Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása Szakdolgozat Írta: Ábele-Nagy Kristóf Közgazdasági elemz mesterszak Témavezet : Bozóki Sándor, egyetemi adjunktus Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar 2012

Köszönetnyilvánítás Hálás köszönettel tartozom Bozóki Sándornak, aki még az ELTE alkalmazott matematikus szakán felkeltette érdekl désemet a döntésanalízis iránt; már az akkori szakdolgozatom megírásában is sok segítséget nyújtott, javasolta számomra a témát. Köszönöm továbbá, hogy ezen szakdolgozat elkészítése során is mindvégig számíthattam gyors és segít kész támogatására. Köszönöm továbbá Poesz Attila Ph.D. hallgatónak, hogy rendelkezésemre bocsátotta a kísérletekhez használt tapasztalati páros összehasonlítás mátrixokat, és ezek adatbázisának kezelésében készségesen segített.

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 6 2. Páros összehasonlítás mátrixok 9 2.1. Sajátvektor módszer....................... 10 2.2. Logaritmikus legkisebb négyzetek módszere........... 11 2.3. Az inkonzisztencia mérése.................... 11 3. Páros összehasonlítás mátrixok aggregálása 14 4. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok 17 4.1. Értelmezés............................. 17 4.2. Gráf reprezentáció........................ 19 5. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása 22 6. A kitöltés és aggregálás sorrendjének vizsgálata 26 7. A kétszeres összefügg ség szerepe 38 8. Kevés döntéshozó által kitöltött elemek 42 9. Összefoglalás 53 Irodalomjegyzék 55 A. A 6.fejezet táblázatai 57 1

B. A 8. fejezet táblázatai 59 2

Ábrák jegyzéke 4.1. Példa gráf reprezentációra.................... 21 6.1. 6 6-os mátrixokból számolt súlyvektorok távolsága 1 -ban 32 6.2. 6 6-os mátrixokból számolt súlyvektorok távolsága 2 -ban 32 6.3. 8 8-as mátrixokból számolt súlyvektorok távolsága 1 -ban 33 6.4. 8 8-as mátrixokból számolt súlyvektorok távolsága 2 -ban 33 6.5. 8 8-asokból számolt súlyvektorok max. és átlagos távolsága. 36 6.6. 8 8-as aggregátum átlagos legnagyobb sajátértéke...... 37 8.1. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz.............. 45 8.2. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 2-es küszöb, krit. poz. szerint... 46 8.3. 15 mátrix, LLSM, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz.......... 47 8.4. 50 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz.............. 48 8.5. 50 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz.............. 49 8.6. 15 mátrix, 8 hiányzó elem, 2 krit. poz.............. 50 8.7. 15 mátrix, 6 hiányzó elem, 1 krit. poz.............. 51 3

Táblázatok jegyzéke 6.1. 4 4-es mátrixok távolság és s.é. eredményei 1 -ban..... 29 6.2. 6 6-os mátrixok távolság és s.é. eredményei 1 -ban..... 29 6.3. 8 8-as mátrixok távolság és s.é. eredményei 1 -ban..... 30 7.1. A Hamilton-kör teljesítménye a többi lehet séghez képest... 40 A.1. 4 4-es mátrixokra vonatkozó 2 -ban mért távolság értékek 57 A.2. 6 6-os mátrixokra vonatkozó 2 -ban mért távolság értékek 58 A.3. 8 8-as mátrixokra vonatkozó 2 -ban mért távolság értékek 58 B.1. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 1 krit. poz., 1.......... 60 B.2. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 1 krit. poz., 2.......... 60 B.3. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz., 1.......... 61 B.4. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz., 2.......... 61 B.5. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz., 1.......... 62 B.6. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz., 2.......... 62 B.7. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 4 krit. poz., 1.......... 63 B.8. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 4 krit. poz., 2.......... 63 B.9. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 5 krit. poz., 1.......... 64 B.10.15 mátrix, 12 hiányzó elem, 5 krit. poz., 2.......... 64 B.11.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 1 krit. poz., 1.......... 65 B.12.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 1 krit. poz., 2.......... 66 B.13.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz., 1.......... 67 B.14.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz., 2.......... 68 B.15.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz., 1.......... 69 B.16.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz., 2.......... 70 4

B.17.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 4 krit. poz., 1.......... 71 B.18.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 4 krit. poz., 2.......... 72 B.19.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 5 krit. poz., 1.......... 73 B.20.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 5 krit. poz., 2.......... 74 B.21.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 1 krit. poz., 1.......... 75 B.22.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 1 krit. poz., 2.......... 75 B.23.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz., 1.......... 75 B.24.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz., 2.......... 76 B.25.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz., 1.......... 76 B.26.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz., 2.......... 76 B.27.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 4 krit. poz., 1.......... 77 B.28.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 4 krit. poz., 2.......... 77 B.29.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 5 krit. poz., 1.......... 77 B.30.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 5 krit. poz., 2.......... 78 B.31.15 mátrix, 8 hiányzó elem, 1 krit. poz., 1.......... 78 B.32.15 mátrix, 8 hiányzó elem, 1 krit. poz., 2.......... 79 B.33.15 mátrix, 8 hiányzó elem, 2 krit. poz., 1.......... 79 B.34.15 mátrix, 8 hiányzó elem, 2 krit. poz., 2.......... 80 B.35.15 mátrix, 8 hiányzó elem, 3 krit. poz., 1.......... 80 B.36.15 mátrix, 8 hiányzó elem, 3 krit. poz., 2.......... 81 B.37.50 mátrix, 8 hiányzó elem, 1 krit. poz., 1.......... 82 B.38.50 mátrix, 8 hiányzó elem, 1 krit. poz., 2.......... 83 B.39.50 mátrix, 8 hiányzó elem, 2 krit. poz., 1.......... 84 B.40.50 mátrix, 8 hiányzó elem, 2 krit. poz., 2.......... 85 B.41.50 mátrix, 8 hiányzó elem, 3 krit. poz., 1.......... 86 B.42.50 mátrix, 8 hiányzó elem, 3 krit. poz., 2.......... 87 B.43.15 mátrix, 6 hiányzó elem, 1 krit. poz., 1.......... 88 B.44.15 mátrix, 6 hiányzó elem, 1 krit. poz., 2.......... 88 B.45.15 mátrix, 6 hiányzó elem, 2 krit. poz., 1.......... 89 B.46.15 mátrix, 6 hiányzó elem, 2 krit. poz., 2.......... 89 5

1. fejezet Bevezetés Az embereknek gyakran kell döntéseket hozniuk a mindennapi életben; ezek a döntési feladatok általában nagyon egyszer ek, nincs szükségünk döntéselméleti vizsgálódásra; el fordul az is, hogy gyorsan kell döntenünk, ilyenkor nincs id a probléma alapos elemzésére. Ezekben az esetekben a szempontok rövid mérlegelése után gyorsan határozunk. A gazdasági életben azonban gyakran el fordulnak olyan, komolyabb, nagyobb hatású döntési problémák, ahol a döntést nem lehet és nem szabad komoly mérlegelés nélkül meghozni. Ilyen esetekben össze kell gy jtenünk a szempontokat, amik a döntést befolyásolják, valamint az alternatívákat, amelyek a különböz választási lehet ségek a döntési feladatban. A közbeszerzési eljárás jellemz en ilyen feladat, amelyben a pályázati feltételek a szempontok, a jelentkez cégek ajánlatai az alternatívák. Minden, befektetéssel kapcsolatos döntésünk is egy ilyen feladat: ha részvényt akarunk vásárolni, a szempontjaink a kisebb vagy nagyobb kockázatú, kisebb vagy nagyobb nyereséggel kecsegtet részvények vizsgálatát igényli, a piacon lev részvények pedig az alternatívák, amik közül szempontjaink szerint választunk. Ezen szempontokat és alternatívákat azért fontos elemezni, mert jól el készített döntéseink következtében olyan eredmények várhatók, melyek a kiindulási feltételeknek és egyéb szempontjainknak leginkább megfelelnek, és így eredményeink saját preferenciáinknak leginkább megfelel ek lesznek. Ezeket a bonyolult döntéseket egyszer bb, elemi döntésekre is fel tudjuk bontani, ennek eszköze a döntéselméletben 6

gyakran alkalmazott páros összehasonlítás mátrix. Gyakran el fordul, hogy a döntéshozó nem tudja az összes, a döntést befolyásoló szubjektív információt megadni, mégis, a lehet legjobb döntést kell meghozni. Ekkor fontos az a megközelítés, hogy a hiányzó információt a meglev k felhasználásával megpróbáljuk pótolni, és ezek felhasználásával már meg tudjuk hozni a körülményekhez képest legjobb döntést. El fordulnak olyan szituációk, amikor egyszerre több döntéshozó preferenciáit kell gyelembe venni, azaz csoportos döntési feladatról van szó. Ilyen esetekben a preferenciákat valamilyen módon aggregálnunk kell, erre ad módszert az Aczél-Saaty-tétel. Ez az eljárás megkönnyíti a csoportos döntéshozatalt, mert a döntéshozóknak nem kell összeülni egyeztetni, mégis lehet ség van a csoport akaratának érvényesítésére. A két problémakör közösen is felmerülhet, azaz lehetséges, hogy hiányos információk alapján kell csoportos döntéseket meghozni. Ez e dolgozat f témája. Két ezzel kapcsolatos vizsgálatot végzünk el: el ször arra keressük a választ, hogy érdemes-e a hiányzó információkat bizonyos szempont szerint optimálisan kipótolva aggregálni a döntéshozók preferenciáit, vagy a hiányzó információkat egyszer en gyelmen kívül hagyva aggregálni. Néha nincs lehet ségünk az egyéni preferenciákból hiányzó információkat pótolni, ekkor mindenképpen ezeket gyelmen kívül hagyva kell aggregálnunk. Második témakörünkben megvizsgáljuk, hogy ekkor gyelembe vegyük-e azokat a kérdéseket, amelyekre csak kevés döntéshozó válaszolt, mert ez torzíthatja az aggregált preferenciákat. A második fejezetben bevezetjük vizsgálatunk alapvet tárgyát, a páros összehasonlítás mátrixokat, és azt, hogyan lehet ezekb l a preferenciasúlyokat meghatározni. A következ fejezetben megnézzük, hogyan lehet a páros összehasonlítás mátrixokat aggregálni. A negyedik fejezetben a hiányos információt reprezentáló nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokat vezetjük be, az ötödik fejezetben pedig ezen mátrixok aggregálását mutatjuk be. A hatodik fejezetben kezd dnek a saját eredmények, itt vizsgáljuk, hogy érdemes-e az egyéni nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokat kitölteni, miel tt aggregálnánk ket. 7

A hetedik fejezetben egy rövid kitér t teszünk, felvetjük a kitöltetlen elemek strukturális elhelyezkedésének szerepét, ezt azonban csak egy példán illusztráljuk, csupán mint lehetséges további kutatási iránnyal foglalkozunk vele. A nyolcadik fejezetben megvizsgáljuk, hogy ha nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokat aggregálunk (ezúttal el zetes kitöltés nélkül), akkor érdemesebb-e esetleg az olyan elemeket törölni az aggregátumból, ami csak kevés egyéni mátrixból származik. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy azokat a kérdéseket esetleg gyelembe se vesszük, ahol túl kevesen válaszoltak. Itt a bevezet végén említést teszek még az el z, az ELTE alkalmazott matematikus szakán írt diplomamunkámról[1], amely szintén nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokkal foglalkozott. Ennek témája egy Newton-módszeren alapuló eljárás volt, amellyel ezek a mátrixok optimálisan kitölthet ek. Ebben a dolgozatban is szó van nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok kitöltésér l, itt azonban már nem magát az eljárást tárgyaljuk, hanem a fent említett problémákat vizsgáljuk meg. Ezért a két dolgozat, bár hasonló témakörrel foglalkozik, emiatt az alapok ugyanazok, mer ben más kérdéseket elemez. 8

2. fejezet Páros összehasonlítás mátrixok Bevezetésképpen deniáljuk a többszempontú döntéselmélet egyik alapfogalmát, a (Saaty-féle AHP módszer [12, 13] alappillérének tekinthet ) páros összehasonlítás mátrixokat, és bemutatjuk, hogyan dönthetünk a számunkra legjobb alternatíva mellett ezen mátrixok felhasználásával. Els lépésként tegyük mértékegységekt l függetlenné a szempontokat. Alternatíváinkat ekkor súlyozott értékösszegek szerint rangsorolhatjuk, amely a következ képp áll el : S i = j w j x ij alapján, ahol w j a j szemponthoz rendelt súly, j w j = 1, w i 0, x ij az i alternatíva j szempont szerinti értéke, S i pedig az i alternatíva súlyozott értékösszege. Feltehet, hogy w i > 0, mert a 0 súlyú szempontokat elhagyhatjuk. Az S i szerinti rangsor megadja a mi szubjektív preferenciáink szerinti rangsort, feltéve, hogy a súlyokat ennek megfelel en állítottuk be. A döntéshozó általában nem tud számunkra egy olyan súlyvektort megadni, ami az preferenciáit megfelel en tükrözi. Ezért ezt a döntési feladatot lebonthatjuk egyszer bb döntésekrre, ha a következ kérdést tesszük fel a döntéshozónak: Hányszor fontosabb az A szempont a B szempontnál? Ezt 9

a kérdést általában viszonylag pontosan meg tudja válaszolni a döntéshozó. Az összes szempontpárra feltéve ezt a kérdést, a válaszul kapott arányokból közvetetten meghatározhatjuk a szempontok súlyait: a kérdésre kapott r ij értékeket (azaz r ij azt mondja meg, hányszor fontosabb az i szempont a j szempontnál) rendezzük az R mátrixba. Ez a mátrix egy ún. páros összehasonlítás mátrix, melynek elemei a következ tulajdonságokkal rendelkeznek: r ij = 1 r ji, r ij > 0, r ii = 1. Mivel a w i súlyok az i szempont fontosságát adják, ezért az els tulajdonság igaz. Így tehát azt, hogy egy szempont hányszor fontosabb egy másiknál, a két súly hányadosával adhatjuk meg, azaz r ij = w i w j. A második tulajdonság azért igaz, mert két szempont fontosságának arányára nyilván pozitív érték választ kapunk. A harmadik tulajdonság nyilvánvaló. Egy páros összehasonlítás mátrixot konzisztens nek nevezünk, ha r ij = r ik r kj, i, j, k. Ideális esetben ez teljesül, hiszen r ik r kj = w i w k w k w j = w i w j = r ij. 2.1. Sajátvektor módszer Gy jtsük tehát az r ij elemeket az R mátrixba, a keresett w i súlyokat a w vektorba. Az R mátrixnak egyetlen nemnulla sajátértéke van, mert a rangja nyilvánvalóan 1, mivel az összes sor az els skalárszorosa. Ekkor az Rw = nw összefüggés teljesül, ahol n az egyetlen nemnulla sajátérték, w pedig a hozzá tartozó sajátvektor, amelyre w i = 1. Ez a sajátvektor adja meg a keresett súlyokat. Itt n éppen az R mátrix dimenziója, hiszen egy mátrix nyoma a sajátérékeinek összege, és mivel a f átlóban csupa 1-es van, a nyom éppen a dimenziószám lesz, és egy kivételével az összes sajátérték 0. A w súlyvektor ilyen módon való meghatározását nevezzük sajátérték módszernek [12, 13]. 10

