. Potenciálos áramláso Dr. Kristóf Gergel Department of Fluid Mechanics, BME 05. Potenciálos áramláso Nugvó térből eredő áramlás potenciálos mindaddig, amíg a falon eletező örvénesség bele nem everedi. legtöbb analitius megoldás potenciálos áramlásora ismeretes. [H.Lamb, 93, első iadása 879] Egszeresen összefüggő tartománban a potenciálos áramlás mozgási energiája a legisebb a tartomán határán adott normális sebességomponensű áramláso özül. [Thomson, 849] lalmazási példá Áramlás az elszívás özelében Szárna Szivárgás, uta Ivóvíztároló
Sebességi potenciál (φ) Örvénmentes áramlás esetén: Definiálhatju φ sebességi potenciált, melre: Elég φ-t meghatároznun, abból u, v, w, már önnen számolható, tehát φ bevezetésével háromról egre csöentettü az ismeretlen salármező számát. v v = φ azaz: u = v = w = z örvénmentességen ívül más fiziai iötést nem tettün, íg φ alalmazható ompresszibilis áramláso esetén is. Szivárgó áramláso Porózus anagoban, például talajban, őzeteben, adszorber ágaban az egfázisú szivárgó áramláso általában igen jó özelítéssel leírható a Darctörvénnel. térfogatáram eg vízszintes tengelű porózus csatornában: L p p = L p melben a dinamiai viszozitás [Pa.s]=ρν, [m ] pedig a porózus anag áteresztőépessége. értéét legtöbbször Darc-egségben adjá meg: D 0 m. Darc-törvén általános alaja: v = Tehát a sebességi potenciál: φ = p + ρ g z ( p + ρ g z) ( ) p nomásmező meghatározása φ (és ebből v ) ismeretében a nomásmezőt utólag is iszámíthatju a Bernoulli-egenlet felhasználásával. Ideális foladéra (ν=0, ρ=áll.): ρ p p = p ( v v ) + ρ g( z z ) Szivárgó áramlás esetében a nomásmező más apcsolatban áll a mozgásállapottal: φ = ( p + ρ g z) ezért: ( φ φ ) + ρ g( z ) p = z
φ iszámítása ontinuitás szerint: v v 4r π ( φ) = φ φ tehát harmonius függvén, azaz megoldása a Laplace-egenletne. Eg fontos alapmegoldás a [m 3 /s] intenzitású pontforrás sebességtere: 4π r = e r φ = + áll. megoldáso szuperponálható. Bármel potenciálos áramépet megözelíthetün a határfelületen alalmasan fölvett forrásmegoszlással. Áramfüggvén (ψ) Def: v = ψ ψ vetorpotenciál. ψ automatiusan ielégíti a ontinuitási egenletet állandó sűrűségű foladéra, mivel: v = ψ 0... D-ben ψ saláris menniség, mivel: w és z u z v = v = z w ezért ψ = ψ z, továbbá u = and v = Tehát D áramlásoat egetlen ψ salármezővel leírhatun, 3Dben viszont 3 omponense van. d ψ fiziai értelmezése D-ben ψ ψ+dψ B u v d ψ az és B ponto özötti térfogatáram ( m széles tartománban): B =ψ B ψ z áramfüggvén teljes differenciálja: dψ = d + d = v = u d ψ = v d + u d ψ szintvonalain nem áramli át a foladé, ezért ψ szintvonalai áramvonala. és u v ψ ψ ontinuitás: + = D-ben is teljesül. 3
D örvénmentes áramlás ψ eddig leírt tulajdonságai örvénes áramlásra is érvénese. Szorítozzun mostantól örvénmentes áramlásora: v u ( ) = v z = v és = u ψ ψ + ψ Tehát áramfüggvén is lehet bármel harmonius függvén. Komple potenciál (w) ψ is és φ is harmonius függvéne: ψ és φ továbbá ielégíti a Cauch-Riemann összefüggéseet: u = = v = = Tehát épezheti eg omple függvén valós és épzetes részét: ( z) = φ ( z, ) + iψ ( ) w, z a omple helvetor: z=+i Bármel analitius omple függvén valós és épzetes részei állandó sűrűségű, stacionárius, potenciálos síáramlást írna le. Már csa a peremfeltételeet ell ielégítenün. Megvizsgálun néhán alapmegoldást (pl. ln(z), z stb.), majd ezeet összegezve, transzformálva próbálun bonolultabb peremfeltételeet ielégíteni. omple sebesség (c) sebesség eg omple számmal adható meg: c = u + i v sebesség omple onjugáltját w differenciálásával nerhetjü. differenciálás bármel iránban végezhető: dw w w = = = u i v = c dz i c c i v i v 4
Potenciálo ψ φ w Neve áramfüggvén sebességi pot. omple pot. Változó ρ esetén nincs ** van nincs Örvénes áramlásra van nincs nincs 3D-ben vetor salár nincs Definíció ψ = v φ = v w = φ + iψ ** D összenomható áramlásra is definiálható áramfüggvén. 5