 898 3,86, 55 67,5 477,7 Átlag: 48,86 6 94 33,98 E ( ) 453,5 +... + 67,5 48, 86 X E s N N 4,7 +... + 477, 7 6 94 33, 98 σ 6 94 33,98 Hatásosság Egy torzítatla becslőfüggvéyek lehet olya agy szóródása, hogy ez haszálhatatlaá tesz. A becslőfüggvéy szórása a véletle téyező okozta hba mérőszámáak tekthető. Ezt a szórást a becslőfüggvéy, lletve a becslés stadard 35

8. Mta alapjá törtéő becslések hbájáak evezzük. A becslőfüggvéyel szembe tovább elvárt tulajdoság tehát, hogy szórása a lehető legksebb legye. A 7.3. fejezetbe említettekhez hasolóa, a becslőfüggvéy összes lehetséges mtá felvett értékeek szóráségyzetét mtavétel szóráségyzetek evezzük. Jelölése: var(θ) ˆ. A mtavétel szóráségyzet égyzetgyöke a becslés stadard hbája. Jelölése: Se(Θˆ ) ). Se ( Θˆ ) var( Θˆ ). A torzítatla becslőfüggvéyeket hatásosság szempotjából szóráségyzetükkel vagy szórásukkal hasolítjuk össze, a ksebb szórású statsztkát hatásosabbak (effcesebbek) evezzük. Vegyük például a következő esetet: legye a sokaság várható érték becslőfüggvéye a mdekor mta első eleme, azaz Θ ˆ. A mtaátlaghoz hasolóa ez a statsztka s torzítatlaul becsül a várható értéket, de eek stadard hbája például FAE mta eseté Se( ) σ, míg a mtaátlagé a (55) szert hogy az utóbb hatásosabb becslése a várható értékek. Se ( ) σ. Ebből következk, Bzoyos esetekbe létezk olya torzítatla becslőfüggvéy, amelyél ksebb szóráségyzetű statsztka em készíthető. Az lye becslőfüggvéyeket mmáls szóráségyzetű torzítatla vagy (abszolút) hatásos torzítatla becslőfüggvéyekek evezzük. Az aszmptotkusa torzítatla becslőfüggvéy fogalmához hasolóa haszáljuk az aszmptotkusa hatásos becslőfüggvéy elevezést. A Θˆ statsztka aszmptotkusa hatásos, ha lm Se ( Θˆ ). ) A stadard hba agolul: stadard error. 36

8.. Becslőfüggvéyek és tulajdoságak Bzoyos esetekbe szükség lehet olya becslőfüggvéyek hatásosságáak összehasolítására, amelyek közül legalább az egyk em torzítatla. Az átlagos égyzetes hba (Mse ) ) olya mutatószám, amely a torzítást és a szóráségyzetet s fgyelembe vesz. Defícóját a (7) képlet tartalmazza. Mse ( Θˆ ) Bs ( Θˆ ) + Se ( Θˆ ) E( Θˆ Θ) (7) Több torzított vagy legalább egy torzítatla és több torzított becslőfüggvéy közül azt tektjük kedvezőbbek, amelykek az átlagos égyzetes hbája ksebb. Kozszteca Egy becslőfüggvéyt kozsztesek evezük, ha aszmptotkusa torzítatla és aszmptotkusa hatásos. (Megjegyzés: a szakrodalomba, a fet defícó mellett, a kozsztecáak más tartalmú defícó s létezek.) Például a sokaság várható értékek a mtaátlag kozsztes becslőfüggvéye, hsze: σ Bs ( ) µ E( ) és lm Se( ) lm. Robosztusság Akkor modjuk, hogy egy becslőfüggvéy (lletve becslés eljárás) robosztus, ha az érzéketle a kduló feltételekre. Ha a sokaság eloszlást em smerjük, akkor a becslésre robosztus becslőfüggvéyt haszáluk. A robosztussággal, mt tulajdosággal általáosságba em foglalkozuk. ) Az átlagos égyzetes hba agolul: mea square error. 37

8. Mta alapjá törtéő becslések 8.. Potbecslés Ahogy azt már említettük, egy paraméter becslésére sokféle becslőfüggvéy készíthető. M az eddgekbe az aalóga elvét haszáltuk, amkor a sokaság várható értéket a mtaátlaggal becsültük. A továbbakba olya eljárásokat smertetük, amelyek segítségével becslőfüggvéyeket készíthetük. A legksebb égyzetek módszere (LNM) Ezzel a módszerrel az első kötetbe, a regresszószámítás tárgyalásakor már találkoztuk. A legksebb égyzetek módszerét alkalmaztuk egy statsztka modell paramétereek meghatározására, becslésére. Az LNM mdg feltételez egy modell létezését, vagys azt, hogy egy jeleség leírása valamlye összefüggés alapjá lehetséges. Előye, hogy a sokaság eloszlás smerete em kell az alkalmazásához. Az LNM szert úgy határozzuk meg a becsült paramétereket, hogy az ezeket haszáló modell alapjá kapott értékek és a téyleges értékek eltéréseek égyzetösszege mmáls legye. 6. példa Határozzuk meg a sokaság várható érték becslőfüggvéyét az LNM alapjá! Keressük tehát azt a µˆ értéket, amelyre: ( µ ˆ) m. Derválás utá ˆµ adódk. 38

8.. Potbecslés A mamum lkelhood módszer (MLM) A mamum lkelhood módszer már feltételez egy sokaság eloszlás smeretét, és arra alkalmas, hogy aak valamely jellemzőjére becslőfüggvéyt adjo. Alapgodolata az, hogy adott sokaság eloszlást feltételezve felírhatuk egy függvéyt, amely az smeretle sokaság paraméter (vagy paraméterek) külöböző lehetséges értéke mellett meghatározza aak valószíűségét, hogy éppe a redelkezésükre álló mta adódjo egy mtavétel eredméyeképpe. Ezt a függvéyt evezzük lkelhood függvéyek. Másképpe fogalmazva az MLM azt feltételez, hogy egy eseméy azért következk be, mert aak va a legagyobb esélye a realzálódásra. Az MLM alapjá a sokaság paramétert azzal az értékkel becsüljük, amelyk paraméterértékre a lkelhood függvéy felvesz mamumát, vagys amelyk paraméter mellett a legagyobb aak az esélye, hogy a megvalósult mtát kapjuk egy mtavétel alkalmával. Ha (egy smeretle paramétert feltételezve) felírjuk a mtaelemek együttes bekövetkezéséek valószíűségét, akkor a lkelhood függvéy a következőképpe adható meg:,,...,, ) f (, ) L( Θ Θ. Megjegyzés: f a feltételezett sokaság eloszlás sűrűségfüggvéye. Az MLM segítségével kozsztes becslőfüggvéyeket kapuk, és ha létezk mmáls szóráségyzetű torzítatla becslőfüggvéy, akkor a módszer ezt adja. 63. példa Határozzuk meg a sokaság várható érték becslőfüggvéyét az MLM alapjá, ormáls eloszlású sokaságot feltételezve! Írjuk fel a lkelhood függvéyt: µ ˆ σ L( e e,,...,, ˆ) σ π σ π µ ˆ σ µ. 39

8. Mta alapjá törtéő becslések A lkelhood függvéy helyett, a számítások egyszerűsítése érdekébe, gyakra aak logartmusát az ú. log-lkelhood függvéyt haszáljuk. Ebbe az esetbe a log-lkelhood mamumát keressük derválással. Természetes alapú logartmust véve: d l L d µ ˆ ( µ ˆ) egyelőséget kapjuk, e becslőfüggvéyek µˆ adódk. A mometumok módszere A mometumok módszerét s smert eloszlású sokaságok eseté tudjuk haszál. Segítségével smert eloszlástípus paraméterere adhatuk becslőfüggvéyt. Olya sokaság paraméterek becslésére alkalmas, amelyek mometumokkal felírhatóak. Léyege, hogy az elmélet mometumokat a mtából számított megfelelő emprkus mometumokkal tesszük egyelővé, am általába köye megoldható egyeletre vagy egyeletredszerre vezet. Ez a módszer s kozsztes becslőfüggvéyt eredméyez, de erőse aszmmetrkus eloszlások eseté kevésbé hatékoy. 64. példa Határozzuk meg a ormáls eloszlású sokaság paramétereek becslését a mometumok módszere alapjá! A ormáls eloszlásak két paramétere va. Ezek felírhatóak mometumok segítségével: µ M és σ M ( µ ). A mta első mometuma és másodk cetráls mometuma: m és ( ) m ( ). 4

8.. Potbecslés Ie: µˆ és σ ˆ v. Megjegyzés: mt tudjuk, v csak aszmptotkusa torzítatla becslése a sokaság szóráségyzetek, azaz em torzítatla a becslés: ( v) σ E. Ezért az emprkus elemzésekél em v- vel, haem s -tel számoluk! 4

8. Mta alapjá törtéő becslések 8.3. Itervallumbecslés A potbecslés sorá egyetle olya értéket határoztuk meg, amelyet valamlye sokaság jellemző vagy statsztka modell paramétere becsléséek tektettük. Nem határoztuk meg, hogy meyre megbízható a becslésük, vagys hogy háy százalék aak a valószíűsége, hogy a becsül kívát paraméter értéke a potbecslés által adott számadattal lesz egyelő. Ez egyébkét em s lehetséges, mert (folytoos esetbe) egy valószíűség változó egyetle kokrét értéket % valószíűséggel vesz fel. A továbbakba ezért egy tervallumot foguk meghatároz, amelyről azt állíthatjuk, hogy előre adott agy valószíűséggel tartalmazza a becsült paraméter téyleges értékét. Ezt az tervallumot kofdeca tervallumak fogjuk evez, utalva arra, hogy bízhatuk abba, hogy a becslésük helyes. A kofdeca tervallum általáos alakja az alább: ( Θˆ < Θ < Θˆ ) α Pr a( α) f ( α). (7) A fet egyeletbe Pr az argumetum valószíűségéek értékét jelöl. Olya tervallumot akaruk meghatároz, amelybe a becsült sokaság jellemző ( α) % valószíűséggel található. Az tervallum alsó és felső határát ezért α értékét fgyelembe véve kell meghatároz. Ezt az előre adott α értéket a becslésük megbízhatóság vagy kofdeca paraméteréek evezzük. Ez általába -hoz közel érték (pl., azaz %), mert így ( α ) már -hez közel, agy valószíűség lesz. 4

8.4. Itervallumbecslés FAE mta eseté 8.4. Itervallumbecslés FAE mta eseté Sokaság várható érték becslése Normáls eloszlású, smert szórású sokaság eseté Azt már tudjuk, hogy ha a sokaság ormáls eloszlású, akkor a mta s az. Sőt a mtaátlagok s ormáls eloszlásúak. Potosabba: σ X N( µ, σ ) N( µ, ). A szórás smeretébe elvégezhetjük a ormáls eloszlású mtaátlag stadardzálását; a Z így stadard ormáls eloszlású valószíűség változó lesz. Z µ N(,) σ / Ehhez az előző fejezetbe leírtak szert tuduk szmmetrkus tervallumot redel: µ Pr z < < z α. σ / Feladatuk most em az, hogy adott határok eseté keressük valószíűséget, haem éppe fordítva: adott valószíűség mellet keressük a megfelelő z értéket. A fet egyeletet átredezve: σ σ Pr z(p) < µ < + z(p) α, (73) α ahol: z(p) az I. táblázat szert az ( α )-hoz, míg a II. táblázat szert az ( )-höz tartozó érték. A Θˆ ˆ f ( α) Θa( α) értéket hbahatárak s szoktuk evez. 43

8. Mta alapjá törtéő becslések Ebbe az esetbe ez: σ z(p). (74) A kofdeca tervallum a következőképpe s felírható: m z (p) σ m. A mtavétel terv elkészítéséél lehetséges, hogy adott a hbahatár, vagys, hogy mlye potossággal akarjuk meghatároz a sokaság jellemzőt vagy paramétert. Ekkor a (75) képlet segítségével tudjuk megad a szükséges mtaagyságot. ( z σ ) (p) (75) Normáls eloszlású, smeretle szórású sokaság eseté A mtaátlagok ebbe az esetbe s ormáls eloszlásúak, de a stadardzálás végrehajtásához a sokaság szórás em áll redelkezésre. A sokaság szóráségyzetet a korrgált tapasztalat szóráségyzet segítségével becsüljük, hsze ez torzítatla becslést ad. Bár a sokaság szórást a korrgált tapasztalat szórás em becsül torzítatlaul, m mégs ezt fogjuk haszál. A stadardzált változók a következő lesz: T µ. s / Ez em ormáls eloszlású, haem t- (STUDENT-féle) eloszlású változó ν szabadságfokkal. Megjegyzés: a statsztkába egy adott megfgyelés értékhalmaz szabadságfoka egyelő a redszere belül szabado (ökéyese) megválasztható értékek számával. Például az átlagál ( ) adatot ökéyese választhatuk meg, de az -edk elemet már em, az már az előző adatok által meghatározott. A ormáls eloszlású, smeretle szórású sokaság eseté a várható érték kofdeca tervalluma a (76) egyelettel adott. 44

