SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu
Gyakorlat SZDT-01 p. 2/23
Kísérlet, esemény, valószínűség SZDT-01 p. 3/23
SZDT-01 p. 4/23 Fogalmak Kísérlet: minden olyan tevékenység, amit valamilyen cél érdekében hajtunk végre és amely azonos körülmények mellett tetszőlegesen sokszor megismételhető, de az ismétlésekben az eredmény más lehet pl. otthoni vérnyomás-ellenőrzés reggelente és este Kísérlet: jelenségek megfigyelése pl. megfigyeljük az 50 éven felüli dohányzók körében egy adott időszak alatt a tüdőrákos megbetegedések számát Elemi esemény: egy kísérlet lehetséges kimenetelei pl. a mért vérnyomásérték normális vagy magas Ha két esemény, A és B olyan kapcsolatban van egymással, hogy A csak akkor következhet be, ha B is bekövetkezik, akkor az A esemény maga után vonja a B eseményt: A B pl. a HIV-fertőzés (A esemény) maga után vonja az AIDS-betegség (B esemény) kifejlődését Eseménytér: egy kísérlet összes elemi eseményének halmaza: Ω lehetetlen esemény: O biztos esemény: I ellentett (komplementer) esemény: A
SZDT-01 p. 5/23 Eseményalgebra Összeadás: A=egy baleset során az egyik kéz elvesztése, B=az egyik láb elvesztése, C=munkaképesség csökkenése A + B = C (C akkor következik be, ha A vagy B bekövetkezik) Kivonás: A esemény teljesül, de B nem: A B = F = AB Szorzás: A és B események szorzata az az esemény, amely csak akkor következik be, ha A és B is bekövetkezik: C = AB Összetett esemény: A esemény öszetett vagy felbontható, ha legalább két különböző esemény összegeként egyértelműen előállítható: D = A + B + C Teljes eseményrendszer: A 1,...A n teljes eseményrendszert képeznek, ha igazak az alábbi feltételek: A 1 + A 2 +... + A n = I A i A j =, ha i j i = 1,...,n és j = 1,...,n
SZDT-01 p. 6/23 A valószínűség fogalma 1. 0 P(A) 1 2. P(0) = 0 lehetetlen esemény 3. P(I) = 1 biztos esemény 4. Ha az A és B események, akkor az A és B eseményekre igaz: P(A + B) = P(A) + P(B) 5. Ha az A 1,A 2,...,A n események páronként kizárják egymást, akkor igaz. P(A 1 + A 2 +... + A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... + P(A n ) Feltételes valószínűség: A és B két esemény és P(B) 0: P(A B) = P(AB) P(B)
SZDT-01 p. 7/23 Feladatokhoz: Megfigyelési eredmények nemek szerinti bontásban tüdőrákra vonatkozóan Nem alakult ki Kialakult Összes Férfi 13262 454 13716 Nő 16692 153 16845 Összes 29954 607 30561
SZDT-01 p. 8/23 Feladatokhoz: Megfigyelési eredmények dohányzási szokás szerint tüdőrákra vonatkozóan Dohányzási szokás Nem alakult ki Kialakult Összes Nem 14802 65 14867 Mérsékelt 4347 47 4394 Erős 10805 495 11300 Összes 29954 607 30561
SZDT-01 p. 9/23 A teljes valószínűség tétele Ha a B 1,B 2,...,B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B i ) 0, akkor tetszőleges A esemény valószínűségére igaz: P(A) = n i=1 P(A B i) P(B i ) az A esemény valószínűsége a B i események feltétele mellett meghatározható. Feladat: Egy gyógyszertári aszisztens megfigyelte, hogy a leszállított lázmérők között hibásak is vannak. Megfigyelése szerint egy csomagban 0-tól 3-ig fordul elő sérült lázmérő. Véletlenül kiválasztva egy csomagot a 25 lázmérőből kivesz 3 darabot. Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott lázmérők nem sérültek?
