Fogaskerékhajtás tudnivalók, feladatok

Fogaskerékhajtás tudnivalók, feladatok Tudnivalók A fogaskerékhajtás egy hajtómű - féleség A hajtómű olyan itt mechanikus berendezés, amely erőket és mozgásokat továbbít: a hajtó tengelyről a hajtott tengelyre A fogaskerékhajtásban a hajtó és a hajtott tengely közel van egymáshoz, így köztük a kapcsolatot a rájuk ékelt fogaskerekek hozzák létre Az alaphelyzet az ábra szerinti ábra Az ábra forrása: [ ] Az jelű tengely: a hajtó tengely, rajta a z fogszámú fogaskerékkel, mely a tengelyével megegyező n fordulatszámmal forog A jelű tengely: a hajtott tengely, rajta a z fogszámú fogaskerékkel, mely a tengelyével megegyező n fordulatszámmal forog A két fogaskerék a gördülőkörök mentén csúszásmentesen legördül egymáson A fogaskerékhajtás: kényszerhajtás, mivel a hajtókerék rákényszeríti a forgást a hajtott kerékre Ennek eredményeként a két kerék kerületi sebessége a gördülőkörök érintkezési pontjában megegyezik: v v ( ) A megfelelő D i gördülőkör - átmérőkkel és n i fordulatszámokkal ( i =, ) : D n D n ( ) Innen egyszerűsítés és rendezés után: n D ( 3 ) n D Itt bevezetjük az áttétel / módosítás fogalmát: n i, ( ) n

vagyis az áttétel: a hajtott tengely fordulatszámának viszonya a hajtó tengely fordulatszámához Most tekintsük a ábrát! ábra A ábra forrása: [ ] A kerékátmérő kifejezhető a t fogosztással és a z fogszámmal: D t z, ( 5 ) D t z ( 6 ) Innen a gördülőkör - átmérők: t D z, ( 7 ) t D z ( 8 ) A t fogosztásoknak azonban egyenlőknek kell lenniük, különben a két fogaskerék kapcsolódása nem lenne lehetséges: t t t, ( 9 ) így ( 7 ), ( 8 ) és ( 9 ) - cel: t D z, ( 0 ) t D z ( ) Bevezetjük az t m ( ) definícióval a modult, ami ezek szerint a fogosztás π - ed része Most ( 0 ), ( ) és ( ) - vel: D m z, ( 3 ) D m z Ezek után összegyűjtjük az áttételre vonatkozó képleteinket; ( 3 ), ( ) és ( 3 ) - mal:

3 n D z i ( ) n D z Majd összegyűjtjük a modulra vonatkozó képleteinket; ( 0 ), ( ) és ( ) - vel: t D D m ( 5 ) z z A hajtás modulja szabványos modulsorozatból választandó Ilyet mutat a 3 ábra Forrása: [ 3 ] Megjegyzés: A ( ) képlethez felhasználtuk, hogy 3 ábra Kkör D v, T T T T ( 6 ) ahol K kör : a gördülőkör kerülete; T: egy teljes körülfordulás ideje; : a gördülőkör sugara; ω: a forgás szögsebessége Itt az állandó szögsebességű / fordulatszámú forgás esetét tekintettük Most vizsgáljuk meg a szóban forgó fogaskerékhajtás erő - és mozgásviszonyait!

Ehhez tekintsük a ábrát, ahol a feltüntetett mennyiségek mind pozitív előjelűek! Adott: M,M ;, ;, Keresett: a fogak közt fellépő K kerületi erő ábra A megoldás során a részekre bontás módszerét alkalmazzuk Az érintkezési pontbeli kerületi sebességek egyenlőek; ( ) és ( 6 ) szerint:, ( 7 ) ahol már figyelembe vettük azt is, hogy a jelű kerék forgásának értelme, azaz szögsebessége is ellentétes az jelűével Most képezzük ( 7 ) mindkét oldalának az időegységre jutó változását, felhasználva a szöggyorsulást értelmező ( 8 ) t kifejezést is: ( 9 ) Most gondolatban különítsük el egymástól az és a kereket ld 5 ábra! 5 ábra

