Goda Jáos SZÁMÍTÓGÉPI MATEMATIKA Budapest, 7
Letoálta:
3 TARTALOMJEGYZÉK ELİSZÓ 5 ANALÓG ÉS DIGITÁLIS SZÁMÍTÓGÉP, ALGORITMUS, NEUMANN-ELV 7 JELÁTALAKÍTÁS 9 SZÁMÁBRÁZOLÁS 9 DIGITÁLIS ARITMETIKA 49 LOGIKAI ALGEBRA 77 A HIBAKORLÁTOZÁSRÓL 87 PÉLDÁK 93 FELADATOK A tágyalt ayaghoz apcsolódó feladato 4 Egyéb, a számítógépe felépítéséhez tatozó feladato 7 Megoldáso TÁRGYMUTATÓ 7 IRODALOMJEGYZÉK 3
5 ELİSZÓ A öetezı oldalao található ayag a számítógépe mőödésée a legább a matematához apcsolódó észéel, az atmeta és loga mőelete égehajtásáa eleel, alamt a égehajtáshoz szüséges adato megadásáa módjaal, az egyes megadás módo tulajdoságaal, elıyeel, hátáyaal, leggyaobb felhaszálás teületeel, toábbá a számítógépbe agy adatáttelél tötéı hbá olátozásáa alapjaal foglaloz. Az elsı észbe tsztázzu, hogy mlye ele mőödte és mőöde a számítógépe, és bemutatju a számítógépe felépítése szempotjából alapetı fotosságú Neuma-elet. A Neuma-elbıl öetez, hogy a számítógéppel feldolgozadó adato egy jeletıs észét a feldolgozás elıtt megfelelı módo át ell alaíta, mel eze a gépe csa számjegyes fomába, azaz alamlye ábécéel felít fomába edelezése álló adatoat épese mapulál. Jóllehet a ma számítógépe mde adatot bás alaba táola, és legalsó szte mde mőeletet bás adatoo égeze, szüséges egyéb ábázolás fomáat s megsme. Ee ét oa s a: egyészt magasabb, de még mdg gép szte maada, más számedszeebe megadott számoal s dolgoz a számítógép, másészt a fogalm tsztálátáshoz mdeéppe az általáos ele smeetée a szüség. Taáo esetébe ez utóbb do ülööse agy súllyal es latba, ugyas míg egy általáos agy özépsolás dáa elsısoba azt ell tuda, hogy hogya ell alamt csál, a taáa mdeéppe tsztába ell lee azzal s, hogy mét úgy ell csál. Ehhez szot szlád el alapoa a szüség. Foglalozu a loga algebáal. Ee szté ge agy jeletısége a a számítógépeel apcsolatba. A számítógépe alapetıe atmeta és loga mőeleteet égeze, így elee szüséges a loga mőeletee smeete. Egy más, legalább eye fotos o, hogy, mt majd látju, a alóságos számítógépe szte teljes egészübe olya észegységebıl épüle fel, amelye léyegébe ée a loga alapmőeletet, az ÉS, a VAGY és a NEM mőeleteet, llete eze egyszeő ombácót hajtjá ége. Ha tehát ala tsztába a eze mőelete tulajdoságaal, ao elbe má saját maga s épes lehet szte teljes számítógép megalotásáa. Ige öde és agyo beezetı szte bemutatju, hogy hogya lehet a táolás llete áttel soá eletezı hbá egy észét detetál, sıt, esetleg jaíta. Végül éháy példát mutatu, megoldással együtt, az adatábázolás témaöébıl. A taulás megöyítése, a öyebb eesés és tájéozódás edéét a jegyzet égé egy tágymutató található.
7 ANALÓG ÉS DIGITÁLIS SZÁMÍTÓGÉP, ALGORITMUS, NEUMANN-ELV A ma számítógépe potosabb megeezése eletous dgtáls számítógép. Az eletous jelzı ételme egyszeő, azt fejez, hogy a gép eletous alatészebıl épül fel (mdazt, amt eletousa meg lehet olda, fel lehet építe mechaus, hdaulus, tehát folyadéal mőödı, és peumatus, azaz leegıel mőödtetett alatészebıl s, csa léyegese agyobb méetbe és alacsoyabb mőödés sebességgel). Nézzü a más jelzıt. Ee s csa ao a ételme, ha létez másfajta számítógép s. A számítógépe más típusa az aalóg számítógép. Eze a gépe egy matemata fejezés megoldását adjá. Külöbözı specáls feladat számításáa alalmas észegységet tatalmaza: összeadó, oó, szozó, osztó, dffeecáló, tegáló áamööet, alamt matemata függéyeet többe özött szögfüggéyt, logatmus- és expoecáls függéyt geeáló áamööet stb., agys ha például egy tegáló áamö bemeetée egy dıbe leása áltózó agyságú feszültséget adu, ao a meeté az dıbe égyzetese áltozó feszültség jele meg. Mde lye alapáamöbıl több a a gépbe beépíte, és ha egy matemata fejezést ell számíta, ao az abba szeeplı mde egyes mőeletet egy-egy megfelelı áamö égez, amelyeet a éplete megfelelıe egy dugaszolható táblá öte össze. Egy lye beedezés attól aalóg, hogy az fomácót épselı été egy ele egyételmő matemata apcsolatba álló feszültség, agys egy méhetı fza meység agysága, egy aalóg jel. A dgtus lat szó, jeletése (hüely)ujj. Mel az embe ezét-lábát s felhaszálja a számoláshoz, ezét ez a szó ésıbb a számjegyet s jeletette, és az agolba ee megfelelıe a dgt jeletése számjegy. Ez más mutatja, hogy a dgtáls számítógép számjegyeel megadott adatoal, dgtáls jeleel dolgoz. Temészetese ezebe a gépebe s alamlye fza meység epezetálja az adatot, ám özetette: ha egy megadott poto mét feszültség sebb modju Voltál, ao az a -s számjegyet, míg ha ez az été például 3 Voltál agyobb, ao az -es számjegyet jelet. A ét megadott été özött feszültség hbát jelet. Míg egy aalóg gépbe mde észegység alameoa hbáal állítja elı a számítás eedméyét, és eze a hbá halmozóda, addg a dgtáls gép bzoyos feltétele betatásáal potosa azt az eedméyt adja, amelyet ugyaolya számítással papío és ceuzáal számola m s apá (de hagsúlyozzu, hogy ugyaazzal a számítással, tehát például az tegálást ugyaúgy umeusa égeze). A toábbaba csa a dgtáls számítógéppel foglalozu. A dgtáls számítógép algotmust hajt ége. Az algotmus egy adott feladat megoldásáa leíása: aa olya alapmőelete, amelyeet godolodás élül ége tudu hajta, és az algotmus azt adja meg, hogy egy alapmőelet égehajtása utá m a soo öetezı lépés. Az algotmus egy éges ábécéel felít éges hosszúságú szöeg, amelyhez hozzátatoz az s, hogy mely adatoo opeál. Magát az adatot s egy éges ábécéel felít éges hosszúságú soozat epezetálja. A megegedett adato száma aá égtele s lehet, hsze az adat hosszúságáa cs megötés. A égtele so ülöbözı adato égehajta ugyaazt az algotmust, az algotmus lefutása aá égtele so ülöbözı módo tötéhet, ugyaao az algotmus leíása éges. Ez a leíás potosa ögzít, hogy ha egy adott adato égehajtottu egy lépést, és létejött ee a lépése az eedméye, ao m lesz a soo öetezı lépés. Ez ylá függhet a oét bemeet adattól s. Egy tpus példa az egész számo legagyobb özös osztóját számító euldesz algotmus. Emeljü az algotmus elıbb megadott léyeges tulajdoságat: éges so alapmőelet; éges ábécéel epezetált éges hosszúságú adato; a észeedméyetıl függı, potosa meghatáozott égehajtás soed, amelyet egy éges ábécéel felít éges szöeggel adu meg; szeecáls, agys lépéseét egymás utá égehajtás.
8 ANALÓG ÉS DIGITÁLIS SZÁMÍTÓGÉP, ALGORITMUS, NEUMANN-ELV Többé-eésbé a fet megadott ele alapjá épüle fel a dgtáls számítógépe, és szte teljese megfelele a fetee a ma túlyomó többséget adó Neuma-elő számítógépe. A dgtáls számítógépbe az alapmőelet a gép által egy lépésbe égehajtott utasítás, és az algotmus a pogam. Ha a gép egyetle algotmus égehajtásáa épes, ao célszámítógép, elleezı esetbe uezáls számítógép. A Neuma-elet az alábbaba foglalhatju öde össze: a ettes számedsze mt éges ábécé haszálata; egy utasítás-égehajtó egység, ee öeteztébe szeecáls égehajtás; a szeecáls égehajtás öeteztébe a észeedméye táolása szüségessé tesz memóa alalmazását; az uezáls mőödést a feladat megoldását szolgáló pogam adja, agys a gépe ülöbözı pogamoal ell mőöde. A pogamot, tehát az algotmust, éges ábécéel adhatju meg. Ez a éges ábécé ételemő, azaz az adato megadásához hasolóa a ettes számedsze, agys a pogamot s ettes számedszebe íju fel. Mel így fomalag az adato és az utasításo teljese egyfomá, ezét a pogamot az adatohoz hasolóa a memóába táolhatju, így eze a gépe táolt pogamú számítógépe. Mt modtu, aa ettıl bzoyos potoo eltéı mőödéső dgtáls számítógépe s, ám jeleleg a hétözapoba haszált számítógépe szte záólag Neuma-előe, agy legalábbs majdem teljese lye ele mőöde, ezét mostatól ezde a számítógép a Neuma-elő eletous dgtáls számítógépet jelet. Foglalozzu öde a ettes számedsze haszálatáal. Ee észbe mősza, észbe matemata háttee a. A mősza megfotolás öye éthetı: ebbe az esetbe csa ét ülöbözı állapotot ell megülöböztet, például hogy egy adott ezetée foly-e áam agy em, sıt, ezt sem abszolút potossággal, hsze a oább példába má láttu, hogy csupá azt ell tud eldöte, ajo a feszültség sebb-e Voltál, agy agyobb, mt 3 Volt. Ha a szoásos tízes számedszet haszálá, ao tíz ülöbözı szmbólumot ellee mőszalag epezetál, modju tíz ülöbözı feszültséget ellee egymástól megülöböztet, amely léyegese agyobb aáyba eedméyeze téedést, tehát hbát. Tetettel aa, hogy a számítógéppel feldolgozadó adato gyaa em dgtáls alaba álla edelezése, foglalozu ell azzal a édéssel, hogy az lye adatoat hogya tudju átalaíta a dgtáls számítógép által elfogadott jeleé.
Számítógép matemata 9 JELÁTALAKÍTÁS A dgtáls számítógép éges hosszúságú számo fomájába megadott adatoal égz a mőeleteet, tehát a bemeeté s lye adatoat á, és a meeté hasoló fomába jeletez az eedméy. Az esete egy jeletıs észébe (fıleg mősza-tudomáyos poblémáál) azoba a megoldadó feladat duló adata em lye fomájúa. Nézzü például azt az esetet, amo egy áíz-felügyelet edszet aau számítógéppel építe. Egy bemeet adat esetübe a folyó ízsztje, amelyet egy adott dıszaba példaét az alább. ába mutat. h(t) A folyamatosa áltozó, tehát bámely dıpllaatba ételmezett függéyhez egy új függéyt edelü úgy, hogy a függéyt csupá dszét dıpllaatoba tetjü. A ízsztfüggt. ába Ee a függéye számua ét fotos tulajdosága a:. tetszıleges dıpllaatba ételmezett, hsze a folyóa mdg a alamlye ízsztje;. a ízszt em álladó, így a függéy em ostas, és a ízszt áltozása folytoos, ezét a függéy egy adott éges, em ulla hosszúságú tatomáyba bámlye étéet felesz. Mdét fet tulajdoság ellemetle (mámt a dgtáls techa szempotjából). Tetszıleges éges, ulláál hosszabb dıteallum égtele so dıpotot tatalmaz, agys a bemeet fomácóhalmaz bámely éges, egyél több dıpotot tatalmazó dıteallum eseté égtele so elemő, azaz égtele so szám (bámely ét alós szám özött a mdét elıbbtıl ülöbözı alós szám, e adód, hogy ha az teallum tatalmaz ét potot, ao égtele soat tatalmaz). A Neuma-ele mőödı gép a feldolgozást egyetle feldolgozóegységgel, szeecálsa égz, és mdeegyes lépéshez ulláál hosszabb dıe a szüség, ebbıl öetezıe éges dı alatt csupá éges számú lépés elégzésée alalmas, a gép éges dı alatt em épes a égtele so adat feldolgozásáa. A. tulajdoság em ugyaezt, de hasoló poblémát et fel. A gép egy éges szmbólumhalmaz elemebıl összeaott éges, ögzített hosszúságú agy legalábbs egy ögzített hosszúság éháy s egész számú többszöösée megfelelı hosszúságú soozato feldolgozásáa alalmas, és az lye soozato száma éges. Ugyaao a bemeet fomácó számához hasolóa a lehetséges étée halmaza s égtele, am a oét esetbe azt jelet, hogy az összes lehetséges folyósztet em tudju a gép yelé megad, em tudju potosa leí. Valamlye techát ell ees, hogy a számítógép az lye jeleet s ezel tudja. A ét pobléma megoldását ülö zsgálju. Mtaételezés,
JELÁTALAKÍTÁS éy alamely éges szaasza eseté a. ába függéyée jutu, és az eedet függéy göbéjée elhagyásáal a 3. ába göbéjét apju. h(t) t t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t t t t 3 t. ába h m (t) t t t 3 t t 4 5 t 6 t 7 t 8 t t 9 t t t 3 t 3. ába Temészetese a mtá az dıbe a míusz égtelebe ezdıde és a plusz égteleg tataa, a bemutatott ábá ee csupá egy éges szaaszát jelépez. Ha most hm -e egy éges szaaszát ézzü, ao ebbe má csa éges so mta, azaz éges so adat a, amt a gép épes ezel (feltée, hogy az egyes adato ezelhetıe a gép által). A fet eljáást mtaételezése eezzü, a t - a mtaétel dıpoto, h m a mtaételezett függéy. A bemutatott függéyél a mtaétel dızítésébe semm szabályszeőség cs. Célszeőbb, ha az egyes mtaétel dıpoto azoos táolságba öet egymást, eo a mtaételezést egyeletese modju. Egyeletes mtaételezésél a mtaétel dıpoto a t t fejezéssel adhatóa meg, ahol t > a ét egymást özetleül öetı mtaétel özött dı. Az eedet függéyüet az egyeletes mtaételezéssel mutatja a 4. ába, és smét csa a léyeges ész megtatásáal a 5. ába. Felmeül a édés, hogy csupá a mtá smeetébe meg tudju-e ad a teljes eedet göbét. Ráéze a mtaételezett függéy ábájáa azoal szembeötl, hogy ez szegéyebb, am az fomácótatalmat llet, mt az eedet függéy, hsze ét mtaétel özött dıbe semmt em mod az eedet függéyıl. Ez egy elég temészetes elépzelés, és az embe hajlamos a temészetes dolgoat elee gaza tete. Szeecsée mdg aa ételedı elmé, a má so
Számítógép matemata szemléletes gazság -ól mutattá, hogy esetleg szemléletese, de em gaza. A m esetübe egy Claude Shao eő matematus olt az, a em htt a szemée, és egy cst mélyebbe utáaézett a dologa. h(t) t t t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t t t t 4. ába h em (t) t t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t t t t 5. ába Ha a függéy eleget tesz bzoyos feltételee, ao elıállítható égtele so, ülöbözı peódusdejő, ampltúdójú és fázsú szusz-függéy összegeét (agy tegáljaét). Ameybe egy lye függéy sáhatáolt, agys egy bzoyos, a függéytıl függı maxmáls feecáál agyobb feecájú ompoes em szeepel a függéy felbotásába, ao eze maxmáls feeca étszeeséél sőőbb mtaétel eseté a mtából egyételmőe sszaállítható a teljes eedet függéy. Nagyo duá szóla a függéy ao sáhatáolt, ha csee bee htele áltozáso, és a maxmáls feeca a függéy áltozás sebességétıl függ, eezetese, mél gyosabb áltozáso lépe fel egy függéybe, aál agyobb a sáhatá (ha egyáltalá sáhatáolt a függéy). Még egy léyeges megjegyzés. Temészetese a függéye eleyészı töedée sáhatáolt, hsze általába egy függéy dıhatáolt, így a mtaett jel em hodoz mde fomácót az eedet függéyıl, öetezéséppe ez em s állítható ssza teljes egészébe a mtából. Azt szot így s látju, hogy ha olya feecáal esszü a mtáat, amely feecáál szapoábba áltozó összeteı má csa ge s ampltúdóal esze észt a függéybe, ao a sszaállítás szoylag s hbáal elégezhetı. A most elmodotta pesze em pecíz matemata jeletése, de alaposabb elemzéssel azzá tehetıe.
JELÁTALAKÍTÁS Szemlélet alapjá az elmodotta azt fejez, hogy ha egy jel sáhatáolt, ao em tatalmaz egy bzoyos feecáál agyobb feecájú összeteıet, azaz em áltoz túlságosa gyosa, ezét, ha elég gyaa esszü a mtáat, ao ét mtaétel özött szoylag eeset áltoz a függéy, így a mtá összessége alapjá (agys az adott dıpothoz épest jöıbe mtá s léyegese) meghatáozható egy özbülsı potba s a függéy étée. Példaét ézzü a 6. ába göbéjét. Itt 6 szusz-függéy összege látható, és öye észeehetı, hogy ez az összeg egy ge jó özelítését adja egy úgyeezett égyszög-függéye. Toább megfelelıe álasztott szusz-függéy hozzáételéel az eedı függéy egye jobba smul, és egye jobba megözelít a égyszögfüggéyt, temészetese úgy, hogy a szaadás potoba a jobb- és bal oldal hatáété özepéhez oegál a soozat. 6. ába
Számítógép matemata 3 f(t) -3T/4 -T/4 T/4 3T/4 t Katálás 7. ába Most áttéü a más pobléma feloldásáa. Vsszaemlészü, hogy a másod ehézséget az oozza, hogy a függéyétée halmaza égtele, leszámíta a ostas függéy esetét, amely jele tágyalásu szempotjából teljességgel édetele, és ezt a égtele so adatot em tudju éges so jel éges hosszúságú soozatáal leí. Most a öetezıéppe jáhatu el. Legye C éges so, páoét dszjut, ulláál hosszabb I teallum halmaza, amelye együtt adjá az I étéészletet. I -hoz jetíe hozzáedelü egy egész számot, és defálju a h ( t) függéyt, ahol h( t) I. Az elıbb említett -t például a öetezı módo hatáozhatju meg. Ha I-t csa égtele teallumoal fedtü le, ao agy egyetle, agy ét észteallumu a, és ez(e) tatalmaz(a) egész számot. Elleezı esetbe, agys amo a fedı teallumo özött a éges, legye s az I teallumo hosszáa mmuma. Ez létez, hsze éges so teallumól a szó, és s >, met ötöttü, hogy az I - mdegye ulláál agyobb hosszúságú. Ha < δ < s, ao alamey I -hoz a olya egész, hogy c δ eleme I -a, és ha δ-t álasztju météegysége, ao c méıszáma (smét megjegyezzü, hogy az teallumhoz edelt egész bámlye lehet az jettás megtatása mellett, em szüségszeő, hogy alamlye egységgel a megfelelı poto hozzátatozzaa a teallumuhoz, de azét mégs azt tatju temészetese, ha az teallum és a e megfeleltetett egész em teljese degee). A leít eljáás a atálás, az I teallumo a atumo, és h ( t) a atált függéy, amely a ízszt eseté az alább 8. ába, llete a csupá a jobb megétés edéét beajzolt oala elhagyása utá a 9. ába (pesze ét szomszédos teallum eseté az elálasztó pot csa az egyhez tatoz hozzá, és ettıl függıe a 9. ába lépcsıs függéyé s egyételmő, hogy a szaadás potoba m a függéy étée). A mtaételezéshez hasolóa tt sem célszeő a teljese tetszıleges felosztás és epezetásálasztás. Az egy, és leggyaabba célszeő álasztás, ha a észteallumo leszámíta az esetleg égtele alsó llete felsı teallumot azoos hoszszúságúa, és a epezetás az adott teallum alsó, felsı agy felezı potja smét eltete esetleg a szélsı teallumo egyétıl agy mdettıjütıl. Ezt egyeletes atálása modju. Eseteét célszeő lehet más szabályossággal feloszta az étéészletet. Ha például a atáladó függéy a hag teztása, ao a agyobb teztáso felé expoecálsa ıhet az teallu-
4 JELÁTALAKÍTÁS mo hossza, am azét lehet célszeő, met az embe fül logatmusa ézéey a hag eısségée, agys a százszoos teztásáltozást csupá étsze aoa hageısség-áltozása találja, mt amo az teztás eedet étéée tízszeesée ı. ába. Az egyeletes atálást mutatja a példáa a. ába, és a fölösleges oala élül a. h(t) I 4 c 4 c 3 I 3 I I c c δ t 8. ába h (t) c 4 c 3 c c t 9. ába
Számítógép matemata 5 h(t) I 5 I 4 I 3 I I c 5 c 4 c 3 c c δ t. ába h e (t) c 5 c 4 c 3 c c t. ába Mel az új függéyétée egész számo, eze megadhatóa a íát módo, azaz éges ábécé elemeel felít éges hosszúságú szóét. Egyeletes atálás eseté ezt öyő fomuláal megad: ha az öéyese jelölt -ed teallum alsó potja m, az egyes teallumo (azoos) hossza d, és c c, agys a ét szomszédos teallumhoz edelt été ülöbsége, h t I ao toábbá ( ) ( t) f m he ( t) c d. Ismét felmeül a édés, hogy a atált jelbıl elıállítható-e az eedet. Az bztosa em áható, hogy ez mde olátozás élül tetszıleges függéye gaz legye, ezét legyü szeéyebbe: legalábbs alamely jól öülíható, meghatáozott függéyosztály eseté lehetséges-e a eostucó. A álasz most emleges, amt a öetezı ét függéy alapjá ez eléggé yláaló és szemléletes (. ába).
6 JELÁTALAKÍTÁS f (t) f (t) t t. ába Ha a teljes étéhalmaz egyetle atumba es, ao a ét függéy atálás utá azoos, és mel bámlye cs atum eseté lehet ét függéy a fethez hasoló, ezét látju, hogy most hetetle a teljes sszayeés. Mdazoáltal godolju meg, hogy mde méés llete átalaítás alamlye hbáal tehelt, ame egyészt mősza, de másészt megeülhetetle és ezét elháíthatatla fza oa aa. Ha tehát az egyes atumo étée agyságedleg megegyez a hba métééel, ao a alóságos helyzethez épest em eszítü fomácót. Nyláaló, hogy az eedet poblémát ömagába sem a mtaételezés, sem a atálás em oldja meg, csa a ettı együtt, így jutu a 3. ába, és a léyegtele fomácó elhagyása utá a 4. ába mtaett atált jeléhez. Egyeletes mtaételezéssel és egyeletes atálással a megfelelı ét függéyt a 5. ába és a 6. ába mutatja. h(t) I 4 I 3 c 4 c 3 I I c c δ t t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t t t t 3 3. ába t h m (t) c 4 c 3 c c t t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t t t t 3 4. ába t
Számítógép matemata 7 I 5 I 4 I 3 I I c 5 c 4 c 3 c c h(t) t δ t t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t t t 5. ába t h em (t) c 5 c 4 c 3 c c t t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t t t 6. ába t A mtaett atált jellel elétü céluat: a mtá száma éges dıteallumo éges, és a mtá egy özös egység egész számú többszööse, így a megfelelı egésze a számítógép által elfogadott fomába adhatóa meg. Ha a mtaett atált jelet számjegyes fomába adju meg (temészetese a gép számáa az általa ételmezhetı fomába), ao az eedet aalóg jelet dgtáls jellé alaítottu, agys az aalóg-dgtál átalaítás (A/D oezó) mtaételezésbıl, atálásból, és a mtaett atált jel számjegyes megadásából áll. Ameybe a számítás eedméye s függéy, ao pesze ez s a alóságos eedméy mtaett és atált megfelelıje. Ha az gaz függéy mde dıpotba ételmezett, ao az eedméybıl s lye függéyt célszeő elıállíta, agys most a feladat egy dgtáls jelsoozatból egy folytoos függéy elıállítása, a dgtál-aalóg átalaítás (D/A oezó). A legegyszeőbb esetbe ez egy lépcsıs függéy, agy a mtaett atált jelee megfelelı potoat összeötı egyeesebıl álló függéy, de lehet magasabb foú polomoal s özelíte a függéyt.
9 SZÁMÁBRÁZOLÁS Ebbe a észbe az adatoa szmbólummal aló megadásáal foglalozu. A számítógép éges so, adott fomátumú szmbólum feldolgozásáa épes, az el tágyalás szempotjából eltete a mősza édéseet özömbös, hogy az egyes szmbólumo oét megjeleés fomája mlye, ezét ha a gép szmbólumot épes megülöböztet, ahol egy -él agyobb egész szám, ao feltehetjü, hogy eze a szmbólumo az -alapú számedsze jegye, agys a,,..., számot jelölı szmbólumo (eze halmazát a toábbaba N -el jelöljü). Ameybe agyobb, mt tíz, ao pesze toább jeleet ell alalmazu. Mel a számítástechába, mt majd szó lesz óla, a 6-os, úgyeezett hexadecmáls számedsze s eltejedt, ezét lyeo a decmáls számjegyee túl még 6 toább jele a szüségü. Eze a alault szoása megfelelıe az agol ábécé elsı hat betőjée yomtatott agybetős alaja a temészetes soedbe, agys A, B, C, D 3, E 4, F 5. A számítástechába ülööse égebbe haszálatos toább számedszehez, az otálshoz cs szüség a decmáls jegyee túl más szmbólumoa, ugyas ez a 8-as számedsze. A ettes számedszebe felít szám egy-egy jegye a bt, agys egy agy egy. A gépbe az adato fx hosszúságúa, agy a hosszu egy fx hosszúság éháy s egész számszoosa. A ég gépebe ez a fx hosszúság ülöbözı olt, és általába egyetle hosszúságot jeletett, így olt gép, amelybe az adato btese, míg más gépebe például 48 btese olta. Az lye gépe szószeezésőe. A szó méete általába a memóából egyetle lépésbe olasható adat hossza. A ma gépebe általába egyél több (de em túl so) ülöbözı hosszúságú adat mapulálható, és a hoszszúságo egy legödebb hossz többszööse (elıfodul, hogy egyes gépe bzoyos utasítása áltozó hosszúságú adatoal épese dolgoz, lyeo például magába az utasításba adju meg a oét adat hosszát). A ma gépebe ez a legödebb hossz szte záólag 8 bt, és egy lye legödebb hosszúságú adatot, tehát patusa a 8 bt hosszúságú adatot bájta (agolosa byte) eezzü (a bájt hosszáa oáól ésıbb még lesz szó). A toább eleezése má em egységese: szoás a étbájtos adatot félszóa, a égybájtosat szóa, míg a yolcbájtosat duplaszóa eez, míg más helye például a szó 6 btes adatot jelet. Azt az eljáást, amo bzoyos adatohoz az -alapú számedsze egyes étéet hozzáedeljü, ódolása modju. A ódolás potosa azt jelet, hogy a ódoladó eleme halmazát jetíe leépezzü egy halmazba. A épeleme halmaza a ód, a hozzáedelés a ódolás, és az u elemhez edelt été az u ódja. Az jettás ylá szüséges öetelméy a sszafejtéshez, agys a deódoláshoz. (Léteze em jetí ódoláso, eo temészetese em lehet a ódból egyételmőe deódol. Az lye ódoat eszteséges óda modju, míg az jetí ódolás eszteségmetes.) Az jettásból öetez, hogy a ódoladó eleme száma em lehet agyobb a ód számosságáál. Ha az -alapú számedszebe felít -jegyő számoal ódolu, ao a ódhalmaz összese -elemő, agys egy ódolással legfeljebb ey ülöbözı dolgot tudu ódol. A legegyszeőbb ódolás, amo egy legfeljebb 56-elemő halmaz elemet a 56 ülöbözı bájtból álló halmaz elemeel ódolju. A ódoladó halmaz lyeo általába az agol ábécé s- és agybetőt, a decmáls számjegyeet, az íásjeleet és éháy egyszeő gafus jelet, alamt specáls jeleet tatalmaz. Ilye ódolása több szabáy létez, özülü legsmetebb és leggyaabba alalmazott az IBM által fejlesztett és haszált EBCDIC (Exteded Bay Coded Decmal Itechage CodeKtejesztett Bása Kódolt Decmáls CseeKód), alamt az ASCII-ód (Ameca Stadad Code fo Ifomato ItechageAmea Szabáyos Kód IfomácóCseéhez). A széles öbe haszált személy számítógépe általába az utóbbt haszáljá. Ez a ód eedetleg 7-btes olt, majd úgy csálta belıle 8-btes ódot, hogy az egy btet egyszeőe megdupláztá, llete más esetebe egy patásbttel egészítetté (eıl a Hbaolátozásál lehet olas), égül újabb szmbólumoal egészítetté a ódoladó eleme halmazát. Az lye ódoat általába táblázattal adjá meg, és ügyele á, hogy a számjegye llete a bető ódja az eedet soedbe, özetleül egymás utá étée legyee. Ezeel az adatoal általába csa összehasolítás égezhetı: mel egy-egy bájt egy 56-ál sebb em egatí egész száma tethetı, ezét ez a ódszaa egy lehetséges edezését jelet, de temészetese táblázato segítségéel bámlye edezés megadható,
SZÁMÁBRÁZOLÁS és ao zsgálhatju, hogy például ét ódszó özül mely elız meg a másat. Magual a ódszaaal mt számoal temészetese boyolultabb matemata mőelete s elégezhetıe, ám ezee maguhoz a ódszaahoz semm özü scs. Éppe ezét az lye ódoat alfabetus llete alfaumeus óda eezzü, amellyel azt fejezzü, hogy csupá betőet és íásjeleet, agy az elıbbee túl számoat s ódolu, de em mt számoat, haem csa mt a számo gafus jelét tete. Az EBCDIC és az ASCII ódo táblázata az.-5. Táblázatoba látható. Jeleleg egye szélesebb öbe alalmazzá a Ucode-ot, legalábbs ee bzoyos észódjat. Ez a ód 4-6 hexadecmáls jeggyel ódol, így ge agy jelészletet épes ódol, például a ülöbözı íáso íásjegyet s. Néháy agadott példa: 6 7F6 a lat ábécé, 86 FF6 a lat ábécé egészítése, ez a ész tatalmazza például a magya éezetes betőet, ée az ı, İ, ő és Ő aateeet, amely a 6 7F6 tatomáyba elhelyezedı tejesztett lat-a ódo özött található, a 376 3FF6 tatomáyba ódoljá a göög és opt ábécét, 46 4FF6 tatalmazza a cll ábécét, 66 6FF6 az aab betőet, 346 39F6 a hagaa, 3A 6 3FF6 a ataaa (az utóbb ettı, özös ée a aa, a japá szótagíás), 36 3F6 a bopomofo jelészlet (a ía em lat ábécés foetus íása), 4E 6 9FBB6 tatalmazza a CJK-jelészletet (Chese/Japaese/Koea, azaz a ía-japá-óea íásjeleet), 6 7F6 a leás B (Kéta-szget ég íás), FFFD magáhaszálata szát egészítı tatomáy B észe. 6 6 ACII-KÓDTÁBLÁZAT 3 4 5 6 7 NUL DLE (sp) @ P ` p SOH DC! A Q a q STX DC " B R b 3 ETX DC3 # 3 C S c s 4 EOT DC4 $ 4 D T d t 5 ENQ NAK % 5 E U e u 6 ACK SYN & 6 F V f 7 BEL ETB ' 7 G W g w 8 BS CAN ( 8 H X h x 9 HT EM ) 9 I Y y A LF SUB * : J Z j z B VT ESC ; K [ { C FF FS, < L \ l D CR GS - M ] m } E SO RS. > N ^ ~ F SI US /? O o (del). Táblázat
Számítógép matemata Például az. Táblázat 7-tel jelölt soába és 4-gyel jelölt oszlopába álló agy G bető 7 btes ASCII ódja 476. ASCII VEZÉRLİKARAKTEREK hex jel ezélı aatee fucója NUL NULl SOH Stat Of Headg STX Stat Of text 3 ETX Ed Of text 4 EOT Ed Of Tasmsso 5 ENQ ENQuy 6 ACK ACKowledge 7 BEL BELl 8 BS BacSpace 9 HT Hozotal Tab A LF Le Feed B VT Vetcal Tab C FF Fom Feed D CR Caage Retu E SO Shft Out F SI Shft I DLE Data L Escape DC Dece Cotol DC Dece Cotol 3 DC3 Dece Cotol 3 4 DC4 Dece Cotol 4 5 NAK Negate AcKowledge 6 SYN SYNcoous dle 7 ETB Ed of Tasmsso Bloc 8 CAN CANcel 9 EM Ed of Medum A SUB SUBsttute B ESC ESCape C FS Fle Sepaato D GS Goup Sepaato E RS Recod Sepaato F US Ut Sepaato. Táblázat A 4. és 5. Táblázatba (4. és 5. oldal) MSN a magasabb, míg LSN az alacsoyabb helyétéő félbájt (MSN: Most Sgfcat Nbble, azaz a legétéesebb félbájt, LSN: Least Sgfcat Nbble, agys a legeésbé étées félbájt). Például a táblázat alapjá m EBCDIC-ódja 946. A ódoláshoz számoat haszálu, ezét ezeel bámely, a számoo elégezhetı mőelet égehajtható. Ee ao a ételme, ha magu a ódoladó adato s umeusa. Az lye ódoat umeus óda eezzü. A umeus ódolása több áltozata smeetes. Maga a umeus adat függetle a megadás módjától, agys például 53 csa egy lehetséges ódja aa a száma, amelyet modju ao apu, ha egy tálba 53 acs a, és megszámolju a tálba léı acsoat. Ugyaezt az fomácót megadhatju a CCLIII alaba s, feltée, hogy a olassa, az tudja, hogy óma számoal adtu meg a acso számát. Éppe ezét az elsı édés, hogy hogya lehet egy számot egy ögzített alapszámú számedszebe felí, llete
SZÁMÁBRÁZOLÁS ssza, ha adott egy számedsze megadásáal egy számjegysoozat, mely száma felel ez meg. Ha meg tudju olda az elıbb ét poblémát, ao ége tudju hajta a számoezót s, am em más, mt egy száma az egy számedszebe felít alajából egy más számedszebe megadott alajáa a meghatáozása. KITERJESZTETT ASCII-KÓD A táblázatba az adott aate decmáls ódja áll, ez yolcbtes ódét hexadecmálsa például í eseté azt jelet, hogy ee a aatee a 8 btes ASCII ódja A 6. 3. Táblázat Mel a toábbaba a számoat ülöbözı alapszámú számedszebe íju fel, az alapszámot a szám jobb szélé süllyeszte jelöljü: 389 tehát a -es számedszebe felít szám. Ha a féleétés eszélye em feyeget, ao a ettes és a tízes számedszet em jelöljü. Egy szám ettes számedszebel másét bás felíásáa jegyet, a bteet, egész szám eseté ettıel aló smételt maadéos osztással apju, ahol a maadéo szolgáltatjá, soba egymás utá, a legalacsoyabb helyétéő, azaz a jobb szélsı jegytıl ezde, a szám számjegyet, és az osztást az atuáls háyados egész észéel égezzü. Ha például százötehét bás jegyet aaju meghatáoz, ao a számolás a öetezıéppe alaul: 57 78 57 57 78 39 78 78 39 9 39 39 9 9 9 9 9 4 9 9 4 4 4
Számítógép matemata 3 A özépsı oszlopál az osztadóal egy soba ítu a maadéot, míg a jobb szélsı oszlopál a háyadost és a maadéot ítu egy soba. Látható, hogy az utolsó osztást felesleges elégez, met a háyados bztosa és a maadé bztosa lesz. A leolasás mdét esetbe a yíl meté töté.
4 SZÁMÁBRÁZOLÁS EBCDIC-KÓD. RÉSZ bay MSN LSN hex 3 4 5 6 7 NUL DLE 6 DS 3 48 3 SP 64 4 & 8 5-96 6 7 SOH DC 7 SOS 33 49 3 65 4 8 5 / 97 6 3 7 STX DC 8 FS 34 SYN 5 3 66 4 8 5 98 6 4 7 3 ETX 3 3 TM 9 3 35 3 5 33 67 43 83 53 99 63 5 73 4 PF 4 4 RES 4 BYP 36 4 PN 5 34 68 44 84 54 64 6 74 5 HT 5 5 NL 5 LF 37 5 RS 53 35 69 45 85 55 65 7 75 6 LC 6 6 BS 6 ETB 38 6 UC 54 36 7 46 86 56 66 8 76 7 DEL 7 7 IL 3 7 ESC 39 7 EOT 55 37 7 47 87 57 3 67 9 77 8 8 8 CAN 4 8 4 8 56 38 7 48 88 58 4 68 78 9 9 9 EM 5 9 4 9 57 39 73 49 89 59 5 69 79 A SMM A CC 6 A SM 4 A 58 3A (cet) 74 4A! 9 5A 3 6 6A : 7A B VT B CU 7 B CU 43 B CU3 59 3B. 75 4B $ 9 5B, 7 6B # 3 7B C FF C IFS 8 C 44 C DC4 6 3C < 76 4C * 9 5C % 8 6C @ 4 7C D CR 3 D IGS 9 D ENQ 45 D NAK 6 3D ( 77 4D ) 93 5D _ 9 6D ' 5 7D E SO 4 E IRS 3 E ACK 46 E 6 3E 78 4E ; 94 5E > 6E 6 7E F SI 5 F IUS 3 F BEL 7 F SUB 63 3F 79 4F 95 5F? 6F " 7 7F 4. Táblázat
Számítógép matemata 5 EBCDIC-KÓD. RÉSZ bay MSN LSN hex 8 9 A B C D E F a b 3 c 4 d 5 e 6 f 7 g 8 8 9 8 j 3 8 3 83 l 3 84 m 33 85 34 86 o 35 87 p 8 h 36 88 q 9 37 89 44 9 45 9 46 9 s 47 93 t 48 94 u 49 95 5 96 w 5 97 x 5 98 y 53 99 z 6 A 6 A 6 A 63 A3 64 A4 65 A5 66 A6 67 A7 68 A8 69 A9 ` 4 76 B 77 B 78 B 79 B3 8 B4 8 B5 8 B6 A B C D E F 83 B7 G 84 B8 H 85 B9 I 9 C 93 C 94 C 95 C3 J K L 96 C4 M 97 C5 98 C6 99 C7 C8 C9 N O P Q R 8 D 9 D D D3 D4 3 D5 S T U V 4 E 5 E 6 E 7 E3 3 8 E4 4 9 E5 5 4 D6 W 3 E6 6 5 D7 6 D8 7 D9 X Y Z 3 E7 7 3 E8 8 33 E9 9 4 F 4 F 4 F 43 F3 44 F4 45 F5 46 F6 47 F7 48 F8 49 F9 A 38 8A 54 9A 7 AA 86 BA CA 8 DA 34 EA 5 FA B 39 8B 55 9B 7 AB 87 BB 3 CB 9 DB 35 EB 5 FB C 4 8C 56 9C 7 AC 88 BC 4 CC DC 36 EC 5 FC D 4 8D 57 9D 73 AD 89 BD 5 CD DD 37 ED 53 FD E 4 8E 58 9E 74 AE 9 BE 6 CE DE 38 EE 54 FE F 43 8F 59 9F 75 AF 9 BF 7 CF 3 DF 6F 55 FF 5. Táblázat
6 SZÁMÁBRÁZOLÁS Töt eseté ettıel aló smételt szozás egész észe a szám számjegye, balól jobba halada, a szozást a tötésszel folytata. Példaét étszázhetehat ezed bás jegyet hatáozzu meg: 76,76,55,55 55,55,4,4 4,4,8,8 8,8,46,46 46,46,83,83 83,83,664,664 664,664,38,38 38,38,656,656 656 agys,76, és 57,76,. Látsz, hogy a bás ala em potosa adja az eedet számot, hsze a szozáso utá em ulla áll, ám egy éges decmáls töt általába em éges ettedes töt. A éges decmáls töt ao és csa ao lesz éges hosszúságú a bás számedszebe, ha a szám felíható egy páatla egész szám, alamt ettı egy poztí egész teıs hatáyáa háyadosaét. Az egész ész és a tötész jegyee meghatáozását egyszee s elégezhetjü az egészeél m smetetett módo, ha a számot a oezó elégzése elıtt megszoozzu -mel, ahol m a bás tötjegye száma, az így apott szám egészészét mt egész számot oetálju, és az eedméybe a ettedes potot m jeggyel bala mozgatju. Az elıbb példát a fet módo számola m 8, 8 56, 56,76 6 46, 656, ee az egész észe 46, és ezt oetála 46 3 46 3 65 3 65 53 65 53 56 53 56 58 56 58 69 58 69 34 69 34 57 34 57 78 57 78 39 78 39 9 39 9 9 9 9 4 9 4 4 agys 46, és a bás esszıt yolc hellyel bala mozdíta apju, hogy yolc bás tötjeggyel számola 57,76,, egyezésbe a oábba apott eedméyel. A ettes számedszebe megadott szám jegyee smeetébe maga a szám a Hoemódszeel hatáozható meg a legöyebbe. Vegyü a szám bal szélsı jegyét, és ha má eljutottu alameddg, ao az addg eedméyt szoozzu meg ettıel, és az eedméyhez adju hozzá a szám soo öetezı jegyét, balól jobba halada, majd, ha a szám tötésze em ulla, ao az így apott számot osszu el -e a tötjegye számáa megfelelı hatáyáal. Például az elıbb szám sszaalaítása a öetezı: