Tartalomjegyzék GEOMETRI 1 Vektorok 1 11 Irányított szakaszok Vektorok 1 1 Műveletek vektorokkal 1 Kollineáris vektorok 5 14 Helyzetvektor 6 15 Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás 7 16 Skaláris szorzás 10 nalitikus geometria 1 Trigonometria 19 1 trigonometria elemei 19 Trigonometrikus egyenletek 4 Trigonometria síkmértani alkalmazásai 8 MTEMTIKI NLÍZIS 1 Valós számok, valós számhalmazok 0 Valós számsorozatok 1 Valós sorozatok Műveletek valós sorozatokkal Egyenlőtlenségek és határértékek 5 4 Konvergencia, monotonitás, korlátosság 6 5 Részsorozatok 7 6 Néhány fontos határérték 7 7 Határozatlansági esetek feloldása 8 Függvényhatárértékek 40 1 Függvény határértéke 40 Határértékekkel végzett műveletek 4 Határértékek tulajdonságai 4
4 Fontos határértékek 44 4 Folytonos függvények 46 41 folytonosság értelmezése 46 4 Műveletek folytonos függvényekkel 48 4 Folytonosság és Darboux tulajdonság 49 5 Deriválható függvények 50 51 derivált értelmezése 50 5 derivált mértani jelentése 5 5 Műveletek deriválható függvényekkel 5 54 Elemi függvények deriváltjai 54 55 Összetett függvény deriváltja 55 56 Magasabb rendű deriváltak 56 57 differenciálszámítás középértéktételei 57 571 Fermat-tétel 57 57 Rolle-tétel és a Rolle-sorozat 58 57 Lagrange-tétel 60 574 L Hospital-szabály 6 58 Függvény grafikus képe 6 581 szimptoták 6 58 Konvexitás és konkavitás 65 58 Függvény ábrázolása 66 6 határozatlan integrál 68 61 Primitív függvény határozatlan integrál 68 6 Primitiválható függvények 70 6 parciális integrálás módszere 7 64 Első helyettesítési módszer 7 65 Második helyettesítési módszer 75 66 Törtfüggvények integrálása 76 661 z Euler-helyettesítések 80 66 Trigonometrikus függvények integrálása 81 7 határozott integrál 8 71 Riemann-integralható függvények 8 7 Integrálható függvények tulajdonságai 85 7 parciális integrálás módszere 86 74 Első helyettesítési módszer 87 75 Második helyettesítési módszer 88 76 Középértéktételek 89 77 z integrálszámítás alaptétele 90 78 határozott integrál alkalmazásai 91
Tárgymutató abszcissza, 1 aszimptota függőleges, 6 ferde, 6 vízszintes, 6 áthajlási pont, 65 Bernoulli-egyenlőtlenség, 58 Cesaro tétele, 7 Darboux-tulajdonságú függvény, 49 derékszögű koordináta-rendszer, 1 derivált bal oldali, 50 jobb oldali, 50 magasabb rendű, 56 pontbeli derivált, 50 Descartes-féle koordináta-rendszer, 1 e, 6 egyenes általános egyenlete, 16 explicit egyenlete, 16 iránytényezője, 15 első helyettesítési módszer, 7, 87 Euler-egyenes, 8 Euler-helyettesítések, 80 függvény halmazon deriválható, 50 pontban deriválható, 50 primitiválható, 68 Riemann-integrálható, 8 függvény határértéke, 40 bal oldali, 41 jobb oldali, 41 féltengely, 1 Fermat tétele, 57 fogó-tétel, 4 folytonos függvény balról folytonos, 46 halmazon folytonos függvény, 46 jobbról folytonos, 46 pontbeli folytonosság, 46 forgástest, 9 térfogata, 9 Héron-képlet, 9 halmaz alsó határ, 0 alsó korlát, 0 alulról korlátos, 0 felülről korlátos, 0 felső határ, 0 felső korlát, 0 infimum, 0 szuprémum, 0 véges halmaz, 0 határozatlan integrál, 68 határozott integrál, 8 helyzetvektor, 6 adott szakaszt adott arányban osztó pont helyzetvektora, 6
háromszög súlypontjának helyzetvektora, 6 háromszögbe írt kör középpontjának helyzetvektora, 7 szakasz felezőpontjának helyzetvektora, 6 inflexiós pont, 65 intervallum felosztása, 8 egyenközű, 8 felosztás normája, 8 közbeeső pontrendszer, 8 osztópontok, 8 irányított szakasz, 1 ekvipolens, 1 izolált pont, 1 környezet, 1 koszinusz, 19 koszinusz-tétel, 9 kotangens, 0 kotangens-tengely, 0 L Hospital szabály, 6 Lagrange tétele, 60 lokális maximumpont, 57 lokális minimumpont, 57 lokális szélsőértékpont, 57 második helyettesítési módszer, 75, 88 Rolle tétele, 58 Rolle-sorozat, 59 sorozat, csökkenő, divergens, konvergens, korlátos, növekvő, periodikus, sorozat határértéke, összeg-sorozat határéréke, hányados-sorozat határéréke, szorzat-sorozat határéréke, sorozatok összege, hányadosa, szorzata, stacionárius pont, 57 szögfelező hossza, 1 szögpont, 51 szakadási pont, 47 elsőfajú, 47 másodfajú, 47 megszüntethető, 47 szinusz, 19 szinusz-tétel, 9 szubgrafikon, 9 területe, 9 oldalfelező hossza, 1 ordináta, 1 origó, 6, 1 parciális integrálás, 7, 86 π, 19 primitív függvény, 68 részsorozat, 7 radián, 19 Riemann-összeg, 8 tétel Ceva tétele, 9 koszinusz-tétel, 1 Meneláosz tétele, 9 Papposz tétele, 6 Stewart tétele, 1 szögfelező tétele, 7 Thálész tétele, 7 fordítottja, 7 tangens, 0 tangens-tétel, 9
tangens-tengely, 0 torlódási pont, 1 trigonometria alapképlete, 1 trigonometrikus kör, 19 univerzális helyettesítés, 81 vektor, 1 azonos állású vektorok, 5 ellentétes vektor, hossza, 1 modulusza, 1 nullvektor, 1 reprezentánsa, 1 skaláris négyzete, 11 vektorok összeadása, egyenlősége, különbsége, kollineáris vektorok, 5 merőleges vektorok, 10 skaláris szorzata, 10 szöge, 10 visszatérési pont, 51 Weierstrass tétele, 6
B ha ha 1 Vektorok 11 Irányított szakaszok Vektorok Irányított szakaszok rtelmezés z (, B) rendezett pontpárt irányított szakasznak nevezzük és így jelöljük: B rtelmezés z B és CD irányított szakaszokat ekvipolenseknek nevezzük (jelölés: B CD), ha az [D] és [BC] szakaszok felezőpontjai egybeesnek Megjegyzés Ha B CD, akkor az B szakaszt párhuzamos eltolással a CD szakaszra lehet helyezni Tulajdonság z irányított szakaszok halmazán az ekvipolencia egy ekvivalencia-reláció, azaz B (reflexív), B CD, akkor CD B (szimmetrikus), B CD és CD EF, akkor B EF (tranzitív) B C D B és CD pontosan akkor ekvipolensek, ha BDC egy paralelogramma vagy az, B, C, D pontok kollineárisak és az [D], [BC] felezőpontja megegyezik B D C Vektorok rtelmezés Egy adott irányított szakasszal ekvipolens irányított szakaszok halmazát vektornak nevezzük Jelölés z B irányított szakasz által meghatározott vektort B-vel (vagy egy kisbetűvel) jelöljük: B = { CD CD B } Megjegyzés Ha B CD, akkor B = CD z u = B = CD jelöléssel az B (vagy a CD) az u egy reprezentánsa rtelmezés z u hossza (modulusza) az őt reprezentáló irányított szakaszok közös hosszával egyenlő és u -val jelöljük rtelmezés nulla hosszúságú vektort nullvektornak nevezzük 1