5 A K kerületi erő fejezi ki a kerék hatását az kerékre, míg a K erő az kerék - re gyakorolt hatását jeleníti meg Az kerék forgómozgásának alapegyenlete: O M e, ( 0 ) majd a keréké: O M e, ( ) ahol : i az i - edik forgástengelyre vett tömegtehetetlenségi nyomaték, i =, Ezután képezzük az O forgástengelyre számított eredő forgatónyomatékot: O M e M K ; ( ) majd hasonlóan az O forgástengelyre: O M e M K ( 3 ) Most ( 0 ) és ( ) - vel: M K, ( ) majd ( ) és ( 3 ) - mal: M K ( 5 ) Ezután fejezzük ki ( ) - ből K - et, ( 5 ) - ből K - t: K M, ( 6 ) K M ( 7 ) Most alkalmazzuk a hatás - ellenhatás alaptételét: K = K = K ( 8 ) ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) - cal: M M ( 9 ) endezve: M M ( 30 ) ( 30 ) - ban érvényesítve a ( 9 ) - ből adódó ( 3 ) összefüggést: M M ( 3 ) ( 3 ) - ből:

6 M M, ahonnan: M M Most ( 3 ) és ( 3 ) - gyel: M M Ezután ( 6 ), ( 8 ) és ( 3 ) - gyel: M M M M K K ( 36 ) átalakításával még tovább írható, hogy ( 33 ) ( 3 ) ( 35 ) ( 36 ) M M K ( 37 ) Egy fontos speciális eset: 0 ( a ) Ekkor a fogaskerekek szögsebessége / fordulatszáma állandó, ill zérus Ez a mozgásbeli, ill nyugalmi egyensúly esete ( 6), ( 7 ), ( 8 ) és ( a ) - val: M M K K K ( 38 ) ( 38 ) - ból:

7 M D ( 39 ) M D A ( 39 ) képlet azt fejezi ki, hogy állandósult állapotában a fogaskerékhajtás valamely tengelyére jutó forgatónyomaték egyenesen arányos az illető tengelyen lévő fogaskerék átmérőjével A ( 6 ), ( 7 ), ( 38 ) képletekből még az is kiviláglik, hogy a K kerületi erő gyorsuló forgás esetén kisebb, mint állandósult forgás, ill nyugalom esetén A csapágyakat terhelő erők meghatározásához tekintsük a 6 ábrát! 6 ábra Itt G a fogaskerék súlya, K a kerületi erő, a csapágy reakcióereje Függőleges vetületi egyensúlyi egyenlettel: 3 Fi 0; ( 0 ) i részletezve: G K 0, ( ) ahonnan: G K ( ) Hasonlóan eljárva: G K 0, ( 3 ) ahonnan: G K ( )

8 Megjegyzések: M A ( ) és ( ) képletek felírásakor felhasználtuk ( 8 ) - at is M A függőleges vetületi egyensúlyi egyenletek felírásakor feltételezzük, hogy az reakció pozitív nyílértelmű Ha nem ez a helyzet, azt a képlet majd kiadja M3 Ha a szöggyorsulások zérustól eltérők, akkor a K kerületi erő, majd ( ) és ( ) miatt a reakcióerők is változó nagyságúak / irányúak lehetnek Feladatok Adott a 7 ábra szerinti hajtómű Határozza meg az és 3 3 szögsebességeket, az függvényében! szögsebesség Az ábra forrása: [ ] 7 ábra Megoldás: Az r és r sugarú fogaskerekek érintkezési pontjában ( ) mintájára r r ( / ) Az r 3 és r 3 sugarú fogaskerekek érintkezési pontjában: r3 3 r 3 ( / ) ( / * ) - ből: r, r ( 3 / )

