Rugós ehanikai rendszerek odellezése. feladat Adott két sorba kapsolt rugó és erevséggel valaint l és l terheletlen hosszal. A rugókat egnyújtjuk úgy, hogy együttes hosszuk l legyen >l +l ). l l? l? l a) Mekkora a rugókban ébredı erı? b) Mekkora a rugó egváltozott hossza? l l ) + l l + l l ) + Kidolgozott példa Egy l terheletlen hosszúságú, erevségő rugó szög alatt van elhelyezve a vízszintes vezetékhez képest. A rugó alsó vége a vezetékben tud elozdulni, helyzetét az koordináta jellezi. A rugó felsı vége rögzítve van. a) Határozza eg a rugó vízszintes irányú erevségét tetszılegesen nagy elozdulásokra! b) A végeredény felhasználásával utassa eg, hogy kis alakváltozásokra ( ) os! Próbálja önállóan egoldani a példát! Csak végsı esetben nézze eg a egoldást!
l l* Megoldás ad a) A rugó egváltozott hossza nagyságú elozdulás esetén az ábra alapján l sin l l* l os l os+ ) + A rugó hosszváltozása (egnyúlása) l l l os+ ) + l A rugóban ébredı erı
l ( os+ ) + l) A kulisszakı free-body diagraja * N Innen az elozdulás irányú erı i os + os Az elozdulás következtében egváltozik a rugó hajlásszöge *-ra. Az ábra derékszögő hároszögébıl tg l sin l os+ A továbbiakban a rugóerı vízszintes koponensének száításához os*-ra lesz szükségünk. Középiskolai iseretek alapján Bárely szögfüggvény kifejezhetı bárilyen ásikkal, így a koszinusz szögfüggvény kifejezhetı tangens szögfüggvénnyel az ábra alapján: tg + tg * os + tg + os+ ) A vízszintes irányú erıkoponens ezzel os ( os+ ) + l ) + os+ ) os
(Vegye észre, hogy az összefüggés az erı és az elozdulás között nelineáris nelineáris rugókarakterisztika!) Nelineáris rugókarakterisztika esetén sak egy adott unkapontban értelezett differeniális rugóerevség értelezhetı. A vízszintes irányú differeniális rugóerevség a következı: + ( d d os+ ) os+ ) + + l )( (+ ) os+ ) os+ ) + os+ ) 3 ( ) + os+ ) A deriválásnál a szorzatfüggvény deriválási szabályát, valaint a lánszabályt alkalaztuk. ad b) A elıbbi összefüggése helyettesítéssel (a kis alakváltozásokra vonatkozó összefüggés) 3 d d os) + + ( os) + l )( ( + os os) + + os) os) ) 3 ( ) os) 3 os a jól isert képletet eredényezi. os. feladat Az ABr kar függıleges helyzetében az hajlásszögő, erevségő rugó terheletlen állapotban van. B M A C
a) Az AB karra M nyoatékot őködtetve a kar φ szöggel elfordul. Határozza eg az M nyoaték és a φ elfordulási szög kapsolatát kis elfordulási szög esetén ineáris odell)! (Elıször helyettesítse a ferde rugót ozgásirányú, vízszintes rugóval) M r os b) Határozza eg az M nyoaték és a φ elfordulási szög kapsolatát tetszılegesen nagy elfordulási szög esetén (nelineáris odell)! (Segítség: vegye alapul a egváltozott geoetriát az ábra szerint. Száítsa ki a egváltozott rugóhosszat, a rugó hosszváltozását, a rugóban ébredı erıt, a rugó egváltozott hajlásszögét, ajd írja fel az erı koponenseinek nyoatékát az A pontra. ) B y ros M rsin A rtg C M r sin + + + tg tg tg sin + + tg tg (sin+ )os sinos tg Vegyük észre, hogy határátenet esetén sin sin, os, + + + ( + ). tg tg tg tg Ezen értékek helyettesítésével visszakapjuk a kis elozdulásra levezetett a) pontbeli összefüggést. Ugyanezt az eredényt kapjuk, ha kiszáítjuk a dmd differeniális rugóerevséget a helyen. 3. feladat Az elızı. feladat AB rúdjára erı hat a rúd közepén.
B A C a) Határozza eg az erı és a φ szögelfordulás kapsolatát kis elozdulásokra! r os - 4. feladat Az ábrán látható rendszer két ferde rugóból, az elhanyagolható töegő erev AB karból, valaint egy töegpontból áll. B D β A C a) Írja fel az töegpont (t) ozgásegyenletét kis alakváltozásokra! ɺ + ( os + os β) b) Mekkora a rendszer sajátlengéseinek körfrekveniája? os + os β
t t 5. feladat a) Határozza eg a t és t torziós rugókból álló lépsıs tengely végének M-φ kapsolatát! t t M t b) Mekkora t és t, ha a tengelyszakaszok átérıi rendre d és d, hosszuk l és l. A tengely anyagának nyírási odulusa G. 6. feladat Az elızı feladat szerinti tengely végére erısített J tehetetlenségi nyoatékú társára M t (t) savaró nyoaték hat. M t ( t + t ) t J t M t a) Írja fel társa φ(t) ozgásegyenletét! Jɺ ɺ + ( t + t ) 7. feladat a) Írja fel a két végén befogott lépsıs tengelyt terhelı M t savarónyoaték és φ szögelfordulás kapsolatát! M t t?
b) Mekkora az eredı torziós rugóerevség? t t+ t 8. feladat Az elızı 8. feladatban szereplı tengelyre J tehetetlenségi nyoatékú társát erısítünk. J t t M t Írja fel a társa φ(t) ozgásegyenletét! Jɺ ɺ + ( + t ) t 9. feladat Az l hosszúságú, IE hajlító erevségő konzol végéhez erevségő rugót rögzítünk. l IE? a) A rugók deforáiója, vagy a rugókat terhelı erı egyezik-e eg? (Párhuzaos, vagy soros kapsolásúak-e) b) Határozza eg a rendszer eredı rugóerevségét! l + AE. feladat Az IE hajlító erevségő, elhanyagolható töegő kéttáaszú tartó közepére töeget rögzítünk, elyre (t) gerjesztı erı hat.
y l (t) IE l (t)? a) Határozza eg a tartó, int rugó, egyenértékő rugóerevségét! (Segítség: Mehanika járulék képletek) b) Írja fel a töeg ozgásegyenletét! 48IE l y ɺ + y (t). feladat Az AB karhoz egy és egy erevségő rugó van rögzítve. B M a C b A a) Határozza eg a karra ható M nyoaték és a kar φ szögelfordulása közötti összefüggést kis elozdulásokra! Közelítıleg ekkora a rugók végeinek az elozdulása? (Segítség: a feladat bonyolultsága indokolja a free-body diagra egrajzolását!) M [(a+ b) + b ]
-. Kidolgozott példa Írja fel az ábrán látható töeg ozgásegyenletét! Megoldás A töeget -értékkel kiozdítjuk egyensúlyi helyzetébıl. A bal oldali rugó ekkor egnyúlik -értékkel és húzóerıt fejt ki a vele érintkezı testekre. A töegre nézve ez balra utató erıt jelent. A jobb oldali rugó ugyanakkor összenyoódik -értékkel és nyoóerıt fejt ki a vele érintkezı testekre. A töegre nézve ez balra utató erıt jelent. Megrajzoljuk a vizsgált test free-body diagra ját (erıkkel helyettesítve a vizsgált testtel érintkezı ás testek hatását). terheletlen rugó terheletlen rugó egnyúlt rugó összenyoódott rugó + koordináta irány ree-body diagra.elírva Newton II. aióáját (a dinaika alapegyenletét haladó ozgásra) nyerjük a töeg ozgásegyenletét. a - - a ɺ + ( + ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. feladat Egy anizotróp sapágyazás vízszintes irányú rugóerevsége, függıleges irányú rugóerevsége y.
y Határozza eg a sapágyazás tetszıleges irányú rugóerevségét! ( ) os + sin y 4. feladat Két töegbıl és két rugóból álló ehanikus lengırendszer látható az ábrán. Az töegre gerjesztıerı is hat. Írja fel az egyes töegek ozgásegyenleteit! g (t) ɺɺ ɺɺ + ( + + ) g 5. feladat Az ábrán látható rendszer útgerjesztéső. Írja fel az egyes töegek ozgásegyenleteit! 3 g (t)
ɺɺ ɺɺ + ( + + ) + 3 3 3 g (t) 6. feladat Az ábrán szíjhajtás odellje látható. A J és J tehetetlenségi nyoatékú szíjtársákat a húzott oldalon erevségő szíj kapsolja össze. A bal oldali szíjtársára M(t) nyoatékgerjesztés hat. M(t) r r J J a) Írja fel az egyes szíjtársák ozgásegyenleteit! J ɺɺ J + r ɺɺ + r r r + r r M(t) 7. feladat Egy autó és pótkosi odelljét látja az ábrán. g (t) g (t) a) Írja fel az autó és a pótkosi ozgásegyenleteit! b) Mekkora a rendszer sajátfrekveniája? ɺɺ ɺɺ + + g g (Segítség: Gerjesztetlen rendszer esetén vezessen be új változót, -. Ezzel a ozgásegyenlet ɺ ɺ + ( + ) lesz. Innen a sajátfrekvenia + )