Felületek differenciálgeometriai vizsgálata
Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres vektorfüggvény helyvektorainek végpontjaként, ha az r(u,v) topológikus, folytonosan differenciálható, a vektorok egyetlen pontban sem párhuzamosak. Felületi görbe A paramétersík T tartományában vett görbe képe a felületen. Paramétervonal A paramétersík tengelyeivel párhuzamos egyeneseinek.
Érintősík, normálvektor A felület egy adott P pontját végtelen sok felületi görbe halad át. E felületi görbéknek a P-beli érintői egy síkot feszítenek fel. Minden felületi pontban képezhető a paramétervonalak érintőinek vektoriális szorzata: melyet a felület normálvektorának nevezünk. A normál egységvektor jelölése: n Az érintősík meghatározó adatai: a felület rögzített pontja ebben a pontban a normálvektor vagy a felület rögzített pontja ebben a pontban a paramétervonalak érintői Egy felület irányítható, ha megadható normál egységvektorokból álló folytonos vektormező. Egy elemi felületnek két irányítása lehetséges. (ezek között paraméter-transzformációval válthatunk.)
Egyoldalú felületek Möbius szalag Klein-féle palack
Felületi metrika A felületek előállítása: (u, v helyett u 1, u 2 -t használunk) Első alapmennyiségek: paramétervonal-érintők belsőszorzatai Az első alapmennyiségekből képzett mátrix szimmetrikus, determinánsa: A paramétervonalak pontosan akkor merőlegesek, ha. Ebben az esetben mátrix diagonális, csak a főátlóban vannak nem-zérus elemek.
Felületi görbe ívhossza
Felszín Egy felületdarab felszínén a felületdarabba írt finomodó, normális poliéder sorozatok felszíneinek közös határértékét értjük. Finomodó: az háromszögrendszer oldalai nullához tartanak. Normális: a paramétersíkon olyan háromszögrendszert adunk meg, ahol sík minden pontja legfeljebb egy háromszög belső pontja, és a háromszögek szögeinek van alsó korlátja. Tétel Az értelmezési tartomány B tartományához tartozó felületdarab felszíne:
Felszín másként értelmezve A felületen a paramétervonalak görbe vonalú rácshálózatot alkotnak. PQRS: felületi négyszög, szomszédos paramétervonalak által határolva. A P-beli paramétervonal-érintők egy érintőparalelogrammát határoznak meg. Minden pontban ezt elkészítve egy pikkelyrendszert kapunk. A felületdarab felszínén ilyen pikkelyrendszer pikkelyterületeinek összegét értjük, ha a rácsrendszer minden határon túl finomodó.
Második alapmennyiségek Minden pontban képezhetők a második parciális deriváltaknak a felületi normálvektorral vett belsőszorzatai. Ezek a felület térben felvett formájával kapcsolatos mennyiségek. Minden pontban megadható egy a felületet az adott pontban másodrendben érintő felület, az oszkuláló paraboloid:
Dupin-indikátrix Az oszkuláló paraboloidot az adott pontbeli érintősík mindkét oldalán ½ távolságra elmetszve, és a metszetet az érintősíkra vetítve, az adott pontban megkapjuk a Dupin-indikátrixot. Pont típusa Oszkuláló hiperboloid Dupin-indikátrix Elliptikus Elliptikus paraboloid Valós- és képzetes ellipszispár Hiperbolikus Hiperbolikus paraboloid (nyeregfelület) Parabolikus Parabolikus henger (parabola vezérgörbéjű henger) Konjugált hiperbolapár Valós- és képzetes egyenespár
Görbületi viszonyok a felületen Egy felület adott pontjában a görbületi viszonyokat az ott áthaladó felületi görbékkel jellemezzük. Egy felületi görbe simulósíkja egy síkgörbét vág ki a felületből, amelynek ugyanaz az érintővektora és főnormálisa, mint az eredeti görbének. A felületre illeszkedő térgörbét a simulósíkja által kimetszett görbével helyettesítjük. Speciális metszet: normálmetszet A felületnek a felületi normálist tartalmazó síkokkal való metszetei. A felület normálvektora és a görbe főnormálisa egy egyenesre esik. Minden esetben a görbe síkját az n normális és egy érintőegyenes fogja meghatározni.
Görbületi viszonyok a felületen Az előbbi ferdemetszet görbülete a normálmetszet görbületéből meghatározható, csak azt kell ismerni, hogy mennyiben térünk el a normálmetszettől. : a normálsík és a simulósík szöge (a felületi normális és a főnormális szöge) R: a normálmetszet görbületi sugara r: a ferdemetszet görbületi sugara Meusnier tétele A simulósík által kimetszett görbe sugara:
Görbületi viszonyok a felületen A tétel jelentése: A felület P pontjában vegyük azt az R sugarú gömböt, amely P-ben érinti a felületet és főkörként tartalmazza a normálmetszet simulókörét. Ekkor a P-n áthaladó, rögzített érintővel rendelkező görbék simulósíkja a görbe simulókörét metszi ki az előbbi gömbből. A felület adott pontjában egy érintőegyenes rögzítése után előáll egy ún. Meusnier-gömb. Pl: forgáskúp esetén
Görbületi viszonyok a felületen Hogyan változik a normálmetszet görbülete, ha az érintőt a P pont körül forgatjuk? A normálmetszet görbülete az érintő forgatásával folyamatosan változik és közben felveszi szélsőértékét, azaz lesz egy maximuma és egy minimuma. (G 1, G 2 ) Főirányok: A max. és min. normálgörbülethez irányok. Mindig egymásra merőlegesek! Egy tetszőleges felületi pont érintősíkjában a főirányok egy koordinátarendszert definiálnak. Ebben a rendszerben egy tetszőleges érintőirány jellemezhető az egyik főiránnyal bezárt szöggel. G: tetszőleges irányhoz tartozó normálgörbület G 1, G 2 : főnormálgörbületek a: G és G 1 irányának szöge Euler tétele:
Görbületi viszonyok a felületen Gauss-görbület (szorzatgörbület) Minkowszki-görbület (összeggörbület) Theorema egregium: A Gauss-görbület csak az első alapmennyiségek függvénye. A Gauss-görbület kiszámítása: Igazolható, hogy a második alapmennyiségek kifejezhetők az első alapmennyiségekkel. Következmény: Két felület között izometrikus leképezés csak akkor létezik, ha a két felület Gaussgörbülete pontonként megegyezik. Kiterítésnél az egyik felület a 0 Gauss-görbületű sík, ezért a síkba fejthető felületek a minden pontban parabolikus felületek.