9 majd ( / ** ) és ( / 3! ) - ből: r3 r 3 r r ( / ) 3 Adott a 8 ábra szerinti hajtás, ahol a W súlyt egyenletesen, lassan emeljük Határozzuk meg a motor M forgatónyomatékát, elemi úton! 8 ábra Az ábra forrása: [ 5 ] Megoldás: Most is célszerű a részekre bontás fogásával élni ld 9 ábra! 9 ábra A feladat feltétele szerint 3 0, így egyensúlyi egyenletekkel dolgozhatunk Az a sugarú kerék egyensúlya: M K a 0, innen M K ( / ) a

0 A b sugarú kerék egyensúlya: K b K b 0, innen: K K ( / ) A c sugarú kerék egyensúlya: K c W c 0, innen: W K ( 3 / ) Most az ( / ), ( / ), ( 3 / ) képletekkel: M W, ( / ) a ahonnan: M W a ( 5 / ) 3 Határozzuk meg az egyenes fogazású hengeres fogaskerékpár fogai közt fellépő kapcsolati erőt! Megoldás: 0 ábra A 0 ábrán jól szemlélhető, hogy a fogak érintkezése valójában nem a gördülőkörök, hanem a fogak geometriai kialakítása miatt egy ferde, a gördülőkörök közös érintőjével α w szöget bezáró egyenes a kapcsolóvonal mentén vándorló kapcsolódási pontban megy végbe Ennek megfelelően a fogak közt fellépő kapcsolati erő sem egyezik meg a gördülő - körök érintője mentén ható K kerületi erővel A gördülő felületek közös normálisába eső, az ábrán kék nyíllal rajzolt P n kapcsolati erő nagysága a ábra szerint ahol a K P jelölést használjuk : A 0 ábra forrása: [ 6 ]

P P n ( / 3 ) cos w A kapcsolati erő sugárirányú össze - tevőjének nagysága: P P tg ( / 3 ) r w ábra E radiális összetevő a csapágyazást egy többlet - erővel terheli, az önsúlyhoz és a kerületi erőhöz képest A kerületi erő szokásos számítási módja: M M P, ( 3 / 3 ) r d ahol M : a hajtókerékre ható külső forgatónyomaték; d : a hajtókerék gördülőkörének átmérője Mint korábban már láttuk, itt állandó fordulatszámokat tételezünk fel A ábra a két fogaskerék erőjátékát is szemlélteti, a részekre bontás után, eltekintve a csapágyak - ban ébredő reakcióktól Az ábra forrása: [ 7 ]

Elemezzük a szöggyorsulások és a kerületi erő kifejezését, figyelembe véve a tömegtehetetlenségi nyomatékok valóságos értékét is! Megoldás: Ennek során úgy járunk el, hogy a fogaskerekeket homogén tömegeloszlású vékony tárcsának tekintjük, és erre alkalmazzuk a ábra táblázatának megfelelő képletét ábra Az ábra forrása: [ 8 ] A megfelelő táblázati képlet: Jz m ( / )

3 A tömeg kifejezése, az ismert módon: m V l ( / ) Most az ( / ) és ( / ) képletekkel: l ( 3 / ) Ezután képezzük a ( 37 ) képletben szereplő théták arányát! l l Továbbá a képletekben szereplő további tag / tényező: Most ( 3 ) és ( 5 / ) - gyel: M M M M Ezután ( 3 ) és ( 6 / ) - gyel: M M Végül ( 37 ) és ( 5 / ) - gyel: ( / ) ( 5 / ) ( 6 / ) ( 7 / ) M M M M K ( 8 / ) Egy egyszerű speciális eset: ( S ) Ekkor ( 6 / ) - ből ( S ) - gyel: M M ( 9 / ) Továbbá ( 7 / ) és ( S ) - gyel:

M M ( 0 / ) Végül ( 8 / ) és ( S ) - gyel: M M K ( / ) További specializációval: ha = = és M = M = M, ( S ) akkor ( 9 / ) és ( 0 / ) - ből ( S ) - vel: 0, azaz egyensúly van Ekkor ( / ) és ( S ) - vel: M K ( / ) 5 Mondjuk ki a teljesítménytételt, és állítsuk fel az átvitt teljesítmény, a forgatónyomaték és a fordulatszám összefüggését a rögzített tengely körül forgó merev test esetében! Megoldás: A rögzített tengely megnevezés azt jelenti, hogy a test nem végezhet haladó mozgást, mert azt a megtámasztásai / kényszerei megakadályozzák Eszerint a test mozgása: adott forgástengely körüli forgó mozgás Ennek vizsgálatához tekintsük a 3 ábrát! 3 ábra Kiindulunk abból a tényből, hogy a forgó test mozgási energiájának t idő alatti növekedése egyenlő a testre ható erőrendszer által ez idő alatt végzett munkával:

