Kopula Függvények Kalibrálása

Kopula Függvények Kalibrálása - Tudományos Diákköri Dolgozat - Konzulens: Dr. Medvegyev Péter Készítette: Bagaméry Gerg, III. évf. Pénzügy és Számvitel BSc Pénzügy szakirány 2012. március 26. A BCE Közgáz Campus Tudományos Diákköri Konferenciáját a TÁMOP-4.2.2/B-10/1-2010-0023 azonosítójú "A tudományos képzés m helyeinek átfogó fejlesztése a Budapesti Corvinus Egyetemen" cím projektje támogatja.

Kivonat dolgozatomban bemutatom a kopula függvényeket, mint a modern matematika széles A körben alkalmazott eszközeit, és egy speciális vonatkozását a kvantitatív pénzügyekben. Ezek után rátérek a kopula paraméterek becslésére, másnéven a kopula kalibrációra. Három eljárást is ismertetek (ML, IFM, CML), majd ezeket összevetem egy "vegytiszta" szimuláció során. Egy rövid fejezet erejéig szót ejtek a szintetikus CDO-k alapvet karakterisztikáiról, majd ezek után bemutatom az árazásuk hátterében lév matematikai gondolatmenetet. A dolgozatom hátralév részében kipróbálom a Gauss és Studen t- kopula modelleket a gyakorlatban, konkrétabban bemutatom az árazását egy szintetikus CDO-nak, melynek referencia portfóliója az itraxx Europe CDS index 14. szériája. Végül rávilágítok a két modell különbségeire a CDO tranche spreadekre gyakorolt hatásaik tükrében. A dolgozatban bemutatott felület ábrázolásokat és szimulációkat MATLAB - ban és "R"-ben készítettem el. Rengeteg dolgozat és publikáció található, amely a válságot és hozzá köthet derivatívákat boncolgatja. Szintén sok munka szól a válságban szerepet játszó Li-modellr l, illetve általánosan a Gauss egyfaktoros modellr l. Ezen munkák nagyrésze pontosan leírja a modell hibáit. Nekem nem célom ezeknek a hibáknak a részletes felfedése és tárgyalása. Dolgozatomban arra keresem a választ, hogy hogyan ragadható meg empirikusan a Gauss és Student t- kopulák közötti különbség a CDO-k árázásában.

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Kopulák 5 2.1. Elliptikus kopulák............................... 7 2.1.1. Gauss kopula............................. 7 2.1.2. Student t- kopula........................... 8 2.1.3. Mintavétel.............................. 9 3. A Kopulák kalibrálása 13 3.1. Maximum Likelihood Módszer (ML).................... 13 3.2. Inference Functions for Margins Módszer (IFM).............. 15 3.3. Canonical Maximum Likelihood Módszer (CML).............. 16 3.4. A módszerek tesztelése............................ 17 4. A CDO-k bemutatása és árazásuk 20 4.1. A CDO.................................... 20 4.2. A szintetikus CDO árazása.......................... 20 4.2.1. A cs d intenzitás meghatározása.................. 21 4.2.2. A veszteség eloszlás meghatározása................. 22 4.2.3. A fair prémium megadása...................... 22 5. CDO árazás, egy numerikus példa 24 5.1. A hazárd függvény kalibrálása........................ 24 5.2. A kopula függvény kalibrálása........................ 25 5.3. A modell.................................... 26 5.4. Eredmények.................................. 27 6. Összefoglalás 32 A. Kódok 33 1

Ábrák jegyzéke 2.1. Gauss kopula s r ségfüggvénye (R=0,1).................. 8 2.2. Student t- kopula s r ségfüggvénye (R=0,1 ; ν=13)............ 9 2.3. Gauss és Student t-mintavétel. 4000 szimuláció, R=0.5, ν=5....... 10 2.4. Gauss és Student t- mintavétel. 20 000 szimuláció, R=0.5, ν=5...... 11 2.5. Gauss és Student t- mintavétel. 20 000 szimuláció, R=0.5, ν=5...... 11 2.6. Gauss és Student t- mintavétel. 4000 szimuláció, Dim=3, R=0.5, ν=5.. 12 3.1. A Log-likelihood függvény maximalizálása................. 14 4.1. A determinisztikus hazárd ráták alakulása................. 22 5.1. A Gauss és a Student kopulával árazott tranche spread-ek alakulása... 29 5.2. Az Equity tranche árfelülete......................... 29 5.3. A Gauss kopulával árazott Mezzanine tranche-ok árfelülete........ 30 5.4. A Student kopulával árazott Mezzanine tranche-ok árfelülete....... 30 5.5. A Gauss kopulával árazott Senior tranche-ok árfelülete.......... 31 5.6. A Student kopulával árazott Senior tranche-ok árfelülete......... 31 2

