Hódi Gyul Fizik ietőknek I. év, Mechnik korrepetálái egédnyg v3. Szi. Ez egédnyg Fizik döcögőknek cíű tnkönyve 3. jelű telje verziójánk kivont. Azoknk állított öze, kiknek ninc zükége gyráztr, ck zeretnék özezedve egkpni "Szilárd tetek echnikáj" téájához trtozó törvényeket, képleteket, definíciókt, kijelentéeket. Alkl tnultk áttekintéére, felidézéére, é feldtok egoldákor egy gyor egédezközként i hználhtó. H bárelyik itt felorolt tételhez pontobb iertetére, rézlete gyráztr, egítő ábrákr, egoldott példfeldtokr lenne igényed, kered fel http://fizikegiteg.tw.hu weboldlt. A telje változt oldl terjedelű. Az elékeztetőül eghgyott néhány lekicinyített ábrát jobbn egnézheted, h nézetet ngyítod. A PDF-néző progrokkl (XChnge, Foxit, Adobe) fájlt kieeléekkel é egjegyzéekkel kiegézítve elentheted. H tetzik ez egédnyg, kkor ozd eg, hzno lehet ánk i. Vlózínűleg obilodon i eg tudod nézni, de ne felejtd el, hogy dolgoztírákor ez i pukánk záít. Nézd eg http://fizikegiteg.tw.hu oldlon, hogy ninc-e ott egy ennél friebb változt.
Tetek zbdon terjezthető Tetek Tetek Töeg Minden tetnek vn töege, ez z nyg elválzthttln tuljdonág. A töeg z nyg ennyiégét jelenti. Az SI rendzerben töeg lpértékegyége kilogr, nnk ellenére, hogy zó gr ezerzereét (kilo) jelenti. (Lád ég könyv végén PREFIXUMOK fejezetet.) A töeg két lényegi tuljdonágávl válik záunkr érzékelhetővé é érdekeé: tehetetlenégével é töegvonzáávl. Töeg ne eiíthető eg é eiből ne keletkezhet. A zárt rendzerben levő töeg állndó. Hlzállpot A háro áltlánon iert hlzállpot: zilárd, folyékony é légneű. Negyedik hlzállpotnk tekintik plz állpotot, ikor z extré forró nygból ár z elektronok i elzálltk, é rdt egy protonokból é neutronokból álló ionfelhő. A légneű hlzállpotot ne nevezhetjük egyzerűen gáznk, ert légneű pár é gőz i, é áltlábn gázbn oldott folydék. A légneű nygok özenyohtók vgy ritkíthtók, ekkor térfogtuk é űrűégük változik. A folydékokt özenyohttlnnk tekintjük, térfogtuk é űrűégük erő htáár ne változik eg. Sűrűég A űrűég tet nygából vett, egyégnyi térfogtú drbnk töege. A térfogt egyége z SI rendzerben 3. r hol r (rhó) űrűég, tet töege, V pedig térfogt. A űrűég értékegyége V kg [] r 3 A feldtokbn rendzerint egyenlete űrűégű, hoogén nygú tetek zerepelnek. A űrűég kicit függ z nyg hőérékletétől, gázok eetében nyoáától i. Töegközéppont H egy tetet egforgtv feldobunk, kkor indig egy bizonyo pontj körül fog forogni, bárelyik irányb. Ezt pontot töegközéppontnk hívjuk. Itt vn "z nygánk" középpontj. Hoogén, egyenlete űrűégű tetben töegközéppont tet értni középpontjávl eik egybe. Inhoogén, egyenetlen űrűégű tetben vizont ez pont űrűbb réz felé tolódik. Több tetnek i eghtározhtó közö töegközéppontj. Egy rendzer teteinek közö töegközéppontj rendzer centru. Mozgátni feldtokbn, képzeletben gykrn helyetteítünk egy tetet egy vele zono töegű, töegközéppontjábn levő, pontzerű objektul. Erről zól töegközéppont-tétel: Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) / 54
Tetek zbdon terjezthető Egy pontrendzert egyenértékűen helyetteíthetünk közö töegközéppontjukb helyezett képzeletbeli töegponttl (z egyenúlyi é ozgátni feldtokbn). A helyetteítő töegpont töege z egéz rendzer öztöegével egyenlő. A pontzerű töeget úgy i hívjuk, hogy töegpont. A töegpontok egyforán egyetlen pontnyi éretűek, de töegük különböző lehet, bárennyi. A pontrendzer olyn pontzerű töegeket jelent, elyek egyál kpcoltbn vnnk, é egyége vielkedéű rendzert lkotnk. Egy tet i pontrendzer. Pontzerű töeggel tetek bárelyik coportj i helyetteíthető. A centru helye egéz ponton kizáíthtó, érleghint-zbály zerint. H é jelöli két tet töegét, kkor centru, piro pont úgy fog elhelyezkedni, hogy igz legyen következő: k k hol k é k centru távolági z é tetektől, hogy z ábr uttj. Vedd ézre, hogy z indexek egfordulnk. A fenti képlet írhtó áképp i: k k k k Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 3 / 54
Erők zbdon terjezthető Erők Erők Elékeztetlek, hogy ez egédnyg ck kivont Fizik döcögőknek cíű tnkönyvből, i neten egkerehető. Erő Az erő nygi tetek egyár htáánk foráj é értéke. H egy tet ozgá vgy lkj egváltozik, zt cki egy erő okozhtt. Az erőt indig egy tet hozz létre, közvetlenül vgy erőtér közvetítéével htv áik tetre. Az erő vektorennyiég, zz vn ngyág é irány i. Az erővektor vonlábn elhelyezett egyenet z erő htávonlánk hívjuk, z erő tádápontj pedig z pont, hol z erő tetre ht. Az erővektort jelképező nyilt indig úgy helyezzük el rjzon, hogy nyíl kezdőpontj kerül z erő tádápontjához. Az erő "továbbdódht" egy erev teten kereztül. A gykorltbn z erő továbbdáár jellegzeteen hznált ezköz egy rúd vgy egy kötél, z utóbbi ck húzó iránybn. Az erő jele F (force), de néh á ngybetűvel jelöljük, például úly eetében G-vel. A értékegyége z SI értékegyégrendzerben newton (N). Mivel z erőt tet töegének é z erő htáár létrejövő gyoruláánk zorztából zárzttjuk (lád kéőbb), értékegyég egfeleltetée kg N A úly i z erő egyik előfordulái foráj, lád SÚLYERŐ fejezetet. Egy kg töegű tet úly (tengerzinten) 9,80665 N, ezt feldtokbn gykrn 0 newtonr kerekítjük. Az erő vektorát rjzokon eltolhtjuk ját htávonl entén, h záítát vgy értelezét ez egkönnyíti. A két vektor ilyenkor egyenértékű. Kölcönhtá, ellenerő Newton III. törvénye (A htá ellenhtá törvénye): H egy tet erőt (htát) fejt ki egy áik tetre, kkor z tet ugynott egy ugynkkor, de ellentéte irányú ellenerőt (ellenhtát) fejt ki erre tetre. A két erő egyát kiegyenlíti. A két erővektor egy vonlb eik. Vigyázz, indig figyelj od rr, hogy elyik erő elyik tetre ht. Az ellenerő egy "ktív" erő "pzív" ellenerejeként zületik, igzodik hozzá, kiegyenlíti zt. Az ktív erőt vli létrehozz, erre tetre htv, itől ebben tetben ellenerő indukálódik, i áik tetre vizht. Két ktív erő i kiegyenlítheti egyát, például egy hrpófogóbn. Egy ík felület, például egy fl vgy egy lejtő áltl kifejtett ellenerő indig íkr erőlege. Eredő erő Newton IV. törvénye zerint H egy tetre egyidejűleg több erő ht, kkor zok záítáokbn egyenértékűen helyetteíthetők egyetlen erővektorrl, ely többi erővektor tetiki vektorözege, fizikábn hznált zóvl EREDŐJE.. eet: zöget bezáró erők. Az eredőt forilg egy zerkeztéel tláljuk eg. Két vektor eredőjének egtláláához két vektorból egy prllelogr két oldlát hozuk létre, é z eredőjük ennek prllelogránk közö kezdőpontból induló átlój. A ódzert prllelogr-zbálynk hívjuk. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 4 / 54
Erők zbdon terjezthető Iert F é F, vlint z áltluk bezárt d zög. Áltláno eetben z eredő ngyág: Fe F + F + F F co d co 90 0, ezért h két vektor derékzöget zár be, kkor: e F F + F. Az eredő irányát vlelyik erőhöz vizonyítv djuk eg. Az F é F e áltl bezárt e zög kizáítá: F in e F Derékzöget bezáró erőknél d90, ekkor in d. e in d. eet: z erők htávonl egybeeik. Ekkor vektorok hoz előjeleen özedndó. F F F e F F e F Párhuzo htávonlú erők eredője Adott két erő (F, F ), elyek htávonli egyál párhuzok, távoláguk d. Kereük két erő eredőjét. Az eredővektor ngyág z erők ngyágánk előjele özegével egyenlő. Az eredő htávonl párhuzo z erőkkel. A htávonl helyét úgy kell kizáítni, hogy érvénye legyen rá érleghint-zbály: d F F e F k k F k F k hol F-fel z erőket, k-vl z eredő erőtől leendő távolágukt jelöltük. Az eredő htávonl tehát od kerül, hol érleghint látáztá lenne z egyenúly egtlálá után. Az eredő indig ngyobb erőhöz vn közelebb. Az ábr lpján k d - k, ebből k F d. F + F Az eredő erőkoponenei Newton IV. törvénye egfordíthtó: Minden erővektor helyetteíthető két olyn vektorrl, elyeknek ez z erő z eredője. A prllelogr-zbályt hználjuk "vizfelé". Mindig ellenőrizd prllelogrzbállyl, hogy z eredeti vektor vlóbn eredője legyen két kpott vektornk! Egy vektorhoz végtelen ok özetevő-páro tlálhtó, zért, ert két koponen záár bárilyen irányb kijelölhetjük htávonlkt. Te úgy válztod ki egfelelőt, hogy vlilyen gykorlti zepont lpján előre kijelölöd két özetevő htávonlát. F F G Az egy eredő kétfelé történő párhuzo felbontáánk elve híd-zbály. Kényzererő Szbderőnek nevezzük zokt z erőket, elyek htáár egy tet zbdon elozdulht. H egy kényzer ezt ozgát korlátozz, kkor ozgá kényzerozgá. A kényzert létrehozó erő kényzererő. A kényzererők egy réze egy erő ellenerejeként zületik. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 5 / 54
Erők zbdon terjezthető Kötélerő A kötél (fonál) olyn tet, ely révén erő továbbíthtó. Kötéllel ne tudunk eltolni egy tetet, hogy egy bottl, kötél ck húzni tud. Az egyene kötél áltl létrehozott húzóerő htávonl kötél vonlábn vn. H kötél ne egyene, kkor htávonl inden pontnál kötél érintője. A kötélre ne lehet forgtónyotékot (lád kéőbb) kifejteni, ert kötél ne zilárd tet. H egy kötél erőt fejt ki egy tetre, kkor htá ellenhtá törvénye zerint tet i erőt fejt ki kötélre, ellentéte iránybn, kötelet húzv. Töegvonzá, grvitáció A töeghez, hlzállpotától é ennyiégétől függetlenül, elválzthttlnul hozzátrtozik egy belőle zárzó erő, töegvonzá, á zóvl grvitáció. Ez htá jelenlegi iereteink zerint göbzietriku, ne árnyékolhtó, ne téríthető el, ne növelhető vgy cökkenthető, é ck végtelenben cökken nullár. A töegvonzái erő két töeg között jön létre: F grv f r hol é két tet töege, r töegközéppontjuk közötti távolág, f pedig grvitáció állndó, elynek értéke: f 6,7 0 - N kg A htá ellenhtá törvényéből következően te ponton kkor erővel vonzod Földet, int ennyivel z vonz téged. A két erő vektor két töegközéppontot özekötő egyenere illezkedik. Nehézégi erő Azt z erőt, ivel Föld tetet vonzz, nehézégi erőnek hívjuk. Ez z erő egyeneen rányo tet töegével, é tetre ht. A jele G vgy F G, értékegyége newton. A htávonl függőlege, z irány lefelé utt, tádápontjánk tet töegközéppontját tekintjük. A nehézégi erő hozz létre úlyerőt. A úly "eltűnhet", de nehézégi erő indig egrd. G Súlyerő Egy tet úly z z erő, ivel ozdultln tet z látáztát vgy felfüggeztét nyoj. Minden tetnek vn (vgy lehet) úly. A úlyerő forrá tet nehézégi ereje. A nehézégi erő ht tetre, úlyerő ht z látáztár. A htá ellenhtá törvénye zerint tet áltl nyoott látáztá i nyoj tetet, egy ugynkkor ellenerővel. Aikor tet ozdultln, kkor úlyerő egegyezik nehézégi erővel, ozgó tet külön té. A úlyerő jele i G vgy F G, értékegyége newton. A úlyerő kizáítá: G G g hol tet töege (kilogrbn), g (z ún. nehézégi gyorulá) értéke ~0 (9,80665) N/kg. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 6 / 54
Erők zbdon terjezthető Forgtónyoték H egy zilárd tet egy pontját cuklóvl vgy tengellyel rögzítjük úgy, hogy tet e pont körül el tud fordulni, kkor tetre htó erő tet elforgtáár törekedik. Egy erő elforgtó htá ngyobb kkor, h z erőt egnöveljük, é kkor i, h z erőt forgáponttól távolbb lklzzuk. O F k O Az erő elforgtó htáát kifejező ennyiég neve forgtónyoték. Erőkrnk hívjuk z erővektor htávonlánk erőlege távolágát forgáponttól. Ne tádápont é forgápont közötti távolág záít. Az M forgtónyoték egyeneen rányo z F erővel é k erőkrrl, zz M F k A forgtónyoték értékegyége, képletből i következően newtonéter: [ M] N A forgtónyoték indig egy dott forgápontr vontkozik. H forgápontot áthelyezzük, egváltozik forgtónyoték i. A feldtok egoldákor zilárd tetet helyetteíthetjük egy úly nélküli, vékony, végtelenül teherbíró rúddl, elynek egyik vége forgápontbn cuklón vn rögzítve, z ábrán láthtod. H egy erő htávonl átegy forgáponton, kkor z erőkr hoz, zz k távolág 0, tehát z erő forgtónyoték i 0. H forgápont rögzített, kkor tetnek z pontj ehogy e ozdíthtó el, ck forgthtó. Elfordulá történhet rögzítetlen, ck z dott helyzetből kilkuló eeti forgápont körül i, int például egy lád felbillentéekor. H egy olyn tet forog, elynek ninc e rögzített, e eeti forgápontj, kkor forgá tengelye tet töegközéppontján egy át. H egy erev, elfordulni képe teten egy erővel forgtónyotékot hozunk létre, kkor tet nyoték irányáb elfordul. + A forgtónyoték értékének előjele i vn. Pozitív iránynk z óruttó járáávl ellentéte forgái irányt vezük. H egy forgápontbn rögzített tetre több erő i ht, kkor indegyik ját forgtónyotékot hoz létre. Több erő közö forgtónyoték egyenlő z egye forgtónyotékok előjele özegével. Mérleghint Az egyenúly fenntrtáához két gyerek úly áltl létrehozott forgtónyotékok kiegyenlítik egyát, z özegük null. A két forgtónyoték ngyág egyenlő, z előjelük ellentéte. M -M F k -F k F F k k Mozdultlnág Egy tetet ozdultln tekintünk, h z e forgó, e hldó ozgát ne végez. Egy tet kkor é ck kkor vn forgái egyenúlybn, h tetre htó erők forgtónyotékink bárelyik pontr vontkoztott előjele özege null. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 7 / 54
Erők zbdon terjezthető Egy tet ck kkor áll, h tetre htó erővektorok eredője null. Háro ne párhuzo erő eredője ck kkor lehet null, h háro erő htávonl egy pontbn etzi egyát. H egy feldt egdj tetekre htó erőket, kkor vlhogy leírj zt i, hogy elyik tet(ek) ozdultlnágát kell egvizgálnod, eggyráznod. Kézít ponto vázltot gdnk rról, hogy z dott tetre elyik erők htnk. Ne hgyj ki egyet e, de ne vegyél bele olyt e, elyik áik tetre ht. Az erőtni feldtokbn indig egyenúlybn levő rendzert vizgálunk. H cél egy tet egozdítá, kkor e ozgáát krjuk leírni, hne egozdulá előtti pillntbn érvénye htárhelyzet erőit. H tet ozgáát befejezte, kkor pedig leírjuk létrejött új egyenúlyi helyzet erőit. A ozgáokról zóló fejezetekben egyál ne egyenúlybn levő erők fognk zerepelni. Súlypont A feldtokbn é z egyzerűített odellekben úgy vezük, hogy tet úly töegközéppontjábn ht. Ezt pontot inkább úlypontnk nevezzük kkor, h tetek egyenúlyát nézzük, é h tetnek vn úly (lád SÚLY). Egyenúly Egyenúlynk z elozdíthtó tetek ozdultln helyzetét hívjuk. A ozdultlnág törvénye zerint ekkor tetre htó erők forgtónyotékink forgápontr vontkoztott előjele özege null. A forgápont lehet rögzített vgy eeti. A zbdegyenúly z "igzi" ozgái egyenúly. Ekkor tet ozdultln, de ár legkiebb erővel i el lehet ozdítni vlennyire. Kényzeregyenúly fennállákor tetet egy kényzererő trtj ozdultlnul. A tet kiozdíthtó, de ck egy dott értéknél ngyobb erővel. Forgái zbdegyenúlybn vn tet, h ki erőtől i el tud fordulni, de ot ozdultln. Egyenúlytípuok A létrejött egyenúlyi helyzetekben rendzer várhtó vielkedée eltérő. Stbil egyenúlyi helyzetnek zt nevezzük, ikor z bból vló bárilyen kiozdítá után tet viztér z egyenúlyi helyzetébe. Mettbil helyzetnek z olyn tbil helyzetet nevezzük, ikor tet egy kiebb kitérítéből ég viztér z egyenúlyi helyzetbe. Tovább távolítv kezdeti helyzettől tet elér egy intbil állpotot, zon túl pedig ár kezdeti helyzettől távolodni próbál, egy új (et)tbil egyenúly felé törekedik. A távolodá értéke, jellege ne záít, ck z, hogy rendzer ck egy htáron belül rd tbil. A tbil helyzetek ngy réze ck ettbil, ert ritk z olyn zbdegyenúly, ely inden htáron túli kitéríté eetén i vizáll. Kényzeregyenúly ck tbil vgy ettbil lehet. Intbil, á zóvl lbili helyzet z, ikor tet legkiebb kiozdítá után gától tovább távolodik kezdeti helyzetétől. A kiozduló tet végül egállpodik egy vlilyen á, ne intbil helyzetben. Selege, á zóvl közöbö vgy indifferen z egyenúlyi helyzete egy vízzinte ztlon levő golyónk, ert h bárennyit i elozdítjuk, kkor egrd z új helyzetében. Féltbil képen láthtó, ztlr állított tet helyzete. A úlyvonl átegy tet egyik lehetége forgápontján. Pozitív iránybn (blr) intbil, z ellenkező iránybn vizont tet kényzertbil. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 8 / 54
Erők zbdon terjezthető Súlypontáthelyezé Az "egyenúlyozá" zt jelenti, hogy tetünk lbili egyenúlyát próbáljuk egtrtni. Egy fékező buzon erre háro lehetége ód dódik: ) A úlypont vízzinte elozdítáávl növeljük úlyerő erőkrját; ) Az eeti forgápont vízzinte elozdítáávl növeljük úlyerő erőkrját; 3) A úlypont lejjebb vitelével cökkentjük kitérítő tehetetlenégi erő erőkrját. Stbilitá Két tet közül zt tekintjük tbilbbnk, elyik ngyobb kitérítő erőt viel el elozdulá nélkül. Két tet tbilitáát gykorltbn úgy honlítjuk öze, hogy várhtó kitérítő erő jellegét é htávonlánk gágát i figyelebe vezük. A tehetetlenégi erő, centrifugáli erő é úly i úlypontbn ht. Egy elbillenthető tet ettbil kényzeregyenúlybn vn, h úlyvonl jelenlegi feltáztá lehetége eeti forgápontji közé eik. H úlyvonl egy forgáponton egy át, kkor féltbil egyenúly jön létre. Stbil helyzetben levő tet eetében inden eeti forgápontr úly forgtónyoték jelenlegi helyzet egtrtáár törekedik. A tbilitá ne inden iránybn zono. Az elondottk több, egyához ereven rögzített tetre i érvényeek. Az egyenúly vizgáltkor ez eetben rendzer közö úlypontját kell figyelni. Egyzerű gépek Eelők Az eelő z lpelve zerint egy erev, forgápontbn rögzített rúd, elyre két erő ht, rúdr erőlegeen. Az egyik erő teher ereje, elynek távolág forgáponttól teherkr. A áik erő teher ellenúlyozáához, elozdítáához lklzott erő, ennek távolág forgáponttól z erőkr. H teherkr é z erőkr forgápont két oldlár eik, kétkrú eelőnek hívjuk, h pedig z erőkr é teherkr forgápont zono oldlán vn, egykrú eelőről bezélünk. Az eelő egyenúlyánk feltétele, hogy két erőnek forgápontr vontkozttott forgtónyoték kiegyenlíte egyát. F - k F k hol F z erők, k krok jele. A negtív előjelnek közönhetően F k +F k 0. k F k F k k F F F F K B hol z erőáttétel jele (áhol töeget jelöljük -el), F B z lklzott, befektetett, beenő erő, F K teherkr végén kpott, kienő erő. Az áttétel egy rányzá, ninc értékegyége. Az eelőket feldtokbn egyene vonlú rúdként zoká ábrázolni, de ennek echnizuát hznált erev tet (rúd) vlójábn kkor i követi, h z erőkr é teherkr egyál ne egy vonlb eik, hne forgápontnál zöget zárnk be. O Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 9 / 54
Erők zbdon terjezthető Cig Az állócig kereke felfoghtó olyn kétkrú eelőként, elynek teher- é erőkrji zono hozúágúk. A cig ebből következően ne változttj eg z erő ngyágát, z erőáttétel ponton. A rjt átvetett kötél egítégével cki z lklzott erő irányát tezi záunkr egfelelőbbé. Hengerkerék A kötelet teherrel egy hengerre cvrjuk fel, hengerhez ereven rögzített, ngyobb átérőjű kerék forgtáávl. Itt i egy kétkrú eelő elve rejlik: henger ugr teherkr, kerék ugr z erőkr. Az erőáttétel -nél ngyobb. Hengerkeréknek tekinthetjük zt gykori egoldát i, ikor egy kereket vgy kötéldobot egy krrl ozgtunk. Ilyenkor kr úgy vehető, inth kerékből egy pontot hgytunk voln eg, kör többi rézét leeelve. Lejtő, ék, cvr A lejtőt tetek gbbr eelééhez hználjuk úgy, hogy ehhez tetet oldliránybn tolnunk kell. A lejtőre tett tetre ját nehézégi ereje é lejtő áltl rá gykorolt látáztái erő ht. A tetet lejtő entén lefelé tolj z eredő erő lejtőirányú vektorkoponene. Az erő lejtő hjlázögének ieretében zögfüggvényekkel záíthtó ki. Olyn i vn, hogy lejtőt toljuk tet lá, zért, hogy zt elozdítuk, egeeljük; ez z ék. Az eelő unkát egy ngyon hozú, é egy hengerre felcvrt ékkel i végezhetjük, ez cvr. F ny G Alkváltozáok H egy tetre egy erő ht, kkor z tet lkjábn vlilyen változát okoz. H egy rugl tetnél deforáló erőt egzüntetjük, kkor tet viznyeri z eredeti lkját. A rugltln tet egőrzi z utoló terhelé áltl kilkított lkját. Az lkváltozáok hrdik típu töré vgy zkdá. Minden érintkezée erőhtá eetén indkét tet lkváltozát zenved. A töegvonzái erő é á erőterek htá kivételt jelent. A töegvonzá egyzerre ht tet inden tojár, ezért ez z erő egyához képet ne próbálj elozdítni z tookt. Az lkváltozánk záo foráj vn, lehjlá, nyúlá, cvrodá é áok. Egy tet növekvő erő htáár átegy rugl, rugltln é zkdáo lkváltozáon. Ruglági erő H egy tet erőt fejt ki egy rugór (é bárilyen rugl tetre), kkor ezzel deforálj, zz egváltozttj rugó lkját, éretét. A rugóerő z z ellenerő, ivel deforáló erőre válzul rugó nyoj tetet. A rugóerő z özenyoá értékétől függ. A rugór z özenyoáához erőt kell kifejtenünk. Egyenúly eetén ez indig zono ngyágú é ellentéte irányú rugóerővel. A rugó ját ereje indig rá htó külő erővel ellentéte, kár húzzuk, kár nyojuk rugót. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 0 / 54
Erők zbdon terjezthető A rugó terheletlen állpothoz ért lkváltozáánk értéke egyeneen rányo benne ébredő rugóerővel. Az rányoági tényező neve rugóállndó. F D (l0 r - hol Fr rugóbn keletkező erő, D rugóállndó, z özenyoott rugó jelenlegi hoz, 0 terheletlen állpotbn rugó hoz. Az özefüggé lineári erőtörvény néven i iert, ivel z erő é hoz kpcolt lineári, zz egyene vonlll ábrázolhtó. A rugóállndó értékegyége [ ] D N A feldtok néh terheletlen (l 0 ) é terhelt hoz (l) helyett közvetlenül terheletlen hoztól ért hozváltozát, z özenyoát dják eg, jele d, é ivel dl 0 -l: l) l l 0 F r d F r D d Ez törvény ne inden rugór igz. Ck nnyit ondhtunk, hogy h tudjuk, hogy egy dott rugór érvénye, kkor nnk rugónk z erejét, hozát é rugóállndót egyából ki tudjuk záolni, képlet lpján. A rugór i igz, hogy túlterhelé eetén rugltln, végül zkdáo lkváltozá jöhet létre benne. A lineári erőtörvény ck korlátozott erőtrtoánybn érvénye. A tnkönyvi F r -D Dl képlet hibáj z, hogy ne látzik rjt, hogy Δl zokától eltérően itt cki terheletlen állpottól vló távolágot jelöli, é ne hoz egváltozáát. Helyette: D F r D Dl hol Dl rugó hozábn bekövetkezett báriféle változá, DF r rugó erejében bekövetkezett változá. A negtív előjelet zért hgyt el, ert egtéveztő. A terhelő erővel vló ellentéteég inden erő ellenerő kpcoltr igz, ne célzerű rugó erejét ilyen zepontból egkülönböztetni. A rugóerő rugó indkét végén jelentkezik, é indkettővel egyenúlyt trt egy-egy, rugór htó erő. Nyoá (echniki) Egy tet áltl áikr gykorolt nyoóerő ne ck özeégében lehet záunkr érdeke. A echniki nyoát úgy kell kizáítni, hogy nyoóerőt oztjuk nyoott felület ngyágávl: p F A ny ny z eredény p nyoá, elynek értékegyége pcl. N [] p P Vigyázz, ert h tet lábkon áll, vgy egy pereen, kkor ck z érintkezéi felület területét kell A ny -ként záítáb venni. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) / 54
3 Hldó ozgá zbdon terjezthető 3 Hldó ozgá Hldó ozgá Elékeztetlek, hogy ez egédnyg ck kivont Fizik döcögőknek cíű tnkönyvből, i neten egkerehető. Út A ozgánk indig vn egy vonl, ennek vonlnk neve pály. A pályát tet fiziki odelljeinkben, záítáinkbn okzor tet töegközéppontj járj be. A pályánk okzor egdjuk z irányát i. A záítáok orán ennek pálygörbének egy kiválztott zkzávl fogllkozunk, ez pályzkz egtett út, jele rendzerint. Az úthoz indig trtozik egy idő, ely ltt tet z utt bejárt. Az út két végpontj közötti távolág z elozdulá, jele rjzon d. Ez indig egy egyene zkz. Az utt rövid elozduláok özegével i egközelíthetjük. Elvileg inden út elozduláok oroztár bonthtó. d d d d 3 d4 Egyene vonlú egyenlete ozgá Egyenlete ozgáon zt értjük, ikor tetnek ozgá kezdőpontjától vló távolágábn bekövetkező változá é z indulá pillntától záított időben bekövetkező változá értéke egyál egyeneen rányo, é hánydouk t állndó. Máképp foglzv: tet áltl bejárt bárekkor útzkz é z közben eltelt idő hánydo indig ugynz, ennek z értéknek neve ebeég, jele v (velocit). Tetzőlege időintervllur felírv változá rányát D - v Dt t - t hol egtett út hoz, D z ebben bekövetkezett változá értéke, ért útzkz hoz, Dt pedig z ezltt eltelt idő. A ozgá kezdőpontjától é kezdőpillntától ért telje értékekre ugynez z özefüggé ebeég értékegyége v t [] v Egyenlete ozgánál ebeég állndó. Egyene vonlú pályán z út zono z elozdulál. Változó ebeéggel bejárt útról ck z átlgebeég állpíthtó eg, ely végül özeen egtett úthoz é z özeen hhoz igénybe vett idő hánydo. A ebeég vektorennyiég, ezért, z erővektorhoz honlón, felbonthtó két kívánt irányú koponenre, lád EREDŐ ERŐ. / 3,6 k/h. Egy tet ebeégén z egyzerűbb kinetiki feldtokbn tet töegközéppontjánk, vgyi tetet helyetteítő töegpontnk ebeégét értjük. H tet ozgá közben forog i, kkor ugyn különböző pontjink pályegyenehez vizonyított ebeége ne egyége, de ez z egéz tet hldáár ninc htál. 0 0 v t Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) / 54
3 Hldó ozgá zbdon terjezthető Gyorulá Gyorulánk nevezzük ebeég változáát. Mivel ebeég vektorennyiég, ezért z egváltozik kkor, h ngyág változik (nő vgy cökken), de kkor i, h z irány változik eg. A legegyzerűbb eetben gyorulánk nevezzük zt z egyene vonlú pályán történő ozgát, ikor tet áltl zono időegyégek ltt egtett út indig ugynnnyivl nő, ekkor gyorulá egyenlete. A tet áltl bejárt bárekkor útzkz átlgebeégének é z közben eltelt időnek hánydo indig ugynz, ennek z értéknek neve gyorulá, jele (ccelertio). Tetzőlege időzkzr felírv változá rányát: v t Dv Dt vt - v t - t 0 0 hol v töegpont ebeégét jelenti áltlánoágbn, t pedig z időt. Gyorulákor ebeég változik, é Dv változát, kezdeti é végebeég különbégét jelenti, Dt z órán közben leketyegett időzkz hozát. H kezdőpillntbn z idő é ebeég i 0, é ebeég változá egyenlete, kkor: v t gyorulá értékegyége [] Az egyenleteen gyoruló ozgábn z út é z idő egyál négyzeteen rányo, eitt kettő kpcoltát leíró görbe prbol. A ebeég é z idő vizont egyeneen rányo, függvény lineári, lád fentebb. A gyorulá vektorennyiég, ezért, z erővektorhoz honlón, felbonthtó két kívánt irányú koponenre, lád EREDŐ ERŐ. A lulá i gyorulá, ilyenkor z negtív záértékű. t v t t v t Á t Ë Ê v ˆ Gyorulá kezdőebeéggel Vnnk eetek, ikor tet gyorulá egkezdée előtt ár egy bizonyo egyenlete ebeéggel ozgott. A gyorulá ebeégváltozá, ezért ebeég kezdőebeégből indul, é gyorulá innen indulv változtt rjt. A gyorulál álló helyzetből egtehető úthoz indig hozzá kell dni zt z utt, elyet tet gyorulá nélkül egtenne. Özeítve v - v 0 v - v v v0 + t t t v0 + v v0 t + t t 0 Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 3 / 54
3 Hldó ozgá zbdon terjezthető Az gyorulá, ozgá orán egtett út t időpillntig. A v 0 gyorulá egkezdődéének pillntábn érvénye ebeég, á zóvl kezdőebeég. A t éré közben eltelt idő. Álló helyzetből indulv v 0 értéke 0, é egkpjuk korábbi képleteket. A v 0 t z z út, it tet z egyenlete ebeéggel tenne eg, képlet áik fele pedig ehhez hozzádj zt többletutt, it g gyorulá okoz. A kezdőebeég é gyorulá irány lehet ellentéte i. Ilyenkor v 0 é z előjele ellentéte. Aíg tet ozgá zono irányú, z út fenti képlete jól hználhtó, egézen egálláig. De h tet z útján vizfordul, onnntól áféle záítár vn zükég. Vizforduláo ozgá orán tet ebeége holtpontbn 0, jd ebeég előjelet vált. Ilyen ozgá eetében z út képletéből tet áltl egtett út () helyett tet elozduláát (d) kpjuk eg. Ketté kell bontnunk ozgát: z elő zkz trt holtpontig, tet egállááig, áodik zkz z ez utáni, ellenkező irányú ozgá. A egállá pillntábn v0. H tet újból leluln é egálln, ott újbb zkz kezdődne. Az utt inden zkzr külön kell kizáolni, jd zokt özedni. v 0 v t A tehetetlenég törvénye H erőente, ideáli térben, úlytlnágbn egy tetet eglökünk, kkor után z egyene vonlú egyenlete ozgát végez, ebeégváltozá nélkül, kár z idők végezetéig. A tet gától ne lul le é ne i gyorul. Erről gondokodik tet tehetetlenége, egy olyn jelenég, ely inden töeggel rendelkező tetre érvénye. Newton I. törvénye ( tehetetlenég törvénye) kiondj, hogy Minden pontzerű tet egtrtj ozgáállpotát, íg egy külő erő nnk egváltozttáár ne kényzeríti. A változtln ozgáállpot z elege, erőente állpot, ikor tet ozog, de ozgá egyene vonlú, állndó ebeégű. A ebeég lehet 0 i. A tet ilyenkor nyuglobn, nyugli helyzetben vn. Az ilyen tetre ondják zt i, hogy tökéleteen gár hgyott tet. A ozgáállpotot ne befolyáolj tet forgá, pályán indig tet töegközéppontj hld, példák indig pontzerű töegre vontkoznk, h feldt tet kiterjedéére külön ne tér ki. H nyuglobn levő tet ozgáán, ozgáállpotán változttni krunk, kkor z ennek ellenáll, ez z ellenállá tet tehetetlenégének egnyilvánulá. Aíg tet ebeégén (ebeégvektorán) ne próbálunk változttni (gyorítni, lítni, knyrodár kényzeríteni), ddig tehetetlenéget ne i vezük ézre. Lehetége változttá, de hhoz tetre erőt kell kifejtenünk. Az ERŐ definíciójából következik, hogy ezt z erőt indig egy áik tetnek kell létrehozni, kár közvetlen érintkezéel, kár egy erőtér közvetítéével, ilyen érteleben erőtérnek záít töegvonzá i. Minél ngyobb tet tehetetlenége é inél ngyobb z elérni kívánt változá, nnál ngyobb erőre vn zükég. A tet tehetetlenége egyeneen rányo töegével. Úgy i ondhtjuk, hogy tehetetlenég töeg egjelenéi foráj. Inercirendzer Egy ozgó tet pályáját ck úgy tudjuk egfigyelni é leírni, h rögzítjük zt vontkozttái rendzert, elyhez vizonyítv ozgá egtörténik. Mozogni indig ck vlihez képet lehet. Egy térbeli vontkozttái rendzernek vn egy lppontj é háro lpirány, elyek háro térdienzió irányát rögzítik. A koordinátrendzer ne zono ezzel. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 4 / 54
3 Hldó ozgá zbdon terjezthető A vontkozttái rendzereknek zt coportját, elyben érvényeül tehetetlenég törvénye, inercirendzernek nevezzük (inerti ltinul tehetetlenég). Egy tet helye é helyzete i vizonylgo. Attól függ, hogy it válztunk egfigyelééhez vontkozttái rendzernek. Egy ozgá többféle inercirendzerben, több zezögből nézve i leírhtó. Az egyene vonlbn egyenlete ebeéggel hldó, ne forgó vontkozttái rendzer inercirendzer. Ne zono, de egyenértékű zzl rendzerrel, ihez képet ozog. Egy inercirendzer z elfordítá után i inercirendzer rd. Egy állndón forgó vontkozttái rendzer ne inercirendzer, ert gár hgyott tet ívelt pályán hld, ez Corioli-htá (ejtd: korioli). A dinik lptörvénye Newton II. törvénye ( dinik lptörvénye) zerint Egy pontzerű tet ebeégének egváltozá egyeneen rányo é egegyező irányú tetre htó erővel, é kettő rány töeg, ely állndó. A tet gyorítáához külő erőre vn zükég. Erő hiányábn tet nyuglobn rd, lád z I. törvényt. Minél ngyobb erőt fejtünk ki tetre, legyőzve tehetetlenégét, nnál ngyobb lez gyorulá. Szintén igz z, hogy h ugynkkor erővel tolunk egy ngyobb töegű tetet, int egy kiebbet, kkor ngyobb töegű tet nehezebben fog gyorulni. A dinik lptörvényének kifejezéére következő képletet hználjuk: F hol F tetre gykorolt erő, tet töege, z erő áltl létrehozott gyorulá. A gyorulá irány indig egegyezik z erő irányávl. A gyorítát z töeg tehetetlenége nehezíti, ely z -el egyeneen rányo. A töeg állndó (lád ég z. tékör TÖMEG fejezetét). H tetre egyzerre több erő ht, kkor z F helyére z erők eredője helyetteítendő be. Ennek nyoán z I. é II. (é IV.) törvényt özefogllhtjuk z egyeített ozgátörvénnyel: Egy pontzerű tet kkor é ck kkor trtj eg ozgáállpotát, nyugli helyzetét, h rá htó erők vektori eredője null, ellenkező eetben tet egyenleteen gyorul. H tet nyugli helyzetben vn, kkor ez ck úgy lehetége, h tetre htó erők kiegyenlítik egyát. Figyelj rr, hogy ehhez ne vegyél záítáb olyn erőt, ely ne erre tetre ht. H tetre egy ne null eredő erő ht, kkor z tet eg fog ozdulni, éghozzá z erővel é töeggel rányo értékben gyorulv. A tpztlt gyorulából é tet töegéből kizáíthtó, hogy gyorító erő ekkor. Az SI értékegyégrendzerben z erő értékegyége, newton (N) definíciój i töegre é gyorulár vn vizvezetve: kg N ved öze dinik lptörvényével. Tehát: newton z z erő, elyik kg töegű teten / gyorulát hoz létre. Ezt z elvet követve egy tet töege úlytlnágbn i egérhető. Tehetetlenégi erő H egy fékező utóbn ülünk, kkor tetünket látzólg egy erő nyoj előre, ezt zoká tehetetlenégi erőnek hívni. A zó hznált tévedére lpul. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 5 / 54
3 Hldó ozgá zbdon terjezthető Erőt ck áik tet hozht létre, é ninc ott eilyen tet, i bennünket nyon. Az htá, jelenég, i előrenyo bennünket, g tehetetlenég. Ck i érezzük úgy, inth erő lenne. De h feldt követééhez vgy gyrázthoz zükége, kkor A tet képzelt tehetetlenégi erejével záítáokbn jelképezhetjük tet tehetetlenégét. H feltételezünk egy tehetetlenégi erőt, kkor zt úgy vehetjük, hogy tetre nnk töegközéppontjábn ht. Ellenben Tehetetlenégi erőnek hívhtjuk zt z erőt, elyet tehetetlen tet fejt ki z őt ebeégváltozár kényzerítő tetre. Ennek értelében nevezhetjük i tehetetlenégi erőnknek zt z erőt, ivel tetünk gyorulákor z ülépárnát benyoj, lulákor biztonági övet egnyújtj, hizen z lkváltozttához vlóbn léteznie kell egy zt előidéző erőnek. Szbdeé, nehézégi gyorulá Aikor egy tetre ck ját nehézégi ereje ht, kkor ennek z erőnek htáár zuhnni kezd, egyenleteen gyorul, z őt vonzó töeg (töegközéppontj) felé. Ezt z állpotot hívjuk zbdeének. Alpeetben ilyenkor tet ozgáát z egyene vonlú, egyenleteen gyoruló ozgár vontkozó képletekkel írhtjuk le, áltláno eetben pedig pály indig egy prbol réze. Szbdeé z ozgá, ikor tetre ck z égitetek töegvonzái erői htnk. H felírjuk dinik lptörvényét, Föld grvitáció erejének behelyetteítéével: f F r T ézrevehető, hogy tet töege ( T ) egyzerűítéel eltűnik z egyenletből. A következteté: zbdeé gyorulá ne függ tet töegétől. A zbdeékor egfigyelhető gyorulá neve nehézégi gyorulá, ert tet ját nehézégi ereje htáár gyorul. A jele g. Azono gágon (állndó r-nél) nehézégi gyorulá indenhol é inden tetre ugynz. A éréek lpján egállpított zbvány zerint tengerzinten T g9,80665 /. A nehézégi gyorulá z, i létrehozz töeg úlyát. Súly, úlytlnág A úly z jelenég, hogy egy tet Föld vonzáából eredő úlyerő htáár leeni próbál. Azért, ert ht rá lefelé uttó nehézégi erő. H tetet látáztjuk, kkor zbdeében egkdályozzuk, ezért z látáztár nyoóerőt fejt ki. Ez nyoóerő úlyerő. Vgyi úly z látáztá itt jön létre. A dinik lptörvénye zerint h egy tetre özeen egy erő ht, kkor z tet gyorul. Ebben z eetben ez helyi nehézégi gyorulá. A nehézégi gyorulá é töeg zorzt egdj tet úlyerejét. G g hol tet töege, g nehézégi gyorulá. Ahhoz, hogy tet ne een le, nekünk egy ezzel ellentéte irányú, zono ngyágú erővel kell trtni. Ezt z erőt z látáztá fejti ki rá. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 6 / 54
3 Hldó ozgá zbdon terjezthető H z látáztát elvezük, é tetet eni hgyjuk, kkor úly egzűnik. A úlytlnág zbdeé ltt jön létre. Nyuglobn levő rendzeren belül úly zono nehézégi erővel. A úlyerő függ tet ozgáától, nehézégi erő ne. A töegvonzá, nehézégi erő, tehetetlenég tet öze pontjár egyzerre, "belül" ht. A úlyerő egy kívülről htó nyoóerő itt jön létre, é tet pontji ezt z erőt egyánk dják tovább. Zuhná közben úlytlnág ht ránk, vízben lebegékor vizont víz felhjtóereje z látáztá. Függőlege Többféle függőlege irányt különböztethetünk eg. A geoetrii függőlege Föld középpontj felé utt. H ezt korrigáljuk z dott helyen egfigyelhető grvitáció noáliákkl, oldlirányú eltérítő erőkkel, z helyi grvitáció függőlege. A forgó Föld felzínén álló eber, hogy inden á tet i, egy körpályán ozog bolygó forgátengelye körül. Az ebből zárzó centrifugáli erőhtá zbdon eő tetet é függőónt tengelytől távolodó irányb téríti ki. A függőlege irány ezért földrjzi zéleégtől i függ. Ez földi függőlege, é zokáo zóhználtbn ezt tekintjük "igzi" függőlege iránynk. A zbvány nehézégi gyorulá értékét neck tengerzint gágához, hne 45. zéleégi fokhoz i kötik, 9,80665 / ezen zéleégi körön érvénye. Itt függőlege irány helyi grvitáció függőlegetől kb. 0,3 elhjlát utt z Egyenlítő felé. Ennek htáár nyuglobn levő tet z Egyenlítő felé gyorul, vontkozttái rendzer forog, ezért zbvány zerinti függőlege irány vlójábn ne inerciáli vontkozttái rendzerben érvénye. A feldtokbn é példákbn ettől zbálytlnágtól eltekintünk. A földfelzínhez képet gyoruló vontkozttái rendzerben például gyorító vgy fékező buzon levő eber záár függőlege irányr további eltérítő htá érvényeül, ennek eredénye ját függőlege. A függőón ezt z irányt uttj, é z EGYENSÚLY zepontjából i ez eghtározó. Súly é töeg A úly egyik létrehozój töeg, de kettő között lpvető különbég vn. A úly úgy jelenik eg, hogy tet z látáztát nyoj. A töeg egjelenéi foráj tehetetlenég, tehát tet ebeégének egváltozttáávl zeben ellenállát utt. A töeg egozdítáához vgy lefékezééhez erőt kell rá kifejteni kkor i, h egyébként úlytlnág vn. A úly egzűnhet, tehetetlenég ne. Fjúly Ezt foglt ár leginkább ck folydékok é gázok echnikájánál hználjuk. A fjúly z egyégnyi ( 3 ) térfogtú nyg úly, i űrűégével egyeneen rányo. Helyette inkább űrűéggel záolunk, ert z ne függ helyi nehézégi gyorulá értékétől. g hol g (g) fjúly, G tet úly, V pedig térfogt. A értékegyége G V N [] g 3 Mozgát kdályozó erők A tehetetlenég törvénye értelében egy eglökött tet egtrtj egyene vonlú egyenlete ozgáát, de ennek feltétele, hogy tetre htó erők eredője null legyen. A gykorltbn ozgát külő echniki erők, vgyi úrlódá, gördülő-ellenállá é közegellenállá kdályozzák, ezért Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 7 / 54
3 Hldó ozgá zbdon terjezthető tetek ozgá lul, tetek egyenlete ebeégét erő kifejtéével kell fenntrtni. A feldtokbn zoká figyelen kívül hgyni ezeket, z egyzerűég kedvéért. Súrlódái erők A úrlódái erő (F S ) özeen két dologtól függ: két úrlódó felületet özenyoó erőtől (F ny ), é felületekre jellező, éréekkel egállpíthtó, értékegyég nélküli úrlódái együtthtótól, elynek jele (ű). A úrlódái erő ne függ felületek ngyágától. F S F ny A úrlódái erővel felület tetre ht, indig ozgát hátrálttó iránybn. A tet ugynekkor úrlódái erővel ht felületre, ellentéte irányb. A úrlódái erőknek két típu vn: tpdái é cúzái úrlódá ereje. A tpdái úrlódá kkor érvényeül, íg két felület ég ne ozdul egyához képet. Aikor felületek ár egozdultk, cúzái úrlódá jut zerephez. A tpdái úrlódái erő ozdultln tetek közötti erőegyenúly egyik lehetége özetevője. Ellenerő, ivel ck olyn értékben keletkezik, ekkor erővel leküzdeni próbáljuk. F ts x Aikor z elozdítá érdekében z erőt növeljük, é átlépjük tpdái úrlódái erő xiuát, kkor felületek "egcúznk", ozogni kezdenek, helyzet egváltozik. Innentől cúzái úrlódái erő z, i ozgát nehezíti, é nnk fenntrtáához erőt tez zükégeé. F cs A cúzái úrlódái együtthtó többnyire kiebb tpdáinál. A ozgtó erő ritkán zono ngyágú cúzái úrlódái erővel. H kiebb nál, kkor ozgá egáll, tpdá kezdődik, h pedig ngyobb, kkor gyorul. A felületeket özenyoó erő z, ennyivel z egyik tet nyoj áikt. A tet úly ck z egyik lehetége forrá felületeket özenyoó erőnek, ok á forrá i lehet. c t F F ny ny Gördülő-ellenállái erő A guruló, gördülő ozgánk i vn vlekkor ellenállá, gördülő-ellenállá, elyhez egy hrdik együtthtó trtozik, zintén éréel kideríthető g. Az ellenállá ereje úrlódái erőkhöz honlón záítndó ki. Áltlábn g < c < t Közegellenállái erő A közegellenállá ereje több prétertől függ. Ezek közegellenállái tényező, á néven fortényező ( képletben c-vel jelölve), legzéleebb kereztetzet, á zóvl holokfelület területe (A), közeg űrűége (ρ, rhó), vlint z árlá ebeége (v). F kö c A ρ kö v Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 8 / 54
3 Hldó ozgá zbdon terjezthető Egy feldtbn ne indig zükége egyenként egdni c, A é ρ értékeit. Ezek tet ozgá orán ne változnk, ck ebeég. Ezért közölhetők egy dtként, ez z árlái zorzó, jele Z, é ekkor képlet egyzerűödik: F kö Z v Hjítáok Hjítánk hívjuk zt, ikor egy tetet vlilyen kezdőebeégre (v 0 ) gyorítunk, vízzinteel vlilyen zöget bezáró iránybn, ztán zbdeében gár hgyjuk. A zögnek egfelelően vn vízzinte (0 ) é függőlege (-/+90 ) hjítá, z öze többi irány pedig ferde hjítá. A tet ebeégének vektor inden pillntbn felozthtó egy vízzinte é egy függőlege irányú özetevőre, ezután két irány zerinti ozgát külön kezelhetjük, de ne egyától függetlenül. A tet vízzinteen egy egyene vonlú egyenlete ebeégű ozgát utt be, ehhez pedig hozzátevődik függőlege irányú egyenleteen gyoruló ozgá, dott kezdőebeéggel. Origóként áltlábn tet pályájánk kezdőpontját válztjuk. Vízzinte iránybn tet ozgái irány pozitív, függőlege iránybn pedig lefelé pozitív gyorulá, ebeég é z elozdulá i. A két ozgá képletében z idő egegyezik. Mivel pály pontjink koordinátái között négyzete özefüggé vn, ezért pály lkj prbol. A felzálló é lezálló ág egy dott gágán két ebeég ugynkkor. 0 v v co v0 f v0 in g x v0v t y v0f t + t v v v + g t v 0 v v 0v x t v v f t 0f vf - v0f g v v v t v f Ipulzu, lendület Az ipulzu, h honltot kell kerenünk, zt fejezi ki, hogy tet egy ütközékor "ekkorát üt". r r I v hol I z ipulzu (lendület), tet töege, v pillntnyi ebeége. A értékegyége kg [] I N A két értékegyég egyenértékű, de z előt inkább tetben levő ozgáennyiég egdákor, áodikt pedig z erőlöké egdákor zoká hználni, ez zonbn ne zbály. A ngyobb ipulzuú tetet nehezebb egállítni. Mozgó tet ipulzu oe 0. Az ipulzu vektorennyiég, z irány ebeéggel eik egybe. Eitt z özedáuk ck vektorok özedáár vontkozó zbályok zerint történhet. Az erőlöké z erőnek é z erőkifejté idejének zorzt, értékegyége N (newtonzekundu): r r DI F Dt Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 9 / 54
3 Hldó ozgá zbdon terjezthető A dinik lptörvénye Newton eredeti változtábn ipulzuváltozáról zól: F DI Dt Ahol egy képletben tetre htó erőről vn zó, de tetre több erő ht, kkor ott tetre htó erők eredője értendő. Vgyi F helyett F e. Az ipulzutétel kiondj, hogy több erő erőlökée egyál özedódv változttj eg tet ipulzuát: D r I ÂF r i Dt i Egy tet ipulzu ne változik, íg tetre htó erők eredője null. Az ipulzu egváltozttáához tetre htó külő erő é idő zükége. A tet ipulzu erőlökéekből rkódik öze. H egy tetet erőlökéek érnek, kkor ezek é ck ezek egváltozttják tet ipulzuát. Az erőlökéek tétele kiondj, hogy több önálló, egyától független idejű erőlöké egyál özedódv változttj eg tet ipulzuát. r r DI Â(F Dt i i i ) Tet egállítá Aikor egy tetet egálláig fékezünk, kkor tet ipulzuát 0-r cökkentjük. A fékező é fékezett tet ugynkkor erővel ht egyár. Az ΔIF Δt képlet zerint rövid egállái idő zt jelenti, hogy tetre ngy egállító erő ht. H lulá hozbb ideig trt, fellépő erő keveebb. Az ütközéek orán fellépő érüléek é károk cökkentéét zolgáló ezközök jelentő rézének z űködéi elve, hogy lkváltozttá révén folyto lítál eghozbbítják egállá idejét. Ipulzuegrdá Közö rendzerben levő tetek z ipulzuikt ütközéek révén egyá között egozthtják. Közö rendzer z, h tetek htál tudnk lenni egyár, nincenek elkülönítve egyától. Aikor két tet tlálkozik, é erőt fejtenek ki egyár, erőlöké jön létre. H ütközékor egy tet erőlökét d egy áik tetnek, kkor z erőlöké vektor z elő tet ipulzuából kivonódik, áik tet ipulzuához hozzádódik. Hogy z átdott ipulzu ekkor é ilyen irányú, rról tétel ne ond eit, de áodik tet ipulzuához ponton nnyi fog dódni, ennyi z előéből levonódott. Zárt rendzeren belül ipulzu ne véz el é eiből ne keletkezik, de tetek között átdódht. H bárhol zt látjuk, hogy tetek "indokoltlnul" lulnk vgy gyorulnk, változik z özipulzu, kkor ott külő erőnek kellett bevtkozni, például úrlódá vgy közegellenállá erejének. Az eddigiekből egfoglzhtó z ipulzu egrdáánk törvénye: Pontzerű tetek zárt rendzerén belül tetek egyenkénti ipulzuink vektoriáli özege indig állndó rd. A rendzer özipulzuánk változáához külő, rendzeren kívülről érkező erő htá zükége. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 0 / 54
3 Hldó ozgá zbdon terjezthető r I r n R Â( i vi ) i A pontzerűég kikötée kizárj zt lehetőéget, hogy tet z ütközé következtében forogni kezd, ez ugyni z ipulzu egy rézét felhználj. Az energi átlkulht egyik fjtájából áikb, de z ipulzu ne lkul át, ck átdódht. Ez két utó özeütközik, zinte özergd. A ozgái energiájuk feleéztődik z ütközében, I kocik nygánk özegyűréében, é nullává változik. Ezzel zeben z ipulzu oh ne tűnik el, é I I + ponton kizáolhtó z utók közö ipulzu, iből hldái irányuk é ebeégük i előre egondhtó. Az ipulzu ne ck özedódni tud, hne oztódni i. H két töeget özefogunk, kkor z ipulzuuk egyeül. H egy töeget kettéoztunk, kkor z ipulzu rányon kettéozlik. I / I / v. H z rányoág ne rdn eg, kkor két réz ebeége ne lehetne zono. Akció é rekció Adott két tet, közöttük egy özenyoott rugóvl. Ez rendzer inden á htától elkülönülten, nyuglobn vn úrlódáenteéget biztoító jégrétegen. A teteket elengedve zok rugó egítégével ellökik egyát. H z egyikük erőt fejt ki áikr (ez z kció), kkor I áik ugynkkor erőt fejt ki z egyikre ( rekció). Ez z erő felgyorítj indkettejüket, gyorulá é végebeég fordítottn v v rányo töegükkel, ez Newton II. törvénye. H pedig rendzerben levő ipulzuok özegét bárikor egnézzük, zt változtlnnk tláljuk, ez eg z ipulzuegrdá törvénye. A két tet áltl egzerzett ipulzuok özege inden pillntbn egegyezik rendzer kezdeti ipulzuávl: r r v + v I + I IR hol töeg, v ebeég jele, é I R rendzer özipulzu. H rendzer kezdetben ár egyenleteen ozog, kkor z I R ne null. Az kció rekció jelenég tehát következő: két rögzítetlen tet közö zárt rendzert lkot, z egyik tet erőt fejt ki áik tetre, z eitt egozdul, de ennek következényeként z elő tet i egozdul, z ellenkező irányb. Az erőlöké ipulzuváltozát okoz, vgyi z erőlökéek hozzádódnk tet ipulzuához. Ez lpján foglzzuk eg z kció é rekció jelenégének áltláno zbályát: H zárt rendzert lkotó két tet erőt fejt ki egyár, kkor ez tetek ipulzuánk egváltozáát eredényezi. A két ipulzu változá zono ngyágú é ellentéte irányú. D I -D I Figyelj fel rr fonto kikötére, hogy két tetnek kell egyár htni. r r r Rektív hjtá A rektív hjtá zt jelenti, ikor egy zerkezet önálló rendzerként ját gát gyorítj, áik tet(ek) ngy erővel vló ellökééből, kció rekció jelenégből zerezve z ipulzuát. Minden egyéb tet lövedék é "ellenlövedék" rendzerén kívül rd. Egy ágyúból kilőtt golyó ne rektív hjtál indul, é erőt fejt ki z ágyúr. Egy vállról indíthtó rkét rektív hjtát hznál, é ne fejt ki erőt kilövőcőre é z zt trtó eberre. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) / 54
3 Hldó ozgá zbdon terjezthető Egy rkét hjtóűve z elégetett üzenyg kilövellő égégázát "löki el", hol töeg vizonylg kevé, de ebeég ngy. A gázolekulák kilövellée áltl létrehozott ngyon pró erőlökéek özedódv ngy ipulzut tudnk létrehozni, eközben rkét gyorítáát percekre nyújtj el, z elvielhető 3-4 g értéken trtv z űrhjóok terheléét. Szintén rektív hjtát hználnk ugárhjtáú repülőgépek vgy jetkik i. Centru A ozgátni zbályok é jelenégek egy réze egyetlen pontzerű töegre vontkozik, például tehetetlenég törvénye i. Ne pontzerű, kiterjedt tet eetében tetet pontrendzerként fogjuk fel, é z egyzerűég kedvéért pontok közö töegközéppontjáb, tet töegközéppontjáb képzelt töegponttl helyetteítjük. Ennek pontnk töege egegyezik z egéz tet töegével. H több tetet vizgálunk, közö rendzerként, együtt, kkor zokt tetek közö töegközéppontjáb képzelt, tetek együtte töegét hordozó töegponttl helyetteítjük. A rendzer közö töegközéppontj, illetve z od helyezett pontzerű közö töeg rendzer centru. A centru tehetetlenége. - A tehetetlenég törvénye töegpontr (pontzerű töegre) vontkozik.. - A tetek képzeletben helyetteíthetők egyetlen töegponttl, elyet centruukb helyezünk el. Ergo: A tehetetlenég törvénye centrur i érvénye. Következény: H rendzert lkotó tetekre ne ht rendzeren kívüli erő, kkor rendzer centruánk ozgáállpot ne változik, ozdultln vgy egyenlete ebeéggel hld. H centrunk tehetetlen töege vn, kkor igz rá dinik lptörvénye i. A centru ipulzu A rugó végén levő két tet úgy ozog, hogy z ipulzuuk inden pillntbn ponton kiegyenlíti egyát. Ennek közönhetően két tet ipulzuánk előjele özege inden pillntbn kezdőlökétől függő állndó érték, i centru ipulzu. Az ipulzuegrdá törvényét ot ár átfoglzhtjuk áltlánobb érvényűre, úgy, hogy ne erev rendzert lkotó tetek eetére i egyzerűen lklzhtó legyen: Egy zárt rendzeren belül pontzerű tetekre egyenként jellező ipulzuok vektoriáli özege indig állndó rd, é egyenlő rendzer centruánk ipulzuávl. Ugynez két tetre: n Â( vi) i r r i IC (állndó) v + v ( + ) v' hol é két tet töege, v é v ebeégük z dott pillntbn, é v' rendzer centruánk egyenlete ebeége, elyhez két tet együtte töege trtozik. A centru ebeégének irány indig ck kkor derül ki, ikor tetek ipulzuit vektoriálin özedod. A rendzer özipulzu zono rendzer centruánk ipulzuávl. Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) / 54
3 Hldó ozgá zbdon terjezthető Ütközéek Az ütközé orán ozgó tetek rövid ideig erőt fejtenek ki egyár. Az ütközé erőlökét hoz létre, ezért z ipulzu egváltozáát okozz. A lelulához, jd z ellenkező irányb gyorulához idő kell. Eközben két ütköző tet ( lbd é tlj) között erő keletkezik, ely ebeégváltozát i okozz. A tlj egy erőlökéel fékezi le teteket. A tetek z ütközé idejére deforálódnk. A telje lefékeződé után keletkező újbb ozgát z okozz, hogy rugl tet viznyeri z lkját, ebből fkdó erővel htv áik tetre. H tet rugltln, kkor ne keletkezik olyn erő, ely vizfelé kezdené gyorítni. Az ütközének két zélő htár vn: tökéleteen rugl é tökéleteen rugltln. Ilyenek vlóágbn ne léteznek, hne közöttük levő végtelen ok lehetőég vlelyike figyelhető eg. Az ütközé ruglágát zázerűen i kifejezhetjük, ez ennyiég z ütközéi zá: 3 4 5 k v v R R hol k z ütközéi zá, v R tet reltív ebeége z ütközé pillnt előtt, v R tet reltív ebeége z ütközé pillnt után. A reltív ebeég zt jelenti, hogy z ütközében rézt vevő áik tethez vizonyított ebeég. Lehet, hogy z tet i ozog, vgy z ütközétől elozdul, é indkét v R ebeéget hhoz vizonyítv kell egállpítni. Az ütközéi zá tehát távozái ebeég é z érkezéi ebeég rány, 0 é közötti értéket kpht, é ninc értékegyége. Ütközé orán tet reltív ebeégének irány ellentétere változik. A ebeégeket közvetlenül két ütköző tet érintkezée előtt é után kell érni. Többzör lepttnó tet eetében v R v R k n hol v R z elő lepttná pillnt előtti ebeég, v R z utoló felpttná pillnt utáni ebeég, k végig érvénye ütközéi zá, n lepttnáok zá. Az ipulzuegrdá törvényének z ütközé orán i teljeülnie kell. p v pe + v E p v pu + hol piro é árg kövek ütközé előtti ebeégei z E, ütközé utáni ebeégei z U indexűek. Az ütközé z ipulzuok özegén ne változttht. Az egyenlet egoldáához fel kell írni MOZGÁSI ENERGIA átdódáánk egyenletét i, inek zintén teljeülnie kell: p v pe + v E Az ütközée feldtoknál áltlábn tökéleteen rugl ütközét zoká feltételezni, hol k. v p U v pu Két zono töegű tet ütközéekor tetek ebeéget cerélnek. Egy pontzerű tet pályzkzi egy felülettel vló ütközékor egyfor zöget zárnk be beeéi erőlegeel. + v U Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 3 / 54
4 Körozgá zbdon terjezthető 4 Körozgá Körozgá Elékeztetlek, hogy ez egédnyg ck kivont Fizik döcögőknek cíű tnkönyvből, i neten egkerehető. Körozgá egyenlete ebeéggel A körozgá egy olyn hldó ozgá, ikor tet töegközéppontj körpályán ozog. Ebben z eetben kkor i, h tet ebeége állndó, gyoruláról bezélhetünk, ivel ozgávektor irány változik, lád GYORSULÁS fejezetet. A körpályán tetet egy erő trtj, i kör középpontj felé utt, é neve centripetáli erő (F cp ). A tet rr gyorul, erre erő húzz, ezerint tet centripetáli (középpont felé uttó) gyorulát végez, i cp -vel jelölünk. r φ v A körpályán egtett út z ívhoz (). Az ehhez trtozó középponti zög neve k zögelfordulá, jele φ (fí). Azt fejezi ki, hogy kör középpontjából nézve ekkor zöget zárnk be egtett körív végpontji. A zögelfordulá lehet 360 foknál, p rdiánnál ngyobb i, ert lehet, hogy éréi idő ltt tet több kört i egtez. A tet ozgáánk vektor indig kör dott ponton vett érintője irányáb utt. H kötöttég, centripetáli erő egzűnne, kkor tet ebben z iránybn, egyene vonlbn hldn tovább. A köríven futott ebeégének kerületi ebeég neve, jele v k. H körozgá egyenlete, kkor kerületi ebeég állndó, zz képen láthtó v k é v k ngyág egyenlő. A befutott ívhoz rdiánból dódón zögelfordulá é ugár zorzt: r j Az dott ívhoz egtételéhez zükége időt zoká zerint t-vel jelöljük. Az egy kör egtételéhez zükége köridő jele T (vgy keringéi idő, perióduidő), értékegyége áodperc. F cp v k j t p T A v k kerületi ebeég kizáítáár ot ár két képletünk i dódik: v k t hol K T K r p È Í Î Azt i egdhtjuk, hogy áodperc ltt hányzor tezi eg kört. Periodiku ozgá lévén ez z érték hívhtó frekvenciánk (. gykoriág), ekkor jele f. A technikábn ehelyett fordultzá zót hználjuk, é n-nel jelöljük, de lényegük ugynz. z n ( f) t hol z z özeen egtett körök zá, t z eközben eltelt idő. A z-t drbr záoljuk (bár törtzá i lehet), ezért fordultzá értékegyége kicit furc: [ ] n A T köridő fordultzá reciprok, értékegyége áodperc: Hódi: Fizik ietőknek (Mech I-3.) 4 / 54