(Háromszög-szabály): (Paralelogramma-szabály): rtelmezés z B és CD vektorok egyenlőek (jelölés: B = CD), ha az B és CD irányított szakaszok ekvipolensek Megjegyzés Két vektor akkor egyenlő, ha irányuk megegyezik (tartóegyeneseik párhuzamosak), hosszuk egyenlő és ugyanaz az irányításuk Tétel (dott kezdőpontú reprezentáns létezése) Ha adott az u vektor és egy tetszőleges M pont, akkor létezik egyetlen olyan M pont, amelyre u = MM Következmény z egyértelműség alapján, ha M = MB, akkor = B z irányított szakaszok halmaza = u C D G H B v E = F mellékelt ábrán u = B = CD =, v = EF = GH =, CD az u egy reprezentánsa, EF a v egy reprezentánsa, B = CD 1 Műveletek vektorokkal Vektorok összeadása z u és v vektorok összegét a következőképpen szerkesztjük meg egy tetszőleges M pontból kiindulva megszerkesztjük az MN = u majd az NP = v vektorokat Ekkor az u és v összege az u + v = MP vektor ha u és v nem kollineárisak, egy tetszőleges M pontból kiindulva megszerkesztjük az MN = u és az MP = v vektorokat, majd az MNQP paralelogrammát Ekkor az u és v összege az u + v = MQ vektor v u N u M v P u + v Háromszög-szabály N Q u M v P Paralelogramma-szabály u + v
asszociatív: kommutatív: a minden vektorok összeadásának tulajdonságai rtelmezés z B vektor ellentétes vektora a B = B vektor Tulajdonság vektorok összeadásának tulajdonságai ( a, b, c tetszőleges vektorok): ( a + b) + c = a + ( b + c); ( a ) + b = b + a; nullvektor 0 az összeadás semleges eleme: a + 0 = 0 + a = a; a vektornak van ellentettje ( a): a + ( a) = ( a) + a = 0 Feladat Bizonyítsuk be, hogy az BCD paralelogramma síkjának bármely M pontja esetén M + MC = MB + MD M z BCD paralelogrammában B = DC = CD és D = BC = CB B C M + MC = M = ( MB + B) + ( MD + DC) = = MB + MD + B + DC = D = MB + MD Vektorok kivonása z u és v vektorok különbségén az u v = u+( v) vektort értjük és a következőképpen szerkesztjük meg: egy tetszőleges M pontból kiindulva felvesszük az MN = u és MP = v vektorokat Ekkor u v = P N u v u M N u v v P Tetszőleges M, N, P pontok esetén MN MP = MN + P M = P N Feladat z BC háromszögben az B + C és B C vektorok modulusza egyenlő Bizonyítsuk be, hogy az BC háromszög derékszögű! M z B + C megszerkesztése érdekében megrajzoljuk az BDC paralelogrammát: B + C = D, így B + C = D = D C B C = B + C = C + B = CB, így B C = CB = CB B + C = B C D = BC, vagyis az BCD paralelogramma egy téglalap Tehát B D m( BC) = 90
15 Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás Tétel Legyen, B, C, D négy nem kollineáris pont z B és CD egyenesek pontosan akkor párhuzamosak, ha létezik olyan α R, amelyre B = α CD Tétel (Thálész tétele) z BC háromszög valamely oldalával húzott párhuzamos a másik két oldalon arányos szakaszokat határoz meg: ha DE BC, D B, E C, akkor D DB = E EC Következmény tétel feltételei mellett D B = E C, DB B = EC C Tétel (Thálész tételének fordítottja) Ha a D és E pontok az BC háromszög B és C oldalát arányos szakaszokra osztják, akkor DE BC E D D B E B C D C E B C háromszög szögfelezőinek tulajdonságai Tétel (Szögfelező tétele) Ha (D az BC háromszög BC szögének szögfelezője, D (BC), akkor BD DC = B C Tétel háromszögbe írt kör kör középpontja a háromszög szögfelezőinek I metszéspontja Tétel Ha O a sík egy tetszőleges pontja, a háromszögbe írt kör középpontjának helyzetvektorát az OI = a O + b OB + coc képlet adja meg, ahol a = BC, a + b + c b = C, c = B Kollinearitás Tétel z, B, C pontok pontosan akkor helyezkednek el egy egyenesen, ha létezik olyan α valós szám, amelyre B = α C Tétel z, B, C pontok pontosan akkor helyezkednek el egy egyenesen, ha létezik olyan α valós szám, amelyre bármely O pont esetén OC = α O + (1 α) OB 7
Feladat z BCD paralelogramma oldalain vegyük fel az E és F pontokat úgy, hogy 1 BE = B és F = D Igazoljuk, hogy C, E, F kollineárisak M z 1 BE = B feltétel alapján E = EB (lásd az ábrát), így E az B irányított szakaszt λ = arányban osztja Kezdőpontnak a C pontot választva, a helyzetvektor képlete alapján C CB CB + B CB CE = = = CB B 1 Hasonlóan, F = D F = F D, D azaz F az D irányított szakaszt λ = B arányban osztja E C F C ( ) CD CF = 1 = CD + D CD = CD D = B CB = CB B = CE, azaz E, C, F kollineárisak z BC háromszögben jelölje O a háromszög köré írt kör középpontját, G a háromszög súlypontját, H a háromszög magasságpontját (a magasságvonalak metszéspontját) Tétel (Sylvester tétele) z BC háromszögben O + OB + OC = OH Tétel z BC háromszögben az O, G, H pontok egy egyenesen helyezkednek el, melynek neve a háromszög Euler-egyenese és OH = OG B H O Sylvester tétele C H B G O C 8
nalitikus geometria Derékszögű koordináta-rendszer síkban tekintsük az egymása merőleges xx és yy egyeneseket, amelyek az O pontban metszik egymást és amelyeken kijelöltünk egy-egy pozitív irányt rtelmezés z (xox, yoy ) rendszert derékszögű koorináta-rendszernek vagy Descartes-féle koordináta-rendszernek nevezzük z O pont neve origó z [Ox, [Oy félegyenesek a pozitív féltengelyek, [Ox, [Oy a negatív féltengelyek Jelölés z (xox, yoy ) koordináta-rendszert (xoy)-nal jelöljük z [Ox illetve az [Oy féltengelyek egységvektorait i, j-vel jelöljük Descartes-féle koordináták Legyen M egy tetszőleges pont az xoy koordináta-rendszer síkjában Jelölje x M az M pontnak az Ox-tengelyre eső vetületének koordinátáját, y M az M pontnak az Oy-tengelyre eső vetületének koordinátáját rtelmezés z x M számot az M pont abszcisszájának, az y M pontot az M ordinátájának nevezzük z (x M, y M ) számpárt az M koordinátáinak nevezzük Ezzel egyenértékű a következő értelmezés rtelmezés z M pont r M = OM helytevketorát az i és j vektorok szerint felbontva OM = x M i + y M j, ahol x M, y M R z (x M, y M ) számpárt az M pont koordinátáinak nevezzük Jelölés Ez utóbbi értelmezés alapján (formálisan) r M = (x M, y M ) Két pont távolsága z (x, y ) és B(x B, y B ) pontok távolságát a B = (x B x ) + (y B y ) képlet adja meg Feladat Határozzuk meg az OB háromszög kerületét, ahol (, 4) és B(1, 5) M O = + 4 = 5, OB = 1 + 5 = 1, B = 9 + 1 = 8, így K OB = 18 + 8 1
Feladat Határozzuk meg az m R számot úgy, hogy az (; m) és B(m; ) pontok távolsága 4 legyen! M B = (m ) + ( m) = 4 m + 8 = 16 m = ± Műveletek kötött vektorokkal Legyen u = (a 1, b 1 ) és v = (a, b ) két vektor és λ egy valós szám Tulajdonság (Két vektor egyenlősége) u = v (a 1 = a és b 1 = b ) Tulajdonság (Két vektor összege) u + v = (a 1 + a, b 1 + b ) Tulajdonság (Vektor szorzata valós számmal) λ u = (λ a 1, λ b 1 ) Tulajdonság (Két vektor skaláris szorzata) u v = a 1 a + b 1 b R Tulajdonság z u vektor hossza u = a 1 + b 1 Következmény Két vektor skaláris szorzatának értelmezéséből a 1 a + b 1 b cos(û, v) = a 1 + b 1 a + b Következmény u pontosan akkor merőleges v -re, ha a 1 a + b 1 b = 0 Tétel z u és v vektorok pontosan akkor párhuzamosak, ha a 1 = b 1, a b a 1, a, b 1, b 0 vagy a 1 = a = 0 vagy b 1 = b = 0 Feladat dottak az a = i + j, b = i j és u = 6 i + j vektorok Határozzuk meg a p, r R számokat úgy, hogy fennálljon az u = p a +r b egyenlőség! M a = (1, 1), v = (1, 1), b = (6, ) p a + r { b = p (1, 1) + r (1, 1) = p + r = 6 (p, p) + (r, r) = (p + r, p r) = (6, ) p = 4, r = p r = Feladat Számítsuk ki: ( i + 5 j ) ( i 4 j ) M skaláris szorzás értelmezéséből i i = i i cos( i, i ) = 1 1 cos 0 = 1, j j = 1 1 cos 0 = 1, i j = i j cos( i, j ) = 1 1 cos 90 = 0, így ( i + 5 j ) ( i 4 j ) = 6 i 8 i j + 15 j i 0 j = 6 0 = 14 Másképp: formálisan írhatjuk, hogy ( i + 5 j ) ( i 4 j ) = (, 5) (, 4) = + 5 ( 4) = 14 Feladat Határozzuk meg az m R azon értékét, amelyre az u = i 5 j és v = 4 i + (m 1) j vektorok merőlegesek egymásra! M u v u v = 0 4+( 5) (m 1) = 0 8 10m+5 = 0 m = 1 10 Feladat Igazoljuk, hogy az u = 4 i 5 j és v = i +7 j vektorok tompaszöget zárnak be M u v = (4, 5) (, 7) = 1 5 = < 0, így a két vektor által bezárt szög 14
koszinusza negatív, azaz a szög tompaszög Feladat Határozzuk meg az m R paraméter értékét úgy, hogy az u = a i + j és v = 4 i + (a + 4) j vektorok párhuzamosak legyenek! M u v a 4 = a + 4 a + 4a 1 = 0 a 1 =, a = 6 Feladat z xoy koordináta-rendszerben adottak az O(0, 0), (, 1) és B(, 1) pontok Határozzuk meg az O és OB vektorok által bezárt szög koszinuszát! M O = (, 1), OB = (, 1), O = 5, OB = 5; O OB = O OB cos(âob) = 5 5 cos(âob) = cos(âob) = 5 Legyen r = (x, y ), r B = (x B, y B ), r C = (x C, y C ) Tétel z B vektor koordinátái B = (x B x, y B y ) Tétel Ha M (B) úgy, hogy M = k MB, akkor x k xb y k yb x M = és y M = 1 k 1 k Következmény z [B] szakasz M felezőpontjának ( koordinátái x + x B, y ) + y B Következmény z BC ( háromszög G súlypontjának koordinátái ) x + x B + x C y + yb + yc, Feladat Legyen G az BC háromszög súlypontja z, B és G helyzetvektorai r = 4 i + 7 j, r B = i j és r G = 4 i + 4 j Határozzuk meg a C pont helyzetvektorát! ( 4 + + xc M (4, 4) =, 7 1 + ) yc x C = 6, y C = 6 C(6, 6) Egyenes iránytényezője rtelmezés Legyen d egy egyenes, mely nem párhuzamos az Oy-tengellyel d egyenes iránytényezője a d-nek az Ox-tengellyel bezárt szögének tangense: m = tg φ, ahol φ [0, 180 ] \ {90 } (az Oy-nal párhuzamos egyeneseknek nincs iránytényezőjük) Tétel z (x, y ) és B(x B, y B ) pontokon átmenő egyenes iránytényezője m B = y y B x x B Tétel d : ax+by +c = 0, b 0 egyenletű egyenes iránytényezője m d = a b Tétel z y = mx + n egyenletű egyenes iránytényezője m 15
y d y d d y O x φ O x O φ x φ = 0, m = 0 Két egyenes szöge φ (0, 90 ), m > 0 φ (90, 180 ), m < 0 Legyen m 1 a d 1, m a d egyenes iránytényezője (d 1 d, d 1 Oy, d Oy) Tétel d 1 és d egyenesek akkor és csakis akkor párhuzamosak, ha m 1 = m Tétel d 1 és d egyenesek akkor és csakis akkor merőlegesek, ha m 1 m = 1 Tétel d 1 és d egyenesek által bezárt ) szög tangense m1 m tg ( d 1, d = 1 + m 1 m Egyenes egyenlete rtelmezés Legyenek a, b, c R, a 0 vagy b 0 zon (x, y) koordinátájú pontok, amelyekre ax + by + c = 0, egy d egyenesen helyezkednek el, melyet az ax + by + c = 0 egyenletű egyenesnek nevezünk és így jelölünk: d : ax + by + c = 0 (egyenes általános egyenlete) Tétel z Oy-tengelyt a (0, n) pontban metsző, m iránytényezőjű egyenes egyenlete y = mx + n (egyenes explicit egyenlete) Tétel z (x, y ) ponton áthaladó és m iránytényezőjű egyenes egyenlete y y = m(x x ) Tétel z (x, y ) és B(x B, y B ) pontokon áthaladó egyenes egyenlete y y yb y =, ha x x B és x = x, ha x = x B x x x B x x y 1 Megjegyzés fenti összefüggés x y 1 = 0 alakba is írható x B y B 1 Következmény zon egyenes egyenlete, amely a tengelyeket az (a, 0) és (0, b) pontokban metszi, (a, b 0), x a + y b 1 = 0 16
Trigonometria 1 trigonometria elemei Szög-mértékegységek rtelmezés Egy kör félkerületének és sugarának aránya állandó és π,1415- tel egyenlő rtelmezés kör sugarával megegyező hosszúságú körívhez tartozó középponti szög mértéke 1 radián Megjegyzés Egy szögnek fokban illetve radiánban való mértéke közt fennáll az α = 180 összefüggés, ahol α a szög fokban kifejezett, xr a szög radiánban x r π kifejezett mértéke II P 5π/6 P π/ P π/ P π/ P π/6 P π O P 0 P 7π/6 P 11π/6 III P 4π/ P π/ P 5π/ I IV trigonometrikus kör rtelmezés dott egy xoy derékszögű koordináta-rendszer z O középpontú, egységsugarú kört, amelyen kijelöltünk egy pozitív körbejárási irányt (az óramutató járásával ellentétes irányt), trigonometrikus körnek nevezzük Jelölés Legyen t R egy szám Ekkor egyetlen olyan P t-vel jelölt pont van a trigonometriai körön, amely m(âop t ) = t Szinusz és koszinusz Legyen t egy valós szám és P t a hozzátartozó pont a körön rtelmezés P t pont ordinátáját a t valós szám szinuszának nevezzük és így jelöljük: sin t rtelmezés P t pont abszcisszáját a t valós szám koszinuszának nevezzük és így jelöljük: cos t 19
ctg t T sin t t O cos t P t O t P t T tg t Tangens és kotangens rtelmezés z x = 1 egyenletű függőleges egyenest tangens-tengelynek, az y = 1 egyenletű vízszintes { egyenest pedig kotangens-tengelynek nevezzük π } rtelmezés Ha t R \ + kπ k Z, P t a t-nek megfelelő pont és T az OP t egyenes és a tangens-tengely metszéspontja, akkor T ordinátáját t tangensének nevezzük és így jelöljük: tg t rtelmezés Ha t R \ {kπ k Z}, P t a t-nek megfelelő pont és T az OP t egyenes és a kotangens-tengely metszéspontja, akkor T abszcisszáját t kotangensének nevezzük és így jelöljük: ctg t Fontosabb értékek x 0 sin x 0 cos x 1 tg x 0 ctg x π 6 π 4 1 1 π π 1 1 π π 4 5π 6 π 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Visszavezetés az első negyedbe x N x N x N 4 sin x = sin(π x) sin x = sin(x π) sin x = sin(π x) cos x = cos(π x) cos x = cos(x π) cos x = cos(π x) tg x = tg (π x) tg x = tg (x π) tg x = tg (π x) ctg x = ctg (π x) ctg x = ctg (x π) ctg x = ctg (π x) 0
trigonometrikus függvények előjele π π x 0 N 1 N π N N 4 π sin x 0 + 1 + 0 1 0 cos x 1 + 0 1 0 + 1 tg x 0 + + 0 + + 0 ctg x + + 0 + + 0 trigonometrikus függvények monotonitása π π x 0 N 1 N π N N 4 π sin x 0 1 0 1 0 cos x 1 0 1 0 1 tg x 0 + 0 + 0 ctg x + 0 + 0 lapösszefüggések sin x + cos x = 1 (a trigonometria alapképlete) tg x = sin x cos x = 1 ( ctg x π ) sin x = cos x sin( x) = sin x sin(x + π) = sin x ( π ) cos x = sin x cos( x) = cos x cos(x + π) = cos x ( π ) tg x = ctg x tg ( x) = tg x tg (x + π) = tg x ( π ) ctg x = tg x ctg ( x) = ctg x ctg (x + π) = ctg x 1
(x Függvényhatárértékek 1 Függvény határértéke rtelmezés zt mondjuk, hogy az f : D R, D R függvény határértéke az x 0 R torlódási pontban l R, ha az l bármely V l környezete esetén létezik az x 0 olyan U x0 környezete, amelyre x Ux 0 D esetén f(x) V l Jelölés Ha az f : D R függvény határértéke az x 0 R pontban l R, akkor ezt így jelöljük: lim f(x) = l x x 0 Tétel ( határérték Heine féle értelmezése) Legyen f : D R, x 0 R, l R Egyenértékűek a következő állítások: lim f(x) = l, x x 0 n) n 1, x n D, x n x 0, lim xn = x0 sorozat lim f(xn) = l n n Feladat Igazoljuk, hogy az f : R R, f(x) = sin 1 függvénynek nincs határértéke az x 0 = 0 pontban! x M Tekintsük az (x n ) n 1 és (x n) n 1 sorozatokat, ahol x n = 1 nπ, x n = (4n + 1)π Ekkor lim x n = lim n n x n = 0 és lim f(x n) = lim sin 1 = lim sin nπ = 0, n n x n n lim n f(x n) = lim sin 1 (4n + 1)π = lim sin = 1, n x n n így f-nek nincs határértéke 0-ban Határérték az x 0 R pontban rtelmezés lim x x 0 f(x) = l R ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x x 0 < δ(ε), x x 0 akkor f(x) l < ε rtelmezés lim x x 0 f(x) = + ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x x 0 < δ(ε), x x 0 akkor f(x) > ε rtelmezés lim x x 0 f(x) = ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x x 0 < δ(ε), x x 0 akkor f(x) < ε Feladat Igazoljuk, hogy lim x 0 x 1 x =! 40
M Igazoljuk, hogy ε > 0 esetén δ > 0 úgy, hogy ha x < δ, x 0, akkor f(x) > ε f(x) > ε x 1 ( 1 1 4ε > ε εx x + 1 < 0 x, 1 + ) 1 4ε { x ε ε 1 1 4ε δ = min ε, 1 } 1 4ε ε választással tehát x < δ f(x) < ε Határérték + -ben rtelmezés lim f(x) = l R x ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x > δ(ε) akkor f(x) l < ε rtelmezés lim f(x) = + x ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x > δ(ε) akkor f(x) > ε rtelmezés lim f(x) = x ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x > δ(ε), akkor f(x) < ε Határérték -ben rtelmezés rtelmezés rtelmezés lim f(x) = l R x ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x < δ(ε) akkor f(x) l < ε lim x lim x f(x) = + ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x < δ(ε) akkor f(x) > ε f(x) = ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x < δ(ε), akkor f(x) < ε Jobb és bal oldali határérték rtelmezés zt mondjuk, hogy az f : D R, D R függvény bal oldali határértéke az x 0 R torlódási pontban l R, ha az l bármely V l környezete esetén létezik az x 0 olyan U x0 környezete, amelyre x Ux 0 D, x < x 0 esetén f(x) V l Jelölés lim f(x) vagy lim f(x) x x 0 x x x<x 0 0 Tétel lim f(x) = l x x 0 x<x 0 (x n ) n 1, x n D, x n < x 0, lim x n = x 0 sorozat esetén lim f(x n) = l n n Megjegyzés Hasonlóan értelmezhető a jobb oldali határérték is Tétel z f : D R függvénynek a D halmaz x 0 torlódási pontjában akkor és csakis akkor van határértéke, ha van bal és jobb oldali határértéke és ezek egyenlők 41
Határértékekkel végzett műveletek Összeg, szorzat határértéke Tétel Ha az f, g függvényeknek van határértéke x 0 -ban és a határértékek összege illetve szorzata értelmezett, akkor az f + g illetve f g függvénynek is van határértéke x 0 -ban és lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x), x x 0 x x 0 x x 0 lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 Határozatlan esetek: + ( ), ( ) +, illetve 0 (± ), (± ) 0 Hányados határértéke Tétel Ha az f, g függvényeknek van határértéke x 0 -ban és a határértékek hányadosa értelmezett, akkor az f függvénynek is van határértéke x0-ban és g ( ) lim f(x) f(x) x x 0 lim = x x 0 g(x) lim g(x) x x 0 Határozatlan esetek: 0 0, ± ± Hatvány határértéke Tétel Ha az f, g függvényeknek van határértéke x 0 -ban és a határértékek hatványa értelmezett, akkor az f g függvénynek is van határértéke x 0-ban és ( ) lim g(x) lim f(x) g(x) x x = lim f(x) 0 x x 0 x x 0 Határozatlan esetek: 0 0, 1, 0 Összetett függvény határértéke Tétel Ha g : D E, f : E R, x 0 a D torlódási pontja, lim g(x) = x x 0 l 0, g(x) l 0, ha x x 0 és lim f(u) = l, akkor az f g függvénynek van u l0 határértéke x 0 -ban és lim (f g)(x) = l x x 0 Példa Ha lim f(x) = l R, akkor lim sin f(x) = sin lim f(x) = sin l x x 0 x x 0 x x 0 4
54 Elemi függvények deriváltjai függvény függvény deriváltja Deriválhatósági tartomány f(x) = c, c R f (x) = 0 R f(x) = x n, n N f (x) = nx n 1 R f(x) = x a, a R f (x) = ax a 1 (0, ) f(x) = x f (x) = 1 x f(x) = log a x, a>0, a 1 f (x) = 1 x ln a (0, ) (0, ) f(x) = ln x f (x) = 1 x (0, ) f(x) = a x, a>0, a 1 f (x) = a x ln a R f(x) = sin x f (x) = cos x R f(x) = cos x f (x) = sin x R f(x) = tg x f (x) = 1 cos x f(x) = ctg x f (x) = 1 sin x f(x) = arcsin x f 1 (x) = 1 x { π } R \ + kπ k Z R \ {kπ k Z} ( 1, 1) f(x) = arccos x f 1 (x) = 1 x ( 1, 1) f(x) = arctg x f (x) = 1 1 + x R f(x) = arcctg x f (x) = 1 1 + x R 54