3. témakör Rendszerek idő, frekvencia-, és komplex frekvenciatartományi leírása
Bevezetés Célunk a rendszer kimenő jelének meghatározása a bemenő jel és a rendszerjellemző függvény ismeretében. A rendszereket is a jelek leírási módjához igazodóan idő és frekvenciatartományi jellemzőkkel látjuk el. Az időtartomány számítási módszerei nehézkesek, tervezésre többnyire alkalmatlan. A matematika eszközül adja a transzformációkat, amelyek segítségével a tervezés folyamata egyszerűbbé válik. Feltételezzük az itt vázolt témák, Matematika és Villamosságtan tárgyakban elhangzott alapjainak teljes ismeretét.
Rendszerek osztályozása Modellünk a kétkapu hálózat: 1.) Memóriamentes: A kimenet csak az adott pillanatban megjelenő bemeneti jelérték függvénye: Memóriás: Energiatároló reaktáns elemek is vannak a hálózatban (L, C). A kimenet az adott pillanatot megelőző bemeneti jelértékektől is függ. 2.) Lineáris: Ha a rendszerben alkalmazható a szuperpozíció elve: Ha Akkor és A gerjesztések összegére adott válasz a gerjesztés válaszainak összege. Következmény: a válasz nem tartalmaz olyan frekvenciakomponenseket, amely a gerjesztésben nem szerepel. Nemlineáris: Nem érvényes a szuperpozíció elve. A kimeneten kombinációs frekvenciák is megjelennek.
Rendszerek osztályozása 3.) Stabil: Elemi gerjesztés után a kimenet lecsengő. Labilis: Elemi gerjesztés után nem csillapodó kimeneti jel jelenik meg. A hálózat begerjed. 4.) Analóg: A bemeneti és a kimeneti jelek folytonosak, értékkészletük egy intervallumon belül végtelen sok értéket vehet fel Digitális: A jelek csak meghatározott diszkrét értékeket vehetnek fel, és csak meghatározott időpillanatokban változhatnak meg. 5.) Koncentrált paraméterű: Idealizált elemek szerkezeti modelljével helyettesíthetők. Elosztott paraméterű: Idealizált elemek szerkezeti modelljével nem helyettesíthetők. 6.) Kauzális: Érvényes az OK-OKOZAT elv a bemenet és a kimenet viszonyában. Nem kauzális: Nem érvényes az OK-OKOZAT elve.
A hálózat gerjesztése Lineáris, analóg, koncentrált paraméterű hálózatok esetén: 1. Egységugrás függvény: 2. Dirac impulzus: Végetlen keskeny, végtelen nagy amplitúdójú A Dirac impulzus energiája: (Görbe alatti terület)
A hálózat válasza: rendszerjellemző időfüggvények 1. A hálózat egységugrásra adott válasza az átmeneti függvény: Példa az átmeneti függvényre 2. A hálózat Dirac impulzusra adott válasza a súlyfüggvény: Stabil a hálózat, ha a súlyfüggvény lecsengő. A valóságos hálózatok kauzálisak: Jele: Példa a súlyfüggvényre:
Ki és bemenet kapcsolata időtartományban Konvolúció integrál, Duhamel tétel: Kauzális hálózatoknál elégséges 0-tól integrálni! Infinitezimálisan keskeny elemi gerjesztésekként felfogva a bemenő jelet, mindegyik gerjesztés a súlyának megfelelő hatással jelenik meg a t időpillanatban, ahol ezek az elemi, végtelen kicsiny hatások összegződnek. Ez határozza meg a kimenő jel pillanatértékét t -ben. Az analóg rendszerek méretezésére bonyolult módszer.
Áttérés frekvenciatartományra Az időtartományi konvolúció a frekvenciatartományban szorzássá egyszerűsödik! A szimmetria miatt az is igaz, hogy az időtartományban végzett szorzás a frekvenciatartományban konvulúció. Megjegyzés: A Fourier sorra, mint egy speciális Fourier transzformáltra a végeredmény szintén érvényes!
Rendszerjellemző a frekvenciatartományban Az ÁTVITELI KARAKTERISZTIKA a súlyfüggvény Fourier transzformáltja: Ennek megfelelően: Az átviteli karakterisztika kimenet/bement típusú komplex függvény: Racionális törtfüggvény, számlálója és nevezője egy-egy polinom, amelyek gyöktényezőkre bonthatók: (ebből származtatható a Bode alak) Fourier transzformáció általánosan : A spektrális komponensek: időben végtelen harmonikusok: (Ld. előző előadások) (Ld. előző előadások)
Rendszerjellemző a frekvenciatartományban A frekvenciatartományi vizsgálatok állandósult állapotot feltételeznek.( Jól közelítik a valóságot, amikor a bekapcsolási tranziensek elhanyagolható mértékre csillapodnak.) Az átviteli karakterisztika ábrázolható abszolút érték és fázis karakterisztika együtteseként: Logaritmikusan ábrázolva : ld Bode-diagramok. Az abszolút érték tulajdonképp a rendszer erősítésének frekvenciamenete (feszültség, áram stb ). Példa az átviteli karakterisztika ábrázolására: A függvény a negatív frekvenciákon is értelmezett. Az abszolút érték függvény tengelyesen, a fázisfüggvény az origóra középpontosan szimmetrikus!
Példa az átviteli karakterisztikára (egy áramkör-analizátor programból)
Kimeneti jel meghatározása egy harmonikus gerjesztés esetén Lineáris hálózaton a kimenet frekvenciája a bemeneten lévővel egyezik meg. A szuperpozízió érvénye miatt a pozitív és negatív frekvenciájú tagok külön vizsgálhatók.: Rendezve: A negatív frekvenciás tagokra felírva és rendezve: Jól látható a fáziskarakterisztika jellege: A harmonikus jel úgy halad át a lineáris hálózaton, hogy az amplitúdója az erősítés-karakterisztika adott frekvencián vett értékével szorzódik, a fázisa pedig a fázis-karakterisztika adott pontbeli értékével eltolódik:
Periodikus, és kvázi periodikus bementi jelek esetén A több harmonikusból álló, általános periodikus jelek esetén az összetevőket a szuperpozíció elvének megfelelően, külön-külön vizsgáljuk, az átviteli karakterisztika rájuk gyakorolt hatásával. A több harmonikusból összetett, diszkrét spektrumú jelet, amely az alapharmonikus frekvenciájának nem egész számú többszörösein lévő spektrumösszetevőkkel rendelkezik, kvázi periodikus jelnek nevezzük. (pl. zongora hangja) Ezek harmonikusaira ugyanúgy érvényes a periodikus jelek esetében alkalmazott módszer.
Véges energiájú bemenő jel esetén Véges energiájú impulzusjeleknek létezik a Fourier transzformáltja: Az amplitúdósűrűség spektrum abszolút értékének formálása:
Sztochasztikus bemenő jel esetén Az amplitúdók hányadosa: Az effektív értékek hányadosa: Az átlagteljesítmények hányadosa, 1 Ohm-ra vonatkoztatva: A teljesítmény-átvitel:
Sztochasztikus bemenő jel esetén A teljesítmény-átvitel igaz infinitezimálisan keskeny frekvenciasávban lévő jel-átlagteljesítmények viszonyára is. A teljes frekvenciatartományra: Példa a sávkorlátozott fehérzaj képzésére:
Nevezetes átviteli karakterisztikák Az erősítés menete: A karakterisztikák ideálisak, mert a zárótartományt végtelen meredekséggel érik el. ( Ilyen szűrő a valóságban nem készíthető, ld. labor dokumentáció)
Egy négyszögjel spektruma és annak sávkorlátozása (szűrése)
Aluláteresztő szűrő 10 Hz sávhatárral
Aluláteresztő szűrő 2 Hz sávhatárral
Aluláteresztő szűrő 0,5 Hz sávhatárral
Felüláteresztő szűrő
Sáváteresztő szűrő
Ideális aluláteresztő szűrő Az ideális aluláteresztő szűrő súlyfüggvénye végtelen és nem kauzális. Ilyen szűrő tehát nem realizálható! ) (2 2 2 ) sin(2 2 2 ) sin(2 ) ( ) ( 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 τ π τ π τ π πτ π τ ϖ τ π τ f six f f f f f df e j K k f f f j f f = = = =
Ideális aluláteresztő szűrő Kauzálissá tétel: súlyfüggvény csonkolása és eltolása Csonkolás problémája: ingadozás az áteresztő és a zárósávban: Gibbs oszcilláció Eltolás problémája: késleltetést hoz a rendszerbe (τ ) de a fáziskarakterisztika lineáris marad
Ideális aluláteresztő szűrő Gibbs probléma: A Gibbs oszcilláció okozta túllövések hatása nem javul egy kisebb mértékű csonkolással sem. A 0,09 zárósávi átvitelnél, azaz 20*log(0,09)=-21dB-nél jobb zárósávi erősítést (21dB-es csillapítást) nem tudunk elérni. A Gibbs hatása csökkenthető a súlyfüggvény súlyozásával, vagyis ablakozásával (Kaiser, Fejér, stb.). Ablakozási probléma: A szűrő meredeksége csökken az ablakozatlan esethez képest. Tenni ellene a fokszám növelésével lehet. Realizálhatóság: Ilyen átviteli karakterisztika sajnos nem realizálható analóg síkon, diszkrét áramköri komponensekkel, de digitális szűrők esetében igen, sőt az egyik digitális szűrőstruktúra (FIR) tervezésnek éppen ez az alapmódszere!
Lineáris hálózat hatása G(f)-re és R(τ)-ra A példa részletesen a Híradástechnika II. laboratórium 2. mérési útmutatójában található meg. Példánkban vizsgáljunk meg egy sávkorlátozott fehérzajt! G (f) 1 -f MAX f MAX f f max max j 2πfτ sin(2πfτ ) sin(2πf maxτ ) R( τ ) = G( f ) e df = = 2 f max = 2 f max six(2πf maxτ ) 2πτ 2πf τ f min A sávkorlátozott fehérzaj autokorrelációs függvényének zérushelyei az f(max)-tól függnek. f f max max
Lineáris hálózat hatása G(f)-re és R(τ)-ra Megfigyelhető: 1.) Ha a fehérzaj úgy halad át egy lineáris rendszeren, hogy csökken az f(max) értéke az eredetihez képest, akkor az első zérushely nagyobb értékek felé tolódik ki, így a minták közötti kapcsolat, azaz a korreláltság nagyobb időbeli távolságok esetén megnő. Ez összefügg azzal, hogy a nagyobb frekvenciás komponenseket kiszűrtük, a jelmeredekség lecsökken, a jel bizonyos időn belül kisebb mértékben változhat, a minták jobban hatnak egymásra. 2.) Ha növeljük az f(max) értékét, akkor az autokorrelációs függvény gyorsabban konvergál a zérushoz, csökken a jelminták közötti kapcsolat. Ezt beláthatjuk, hiszen nagyobb frekvenciás komponenseket is megengedünk, így nőhet a jelmeredekség, tehát adott idő alatt nagyobb jelváltozás állhat be ami a minták közti egyre nagyobb mértékű függetlenedéshez vezet. 3.) Extrém esetben, ha f(max) tart a végtelenhez, akkor a fehérzajnak megszűnik a sávkorlátozott jellege. az autokorrelációs függvény első zérushelye, és nullától különböző helyeken minden függvényértéke tart a nullához (Dirac impulzus lesz), a minták között semmiféle kapcsolat nincs, egy értéknél sem. 4.) korreláltságra vonatkozó megfigyelések nem csak sávkorlátozott fehérzaj, hanem más G(f) esetében is érvényesek!
Lineáris torzítatlanság feltételei 1. Az átviteli karakterisztika abszolút értéke a hasznos sávban legyen konstans. 2. A fáziskarakterisztika 0-ból induló, lineáris egyenes legyen. Az a fontos, hogy akár pozitív, akár negatív a fázistolása a hálózatnak, az egyes frekvencia-összetevők azonos idővel tolódjanak el, hogy a kimeneten összegződve ugyanazt a jelalakot írják le, mint a bemeneten volt: Például, ha egy rendszer fázist késleltet, akkor a torzítatlanság úgy teljesül, ha minden spektrumösszetevő időkésése ugyanakkora: A fáziskarakterisztika meredeksége: Csoportfutási idő karakterisztika: 3. A csoportfutási időnek konstansnak kell lenni a hasznos sávban. (ez a fáziskritériummal összefügg) (Ideális karakterisztikák)
Rendszerjellemző a komplex frekvenciatartományban Az ÁTVITELI FÜGGVÉNY a súlyfüggvény Laplace transzformáltja: Ahol a komplex frekvencia: Bizonyítható: Az átviteli függvény is kimenet/bement típusú komplex függvény: Egyes szakirodalom p -nek jelöli! Mind az átviteli függvény, mind az átviteli karakterisztika esetében a kétkapu bemenetén ideális feszültséggenerátor található, a kimenet pedig szakadással van lezárva. Az átviteli függvényt többféle alakban írhatjuk fel. A K(s) két polinom hányadosa ( s helyett p -t alkalmazva a komplex frekvencia jelölésére): K(p)
Rendszerjellemző a komplex frekvenciatartományban A polinomokat felírhatjuk gyöktényezős alakban is: K(p) Ahol: Az s jelöléssel: A függvény a komplex frekvenciatartományban nem ábrázolható szemléletesen. Mivel a racionális törtfüggvényt a számláló és a nevező zérushelyei, azaz a zérusok és a pólusok egy k1 konstans szorzó kivételével teljes egészében meghatározzák, így kézenfekvő ezek grafikus ábrázolása. Megkötés: m<=n+1 (számláló fokszáma max. eggyel magasabb lehet a nevezőnél és a pólusok általában egyszeresek (a bal félsíkon lehet kétszeres is).
Rendszerjellemző a komplex frekvenciatartományban A számláló gyökei a zérusok (jele: o): A nevező gyökei a pólusok (jele: x): Pólus-Zérus elrendezés pl.: Laplace transzformáció általánosan: Kapcsolat az átviteli függvény és az átviteli karakterisztika között: A kauzális hálózatok esetén a súlyfüggvény 0 időpillanat előtti értéke 0, így a két frekvenciatartományi jellemző meghatározására ugyanazok az integrálási határok alkalmazandók. A különbség a frekvencia és a komplex frekvencia behelyettesítéséből adódik. Tehát az átviteli függvény formális alakját véve, az helyettesítéssel közvetlenül megkapjuk az átviteli karakterisztikát! (feltétel, hogy a hálózat stabil legyen)
Rendszerjellemző a komplex frekvenciatartományban Példaként vizsgáljuk meg egy aluláteresztő szűrő K(s) függvényének abszolút értékét. A 3D függvényen jól látható a négy zérus és az öt pólus Pólusok Zérusok
Rendszerjellemző a komplex frekvenciatartományban Az s=jw komplex frekvenciaértékek ott találhatóak, ahol a s =0. Az ezekhez tartozó K(s) 3D függvényértékek a jw tengely mentén helyezkednek el. Ennek vizsgálatához metsszük el a függvényt a jw tengelynél. A metszet adja az átviteli karakterisztika abszolút értékét, azaz az erősítés karakterisztikát: K(jw) Jól látható az alulátereszztő jelleg.
Visszatérés időtartományba, inverz Laplace transzformáció Ha a bement egy Dirac impulzus, amelynek Laplace transzformáltja 1, az átviteli függvény lesz maga a kimeneti jel Laplace transzformáltja, a kimeneti jel pedig nem más mint a hálózat súlyfüggvénye. A súlyfüggvény tehát a K(s) inverz Laplace transzformációval kapható meg: A kifejtési tétel szerint: Ahol a konstans együttható: A súlyfüggvény elemi spektrumkomponensek összegeként adódik, melyek alakját a pólusok határozzák meg. A konstans együttható az amplitúdó és kezdőfázis információt hordozza, a jelalakért az exponens tag a felelős.
Visszatérés időtartományba, inverz Laplace transzformáció A pólus elrendezésekhez tartozó elemi spektrumkomponensek jelalakjai, amelyek belépő függvények: (Keressük az időfüggvényeket különböző esetén) 1.) Origóban elhelyezkedő pólus: 2.) Valós tengelyen elhelyezkedő egyszeres pólus: 3.) Konjugált póluspár:
Visszatérés időtartományba, inverz Laplace transzformáció A pólus elrendezésekhez tartozó elemi spektrumkomponensek jelalakjai: 4.) Tiszta képzetes pólusok: 2.) Kétszeres pólusok esetén az időfüggvényeken kívül megjelennek a időfüggvények is a súlyfüggvényben: Jól látható, hogy a Laplace transzformáció elemi időfüggvényei alkalmasabbak a tranziens (átmeneti) jelenségek leírására. Általa a Fourier transzformáció konvergencia nehézségei leküzdhetők.
Rendszerjellemző a komplex frekvenciatartományban Az is jól látszik, hogy a pólusok vagy a valós tengelyen, helyezkednek el, vagy komplex konjugált párokat alkotnak, mert különben a kifejtési tétel szerint nem kapnánk valós súlyfüggvényt. A hálózat stabilitása: A hálózat akkor stabil, ha az átviteli függvény pólusai a bal félsíkra esnek. ( Látható, hogy csak σ<0 esetén kapunk lecsengő jelleget.) Re ill. <0 Nem stabil hálózat impulzusválasza ilyen komponenst is tartalmaz: A komplex frekvenciatartományi jellemzés tehát általánosabb a frekvenciatartományinál, mert tranziens analízisre is alkalmas, de ez mellett az állandósult állapotot is leírja.
Rendszerjellemzők összefoglalása
Ajánlott irodalom Géher: Lineáris áramkörök tervezése Ferenczy: Hírközléselmélet Czebe: Fourier integrál, Fourier sor Gordos: A hírközlés rendszerelmélete