5 E W ( / 5 ) A befektetett munka: W F s ( / 5 ) Az elmozdulás: s tg ( 3 / 5 ) Kis szögekre érvényes, hogy tg ( / 5 ) Most ( 3 / 5 ) és ( / 5 ) képletekkel: s ( 5 / 5 ) Ezután ( / 5 ) és ( 5 / 5 ) képletekkel: W F ( 6 / 5 ) A testre ható F aktív és F reakcióerő erőpárt képez, melynek nyomatéka: M F ( 7 / 5 ) ( 6 / 5 ) és ( 7 / 5 ) - tel: W M ( 8 / 5 ) Most képezzük a megfelelő változási sebességeket, vagyis a megfelelő mennyiségek t időintervallumra vetített megváltozását! ( / 5 ) - ből: E W ( 9 / 5 ) t t ( / 5 ) - ből: W s F ( 0 / 5 ) t t Figyelembe véve, hogy a sebesség definíciója szerint s v, ( / 5 ) t vagy ( 5 / 5 ) - tel is: v ( / 5 ) t ( 0 / 5 ) és ( / 5 ) - ből kapjuk, hogy W F v ( 3 / 5 ) t Most ( 8 / 5 ) - ből: W M ( / 5 ) t t Figyelembe véve, hogy a szögsebesség definíciója szerint, ( 5 / 5 ) t

6 ( / 5 ) és ( 5 / 5 ) - ből kapjuk, hogy W M ( 6 / 5 ) t Átlagérték - képleteink annál pontosabbak, minél kisebb a vizsgált időintervallum, így t 0 esetén kapjuk a pillanatnyi változási sebességeket A munkavégzés sebessége: a teljesítmény: W P ( 7 / 5 ) t Most ( 9 / 5 ) és ( 7 / 5 ) - tel: E P ( 8 / 5 ) t Szavakban: a rendszer mozgási energiájának időbeli változási sebessége egyenlő az erőrendszer teljesítményével Ez a teljesítménytétel További fontos összefüggések az alábbiak ( 3 / 5 ) és ( 7 / 5 ) - ből: P F v, ( 9 / 5 ) vagy ( 6 / 5 ) és ( 7 / 5 ) - ből: P M ( 0 / 5 ) Ez az összefüggés tetszőlegesen változó forgás esetén is fennáll Most fejezzük ki az ω szögsebességet az n fordulatszámmal! Jelöljük a körülfordulások számát N - nel, valamint ΔN - nel a Δt idő alatt megtett körülfordulások számát! Ekkor aránypárral írható ld a 3 ábrát is!, hogy N ( / 5 ) Innen N, ( / 5 ) majd ( 5 / 5 ) - tel és az N n ( 3 / 5 ) t képlettel definiált fordulatszámmal: n ( / 5 ) Végül a ( 0 / 5 ) és ( / 5 ) képletekkel: P n M ( 5 / 5 ) Megjegyzések: M Az állandó speciális esetben írhatjuk, hogy

7 n, t T vagyis a szögsebesség és a fordulatszám összefüggése mindig ( / 5 ) szerinti M Az alkalmazásokhoz szükség van a mozgási energia kifejezésére Ehhez tekintsük a ábrát is! Az i - edik tömegpont mozgási energiája: Ei mi v i ( 6 / 5 ) Majd ( / 5 ) és ( 5 / 5 ) szerint: vi i ( 7 / 5 ) Most ( 6 / 5 ) és ( 7 / 5 ) - tel: Ei mi i ( 8 / 5 ) A forgó test mozgási energiája e rész - energiák összege, ahol az összegzés minden tömegpontra kiterjed ábra Képlettel: E Ei mi i mi i ( 9 / 5 ) Bevezetve a O mi i ( 30 / 5 ) képlettel definiált, az O forgástengelyre számított tömegtehetetlenségi nyomatékot, ( 9 / 5 ) és ( 30 / 5 ) képletek szerint: E O ( 3 / 5 ) Ha több test végez forgó mozgást, akkor az ezen A, B, C, stb testekből álló rendszer mozgási energiája az egyes testek részenergiáinak összege: E E E E ( 3 / 5 ) rendszer A B C

8 6* Összetett hajtómű mozgásának elemzése Adott a 5 ábra szerinti szerkezet Állítsuk elő a szerkezet mozgásegyenletét! Útmutatás: tekintsük a csapágyazásokat súrlódásmentesnek, az egyes elemeket pedig végtelenül merevnek! Megoldás: A feladat megoldásának elvi alapját az előzőekben kifejtett teljesítménytétel képezi Ehhez elő kell állítani a rendszer mozgási energiáját, az aktív erőrendszer teljesítményét, továbbá figyelembe kell venni a külső és belső kényszerfeltételeket is Forrása: [ 9 ] 5 ábra A rendszer mozgási energiája összetevődik az adott G súlyú test haladó, valamint a kerekek forgó mozgásának energiájából: Erendszer Eh E f ( / 6 ) Az emelkedő m tömegű test q elmozdulást végez, v G sebességgel és a G gyorsulással Mozgási energiája: Eh m v G, ( / 6 ) ahol G m, ( 3 / 6 ) g q vg q ( / 6 ) t A kerekek saját forgástengelyükre számított tömegtehetetlenségi nyomatékai:,, 3,, melyek adott mennyiségek Velük az egyes kerekek mozgási energiája: E f,i i i, ahol i =,, 3, ( 5 / 6 ) és ezzel

9 E E ( 6 / 6 ) f f,i i észletezve: ( 5 / 6 ) és ( 6 / 6 ) - tal E f 3 3 ( 7 / 6 ) Most ( / 6 ), ( / 6 ) és ( 7 / 6 ) - tal: Erendszer m v G 3 3 ( 8 / 6 ) Most vegyük sorra a belső kényszerfeltételeket! Az és a kerék közös tengelyen forog, így szögsebességük is egyenlő: ( 9 / 6 ) Figyelembe véve, hogy q, ( 0 / 6 ) kapjuk, hogy q vg ( / 6 ) t t Most ( 9 / 6 ) és ( / 6 ) - tal: v G ( / 6 ) A v 3 = v feltételből: 3 ( 3 / 6 ) 3 A v = v 3 feltételből: 3 3 ( / 6 ) Most ( / 6 ) és ( 3 / 6 ) - ból: v G 3 3 ( 5 / 6 ) Majd ( 3 / 6 ) és ( / 6 ) - ból: 3 vg v G ( 6 / 6 ) 3 Most helyettesítsük be a ( 8 / 6 ) képletbe a ( / 6 ), ( 5 / 6 ), ( 6 / 6 ) képleteket! Ekkor kapjuk, hogy

0 E v v m v G G rendszer G v v + G G 3 3 ( 7 / 6 ) endezve: Erendszer vg m 3 3 ( 8 / 6 ) Írjuk át ( 8 / 6 ) - ot az Erendszer m0 vg ( 9 / 6 ) alakba, ahol m0 m 3 3 ( 0 / 6 ) a rendszer általános tömege A ( 9 / 6 ) képlet azt fejezi ki, hogy a helyzet olyan, mintha a rendszer teljes mozgási energiáját egy m 0 tömegű, egyenes vonalú mozgást végző testbe sűrítettük volna Hogy ennek mi a haszna, az mindjárt kiderül Most írjuk fel az erőrendszer teljesítményét! a) A rendszerre ható külső erők: a G nagyságú súlyerő és az M 0 ( előjeles ) nagyságú forgatónyomatékkal jellemzett erőpár A súlyerő teljesítménye ( / 6 ) - tal is: P G ( G) vg G q, ( / 6 ) ahol már figyelembe vettük, hogy ~ az erő teljesítménye ( 9 / 5 ) szerinti; ~ az erő és az elmozdulás ( a teher emelésekor ) ellentétes előjelű A forgatónyomaték teljesítménye: PM M 0 0, ( / 6 ) ahol már figyelembe vettük, hogy ~ az erőpár teljesítménye ( 0 / 5 ) szerinti; ~ a forgatónyomaték és a kerék szögsebessége ( a teher emelésekor ) megegyező forgatóértelmű A csapágyakban ébredő támaszerők teljesítménye zérus, mert a csapágyak merevek és mozdulatlanok A csapágyakban nem ébred a forgómozgást akadályozó forgatónyomaték, hiszen a csapsúrlódástól eltekintettünk Így ennek teljesítménye is zérus nagyságú