2.2. Logaritmikus legkisebb négyzetek módszere A Logaritmikus Legkisebb Négyzetek Módszere (a továbbiakban az angol Logarithmic Least Squares Method elnevezésb l rövidítve LLSM) a következ feladat megoldásával adja a súlyvektort: min n i=1 n j=1 [ log a ij log n w i = 1 i=1 ( wi w i > 0 i = 1,..., n. Ez egyfajta távolságot minimalizál az ideális állapothoz képest, hiszen konzisztens esetben a ij w j )] 2 = w i /w j. Belátható [7], hogy ennek a feladatnak a megoldása a mátrix sorelemeinek mértani közepeib l, vagyis a ( n ) 1/n w i = a ij j=1 formulából nyerhet, a w i = 1 normalizálással. 2.3. Az inkonzisztencia mérése Rendszerint a döntéshozótól nem várható el az, hogy a fontosságok egymáshoz való arányának megadásakor konzisztens mátrixot hozzon létre. A súlyok egy becslése ekkor is meghatározható, az Rw = λ max w sajátértékfeladat megoldásával. Itt λ max az R mátrix legnagyobb sajátértéke, ami konzisztens esetben az egyetlen nemnulla sajátérték. A PerronFrobeniustétel szerint λ max egyszeres, valós, és a hozzá tartozó sajátvektor elemei szigorúan pozitívak. 11

Mivel Saaty bebizonyította [13], hogy λ max n, ezért (szintén Saaty javaslata alapján) a két érték különbségét fel lehet használni egy konzisztencia mér szám meghatározására: ahol CR = CI ACI, CI = λ max n n 1. Az ACI véletlengenerált páros összehasonlítás mátrixok átlagos indexét jelöli, és a következ formában írható fel: ACI = λ max n n 1, ahol λ max véletlengenerált páros összehasonlítás mátrixok átlagos legnagyobb sajátértéke. ACI értéke így minden n-re egy átlagos érték, ami táblázatba foglalható [14]: n 3 4 5 6 7 8 ACI 0.523862 0.888663 1.107644 1.253422 1.339445 1.403563 9 10 11 12 13 14 15 1.452397 1.488691 1.515705 1.533726 1.548214 1.571806 1.584318 Ugyancsak Saaty javaslata alapján a CR = 0.1 elfogadható küszöbszámnak tekinthet. Mivel látható, hogy az inkonzisztencia a λ max lineáris függvénye, ezért a legnagyobb sajátértékre adott állítások általában átvihet k az inkonzisztenciára adott állításokba. Az LLSM feladat is m ködik inkonzisztens mátrixokra (eleve így lett meghatározva), ebben az esetben magának a célfüggvénynek az értéke ad némi információt az inkonzisztenciáról, azonban ez abszolut mér számként nem alkalmazható, nincs rá a Saaty-féle 10%-oshoz hasonló szabály. Mivel azonban a célfüggvény értéke egy minimalizálás eredménye, mondhatjuk, hogy amelyik mátrixra a célfüggvény értéke kisebb, az kevésbé inkonzisztens 12

egy olyan mátrixhoz képest, amelyre a célfüggvény értéke nagyobb. Konzisztens mátrixra a célfüggvény optimális értéke jól láthatóan 0. Az irodalomban sok más fajta inkonzisztencia mér szám létezik az itt bemutatottakon kívül [3, 4, 5, 6], azokkal ebben a dolgozatban nem foglalkozunk. 13

3. fejezet Páros összehasonlítás mátrixok aggregálása Ebben a fejezetben a BCE Fejezetek a döntéselméletb l cím tárgya nyomán mutatjuk be a páros összehasonlítás mátrixok aggregálását [7]. El fordul, hogy nem csak egy, hanem több, egyenl en fontos döntéshozó preferenciáit is gyelembe kell vennünk. Ez esetben szükség van egy módszerre, amivel az egyéni döntéshozók preferenciáit reprezentáló páros összehasonlítás mátrixokat egy közös, csoportos páros összehasonlítás mátrixszá aggregáljuk. Az aggregálást elemenként szeretnénk elvégezni, azaz A(i, j) = f(a 1 (i, j),..., A t (i, j)), ahol i, j = 1,..., n, t a döntéshozók (és így az aggregálandó mátrixok) száma, A az aggregált mátrix, A k pedig az egyéni mátrixok. Az aggregáló függvényünk f, amir l a továbbiakban feltesszük, hogy kváziaritmetikai közép, azaz a következ formában írható fel: [ t f(x 1,..., x t ) = Φ 1 i=1 Φ(x ] i), t ahol Φ folytonos, szigorúan növ függvény. A kváziaritmetikai közép az ismert átlagok (számtani, mértani, hatvány, harmonikus) általánosítása. A kváziaritmetikai közép bármely Φ folytonos, szigorúan monoton növ függvényre 14

teljesíti azt az elég természetes feltételt, hogy egyforma értékek aggregáltja az adott érték legyen, azaz f(x,..., x) = x. Ennek jelentése döntéshozók esetén, hogy egyetértés esetén nem módosít az aggregálás (továbbra is persze szempontok fontosságainak arányáról van szó). Azt is elvárjuk továbbá, hogy az aggregált mátrix is páros összehasonlítás mátrix maradjon, azaz rendelkezzen a pozitivitási és a reciprocitási tulajdonsággal. A pozitivitás teljesül, mivel az eredeti értékek is pozitívak, a reciprocitás pedig a következ t jelenti f-re nézve: ( 1 f,..., 1 ) = x 1 x t 1 f(x 1,..., x t ). Szeretnénk még, hogy teljesüljön a pozitív homogenitás feltétele, azaz ha minden döntéshozó s-szer nagyobb értéket ír be (s-szer nagyobb viszonylagos fontosságot tulajdonít az adott szempontnak), akkor az aggregátum értéke is s-szeres legyen. Formálisan: f(sx 1,..., sx t ) = sf(x 1,..., x t ), ahol s > 0 tetsz leges. 1. Tétel (Aczél,Saaty). A fenti kritériumoknak egyedül a mértani közép felel meg, azaz ( t ) 1/t f(x 1,..., x t ) = x i. Mivel a tétel szerint ez az egyetlen, az általunk elvárt tulajdonságokkal rendelkez aggregálási szabály, ezért a továbbiakban kizárólag az elemenkénti mértani közepet véve aggregáljuk a páros összehasonlítás mátrixokat. Fontos, hogy nem lehet egyesével új elemeket hozzárakni egy aggregátumhoz, mert f(x 1, x 2, x 3 ) f(f(x 1, x 2 ), x 3 ). Például, legyenek a 1, a 2, a 3 három aggregálandó mátrix ugyanazon (nem f átlóbeli) pozícióján lév elemek. Ezek aggregátuma 3 a 1 a 2 a 3. Ha viszont el bb csak az els kett t agg- 15 i=1

regáljuk, ezek aggregátuma a 1 a 2, ha ezt aggregáljuk a harmadikkal, akkor a1 a 2 a 3 lesz a végs eredmény, ami láthatóan általában nem egyezik meg a három elem egyszerre való aggregátumával. A probléma persze áthidalható, ha tudjuk, az el z aggregátum hány elemb l állt össze, jelölje ezt p. Ekkor ha az el z, p elemb l álló aggregátum elemeit p-edik hatványra emeljük, összeszorozzuk az új elemmel és a szorzatból p + 1-edik gyököt vonunk, pont a kívánt eredményt kapjuk. Formálisan, legyen a = p a 1 a 2... a p, ekkor p+1 a p a p+1 = p+1 p a1 a 2... a p p a p+1 = p+1 a 1 a 2... a p a p+1 éppen a helyes eredményt adja. A nem helyes módon (tehát a külön-külön) történ aggregálásnak is van létjogosultsága, abban az esetben, ha a különböz döntéshozókat különböz súllyal akarjuk szerepeltetni. Képzeljük el például, hogy van egy (egyenrangú) szakemberekb l álló csoport, akik egy szakmai véleményt nyújtanak be, és egy menedzser, aki a végs döntést hozza. Ha a menedzser és az egész csoport véleményét szeretnénk egyenrangúnak tekinteni, akkor érdemes el bb a szakemberek mátrixait aggregálni, majd ezt az aggregált mátrixot aggregálni a menedzser mátrixával. Ezzel a módszerrel tehát döntési súlyokat tudunk bevinni a rendszerbe. 16

