Jelek és rendszerek - 12.előadás

Jelek és rendszerek - 12.előadás A Z-transzformáció és alkalmazása Mérnök informatika BSc Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 1 / 47

Ismétlés Vázlat I.rész: Ismétlés 1 Ismétlés A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Az átviteli karakterisztika Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 2 / 47

Vázlat A Z-transzformáció és alkalmazása II.rész: A Z-transzformáció és alkalmazása 2 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja 3 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja 4 Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 3 / 47

Vázlat A Z-transzformáció és alkalmazása II.rész: A Z-transzformáció és alkalmazása 2 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja 3 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja 4 Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 3 / 47

Vázlat A Z-transzformáció és alkalmazása II.rész: A Z-transzformáció és alkalmazása 2 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja 3 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja 4 Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 3 / 47

Összefoglalás Vázlat III.rész: Összefoglalás 5 Összefoglalás Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 4 / 47

Ismétlés 1 Ismétlés A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Az átviteli karakterisztika Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 5 / 47

Ismétlés FI DI Fourier-transzformáció A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Fourier-transzformáció FI DI S(jω) = s(t)e jωt dt, s(t) = 1 S(jω)e jωt dω 2π ( az integrált közeĺıtve, és t lt s ) S(jω) l= ( dω = dϑ/t s ) s(kt s ) = 1 ( π T s 2π s[k] = 1 2π π π π s(lt s )e jωlts T s = = ϑ:=ωts T s ( l= l= s[l]e jϑl ) jϑk dϑ e T s s[l]e jϑl ) e jϑk dϑ l= s[l]e jϑl Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 6 / 47

DI Fourier-transzformáció Ismétlés A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) DI Fourier-transzformáció és inverze S(e jϑ ) = F {s[k]} = k= s[k] = F 1 { S(e jϑ ) } = 1 2π s[k]e jϑk π π S(e jϑ )e jϑk dϑ Fourier-transzformálhatóság Egy DI s[k] jel akkor Fourier-transzformálható, ha abszolút összegezhető, azaz s[k] <. k= Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 7 / 47

Ismétlés DI Fourier-transzformáció valós alakja A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Valós alak s[k] = 1 π 2π = 1 2π = 1 2π = 1 2π π 0 π ϑ ϑ π 0 S(e jϑ )e jϑk dϑ S(e jϑ )e jϑk dϑ + 1 2π π S(e jϑ )e jϑk dϑ + 1 2π S(e jϑ ) = ( S(e jϑ ) ) π 0 0 π ( S(e jϑ ) ) e jϑk dϑ + 1 2π S(e jϑ )e jϑk dϑ 0 S(e jϑ )e jϑk dϑ π 0 S(e jϑ )e jϑk dϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 8 / 47

Ismétlés DI Fourier-transzformáció valós alakja A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Valós alak (folyt.) s[k] = 1 2π s[k] = 1 2π = 1 2π = 1 2π π 0 ( S(e jϑ ) ) e jϑk dϑ + 1 2π π 0 S(e jϑ )e jϑk dϑ S(e jϑ ) = S re (ϑ) + js im (ϑ), S(e jϑ ) = S re (ϑ) js im (ϑ) π 0 π 0 π 0 (S re (ϑ) js im (ϑ)) e jϑk dϑ + 1 2π π 0 (S re (ϑ) + js im (ϑ))e jϑk dϑ (S re (ϑ) js im (ϑ)) e jϑk + (S re (ϑ) + js im (ϑ))e jϑk dϑ 2S re (ϑ) ejϑk + e jϑk 2 2S im (ϑ) ejϑk + e jϑk 2j dϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 9 / 47

Ismétlés DI Fourier-transzformáció valós alakja A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Valós alak (folyt.) s[k] = 1 2π s[k] = 1 2π π 0 2S re (ϑ) ejϑk + e jϑk 2 (Euler-formulák) π 0 2S im (ϑ) ejϑk + e jϑk 2j 2S re (ϑ)cos(ϑk) 2S im (ϑ)sin(ϑk) dϑ (S A (ϑ) = 2R { S(e jϑ ) }, S B (ϑ) = 2I { S(e jϑ ) } ) s[k] = 1 2π π 0 S A (ϑ)cos(ϑk) + S B (ϑ)sin(ϑk) dϑ dϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 10 / 47