SZDT-01 p. 10/23 Bayes-tétel Ha a B 1,B 2,...,B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B i ) 0 és egy tetszőleges A eseményre P(A) 0, akkor a B i eseményekre igaz: P(B i A) = P(A B i ) P(B i ) n k=1 P(A B k) P(B k ) a B i események valószínűsége az A esemény bekövetkezése esetén mint feltétel mellett a formula segítségével meghatározható. Feladat: Egy nehéz fémeket feldolgozó ipari környezetben a férfiak és nők száma azonos. Egy tüdőgyógyász szerint 100 férfi közül 15 és minden 100 nő közül 7 légzési panaszokkal kűzd. Mi a valószínűsége annak, hogy közülük kiválasztva egy személyt nő lesz?
Valószínűségi változó,várható érték, szórás SZDT-01 p. 11/23
SZDT-01 p. 12/23 Valószínűségi változó A biometriai vizsgálatok során megfigyelt vagy mért értékek véletlentől függő mennyiségek, amelyekhez számértékeket rendelünk. Ezeket a véletlen által befolyásolt értékeket közös néven valószínűségi változóknak nevezzük. pl. vérnyomásmérés valószínűségi változó, mert a mért értéket több tényező befolyásolhatja (a készülék állapota, fronthatás stb.), az értékben csak bizonyos valószínűség mellett lehetünk biztosak Pontosabban: ha egy eseménytér (Ω) elemeihez számokat rendelünk, akkor az eseményeken egy függvényt értelmezhetünk (ξ valószínűségi változó) pl. adott egy populáció, amelyet a végbélrák (A) kialakulásának szempontjából vizsgálunk; az Ω 2 elemű: lesz vagy nem lesz végbélrák (k = 1, 2) A valószínűségi változó az egyes eseményekhez rendelt valószínűségeket fogja sorra felvenni; minden esemény valószínűsége: 1 2 p k = P(A k ) = P(ξ = k) = 1 2, k = 1,2
SZDT-01 p. 13/23 Diszkrét valószínűségi változó Ha az ξ valószínűségi változó értékkészlete véges vagy megszámlálhatóan végtelen x k számsorozat, akkor a ξ-t diszkrét valószínűségi változónak nevezzük. Az egyes események valószínűségei: p k = P(A k ) = P(ξ = x k ) Az így meghatározott valószínűségeket a ξ változó eloszlásának nevezzük. pl. a 4,5 mmol/l vércukorérték milyen valószínűséggel fordul elő egy betegnél a vizsgálat során. A korábbi végbélrák előfordulásánál: 2 k=1 p k = 2 k=1 P(A k) = 2 k=1 P(ξ = x k) = 1 2 + 1 2 = 1 Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: F(x) = P(ξ < x) megadja annak valószínűségét, hogy a ξ milyen valószínűséggel vesz fel egy tetszőleges x értéknél kisebb értéket
SZDT-01 p. 14/23 Folytonos valószínűségi változó Értékkészlete végtelen vagy nem megszámlálhatóan végtelen Pl. vérnyomásértékek Az ilyen típusú változó eloszlásfüggvényének meghatározása nehezebb az egyes tartományok valószínűségének megadása közvetlenül nem lehetséges bevezetésre került a sűrűségfüggvény (minden szakasz valószínűsége megadható a szakaszhoz tartozó függvénygörbe alatti terület (integráljának) nagyságával sűrűségfügvény: f(x)
SZDT-01 p. 15/23 Valószínűségi változók várható értéke Ha egy kísérletet sokszor megismétlünk és mindegyik kísérletet egymástól függetlenül hajtjuk végre, akkor a valószínűségi változónak az egyes kísérletek során felvett értékei egy jól meghatározott érték körül ingadoznak. Diszkrét valószínűségi változó esetén: M(ξ) = n k=1 p kx k Feladat: Egy biztosítótársaság adatai szerint egy 30 éves ember 0, 985 valószínűséggel él meg egy évet és 0,015 valószínűséggel hal meg egy éven belül. Ha egy ilyen korú ember 300.000 Ft-os életbiztosítást köt, akkor 10.000 Ft-ot kap, ha megéli a biztosítástól számított egy évet. Mi lesz a biztosítótársaság várható nyeresége?
SZDT-01 p. 16/23 Valószínűségi változók szórása Egy valószínűségi változó értékeinek a várható érték körüli szóródását nevezzük a változó szórásának: D(ξ) Variancia: V ar(ξ) = D 2 (ξ) = M[(ξ M(ξ)) 2 ] = M(ξ 2 ) [M(ξ)] 2 Diszkrét valószínűségi változó esetén: V ar(ξ) = D 2 (ξ) = n k=1 p kx 2 k ( n k=1 p kx k ) 2
Nevezetes diszkrét eloszlások SZDT-01 p. 17/23
SZDT-01 p. 18/23 Binomiális eloszlás Végezzünk el egy kísérletet n-szer egymástól függetlenül. A kísérlet során egy A esemény bekövetkezésének valószínűsége legyen P(A) = p P(A) = q = 1 p p k = P(ξ = k) = ( n k) p k q n k, (k = 0,1,2,... n) A ξ valószínűségi változó eloszlását binomiális eloszlásnak nevezzük, amelynek várható értéke: M(ξ) = n p szórása: D(ξ) = n p q Feladat: Egy város lakóinak egyhatod része szenved egy bizonyos betegségben. Találomra egyenként kiválasztunk 5 főt úgy, hogy mindig a teljes létszámból választunk. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a kiválasztottak egyike sem beteg, vagy 1, 2, 3, 4, illetve 5 ember beteg.
SZDT-01 p. 19/23 Poisson-eloszlás p k = P(ξ = k) = λk k! e λ, (k = 0,1,2,... n) eloszlást a ξ valószínűségi változó Poisson-eloszlásának nevezzük, ahol λ > 0 egy tetszőleges valós szám Várható értéke: M(ξ) = λ Szórása: D(ξ) = λ pl.: lehulló hópelyhek száma egy adott tartományon baktériumok száma egy adott térfogatban balesetek száma egy időintervallumban adott idő alatt lezajló események száma Feladat: Egy kórház parkolója 300 autó befogadására alkalmas. Annak valószínűsége, hogy autó érkezik a parkolóba egy meghatározott percben, 0,04. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az adott percben 10-nél kevesebb autó érkezik a parkolóba.
Nevezetes folytonos eloszlások SZDT-01 p. 20/23
SZDT-01 p. 21/23 Egyenletes eloszlás Sűrűségfüggvénye: 0, ha x a, f(x) = 1, ha a < x b, b a 0, ha x > b Eloszlásfüggvénye: F(x) = P(ξ < x)= Várható értéke: M(ξ) = a+b 2 Szórása: D(ξ) = b a 12 0, ha x a, x a, ha a < x b, b a 1, ha x > b Feladat: Egy műszer a környezeti hőmérséklettől függően 6 10 s múlva lesz üzemképes. Legyen ξ a bekapcsolástól a működésig eltelt idő egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Határozzuk meg az eloszlás jellemzőit és a várható értékekhez tartozó valószínűségét.
SZDT-01 p. 22/23 Exponenciális eloszlás Sűrűségfüggvénye: 0, ha x 0, f(x) = λe λx, ha x > 0 Eloszlásfüggvénye: F(x) = P(ξ < x)= 0, ha x 0, 1 e λx, ha x > 0 Várható értéke: M(ξ) = 1 λ Szórása: D(ξ) = 1 λ Pl. alkatrészek élettertama radioaktív bomlási folyamatok Feladat: Egy röntgenberendezés működési ideje a meghibásodásig exponenciális eloszlású. A folyamatot leíró valószínűségi változó várható értéke legyen 400 óra. Határozzuk meg a ξ valószínűségi változó sűrűség- és eloszlásfüggvényét.
SZDT-01 p. 23/23 Normális eloszlás Egy tetszőleges ξ valószínűségi változó normális eloszlású, ha sűrűségfüggvényére igaz, hogy f(x) = 1 σ (x µ)2 e 2π 2σ 2 Az eloszlás várható értéke: M(ξ) = µ Szórása: D(ξ) = σ 1. Feladat: Tegyük fel, hogy a lakosság körében a fehérvérsejtszám várható értéke 8000, a szórása 1200 és az értékek normális eloszlást követnek. Várhatóan a lakosság hány %-a esik a 7000 és 10000 érték közé? 2. Feladat: Az SE-en az egyik tárgyból a hallgatók 30%-a rendszerint megbukik a teszt során. A pontszámok eloszlása normálisnak tekinthető 72-es átlaggal és 6 pont szórással. Hány pontot kell szereznie egy hallgatónak, hogy biztosan átmenjen a vizsgán?