4. fejezet Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok Ebben a fejezetben (a Bozóki-Fülöp-Rónyai cikk nyomán [2]) újabb alapfogalmakat vezetünk be, a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokat, és azok gráf reprezentációját. 4.1. Értelmezés El fordulhat, hogy nem áll rendelkezésünkre az összes páros összehasonlítás. Ennek több oka lehet, például a mátrix olyan nagy, hogy nagyon körülményes lenne minden elemét kitölteni ( n(n 1) 2 darab elemre van szükségünk). Csoportos döntési feladat esetén a döntéshozók számából adódóan ez a szám ráadásul sokszorosára n het. Az is lehetséges, hogy a döntéshozó a fontosság arányát nem tudja elég biztonsággal megadni. Ilyen esetekben olyan mátrixot kapunk, ami nincs teljesen kitöltve. Egy nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix (amelyet el ször Harker deniált [9]) tehát az alábbihoz hasonló formát ölti, ahol a hiányzó elemet jelöl: 17

1 r 12... r 1n 1/r 12 1 r 23... R = 1/r 23 1... r 3n....... 1/r 1n 1/r 3n... 1. A hiányzó elemek (a f átlót kivéve) bárhol lehetnek, és ha r ij hiányzik, akkor r ji is. Egy nem teljesen kitöltött mátrix tulajdonképpen nem is mátrix, de ez a forma bizonyos mértékig kezelhet vé válik, ha a hiányzó elemeket változóként kezeljük. E célból vezessük be az x 1, x 2,..., x d R + változókat az R fels háromszögéb l hiányzó elemekre. A reciprokaik, 1/x 1, 1/x 2,..., 1/x d R + kerülnek az alsó háromszögbe, így a hiányzó elemek száma összesen 2d. Jelölje R(x) = R(x 1, x 2,..., x d ) = 1 r 12 x 1... r 1n 1/r 12 1 r 23... x d 1/x 1 1/r 23 1... r 3n,....... 1/r 1n 1/x d 1/r 3n... 1 ahol x = (x 1, x 2,..., x d ) T R d +. Így akár úgy is tekinthetünk a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokra, mint az x R d + összes kitöltött mátrixok halmazára. által generált A korábban ismertetett sajátvektor módszert úgy általánosíthatjuk a nem teljesen kitöltött esetre, hogy a mátrixhoz tartozó optimális súlyvektort adjuk meg, abban az értelemben, hogy az inkonzisztenciát minimalizáljuk. A sajátvektor módszernél az inkonzisztencia minimalizálásával ekvivalens λ max minimalizálása, jobban mondva a mátrix egy olyan kitöltésének el állítása, hogy λ max minimális legyen, formálisan tehát min λ max (R(x)) x R d + értékét, és a minimum helyét (az optimális x vektort) keressük. Az így kapott 18

súlyvektort tekintjük a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixhoz tartozó (sajátvektor módszerrel el állított) súlyvektornak. Az LLSM módszer nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokra a következ alakot ölti: min n i,j=1 r ij adott [ log r ij log n w i = 1 i=1 ( wi w i > 0 i = 1,..., n. Az egyetlen különbség tehát a teljesen kitöltött esethez képest, hogy azokat az elemeket, amelyek nincsenek kitöltve, egyszer en nem vesszük gyelembe, és így határozzuk meg az optimális súlyvektort. w j )] 2 Érdemes megjegyezni, hogy míg a sajátvektor módszer a lehet legkevésbé inkozisztensen kitölti a mátrixot és abból számol súlyvektort, addig az LLSM módszer közvetlenül a súlyvektort határozza meg, a mátrix kitöltése nélkül. Ez azért van, mert míg a sajátvektor módszerben a hiányzó elemek a változók, addig az LLSM módszerben a súlyvektorban szerepl súlyok a változók, és ezért a hiányzó mátrixelemek helyére sem tudunk mit írni. Felmerülhet, hogy a w i /w j értékeket írjuk be a hiányzó elemek helyére, de ez nem volna korrekt, ugyanis a hiányzó elemeket egyszer en nem vettük gyelembe, és nem a hiányzó elemek szerint optimalizáltunk (a w i /w j értékekb l egy konzisztens mátrixot lehet felépíteni, de ekkor minden elem helyére ezeket kell írnunk, nem csak a hiányzóak helyére). 4.2. Gráf reprezentáció Szeretnénk azt meghatározni, hogy mikor lehetséges optimális súlyvektort el állítani. Ehhez el ször szükségünk van a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok gráf reprezentációjának deniálására. Legyen tehát adott egy A n n-es nem teljesen kitöltött páros összeha- 19

sonlítás mátrix. A következ deníció teljesen kitöltött mátrixok esetén is érvényes lesz, ezért tekintsünk a kitöltött mátrixokra úgy, mint speciális nem teljesen kitöltött mátrixra, amelynek minden eleme ki van töltve. Ekkor az A mátrixhoz tartozó G irányítatlan gráf a következ módon határozható meg: G := (V, E), ahol V = 1, 2,..., n, a gráf pontjai az összehasonlítandó szempontoknak felelnek meg, az élei pedig a mátrix kitöltött elemeinek. Azaz E = {e(i, j) a ij meg van adva (és ekkor persze a ji is adott), és i j}. Tehát két különböz szempontnak megfelel pont között pontosan akkor megy él, ha a két szempont össze van hasonlítva, azaz az összehasonlításuknak megfelel két elem a mátrixban ki van töltve. A gráf reprezentációval könnyen jellemezhetjük a megoldás egyértelm ségét[2]: 2. Tétel (Bozóki,Fülöp,Rónyai). A sajátvektor módszernek (azaz a λ max (A(x)) minimalizálási feladatnak), valamint az LLSM feladatnak is pontosan akkor egyértelm a megoldása, ha az A nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixhoz tartozó G gráf összefügg. Ebb l következik, hogy ha a mátrix elemei pontosan egy feszít fa mentén adottak, akkor a mátrix konzisztensen (és egyértelm en) kitölthet, azaz egy konzisztens, teljesen kitöltött mátrixot bármely feszít fája mentén való kitöltése már egyértelm en meghatározza. A gráf reprezentációt a következ példán szemléltetjük: 1 2 5 8 1/2 1 3 1/2 1/5 1/3 1 1/2. 2 1 3 1/8 2 1/3 1 20

Ehhez a mátrixhoz a következ gráf reprezentáció tartozik: 4.1. ábra. A fenti 5 5-ös mátrixhoz tartozó gráf Látható, hogy pontosan azon pontok közt megy él, amelyekhez tartozó páros összehasonlítások meg vannak adva a mátrixban. 21

5. fejezet Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokra az aggregálási szabályt értelemszer en visszük át: továbbra is elemenkénti mértani közepet veszünk; ha valamelyik mátrixban egy elem nincs kitöltve, azt egyszer en nem vesszük gyelembe. Így az aggregált mátrix elemei különböz számú elemek mértani közepeként adódnak. Formálisan a ij, az aggregált mátrix (i, j) pozíción lév eleme, így adódik: a ij = t a k=1 e(i,j) E k (k) ij 1/p ij ha k : e(i, j) E k üres marad egyébként, ahol i, j = 1,..., n, t az aggregálandó mátrixok száma, E k a k-dik aggregálandó nem teljesen kitöltött mátrixhoz tartozó G k gráf élhalmaza, p pedig azon aggregálandó mátrixok száma, ahol az (i, j) pozíció ki van töltve (avagy gráfos felírásban p ij = {k e(i, j) E k } ), a (k) ij pedig a k-dik aggregálandó mátrix (i, j) pozíción lév eleme. 22

Az aggregált mátrix minden olyan pozíción ki lesz töltve, ahol legalább egy aggregálandó mátrix ki van töltve, azaz t E = E k. k=1 Ebb l következik, hogy ahhoz, hogy a végs súlyvektort meg tudjuk kapni (akár sajátvektor, akár LLSM módszerrel), elég, ha csak az aggregált mátrixhoz tartozó gráf összefügg, ezt az egyéni mátrixokra nem kell megkövetelnünk. A probléma, hogy egy aggregátumhoz nem lehet egy újabb elemet csupán mértani középpel hozzárakni, természetesen itt is jelentkezik. Itt azonban már az sem elég, ha tudjuk, hogy hány mátrixból állt az el z aggregátum, hiszen lehetséges, hogy ezek közül az adott pozíción néhány nem volt kitöltve. Ezt úgy lehet áthidalni, hogy minden egyes pozícióra nyilvántartjuk, hogy hány kitöltött elemb l állt össze az aggregátum. Ekkor persze nem elég egy darab p számot tudnunk, hanem a fenti p ij számokból alkotott P mátrix fels háromszögének mind az n(n 1)/2 darab értékére szükségünk van (természetesen p ij = p ji, a f átló pedig érdektelen). 1. Állítás. Konzisztens (teljesen kitöltött) mátrixok aggregátuma konzisztens Bizonyítás: Elég csak két mátrixra belátni, mert az elemenkénti hatványozás (a mértani közép p-edik gyökvonása, vagy az azt eltüntet p-edik hatványra emelés) nem befolyásolja a konzisztencia meglétét, így a fentebb leírt módon az aggregátumhoz hozzárakva még egy konzisztens mátrixot az állítás tetsz leges számú mátrixra kiterjeszthet. Ugyanezen oknál fogva az aggregálás gyökvonásaival sem foglalkozunk. Vegyünk tehát két (teljesen kitöltött) konzisztens mátrixot (A és B), és ezeknek vegyük egy olyan nem teljesen kitöltött verzióját, amely ugyanazon (egyébként tetsz leges) feszít fa mentén van csak kitöltve. A korábbiak szerint ezek a nem teljesen kitöltött mátrixok egyértelm en meghatározzák az eredeti konzisztens mátrixokat (optimális kitöltése pont az eredeti lesz). Ha ezeket aggregáljuk, akkor az aggregátum ( C) is ugyanazon feszít fa mentén lesz csak kitöltve, ezért az is konzisztensen kitölthet. Már csak azt kell tehát megmutatni, hogy az aggregátum konzisztens 23

kitöltése éppen a konzisztens kitöltések (ami ugyanaz, mint a konzisztens eredeti mátrixok) aggregátuma. Ehhez vegyünk a feszít fában egy háromszöget, amelynek csak az egyik éle hiányzik (ilyen van, hiszen egy fáról van szó és eleve n 3), legyen ez az i, j, k háromszög, ahol (i, j) és (j, k) van kitöltve. Ekkor tudjuk a következ ket: a ij a jk = a ik, mert az A mátrix konzisztens, b ij b jk = b ik, mert a B mátrix konzisztens, c ij c jk = c ik, mert C konzisztensen lett kitöltve, a ij b ij = c ij, az aggregálás miatt (és (j, k)-ra ugyanez). Kell: c ik = a ik b ik. Ez a kitöltött elemekre C deníciójából következik, a többi elemre pedig azért igaz, mert: c ik = c ij c jk = a ij b ij a jk b jk = a ij a jk b ij b jk = a ik b ik. Azaz olyan háromszögekre igaz, ahol csak egy él hiányzik, de akkor töltsük ki ezt az élet, és a maradékban ismét lennie kell egy háromszögnek, aminek csak az egyik éle hiányzik. Amikor két háromszögb l is számolhatnánk a hiányzó élen lév értéket, akkor mindegy, hogy melyikb l számoljuk, ugyanannak kell lennie, hiszen C egyértelm en tölthet ki konzisztensen. Ezért, amikor az egyik háromszög alapján kitöltjük úgy, hogy ne mondjon ellent a konzisztenciának, akkor ha a másik szerint járnánk el ugyanígy, ugyanannak az értéknek kellene ott állnia, különben ellentmondana az egyértelm ségnek. Ismételgessük ezt, amíg teljes gráfot nem kapunk, ez konzisztens lesz, C konzisztens kitöltése pedig egyértelm. Megjegyzés: Inkonzisztens mátrixok aggregátuma lehet konzisztens, például: 1 1 9 1 1 1/9 1 1 1, 1 1 1 1/9 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. Meg fogjuk vizsgálni, hogy melyik módszer célravezet bb nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása esetén: az egyéni mát- 24

rixokat kitölteni optimálisan, és azokat aggregálni, vagy kitöltetlenül aggregálni a mátrixokat, és az eredményb l (ha kell kitöltéssel) számolni súlyvektort. Ebben a tekintetben csak a sajátvektor módszert tudjuk vizsgálni, mert az LLSM módszer nem szolgáltat nekünk kitöltést, így az egyéni mátrixokat sem tudnánk kitölteni. 25

6. fejezet A kitöltés és aggregálás sorrendjének vizsgálata Ebben a fejezetben a következ kérdésekre keressük a választ: Melyik eljárás jobb: az egyéni nem teljesen kitöltött mátrixokat optimálisan kitölteni és utána aggregálni ket, avagy kitöltetlenül aggregálni, és utána (ha szükséges) kitölteni az aggregátumot? Hány elem kitöltetlensége esetén kapunk várhatóan még elfogadható eredményt ahhoz képest, mintha az összes elemet kitöltötték volna a döntéshozók? Bozóki, Dezs, Temesi és Poesz a [8] cikk megírásához a konkrét páros összehasonlítási kérdéseket egyenként feltéve töltettek ki egyetemi hallgatókkal páros összehasonlítás mátrixokat, ezzel nagyobb mennyiség tapasztalati mátrixot kapva. Kérésemre szakdolgozatomhoz a szerz k rendelkezésemre bocsátották ezeket a mátrixokat, így az ebben a fejezetben tárgyalt kísérlethez ezekb l a tapasztalati teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokból indulunk ki. A tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok egyik f jellegzetességét Gass és Standard állapította meg el ször [8]: a tapasztalati mátrixokban szerepl értékek eloszlása messze nem egyenletes, a kis értékek sokkal gyakrabban fordulnak el, mint a nagyobbak, valamint a páratlan értékek is sokkal 26

gyakoribbak. Ezt az eredményt Poesz Attila is reprodukálta [11]. Linares az inkonzisztencia szempontjából vizsgálta a tapasztalati páros összehasonlítás mátrixokat [10]. Ezen eredmények alapján még nagyobb jelent séggel bír, hogy ebben a kísérletben valódi döntéshozók által kitöltött tapasztalati páros összehasonlítás mátrixokkal dolgozunk. Mindegyik mátrixméret esetén nagyjából fele-fele arányban vannak kétféle kérdésre adott válaszokból származó mátrixok: az egyik kérdés objektív természet (országok területeit kellett ránézésre összemérni), a másik szubjektív (arra kellett válaszolni, hogy a képeken szerepl nyaralók hányszor jobban tetszenek a többihez képest). Itt nem kezeljük külön ezeket a mátrixokat, hanem csak azt a tulajdonságukat használtuk fel, hogy tapasztalati mátrixok. 134 db 4 4-es, 154 db 6 6-os és 160 db 8 8-as mátrix van, a különböz méretekre külön fogjuk elvégezni a kísérletet. A teljesen kitöltött mátrixokból úgy csinálunk nem teljesen kitöltötteket, hogy meghatározott számú élt kiveszünk bel lük, ügyelve arra, hogy a gráf összefügg maradjon. Ahogyan az el z fejezetben láttuk, ha az egyéni gráfok nem összefügg ek, akkor is lehet aggregálni, ugyanis elég, ha az aggregátum gráfja összefügg. Ilyen esetben az egyéni mátrixokat nem tudjuk kitölteni, ezért ezt a vizsgálatot nincs értelme elvégezni, mert nincs mivel összehasonlítani az eredményt. Minden mátrixra külön-külön generáljuk le azoknak az éleknek a pozícióját, amelyeket kiveszünk. Ezt úgy is meg lehet fogalmazni, hogy minden döntéshozónál külön-külön (és véletlenszer en) d l el, hogy mely kérdésekre nem válaszol, vagy melyeket nem teszünk fel neki. A nagy számú mátrix miatt, mikor nem töltjük ki el re az egyéni mátrixokat, a végs aggregátumban gyakorlatilag biztosan nem lesz kitöltetlen elem (ha esetleg mégis el fordul ilyen, azt utólag optimálisan kitöltjük). Az eredmény jóságát úgy fogjuk mérni, hogy mennyire van közel a teljesen kitöltött mátrixokból számolható súlyvektortól, azaz egyszer en normában vett távolsággal jellemezzük. Így azt vizsgáljuk, mekkora hibát vétünk az egyes eljárásoknál ahhoz képest, ha minden döntéshozó az összes páros összehasonlítást elvégzi. Azt, hogy néhány kérdés fel nem tevése mekkora nyereség, illusztráljuk a kísérletben is szerepl nagyságú és darabszámú mátrixokkal. Vegyük például a 8 8-as mátrixokat, és az 8(8 1)/2 = 28 összehasonlítás- 27

ból például 8-at ne végezzünk el. Ez több, mint a kérdések negyede. A 160 db mátrixra kivetítve ez már 1280 kérdéssel kevesebb. Ha a kérdések felét tesszük fel, akkor ez a szám már 2240, ha pedig csak egy feszít fához ragaszkodunk, akkor 3360 kérdéssel kevesebb (az összes kérdéshez képest, ami 4480). A norma megválasztása érdekes kérdés. A vektorok úgy vannak normálva, hogy 1 legyen az összegük, azaz (pozitív elem vektorokról lévén szó) az 1-es normában egységnyi hosszúra. Ez a normálás természetes, hiszen azt mérjük, mekkora az adott szempont részesedése a teljes döntésb l; ezt nem is változtatjuk meg. Ekkor szintén természetesnek látszik, hogy a vektorok távolságát is ugyanebben a normában mérjük. A mindennapi életben használatos euklideszi (azaz 2-es) norma azonban szintén természetesen adódik, egyszer en szemléletessége folytán. Véleményem szerint úgy igazán korrekt, ha ugyanabban a normált térben maradva az 1-es normát használjuk, az eredményeket a teljesség kedvéért azonban euklideszi normában is megnézzük. Lényegi különbséget a normák ekvivalenciája miatt nem várunk. A nem teljesen kitöltött mátrixok kitöltése a sajátvektor módszerrel, azaz a λ max minimalizálási feladatának egy ciklikus, egyváltozós módszerrel való megoldásával történik [2, 1]. A kapott aggregátumok inkonzisztenciáját is megnézzük, itt azonban arra számítunk, hogy az el ször kitölt eljárás ad jobb eredményt, hiszen itt az optimális kitöltés miatt már eleve minimális inkonzisztenciájú mátrixokat aggregálunk. A következ kben a szimulációs eredményeket közöljük a mátrixok méretének és a hiányzó elemek számának függvényében. A hiányzó elemek legnagyobb száma n(n 1)/2 (n 1) lehet, hiszen n(n 1)/2 az összes elem száma, és legalább n 1-nek meg kell maradnia ahhoz, hogy egy feszít fa meg tudjon maradni. A 6.1, 6.2 és 6.3 táblázatokban k a hiányzó elemek száma, d a a kitöltetlenül aggregáló (és ha szükséges az aggregátumot kitölt ) módszer által szolgáltatott sajátvektor távolsága a kitöltött mátrixokból származótól, d t az egyéni mátrixokat kitölt és utána aggregáló módszer által szolgáltatott sajátvektor távolsága a kitöltött mátrixokból származótól, s a és s t pedig ezen módszerek által szolgáltatott aggregátum legnagyobb sajátérték átlaga. 28

k d atl a,1 d atl t,1 d max a,1 d max t,1 s a s t 1 0.013375 0.0077295 0.02922 0.013203 4.0049 4.0017 2 0.023647 0.013085 0.04415 0.02161 4.0063 4.0004 3 0.035749 0.017055 0.06365 0.030406 4.0111 4 6.1. táblázat. A 4 4-es mátrixokra vonatkozó 1-es normában mért távolság, és maximális sajátérték eredmények k d atl a,1 d atl t,1 d max a,1 d max t,1 s a s t 1 0.0061177 0.0032741 0.010334 0.0063241 6.007 6.0048 2 0.010298 0.0051057 0.013792 0.0098448 6.0085 6.004 3 0.013903 0.0062287 0.023597 0.0091157 6.0097 6.0033 4 0.013532 0.0062658 0.025056 0.010097 6.0095 6.0022 5 0.016089 0.0094474 0.024723 0.018566 6.0128 6.002 6 0.016111 0.011821 0.026108 0.022816 6.0148 6.0015 7 0.024693 0.012227 0.037999 0.017779 6.0189 6.0008 8 0.026214 0.015569 0.048867 0.026618 6.0219 6.0006 9 0.030412 0.018717 0.046062 0.03109 6.025 6.0003 10 0.035358 0.025915 0.070378 0.048514 6.0364 6 6.2. táblázat. A 6 6-os mátrixokra vonatkozó 1-es normában mért távolság, és maximális sajátérték eredmények Az 1 és 2 alsó indexek az 1-es illetve 2-es normában mért távolságra utalnak, az atl és max fels indexek pedig az átlagos, illetve a maximális értékeket jelzik. A sajátértéket át lehetne a korábbi fejezetek alapján írni inkonzisztencia mér számra, de mivel mindegyik 1% alatt van, ezért ez nem ad plusz információt. Itt csak az 1-es normában mért távolság eredményeket közöljük, a 2-es normában mért értékek megtalálhatóak az A függelékben. El ször a sajátértékekre vonatkozó meggyeléssel kezdjük: Az el bb aggregáló módszer eredményének inkonzisztenciája (bár b ven a 10%-os küszöb, s t minden alkalommal 1% alatt volt) emelked tendenciát mutat, ami amiatt lehet, hogy egyre több információt veszítünk el a döntéshozó eredeti, reményeink szerint nem túl inkonzisztens preferenciáiról. Az, hogy az el ször kitölt módszer által szolgáltatott inkonzisztencia elég stabilan csökken tendenciát mutat, várható volt, hiszen kitörlünk elemeket, és optimálisan kitölt- 29

k d atl a,1 d atl t,1 d max a,1 d max t,1 s a s t 1 0.0041939 0.0018012 0.006163 0.0028708 8.0088 8.0076 2 0.0048719 0.0028391 0.0077203 0.0039677 8.0095 8.0067 3 0.0079075 0.0045786 0.011644 0.0061153 8.0098 8.0059 4 0.0076941 0.0046327 0.012271 0.0079237 8.0104 8.0058 5 0.0098178 0.0060672 0.014323 0.011214 8.011 8.0057 6 0.010394 0.0051604 0.014466 0.0078773 8.0139 8.0048 7 0.012842 0.0078695 0.019031 0.011348 8.0135 8.0044 8 0.012038 0.0079051 0.017214 0.010588 8.0154 8.0038 9 0.014502 0.0070086 0.020087 0.012431 8.0186 8.0033 10 0.01645 0.012299 0.024533 0.015931 8.0181 8.0031 11 0.01333 0.010529 0.017959 0.017563 8.0194 8.003 12 0.018936 0.011679 0.043089 0.018152 8.0193 8.0024 13 0.018767 0.013804 0.02637 0.020043 8.0235 8.0023 14 0.021124 0.012934 0.032742 0.016497 8.0238 8.0018 15 0.019527 0.016351 0.035099 0.023746 8.0339 8.0014 16 0.024295 0.014832 0.030882 0.022582 8.0435 8.0012 17 0.023584 0.018355 0.036179 0.027489 8.0429 8.001 18 0.03044 0.022526 0.047006 0.032037 8.0447 8.0006 19 0.029369 0.023872 0.046963 0.039027 8.0426 8.0004 20 0.027592 0.025588 0.039934 0.044477 8.0598 8.0002 21 0.032008 0.025143 0.047068 0.041389 8.0647 8 6.3. táblázat. A 8 8-as mátrixokra vonatkozó 1-es normában mért távolság, és maximális sajátérték eredmények 30

jük ezek helyét, a döntéshozónak pedig akármi is lett volna az eredeti preferencia aránya, az optimálisnál kevésbé inkonzisztensen nem tudta volna kitölteni. Ha ugyanabból a gráfból vennénk el sorban az éleket, akkor a maximális sajátérték emiatt mindenképpen monoton csökken kellene legyen, azonban látható, hogy átlagosan így is ezt kaptuk, hogy minden alkalommal új véletlen gráfokat generáltunk egyre kevesebb éllel. Természetesen az utolsó sorokban a sajátérték ennél a módszernél éppen a dimenziószám, ami a 0 inkonzisztenciának (azaz a konzisztenciának) felel meg, hiszen ekkor már csak egy feszít fa maradt minden egyéni mátrixban, azaz konzisztensen kitölthet. Ezért mikor kitöltjük, konzisztensen töltjük ki, és korábban megmutattuk, hogy konzisztens mátrixok aggregátuma is konzisztens. A távolságok konkrét értékeir l érdemes megjegyezni, hogy mivel itt az 1- es normában egységnyi hosszúra normált vektorokról van szó, ezért a háromszög egyenl tlenség alapján ebben a normában legfeljebb 2 lehet a távolságuk: w v 1 w 1 + v 1 = 1 + 1 ahol w a vizsgált, v a kitöltött mátrixokból származó súlyvektor. Az itt látható távolság értékek azonban még a 0.1-t sem érik el, így egy következtetést máris levonhatunk: nem érdemes nagyon sok kérdést feltenni, ha sok döntéshozónk van. Néhány konkrét mátrixra megnézve rangsorfordulás kevés alkalommal volt (rangsorfordulásnak itt azt nevezzük, hogy a súlyvektorban az elemek nagyság szerinti sorrendje megváltozik), ezek is a kitöltött mátrixokból számolt súlyvektorban is egymáshoz igen közel lév súlyú szempontok esetében. Látható, hogy a mátrixokat el ször kitölt algoritmus átlagosan minden esetben közelebbi eredményt produkál, mint az, amelyik el ször aggregál. Ha grakusan ábrázoljuk a távolságokat a kitöltetlen elemek számának függvényében (6.1, 6.2, 6.3 és 6.4 ábra), jól látszik, hogy emelked tendenciát mutat, azaz ha sok elem kitöltetlen, akkor valamivel rosszabb eredményt kapunk. Felmerül a kérdés, hogy mi az a küszöb, ameddig elfogadhatónak tartjuk a kitöltött mátrixokból számolt súlyvektortól való távolságot. Erre nem igazán 31

6.1. ábra. 6 6-os aggregátum súlyvektorának távolsága a kitöltött mátrixokból származótól 1-es normában az egyéni mátrixokban lev kitöltetlen elemek számának függvényében 6.2. ábra. 6 6-os aggregátum súlyvektorának távolsága a kitöltött mátrixokból származótól 2-es normában az egyéni mátrixokban lev kitöltetlen elemek számának függvényében 32

6.3. ábra. 8 8-as aggregátum súlyvektorának távolsága a kitöltött mátrixokból származótól 1-es normában az egyéni mátrixokban lev kitöltetlen elemek számának függvényében 6.4. ábra. 8 8-as aggregátum súlyvektorának távolsága a kitöltött mátrixokból származótól 2-es normában az egyéni mátrixokban lev kitöltetlen elemek számának függvényében 33

lehet objektív választ adni, már csak azért sem, mert ahogy n a távolság, úgy növekszik a rangsorfordulás esélye. Ez természetesen függ a kitöltött mátrixokból származó súlyvektorban lév értékek távolságától is, ha közel vannak egymáshoz, akkor könnyebben jön létre rangsorfordulás. A vizsgált kérdés természete is lényeges, hiszen elképzelhet, hogy a rangsor nem is érdekel bennünket, csak körülbelüli fontossági arányokat szeretnénk kapni. A döntéshozók száma is befolyásolhatja a választ, mert sok döntéshozó esetén a néhány hiányzó vagy kiugró értéket kiegyenlíti a többi döntéshozónak ugyanerre a pozícióra adott válasza. Ugyanakkor kevés döntéshozó esetén egy döntéshozó mátrixában szerepl nagy érték jelenléte vagy hiánya er sen torzíthatja az eredményt. Véleményem szerint kevés döntéshozó esetén érdemes minél több elemet kitölteni, ekkor még ha a kérdések felét meg is spóroljuk, abszolut menynyiségben nem nagy nyereség. Sok döntéshozó esetén nyugodtan elhagyhatjuk a kérdéseknek akár jelent s részét is, várhatóan úgy is olyan eredményt kapunk, ami nem tér el nagyon ahhoz képest, mintha minden kérdést feltettünk volna. Ez persze csak egy általános javaslat, ha például eleve arra számítunk, hogy egymáshoz közeli értékeket kapunk, és a rangsor is számít, akkor mindenképpen érdemes több elemet kitölteni. Általánosságban az a véleményem, hogy az itt is használt 0.02 (ami a maximális távolság 1%-a) elfogadható küszöbértéknek tekinthet. Ennek alapján, ha már vannak el zetes becsléseink egy kérdéstípus eredményének várható, valóságtól vett távolságára vonatkozóan, akkor következ alkalommal már eldönthetjük el re, hogy hány elemet hagyhatunk kitöltetlenül úgy, hogy várhatóan jó eredményt kapjunk. Ezen megfontolás, valamint az eredmények alapján, azt lehet mondani, hogy általában (mivel itt voltak szubjektív és objektív természet kérdésb l származó mátrixaink is) elegend a kérdések felét feltenni. További kutatási lehet ség külön vizsgálni szubjektív és objektív természet kérdésekb l származó mátrixokat, és megnézni, ezen megállapításunk mennyiben módosul. Érdemes megjegyezni, hogy a fenti eredményekben szerepet játszik a véletlen (véletlenszer en töröljük az éleket), ezért újra lefuttatva ugyanazt az algoritmust más-más konkrét értékeket kapnánk. Ezért az átlagos értékek 34

viszonyát érdemes nézni, bár a maxmimális értékek is hordoznak információt: széls séges esetben akár ekkorát is tévedhetünk. Mivel minden hiányzó elemszámra 20-20 (a 8 8-as mátrixok esetén a lassú futási id miatt csak 10-10) alkalommal végeztük el a kísérletet, a maximális értékek valószín leg nem sokat mondóak. Az átlagos értékek azonban már így is elég er s tendenciát mutatnak ahhoz, hogy levonjuk bel lük a következtetést, ugyanis a különbségek a két módszer értékei között teljesen egybehangzó eredményt mutatnak. A következtetés pedig az, hogy érdemes el bb kitölteni a mátrixokat és úgy aggregálni, mert nemcsak várhatóan kisebb hibával dolgozunk, az aggregátum inkonzisztenciája is mindenképpen kisebb lesz. Azaz az els vizsgált kérdésre megvan a válaszunk: 2. Állítás. A számítási eredmények alapján ha az egyéni mátrixokat optimálisan kitöltjük, és ezután aggregáljuk, jobb eredményt kapunk, mintha el zetes kitöltés nélkül aggregálnánk ket, akár átlagos, akár maximális hibát tekintünk. Annak az oka, hogy az az algoritmus, amelyik el bb kitölti a mátrixokat, jobb eredményeket produkál, talán abban keresend, hogy ha minden elem ki van töltve (még akkor is, ha mi töltjük ki optimálisan, ezzel valamilyen szinten közelítve csak a döntéshozó szándékát), akkor minden szempont súlya ugyanolyan er sen van gyelembe véve. Gondoljunk bele, ha kitöltetlenül aggregáljuk a mátrixot, és az adott döntéshozó mátrixában egy elem nincs kitöltve, akkor az véleményét ott nem vesszük gyelembe közvetlenül. Közvetve persze igen, hiszen az eredeti gráfok összefügg ek voltak, azaz a többi élen keresztül mindenképpen hat minden döntéshozó az összes szempont végs súlyára, de úgy t nik, még mindig jobb, ha közelítjük a döntéshozó válaszát és azt használjuk fel, mint ha egyszer en csak a többiek véleményével pótoljuk. Ebben a témában az utolsó kérdés, amit megnézünk, hogy mi van, ha még ennél is kevesebb kitöltött elem van az egyéni mátrixokban, azaz: kevesebb, mint n 1 elem van kitöltve az ( n 2) -b l. Ekkor persze az az eljárás szóba sem jöhet, ami el re kitölti az egyéni mátrixokat, ekkor mindenképpen kitöltetlenül kell aggregálnunk ket. Mivel az erre a módszerre vonatkozó algo- 35

ritmus sokkal gyorsabb (nem kell tör dnünk az egyéni mátrixok összefügg ségének ellen rzésével, és kitöltenünk sem kell az egyéni mátrixokat), itt megtehetjük, hogy a kísérletet még többször végezzük el. A kísérletet a 8 8- as mátrixokra végezzük el, és 100-szor futtatjuk le a hiányzó elemek minden további lehetséges számára. A 6.5 és a 6.6 grakon az eredményt szemlélteti. 6.5. ábra. 8 8-as aggregátum súlyvektorának átlagos és maximális távolsága a kitöltött mátrixokból származótól az egyéni mátrixokban lev kitöltetlen elemek számának függvényében Látható, hogy a tendencia mind a kitöltetlen mátrixokból számolt súlyvektor kitöltöttekb l származótól való távolságában, mind az inkonzisztenciában folytatódik (bár még 27 hiányzó elem esetén is csak 7.75%-os inkonzisztencia van), és végül már csak egészen nagy hibával közelítjük a teljesen kitöltött mátrixokból számolt súlyvektort. Ez nem meglep, hiszen 26-nál például már csak kett, 27-nél pedig csupán egyetlen kitöltött elem van minden mátrixban. Ez azt jelenti, hogy 8 szempont páronkénti összehasonlításánál egy döntéshozó összesen egyetlen pár szempontot hasonlít össze, és így születik meg a döntés. Ez legfeljebb nagyon objektív kérdések esetén produkálna használható eredményt, ekkor azonban eleve fölösleges ezt a módszert alkalmazni. Ezért az ennyire sok kitöltetlen elemet tartalmazó mátrixok használata bár elméletileg lehetséges, nem javasolt. 36

6.6. ábra. 8 8-as aggregátum átlagos legnagyobb sajátértéke az egyéni mátrixokban lev kitöltetlen elemek számának függvényében Azt a végkövetkeztetést vontuk tehát le, hogy a számítási eredmények alapján megéri el bb optimálisan kitölteni az egyéni mátrixokat, és csak utána aggregálni ket. Másik kérdésünkre nem ilyen egyértelm a válasz, mivel a kitöltetlen elemek elfogadható számát sok minden befolyásolja, de véleményem szerint általában elég csupán az egyéni mátrixok elemeinek felét kitölteni. Ez elvezet minket következ kérdésünkhoz, miszerint a hiányzó elemek elhelyezkedése mennyire lényeges szerepet játszik abban, hogy elfogadhatóan közelítsük azt az állapotot, mikor minden elem ki van töltve. Ennek egy aspektusát vizsgáljuk röviden a következ fejezetben. 37

7. fejezet A kétszeres összefügg ség szerepe Az el z fejezetben arra kerestük a választ, hogy hány kitöltetlen elem engedhet meg ahhoz, hogy csoportos döntéshozatal esetén jó eredménnyel közelítsük azt az állapotot, mintha teljesen ki lennének töltve az egyéni páros összehasonlítás mátrixok. Most nem csoportos döntéshozatal esetén vizsgálódunk, hanem megnézzük, az egyéni mátrixok esetén javít-e, hogy ha strukturálisan szépen vannak elrendezve a kitöltött elemek, nevezetesen egy kétszeresen összefügg gráf élei mentén. Mivel ez egy igen messzire vezet téma, és az aggregáláshoz sem kapcsolódik szorosan, itt most csak egy konkrét példát nézünk meg. A kétszeres összefügg ség kérdése azért jogos, mert egyrészt ez egy igen szemléletes, az egyszeres összefügg ségnél er sebb strukturális kritérium, másrészt valami olyasmit jelent, hogy legalább két irányból meg van er sítve minden érték más értékek által. A legkevesebb élb l álló, kétszeresen összefügg gráf egy Hamilton-kör, melynek n éle van. Egy példán nézzük meg, hogy ha a mátrixunk egy Hamilton-út mentén xen ki van töltve, és hozzáadunk egy élt, jobban teljesít-e a kétszeres összefügg ség (azaz jelen esetben az utat lezáró Hamilton-kör), mint ha egy másik él mentén töltenénk ki. Példamátrixunk legyen a (példaként gyakran alkalmazott) Saaty-féle házvásárlás mátrix[13]: 38