Az informatikai biztonság matematikai alapjai HIBAKORLÁTOZÁS

Átírás

1 Az fomata bztoság matemata alapa Goa Jáos HIBAORLÁOZÁS ELE I Bapest A poet az EU tásfaszíozásába az Eópa tev eetébe valósl meg. GVOP /.

2 Letoálta Utolsó móosítás: 9. ovembe.

3 Elıszó Ez a egyzet az ELE- tatott Algeba óoláselmélet címő tágy ayagát tatalmazza. etettel aa hogy a tágy het ét (ta)óába egy félév eetébe eül elıaása az ayag ehhez a szőe szabott ıeethez gazo így s az ey ı alatt elmoható smeete meységée felsı hatáát súolva esetleg ezt a olátot ssé át s lépve. Éppe ee való tetettel szüséges megegyez hogy bzoyos észe a téyleges elıaás és számoéés soá többé vagy evésbé tömöíthetıe belılü egyes észe hagyhatóa vagy cspá étılegese eülhete szóba. Ez függhet az elıaó ízlésétıl a tágyat hallgató összetételétıl és elıéletétıl a tágyba taltaa esetleg támaszoó tovább tágyatól az aott félév téyleges hosszától és még más öülméyetıl s. ıl szól a tágy és ez a egyzet? A címü szet az algeba óoláselméletıl lletve a hbaolátozó óoól. A címe lye fomá egy teles lezát témát ígée a hallgatóa lletve olvasóa. A valóság ezzel szembe léyegese szegéyesebb. A má említett ıolátot fgyelembe véve em vállalozhatt mása és a valóság s az hogy cspá az említett témaö egy s bá vszoylag ól öülhatáolható észével foglalozz. Amıl szó lesz az léyegébe véve a véletle hbát avító blo-óo elmélete lletve ee s csa egy észe. Nem foglaloz gyaolat ééseel cspá étü a hbacsomó-avító óoat szóba sem eüle az egyébét fotos ovolúcós óo és cspá bolta más ézıpotból a apcsolatot még csa meg sem említve tágyal bzoyos algeba geometa óoat. Ige szőe szabotta mahogyem smeetteesztı szte beszélü a hbaolátozás valószíőség ééseıl am ayba éthetı hogy a tágy a óolás algeba voatozásaval foglaloz. Nagyo evés szó va emleás óoól bá helyeét a szoásosál általáosabba tágyal egyes ééseet teesztve a fogalmaat a emleás óoa s. Végül a leás óo eleleg smeetayaga s léyegese bıvebb aál mt am egy lye csaem bevezetı ellegő tágy ayagába belefé. emészetese az összeválogatott ayag so egyéb mellett a válogatást végzı személységétıl ízlésétıl s függ vagys em élülöz bzoyos szbetvtást sem. vel algeba óoól va szó az ayag megétéséhez szüség va algeba smeetee. Ez észbe leás algebát észbe általáos algeba smeeteet (csopotoal győőel testeel polomoal apcsolatos fogalmaat) elet elet azoba azt s hogy léyegese támaszo az általába soal sebb észbe otatott véges teste bzoyos foú smeetée. Jóllehet a gyaolatba alalmazott óo túlyomó többsége bás ez em elet azt hogy csa lye óo vaa és csa lyeeet haszála a gyaolatba sıt va olya ge fotos óosztály amelybe csa tváls és így léyegébe véve haszálhatatla fomába léteze a bás óo. Éppe ezét meütt általáosa tetszıleges szmbólmhalmaz lletve leás ó eseté tetszıleges véges test fölött tágyal a óoat és eze belül tal a bás óo esetleges specáls tlaoságaa. A téma át mélyebbe éelıı olvasó az oalomegyzébe említett öyvebıl szeezhet tovább smeeteet éppe ezét em csa olya öyveet soolt ott fel amelye szoosa apcsolóa az által fetett észletehez. Végül éháy elölésıl szól. Ebbe a egyzetbe N a poztív egész számoat elöl amelyeet a temészetes számoa tetü és N elöl a em egatív egész számoat. Egy polomot f -szel elölü megfelelıe aa hogy a polom egy fomáls feezés pélál f-fel és em amelyet az együttható hatáoza meg. Az f polomhoz tatozó polomfüggvéy ele fˆ. A mátoat és vetooat félövé bető elöl a halmazoat ılt bető és egy sttúát a hozzá tatozó halmaztól a bető típsa ülöböztet meg pélál az A halmaza épített sttúa ele A. Végül a -elemő test ele ebbe a egyzetbe F.

4

5 atalomegyzé ELİSZÓ. A HIBAORLÁOZÁSRÓL 5. A ÓDÉR GEOERIÁJA. A ÓDOLÁS VALÓSZÍNŐSÉGI ALAPJAI. LINEÁRIS ÓDO 5. CILIUS ÓDO 6. ÓDONSRUCIÓ I. 6. ÓDOLÁSI ORLÁO 8. DS-ÓDO HAING-ÓDO 9. REED-SOLOON ÓDO. ÓDONSRUCIÓ II.. EULIDESZI ALGORIUS. ALERNÁNS ÓDO 5. ALERNÁNS ÓDO DEÓDOLÁSA 5. PÉLDA DEÓDOLÁSRA 5 ÁRGYUAÓ 59 IRODALOJEGYZÉ 6

6

7 . A hbaolátozásól Az aato táolás lletve átvtel soá megváltozhata meghbásohata ezét szeeté olya eláást mega amellyel olvasáso lletve a vétel helyé észe t ve hogy séült az aat sıt ameybe lehetséges helye t állíta az eeet állapotot. A fet cél megvalósítását szolgála a hbaolátozás. Nylvá eáls íváság hogy bámely meghbásoást észevegyü hsze ha egy üzeet úgy séül hogy a megváltozott elsoozat maga s egy ételmes üzeet ao semmlye eszözzel em vesszü észe a változást. Az s ylvávaló hogy a avításhoz legalábbs észlel ell a hbát így me hbaavító ó egybe elez s épes a hbát e ez vsszafelé em gaz. Ahhoz gyas hogy avíta t ahhoz a hba észlelésé túl azt s t ell hogy az üzeet mely potá tötét a hba és mlye hba lépett fel. Ez tóbb feltétel atomatsa telesül ha az üzeet óa bás hsze eo a meghbásoás azt elet hogy ha a vétel helyé -est olvas és t hogy ez a bt hbás ao az eeet egy csas lehetett és foítva. vel a hbaolátozás szempotából elvleg özömbös hogy aattáolásól vagy aatátvtelıl va szó ezét bámelyıl s szól az a mása s évéyes. együ fel hogy az eeet aato egy-egy tetszıleges bátot eletee. Eo pesze semmlye hbaelzés em valósítható meg hsze báhol s séül a bát smét egy évéyes aatot evezetese egy bátot ap. Egészítsü me bátot egy lece bttel oly móo hogy a lec btbıl vagy páos vagy páatla számú legye (e megy bátot azoos esze szet vagys vagy megyet páosa egészítü vagy megyet páatlaa elıe ögzített és a vétel helyé s smet móo). Ez azt elet hogy ha az eeet bát b bbbbb5b6b volt ahol me N - e { } b ao b ( b ) c 8 ahol molo összeaást elet (tehát az étée ha a özöséges összeg páos és ha a szoásos összeg páatla) és c éée ha páos számú -e aa egészíte míg c az elleezı esetbe. b 8 az úgyevezett patásbt. Ha most az átvtel soá egy bt meghbáso ao az egyese számáa patása (vagys hogy ez a szám páos lletve páatla) az elleezıée változ és ezt a vétel helyé az egyese leszámlálásával öye elleız t bámely bt s hbásoott meg (tehát aá a patásbt s lehet hbás) a esze egyetle hbát bztosa észevesz és így elez. ét hba eseté azoba az egyese számáa patása változatla hsze vagy ét lla változott -e vagy ét -es lláa és mét esetbe az -ese száma ettıvel változott vagy egy -e egy -es peg -a változott amo az -ese száma változatla így ét hbát ez a esze bztosa em elez. A fete egyszeő folytatásaét öyő belát hogy ez a mósze me olya esetbe elez amo egy egészített bátba páatla számú bt hbáso meg és soha em elez ha a meghbásoott bte száma páos. Azt s öye beláthat hogy ez a óolás hbaavítása em alalmas hsze csa ayt t ha egyáltalá t (vagys ha páatla számú hba tötét) hogy a apott aat bztosa em azoos a üleméyel e bámely bt meghbásoása gyaolya eeméyt a így semméppe em t megállapíta hogy mely bttel tötét a ba. Ezt a hbaolátozást így fıleg olya helye éemes alalmaz ahol a hbá egymástól függetleül lépe fel és ge cs a hba valószíősége továbbá hba eseté lehetıség va smétlése. Ezee a íváalmaa többé-evésbé megfelel a számítógép opeatív memóáa így ezebe szte mg ezt a fata hbaolátozást alalmazzá mégpeg a páatlaa való egészítéssel. Amo beapcsol a számítógépet és a épeyı egye övevı számot lát ao a gép memóáát elleız oly móo hogy smet 9 btes aatot í a memóa me eeszébe ma olvassa és megéz hogy azt apta-e amt aott. A omáls mőöés soá me alalommal amo a gép memóáába egy bát beíása töté a gép atomatsa számíta a báthoz tatozó patásbtet és ezzel együtt táola az aatot ma olvasáso elleız hogy a 9 bt patása páatla-e ha em ao hbaelzést a míg ha ge ao elhagya a 9. btet és a 8-btes bátot átaa a tovább felolgozása. Az aszo aatátvtelél s alalmazzá az egyszeő patásbtes elleızést; lyeo szoásos a páosa való egészítés s.

8 Hbaolátozás ost bıvítsü az elıbb mószet. Legye egy aatblo amelybe me bátot egy-egy patásbttel lát el az elıbb smetetett móo. Egymás alá íva a blo így egészített bátat összese lec oszlopot ap. ost a oábbahoz hasolóa me oszlopot egészítsü legall egy-egy patásbttel: b b b b b b b b b b b b b b b b ahol > N -e bb b b b 5b 6b b b c ee a b a blo -e báta és 8 ( ) V báta a patásbte (c V me bát eseté azoos) míg 8 N -a b ( b ) cl az úgyevezett elleızı bát (szoás az egyes báto elleızését végzı patásbteet VRC-e evez am a Vetcal Reacy Chec ezıbetőbıl álló övítés és am eesztáyú elleızést elet míg az elleızı bát az LRC azaz Logtal Reacy Chec a hosszáyú elleızés). Ez a esze egyetle hba eseté épes azt avíta. Ha gyas b és csa ez a bt hbás ao potosa egy hba va az -e bátba tehát ee elleızése soá hbaelzést ap az összes több bát elleızése azt aa hogy azoba cs hba és hasolóa a -e és csa a -e oszlop elleızéséél hbaelzése eül so vagys a ét eeméybıl azt ap hogy az -e bát -e bte és csa ez a bt hbás amt ee a bte az vetálásával avíthat. e olya esetbe azoba amo az -e és csa az -e bátba valamt a -e oszlopba és csa a -e oszlopba ap hbaelzést azt gool hogy ez a bt hbásoott meg és ezt avít vagys változtat az elleezıée peg öye beláthat hogy elleızéso gyaee az eeméye t ao s ha me oszlopba és me bátba véve a -e oszlopot és -e bátot páos számú hba lép fel (ebbe beleétve a hbátla esetet s hbával) míg a tütetett -e bátba és -e oszlopba a hbá száma páatla tehát ha pélál az -e bátba a -e bt valamt az - e bát -e és -e bte hbáso meg és más hba em töté. A vétel helyé semmlye mószeel em t elöte hogy valóba egy hba tötét-e és így helyese avít vagy a megfgyelt hbaelzés több hba együttes hatása ame öveteztébe vagy egy ag helyes btet avít helytelee vagy egy téyleg hbás btet avít e még tovább feleítetle hba s va a vett üzeetbe. Hasolóa elıfolhat hogy volt hba e m em vesszü észe evezetese ha me bátba és me oszlopba a hbá száma páos; ee tps péláa amo égy hba egy téglalap égy saába lép fel ahol a téglalap ét éle egy-egy bátba va. Végül elıfolhat hogy egyél több bátba vagy/és egyél több oszlopba ap hbaelzést amo bztosa t hogy volt hba e a hbá száma egyél agyobb így avítása ebbe a eszebe cs lehetıségü; ee legegyszeőbb péláa amo potosa ét hba lép fel. A most smetetett eszet evezhetü étmezós patáselleızése; lyet haszála agy mágesszalagos táolóál (egy bzoyos ögzítés mó eseté met többféle s létez) ahol egymás mellé íá egy egészített bát 9 btét és az aatoat mg bloosa táolá (egyébét lyeo az LRC tá még egy egy vagy ét 9-btes bátból álló tovább elleızı aatet s ía ez az úgyevezett CRC vagys Cyclc Reacy Chec cls elleızés) ebbe az esetbe vízsztese páatlaa míg függılegese páosa egészítee vagys c V és c L. Ilyeo éees éés hogy az elleızıbát 8-as eő btée étée azoos-e ha vízsztese és függılegese számít és ha em ao mlye c V és c L ééeél lesz az így számított ét été bztosa azoos lletve ha em mg azoos ao mlye tovább feltételtıl függ az egyezés ám ezeet a ééseet ház felaata hagy. Egy tovább hbaavító óot smetetü az úgyevezett Hammg-óot amely szté egy hba avításáa alalmas. Legye egész szám és. ost észítsü el azt az 6

9 méető H mátot amelybe az. A hbaolátozásól N ee a -e oszlopba a szám ettes szám- a ao a mát -e soáa - eszebel felíásáa egye találhatóa vagys ha e oszlopába ahol > N és N H a áll (mvel < ezét bztosa felíható eggyel a ettes alapú számeszebe). Legye pélál ao és továbbá t H. > t N eseté ettes számeszebe való felíása olya amelybe a -tól ezıı eelés mellett a t-e és csa a t-e egy az összes több ezét a H mát- t aab oszlopa amely a -alaú ehez tatoz egy egységmátot a (az elıbb pélába az. a. és.) így a mát aga legalább gyaao aál agyobb em lehet hsze soa va vagys ag ( H). Legye most c c c egy -méető soveto amellyel Hc ahol c az elıbb c -hez tatozó oszlopmát és az -méető cspa -ból álló oszlopmát (a mőveleteet molo végezzü). Az elıbb mátegyelet egy egyeletbıl álló -smeetlees homogé leás egyeletesze. Az együtthatómát aga ezét az aab c özül szabao választható pélál azo amelye ee em -alaú és a maaé ompoes egyételmőe t meghatá- { c Hc } ozható. Legye C ( c ) { } vagys azo -mezós bás vetoo halmaza amelyee H-val vett szozata. Látt hogy az lye vetooba ompoes szabao választható (pesze em bámely csa azo amelyeel a maat ompoesehez tatozó ee H eglás észmátát hatáozzá meg pélál a fet pélá em ó választás az tolsó égy ompoes met a mát elsı háom oszlopa leása összefüggı) legyee ezét a óolaó üzeete btese és egy-egy lye üzeetet egészítsü bttel úgy hogy a apott -btes veto eleme legye a C halmaza. együ fel hogy egy lye -btes üzeet az átvtel soá megséül. Ez azt elet hogy bzoyos bte az elleezıüe változa amt úgy s megaphat ha ezehez a btehez hozzáa -et molo (hsze és ) vagys tegyü fel hogy c az eeet -btes veto és e e e a hbaveto ao a vétel helyée a v c e veto éez. Számíts a Hv szozatot. vel c ószó tehát Hc és a mátszozás sztbtív ezét Hv H( c e) Hc He He. Ha a H mátba a -e oszlopot h -vel elölü ao Hv He e h e h ao egy és csa egy ee mo s-e lesz hsze e étée csa és lehet. Ha potosa egy hba lépett fel e llától ülöbözı és eo Hv h s. De H s ostcóa öveteztébe h éppe s ettes számeszebel felíása vagys Hv éppe a hba he- lyét aa. Legye pélál az elıbb -es H máthoz c ao elleızhetı hogy Hc vagys c ószó és tegyü fel hogy e vagys az 5. bt és csa ez a bt az üzeet átvtele soá megséül. Eo a vétel helyé a v btsoozatot ap és smét öyő számolás mtata hogy Hv (az egyes ompoese összeaását molo végezzü) am mt bás szám éppe ötöt a és éppe ez a hba helye. egváltoztatva a vett üzeetbe az 5. btet a btsoozatot ap egyezésbe az elülött btsoozattal. Nytott még hogy egy aott -btes üzeethez hogya t öye meghatáoz az -btes óolt üzeetet. Legye b b az üzeet. A számítaó -btes c -be a -hatváya megfelelı t eehez tegyü a számítaó bteet vagys legye c-be a -ehez tatozó egyelıe smeetle bt p t és a több helye helyezzü el eeet soebe a b veto btet. H-val szoozva ezt a vetot egy egyeleteszet ap mégpeg olyat hogy me egyeletbe potosa egy smeetle szeepel így azt öye t feez. A oább esetbe ez azt elet hogy

10 Hbaolátozás 8 az üzeet b b b b b háom elleızı bt lesz és ezeet a és eő helyee a vagys p c p c b c p c 5 b c 6 b c és b c. oéta legye az üzeet b. Eo p p p c és a Hc szozat amelye az étée p p p. Áteezés és ssé másét való íás tá ebbıl azt ap hogy telesüle ell a p p p mátegyelete azaz p p és p ahoa c (em véletleül a oábba má haszált ószót apt). Ha az egyszeőbb íásmó evéét H oszlopat áteezzü olya soebe hogy a bal szélé állo az egységmát amelyet a -hatváyhoz tatozó ee elöle és ettıl obba helyeze el H több oszlopa az eeet soebe ao ' b t h p p ahol h az áteezett mát -e oszlopa. Ismét az elıbb pélával H az áteezett mát és a b b b b b üzeethez tatozó patásbte b b b b b b b b b b b b b p p p. Az elleızést és a avítást má látt: megszoozz H-t a beéezett -essel obból és a Hv által mt bás számmal meghatáozott helye lévı btet az elleezıée változtat ha a szozat étée em lla. Ez az eláás azoba smét helytele eeméye vezet ha a hbá száma agyobb mt egy. Ház felaat aa meggoolása hogy ha ét hba va ao egy az elıbb ét helytıl ülöbözı hama helye azaz egy hbátla btet avít míg ha háom hba va ao elıfol hogy a szozat étée vagys azt hsszü hogy em volt hba míg ha a szozat em lla ao bztosa egy egye helye avít. eesete az esetleges (éha hbás) avítás tá a ószóól leválasztva a patásbteet vsszaap az eeet üzeetet (feltéve hogy legfelebb egy hba volt és így helyese eóolt). Ismét a oább pélával ha a vett btsoozat amt látt ao avítás tá a ószót apt és leválasztva a patásbteet amelye ebbe a soozatba az.. és. helye álla ap a üzeetet. Ha vszot eeetleg smét ez volt az üzeet e az átvtel soá a. és. bt séül ao v ezt H-val szoozva Hv ezét átfoít v-be a. btet eo azt ap hogy és hámozva az üzeetbteet azt gool hogy az eeet üzeet am hbás eeméy. olúzóét azt mohat hogy a Hammgó s vszoylag s hbavalószíőség eseté alalmazható.

11 . A hbaolátozásól A Hammg-óhoz az eeet üzeete hossza olya été ell hogy legye amelyhez va olya poztív egész amellyel (lye pélál 6 5 stb.). Ez em feltétleül szüséges: ha em lye été ao az üzeetet megfelelı számú llával egészítve óolás tá ezeet a lláat elhagyhat míg eóolás elıtt smét beí ıet és eóolás tá megt elob. Eg ét olya óot smetettü amelye egy hba eseté helyese avította e ét hbát em. Vaa az elıbbeél boyolltabb óo amelye több hba eseté s helyese avítaa. A továbbaba észletesebbe foglaloz az tt elmoottaal. 9

12

13 . A óté geometáa.. Defícó Legye S em ües véges halmaz és N. Eo az S és v elemée Hammg-távolsága ( v) { > N v } és ha C az ( C) m { ( v) C v C} a C (mmáls) távolsága. Ameybe S atív Abel-csopot a etáls elemmel ao w( ) { > N } az Hammg-súlya és ha még a C S halmaza C \ { } úgy w( C) { w C} C (mmáls) súlya ahol. A efícó alapá C eseté C távolsága C { } S legalább ét elembıl álló észhalmaza ao -ál C súlya efálatla. m a.. étel Legye S véges halmaz N a Hammg-távolság meta az ha C ao ( C) N C S. Eo S halmazo; és va olya ( v) C ( C \ { } ) hogy ( v) ( C) ; ha S Abel-csopot a etáls elemmel a cspa -ból álló veto és tetszıleges v S elemeel v v v ao S ( v) w( v) és w ( ) ( ) ; ha a legalább ételemő C S olya hogy C C C s telesül ao ( C) w( C) ; ha C \ { } ao w ( C) N és létez C-e olya eleme amelye w ( ) w( C). Bzoyítás:. ( v) me S -bel eezett páa ételmezett étée mt egy véges halmaz számossága emegatív egész azaz egybe emegatív valós szám és egy aott v pához potosa egy lye számété tatoz ezét egy S S R leépezés továbbá ( v) potosa ao ha me fellépı ee és v azoos vagys ha v. A szmmeta ylvávaló hsze a em-egyelıség szmmets tlaoság ezét még a háomszög-egyelıtleséget ell megvzsgál. Ha z egy hama elem S -bıl ao z és z v eseté v am megfoítva azt e- let hogy ha egy aott -e v ao vagy em egyez z -vel vagy z és v ülöböz így egy olya e amely szeepel ( v) meghatáozásába bee lesz a ( z) -t és ( z v) -t meghatáozó ehalmaz legalább egyébe tehát ( v) ( z) ( z v).. ( C) meghatáozásába em egyelı és v eleme szeepele ezét a efícóba szeeplı halmaz me eleme poztív egész szám és a halmaz em ües ezét ez a halmaz a temészetes számo halmazáa em ües észhalmaza így va bee egy és csa egy legsebb poztív egész e ao ez valamely v pá távolsága.

14 Hbaolátozás. Abel-csopotba v és v egyszee gaz így az v -t és v -t telesítı ee azoosa ( v) w( v) ambıl v helyettesítéssel w ( ) ( ) hsze - ba me -e áll és tetszıleges -e.. ost legye C S legalább ételemő és C C C. íg és v véggft me C-bel ülöbözı elempáo azalatt a ülöbségü egy-egy C-bel -tól ülöbözı elem lesz ezét az aott ( v) été szeepel w ( C) meghatáozásába s. De foítva s gaz a olog: ha a C egy em lla eleme ao ( ) bee lesz a ( C) -t efáló halmazba ezét a ét halmaz e ao a mmm s azoos. C -e voatozó eletés bzoyításához. 5. Ez hasoló a A súly efícóa alapá w ( ) w és ( v) ( w) ( w ) a háomszög-egyelıtleségbıl. Szté a háomszög-egyelıtleség alapá lletve w ( v) w( ( v) ) ( v) ( ) ( v) w w( v) w w( v) w ( v) w( ( v) ) ( v) ( ) ( v) w w( v) w w( v) vagys a súlyoa s telesül a háomszög-egyelıtleség. A továbbaba ( C) helyett -t ( C) w helyett w-t í... egegyzés evezzü Legye S egy em ües véges halmaz és N. S-t szmbólmhalmaza C S -t óa v S egy S fölött hosszúságú szó és C egy S fölött ószó. Ha S C és ( C) ao C egy ( ) el lehet hagy. -paaméteő ó. A elölésbe -t és -t egymástól függetleül.. Defícó S az Legye S em ües véges halmaz és S -bel özéppotú t sgaú gömb. { } N. Eo G ( ) v S ( v) t ahol t R t és.5. étel Legye S véges halmaz N S özéppotú t-sgaú gömbö páoét szta e hogy G ( v) G I. t t C C és t N. Ha t < t eseté va olya C ao a C-bel v C

15 Bzoyítás: Ha C v C t N és az. A óté geometáa ( v ) t azaz t t t ( ) ( v) ( v) S -bel -e Gt I Gt ( v) tehát ao t t így és t < eseté a C-bel ö- zéppoto öé ít gömbö páoét szta. Nézzü a máso állítást. oábba belátt hogy va olya és v veto C-be amelyeel ( v) helye té el egymástól mo az. Ez azt elet hogy és v potosa < < < eő ompoesebe. Legye z S -val azoos véve az elıbb ee özül helyet ahol legye v-vel egyelı. Eo ( z) és ( z v). t N és t továbbá < így t ezét ( z) t és ( z v) t azaz z Gt és z Gt ( v) vagys z Gt I Gt ( v). Ebbıl övetez hogy ez a C-bel özéppotú ét gömb em ege..6. övetezméy Legye S véges halmaz N C S C C és S. Ha ( ) < a- eseté ez em feltétleül gaz. o me C \ { } -bel v vetoa ( ) < ( v ) míg ( ) A tétel léyege hogy egy vízválasztó. Ameybe egy ószó az átvtel soá eél evesebb helye hbáso meg ao a megéezett szó a ószava özül az eeet elülött ószóhoz va legözelebb attól té el a legevesebb helye vszot ha a hbá száma legalább ey ao ez em feltétleül gaz sıt bztosa va olya ószó és olya hba amo ez em gaz. Bzoyítás: Legye v C \ { } és ( ) <. Eo ( v) > ( ) ( v) ( v) eezés tá ap hogy -bıl át- v > >. Ha vszot v és z az elızı tétel bzo- v. yításába szeeplı háom elem úgy Hba elzésée alalmas blo-óot öyő szeeszte: ehhez elegeı ha C való észe S -e hsze ha vételél egy S \ C elemet talál bztosa lehetü bee hogy hba tötét az átvtel soá. ovább vsszü a goolatot: patícoál S -t és legye C olya hogy me osztállyal legfelebb egy özös pota va. Ezt úgy haszálhat hbaavítása hogy ameybe a vett el egy olya osztályba va amelybe található ószó ao úgy tetü mtha ez a ószó lett vola az üzeet elleezı esetbe elezzü hogy hbás volt az átvtel. emészetese a elzés elmaa ha a továbbítás soá úgy változott meg a özleméy hogy az eeméy s eleme C-e lletve avító ó eseté maga s egy ószó hsze eo a hba etve maa; hasolóa hbaavítás eseté helyteleül ogál ha a vett szó em abba az osztályba es amelybe az eeet található e

16 Hbaolátozás olyaba amelybe va epezetás. A pobléma mét mószeél az S halmaz megfelelı felosztása és avítás eseté a epezetáso megfelelı választása. Ez tóbb a eóolás poblémáa... Defícó Legye A és S em ües véges halmaz S N homomof teesztése által meghatáozott betőét ó blo-ó. és ϕ : A S etív. A ϕ A -a való Rögtö látható hogy a fet C ó egy ( ) -paaméteő ó ahol A. Egyébét a blo-óolás mellett létez más óolás eláás s ezzel azoba em foglaloz. ost egy specáls eóolás sémát smetetü..8. Defícó Ha hogy me S véges halmaz v S -e f ( v) N ( v ) m ( v) C S egy ( ) { C} -paaméteő ó és f : S C olya ao f mmáls távolságú eóolás. A hbaavítás mmáls távolságú eóolás eseté tehát úgy töté hogy amo beéez szmbólm ao megeessü azt a (lletve egy olya) ószót amely a legevesebb helye té el a vett -estıl. Ezt vagy úgy tesszü hogy a vétel helyé csa a ószavaat táol és a beéezett szót megy ószóval összehasolítva eessü a(z egy) legözelebb fevı ószót vagy táol az összes lehetséges szót és megyhez a hozzá legözelebb lévı (egy) ószót vagys a ötés függvéyt és ez esetbe cspá a táblázatba ell ees a beéezett szót és a hozzá tatozó ószó megaa a eóolást. Az elıbb esetbe sebb táa e hosszabb számolása va szüség míg a máso esetbe foított a helyzet vagys most s a számítástechába szoásos táméet - ftás ı cseeaáy poblémáával áll szembe. A blo-óolás eseté a mmáls távolságú eóolás szte záólagos óllehet em me esetbe eeméyez a legsebb hbavalószíőséget..9. Defícó Legye t N. Egy ó t-hba elzı ha tetszıleges üzeetbe elıfoló me legfelebb t számú hbát épes elez és t-hba avító ha tetszıleges üzeetbe elıfoló me legfelebb t számú hbát épes avíta. A ó potosa t-hba elzı ameybe t-hba elzı e va olya t hba amelyet em elez és potosa t-hba avító ha t-hba avító e va olya t hba amelyet em avít vagy hbása avít. A efícóba léyeges hogy ha egy ó potosa t-hba elzı az em elet azt hogy t-él több hbát em épes elez cspá azt hogy va legalább egy lye t hbát tatalmazó hbamta. Ha vsszagool a bevezetıbe említett patásbtes óa tehát ahol egy -btes bás szót úgy tolott meg egy bttel hogy a eletezett -btes szóba az -ese száma páos legye ao t hogy ez a ó me olya esetbe elez ha a hbá száma páatla e soha em elez ha páos számú helye tötét hba vagys ez a ó -hba elzı óllehet bámely olya esetbe elz hogy hba tötét ha pélál a hbá száma háom. Olya potosa t-hba elzı óa s lehete pélát mtat amelybe va olya t hbát tatalmazó hbamta amelyet épes a esze elez. Az elıbb megállapításo gaza a hbaavítása s.

17 . A óté geometáa.. étel Egy ( )-ó ao és csa ao t-hba elzı ha t < és ao és csa ao potosa t- hba elzı ha t. máls távolságú eóolással a ó ao és csa ao t-hba avító ha t < és ao és csa ao potosa t-hba avító ha t. Bzoyítás: e -távolságú óba va olya v pá amelye ( v). Ha egy lye üzeetbe a hba úgy lép fel hogy átmegy v-be ao a hbát em t elez; vszot -ba báhogy lép s fel -él evesebb hba a eletezı elem em lehet ószó mvel ét ószó özött legalább pozícóba ülöbség va. oábba látt hogy t < eseté a vett szó az eeet ószóhoz va legözelebb me más ószó távolabb es a vett szótól ezét mmáls távolságú eóolással helyese ötü a eóolás helyes. vel abba az esetbe ha t egész szám t < evvales a t elácóval ezét ez egybe azt s elet hogy mmáls távolságú eóolással me olya esetbe helyese avít amo a hbá száma em agyobb mt. Ha vszot t ao va ét em ege ószó-özéppotú gömb. Legye és v ét olya ószó amelye távolsága éppe és az a szó amely -tól v-tıl peg távolsága va. hogy eo me más ószótól s legalább távolsága fesz. Ha az elıbb ét távolság em azoos ao ylvá ψ ( ) el- leezı esetbe ψ bámely olya ószó lehet amely -tıl távolsága va tehát lehet pélál smét. Eo abba az esetbe ha v-t ülü és a beéezett szó ao a hbá száma és ezt a vett szót hbása avít hsze em v-e haem -a ötü am azt elet hogy egy -távolságú ó eseté mmáls távolságú eóolással me legfelebb hba avítható e va olya hba amelyet osszl avít így a mmáls távolságú eóolással a -távolságú ó potosa -hba avító. Végül általáosít a hbaelzés - hbaavítás felaatát. ét általáosításól lesz szó. Legye C egy ( ) -paaméteő ó és t valamt a t-él em sebb s olya emegatív egész számo hogy t s. Eo megaható olya ötés függvéy amely me t-él em több hbát avít és s-él em több hbát elez. Legye gyas a v szóa f ( v ) ahol ószó ao és csa ao ha ( v) t. vel t t t t s < ezét t < tehát a ószava v és öül t-sgaú gömbö szta így egy v-hez legfelebb egy ószót eel f. Ha t az -tól ülöbözı ószó ao < ( ) ( v) ( v ) t ( v ) és e 5

18 Hbaolátozás eseté ( v ) > t t s t t ( v) ap hogy ( v ) > t. t t így azo szavaa amelyeet avít a esze a eóolás mmáls távolságú. Ha vszot t < t s ao ( v ) > t s t vagys v valamey ószótól t-él agyobb távolsága va így a vett szót em avít e elezhetü a hbát. Az elıbb séma ét szélsı esete ha s t lletve ha t. Az elsı esetbe vsszat a tszta mmáls távolságú eóoláshoz míg a máso eset a hbaelzı ó eo gyas em avít csa elezzü a hbát. A más móosításhoz legye t ahol t és emegatív egész számo egy ószó és v egy olya szó amely -ból t hbával áll elı ahol t t és. együ fel hogy az hbáa smeü a helyét (pélál ezee a pozícóo olya el va amely em eleme az ptábécée). Legye tetszıleges az -tól ülöbözı ószó és ~ ~ v és ~ olya ompoeső szava amelyeet ee -ból v-bıl és -bıl ap ha az smet hbáa megfelelı pozícót elhagy. Eo ( ) ( ~ ~ ) ( ~ ~ v) ( ~ v ~ ) t ( ~ v ~ ) t ( ~ v ) < ~ ma ebbıl ( ~ v ~ ) > t t t t t ( ~ ~ v) tehát az smet hbá helyét lehagyva mmáls távolságú eóolással helyese avít. ost smét megézhetü a szélsı eseteet. Ha ao megt a ól smet mmáls távolságú eóolást ap míg ha t ao a avítható hbá száma. Ez azt elet hogy ebbe az esetbe egy és csa egy olya ószó va amely a beéezett szótól potosa a megelölt helye ülöböz hsze bámely más ószótól még legalább tovább ( ) helye va eltéés. A.8. efícó tá felvázolt hogy hogya tötéhet általáos esetbe a mmáls távolságú eóolás. Ha pélál 5 és a ó bás ao S 5 vagys a másoét említett eóolás eláással ey szót és a hozzá tatozó ószót ellee táol (egyeét 5 btes aatoét). Ha vszot csa a ószavaat táol és mo ao a vett szót ülöbözı ószóval ell összehasolíta hogy válassz a vett szóhoz legözelebb ószót. Látható hogy egy mósze sem túlságosa evezı (az egy a tágéy a más a ftás ı szempotából em polomáls algotms). A olgo úgy t segíte ha valamlye egyéb mószeel t öveteztet a vett szó alapá az elülött ószóa vagys ha valamlye móo t számol a ószót a beéezett hbás szóból. Ehhez a óba valamlye matemata sttúát építü. 6

19 . A óolás valószíőség alapa A ommácós moellt mtata tömöe az alább. ába. ADÓ CSAORNA VEVİ. ába A ommácó soá fomácót vszü át az aótól a vevıhöz. Az fomácót aato hoozzá így valóába a csatoá az aatoat továbbít a bemeettıl a meet felé. Az fomácó átvtele tébe és ıbe töté bá özülü az egy eszet omás. vel a hbaolátozás szempotából elvleg özömbös hogy aattáolásól vagy aatátvtelıl va szó ezét bámelyıl s szól az a mása s évéyes. Az átvtel soá égy pobléma meül fel: a mősza megvalósítás gazaságosság éése az átvtel soá fellépı hbá olátozása ttosság - sétetleség - htelesség. A fet égy felaat megolása ülö - ülö töté (bá em bztos hogy így a legobb e így lehet öye megvalósíta) amt a. ába mtata. Az elıbb moellt tömöebbe a hbaolátozás felaatát emelve a. ába mtata. FORRÁSÓDOLÓ ADÓ ÜZENE- ÓDOLÓ GAZDA- SÁGOS ÓDOLÓ HIELE- SÍİ IO- SÍÓ CSAOR- NA- ÓDOLÓ ODE CSAORNA ODE HIBA- DEÓDER VISSZA- FEJİ ELLEN- İRZİ DEÓ- DOLÓ ÁALA- ÍÓ VEVİ. ába

20 Hbaolátozás ADÓ FORRÁS- ÓDOLÓ CSAOR- NA- ÓDOLÓ CSAORNA HIBA- DEÓDER DEÓ- DOLÓ VEVİ. ába A poblémá megolásához az aatoat óol ell. A óolás soá az üzeetee az átvtele alalmasabb elsoozatot aatot feleltetü meg. A óolástól elvá hogy etív legye ülöbe em lee lehetséges a eóolás. Ha az átvtel soá megegeü egy aott agyságú hbát ao az etvtásál gyegébb feltétel s elegeı. A hbaolátozó óo szte mg egyeletese azaz állaó hosszúságúa a ószava (ha em így lee és hba va az átvtel soá ao esetleg má a ószóhatáo sem smehetıe fel). Feltesszü hogy cs szohba azaz a csatoa meeté gyaay szmbólm etetálható mt ameyt a bemeeté beat (ez em mg gaz és vaa olya óo amelye épese etetál és esetleg legalábbs észbe avíta a szohbát). Legye I a csatoa bemeet ábécée (a továbbaba mg feltesszü hogy a csatoa szét) és legye O a meet ábécé. Feltesszü (met feltehetü) hogy I O (met ha em így lee ao tetheté O I U O -t). Ha aott a ószava hossza ao a ószava halma- za C I egy észhalmaza. A csatoa meeté em potosa gyaazt a elsoozatot ap mt amt a bemeetée at és az eltéés általába em etemszts így a meet és bemet elsoozato apcsolatát alalmas valószíősőg eloszlásoal ahat meg. A ülöbözı l N -ohoz tatozó P ( η v ηl vl ξ ξl l ) feltételes valószíősége ahol I és v O meghatáozzá a csatoát. Ha mg telesül a feltétel ahol P l ( η v η v ξ ξ ) P( η v ξ ) l l l l I és v O ao a csatoa emléezet élül és lyeo az O N eeel C P( v ) a csatoamát. N I és Legye C. Ha -t elülü ao a csatoazao öveteztébe egy -tól ülöbözı v O éez a meete. Eo öte ell hogy m lehetett az eeet üzeet. Ez egy ötés függvéy vagy ötés séma egy f O CU { } : leépezés ahol C. Ha valamely v O -e 8

21 . A óolás valószíőség alapa ( v ) C ao ez azt elet hogy úgy vélü volt az elülött üzeet. Ha vszot ( v) f f ao csa ayt teszü hogy elezzü valam hba tötét az átvtel soá e em t (vagy em aa) elöte hogy m volt az eeet üzeet. Nylvá ao helyes a ötésü ha valóba f v -t ülté ülöbe ötés hba eletez. Egy C ószó ülése eseté a ötés hba P( hba ξ ) P( η v ξ ) P v f és a ötés hba váható étée ( hba) P( hba ξ ) P( ξ ) P( η v ξ ) P( ξ ) C C v f A cél ee a hbáa a mmálása (f a változó!). ( hba) ( ) ε -a legye ε P függ a bemeet eloszlástól s így em lehet egy csa a csatoától függı optmáls ötés függvéyt mega. egpóbálhatá egy mamáls hbát elıí vagys hogy egy aott R P hba ξ < me ószó eseté. Saos cs egzat mósze aa hogy a megaott feltételt elégítı f függvéyt megtalál. P hba η v P ξ f v η v és P Nézzü a ötés hbát a meet olaláól. Eo ( ) P( ξ f v η v) P( η v) am P( f ( v) η v) P( η v) ( hba) v O v O ξ mamáls étééél P ezét smét ao ap a mammot ha. mmáls. Az összeg me taga emegatív így ao mamáls ha ülö-ülö me taga mamáls. vel ( η v) P ξ f v η v mamáls (bá ( η v) úgy ell az f ( v) étéet megválaszta hogy a feltételes valószíőség mamáls legye tehát legye P f ( v) η v P ξ η v C P ξ η v -t ám em ez P eseté özömbös az elıbb été). A változó most s az f függvéy vagys { } ( ξ ) ma. Ehhez sme ellee P haem a P ( η v ξ ) valószíőség aott. ( η v ξ ) P( ξ ) P ξ η v P( η v) P ( η v) valószíőség ögzített és így P ( ξ η v) mamma smét függ a ( ξ ) ahol v tehát a P bemeet eloszlástól (ez egyébét ylvávaló hsze gyaazt a hbavalószíőséget hatáozt meg mt oábba). Ha a ötés függvéyt a P f ( v) { C} ( η v) P( ξ η v) ξ ma feltétellel hatáozz meg ao ezt a ötés függvéyt eáls megfgyelıe evezzü. Az elıbbe alapá az eáls megfgyelı eseté a ötés hba váható étée mmáls. ost élü azzal a megötéssel hogy a bemeet eloszlás egyeletes. Ha elıbb megötéssel me C ószó eseté P( ξ ) és P ( ξ η v) ( η v ξ ) P( ξ ) P P ξ P ( η v) P( η v) ( η v ) C. ao az Itt P ( η v) függetle -tól így tehát ( v) ma { P( ξ η v) C} ma{ P( η v ξ ) C} P ( η v) { } f ˆ ahol P( η v ξ ˆ ) ma P( η v ξ ) C. Az így meghatáozott ötés függvéy a mamm lelhoo ötés séma. 9

22 Hbaolátozás Nézzü egy pélát. Legye { } O I a csatoa emléezet élül és a csatoamát legye p p p p C ahol p egy -él em agyobb emegatív valós szám. Ez a bás szmmets csatoa övítve a BSC (Bay Symmetc Chael). Legye továbbá a bemeet eloszlás P ξ és P ξ ahol s -él em agyobb emegatív valós szám. Eo p p P P P P P p p P P P P P ξ ξ η ξ ξ η η ξ ξ η ξ ξ η η p p p P P P P p p p P P P P η ξ ξ η η ξ η ξ ξ η η ξ és így < > p p f ha ha (és ha p ao megy) p p p P P P P p p p P P P P η ξ ξ η η ξ η ξ ξ η η ξ vagys most < > p p f ha ha (és smét megy ha p ). Az így meghatáozott f függvéy az eáls megfgyelı. Ha feltesszü hogy és < p ao f és f. Ugyaezt ap a feltétel eseté a { } { } ma v P ξ η feltételbıl s:. < < < < f p p p P p P f p p p P p P ξ η ξ η ξ η ξ η Az tóbb ötés függvéy a mamm lelhoo ötés függvéy. Eo a ötés hba p p p P P P P hba P ξ ξ η ξ ξ η. ost legye a csatoa az elıbb és továbbá { } C. Legye a ötés függvéy v v v f v vagys legye f f f f és hasolóéppe legye f f f f. Eo a ötés hba p p p p p p p hba P

23 . A óolás valószíőség alapa hsze ao ötü osszl ha az átvtel soá háom összetatozó btbıl legalább ettı meghbáso. Összehasolítva ezt az elıbb esettel p p. A függvéy mamma p - ( P ) ( hba) P hba él va így p < eseté az aáy sebb mt p -él ahol az étée vagys p < eseté a háomszoozásál a ötés hba sebb lesz. Ha pélál p (ez egy elég zaos csatoa) ao az elıbb aáy P P ( ) ( hba) hba vagys a avlás b. -szoos. p ost legye I ( ) O I és a csatoamát C p és -e C (ez a csatoa az emléezet élül szét szmmets csatoa az DSC azaz a emoyless Dscete Symmetc Chael). Eo P ( η v ξ ) P( η v ξ ) P( η v ξ ) P( η v ξ ) v v p p ahol a ószava hossza és ( v) száma az és v Hammg-távolsága. Ha v ( p) v p p ( p) ( p) az és v azoos pozícóba lévı eltéı ompoesee p < p azaz ha < p < ao a fet valószí- őség ao mamáls ha ( v) mmáls vagys ha ( f ( v ) v) m ( v) { C}. Az így meghatáozott ötés függvéy a mmáls távolságú eóolás (lás. olalo a.8. efícót). DSC eseté tehát a mmáls távolságú eóolás a mamm lelhoo ötés függvéy. Vsszatéve a háomszoos smétléshez ylvá háom helyett az smétlése száma bámely N -a s lehet. Aa a valószíősége hogy egy N -e az átvtel soá hba lép fel P p ( p) ( ) κ. Ez bomáls eloszlás és így a hbá számáa váható étée E( κ ) ( )p. Ha p < ao E( κ ) ( ) p < < a hbás egye váható száma sebb mt a em hbás egye váható száma a ötés váhatóa helyes lesz. ee az áa? Ehhez bevezetü az alább fogalmat... Defícó Legye C egy ( ) -paaméteő ó. Eo R log a ósebesség.

24 Hbaolátozás log azt aa meg hogy meoa mmáls szóhosszal lehet ülöbözı szmbólm felhaszálásával ülöbözı szót mega így a ósebesség azt mtata hogy a mmálsa szüséges hosszhoz épest meoa a ószava hossza. Nylvá gaz hogy R feltéve hogy a ó legalább egy szót tatalmaz. A fetebb smetetett smétléses ó eseté az volt a helyzet hogy az smétlése számáa övelésével a ötés hba llához tatott e ezzel együtt a ósebesség s tat a llához vagys végül hbátlal vsszü át a semmt. Általába ha tat a végtelehez mözbe em változ vagys gyaayféle üzeetet egye hosszabb óoal aa átv a csatoá ao a ósebesség R tat a llához vagys hába tat a ötés hba a llához ám az átvtt üzeete száma s tat a llához. Shao szet ez em szüségszeő. Az etópa fomácóelmélet fogalmát Shao hatáozta meg. oábba Heatley vzsgálta matemata szempotból az fomácót és úgy találta hogy ha ülöbözı üzeet lehetséges ao egy-egy üzeet fomácótatalma az egye fomácómeység I log. E szet a feezés szet azoba a ülöbözı üzeete azoos meységő fomácót ú smeetet özöle a fogaóval. Ezzel szembe Shao úgy goolta hogy egy üzeet aál több fomácót szolgáltat mél váatlaabb mél evésbé lehet á számíta azaz mél sebb a valószíősége. Ha X egy véges eseméyté az üzeete halmaza és az X üzeet p valószíőséggel fol elı ao tehát Shao szet az üzeet I ( p ) fomácót szolgáltat ahol I egyelıe smeetle függvéy. A teles üzeethalmaz átlagos fomácótatalma az egyes üzeete egye fomácótatalmáa vá- ható étée ( p p ) p I ( p ) H ahol a ülöbözı üzeete száma és H az etópafüggvéy. vel egyelıe I smeetle ezét H-t sem smeü. H meghatáozásához bzoyos feltételeet ell megfogalmaz. Egy lehetséges aomats bevezetés az alább ötéseet tatalmazza: p R véges szét valószíőség eloszlás; p p p. ] [. H ( ) a változóa szmmets függvéye azaz ha π az { < } H p p H ( p π p ) tetszıleges pemtácóa ao ( ) π ;. H ( tp ( t) p p ) H ( p p ) ph ( t t) ha ] [ R. H ( t t) t-e folytoos függvéye ha t ] [ R ; 5. H >. t ; A fet feltételee potosa egy függvéy oéta meg és ebbıl leolvasva I ( p ) log p N halmaz H p p p log p felel. Ha me üzeet valószíősége azoos tehát bámely valószíőséggel fol elı ao valóba gaz hogy az egye üzeete által özvetített fomácó métée I log. Általáos esetbe vszot az egyes üzeete beövetezése ülöbözı valószíőséggel töté tehát általába I( p ) log. Avalós étéő logatmsfüggvéy csa a poztív valós számoa ételmezett és ha a poztív valós számoo eesztül tat a -hoz ao a logatmsfüggvéy étée abszolút étébe a -hez tat így log lm log létez és -val. De egyelı ezét az etópafüggvéyt teeszthetü aa az esete s amo egy vagy több valószíőség étée azzal hogy eo p log p. Láthatóa H ( p p ) és a függvéy étée ao és csa ao ha egy vételével valamey valószíőség (és eo a em lla valószíőség hsze a valószíősége összege ). Az elıbb felíásba em at meg oéta a logatms alapát ám ee cs s szüség. Ha gyas egy alapól áttéü egy mása az cspá a météegység megváltozását elet (hasolóa mo a métehez és lábhoz) hsze log log b log. agát a logatms alapát a a b

25 . A óolás valószíőség alapa H c hatáozza meg gyas c H log log log -bıl c >. Az alap szoásos étée az fomácóelméletbe és eo az etópa egysége a bt. Ezt az elevezést Joh W. ey vezette be a bay gt övítéseét. etettel aa hogy gyaez a eve egy ettes számeszebe felít szám egy-egy számegyée ezét megülöböztetésül az fomácóelmélet egységet szoás bay t-ét a bay t övítéseét említe. Ha a p valószíősége az X eseméyhalmaz eleme elıfolásaa a valószíősége ao H p p H X -szel s elölhetü. ( ) tlaoéppe az X té etópáa ezét ezt az étéet Cspá az éeesség és bzoyos patots büszeség matt egyezzü meg hogy Shaoa Nema Jáos avasolta az etópa elevezést lévé hogy a feezés matematalag hasoló alaú mt a oább fza etópa. Az elevezést a fomáls hasolóságo ívül bzoyos tatalm azoosságo s alátámasztá bá ge omoly eltéése s mtathatóa a ét etópafogalom özött amét többe áosa tatá az azoos megevezést. Shaoa más magya apcsolata s volt: foglalozott saatomatával és ezzel apcsolatba megemlítette empele Faas evét valamt a ommácóól szólva Gábo Déest evez meg egy úttöıét. A fet H-függvéy a Shao-féle etópafüggvéy. Léteze általáosabb feezése s az etópáa. Egy a H p p log p Réy-féle etópa ahol > R. Ez a feezés hatáétéét tatalmazza a Shao-féle etópát ha balól tat -hez. A H ( p p ) függvéye az ételmezés tatomáyába potosa egy mamma va a ( p p ) helye és eo az étée log am éppe ha a logatms alapszáma s. Ez az etópa ttív ételmezése alapá vlágos hsze átlagosa ao t a legtöbb fomácóhoz ao lehet a legevésbé megósol a soo övetezı üzeetet ha léyegébe véve semmt sem t az egyes üzeeteıl bámely eseméy azoos valószíőséggel övetezhet be. A potos bzoyításhoz tegyü fel hogy b N > N -e a R és < b R a a b és < R. Eo haszálva hogy az -alapú logatmsfüggvéy az ételmezés tatomáyáa me potába allól szgoúa oáv a log a log és potosa ao va egyelıség ha me -e és a a b a b a a a log a b a log a a b b a a log b a a. ost legye a p és b eo a b b és az elıbb eeméybıl ap hogy p log p log és potosa ao é el az etópa a mammát amo valamey valószíőség azoos étéő. A továbbaba szüségü lesz az etópafogalom teesztésée. Legye ét véges valószíőség szémá va az egy az X a más az Y eseméytée az elıbbbe m az tóbbba eseméyel. Legye p az X és p ( X ) ( Y ) az y Y eseméy elıfolásáa valószíősége p az és y eseméy együttes beövetezésée valószíősége míg p az X eseméy elıfolásáa valószíősége feltéve hogy y Y beövetezett. ost az alább etópáat vezethetü be:

26 m a) H ( X Y ) p p Hbaolátozás log az együttes etópa b) ( X Y ) E H ( X y ) ( Y ) ( > ) p H ( X y ) H N az Y-a voatozó feltételes etópa és hasoló az X-e voatozó ( Y X ) ( Y ) és így ( X Y ) p m H feltételes etópa s. m m H p log p p log p. H X y p log p vel a fet bevezetett fogalma léyegébe véve azoosa a oább etópafogalommal (ay eltééssel hogy a feltételes etópa egy átlagos etópa) ezét a fet függvéye étée s emegatív. Belátható továbbá hogy. ( X Y ) H ( X ) H ;. H ( X ) H ( Y X ) H ( X Y ) H ( Y ) H ( X Y ). Valóba a logatmsfüggvéy -él agyobb alap eseté szgoúa oáv így az elletette szgoúa ove tehát H ( X ) ( X ) ( X ) H ( X Y ) p log p m p m log p m ( X ) log p p log p p p m p ( X ) ( Y ) p ( X ) ( Y ) p p m log p p log log p p ( Y ) am gazola az elsı állítást míg a másohoz H ( X ) ( X ) ( X ) H ( Y X ) p log p m p log m p log p ( X ) m p log p m p log p ( X ) m p p p ( X ) p H ( X Y ). log p Az elsı egyelıtleség azt feez hogy ha az X üzeethalmazól má va valamlye a po smeetü ao legfelebb ay ú fomácóhoz t mt az elıbb smeete élül. A máso egyelıség vszot azt elet hogy az együttes üzeethalmaz átlagos fomácótatalmát pélál úgy ap meg hogy meghatáozz ömagába az X foás fomácótatalmát és ehhez még hozzávesszü azt az fomácómeységet amelyet má az X smeetébe az Y foásból yehetü. A ét pot összevetésébıl az s látsz hogy az együttes etópa em lehet agyobb mt a ét ülö- H X Y H X H Y. ülö számolt etópa összege vagys ölcsöös - Végezetül még egy fotos fogalmat efál az I( X Y ) H ( X ) H ( X Y ) fomácót. A fetebb. összefüggésbıl azoal leolvasható hogy az I( X Y ) H ( Y ) H ( Y X ) valamt az I ( X Y ) H ( X ) H ( Y ) H ( X Y ) összefüggés s telesül. A ölcsöös fomácó azt feez hogy Y-t megfgyelve még mey bzoytalaság maa X voatozásába. Fgyelembe véve a

27 ( X Y ) H ( X ). A óolás valószíőség alapa H egyelıtleséget lát hogy a ölcsöös fomácó étée s mg emegatív és a ét valószíőség mezı etópááa mmmát em halaa meg. A ölcsöös fomácó étée ha X és Y függetlee hsze eo H ( X Y ) H ( X ) és I ( X Y ) H ( X ) ha Y és X özött etemszts függvéyapcsolat va. Az tt megfogalmazott etópa függetle valószíőség változóa évéyes. Az etópa általáosabb esete s megaható e ezzel a továbbaba em foglaloz. { } A csatoa apactása em más mt a csatoa bemeeté és meeté lévı valószíőség mezı ölcsöös fomácóáa mamma a bemeetée aott eloszlás függvéyébe vagys mate- C ma I X Y P X. Itt aól va szó hogy a csatoa meeté megeleı el- matalag felíva soozat a bemeete aott elsoozattól és a csatoától függ. él eısebb az eltéés aál evésbé lehet eostál a meete megfgyelt elsoozatból az elülött ószót. Az azoba hogy mlye météő a tozlás attól s függ hogy hogya választ meg a csatoa bemeetée aott elsoozatoat. Ezt feez a csatoaapactás. Shao azt állíta hogy bzoyos csatoá eseté a csatoa apactásáál sebb bámely sebességgel tetszıleges s hbavalószíőséggel átvhetı az fomácó vagys lehet olya óot ostál amellyel az elıbb említett móo lehet ommál (a sebb megötés ao gaz ha a ölcsöös fomácó mééséél s az alalmazott szmbólmo száma a logatms alapa ülöbe egy megfelelı az alalmazott alaptól függı ostassal való szozás tá gaz a sebb feltétel). Ismeetes a tétel ét megfoítása s. A gyege megfoítás szet a csatoa apactását meghalaó sebesség eseté a ötés hba aámlye óolás eseté s agyobb lesz egy poztív olátál míg az eıs megfoítás szet a ó hosszáa öveeésével a ötés hba valószíősége -hez tat (a gyege megfoítás em övetez az eıs megfoításból a ét tétel öálló továbbá most s gaz a logatms alapáa voatozó oább megegyzés). Bzoyítás élül a tétele az alábba feltéve hogy szmbólmmal óol.. A zaos csatoa óolás tétele. Ha : ó- soozat és ötés függvéye olya soozata hogy R C > R R ao va olya C ( ma ) ( hba) P ha. Ezt a tételt éháy csatoatípsa többe özött az emléezet élül csatoáa gazoltá.. Gyege megfoítás. : ósoozat és tetszı- leges ötés függvéy mellett va olya. Eıs megfoítás. Ha C < R R eseté bámely C R ε R hogy me C < R R ao bámely C R függvéye tetszıleges soozata eseté lm ( hba) P N eseté P ( hba ) > ε. : ósoozat és a ötés A ét megfoítás tétel léyege hogy a csatoaapactásál agyobb sebességgel em lehet hbátlal eóol sıt mél hosszabba a ószava aál bztosabb hogy hbáz a eóolásál. Shao tétele elv eletıségő. A tétel szet létezı óot még see em seült ostála am em ooz túl agy poblémát gyas egy lye ó hossza és méete haszálhatatlal. 5

28 Hbaolátozás agy lee. A tétel eletısége hogy megmtata hogya lehet egyszee csöete a eóolás hbát a ósebesség léyeges csöeése élül: több üzeetet egyszee ell agyobb hosszúságú ószavaba óol így ı a ó méete s ellesúlyozva a ósebesség csöeését. Az etópa fogalmáa segítségével pélál az alább csatoatípsoat efálhat: Veszteségmetes csatoa a meet telese meghatáozza a bemeetet vagys az alább feltétele bámelye telesül: a) O patcoálható úgy hogy az osztályo száma megegyez a bemeet ábécé méetével és P( η O ξ ) ; b) ( y O) : P( y) ( ( I ): P( η y ξ ) ) c) ( X Y ) H. Eo a csatoa apactása η ; C log I. Detemszts csatoa a bemeet telese meghatáozza a meetet am evvales az alábba bámelyével: a) ( I ) ( y O) : P( y ξ ) b) ( Y X ) H. η ; ost a csatoa apactása log { y O ( I ): P( η y ξ ) } C. Zametes csatoa ha egyszee veszteségmetes és etemszts vagys ha ( ( ( ξ ) ) ( I O) : Im( ϕ) O ( I ): P η ϕ ϕ :. A csatoa apactása megegyez a veszteségmetes csatoa apactásával. Haszotala csatoa ha Y telese függetle X-tıl azaz ha a övetezı ét feltétel valamelye gaz: a) ( y O) ( I ) ( I ) P( η y ξ ) P( η y ξ ) b) ( X Y ) H ( X ) H. A haszotala csatoa apactása ás szempotból a csatoa lehet soszmmets ha a soo egymás pemtácó; oszlopszmmets ha az oszlopo egymás pemtácó; szmmets ha egyszee so- és oszlopszmmets. : ; C hsze most ( X Y ) I. 6

29 öye belátható az alább tétel.. A óolás valószíőség alapa.. étel Soszmmets csatoamátál egyeletes bemeet eloszláshoz egyeletes meet elosz- H Y X em függ a bemeet eloszlástól. lás tatoz. Oszlopszmmets csatoamát eseté ost legye aott egy Cs csatoa a -elemő I bemeet az O meet szmbólmhalmazzal és a ( η v ξ ) P feltételes valószíőségeel ahol C I és v O és hasolóa ( ) ϕ aott egy -vel eelt csatoa és ó. A ét ó evvales ha R R és me f ötés függvéyhez va olya ϕ : C C ecó és f ötés függvéy hogy me C eseté P hba ξ P hba ξ és a más áyba s megaható hasoló tlaoságoal eelezı etív leépezés. Hasolóa f f -vel ha a ósebessége azoosa és megaható a ét ó özött egy becó hogy az egymáshoz eelt ószavaa a ötés hba étée megegyez. Ha mét áyba létez etív leépezés ao létez a ét ó özött betív megfeleltetés s tehát és a ét ó sebessége potosa ao azoos ha C evvales ( C ) log log log R R log log log azaz ao és csa ao ha. Specáls esetét tegyü fel hogy és ψ : O O betív leépezés amelye C -e való ϕ megszoítása betíve épez le C -et C -e és amelyél me ( v) C O páa P ( η v ξ ) P ( η ψ ( v) ξ ϕ ). Belát hogy az elıbb feltételeel bámely f ötés sémához megaható olya f ötés séma hogy a ét ó evvales. vel és ϕ : C C betív ezét a ét ósebesség megegyez. ψ becó így létez az veze ψ. Legye v O -e f ( ( v ϕ f ψ v eo f egy ötés séma az O halmazo. Egy tetszıleges v C O -e ϕ v f f ψ v f ( v ) ϕ( f( ψ ( v ) ( ) ( v ψ ( v ) f ( ϕ ( ) f ahol ϕ C és v ψ v O. A ötés hba egy üzeet eseté P ( hba ξ ϕ( ) P( hba ξ ) P ( η v ξ ) ( ) ( ( v f ) ) P ( η ψ ( v ) ξ ϕ( ) ( ( v f ) ) P ( η v ξ ) P ( hba ξ ) ( v f ) így a ét ó bámely egymása megfelelı eleme eseté azoos a ötés hba a ét ó evvales.

30 Hbaolátozás ost tegyü fel hogy I I I O O O továbbá Cs Cs Cs egy DSC és f a mmáls távolságú eóolás. Ha ψ az O ömagába való távolságtató leépezése (vagys ( v) ( ψ ψ ( v) ) az O bámely ét és v elemée) amelye C -e való ϕ megszoítása a C -et C -e épez le ao a ét ó evvales feltéve hogy f s a mmáls távolságú eóolás. Eo gyas és ha ψ ( ) ψ ( ) ao ( ) ( ψ ( ) ψ ( )) tehát a leépezés etív és mvel ϕ áépezés tehát szüetív így betív továbbá P ( η ψ ( v) ξ ϕ ) p p ( ϕ ψ ( v )) ( v) ϕ ( ) ψ ( v ) ( p) ( v ) ( p) P ( η v ξ ) v O pá eseté ambıl övetez a hbavalószíősége egyelısége s. (ege- bámely C gyezzü hogy ψ a teles egy véges halmaz ömagába való etív leépezése egybe szüetív s.) O halmazo betív hsze látt hogy távolságtató leépezés etív és ψ ao és csa ao távolságtató ha ψ ( ) σ π ( ) σ ( ) π ahol π az ehalmaz pemtácóa míg a σ - az O halmaz pemtácó. Az öye belátható hogy sem π sem a σ - em változtata a távolságo. Nézzü a más áyt legye tehát ψ az O ömagába való távolságtató leépezése és legye egy tetszıleges ögzített eleme O -e valamt me N ee legye egy-egy olya O -bel elem amely az -e és csa az -e pozícóba ülöböz (e ülöböz!) -tól. A továbbaba bámely O -e legye ψ ( ) v. Eo ( v v ) vagys v és v s potosa egy helye mo a -e pozícóba ülöböz. Ha ao gyas elleezı esetbe ( v v ) ( ) lee am ( ) ylvávaló épteleség. Ez azt elet hogy a π : a szabály az ehalmaz egy pemtácóa. ost legye ~ olya veto amely -tól potosa egy helye az -e pozícóba ülöböz továbbá amely ülöböz -tıl. Eo v~ s egyetle helye ülöböz v -tól mo ~ - ~ be. Ha ao ( ~ ) e ( ~ ~ v v ) am elletmoás így. Ugyaao v v~ eseté ~ v v tehát v v~ így σ : a v O egy-egy pemtácóa. ( ) σ ( ) ost tegyü fel hogy ha < ao ψ ( ) σ ( π ) és legye O olya amelye ( ). Az egyszeőség evéét feltehetü hogy a ét veto π az elsı pozícóba ülöböz. Legye az a veto amely az elsı pozícóba -val a több helye -val azoos és így ( ) és ( ) míg olya amely csa a -e helye té el az vetotól és tt -val egyez. -e ( ) és ( ) továbbá ( ). A távolságtatás matt ( v v). De ( v v ) ( ) vagys v és v egy helye ülöböz. Ha ez egy olya pozícó ahol v és v elté ao v és v legfelebb csa helye té el am em lehet. Ha ez az egy eltéı pozícó em ott va ahol v és v ülöböz ao ( v v ) am smét lehetetle. Végül abba az esetbe ha az elıbb pozícó megegyeze e em azoos a ét été ao ( v v ) míg ( ) így ez sem lehet tehát épét s meghatáoztá a π és σ pemtácó. 8

31 . A óolás valószíőség alapa Általába csa ao moaa ét óot evvalese ha a fet móo felele meg egymása vagys ha az egy a másból a ompoese valamt az egyes pozícóo a szmbólmhalmaz pemtácóával áll elı. Ee specáls esete amo a szmbólmhalmaz test és az egyes pozícóo alalmazott pemtácó a test valamely em lla elemével való szozáso. Ebbe az esetbe a ét óot saláevvalese moá. Ha a csatoa DSC és a bemeet eloszlás egyeletes ao a hbá váható száma - hosszúságú ószóba p ahol p aa a valószíősége hogy a meete megeleı szmbólm ülöböz a bemeete aott eltıl vagys aa hogy egy el az átvtel soá megváltozott. máls távolságú eóolásál a avítható hbá száma a.. étel szet aáyos a ó távolságával így ahhoz hogy a váhatóa fellépı valamey hbát t avíta mmáls távolságú eóolással szüséges hogy aáyosa ıö -el (mt látt agy ósebesség és s ötés hba agy ószóhosszúsággal éhetı el) vagys bztosíta ell hogy p ~ telesülö azaz hogy δ ~ p legye. Saos a legtöbb ócsalá em telesít ezt a feltételt általába δ ha. 9

32

33 . Leás óo.. Jelölés Legye N. F -t mt F fölött -mezós leás teet ee elemet és a ompoesebıl álló oszlopvetot a megfelelı sovetot (egy) -mezós altee. elöl. Ha V N ao ( ) W a V.. Defícó Ha S Abel-csopot és C S a ompoeseét S-bel mővelettel ao C csopotó. Ha S egybe egy test felett vetoté és C ee -mezós altee ao a ó leás. Az elıbb leás ó ele [ ahol és egymástól függetleül elhagyható. ] A C ó ylvá potosa ao csopotó ha S atív Abel-csopot és a oább és a mosta efícóból látható hogy egy [ ] óba. C C C továbbá.. étel Ha N és ( ) C legalább -mezós alté ao ( C) w( C). V Bzoyítás: és így C ahol az alté mezóa. Leás té atív Abel-csopot az összeaással és alté zát a voása ezét étel elıíásaa. S F -val F és C megfelel a.. Defícó és.... Defícó Legye N otogoáls ha ( b) a V és V b. ( b) a b a a b az a és b salászozata és a b { } a. v ( ) W V W : v a W otogoáls altee..5. étel ( ) W ( ) ( ) a V -mezós altee és W ( ) W. W ( ) és W metszete általába em cspá a llvetot tatalmazza így a ét alté et összege általába em V.