1. fejezet Bevezetés dolgozatom célja az elliptikus, Gauss és Student t- kopulák hatásának vizsgálata a A CDO-k árázásának tükrében. E két kopula vizsgálata nem véletlenül képzi tárgyát szakdolgozatok és publikációk hadának világszerte, hiszen a hitelportfólióban lév elemek összetételéhez alapvet eltéréssel állnak hozzá. A szakma kitüntetett gyelme e matematikai eszközök iránt a bonyolultabb derivatív termékek megjelenésével állítható párhuzamba, holott azok már Wassily Höeding 1940-es cikke óta ismertek. A strukturált derivatív termékek megjelenésével tulajdonképpen megtörtént a kopulák "újra feltalálása" melynek id pontját a legtöbben David Li 2000.-ben megjelent cikkére tennék. Az ebben bemutatott modell esszenciális eszközévé vált a hitel portfólió cs deloszlásának meghatározására, azonban mint kés bb világossá vált, talán túl gyorsan ültették át az elméletet a gyakorlatba. A dolgozatban arra keresem a választ, hogy a kopula különböz megválasztása és annak kalibrálása a piaci adatokhoz, milyen hatást gyakorol a CDO árazás eredményeire, nevezetesen arra vagyok kíváncsi, hogy milyen eltérés mutatkozik egy Gauss és egy Student t- kopulával elvégzett árazás eredményein a különböz tranche-okra lebontva. Fontos megemlítenem, hogy a dolgozatban nem célom a Li modell és annak hibáinak részletes bemutatása annak ellenére, hogy a numerikus példa során erre a modellre építünk. Vizsgálódásainkat csupán a modell, különböz kopulák használata mellett kinyert eredményeinek összehasonlítására korlátozzuk. A dolgozat során el ször bemutatom a kopula függvényeket, mint a modern matematika univerzális, függ ségi struktúra megjelenít it. Vizsgálódásaink során kizárólag az elliptikus kopulákkal foglalkozunk, melyek bemutatása után rátérek az összehasonlításukra. Egy mintavételi algoritmus ismertetése után belátjuk, hogy a Student t- kopulából vett minták jobban koncentrálódnak a sarkokon, azaz használatukkal jobban modellezhet ek az extrém esetek. Ezen tulajdonsága a t- kopulának igencsak kedvez a modellezés szempontjából, hiszen nem nehéz belátni, hogy az extrém veszteségek el fordulása a hitel portfólióban igencsak valószín esemény lehet, f leg ha a már el fordult gazdasági recessziókra gondolunk. Ezek után bemutatok három becslési módszert melyek segítségével egy iterációs folyamat során meghatározhatjuk a kopula paramétereit egy diszkrét id sor alapján. Megismerkedünk a lokális maximum problémájával majd a módszerek tesztelésére egy szintetikus, azaz ismert paraméterekkel rendelkez id sort generálunk és azokra 3

végezzük el a becslést, meggyelve, hogy mekkora pontossággal kaptuk vissza a bemeneti paramétereket. A becslések során nem elhanyagolandó szempont a számítási id sem, amely szintén fontos lehet a kalibrációs eljárás megválasztásánál. Ezek után rátérek a szintetikus CDO-k alapvet karakterisztikáinak ismertetésére, ahol f ként a dolgozatban bemutatott modellezés szempontjából releváns témák kerülnek feldolgozásra. Szintén bemutatásra kerül az árazás matematikai háttere mely elméleteket a dolgozat végén átültetünk a gyakorlatba. A referencia portfólió cs d eloszlásának meghatározása, mely terület a leginkább vitatott a témában, szintén bemutatásra kerül, amely gyakorlati alkalmazása, a hazárd függvény kalibrálásának bemutatása után válik végleg világossá. Végül egy gyakorlati példán keresztül megkapjuk a választ a dolgozat elején feltett kérdésre, azaz rávilágítunk a két különböz kopulával elért eredmények különbségeire. 4

2. fejezet Kopulák kopulák az összefügg ségi struktúra univerzális megjelenít i, melyek segítségével két A vagy több változó együttes eloszlásának elemzését végezhetjük el. Széles körben alkalmazzák id járás és gyógyszerkutatásokban, építészetben és a kvantitatív pénzügyekben. Leggyakrabban a portfóliók cs d modellezését végezzük kopulákkal, mely során meghatározhatjuk, hogy az egyes termékek vesztesége milyen mértékben eredményezte a portfólió veszteségét. Ezen kívül még megvizsgálhatjuk, hogy a portfólióban lév termékek közötti korreláció következtében fellép veszteségek a portfólió veszteségének mekkora részét teszik ki. A következ kben f ként McNeil et al 2005 munkájára támaszkodunk. 1. Deníció (Kopula). Egy d dimenziós kopula olyan C : [0, 1] d [0, 1] leképzés, amely sztenderd egyenletes peremeloszlással rendelkezik. A kopula az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: C(U 1,..., U d ) minden U i komponensében szigorú monoton növekv. az i edik peremeloszlás, C(1,..., 1, U i, 1,..., 1) = U i azaz U i = 1 lesz minden i j esetben. (a 1,..., a d ), (b 1,..., b d ) [0, 1] d és a i b i esetén 2... i 1 =1 2 ( 1) i 1+...+i d C(u 1i1,..., u did ) 0 i d =1 ahol u j1 = a j és u j2 = b j, j {1,..., d} Egy d - dimenziós kopula, bármely k - dimenziójú pereme is kopula, ahol teljesül 2 k d. A kopulák szakirodalmának talán legtöbbet hivatkozott tétele Sklar 1959-es elméletéb l született, amely alapján bevezetésre kerül a kopulákkal való függ ségi struktúra modellezése. 5

2. Tétel (Sklar). Legyen F egy d-dimenziós eloszlásfüggvény F 1,..., F d perem eloszlásokkal. Ekkor létezik egy C : [0, 1] d [0, 1] kopula, amelyre x R n esetén igaz, F (x 1,..., x d ) = C(F 1 (x 1 ),..., F d (x d )) (2.1) és ha F 1, F 2,..., F n folytonos n esetén, akkor C egyértelm. Vagyis, ha adottak F 1,..., F d marginális eloszlások és C egy kopula, akkor a 2.1 által deniált F egy d-dimenziós eloszlásfüggvény az F 1,..., F d peremekkel. Láthatjuk, hogy a tétel alapgondolata, hogy minden többváltozós eloszlásfüggvény esetén a peremeloszlásokat külön tudjuk választani a függ ségi struktúrától, így azokat egymástól függetlenül tudjuk vizsgálni. A tételnek van egy fontos következménye is. 3. Állítás. Legyen G egy n-dimenziójú eloszlásfüggvény, folytonos (F 1,..., F n ) peremeloszlásokkal, és C egy n-dimenziójú kopula függvény. Ekkor minden u [0, 1] n esetén: C(u 1,..., u n ) = G(F 1 1 (u 1 ),..., F 1 n (u n )) ahol F 1 i (u i ) a kummulatív eloszlásfüggvény inverze. Fontos megjegyezni, hogy egy kopula minden esetben két korlát között helyezkedig el. Alsó korlátjául a kontramonoton 1, fels korlátjául pedíg a komonoton 2 kopula szolgál. 4. Tétel (Fréchet-Hoeding határok). Minden C(u 1,..., u d ) kopulára fenáll a { d } max u i + 1 d, 0 C(u 1,...u d ) min{u 1,..., u d } egyenl tlenség. i=1 Ábrázolva a két határ eloszlásfüggvényt, valamint a függetlenségi 3 kopulát, megkapjuk az összes el állítható eloszlásfüggvény típust. Vegyük észre, hogy a két határ kopulának nem léteznek s r ségfüggvényei mivel nem dierenciálhatóak. Nézzük meg, hogy hogyan kapjuk meg egy kopula s r ségfüggvényét. 5. Deníció (Kopula s r ségfüggvény). Ha a kopula d - szer dierenciálható akkor s r ségfüggvénye: C(U 1,..., U d ) := d C(U i,..., U d ) U i... U d (2.2) Most, hogy áttekintettük a kopulák f bb tulajdonságait, rátérek a részletesebb tárgyalásukra. 1 C (u 1,..., u d ) = max{ d i=1 u i + 1 d, 0} 2 C + (u 1,..., u d ) = min{u 1,..., u d } 3 C (u 1,..., u d ) = d i=1 u i 6

2.1. Elliptikus kopulák A kopuláknak két f bb fajtája van: az elliptikus eloszlásból származóak, illetve az Arkhimédeszi kopulák. Dolgozatomban az elliptikus azaz Gauss iletve Student -t kopulákkal foglalkozok. Az Arkhimédeszi kopulák (Gumbel, Clayton, Galambos) tárgyalása nem képezi részét a vizsgálódásainknak. Fang et.al. (1987) deníciója alapján: 6. Deníció (Elliptikus eloszlás). Ha X egy n-dimenziójú vektor véletlenszer változókkal és µ N n, és egy nxn -es nemnegatív denit, szimmetrikus mátrix, akkor X µ karakterisztikus függvénye ϕx µ (t) függvénye a t t kvadratikus alaknak, ekkor X -nek elliptikus eloszlása van (µ,, ϕ) paraméterekkel és így X E n (µ,, ϕ). A kopulák tárgyalásánál leggyakrabban a s r ségfüggvényüket ábrázoljuk, de szokás még eloszlásfüggvényüket is vizsgálni. A következ kben ábrázolom a Gauss és a Student t - kopula s r ségfüggvényét MATLAB segítségével, ezek után mintavétellel fogom szemléltetni a két kopula közötti különbségeket. A vonatkozó MATLAB kódok a mellékletben találhatóak. (A mintavételi algoritmus Embrechts et al(2001) alapján.) 2.1.1. Gauss kopula 7. Deníció (Gauss kopula). Az n-változós normál eloszlás kopulájához legyen R egy szimmetrikus pozitív denit mátrix, és legyen Φ N R az együttes eloszlásfüggvénye az n- változós normális eloszlásfüggvénynek, R korrelációs mátrixal. Φ 1 jelöli a normális eloszlásfüggvény inverzét, ekkor a kopula: C G R (u) = Φ N R (Φ 1 (u 1 ),..., Φ 1 (u n )), (2.3) Egy többváltozós esetben a kopula felírható még a C G R (u, v) = formában is. Φ 1 (u) Φ 1 (v) 1 exp 2π(1 R12) 2 1/2 { s2 2R 12 st + t 2 2(1 R 2 12) } dsdt. (2.4) A mellékletben megadott MATLAB kód segítségével ábrázolhatjuk a Gauss kopula s - r ségfüggvényét. A kód segítségével, különböz korrelációs értékeket megadva megnézhetjük, hogy hogyan változik a s r ségfüggvény alakja. Ennek kipróbálását az Olvasóra bízom. 7

2.1. ábra. Gauss kopula s r ségfüggvénye (R=0,1) A ábrán láthatjuk, hogy a s r ségfüggvény két széle elnyúlik felfelé. A Student t- kopulánál is meggyelhet lesz a szélek felfelé nyúlása, ennek magyarázatát azonban csak a 2.1.3 fejezetben szemléltetem. 2.1.2. Student t- kopula 8. Deníció (Student t- kopula). Az n-változós Student t- eloszlás kopulájához legyen R egy szimmetrikus pozitív denit mátrix és legyen t n ν,r az együttes eloszlásfüggvénye az n-változós Student t- eloszlásfüggvénynek, R korrelációs mátrixal és ν szabadságfokkal. jelöli a Studen t- eloszlásfüggvény inverzét, ekkor a kopula t 1 ν Cν,R(u) t = t n ν,r(t 1 ν (u 1 ),..., t 1 ν (u n )) (2.5) alakot ölt. Ez másképpen felírható még a C t ν,r(u, v) = módon is. tν 1 (u) tν 1 (v) 1 2π(1 R 2 12) 1/2 } {1 + s2 2R 12 st + t 2 (ν+2)/2 dsdt. ν(1 R12) 2 (2.6) 8

2.2. ábra. Student t- kopula s r ségfüggvénye (R=0,1 ; ν=13) A t-kopula ν esetén konvergál a Gauss kopulához, ami azt jelenti a gyakorlatban, hogy kell en nagy szabadságfok paramétert megadva a Gauss kopula alakját veszi fel. 2.1.3. Mintavétel Most bemutatok két véletlenszer mintavételi algoritmust elliptikus kopulákból, Embrechts et al(2001) alapján. Gauss A véletlenszer változók generálása a CR Gauss következ képpen történik: kopulából egy R korrelációs mátrixszal a Számítsuk ki Cholesky-felbontással 4 A-t R-b l ahol R = A A T. Adjunk meg egy N dimenziójú Z vektort, ahol: Z = (z 1, z 2,..., z n ), amik N(0,1)-b l származnak. Legyen x = Z A Legyen x egy N dimenziójú u vektor, amit u = Φ(x) kiszámításával kapunk. Ekkor, u C Gauss R 4 A Cholesky-felbontás a szimmetrikus, pozitív denit mátrixok felbontása alsó trianguláris mátrixok és azok konjugált transzponáltjainak szorzatává. 9

Student t A véletlenszer változók generálása a CR,ν Student kopulából egy R korrelációs mátrixszal és ν szabadságfokkal a következ képpen történik: Számítsuk ki Cholesky-felbontással A-t R-b l ahol R = A A T. Adjunk meg egy N dimenziójú Z vektort, ahol: Z = (z 1, z 2,..., z n ), amik N(0,1)-b l származnak. Adjunk meg egy független χ 2 ν véletlen s változót. Legyen y = z A Legyen x = y ν s Legyen x egy N dimenziójú u vektor, amit u = t ν (x) kiszámításával kapunk. Ekkor u C Student R,ν A mintavételi algoritmusokat leprogramozva MATLAB-ban és 4000 szimulációt véve a 2.3 ábrát kapjuk. 2.3. ábra. Gauss és Student t-mintavétel. 4000 szimuláció, R=0.5, ν=5 Meggyelhetjük, hogy a t-kopulából vett minta a jobb fels és bal alsó sarkaiban sokkal koncentráltabb mint a Gauss kopula esetén, amely jelenség magyarázható a két kopula s r ségfüggvényével. Ha megnézzük ket láthatjuk, hogy a t-kopula s r ségfüggvénye sokkal jobban nyúlik felfelé a sarkainál. Érdemes növelni a szimulációk számát, hogy ezt az elnyúlást jobban meggyelhessük. Vegyünk most 20 000 szimulációt. 10

2.4. ábra. Gauss és Student t- mintavétel. 20 000 szimuláció, R=0.5, ν=5 Láthatjuk, hogy a 2.4 ábrán már sokkal szembet n bb a sarkok koncentrálódása. Ilyen magas mennyiség szimulációnál meggyelhetjük továbbá a másik két sarok (bal fels, jobb alsó) koncentráltságát is. Ennek pontosabb szemléltetésére a szimuláció során kapott pontokat összekötöttem egy vonallal és fekete színt állítottam be. 2.5. ábra. Gauss és Student t- mintavétel. 20 000 szimuláció, R=0.5, ν=5 Itt nem látszik az, hogy mennyire koncentráltak a pontok viszont tisztábban kirajzolódik a t- kopula bal fels és jobb alsó sarkának fontossága. Ez a jelenség szintén visszavezethet a s r ségfüggvényre. Ezek a sarok elnyúlások mutatják, hogy a t- kopula jobban modellezi az extrém-értékek el fordulását. A mintavételt még ábrázolhatjuk az "R" statisztikai 11

programcsomaggal is, a "copula" 5 csomag segítségével. Itt három dimenziós mintavételt csináltam, láthatjuk, hogy a korábban meggyelt jelenségek itt is felt n ek. 2.6. ábra. Gauss és Student t- mintavétel. 4000 szimuláció, Dim=3, R=0.5, ν=5 5 A csomagot Jun Yan fejlesztette ki 12

3. fejezet A Kopulák kalibrálása különböz derivatív termékek árazásánál, de más applikációknál is igen fontos a megfelel kopula kiválasztása, illetve a kopula paraméterek (korreláció, szabadságfok) A pontos kalibrálása a valós piaci adatokhoz. Gauss típusú függ ségnél a korrelációt, Student t- nél pedig a korrelációt és a szabadságfokot kell meghatároznunk, melyre több módszer is a rendelkezésünkre áll. A paraméterek becsl iben fontos szerepet játszanak a rangkorrelációs együtthatók, úgy mint a Spearman féle ρ vagy a Kendall féle τ. A kalibráció pontossága hatással van az egész modellezésre alkalmazástól függetlenül. Mi sem bizonyítja jobban a téma fontosságát, mint a szakirodalom folyamatos kitüntetett gyelme. Ebben a fejezetben bemutatok néhány becsl eljárást, majd ezeket egy konkrét alkalmazáson keresztül összehasonlítom. Tételezzünk fel 1, hogy vizsgálódásainkat egy diszkrét id soron végezzük, amely: X = (X i1,..., X id ) n i=1, ahol n jelöli a meggyelések számát és d a dimenziók számát, vagyis ezzel adjuk meg, hogy hány alaptermékünk van. Legyen β az a vektor, ami a perem paramétereket tartalmazza, és α az a vektor ami a kopula paramétereket. A paraméter teret Θ -val jelöljük. 3.1. Maximum Likelihood Módszer (ML) A becslés során célunk egy ismeretlen θ paraméter becslése, amelyre rendelkezésünkre áll egy diszkrét id sor skalár érték valószín ségi változókkal, amelyek a paraméterre vonatkozó információkat tartalmaznak. A becslés során el ször is szükségünk van egy úgynevezett log-likelihood függvényre, amelyet kiterjesztünk az együttes valószín ségi s r ségfüggvényel. A θ paramétert ennek a kiterjesztett log-likelihood függvénynek a maximalizálásával kapjuk meg 3.4 mellett. A paraméter becslése során a paraméter el fordulásának a valószín ségét akarjuk maximalizálni. Ezt az úgynevezett "likelihood" függvény maximalizálásával tehetjük meg. Az ML becslés alapjait R.A. Fisher fektette le. Az elmélet szerint a kívánt valószín - ségi eloszlás az, amely a vizsgált id sort a legvalószín bbé teszi. Ebb l következik, hogy 1 Jun Yan - Enjoy The Joy of Copulas, alapján 13

azt a paraméter vektort keressük, amely a likelihood függvényt maximalizálja. Úgy is mondhatjuk, hogy azokat az eloszlás paramétereket keressük, amelyek létrehoznak egy olyan eloszlást, amely a legnagyobb valószín séggel generálta a vizsgált id sort. A számítást megkönnyít okokból a likelihood függvény logaritmizált változatát maximalizáljuk, amely az eredmény szempontjából nem hoz különbséget, hiszen egymásnak monoton transzformáltjai. Az optimalizálási algoritmus lefuttatása során az els deriváltból határozzuk meg a maximum/minimum pontot. Ezek után a második deriváltal sz rjük le ezekb l a maximum pontokat, ezért fontos, hogy paramétereknél a log-likelihood függvény konvex legyen. 3.1. ábra. A Log-likelihood függvény maximalizálása Az algoritmus lefuttatása közben, a leggyakrabban el forduló hiba a lokális maximum problémája. A 3.1 ábrán láthatjuk, hogy a B kivételével minden pont lokális maximum, becslésünk során mi azonban a függvény globális maximumát keressük. Az iterációs folyamatot -,amelyet az ábrán nyilakkal jelöltem- az eljárási algoritmustól függ en vagy egy véletlenszer, vagy egy valamilyen ismérv alapján el re megadott X n pontban kezdjük el. Láthatjuk azonban, hogy egy rosszul meghatározott kezd pont könnyen egy lokális maximum meghatározásához vezethet. Ha például az X 1 pontban kezdjük a folyamatot, akkor az A lokális maximumot kapjuk eredményül, ha azonban X 2 a kezd pontunk, akkor a globális maximum, azaz a B pont lesz a maximalizálás eredménye. Létezik egy olyan sztochasztikus optimalizálási elmélet (Kirkpatrick, Gelatt & Vecchi, 1983), amely képes kiküszöbölni a lokális maximum problémáját, azonban gyakorlati alkalmazása több akadályba is ütközik. A leggyakrabban használt eljárások a szimulációs futások számát növelik a nagyobb pontosság elérésében. A 3.4 fejezetben részletesebben szemléltetem a szimulációs szám megválasztásának fontosságát. Most határozzuk meg az ML loglikelihood függvényt, Használva a 2.1 Sklar tételt, és kihasználva az eloszlás és a s r ségfüggvény közötti kapcsolatot: 14

f(x) = F (x) x megkaphajuk a c(f 1 (x 1 ),..., F d (x d )) többváltozós kopula s r ség és a C(F 1 (x 1 ),..., F d (x d )) kopula összekapcsolását: amib l megkapjuk, hogy: f(x 1,..., x d ) = n [C(F 1 (x 1 ),..., F d (x d ))] F 1 (x 1 ),..., F d (x d ) d f i (x i ), i=1 d f(x 1,..., x d ) = c(f 1 (x 1 ),..., F d (x d )) f i (x i ), (3.1) Nézzük meg a likelihood függvényt n idei meggyeléseinkre: i=1 Ezt kiterjesztve a 3.1 egyenlettel megkapjuk a n l(θ) = l i (3.2) i=1 l(θ) = n log c{f 1 (X i1 ; β),..., F p (X ip ; β); α} + i=1 n p log f i (X ij ; β) (3.3) i=1 j=i log-likelihood függvényt. Deniáljuk a Maximum Likelihood becsl t ˆθ ML = arg max l(θ) (3.4) θ=θ A θ paraméter becsléséhez tehát a 3.3 függvényt kell maximalizálnunk 3.4 mellett. 3.2. Inference Functions for Margins Módszer (IFM) Az kalibráció során gyakorta felmerül a probléma, amelyet a túl nagy id sorok által okozott számítási sebesség megnövekedése okoz. Ha növeljük az alaptermékek számát (dimenzió), az nagyban befolyásolja az adathalmazunk méretét, és így az optimalizálási folyamat is hosszabb. Az IFM módszer tulajdonképpen az ML egy felbontott analóg változata. Ez a módszer két lépcs ben végzi el a becslést, mely során els körben becsli a β perem paramétereket 15

ˆβ IF M = arg max β n i=j p log f i (x ij ; β) j=1 Ezek után második lépésként az α kopula paraméter vektor becslése következik ˆα IF M = arg max α n log c(f 1 (X i1 ; ˆβ IF M ),..., F p (X ip ; ˆβ IF M ); α) i=1 Az els lépés minden peremre elvégzi az ML becslést (j=1,...,p) a következ módon ˆβ IF M = arg max β j n log f(x ij ; β j ) i=1 Ez a módszer azért okoz a programnak kevesebb számítási feladatot, mert minden maximalizálási folyamat, amit elvégez ML módszerrel, az nagyon kevés paraméterrel rendelkezik. Ebb l következik, hogy az IFM-el kapott eredmények igen közel állnak az ML módszerrel becsültekhez. A 3.4 fejezetben ezt a jelenséget is meggyeljük. 3.3. Canonical Maximum Likelihood Módszer (CML) A CML módszer 2, másnéven pszeudó ML, nagyban különbözik az el z két becslést l, amelyb l nagy el nye is származik az el z kett vel szemben. A CML nem támaszkodik a perem paraméterekre, így f leg akkor célszer a használata, ha f célunk az α paraméterek pontos becslése. A módszer az empírikus eloszlásfüggvényét használja minden peremeloszlásnak, az α paraméterek kiszámításához. A transzformációt, amely az eredeti X i mintából csinál U i pszeudó mintát, empírikus perem transzformációnak 3 nevezzük, amihez legyen az eredeti id sorunk X = (X i1,..., X ip ) és a transzformációhoz legyen, U i = (U i1,..., U ip ) = [F 1 (X i1 ),..., F p (X ip )] Ezek után második lépésként határozzuk meg a paraméter vektort a következ módon, ˆα CML = arg max α n log c(u i1,..., U ip ; α) i=1 2 Bouyé et al 2000 3 Lásd: Mashal 2002 16

3.4. A módszerek tesztelése A különböz becslési eljárások összevetéséhez, el ször szükségünk van egy olyan "tiszta" id sorra, melyet saját magunk generáltunk valamely kopulából, tehát pontosan tisztában vagyunk paramétereivel. Ezek után megpróbájuk becsülni a paramétereket a különböz módszerekkel, így tudjuk vizsgálni a becslésünk pontosságát. Ennél a vizsgálatnál fontos szempont a generált minta mérete. Minél nagyobb elemszámú mintát generálunk annál pontosabb becslést kapunk, és annál hosszab id t vesz igénybe a számítás. Az elemzés során három különböz méret mintával végzem a becsléseket. Fontos még megemlíteni, hogy az eredmények szempontjából igen fontos kérdés, hogy milyen programot használunk a szimulációra. Ugyanazt az eljárást használva eltér eredményre juthatunk a MATLAB és az "R" programcsomag, esetén, annak ellenére, hogy egyik program sem kínál beépített függvényt a becslésre. Az eltérés mind az id sor generálásra mind a becslésre is vonatkozik. A következ becslési szimulációkat MATLAB-ban végeztem el, azonban érdekes lenne egy tanulmányban összevetni a különböz programcsomagokban elvégzett becsléseket. Vizsgálódásaink során három különböz méret mintából (2000, 20 000 és 200 000) végzünk becsléseket, melyeket Gauss és Studen t- kopulából generálunk. Az id sor generálása során a 2.1.3 fejezetben leírt algoritmust használjuk. Minden generálásnál az R=0.5 és ν = 3 paramétereket adtam meg ami azt jelenti, hogy a becslés után az ezekhez közelít eredményeket tekintjük pontosnak. A különböz becslési eljárásokat (ML, IFM, CML) leprogramozva a 3.1 táblázatban látható eredményeket kaptam. A kis mintás Gauss kopulából származó id sor esetén láthatjuk, hogy az IFM módszer bizonyult a legpontosabbnak, azonban tudni kell, hogy ilyen kicsi mintánál a kapott paramétereknek igen nagy a szórása, azaz ha többször egymás után elvégezzük a rutint a kapott értékeknek nagy a szórása. A 3.2 táblázatban láthatjuk, a kismintás esetekben a különböz becslési eredmények szórásait. Láthatjuk, hogy e konkrét esetben ugyan rosszabbul teljesített az ML módszer de kis minta esetén mégis ezt választanánk a korreláció becslésére az alacsonyabb szórása miatt. Ugyan ez igaz a Student t- kopulából vett minta esetén is, azonban gyeljük meg, hogy az IFM módszer feltün en rosszul becsli a szabadságfokot (DoF) a másik két eljárással szemben. 17

Gauss Student t- Mintanagyság 2000 20 000 200 000 2000 2000 20 000 20 000 200 000 200 000 θ R R R R DoF R DoF R DoF ML 0.4745 0.5120 0.4988 0.4856 2.8751 0.4954 2.9080 0.5012 3.0408 Id (másodperc) 0.9314 43.5635 3211.0213 1.5749 48.3843 3351.0419 IFM 0.5078 0.4883 0.4990 0.5161 1.6438 0.5118 1.9919 0.5036 2.2319 Id (másodperc) 0.791 42.1738 3157.9968 1.8939 50.6802 3301.5927 CML 0.4875 0.5013 0.5005 0.5316 3.565 0.4986 3.0211 0.4990 2.9999 Id (másodperc) 0.1705 16.3688 1665.1047 0.5117 20.1151 1703.7882 3.1. táblázat. A kopula kalibráció eredményei 18 Gauss Student t- Mintanagyság 2000 2000 θ R R DoF ML 2.6 % 3.7% 9.7 % IFM 3.8% 4.9% 46.3% CML 3.7% 5.1% 4.9 % 3.2. táblázat. Kismintás becslések szórása

Érdemes továbbá megjegyezni, hogy míg a 3.1 táblázat alapján az ML t nhet a szabadságfok jobb becsl jének úgy a 3.2 táblázat szórás adataiból látszik, hogy érdemes inkább a CML-t használni erre a célra. A nagyobb minták esetén (n 20000) a szórások kiszámítása már igen intenzív számolási feladatot jelent, ami rendes körülmények között 4 rendkívül hosszú szimulációkat jelentene. A nagyobb számítási intenzitás eléréséhez érdemes a CPU helyett a GPU-t dolgoztatni az érdekl d k gyelmébe ajánlom az nvidia által kifejlesztett CUDA programozási nyelvet, amely közvetlenül a GPU-t terheli. A számítás ezen nehézsége miatt a nagyobb elemszámoknál feltételezzük, hogy a szórás adatok megegyeznek az egyes módszereknél. Az elemszám növekedésével meggyelhetjük, a CML már említett el nyét, hogy minél nagyobb mintát veszünk annál pontosabban határozza meg a paramétereket a másik két módszerhez képest. A szabadságfokot is rendkívül pontosan határozza meg 200 000db -os elemszám mellett. Fontos meggyelni a szimulációs id tartamokat ami a CML esetében a legnagyobb mintánál majdnem a felére csökkent, ez szintén párhuzamban áll a már elmondottakat, miszerint a CML sokkal rövidebb id alatt képes elvégezni az iterációs eljárást. Ez a tulajdonsága kifejezetten fontos a nagy mennyiség adat kalibrálásánál. 4 CPU: IntelCore duo 2x 2.66GHz, RAM: 4GB, MATLAB R2010A 19

4. fejezet A CDO-k bemutatása és árazásuk 4.1. A CDO legegyszer bb hitelderivatívák esetében az alaptermék jellemz en csak egyetlen szerz désb l áll. A CDO alapvet lényege, hogy ezekb l a szerz désekb l egy egész A kosarat (pool) tartalmaz. A kosárban található hitelszerz dések kockázatát így transzferálni lehet, amelyet úgy oldanak meg, hogy több részre (tranche) darabolják a kosarat, amelyek azonos átlagid vel rendelkeznek, majd ezeket értékpapírosítják. A különböz tranche-okat a veszteségb l való részesedésük alapján osztják szét. A legáltalánosabb tranche felbontás szerint a veszteség el ször az Equtiy tranche-ot érinti majd a Mezzaninet és ezek után a Seniort. A különböz tranche-okat a hitelmin sít k is értékelik kockázati kitettségük szerint. A gyakorlatban érdemes különbséget tenni a cash és a szintetikus CDO-k között. Az els esetben a CDO alaptermékei jellemz en közvetlen hitelkockázattal bírnak (Pl: jelzáloghitel). Fontos még kiemelni, hogy ebben a konstrukcióban a referencia portfólió összetételét a futamid alatt megváltoztathatja a portfólió menedzser, amely tulajdonsága miatt matematikailag igen nehezen modellezhet. A másik eset az úgynevezett szintetikus CDO melynek alaptermékei már önmagukban derivatívák, tehát önmagukban is hitelkockázatot testesítenek meg. Ezek az alaptermékek a CDS-ek (Credit Default Swap) amelyek védelmet biztosítanak egy adott alaptermék cs djére adott lejárat mellett. A dolgozat hátralév részében a szintetikus CDO-k árazásával foglalkozunk. 4.2. A szintetikus CDO árazása Amíg semmilyen hitel esemény nem történt a CDO kibocsátója rendszeresen zet prémiumot a tranche befektet nek. Cs d esetén a befektet (védelem eladója) zet a kibocsátónak (védelem vev je) a veszteség mértékében. 20

Amint már említettük a cash CDO modellezése egy komplex feladat, amely különböz mikroökonómiai és játékelméleti elemzéseket is igényel, azonban a dolgozatban felvetett probléma, nevezetesen maga a kalibrációs eljárás, bemutatására a szintetikus CDO árazása a célravezet, hiszen jobban tudunk a problémára fókuszálni. Fontos megemlíteni, hogy az évek el rehaladtával egyre transzparensebb a CDS piac hiszen manapság már igen fejlettek és naprakészek a különboz CDS indexek (itraxx, CDX) ami a piac likviditását is nagyban el segíti. Ezek az adatbázisok nagyban megkönnyítik a kalibrációs eljárást. A következ kben f ként Lüscher 2005 munkájára támaszkodunk. 4.2.1. A cs d intenzitás meghatározása A továbbiakban a véletlen folyamatokkal kapcsolatos vizsgálódásainkhoz vegyük a (Ω, A, P, F)sztochaszikus alapteret, ahol (Ω, A, P) teljes 1 és az F ltráció eleget tesz a szokásos feltételeknek azaz jobbról folytonos és tartalmazza az (Ω, A, P) mez nulla halmazait. Ekkor azt mondhatjuk, hogy a sztochasztikus alaptérre teljesülnek a szokásos feltételek tehát τ megállási id 2, ahol a cs d bekövetkezik. Most határozzuk meg a λ cs d intenzitást, a biztosítási matematikából ismert hazárd függvény segítségével, amelyhez a sztochasztikus analízisb l ismert Poisson folyamatokat használjuk. Legyen τ i az a pozitív valószín ségi változó, amely az i-edik CDS cs djének idejét adja meg F i eloszlásfüggvénnyel. Ekkor F i (t) = P (τ i t) jelöli annak a valószín - ségét, hogy a referencia termék a T = (0,..., t) intervallumon belül becs döl. Tehát a cs d idejét egy Poisson folyamat els ugrásáig eltelt idejeként értelmezzük. A cs dvalószín ség a λ i (t) intenzitáshoz az alábbi módon kapcsolódik, ( t F (t) = 1 exp 0 ) λ(u)du (4.1) Tehát az események közötti id hossza exponenciális míg az adott id szak alatt bekövetkez cs dök száma Poisson eloszlású. Fontos megjegyezni, hogy élünk a gyakori feltételezéssel miszerint a hazárd ráták determinisztikusak azaz szakaszonként konstansak a 4.1 ábrához hasonlóan. Ekkor, λ 0,1 ha T 0 < t T 1 λ =. λ n 1,n ha T n 1 < t T n 1 A mez teljes ha A A, melyre P(A) = 0 akkor B A esetén B A 2 Lásd: Medvegyev (2008) 21