6. témakör. Mintavételezés elve Digitális jelfeldolgozás (DSP) alapjai

Átírás

1 6. témakör Mintavételezés elve Digitális jelfeldolgozás (DSP) alapjai

2 A mintavételezés blokkvázlata Mintavételezés: Digitális jel mintavevô kvantáló kódoló Átvitel Tárolás antialiasing szűrő Feldolgozás (DSP) Mintavételezett jel helyreállítása: Simító szűrő és amplitúdó korrektor f dekódoló tartóáramkör DSP: Digital Signal Processing 1 2 3

3 A blokkvázlat jellemző jelformái Mintavételezés: :eredeti jel 2 :mintavételezett jel (PAM jel)..... t Mintavételezett jel helyreállítása: PCM t MINTAVÉTELEZÉS 3 KVANTÁLÁS t vett jel t 1 PCM t KÓDOLÁS t PAM: Pulse Amliutude Modulation PCM: Pulse Code Modulation

4 A mintavett jel időfüggvénye A vizsgálathoz először tekintsünk el a kvantálástól és a kódolástól és a minták tartásától! Feltételezzük, hogy a rendszer végtelen számú amplitúdó mintát képes ábrázolni. A mintavételező függvényünk legyen ideális. Az ideális mintavételező függvény egy mintavételi időközönként (T) érkező periodikus Dirac sorozat: A Dirac impulzusokkal megszorozva a jel időfüggvényét, a kapott mintavett jel egy n x T időpillanatokban lévő Dirac sorozat lesz. Az impulzusoknak nem a magassága, hanem a területe hordozza az adott időpillanatbeli jelminta értékét. Tehát a mintavett jel időfüggvénye: f(t) fmv(t) A mintavett jel csak a mintavételi időpillanatokban hordozza a folytonos jel pillanatértékét, a közbenső időintervallumról látszólag nem hordoz információt! A későbbiekben belátjuk, hogy ez mégsem így van.

5 A mintavett jel spektruma A periodikus négyszögjel spektrumának meghatározására visszautalva (1. labor), láttuk, hogy ha az impulzusok minden határon túl elkeskenyednek, akkor a spektrumvonalak magasságát meghatározó sinx/x burkológörbe első zérushelye a végtelenbe tolódik. Ennek analógiájára a periodikus Dirac sorozat spektruma fs, 2fs, 3fs, 4fs (végtelen) frekvenciákon lévő cos összetevők: Mintavételi frekvencia a mintavételi időköz reciproka: fs=1/t A Fuorier sor: Fourier transzformáltakkal felírva a mintavett jel spektrumát: Ami az időtartományban szorzás, az a frekvenciatartományban konvolúció, tehát a mintavételezendő jel és a mintavételező Dirac sorozat spektrumának konvolválása után megkapjuk a mintavett jel spektrumát:

6 A mintavett jel spektruma A konvolúcióval történő felírásnál egyszerűbben is belátható a végeredmény. Ha a mintavételezendő jelet sávkorlátozzuk, egyenkomponens mentessé tesszük, és megszorozzuk a Dirac mintavételező függvénnyel, akkor a mintavételezés nem más, mint egy AMDSB/SC moduláció. Ebben az esetben végtelen számú vivő adódik (Dirac sorozat spektruma), amely körül az AM esetében ismert módon megjelennek az oldalsávok. Látható, hogy a jel spektrumát a mintavett jel spektruma végtelen sokszor tartalmazza n x fs frekvenciák körül. Az ideális mintavett jel spektruma tehát végtelen és periodikus. Fontos megjegyezni, hogy a spektrumkép a jel teljes spektrumát tartalmazz, azaz a jel minden időpillanatra vonatkozó tulajdonságát hordozza, amelyből az következik, hogy később a jelet minden időpillanatban, maradéktalanul vissza tudjuk állítani (nem csak a mintavételi helyeken).

7 A mintavételi tétel A mintavett jel spektrumából jól látszik, hogy ha a jel, amelyből mintát szeretnénk venni, sávkorlátozott f(max)ra, akkor a mintavételi frekvencia nagyobb kell legyen az f(max) kétszeresénél, különben az oldalsávok összeérnek és átlapolódnak. Ez a jel helyreállítását lehetetlenné teszi. Az átlapolódás az ALIASING jelenség. Ennek megakadályozására kell a kódoló bemenetén a jelet egy aluláteresztő szűrővel sávkorlátozni (antialiasing szűrő) Tehát a mintavételi tétel első triviális alakja, bármilyen sávszélességű jel esetében: fs > 2 x fmax

8 A mintavételi tétel A példán jól látható, hogy a távközlésben gyakori, beszédkódoláshoz használt 8kHz mintavételi frekvencia alkalmazásánál, ha nem sávkorlátozzuk a mintavételi tétel teljesüléséhez a jelet, akkor az oldalsávok átlapolódnak. A spektrumba az fs alatti alsó oldalsávból frekvenciakomponensek kerülnek, amelyek a hasznos spektrumból többé nem különíthetőek el. Az elméleti 4kHz helyett alkalmazott 3.4 khz sávhatárnak az az oka, hogy a helyreállítás során használt szűrők véges meredeksége miatt egy jól meghatározható frekvenciatartományt szabadon kell hagyni. Példaként, ha a jelben megjelenik egy 6kHzes komponens, akkor nem teljesül a mintavételi tétel, és 86=2 khzen megjelenik az aliasing frekvencia, amely a jel helyreállítás után is a hasznos frekvenciatartományban marad: Az ALIASING frekvencia szemléltetése:

9 A mintavételi tétel A mintavételi frekvenciát úgy kell megválasztanunk, hogy ne lépjen fel spektrum átlapolódás. Ennek a követelménynek megfelelően további mintavételi frekvenciákat is kijelölhetünk a mindenkor érvényes triviális (fs>2xfmax) mellett, amennyiben a jel sávszélessége kisebb, mint egy oktáv, azaz: ahol: B = f2f1 (fmaxfmin) Ebben az esetben: f2/b > 2 vagy 2f1>f2 2 x f2/n < fs <2 x f1/ (n1) ahol: n=2,3,...g. A g az f2/b értékhez tartozó, lefelé kerekített egész szám. A következő grafikon a megengedett fs értéktartományokat mutatja. A függőleges tengelyen felmérve a jel sávszélességének megfelelő értékeket, a hozzá tartozó vízszintes egyenes kimetszi a megengedett tartományokat, amelyeket a vízszintes tengelyen azonosíthatunk. Megjegyzés: fm = fs (mintavételi frekvencia)

10 A mintavételi tétel 1. Példa: f1=60khz, f2=108khz Tehát g=2 A megengedett fs tartomány a fs>216khzen kívül: 108kHz < fs < 120kHz 2. Példa: f1=84khz, f2=96khz Tehát g=8 A megengedett fs tartomány a fs>192khzen kívül: n=8,7,6,5...1hez tartozó tartományok: 24kHz, 27, 428kHz, 3233,6kHz, 38,442kHz, 4856kHz, 6484kHz, 96168kHz

11 A jel helyreállítása Niquist probléma: Láttuk, hogy a mintavett jel spektruma az eredeti jel spektrumát végtelen sokszor tartalmazza. A jel helyreállításához nem kell mást tenni, mint az eredeti spektrumot egy aluláteresztő, ún. simító szűrővel kiszűrni. Ezzel a jel maradéktalanul (nem csak a mintavételi helyeken, hanem azok között is) helyreállítható! Niquist megadta, hogyan kell egy ideális szűrő f0ját meghatározni, hogy a kimeneten a helyes jelalakot kapjuk vissza. A megoldás az ismert Niquist feltétel: f0 = fs/2 = 1/(2 x T) Az ideális aluláteresztő szűrő tanulmányozásánál láttuk, hogy a Dirac impulzusra adott válasz függvényben (súlyfüggvény) a zérushelyek n x 1/(2 x f0), azaz n x 1/fs, azaz n x T időpillanatokra esnek.

12 A jel helyreállítása Niquist probléma: A Dirac sorozatra az ideális aluláteresztő szűrő a Dirac területekkel szorzott si(x) függvények összegét adja: Látható, hoyg n x T időpillanatokban Ai függvényértékkel arányos pillanatértéket kapjuk vissza, míg az összes többi si(x) függvény n x T helyeken zérust ad. A közbülső időpillanatokban a függvények összege pontosan leírja a jelet. Egyéb esetre viszont Niquist nem tudott megoldást nyújtani.

13 A jel helyreállítása Shannon tétele: Shannon bizonyította, hogy a jel mindaddig maradék nélkül helyreállítható, amíg a spektrumban nem történik átlapolódás. A szűrő határfrekvenciája pedig az adott sávban lehet: f2 < f0 < fsf2 Látható, hogy ha a spektrum egy aluláteresztő szűrővel kiválasztható, akkor az eredeti jel spektruma jelenik meg, így az eredeti időfüggvény is, függetlenül attól, hogy a si(x) súlyfüggvények n x T helyeken nem adnak zérust. Ez a Niquist probléma megoldását jelentette. A mintavételi tételt ezért Shannon mintavételi tételének is nevezik. Problémát a simító szűrő nem ideális volta okozhat. A valóságos szűrők véges meredekéggel, és a töréspont környékén egyre nagyobb fázistorzítással, így csoportfutási idő torzítással is rendelkeznek, amely a helyreállítás során lineáris torzítást okoz. Ezen segíthet a túlmintavételezés.

14 Mintavételezés és a jel helyreállítása a valóságban Minatvételezés: A Dirac impulzusok területe helyett PAM impulzusok magassága hordozza a jelminta értékét, de ez a minta nagyságának számértékké alakításában lényegtelen. A jel helyreállítása: A probléma ott jelentkezik, hogy a számokat újra Dirac sorozattá kellene alakítani, amely visszaadja a mintavett jel spektrumánál tanult spektrumképet. Ilyen sorozatot előállítása a valóságban nem lehetséges. A valóságban véges szélességű impulzusok magassággal arányos területe reprezentálja a jelmintákat. A véges szélességű impulzusokat a tartó áramkör állítja elő. A periodikus négyszögjel spektrumára visszautalva, ha az impulzusok szélesednek, akkor a spektrum sinx/x burkológörbéjének első zérushelye egyre kisebb frekvenciák felé tolódik el. Ehhez hasonlóan a mintavett jel spektruma is ilyen sinx/x függvénynek megfelelő burkoló szerint alakul: Az exponenciális tag csupán egy konstans késleltetést jelent, ami lineáris torzítást nem okoz.

15 Mintavételezés és a jel helyreállítása a valóságban

16 Mintavételezés és a jel helyreállítása a valóságban A tartóáramkör kimenetén megjelenő impulzusok szélességének függvényében az eredeti spektrum is torzul, abszolút értékben, a magasabb frekvenciák felé (ez egy lineáris torzítás). Ez azonban egy ellentétes amplitúdó korrekcióval kiküszöbölhető. Az amplitúdó korrektort sokszor a simító szűrővel együtt valósítják meg. Amint már tudjuk, a simító szűrő nem ideális volta szintén problémaként jelentkezik, egyre jobb szűrőkonstrukciókkal az ebből eredő hiba minimalizálható. Problémát okoz még az impulzusok nem ideális alakja is, ami a sinx/x burkoló turzulását eredményezheti. Példa: Az r kitöltési tényező függvényében az alábbi korrekciókra van szükség egy telefoncsatorna esetében:

17 Jitter A valóságban további két alapvető problémával is szembe kell nézni. Az egyik a jitter, a másik a kvantálás. A mintavételezésnél, és a dekódolásnál az időzítés (mintavételi időpillanat) bizonytalanságából adódó ún. JITTER jeltorzulást okozhat, amely jó minőségű időzítő áramkörökkel minimalizálható.

18 Kvantálás A kódolt mintákat a kódolás során a véges számábrázolási tartományunkhoz igazodóan véges számú diszkrét lépcsőhöz rendeljük, amelyekhez egyegy bináris PCM kód tartozik. Ez a kód reprezentálja a digitális rendszerben a minta értékét. A lépcsőhöz igazítás a KVANTÁLÁS, amely minden esetben a valós érték és az azt helyettesítő lépcső közti differencia eldobásával jár. Ez olyan jeltorzulást okoz, amely nem korrigálható. Eredményeként létrejön a KVANTÁLÁSI ZAJ, ill. KVANTÁLÁSI TORZÍTÁS. (Helyettesítési értékek)

19 Kvantálás Természetesen a lépcsők számának növelésével a hiba csökkenthető, de az a bináris számok hosszúságának növekedését, ezzel együtt a rendszer erőforrásainak szükségszerű bővítését hozza magával, ami jelentősen költségesebbé teszi a rendszert. A minták ábrázolásakor minden egyes plusz bit megfelezi a kvantálási lépcsők méretét.

20 Kvantálás Pozitív kvantálási lépcsôk V (T ) max V 7 V 6 V 5 V 4 V 3 V 2 S 2 S 3 S 4 Elôjel Bináris érték V 1 S 1 S A.C. V Negatív kvantálási lépcsôk V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 S... S 1 9 minta értékek S 1 S 2 = 1001 = 1011 S 6 S 6 = 0001 S 7 = 0011 S 7 S 8 S V 6 V 7 V (T max) S 3 S 4 S 5 = 1111 = 1111 = 1000 S 8 = 0111 S 9 =

21 Kvantálás Lineáris kvantálás: (A, B) 8 A 8 C Egyenlő nagyságú lépcsők találhatók minden jeltartományban. Ebből az következik, hogy a kvantálásból eredő hiba a jelszint csökkenésével relatíve nő. (Audiotechnikában használatos) kimenô jel bemenô jel 7 6 kimenô jel bemenô jel Nem lineáris kvantálás: (C, D) A beszédjel többnyire kis amplitúdóihoz igazodva a kis jelek felé arányosan csökken a lépcsőméret, így a relatív hiba nagysága nagy szinttartományon közel állandó értéken tartható. (Távközlésben használatos, mint logaritmikus kvantálási karakterisztika) B Lineáris kodek bemenô jel kv antálási torzítás D bemenô jel 3 kv antálási torzítás Nem lineáris kodek 8

22 A kvantálási zaj A kvantálásból eredő jeltorzulás, amennyiben a jel nem összemérhető a kvantálási lépcsők nagyságával, akkor zajként jelentkezik a rendszer kimenetén. Ez a kvantálási zaj. Lineáris kvantálás esetén a jel/zaj viszony az alábbiak szerint határozható meg: (A bemenő jel legyen a kivezérlés határán lévő amplitúdójú sin jel)

23 A kvantálási zaj A kvantálási jelzaj viszony: Logaritmikusan is kifejezhető: A jelteljesítmény az eddig tanultak szerint:

24 A kvantálási zaj A zajteljesítmény meghatározása: Ha a jel nagy szinttartományt fog át, és viszonylag gyorsan változik, akkor a hiba egyenletes eloszlást mutat a Q tartományon. Az sűrűségfüggvénye: Mivel a kvantálási zaj is ergodikus, a négyzetes középértéke megegyezik a statisztikus négyzetes középértékkel:

25 A kavntálási zaj Amennyiben az előbbi feltétel teljesül, akkor a zaj teljesitménysűrűség spektruma sávkorlátozott fehérzaj a hasznos tartományon. A jel/zaj viszony:

26 A kvantálási zaj Kimondhatjuk, hogy közelítőleg a minták ábrázolásánál egy bit elhagyásával 6dBlel növekedik meg a kvantálásból eredő zaj! Példa: Vegyük példaként a CDt amely 16 bit hosszúságú kódszavakon tárolja a jelmintákat. A fül 20 khzes határfrekvenciájához igazodva az fs=44,1 khz. A 16 biten 2^16 db szám ábrázolható, azaz ennyi darab lépcső definiálható a kivezérlési tartományon. Az előző képlet alapján az CDvel elérhető jelzaj viszony 98 db, amely a jelszint csökkenésével romlik.

27 ITUT A karakterisztika Telefoncsatornák esetén alkalmazott logaritmikus kvantálási karakterisztika:

28 ITUT A karakterisztika A minták 8 biten ábrázolódnak, a karakterisztika 2^8=256 lépcsőt tartalmaz a dinamikatartományban, 16 lineáris szegmensre bontva, szegmensenként 16 egyenlő nagyságú kvantumlépcsővel. A középső 4 szegmens azons méretű kvantumlépcsőket tartalmaz. A kvantálási nyereség megadja, hogy hányszor több kvantumlépcső jut kis jelekre nemlineáris kvantálás esetén, mint lineáris esetben: Az A karakterisztika esetében: g=(1/128)/(1/2048)=16 és G=24,1 db A kvantálási jel/zaj mérési eredménye a bemenő szint függvényében:

29 Dither zaj A kvantálásból eredő jeltorzulás, amennyiben a jel nem összemérhető a kvantálási lépcsők nagyságával, azaz nagy szinttartományt fog át és viszonylag gyorsan változik, akkor zajként jelentkezik a rendszer kimenetén. Ez a kvantálási zaj. Teljesítménysűrűség függvénye szerint sávkorlátozott fehérzaj. A modell már nem érvényes: Amennyiben a kódolandó jel olyan kicsi, hogy az összemérhető a kvantálási lépcsők méretével, akkor az előbbi zajmodell már nem alkalmazható. Ebben az esetben a jel helyreállítása során olyan mértékű a jeltorzulás, hogy a jel teljesítményével összemérhető torzítási komponensek keletkeznek.

30 Dither zaj Amennyiben a kódolandó vagy a kódolt jelhez a kvantálási lépcsővel összemérhető zajt keverünk (Dither zaj), akkor a helyreállítás során a fehérzajszint ugyan megnő egy kissé, de a sokkal kellemetlenebb hangzást keltő torzítási komponensek eltűnnek. (A minőségi CDk Ditherezettek!)

31 Dither zaj A Dither zaj alkalmazásának van egy mási jótékony hatása is: Amennyiben egy lépcsőnél kisebb amplitúdójú jelhez adódik a Dither, akkor az általa keltett zajból, a fülünk átlagoló képességének köszönhetően, kihalljuk a hasznos jelet. Így akár a lépcső méreténél tízszer kisebb amplitúdójú jeleket is meghallunk. Ez máskülönben csak a PCM kódszavak hosszúságának növelésével volna lehetséges (drasztikus költségnövekedés árán). Átlagolás után előtűnik a hasznos jel (ahogyan a fülünk működik):

32 Dither zaj Összetett, kis amplitúdókkal rendelkező jel kvantálásakor keletkező intermodulációs torzítás hatása is csökkenthető a Dither zaj alkalmazásával. Ha kisebb felbontásra térünk át, pl. 24 bites rendszerekben 16 bites kimeneti formátumra, akkor a csonkolás, illetve kerekítés mellett a Dither zaj hozzáadása szintén igen lényeges a keletkező torzítási komponensek megszűntetéséhez.

33 Ajánlott irodalom Dr. Simonyi Ernő: Digitális szűrők Cebe László: PCM hírközlés I. Jákó Péter: Digitális hangtechnika