b) A rendszerre ható belső erők: a kerekek közt fellépő kapcsolati erők Ezek teljesítménye is zérus, mert az érintkező elemek ( pl: a fogak ) alakváltozásait zérus nagyságúnak tekintettük, azok merevsége miatt Megjegyezzük, hogy az emelő kötél / láncról is feltesszük, hogy hajlításra lágy, húzásra viszont merev Ezek szerint az ezen fellépő belső erők teljesítményét is zérusnak vehetjük A szerkezetre ható külső erők teljesítménye: P P P ; ( 3 / 6 ) külső G M 0 most ( / 6 ), ( / 6 ), ( 3 / 6 ) összefüggésekkel: P G q M külső 0 ( / 6 ) A szerkezetre ható belső erők teljesítménye: Pbelső 0, ( 5 / 6 ) így az erőrendszer összes teljesítménye: Pössz Pkülső P belső ( 6 / 6 ) Most ( / 6 ), ( 5 / 6 ) és ( 6 / 6 ) képletekkel: Pössz G q M 0 ( 7 / 6 ) Majd ( 6 / 6 ) és ( 7 / 6 ) - tal is: q Pössz G q M 0 ( 8 / 6 ) endezve: Pössz q G M 0 ( 9 / 6 ) A zárójelben lévő kifejezés: az általános erő Jele: Q Azaz: Q G M 0 ( 30 / 6 ) Ezzel ( 9 / 6 ) így írható: Pössz Qq ( 3 / 6 ) Az utóbbi egyenlet azt fejezi ki, hogy a helyzet olyan, mintha a rendszer összes teljesítményét az egyenes vonalú mozgást végző testre ható Q általános erő szolgáltatná A teljesítménytétel matematikai kifejezése vö: ( 8 / 5 )! : d E rendszer P össz ( 3 / 6 ) dt A kijelölt differenciálást ( 9 / 6 ) - on elvégezve:

d d Erendszer m0 q m0 q q m0 q q dt dt Most ( 3 / 6 ), ( 3 / 6 ) és ( 33 / 6 ) képletekkel: m q q Qq 0 Egyszerűsítés után: Q m q 0 ( 33 / 6 ) ( 3 / 6 ) ( 35 / 6 ) Utóbbi egyenlet: a szerkezet mozgásegyenlete ( 0 / 6 ) és( 30 / 6 ) segítségével kifejtve: G M 0 m 3 q 3 ( 36 / 6 ) Megjegyzések: M ( 35 / 6 ) és ( 30 / 6 ) összevetéséből látható, hogy A) a G súlyú test akkor indul meg a nyugalomból felfelé, ha Q > 0, azaz, ha M0 G; ( 37 / 6 ) B) a G súlyú test akkor marad nyugalomban, ha Q = 0, azaz, ha M0 G; ( 38 / 6 ) C) a G súlyú test akkor indul meg a nyugalomból lefelé, ha Q < 0, azaz, ha M0 G ( 39 / 6 ) M A (35 / 6 ) egyenlet egyszerű alakú, könnyen integrálható, azaz belőle a mozgások időfüggvényei, stb különösebb nehézség nélkül előállíthatók M3 Vegyük észre, hogy a szerkezet mozgásegyenlete egy általános koordinátát ( q ) tartalmaz, azaz a rendszer egyszabadságfokú M Látjuk, hogy a ( 35 / 6 ) mozgásegyenlet az általános erő, az általános tömeg és az általános koordináta második differenciálhányadosa közti kapcsolatot rögzíti

3 7* Motor szükséges hajtónyomatékának meghatározása előírt geometria, előírt üzemi fordulatszám / szögsebesség és előírt felfutási idő ismeretében Adott a 6 ábra szerinti hajtómű Forrása: [ ] 6 ábra A teljesítménytétel segítségével határozzuk meg azt a szükséges M A hajtónyomatékot, amivel a Θ 3 tömegtehetetlenségi nyomatékú forgórész T idő alatt nyugalmi helyzetéből lineárisan növekvő módon az ω 3 = Ω szögsebességre tesz szert! A hajtás súrlódási veszteségei elhanyagolhatóak Megoldás: A feladat feltétele szerint a forgórész szöggyorsulása állandó: 3 3, ( / 7 ) t T innen t 3 ( / 7 ) T Most fejezzük ki a többi szögsebességet is ω 3 - mal! A kinematikai kényszerfeltételek miatt: r r ; ( 3 / 7 ) r3 r 3; ( / 7 ) ( 3 / 7 ) és ( / 7 ) - ből: r r 3; ( 5 / 7 ) r r3 r 3 ( 6 / 7 ) r 3

A rendszer mozgási energiája: E 3 3 ( 7 / 7 ) Most helyettesítsük be ( 5/ 7 ) és ( 6/ 7 ) képleteket ( 7 / 7 ) - be! r r r E 3 3 3 3 * 3, r r 3 r 3 ( 8 / 7 ) ahol r r r * 3 3 3 3 r r 3 r ( 9 / 7 ) 3 a redukált tömegtehetetlenségi nyomaték A ( 8 / 7 ) egyenlet azt fejezi ki, hogy a rendszer mozgási energiája akkora, mintha az ω 3 szögsebességű forgórész tömegtehetetlenségi nyomatéka Θ* lenne Úgy is mondhatjuk, hogy a szerkezet mozgását a forgórész forgó mozgásához redukáltuk vö: [ 8 ] A hajtónyomaték teljesítménye: P M A ( 0 / 7 ) Most ( 5 / 7 ) és ( 0 / 7 ) - tel: r r P M A 3 ( / 7 ) r r 3 A teljesítménytétel: E P, ( / 7 ) majd ( 8 / 7 ) és ( / 7 ) felhasználásával: r r * 3 3 M A 3, ( 3 / 7 ) r r3 amiből r r3 M A * 3 ( / 7 ) r r Most ( / 7 ) - ből: 3, ( 5 / 7 ) T így ( / 7 ) és ( 5 / 7 ) képletekkel: r r3 M A * r r T ( 6 / 7 )

5 Irodalomjegyzék: [ ] Hans - Jürgen Zebisch: Dinamika öviden és tömören Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 977 [ ] E M Nikitin: Teoreticseszkaja mehanika dlja tehnikumov Izdanije deszjatoje, pererabotannoje, Nauka, Moszkva, 978 [ 3 ] Diószegi György: Gépészeti ismeretek és adatok Ipari szakkönyvtár sorozat Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 97 [ ] http://wwwdirk-froehlingprivatt-onlinede/page7/files/mechanikaufgabenpdf [ 5 ] L E Goodman W H Warner: Dynamics Dover Publications, Inc, Mineola, 00 [ 6 ] http://uploadwikimediaorg/wikipedia/commons/c/c/involute_wheelgif [ 7 ] E N Dubejkovszkij - E Sz Szavvuskin - L A Cejtlin: Tehnicseszkaja mehanika Moszkva, Masinosztrojenije, 980 [ 8 ] Szerk: M Csizmadia Béla - Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek Mozgástan Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 997 [ 9 ] Béda Gyula - Bezák Antal: Kinematika és dinamika Tankönyvkiadó, Budapest, 99 Sződliget, 008 június 3 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár