Tudományegyetemen. jelfeldolgozásba I. A tananyag a TÁMOP F-14/1/KONV azonosító számú, A

TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris képzéseinek kialakítása a Pécsi Tudományegyetemen Bevezetés a számítógépes jelfeldolgozásba I. Sári Zoltán Pécs 2015 A tananyag a TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 azonosító számú, A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris képzéseinek kialakítása a Pécsi Tudományegyetemen című projekt keretében valósul meg.

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 7 1.1. A tananyag felépítése...................... 7 1.2. A komplex számok....................... 8 1.2.1. A komplex számok általános áttekintése....... 8 1.2.2. Különböző alakok közötti áttérés........... 10 1.2.3. Műveletvégzés komplex számokkal.......... 10 2. Jelek típusai és tulajdonságaik 15 2.1. Folytonos és diszkrét idejű jelek................ 15 2.2. Jelek alapvető tulajdonságai.................. 16 2.3. Fontosabb jelek és jellemzőik................. 17 2.3.1. A szinuszos jel..................... 17 2.3.2. A komplex exponenciális jel.............. 18 2.4. Tipikus vizsgálójelek...................... 19 2.4.1. Az egységugrás..................... 20 2.4.2. Az egységimpulzus................... 22 2.4.3. Az egységugrás és az egységimpulzus kapcsolata.. 24 3. A mintavételezés 27 3.1. A mintavételezés elve...................... 28 3.1.1. A mintavételi törvény................. 30 3

Tartalomjegyzék 4. Lineáris rendszerek és tulajdonságaik 33 4.1. Alapfogalmak.......................... 33 4.1.1. Fontosabb rendszertulajdonságok........... 34 4.2. Lineáris rendszerek....................... 34 4.3. Rendszermodellek, rendszerek leírása............. 36 4.3.1. A rendszeregyenlet................... 36 4.3.2. Az állapotváltozós rendszerleírás........... 37 4.3.3. A válaszidőfüggvények................. 38 4.3.4. Impulzus-dekompozíció, impulzusválasz alkalmazása 39 4.4. Az átviteli karakterisztika................... 40 4.4.1. Szinuszos jelek, komplex csúcsérték.......... 40 4.4.2. Átviteli karakterisztika előállítása........... 41 4

Ábrák jegyzéke 1.1. Komplex szám vektorreprezentációja............. 9 1.2. Az e j π 4, e j 3π 4, e j 5π 4, e j 7π 4 komplex számok a komplex síkon.. 11 2.1. Szinuszos jel........................... 18 2.2. Komplex exponenciális jel valós része α < 0 és α > 0 esetén 19 2.3. Az ε(t) egységugrás jel, és τ-val eltolt változata....... 20 2.4. Az ε(t) ε(t τ) négyszögablak és alkalmazása....... 21 2.5. A DI egységugrás........................ 21 2.6. A Dirac-δ jel konstrukciójának grafikus interpretációja... 22 2.7. A DI egységimpulzus...................... 24 3.1. Szinuszos jel helyes mintavételezése.............. 29 3.2. Szinuszos jel helytelen mintavételezése............ 30 3.3. Szinuszos jel mintavételezése a határfrekvencia közelében. 31 5

6 Ábrák jegyzéke

1. fejezet Bevezetés 1.1. A tananyag felépítése A Bevezetés a számítógépes jelfeldolgozásba I.-II. tananyag megismerteti az olvasót a jelfeldolgozás matematikai alapjaival, valamint a legfontosabb módszerekkel és technikákkal, amelyek jellemzően előfordulnak a jelfeldolgozás gyakorlati problémáinak kapcsán. Szerkezeti felépítését tekintve elsőként a legfontosabb matematikai fogalmakat tárgyalja (I./1. és I./2. fejezetek), majd a mintavételezés elvét és a mintavételezett jelek alapvető tulajdonságait az I./3. fejezetben. Az I./4. fejezet a jelfeldolgozás szempontjából kiemelkedően fontos lineáris rendszerekkel és reprezentációjukkal foglalkozik. A II./1., II./2., II./3. fejezetek már konkrét jelfeldolgozási módszereket, és ezek matematikai hátterét mutatják be, ezután a tananyag II./4., II./5., II./6. fejezetei a digitális szűrők felépítését, működését, és alkalmazási lehetőségeit tárgyalják. Mivel a jelfeldolgozás és a rendszerelmélet igen erősen támaszkodik a matematika módszereire és a matematika eszköztárának egy viszonylag nagy szeletét intenzíven alkalmazza, elkerülhetetlen, hogy bizonyos mélységben feldolgozzuk ezeket a területeket, melyek közül bevezetésként a komplex számokkal kapcsolatos néhány alapfogalmat tekintünk át. 7

1.2. A komplex számok 1.2. A komplex számok A komplex számok és az ezeket tartalmazó kifejezések, komplex változós és komplex értékű függvények nagyon gyakoriak a jelfeldolgozással és rendszerjellemzéssel kapcsolatos matematikai reprezentációkban, így ezek alapos ismerete elengedhetetlen a téma tárgyalásához, a későbbiekben előforduló fogalmak értelmezéséhez és alkalmazásához. 1.2.1. A komplex számok általános áttekintése Komplex számoknak a z = a + bj alakú konstrukciókat nevezzük, ahol z a komplex szám, melynek a a valós, b a képzetes része, és j az ún. képzetes egység, ami a 1 négyzetgyökével egyenlő, vagyis j = 1. A komplex számok tehát a valós számkör kiterjesztéseként értelmezhetők. Ez a fajta kiterjesztés, ill. maga a konstrukció első pillantásra meglepőnek és mesterségesnek tűnhet, de a j képzetes egységre nyugodtan gondolhatunk úgy, mint bármelyik közönséges konstansra. 1 Egy komplex szám tehát egy két valós számból álló (a, b) rendezett pár, ahol a b be van szorozva a j képzetes egységgel. Ezen a módon a valós számok körét nyilvánvalóan kiterjesztettük, hiszen ahogy az a z komplex szám szerkezete alapján világos, minden valós szám komplex szám is egyben, csak olyan, amelynek a képzetes része nullával egyenlő. A komplex számokat többféle módon reprezentálhatjuk, melyek közül a legfontosabbak az alábbiak: 1. Algebrai (vagy kanonikus) alak: z = a + bj, 2. Trigonometrikus alak: z = r(cos φ + j sin φ), 3. Exponenciális (vagy Euler-) alak: z = re jφ, ahol z a komplex szám, a és b rendre a valós és képzetes rész, r a komplex szám abszolút értéke, φ pedig a komplex szám arkusza. Mindhárom fenti alaknak megvannak az előnyei és a hátrányai, de talán a leghasznosabb 1 Pl. 0, 1, 2, 2, π stb. 8

1. fejezet. Bevezetés közülük az exponenciális (vagy Euler-) alak, elsősorban kompakt írásmódja és könnyű olvashatósága miatt. Egy komplex szám geometriai reprezentációja a komplex síkon képzelhető el 2 egy vektor formájában, melynek derékszögű koordinátái az a és a b, ahogy az megfigyelhető a 1.1. ábrán. 1.1. ábra. Komplex szám vektorreprezentációja A két tengely a komplex síkot feszíti ki, és a sík minden pontja egy komplex számnak felel meg, az adott pont derékszögű koordinátáinak megfelelő valós és képzetes résszel. 3 Egy z = a + bj komplex szám konjugáltjának nevezzük a z = a bj komplex számot, melynek valós része megegyezik a z valós részével, képzetes része pedig z képzetes részének az ellentettje. A z konjugált geometriai interpretációja a z valós (vízszintes) tengelyre való tükrözésével nyert komplex szám. A komplex számok jelentősége többek között abban áll, hogy a segítségükkel le tudjuk írni az olyan algebrai egyenletek megoldásait, mint az x 2 + 1 = 0, amelynek a valós számok körében nincsenek megoldásai, a komplex számok körében azonban létezik megoldás, nevezetesen az x 1,2 = ±j. 2 Ez hasonló a valós számok számegyenesen való ábrázolásához, csak itt két számegyenesre van szükség a valós és a képzetes rész miatt, melyeket célszerűen egymásra merőlegesen állítva létrehoztuk a számsíkot. 3 A valós számok halmaza a komplex sík vízszintes tengelye, hiszen az összes olyan szám, amelynek nulla a képzetes része, ezen a tengelyen helyezkedik el. 9

1.2. A komplex számok Nagyon egyszerűen belátható, hogy a megoldás helyes, hiszen definíció szerint j = 1, ahonnan j 2 = 1 és ( j) 2 = 1, azaz a megoldások valóban kielégítik ez egyenletet. 1.2.2. Különböző alakok közötti áttérés A komplex szám különböző alakjai közötti áttérésre igen gyakran van szükség, hiszen a különböző problémákhoz kötődő alkalmazások, különböző reprezentációkat kívánhatnak meg. Az áttérés a legkönnyebben a grafikus reprezentáció (vektor a komplex síkon) segítségével tehető meg. Ez természetesen nem jelenti azt, hogy minden átváltásnál szükség van a komplex számokat reprezentáló vektorok lerajzolására, egy kis gyakorlattal ez fejben könnyen elvégezhető. Amiért a grafikus reprezentáció nagyon hasznos, az elsősorban szoros kapcsolata a z = re jφ Euler-alakkal. 4 A komplex számok Euler-alakja tulajdonképpen polárkoordinátás megadásnak tekinthető, ahol a sík egy pontját (a komplex számot) egy r hosszúságú vektorral és a pozitív valós féltengellyel bezárt φ szöggel jelöljük ki. Így például az e j π 4 egy olyan vektor, amelynek egységnyi a hossza, és a pozitív valós féltengellyel bezárt szöge π/4. Az 1.2. ábrán négy komplex számnak megfelelő vektor látható a komplex síkon. Példa: Alakítsuk át az alábbi komplex számokat exponenciális alakba! 5 {1, 1, 2, j, 2j, 2 2 + j 2 2 } 1.2.3. Műveletvégzés komplex számokkal Az elemi algebrai műveletek (+,,, /) a következőképp értelmezhetők komplex számok esetén: 6 4 A trigonometrikus alak az Euler-alakból közvetlenül származtatható az Euler-formulák alkalmazásával e ±jφ = cos φ ± j sin φ. 5 Megoldás: {1, e jπ, 2e jπ, e j π 2, 2e j π 2, e j π 4 } 6 A kiindulásként alkalmazott komplex számok: z 1 = a 1 + b 1j, z 2 = a 2 + b 2j. 10

1. fejezet. Bevezetés 1.2. ábra. Az e j π 4, e j 3π 4, e j 5π 4, e j 7π 4 komplex számok a komplex síkon Összeadás: Szorzás: 7 z 1 + z 2 = (a 1 + b 1 j) + (a 2 + b 2 j) = a 1 + a 2 + j(b 1 + b 2 ) (1.2.1) z 1 z 2 = (a 1 + b 1 j) (a 2 + b 2 j) = a 1 a 2 + a 1 b 2 j + a 2 b 1 j + b 1 jb 2 j Osztás: = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) +j (a }{{} 1 b 2 + a 2 b 1 ) }{{} Re Im (1.2.2) z 1 = (a 1 + b 1 j) z 2 (a 2 + b 2 j) = (a 1 + b 1 j) (a 2 + b 2 j) (a 2 b 2 j) (a 2 b 2 j) = (a 1a 2 + b 1 b 2 ) + j(a 2 b 1 a 1 b 2 ) a 2 2 + b2 2 = (a 1a 2 + b 1 b 2 ) a 2 2 + b2 2 } {{ } Re +j (a 2b 1 a 1 b 2 ) a 2 2 + b2 2 }{{} Im (1.2.3) 7 Figyeljünk rá, hogy a képzetes egység j nem része a komplex szám képzetes részének, a képzetes rész az a valós szám, amivel a képzetes egység meg van szorozva. 11

1.2. A komplex számok A multiplikatív algebrai műveletek trigonometrikus és exponenciális alakban 8 is végrehajthatók. A legfontosabb műveletek a következők: 9 Szorzás: z 1 z 2 = r 1 e jφ1 r 2 e jφ 2 = r 1 r 2 e j(φ 1+φ 2 ) (1.2.4) Osztás: z 1 z 2 = r 1e jφ1 r 2 e jφ 2 = r 1 r 2 e j(φ 1 φ 2 ) (1.2.5) A z = re jφ komplex szám n-edik hatványának meghatározására szolgáló összefüggés közvetlenül származtatható a szorzásra vonatkozó szabály (vagy egyszerűen az algebra szabályai) alapján a következőképp z n = (re jφ ) n = r n e jnφ. (1.2.6) Az n-edik gyök meghatározása pedig az alábbi módon történik, 10 n z = n re jφ = n re j φ+k2π n, (k = 0, 1, 2,..., n 1). (1.2.7) Példa: Határozzuk meg a z = 1 komplex szám 4-edik gyökét! 11 Ez a probléma úgy is megfogalmazható, hogy határozzuk megy a z 4 = 1 egyenlet megoldásait, tehát négy komplex gyököt kell keresnünk 12, ugyanis 8 Az összeadás (és a kivonás) ezekben az alakokban közvetlenül nem értelmezhető. 9 A kiindulásként alkalmazott komplex számok: z 1 = r 1e jφ 1, z 1 = r 2e jφ 2. 10 Az n db komplex gyök abszolútértéke megegyezik, és egyenletesen oszlanak el egy körív mentén a komplex síkon. 11 Emlékezzünk vissza, hogy az 1 is egy komplex szám, aminek nulla a képzetes része. 12 A k = 4-hez tartozó gyöknek ugyanúgy 2π az arkusza, mint a k = 0-hoz tartozó gyöknek, és az összes további gyök (k 4) a már meglévők ismétlődései, tehát csak 4 különböző gyök van. 12

1. fejezet. Bevezetés egy n-ed fokú polinomnak mindig n db komplex gyöke van. Az (1.2.7) alapján a megoldás 4 1 = e j 0+k2π 4, (k = 0, 1, 2, 3), (1.2.8) a négy gyök tehát {1, e j π 2, e jπ, e j 3π 2 }, ami könnyen ellenőrizhető (1.2.6) segítségével. 13

14 1.2. A komplex számok

2. fejezet Jelek típusai és tulajdonságaik Ebben a fejezetben a jelekkel és a reprezentációjukkal kapcsolatos alapfogalmakat, és alapvető koncepciókat tárgyaljuk. A legfontosabb jeltípusok és tulajdonságok tárgyalásán túl bemutatjuk a jelfeldolgozásban és rendszervizsgálatban leggyakrabban előforduló speciális jeleket, ezek jellemzőit, valamint alkalmazásuk lehetőségeit. 2.1. Folytonos és diszkrét idejű jelek A jel mint fogalom tipikus alkalmazása általában egy fizikai mennyiség (hőmérséklet, nyomás, feszültség, térerősség stb.) absztrakt leírására irányul. A jel talán legfontosabb tulajdonsága, hogy információt hordoz az általa reprezentált fizikai mennyiségről. 1 A jel egy egyszerű definíciója lehet az alábbi: Def. (Jel): A jel egy mérhető fizikai mennyiség absztrakt reprezentációja, 1 A Merriam-Webster szótár definíciója szerint a jel egy detektálható fizikai mennyiség vagy impulzus (mint feszültség, áram, mágneses térerősség), melynek segítségével üzenet vagy információ továbbítható. 15

2.2. Jelek alapvető tulajdonságai amely egyértelműen hozzárendelt információt hordoz a szóban forgó fizikai mennyiség értékéről vagy értékváltozásáról. Mivel a jel egy mérhető fizikai mennyiség abszrakt reprezentációja, a jel leírása maga is absztrakt, és általában egy függvény segítségével történik. 2 A legtöbb esetben a fizikai mennyiségek időtartománybeli jelek, ami azt jelenti, hogy az őket leíró függvények független változója az idő, de vannak olyan jelek (és természetesen fizikai mennyiségek is), amelyek egy vagy több térdimenzió mentén is változnak. Az ilyen típusú jelek között a legegyszerűbbek talán a képek, amelyek a tér kétváltozós függvényei. 3 2.2. Jelek alapvető tulajdonságai A folytonos idejű jelek reprezentációja a valós számok halmazán értelmezett függvényekkel történik (melyeknek általában az idő a független változója), és az értékkészletük is tipikusan a valós számok halmaza (vagy részhalmaza), így az x(t) jel, az alábbi módon írható le x : R R, y = x(t), (t R), (2.2.1) ahol x a függvény neve, t a független változója, és y a függő változó (függvényérték). 4 Folytonos idejű jelekre egyszerű példa lehet egy szoba hőmérséklete, egy elektromos csatlakozón mérhető feszültség, egy csővezetékben mérhető nyomás stb. Az alábbiakban a jelek néhány fontos tulajdonsága következik definíciószerűen felsorolva. Def. (Periodicitás): Egy x(t) jel periodikus a T periódusidővel, ha x(t+t ) = x(t), t R. 2 Elképzelhetők más reprezentációk is, mint grafikonok vagy táblázatok, de a legfontosabbak a függvények. 3 Természetesen elképzelhetők olyan jelek is, amelyek egyszerre az időtől és a tértől is függnek, pl. egy videofolyam, de ebben az anyagban az ilyen típusú jelekkel nem foglalkozunk. 4 Az itt alkalmazott jelölés pontosan megegyezik a függvények matematikában megszokott jelölésével. 16

2. fejezet. Jelek típusai és tulajdonságaik Fontos megjegyezni, hogy ha egy jel T -vel periodikus, akkor nyilván periodikus T minden egész többszörösével is. Ezek közül a legkisebbet alapperiódusnak nevezzük. Tipikus periodikus jelek a harmonikus függvények (sin, cos). Def. (Párosság): Egy x(t) jel páros, ha x(t) = x( t), t R. Páros jelek a páros fokszámú polinomok (t 2, t 4,... ), az abszolútértékfüggvény t, a konstans értékű függvény x = C vagy a koszinusz cos(t) stb. Def. (Páratlanság): Egy x(t) jel páratlan, ha x(t) = x( t), t R. Páratlan jelek a páratlan fokszámú polinomok (t 3, t 5,... ), a t identitásfüggvény, vagy a szinusz sin(t) stb. Def. (Korlátosság): Egy x(t) jel korlátos, ha létezik egy véges K R amelyre x(t) < K, t R. Def. (Belépő jel): Egy x(t) jel belépő, ha x(t) 0, t < 0, (t R). Def. (Korlátos tartójú jel): Egy x(t) jel korlátos tartójú, ha értéke egy véges intervallumon kívül azonosan 0. A következő szakaszban a jelfeldolgozás szempontjából legfontosabb, leggyakrabban előforduló jelek bemutatása következik. 2.3. Fontosabb jelek és jellemzőik 2.3.1. A szinuszos jel A szinuszos jeleknek kitüntetett a szerepük a jelfeldolgozásban elsősorban amiatt, hogy a szinuszos jelek a lineáris rendszerek sajátfüggvényei, azaz a lineáris rendszeren való átvitel hatására a jelalakjuk nem változik, továbbra is szinuszos marad, csak a jel bizonyos attribútumai változhatnak meg. 17

2.3. Fontosabb jelek és jellemzőik Def. (Szinuszos jel): Az x(t) = A cos(ωt + φ) alakú jelet szinuszos jelnek nevezzük. 1.5 1 0.5 x(t) 0 0.5 1 2 1 0 1 2 3 4 5 6 t 2.1. ábra. Szinuszos jel Az x(t) szinuszos jelet jellemző paraméterek az A amplitúdó, az ω körfrekvencia és a φ kezdőfázis. A körfrekvencia és a periódusidő közötti viszony az ω = 2π/T összefüggéssel írható le. A 2.1. ábrán egy szinuszos jel látható, jellemző paramétereinek feltüntetésével. 2.3.2. A komplex exponenciális jel A komplex exponenciális jel szintén igen fontos szerepet játszik a jelfeldolgozásban, ugyanis a lineáris rendszerek válasza általános esetben komplex értékű exponenciális függvények lineáris kombinációjaként jelenik meg. A komplex exponenciális jel általános alakja x(t) = Ce λt, ahol C = C e jθ, λ = α + jω alakú komplex szám, melynek ismeretében a jel felírható a következő alakban 18

2. fejezet. Jelek típusai és tulajdonságaik ahonnan az Euler-formulák alapján adódik az x(t) = C e jθ e αt e jωt, (2.3.1) x(t) = C e αt cos(ωt + θ) + j C e αt sin(ωt + θ) (2.3.2) alak, melynek valós és képzetes része egyaránt szinuszos jel (2.2. ábra). 1.5 5 4 1 3 0.5 2 1 x(t) 0 x(t) 0 1 0.5 2 1 3 4 1.5 2 0 2 4 6 8 t 5 2 0 2 4 6 8 t 2.2. ábra. Komplex exponenciális jel valós része α < 0 és α > 0 esetén E szinuszos jelek időbeli lefutásának jellegét az α paraméter befolyásolja, ahogy az a 2.2. ábrán megfigyelhető α < 0 esetén csökkenő, α > 0 esetén növekvő amplitúdójú jelet eredményezve. A fentebb tárgyalt szinuszos és exponenciális jelek diszkrét idejű variánsait a későbbi fejezetekben a módszerek és alkalmazások kapcsán tárgyaljuk. 2.4. Tipikus vizsgálójelek A rendszervizsgálat szempontjából kitüntetett szerepű jelek az ún. vizsgálójelek. Ezek a jelek, és a rendszerek rájuk adott válasza kiemelkedő jelentőséggel bírnak. Ebben a szakaszban a két legfontosabb vizsgálójelet, az egységugrást és az egységimpulzust tárgyaljuk. 19

2.4. Tipikus vizsgálójelek 2.4.1. Az egységugrás A 2.3. ábrán látható az ε(t) egységugrás jel, mely az alábbi módon definiálható { 0, ha t < 0, ε(t) = (2.4.1) 1, ha t > 0. A definíció alapján világos, hogy az egységugrás jel nagyon egyszerűen viselkedik, a nulla időpillanat előtt azonosan nulla értékű, utána pedig azonosan egy, a nulla helyen a jelnek szakadása van. Rendszervizsgálatban betöltött szerepe elsősorban abban áll, hogy bemenőjelként valaminek a bekapcsolását modellezi. Az egységugrás segítségével ezen kívül bármilyen jel belépővé tehető, egyszerűen az egységugrással való szorzással. 1.2 1.2 1 1 0.8 0.8 ε(t) 0.6 0.4 ε(t τ) 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0 τ 0.2 1 0 1 2 3 4 5 t 0.2 1 0 1 2 3 4 5 t 2.3. ábra. Az ε(t) egységugrás jel, és τ-val eltolt változata Az egységugrás alkalmas továbbá ún. négyszögablak 5 létrehozására is (ld. 2.4. ábra), ami egész egyszerűen annyit jelent, hogy egy jelből megtartunk egy szegmenst, korlátos tartójú jellé alakítva azt. A 2.4. ábra ezt az alkalmazást szemlélteti, ahol a folytonos idejű x(t) jelet (kék szaggatott) beszorozva az ablakfüggvénnyel (fekete szaggatott), az ábrán látható y(t) korlátos tartójú jel (fekete folytonos) keletkezik. 5 A négyszögablakon kívül számos más típusú ablakfüggvény is létezik, ezek közül 20

2. fejezet. Jelek típusai és tulajdonságaik ε(t) ε(t τ) 1 0.5 ε(t) τ 0 0.5 ε(t τ) 1 1 0 1 2 3 4 5 t y(t) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 0 1 2 3 4 5 t 2.4. ábra. Az ε(t) ε(t τ) négyszögablak és alkalmazása Az egységugrás diszkrét idejű változata az alábbi formában adható meg a jel a 2.5. ábrán látható. ε[n] = { 0 ha n < 0, 1 ha n 0, (2.4.2) 1 0.8 0.6 ε[n] 0.4 0.2 0 4 2 0 2 4 6 8 10 n 2.5. ábra. A DI egységugrás néhányat a Digitális szűrőkkel foglalkozó fejezetben tárgyalunk. 21

2.4. Tipikus vizsgálójelek 2.4.2. Az egységimpulzus A másik alapvető vizsgálójel az egységimpulzus (δ-függvény, Dirac-δ). Ennek a jelnek a konstrukciója már jóval összetettebb az egységugrásénál, hagyományos értelemben a Dirac-δ nem is függvény, hanem ún. disztribúció. Az ilyen típusú matematikai objektumok egzakt elméleti leírása meghaladja e tananyag kereteit, de szerencsére jelfeldolgozási 6 alkalmazások szempontjából bőven elég lesz az egységimpulzus szemléletes megközelítése. A Dirac-δ konstrukciója legegyszerűbben talán grafikusan szemléltethető, ahogy azt az 2.6. ábra mutatja. δ(t,τ) δ(t) 2.5 2 1.5 1 δ[t] 1 0.8 0.6 0.4 0.5 1/τ 0.2 0 τ 0 1 0 1 2 3 4 5 t 4 2 0 2 4 6 8 10 t 2.6. ábra. A Dirac-δ jel konstrukciójának grafikus interpretációja Az ábrán egy egységnyi területű jel ((ε(t) ε(t τ))/τ) látható, ahogy a τ 0 határátmenettel egyre keskenyebb, és egyre magasabb lesz, míg végül nulla szélességű és végtelen magasságú jelet kapunk, melynek a területe továbbra is egységnyi, és ami maga a Dirac-δ, azaz ε(t) ε(t τ) δ(t) = lim. (2.4.3) τ 0 τ Ez a jel tehát egy nulla szélességű, végtelen magasságú, egységnyi területű jel a nulla helyre koncentrálva. Jelölése egy függőleges nyíl, 6 És általában mérnöki alkalmazások szempontjából is. 22

2. fejezet. Jelek típusai és tulajdonságaik melynek magassága a δ(t) együtthatója. 7 Amint látjuk, a Dirac-δ nem hétköznapi függvény, így nem is tudjuk hétköznapi módon kezelni. Az intuitív megközelítése lehet a tömegpont, vagy a pontszerű töltés, 8 absztrakt megfelelője a jelek világában; az egy pontra koncentrált, nulla kiterjedésű, mégis egységnyi területű jel. Természetesen léteznek Dirac-impulzusnak a fentinél egzaktabb definíciói is, ezek közül az egyik a következőképp fogalmazható meg. Def. (Dirac-δ): Ha egy x(t) jel folytonos a τ helyen, akkor x(t)δ(t τ)dt = x(τ). (2.4.4) A fenti definíció alapján azt mondhatjuk, hogy a δ(t)-val való beszorzás és integrálás mintegy mintát vesz a jelből, valamint az is világos, hogy a δ(t) jelet nem önálló entitásként definiálja, hanem egy másik függvénnyel való interakcióján keresztül. Az egységimpulzus talán legfontosabb tulajdonsága a nulla helyre koncentrált egységnyi területe, ami az alábbi módon formalizálható δ(t)dt = +0 0 δ(t)dt = 1, (2.4.5) ahonnan jól látható, hogy a (, ) intervallumon végzett integrálás a ( 0, +0) intervallumon végzett integrálással megegyezően egyet ad eredményül, azaz az egységnyi terület a nulla helyre koncentrálódik. 9 Az egységimpluzus diszkrét idejű (DI) változata az alábbi módon definiálható 0 ha n < 0, δ[n] = 1 ha n = 0, 0 ha n > 0, (2.4.6) 7 Ábrázoláskor tehát a δ(t) nagysága a területet reprezentálja. 8 Paul Dirac épp a pontszerű töltés reprezentálására vezette be ezt a speciális függvényt. 9 Tömegpont, pontszerű töltés analógia. 23

2.4. Tipikus vizsgálójelek ahonnan látszik, hogy a δ[n] egyszerűen egy darab 1-es a nulla időpillanatban, az n = 0 helyen. Funkciója a folytonos idejű (FI) változattal analóg, viszont a jel leírása sokkal egyszerűbb. A δ[n] egységimpulzus a 2.7. ábrán látható. 1 0.8 0.6 δ[n] 0.4 0.2 0 4 2 0 2 4 6 8 10 n 2.7. ábra. A DI egységimpulzus 2.4.3. Az egységugrás és az egységimpulzus kapcsolata A két, fentebb tárgyalt vizsgálójel szoros kapcsolatban van egymással, mind folytonos, mind diszkrét időben. Az FI egységugrás a következőképpen állítható elő a Dirac-δ segítségével ε(t) = t δ(τ)dτ, (2.4.7) ami tulajdonképpen azt jelenti, hogy az egységugrás jel az egységimpulzus területmérő függvénye. A (2.4.7) által definiált egyenlőség nagyon könnyen belátható, hiszen t { δ(τ)dτ = 0 ha t < 0 ε(t). 1 ha t > 0 (2.4.8) Ebből következhetne, hogy az egységimpulzus az egységugrás deriváltja, 24

2. fejezet. Jelek típusai és tulajdonságaik de mivel az egységugrás jel a nulla helyen nem deriválható, 10 ehhez be kell vezetnünk az általánosított derivált fogalmát. Def. (Általánosított derivált): Egy x (t) jel az x(t) jel általánosított deriváltja, ha x(t) = t t 0 x (τ)dτ + x(t 0 ). (2.4.9) A fenti definíció igen hasonló a (2.4.7) formulához, hisz az általánosított derivált fogalma pontosan azt jelenti, hogy az x (t) akkor deriváltja x(t)-nek, ha x(t) területmérő függvénye x (t)-nek. Az általánosított derivált nagy előnye a határátmenettel definiált differenciálhányadossal szemben, hogy nem érzékeny a szakadásokra, tehát ebben az értelemben az egységugrásnak létezik derivált függvénye, ez pedig nem más, mint a Dirac-δ (ld. (2.4.7) formula). A diszkrét idejű egységugrás és egységimpulzus kapcsolata a következő módon adható meg ε[n] = δ[n i] = δ[n] + δ[n 1] + δ[n 2] +..., (2.4.10) i=0 vagy az ezzel ekvivalens ε[n] = illetve a δ[n] előállítását definiáló n i= δ[i], (2.4.11) δ[n] = ε[n] ε[n 1]. (2.4.12) Tekintve a (2.4.11) és (2.4.12) összefüggéseket, szembetűnhet, hogy az integrálás, ill. a differenciálás diszkrét idejű megfelelőit jelentik, azaz a DI 10 A jobb és bal oldali határérték nem egyenlő a nullában. 25

2.4. Tipikus vizsgálójelek egységugrás és egységimpulzus kapcsolata analóg az FI változatok (2.4.7) kapcsolatával. 26

3. fejezet A mintavételezés A fizikai folyamatokat és jelenségeket jellemző fizikai mennyiségek, és az ezeket reprezentáló jelek tipikusan folytonosak. Gondoljunk csak egy áramkör feszültség- és áramjeleire, egy vízvezetékben áramló közeg nyomására, vagy akár egy rockkoncerten tapasztalható hangnyomásra, ezek mind analóg, időben és értékben is folytonos jelek. A folytonosság természetesen csak matematikai értelemben áll fenn tökéletesen. A fizikai jeleket minden esetben behatárolja a sávszélesség és a zaj. Mivel a sávszélesség nem végtelen, ezért mindig lesz egy olyan legnagyobb frekvencia (sávkorlát), aminél nagyobb frekvenciák vizsgálata értelmetlen, és hasonlóan az amplitúdóban is lesz egy olyan legkisebb jelszint, ami már megkülönböztethetetlen a zajtól. Matematikai értelemben azonban a folytonosság alatt pontosan azt értjük, hogy a jel mind függő mind független változójában folytonos. Sokszor előfordul azonban, hogy egy folytonos jelet annak diszkretizált változatával közelítünk, és ez a közelítés első pillantásra nem különbözik az eredeti folytonos jeltől. Ha egy fényképet egy monitor képernyőjén egészen közelről nézünk, akkor láthatóvá válik a kép pixeles szerkezete, azaz a kicsit távolabbról folytonosnak tűnő kép valójában egy megfelelően sűrű pontmátrix pontjaiként van reprezentálva. Ez tehát egy diszkretizált változata az eredeti fényképnek, ami észlelésünk szempontjából nem különbözik az eredetitől. 27

3.1. A mintavételezés elve Annak érdekében, hogy analóg jelekkel digitális (számítógépes) környezetben dolgozhassunk, elengedhetetlen az analóg jelek mintavételezése és digitalizálása. A mintavételezést legegyszerűbben úgy képzelhetjük el, hogy adott időközönként megnézzük, hogy mekkora a jel nagysága. 1 Ezután ezek a rögzített időközönként vett értékek, az ún. minták fogják reprezentálni a folytonos jelet. A mintavételezés tulajdonságai, és hatása a legegyszerűbben az ún. matematikai mintavételezés segítségével értelmezhetőek. Az innen származó eredmények és az itt levont következtetések alapján tudjuk megválaszolni a mintavételezéssel kapcsolatos egyik legfontosabb kérdést, nevezetesen : Rekonstruálható-e az eredeti jel csupán mintáinak ismeretében? 3.1. A mintavételezés elve Egy jelnek bizonyos időközönként vett mintáival való reprezentációja a független változó szempontjából azt jelenti, hogy az eddigi folytonos időt reprezentáló valós (t R) változó helyett egy diszkrét időt (mintavételi időpillanatokat) reprezentáló egész számok halmazán értelmezett (n Z) változót vezetünk be, azaz, ha egy FI jelet a mintáival szeretnénk reprezentálni, akkor ezt formálisan a legegyszerűbben úgy tehetjük meg, hogy a folytonos t idő argumentum helyére ennek egy diszkretizált változatát nt s -t helyettesítjük x(t) t nts, (3.1.1) ahol T s a mintavételi periódusidő, n pedig a mintavételi időpillanat indexe, azaz a diszkrét idő. Egy szinuszos jel esetében a mintavételezett jel (3.1.1) alapján az alábbi módon alkotható meg x(t) = A cos(ωt + ρ) t nts, (3.1.2) 1 Ha egy szobában elhelyezett hőmérő kijelzőjét 5 percenként leolvasom, és lejegyzem a mutatott értéket, akkor tulajdonképpen mintavételeztem a T (t) hőmérsékletjelet, ami a szoba hőmérsékletét reprezentáló analóg jel. 28

3. fejezet. A mintavételezés x(nt s ) = A cos(ωnt s + ρ), (3.1.3) ahonnan a ϑ = ωt s DI körfrekvencia bevezetésével az alábbi jel adódik x[n] = A cos(ϑn + ρ). (3.1.4) A mintavételezés fenti folyamatát követhetjük nyomon a 3.1. ábrán, ahol két különböző ω körfrekvenciájú analóg jelet mintavételeztünk rögzített ω s = 2π/T s mintavételi körfrekvenciával. 1 ω = 0.095 ωs 1 ω = 0.2 ωs 0.5 0.5 x(t), x(nts) 0 x(t), x(nts) 0-0.5-0.5-1 0 0.05 0.1 0.15 t -1 0 0.05 0.1 0.15 t 3.1. ábra. Szinuszos jel helyes mintavételezése Látható, hogy az eredeti jel ω körfrekvenciájának növelésével a mintavételezés a jel változási sebességéhez képest egyre ritkábban történik. Ha az eredeti jel körfrekvenciáját tovább növeljük, akkor előfordulhat, hogy már nem tudunk elég gyakran mintát venni a jelből ahhoz, hogy a jel eredeti információtartalma megmaradjon. A 3.2. ábrán látható, hogy mi történik akkor, ha az analóg jel frekvenciáját még tovább növeljük. Mivel a mintavételezés nem elég gyakori, a jelből vett minták már nem reprezentálják az eredeti jelet, hanem egy másik, kisebb körfrekvenciával rendelkező jelnek tűnnek a mintavételezés után. Az ábrán jól látható, hogy a mintavételi pontokból az eredeti jel helyett egy másik, alacsonyabb frekvenciájú szinuszos jel áll össze. Ez az ún. aliasing 29

3.1. A mintavételezés elve 1 ω = 0.6 ωs 1 ω = 0.95 ωs 0.5 0.5 x(t), x(nts) 0 x(t), x(nts) 0-0.5-0.5-1 0 0.05 0.1 0.15 t -1 0 0.05 0.1 0.15 t 3.2. ábra. Szinuszos jel helytelen mintavételezése jelenség. Az ábrán szaggatott vonallal jelölt szinuszos jel a mintavételi pontokban vett függvényértékekhez tartozó alacsony frekvenciás szinusz, az alias jel. 3.1.1. A mintavételi törvény A fenti példákból látható, hogy a mintavételi frekvencia megválasztása nem történhet tetszőlegesen, valamint azt is láthattuk, hogy a mintavétel helyessége az eredeti jel frekvenciája és a mintavételi frekvencia viszonyától függ. Ha a mintavételezést pusztán a szinuszos jel időfüggvénye alapján próbáljuk értelmezni, akkor azt mondhatjuk, hogy akkor lesz megfelelő a mintavételezés, ha minden félperiódusból veszünk legalább egy mintát, azaz a mintavételi periódusidőt az eredeti periódusidő felére vagy kisebbre választjuk (T s T/2), de ahogy azt a 3.3.a. ábra mutatja, ennél szigorúbbnak kell lennünk, és az egyenlőséget nem engedhetjük meg, mert ebben az esetben előfordulhat, hogy mindig a zérushelyekről mintát véve, az eredeti jel helyett egy konstanst kapunk. A helyes mintavételezés feltétele tehát, hogy a mintavételi periódusidő kisebb legyen, mint a szinuszos jel periódusidejének fele. Ez formulával megfogalmazva az alábbi összefüggést jelenti 30

3. fejezet. A mintavételezés ω = 0.5 ωs ω = 0.45 ωs 1 1 0.5 0.5 x(t), x(nts) 0 x(t), x(nts) 0-0.5-0.5-1 -1 0 0.05 0.1 0.15 t (a.) 0 0.05 0.1 0.15 t (b.) 3.3. ábra. Szinuszos jel mintavételezése a határfrekvencia közelében T s < T 2, (3.1.5) ahol T s a mintavételi periódusidő, T pedig az eredeti jel periódusideje. A körfrekvencia és a periódusidő közötti összefüggés ismeretében a (3.1.5) megfogalmazható körfrekvenciákra is az alábbi alakban ω s > 2ω, (3.1.6) ahol ω s a mintavételi körfrekvencia, ω pedig az eredeti jel körfrekvenciája. Általában egy jel nem csak egy szinuszos összetevőből áll, de amint a későbbiekben látni fogjuk, minden periodikus jel 2 felírható különböző szinuszos jelek lineáris kombinációjaként. Ilyenkor a (3.1.6) összefüggést az alábbi módon kell megfogalmazni, ω s > 2ω M, (3.1.7) ahol ω M a jelben előforduló legnagyobb frekvenciájú összetevő frekvenciája, azaz a jel sávkorlátja. A helyes mintavétel feltételét, azaz a mintavételi törvényt tehát úgy fogalmazhatjuk meg, hogy egy sávkorlátozott jelet 2 Tágabb értelemben az aperiodikus jelek is ide érthetők. 31

3.1. A mintavételezés elve egyértelműen reprezentálnak a mintái, ha a mintavételi frekvencia és a jelben előforduló maximális körfrekvencia viszonyára igaz (3.1.7). A most megfogalmazott mintavételi törvény egzakt igazolása a Fouiriertranszformáció tárgyalása után, a II./2. fejezetben következik. 32

4. fejezet Lineáris rendszerek és tulajdonságaik 4.1. Alapfogalmak Mikor rendszerekről beszélünk, akkor tipikusan valamilyen fizikai objektum (gép, berendezés, hardware-software komponensek együttese stb.) absztrakt leírására gondolunk. A rendszernek vannak bemenetei (gerjesztések) és az ezek, ill. a rendszer belső állapotának hatására keletkező kimenetei (válaszok) és olyan absztrakt entitásként tekinthetünk rá, ami valamit csinál a gerjesztésekkel, hogy azokból válaszok legyenek. A rendszereket sokféle módon csoportosíthatjuk, ezek közül az egyik a bemenetek és kimenetek száma szerinti csoportosítás, mely szerint megkülönböztetünk: Egy bemenetű egy kimenetű, SISO (Single Input Single Output) Több bemenetű több kimenetű, MIMO (Multiple Input Multiple Output) rendszereket, ill. az ezekből származtatható SIMO és MISO változatokat. 33

4.2. Lineáris rendszerek A rendszerek matematikai reprezentációja egy operátor, 1 melynek argumentuma a rendszer bemenőjele (vagy bemenőjelei), értéke pedig a kimenőjelet (kimenőjeleket) fogja szolgáltatni, az alábbiak szerint SISO, ill. y(t) = W{x(t)}, (4.1.1) y(t) = W{x(t)}, (4.1.2) alakban MIMO rendszer esetén, ahol W{.} a rendszert reprezentáló operátor, ami a gerjesztést a válaszba képezi. A vektorértékű gerjesztés és válasz az alábbi módon értelmezhető y k (t) = W{x i (t)}, i = 1... N x, k = 1... N y, (4.1.3) ahol N x a gerjesztések, N y a válaszok száma. 4.1.1. Fontosabb rendszertulajdonságok Def. (Kauzális rendszer): Egy rendszer kauzális, ha válaszának t 0 (n 0 ) időpillanatbeli értékét csak a t 0 (n 0 ) időpillanatot megelőző gerjesztések befolyásolják. Def. (Invariáns rendszer): Egy rendszer invariáns (időinvariáns), ha gerjesztésének időbeli eltolása, válaszának csak egy ugyanekkora eltolását eredményezi, azaz, ha y(t) = W{x(t)}, akkor y(t t 0 ) = W{x(t t 0 )}. Az invariancia definíciója tulajdonképpen annyit jelent, hogy a rendszer jellemzői (struktúrája és paraméterei) nem változnak az időben. 4.2. Lineáris rendszerek A lineáris rendszerek és tulajdonságaik központi szerepet játszanak a jelfeldolgozásban, a linearitás feltételezése számos jelfeldolgozási technika 1 Az operátor egy olyan leképezés, ami egy jelből egy másik jelet állít elő. 34

4. fejezet. Lineáris rendszerek és tulajdonságaik alapja. Def. (Lineáris rendszer): Egy rendszer lineáris, ha a rendszert jellemző W{.} operátor homogén és additív. A definícióban szereplő additív tulajdonság azt jelenti, hogyha a rendszer az x i (t) gerjesztésre az y i (t) választ adja, 2 akkor { n } n n W x i (t) = W{x i (t)} = y i (t), (4.2.1) i=1 i=1 a homogenitás pedig annyit tesz, hogy a gerjesztés K-szorosára való növelése a válasz K-szoros növekedését eredményezi, formálisan i=1 W{Kx(t)} = KW{y(t)} = Ky(t), (4.2.2) tehát egy lineáris rendszer bemenetére adott jel arányos megváltoztatása, a kimenőjel ugyanolyan arányú megváltozásával jár. A fenti két tulajdonság egy közös formulával is felírható az alábbiak szerint { n } n n W K i x i (t) = K i W{x i (t)} = K i y i (t), (4.2.3) i=1 i=1 amit úgy interpretálhatunk, hogy a lineáris rendszer a gerjesztések lineáris kombinációját a hozzájuk tartozó válaszok lineáris kombinációjába viszi át. Ezt szokás oly módon megfogalmazni, hogy a lineáris rendszerekre érvényes az ún. szuperpozíció elve, ami azt jelenti, hogy ha a gerjesztést egy súlyozott összegként reprezentáljuk, akkor a válasz előállítható a taggerjesztésekre adott válaszok súlyozott összegeként (ld. (4.2.3)). A nemlineáris rendszerek mindazok, amelyekre nem érvényes a szuperpozíció elve. Fontos megjegyezni, hogy a fizikai objektumok szinte minden esetben nemlineáris viselkedésűek, de az őket reprezentáló rendszereket célszerű lineárisnak tekinteni. Ez a linearizálás természetesen nem önkényesen történik, hanem a rendszer jellegének és működésének figyelembevételével. 2 y i(t) = W{x i(t)} i=1 35

4.3. Rendszermodellek, rendszerek leírása 4.3. Rendszermodellek, rendszerek leírása A rendszerek absztrakt reprezentációi a különféle rendszermodellek, melyek igen változatosak lehetnek. A legfontosabbak az időtartománybeli rendszerleírási módszerek közül az input output (I/O) modellek (rendszeregyenletek), az állapottér modellek, valamint a rendszerjellemző függvényekkel történő rendszerleírási módok. A rendszermodelleknek léteznek megfelelői a transzformált tartományokban (frekvencia, komplex frekvencia) is, ezeket a megfelelő helyen a téma megértéséhez szükséges mélységben fogjuk tárgyalni. 4.3.1. A rendszeregyenlet Folytonos idejű lineáris invariáns rendszer be-kimeneti kapcsolatát leíró általános I/O modell az alábbi alakú differenciálegyenlet y (n) (t) + n a i y (n i) (t) = i=1 m b j x (m j) (t), (4.3.1) ahol x(t) a gerjesztés, y(t) a válasz, az a i -k és b j -k pedig a rendszert jellemző konstans paraméterek. Az egyenletben szerepelnek a gerjesztés és a válasz deriváltjai is, melyek közül a válaszjel legmagasabb rendű deriváltja határozza meg a rendszeregyenlet rendjét. Diszkrét idejű rendszer I/O modellje az ún. differenciaegyenlet, amely az alábbi általános alakban írható y[n] + i=1 j=0 N M a i y[n i] = b j x[n j], (4.3.2) ahol hasonlóan a folytonos idejű esethez x[n] a gerjesztés, y[n] a válasz, az a i -k és b j -k pedig a rendszert jellemző konstans paraméterek. A (4.3.1) rendszeregyenlettel összehasonlítva az alapvető különbség az, hogy a (4.3.2) nem deriváltakat tartalmaz, hanem a rendszer DI jellegéből fakadóan a gerjesztés és a válaszjel késleltetett értékeit. 36 j=0

4. fejezet. Lineáris rendszerek és tulajdonságaik 4.3.2. Az állapotváltozós rendszerleírás A rendszeregyenlet mellett egy másik fontos rendszerleírási mód az ún. állapotváltozós, vagy más néven állapotteres rendszerleírás. Ennél a módszernél nem közvetlenül az explicit I/O kapcsolatot definiáljuk, hanem bevezetjük az ún. állapotváltozókat, és ezek időbeli evolúciójára írunk fel differenciálegyenletet (diszkrét esetben differenciaegyenletet). Egy folytonos idejű lineáris invariáns rendszer állapotváltozós leírásának általános alakja x i(t) = y k (t) = N N s A ij x j (t) + B ij u j (t), (i = 1, 2,..., N) j=1 j=1 N N u C kj x j (t) + D kj u j (t), (k = 1, 2,..., N y ) j=1 j=1 (4.3.3) ahol x i (t) az i. állapotváltozó, A, B, C, D együtthatók, u j (t) a j. gerjesztés, y k (t) a k. válasz, N u és N y pedig rendre a gerjesztések és a válaszok száma. Kompaktabb írásmódban (4.3.3) megadható vektorosan is az alábbi alakban x (t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t), (4.3.4) valamint SISO rendszer esetén (4.3.4) tovább egyszerűsödik, és az alábbi alakban írható x (t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = c T x(t) + Du(t), (4.3.5) ahol az együttható mátrixok szerkezete a SISO rendszerre jellemző egy gerjesztés és egy válasz miatt jelentősen leegyszerűsödik. Diszkrétidejű SISO rendszer esetében az állapotváltozós leírás (4.3.5)-nek megfelelő normálalakja 37

4.3. Rendszermodellek, rendszerek leírása x[n + 1] = Ax[n] + bu[n] y[n] = c T x[n] + Du[n], (4.3.6) ahol a jelölések megegyeznek a (4.3.5) FI állapotváltozós leírásnál definiáltakkal. 4.3.3. A válaszidőfüggvények A válaszidőfüggvények alatt a tipikus vizsgálójelekre (ld. 2. fejezet) adott válaszokat értjük. Jelentőségük abban áll, hogy egy lineáris rendszer tipikus válaszainak ismeretében messzemenő következtetéseket vonhatunk le a rendszer működésével kapcsolatban. A válaszidőfüggvények ún. rendszerjellemző függvények, azaz megfelelő rendszermodellben magát a rendszert reprezentálják. Az alábbiakban a két legfontosabb vizsgálójelhez, az egységugráshoz és az egységimpulzushoz tartozó válaszfüggvényt definiáljuk, nevezetesen az ugrásválaszt és az impulzusválaszt. Def. (Ugrásválasz): Egy rendszer egységugrás-bemenetre adott válaszát ugrásválasznak nevezzük, formálisan v(t) = W{ε(t)}. Az ugrásválasz szokásos jelölése a v(t), az ugrásválasz ismeretében a rendszer válasza tetszőleges gerjesztésre kiszámítható (Duhamel-tétel). Def. (Impulzusválasz): Egy rendszer egységimpulzus-bemenetre adott válaszát impulzusválasznak nevezzük, formálisan w(t) = W{δ(t)}. Az impulzusválasz szokásos jelölése a w(t), ismeretében a rendszer válasza tetszőleges gerjesztésre kiszámítható (konvolúció). Az ugrásválasz és az impulzusválasz definíciója diszkrét idejű rendszerek esetére teljesen analóg a fenti definíciókkal, ezért külön nem kell bevezetni. 38

4. fejezet. Lineáris rendszerek és tulajdonságaik 4.3.4. Impulzus-dekompozíció, impulzusválasz alkalmazása Az impulzus-dekompozíció elvét először diszkrét idejű jelekre vezetjük be, majd az itt lefektetett koncepciókat fogjuk alkalmazni a folytonos idejű esetre. Impulzusnak az alábbi módon definiált jelet nevezzük: { k, ha n = 0 i[n] = (4.3.7) 0, különben, melynek speciális esete a 2. fejezetben tárgyalt δ[n] egységimpulzus, { 1, ha n = 0 δ[n] = (4.3.8) 0, különben. Minden impulzus felírható az egységimpulzus segítségével: i[n] = kδ[n] alakban, így tetszőleges diszkrét idejű x[n] jel is megadható impulzusok súlyozott összegeként az alábbi módon x[n] = i= x[i]δ[n i], (4.3.9) azaz tetszőleges jel felbontható impulzusok sorozatára oly módon, hogy az egyes időpillanatokhoz tartozó függvényértékeket eltolt, különböző értékű impulzusoknak tekintjük, így bármilyen összetett jelet impulzusok sorozataként tudunk kezelni. Ha egy lineáris és invariáns rendszer bemenőjelét ilyen módon impulzusokra bontjuk (impulzus-dekompozíció), akkor a kimenőjel az egyes impulzusokra adott válaszok (impulzusválaszok vagy súlyfüggvények) összegeként állítható elő (a szuperpozíció elve alapján) az alábbi módon y[n] = i= x[i]w[n i], (4.3.10) ahonnan látható, hogy az egységimpulzusra adott w[n] impulzusválasz ismeretében a rendszer y[n] válasza tetszőleges x[n] gerjesztésre kiszámítható. 39

4.4. Az átviteli karakterisztika A (4.3.10) formulát konvolúciónak nevezzük és a következő fejezetben részletesen tárgyaljuk tulajdonságait és alkalmazási lehetőségeit. 4.4. Az átviteli karakterisztika Az átviteli karakterisztika a rendszerjellemző függvények közé tartozik és a rendszer frekvenciatartománybeli viselkedését reprezentálja. A bevezetését először folytonos majd diszkrét idejű rendszerekre végezzük el, de elsőként a szinuszos jelek lineáris rendszeren való átvitelének jellegzetességeit fogjuk áttekinteni. 4.4.1. Szinuszos jelek, komplex csúcsérték Az s(t) = S cos(ωt+ρ) alakú szinuszos jel az Se j(ωt+ρ) komplex exponenciális jel valós része, azaz s(t) = S cos(ωt + ρ) = R{Se j(ωt+ρ) } = R{Se jωt e jρ }, (4.4.1) ahonnan az Se jρ az ún. komplex csúcsérték, jele S. A komplex csúcsérték bevezetésének jelentősége abban áll, hogy a komplex exponenciális jel (így a szinuszos jel is) a lineáris rendszernek sajátfüggvénye, 3 azaz egy y(t) = W{s(t)} gerjesztés válasz kapcsolattal jellemzett rendszerre és szinuszos S komplex csúcsértékű s(t) gerjesztésre Y = W (j ˆω)S, (4.4.2) ahol Y a válasz komplex csúcsértéke, és W (j ˆω) a gerjesztés ˆω körfrekvenciájától függő komplex konstans. Ha tehát a gerjesztés szinuszos, akkor a válasz is az, mégpedig ugyanazzal az ˆω körfrekvenciával, a rendszer átviteli tulajdonságait pedig a W (j ˆω) átviteli együttható jellemzi az ˆω körfrekvencián. 4 3 A sajátfüggvény (a sajátvektorral analóg) a rendszeren való átvitel során csak egy konstanssal szorzódik, akárcsak a sajátvektor a mátrix-vektor szorzás során (Ax = λx). 4 A (4.4.2) könnyen belátható, ha konvolúcióval meghatározzuk egy LI rendszer válaszát az s(t) = e j ˆωt gerjesztésre. 40

4. fejezet. Lineáris rendszerek és tulajdonságaik A komplex csúcsérték fontos tulajdonsága, hogyha az időfüggvények viszonya x 2 (t) = x 1 (t), akkor a komplex csúcsokra igaz, hogy X 2 = jωx 1, azaz az idő szerinti deriválás jω-val való szorzásként jelenik meg a komplex csúcsban. 5 4.4.2. Átviteli karakterisztika előállítása Ha a (4.4.2) összefüggésben szereplő W (j ˆω)-ot minden körfrekvenciához meghatározzuk (ω =... ), úgy a W (jω) komplex értékű függvényhez jutunk, amit átviteli karakterisztikának nevezünk. Az így definiált W (jω) a rendszer átviteli tulajdonságait jellemzi a teljes frekvenciatartományon. Az átviteli karakterisztika egyszerűen előállítható a lineáris rendszeregyenlet alapján 6 a deriválásra vonatkozó szabály alkalmazásával, így a (4.3.1) rendszeregyenletből komplex csúcsokra való áttérés után az alábbi alakot kapjuk (jω) n Y + n a i (jω) n i Y = i=1 ahonnan az Y és X kiemelése után a W (jω) = Y X = n b j (jω) n j X, (4.4.3) j=0 n j=0 b j(jω) n j (jω) n + n i=1 a i(jω) n i (4.4.4) átviteli karakterisztika általános alakját kapjuk, ami egy racionális törtfüggvény, számlálójában és nevezőjében (jω) polinomjával. 7 Az átviteli karakterisztikát oly módon is megkaphatjuk, ha a lineáris rendszer bemenetére x(t) = e jωt alakú jelet adunk, és meghatározzuk a válaszát a II./1. fejezetben tárgyalt konvolúció 8 segítségével (a konvolúció 5 Fel fogjuk használni még a x(t) = i Kisi(t) X = i KiSi tulajdonságot is. 6 Az átviteli karakterisztika nem csak a rendszeregyenletből határozható meg, előállítható az állapotváltozós leírás ill. az impulzusválasz ismeretében is. 7 A W (jω) független változója az ω körfrekvencia, de a (4.4.4) konstrukció miatt célszerű a (jω)-t argumentumnak tekinteni. 8 y(t) = w(τ)x(t τ)dτ 41

4.4. Az átviteli karakterisztika mint látni fogjuk a rendszer impulzusválaszának és gerjesztésének ismeretében alkalmas a válasz meghatározására) az alábbi módon ami átrendezés után az y(t) = w(τ)e jω(t τ) dτ, (4.4.5) y(t) = e jωt w(τ)e jωτ dτ = e jωt W (jω), (4.4.6) } {{ } W (jω) alakban írható, ahol a W (jω) az átviteli karakterisztika. A (4.4.6) összefüggésből látható, hogy a komplex exponenciális jel 9 a lineáris rendszer sajátfüggvénye, azaz a rendszeren való átvitel hatására egy konstanssal való szorzástól eltekintve változatlan marad. Az átvitel hatását reprezentáló szorzókonstans pedig éppen a W (jω) átviteli karakterisztikának az x(t) = e jωt gerjesztés körfrekvenciájához tartozó helyettesítési értéke. Diszkrét idejű rendszerek esetén az átviteli karakterisztika bevezetése a fentivel analóg módon történhet, most a konvolúció DI változatának alkalmazásával az alábbiak szerint. Legyen a DI lineáris rendszer bemenőjele az x[n] = e jϑn és határozzuk meg a rendszer válaszát konvolúció 10 segítségével az alábbi alakban y[n] = i= w[i]e jϑ(n i) = e jϑn i= w[i]e jϑi = e jϑn W (e jϑ ), (4.4.7) } {{ } W (e jϑ ) ahol a W (e jϑ ) az átviteli karakterisztika. Az FI változathoz hasonlóan itt is elmondható a (4.4.7) alapján, hogy az x[n] = e jϑn jel a DI lineáris rendszer sajátfüggvénye, hisz a rendszeren való átvitel hatására csak egy konstanssal fog skálázódni. 9 Így a szinuszos jel is. 10 y[n] = n i=0 w[i]x[n i] 42

4. fejezet. Lineáris rendszerek és tulajdonságaik Mivel az átviteli karakterisztika a rendszert frekvenciatartománybeli viselkedés szempontjából jellemzi, nagyon fontos szerepet játszik a jelfeldolgozásban, ahogy a későbbiekben a digitális szűrők tervezésekor látni fogjuk. 43

44 4.4. Az átviteli karakterisztika

Irodalomjegyzék [1] Rafael C. Gonzales and Richard E. Woods. Digital Image Processing. Prentice Hall, 2002. [2] Fodor György. Jelek és rendszerek. Műegyetemi Kiadó, 2006. [3] Simon Haykin and Barry Van Veen. Signals and Systems. John Wiley & Sons, Inc., 1999. [4] Szakonyi Lajos. Jelek és rendszerek i.-ii., 2002. Főiskolai jegyzet. [5] Richard G. Lyons. Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall, 2001. [6] Kuczmann Miklós. Jelek és rendszerek. Universitas-Győr, 2005. [7] Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, and S. Hamid Nawab. Signals and Systems. Pearson Education Inc., 1997. [8] Steven W. Smith. The Scientist and Engineer s Guide to Digital Signal Processing. California Technical Publishing, 1997. [9] Schiffer Ádám Sári Zoltán. Digitális kép- és hangfeldolgozás, 2002. Főiskolai jegyzet. 45