Ismétlés DI Fourier-transzformáció valós alakja A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Valós együtthatók számítása S(e jϑ ) = s[k]e jϑk = (s[k] cosϑk js[k] sin ϑk) = k= k= s[k] cosϑk j k= k= s[k] sinϑk S A (ϑ) = 2R { S(e jϑ ) }, S B (ϑ) = 2I { S(e jϑ ) } S A (ϑ) = 2 s[k] cosϑk, S B (ϑ) = 2 s[k] sinϑk k= k= s[k] paritása s[k] páros S(e jϑ ) valós (S B (ϑ) 0) s[k] páratlan S(e jϑ ) képzetes (S A (ϑ) 0) Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 11 / 47

Ismétlés A Fourier-transzformáció tételei A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Tétel (Linearitás) F {C 1 s 1 [k] + C 2 s 2 [k]} = C 1 F {s 1 [k]} + C 2 F {s 2 [k]} { n } n F C i s i [k] = C i F {s i [k]} i=1 i=1 Tétel (Eltolás) F {s[k K]} = e jϑk S(e jϑ ) Biz. s[k K] = 1 π S(e jϑ )e jϑ(k K) dϑ = 1 π 2π π 2π π F{s[k K]} {}}{ e jϑk S(e jϑ )e jϑk dϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 12 / 47

Ismétlés A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) A Fourier-transzformáció tételei (folyt.) Tétel (Konvolúció spektruma) ( ) F {s[k] w[k]} = (s[k] w[k])e jϑk = s[i]w[k i] = k= i= = W(e jϑ ) s[i] k= w[k i]e jϑk = k= i= i= i= s[i]e jϑi = W(e jϑ )S(e jϑ ) s[i]e jϑi W(e jϑ ) e jϑk Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 13 / 47

Ismétlés A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) A Fourier-transzformáció tételei (folyt.) Tétel (Moduláció) F { s[k]e jϑ 0k } = k= vagy valós szinuszos jelre F {s[k] cos(ϑ 0 k)} = = 1 2 = 1 2 k= k= k= s[k]e jϑ 0k e jϑk = k= s[k] cos(ϑ 0 k)e jϑk = s[k]e jϑ 0k e jϑk + 1 2 s[k]e j(ϑ ϑ 0)k + 1 2 s[k]e j(ϑ ϑ0)k = S (e ) j(ϑ ϑ 0) k= k= k= = 1 2 S ( e j(ϑ ϑ 0) ) + 1 2 S ( e j(ϑ+ϑ 0) ) ( e jϑ 0 k + e jϑ ) 0k s[k] e jϑk 2 s[k]e jϑ 0k e jϑk s[k]e j(ϑ+ϑ 0)k Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 14 / 47

Ismétlés Az átviteli karakterisztika Az átviteli karakterisztika meghatározása Az átviteli karakterisztika W(e jϑ ) = Y(ejϑ ) S(e jϑ ) = b 0 + b 1 e jϑ + b 2 e 2jϑ + + b m e mjϑ 1 + a 1 e jϑ + a 2 e 2jϑ + + a n e njϑ A gerjesztés és a válasz spektrumának viszonya A W(e jϑ ) átviteli karakterisztika tehát tetszőleges gerjesztés és a rá adott válasz spektrumának ismeretében meghatározható. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 15 / 47

A Z-transzformáció 2 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja 3 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja 4 Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 16 / 47

A Z-transzformáció A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció bevezetése 1 Intuitív módon, a Fourier-transzformáció alapján 2 Formálisan Alapelv Csak olyan DI jelek Foiurier-transzformálhatók, melyek abszolút összegezhetők. s[k] helyett s[k] s[k]e σk k= k= s[k]e σk <! Csak belépő jelekre! Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 17 / 47

A Z-transzformáció A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció bevezetése (folyt.) F { ε[k]s[k]e σk} = s[k]e σk e jϑk k=0 st s := σ + jϑ, z := e sts S(z) = s[k]z k = s[0] + s[1]z 1 + s[2]z 2 + s[3]z 3 +... k=0 Megjegyzés (T s mintavételi periódusidő) { } L ε(t)s(t) δ(t kt s) = s(t) δ(t kt s)e st dt = k=0 k=0 s(kt s)e skts 0 0 k=0 δ(t kt s) dt z:=ests s[k]z k k=0 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 18 / 47

A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció A Z-transzformáció bevezetése (folyt.) S(z) = s[k]z k, k=0 jelölése S(z) = Z {s[k]} s[k] - időfüggvény, S(z) - képfüggvény, z - komplex frekvencia (DI) A Z-transzformáció az időtartományból az ún. komplex frekvenciatartományba, vagy Z-tartományba képez. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 19 / 47

A Z-transzformáció A Z-transzformáció tételei A Z-transzformáció tételei Tétel (Linearitás) Z {C 1 s 1 [k] + C 1 s 1 [k]} = C 1 S 1 (z) + C 2 S 2 (z) { n } n Z C i s i [k] = C i S i (z) i=1 i=1 Tétel (Eltolás) Z {ε[k K]s[k K]} = s[k K]z k = k=k k=k = z K s[m]z M = z K S(z) M=0 s[k K]z (k K) z K M:=k K Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 20 / 47

Az átviteli függvény A Z-transzformáció Az átviteli függvény Rendszeregyenlet Átviteli függvény W(z) = Y(z) S(z) = y[k] + Y(z) + Y(z) ( n m a i y[k i] = b j s[k i] i=1 i=1 i=0 n m a i z i Y(z) = b i z i S(z) 1 + i=1 m i=0 b iz i i=0 ) n m a i z i = S(z) b i z i i=0 1 + n i=1 a iz = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z 2 + + b m z m i 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + + a n z n Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 21 / 47

Az átviteli függvény A Z-transzformáció Az átviteli függvény Az átviteli függvény (folyt.) W(z) = Y(z) S(z) = m i=0 b iz i 1 + n i=1 a iz = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z 2 + + b m z m i 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + + a n z n A gerjesztés és a válasz Z-transzformáltjának viszonya A W(z) átviteli függvény tehát tetszőleges gerjesztés és a rá adott válasz Z-transzformáltjának ismeretében meghatározható. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 22 / 47

A Z-transzformáció Siettetett DI jel Z-transzformáltja Az átviteli függvény Siettetett DI jel Z-transzformáltja Z {s[k + 1]} = = z s[k + 1]z k = z k=0 k=0 s[k + 1]z (k+1) M=k+1 s[m]z M = z s[m]z M s[0] M=0 }{{} S(z) M=1 = zs(z) zs[0] Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 23 / 47

A Z-transzformáció Az átviteli függvény Átviteli függvény meghatározása az állapotváltozós leírásból Állapotváltozós leírás Átviteli függvény x[k + 1] = Ax[k] + bs[k], y[k] = c T x[k] + Ds[k] ( ) Z {x[k + 1]} = zx(z) zx[0] x[0] = 0 zx(z) = AX(z) + bs(z), Y(z) = c T X(z) + DS(z) zx(z) = AX(z) + bs(z) X(z)(zE A) = bs(z) X(z) = (ze A) 1 bs(z) Y(z) = c T (ze A) 1 bs(z) + DS(z) W(z) = Y(z) S(z) = ct (ze A) 1 b + D Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 24 / 47

A Z-transzformáció A Z-transzformáció tételei (folyt.) A Z-transzformáció tételei (folyt.) Tétel (Konvolúció Z-transzformáltja) Z {s[k] w[k]} = ( k ) s[i]w[k i] z k = k=0 i=0 i=0 k=0 } {{ } z i W(z) ( ) s[i]ε[k i]w[k i] k=0 = s[i] ε[k i]w[k i]z k = s[i]z i W(z) = S(z)W(z) i=0 i=0 } {{ } S(z) z k Megjegyzés (kauzális rendszer válasza az s[k] = z k jelre (z k = e σk e jϑk ) ) y[k] = w[i]s[k i] = w[i]z k i = z k w[i]z i = z k W(z) i=0 i=0 i=0 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 25 / 47

A Z-transzformáció A Z-transzformáció tételei (folyt.) A Z-transzformáció tételei (folyt.) Tétel (Csillapítási tétel) Z { s[k]q k} = ( ) k z s[k]q k z k = s[k] = S(z) z= q z q k=0 k=0 Tétel (Kezdeti- és végértéktétel) s[0] = lim z S(z), s[k ] = lim [(z 1)S(z)] z 1 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 26 / 47

A Z-transzformáció Kapcsolat a Fourier-transzformálttal A Z-transzformáció tételei (folyt.) S(z) S(e jϑ ) Ha az s[k] jel belépő és abszolút összegezhető, akkor S(e jϑ ) = S(z) z=e jϑ W(z) W(e jϑ ) Ha az LI rendszer GV stabilis és kauzális, akkor W(e jϑ ) = W(z) z=e jϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 27 / 47

A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az ε[k] Z-transzformáltja Z {ε[k]} = z k 1 = 1 z 1 = z z 1 k=0 Az ε[k]q k Z-transzformáltja Z { ε[k]q k} = q k z k = k=0 k=0 vagy a csillapítási tétel alkalmazásával: ( q ) k 1 = z 1 q z = z z q Z { ε[k]q k} 1 = 1 z 1 z= z q = 1 1 q z = z z q Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 28 / 47

A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az ε[k]q k Z-transzformáltja és deriváltjai (segítség az inverz transzformációhoz) Z { ε[k]q k} = d dq Z { ε[k]kq k 1} = d dq z z q Z { ε[k]k(k 1)q k 2} =. z (z q) 2 2z (z q) 3 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 29 / 47

A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az ε[k]e jϑk Z-transzformáltja Z { ε[k]e jϑk} = k=0 ε[k]e jϑk z k = Z{ε[k]qk }= z z q =, q=ejϑ z z e jϑ Az ε[k]e jϑk Z-transzformáltja Z { ε[k]e jϑk} = k=0 ε[k]e jϑk z k = Z{ε[k]qk }= z z q =, q=e jϑ z z e jϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 30 / 47

A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az ε[k] cos(ϑk) Z-transzformáltja Z {ε[k] cos(ϑk)} = Z {ε[k] ejϑk + e jϑk } = 1 2 2 Z { ε[k]e jϑk} + 1 2 Z { ε[k]e jϑk} = 1 z 2 z e jϑ + 1 z 2 z e jϑ = 1 2 z(z e jϑ ) + z(z e jϑ ) (z e jϑ )(z e jϑ ) = 1 2z 2 z(e jϑ + e jϑ ) 2 z 2 z(e jϑ + e jϑ ) + 1 = z2 z cos(ϑ) z 2 2z cos(ϑ) + 1 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 31 / 47

A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az ε[k] sin(ϑk) Z-transzformáltja Z {ε[k] sin(ϑk)} = Z {ε[k] ejϑk e jϑk } = 1 2j 2j Z { ε[k]e jϑk} 1 2j Z { ε[k]e jϑk} = 1 z 2j z e jϑ 1 z 2j z e jϑ = 1 2j z(z e jϑ ) z(z e jϑ ) (z e jϑ )(z e jϑ ) = 1 z(e jϑ e jϑ ) 2j z 2 z(e jϑ + e jϑ ) + 1 = z sin(ϑ) z 2 2z cos(ϑ) + 1 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 32 / 47

A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az δ[k] Z-transzformáltja Z {δ[k]} = δ[k]z k = 1 k=0 Az δ[k K] Z-transzformáltja Z {δ[k K]} = δ[k K]z k = z K k=0 vagy az eltolási tétel alkalmazásával: Z {δ[k K]} = z K Z {δ[k]} = z K Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 33 / 47

A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az impulzusválasz és az átviteli függvény viszonya Y(z) = W(z)S(z) W(z) = Z {w[k]}, ha s[k]=δ[k] S(z)=1 Y(z) = W(z) w[k] = Z 1 {W(z)} Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 34 / 47

A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Belépő periodikus jel Z-transzformáltja Egy f[k] függvény első periódusa (K db. ütem): s K [k] = {ε[k] ε[k K]}f[k] eltolva ik-hoz s[k] = s K [k ik] i=0 tagonként transzformálva Z {s[k]} = Z {s K [k]} z ik 1 = 1 z KS K(z) i=0 Megjegyzés S C p = 1 K K 1 k=0 s K [k]e jpϑk, S K (z) = K 1 k=0 s K [k]z k S C p = 1 K S K(z) z=e jpϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 35 / 47

A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja (Példák) DI jelek Z-transzformáltja Pl. 1 s[k] = ε[k] ( 0.5 k) Z { ε[k]q k} = z z q z S(z) = Z {s[k]} = z 0.5 Pl. 2 s[k] = ε[k] ( 2 0.8 k 0.9 k) Z { ε[k]q k} = z z q, linearitás z S(z) = Z {s[k]} = 2 z 0.8 z z 0.9 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 36 / 47

A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja (Példák) DI jelek Z-transzformáltja Pl. 3 s[k] = ε[k]0.7 k cos(5k) Z { s[k]q k} = S(z) z= z q (csillapítási tétel) S(z) = Z {s[k]} = Z {ε[k]cos(5k)} z= z = z2 z cos(5) 0.7 z 2 2z cos(5) + 1 z=( z = ( z 0.7 ( z 0.7 ) 2 ( z 0.7) cos(5) ) 2 ( 2 z ) = 0.7 cos(5) + 1 z 2 0.19z z 2 0.39z + 0.49 0.7) Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 37 / 47

A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja (Példák) DI jelek Z-transzformáltja Pl. 4 s[k] = ε[k]k0.6 k Z { ε[k]kq k 1} z = (z q) 2, ε[k]k0.6k = ε[k]k0.6 k 1 0.6 S(z) = Z {s[k]} = Z { ε[k]k0.6 k 1 0.6 } z = 0.6 (z 0.6) 2 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 38 / 47

A Z-transzformáció alkalmazása 2 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja 3 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja 4 Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 39 / 47

A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja Válasz Z-transzformáltja A válaszjel Z-transzformáltja s[k] LI rendszer y[k] S(z) W(z) Y(z) R.e. W(z) Áll.e. W(z) Y(z) = W(z)S(z), (y[k] = w[k] s[k]) Fontos! Csak olyan X(z) transzformáltakhoz tartozik időfüggvény melyekre lim X(z) <, z azaz X(z) valódi törtfüggvény (a nevező fokszáma magasabb). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 40 / 47

Az inverz Z-transzformáció 2 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja 3 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja 4 Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 41 / 47

Az inverz Z-transzformáció Az inverz Z-transzformáció inverz Fourier-transzformáció inverz Z-transzformáció s[k] = 1 π S(e jϑ )e jϑk dϑ 2π π belépő és csillapított s[k] π ε[k]s[k]e σk = 1 S(e σ+jϑ )e jϑk dϑ 2π π ε[k]s[k] = 1 π S(e σ+jϑ )e (σ+jϑ)k dϑ 2π π z = e σ+jϑ = e σ e jϑ dz dϑ = eσ je jϑ = jz dz = zj dϑ ε[k]s[k] = 1 S(z)z k 1 dz (r Γ k ) 2πj z =r Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 42 / 47

Az inverz Z-transzformáció Az inverz Z-transzformáció (folyt.) Megjegyzés Az alábbi inverziós integrál kiértékelésére a gyakorlatban nincs szükség. ε[k]s[k] = Z 1 {S(z)} = 1 S(z)z k 1 dz (r Γ k ) 2πj z =r A Γ k konvergenciatartomány { } Γ k = z : s[k]z k < k= pl.: s[k] = ε[k]0.5 k 0.5z 1 < 1 z > 0.5 A Γ k sohasem tartalmaz pólusokat! Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 43 / 47

Válasz számítása Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pl.5 W(z) = W(z) = Y(z) = W(z)S(z) = z z 2 + 0.4z 0.05, s[k] = 2ε[k]0.3k, y[k] =? z 2z, S(z) = Z {s[k]} = (z 0.1)(z + 0.5) z 0.3 2z 2 (z 0.1)(z + 0.5)(z 0.3) = z ( ) 2z (z 0.1)(z + 0.5)(z 0.3) a zárójeles kifejezés részlettörtekre bontása ( A Y(z) = z z 0.1 + B z + 0.5 + C ) A=, B= C= z 0.3 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 44 / 47

Válasz számítása Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pl.5 (folyt.) ( 1.67 Y(z) = z z 0.1 + 2.08 z + 0.5 + 3.75 ) = 1.67z z 0.3 z 0.1 + 2.08z z + 0.5 + 3.75z z 0.3 Z { ε[k]q k} = z z q y[k] = ε[k] ( 1.67 0.1 k 2.08 ( 0.5) k + 3.75 0.3 k) Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 45 / 47

Az inverz Z-transzformáció Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Pólus-zérus elrendezés, stabilitás Pólus-zérus elrendezés, stabilitás W(z) = Y(z) S(z) = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z 2 + + b m z m 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + + a n z n gyöktényezős alakban W(z) = K (z z 1)(z z 1 )...(z z m ) (z p 1 )(z p 1 )...(z p n ) A nevező polinom a ze A determináns s.é. = pólusok GV Stabilitás A DI rendszer akkor és csak akkor GV stabilis, ha W(z) átviteli függvényének minden pólusa az egységkörön belül helyezkedik el. ( p i < 1, i = 1, 2,..., n) Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 46 / 47

Összefoglalás 5 Összefoglalás Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 47 / 47