8.4. Itervallumbecslés FAE mta eseté s s Pr t(p) ( ν ) < µ < + t(p) ( ν ) α, (76) ahol: t ( ν ) a III. táblázat szert az ( α α (p) )-hoz, míg a IV. táblázat szert az ( )- höz tartozó érték. A STUDENT-féle eloszlás vagy t-eloszlás Ezt az eloszlástípust megalkotójáról W. S. GOSSETTről evezték el, ő ugyas STUDENT áléve jeletette meg mukát. A STUDENT-féle eloszlás sűrűségfüggvéye a következő: Y f ( t), ν + t + ν ahol Y ν -től függő kostas, amelyek értékét úgy választjuk meg, hogy a sűrűségfüggvéy görbe alatt területe legye. A t-eloszlás sűrűségfüggvéye a 33. ábrá látható. ) A t-eloszlás fotos tulajdosága, hogy aszmptotkusa stadard ormáls eloszlás, vagys a szabadságfokát mde határo túl övelve közelít a stadard ormáls eloszláshoz: lm t ( ν ) ( p) ν z (p). (Lásd a 33. ábrát.) ) A fet közölt STUDENT-féle eloszlás számlálójába szereplő Y érték meghatározása az Ecel GAMMALN() függvéy segítségével törtét. (Ezt az eljárást em részletezzük, mert em része a taayagak!) A statsztkába leggyakrabba alkalmazott eloszlásokról bővebbe: [Dekger, 997], [Meszéa Zerma, 98], [Spegel,995]. 45

8. Mta alapjá törtéő becslések A t-eloszlás sűrűségfüggvéyéek grafkoja,5,4 N(,),3 ν5, ν5, ν, - -,5 - -,5,5,5 33. ábra A gyakorlatba 3 eseté a közelítés olya mértékű, hogy ekkor már a stadard ormáls eloszlás értékevel számoluk. A t-eloszláshoz tartozó értékeket a stadard ormáls eloszláshoz hasolóa táblázatok segítségével s meg tudjuk határoz. Erre a III. vagy a IV. táblázatot haszálhatjuk. A stadard ormáls eloszlás táblázatával szembe ezek a táblázatok em a t érték függvéyébe adják meg az eloszlásfüggyvéy értékét, haem a t-eloszlás kvatls értéket tartalmazzák. Az Ecelbe a t-eloszlás kvatls értéket az INVERZ.T(valószíűség;szabadságfok) statsztka függvéy segítségével kaphatjuk meg. Itt a (76) szert kofdeca tervallum meghatározásához a valószíűség α paraméterértéket kell megaduk. Szmmetrkus eloszlású, smert szórású sokaság eseté Nagy elemszámú mta eseté a közpot határeloszlás tétele matt a mtaátlag közelítőleg ormáls eloszlású lesz, így a stadard ormáls eloszlással számolhatuk. A 46

8.4. Itervallumbecslés FAE mta eseté ksmtás esetbe a kofdeca tervallum meghatározásához a valószíűségszámításból smert GAUSS-féle egyelőtleséget alkalmazhatjuk. A m jelölésredszerükek megfelelőe: σ σ 4 Pr k < µ < + k α. (77) 9k Itt a k érték meghatározásához em kell táblázatot haszáluk. Aak értékét egyszerűe k tudjuk számíta α segítségével: α k. 3 α 3α Ismeretle eloszlású, smert szórású sokaság eseté A problémáak ebbe az esetbe s csak ks mták alkalmazásakor va jeletősége, hsze egyébkét a ormáls eloszlás alkalmazható. Most s egy valószíűségszámításból smert összefüggést alkalmazuk, a CSEBISEVegyelőtleséget. σ σ Pr k < µ < + k k α (78) A k értéke ebbe az esetbe: α k. α α Sokaság értékösszeg becslése A sokaság értékösszeg és a várható érték köye kapcsolatba hozható egymással, mert például dszkrét típusú változó eseté: N S X N X. Egy valószíűség változó kostassal való szorzása eseté a változó eloszlástípusa 47