Oktatási Hivatal. Fizika II. kategória

Átírás

1 A 1/11. tanévi FIZIKA Orzágo Középikolai Tanuláni Veren áodik fordulójának feladatai é egoldáai fizikából II. kategória A dolgozatok elkézítééhez inden egédezköz haználható. Megoldandó az elő két feladat é a 3/A é 3/B orzáú feladatok közül eg zabadon válaztott. Ha valaki ind a 3/A é 3/B feladat egoldja, akkor cak a több pontot elérő egoldát vezük figelebe. Minden feladat telje egoldáa pontot ér. 1. Az l =,5 hozú fonalakkal özekötött tetek vízzinte ia íkon kezdetben nugaloban vannak. A jelzett töegek nagága M = kg, = 1 kg. A V = 5 / ebeéggel M V M haladó M töegű korong tökéleteen rugalaan, centrálian ütközik a vele egenlő töegű tettel. a) Mekkora a töegű tetek ebeége közvetlenül ütközéük előtt? b) Mekkora relatív ebeéggel ütköznek egához? c) Mekkora a tetek ebeége, aikor a két fonál iét eg egenebe eik? d) Milen pálán haladnak a tetek az özekötött rendzer töegközéppontjához rögzített koordinátarendzerben? e) Mekkora a fonalakban ható erő a ki tetek ütközéekor, é aikor a fonalak iét eg egenebe enek? Mekkora ekkor a tetek goruláa? (A fonalak nújthatatlanok, töegük é inden úrlódá elhanagolható. Tekintük a ki teteket töegpontoknak!) Megoldá. Adatok: l =,5, M = kg, = 1 kg, V = 5 /. a) Az két, M töegű tet ütközéében a ki tetek ne veznek rézt, íg a középő korong (az egenlő töegek iatt) az abzolút rugala ütközé eredéneként létrejövő ebeégcere következtében V = 5 / ebeéggel indul. Ezután a fonalak egfezülnek, é a ki tetek zietrikuan kezdenek ozogni. A háro tetből álló rendzer töegközéppontja egene vonalú, egenlete ozgát végez az eredeti V ebeég iránában. A ki tetek akkor capódnak egához, aikor a két fonál párhuzaoá válik a töegközéppont ebeégének iránával. Jelöljük a felő töegű tet ütközé utáni ebeégének koponeneit u é u -nal ill. a M töegűét U-val! u u u u u = V M M V V V M M u u u = V u u u 1/11 1 OKTV. forduló

2 MV kg 5 A töegközéppont ebeége: V = = = 5,. M + kg + 1kg A echanikai energia az egéz ozgá orán egarad. Íg: MV = MU + ( u + u ). Uganakkor ivel a tetek öze vannak kötve U = u = V = V/, ezt felhaználva: V V MV M = + + u 4 4 egenletet kapjuk a ki tetek iránú ebeégére. Felhaználva, hog az adatok iatt M =, az egenlet a következőre egzerűödik: V V V MV M M = + + u = M + Mu, 4 4 ahonnan a ki tetek -iránú ebeégére azt kapjuk, hog V V = + u u = V = 5 = 3, 54. Az töegű tetek ütközé előtti legnagobb ebeége ekkor a két ebeégkoponen vektori eredőjének nagágával egenlő: ua = u + u = V + u = 5, + 354, = 4,33. b) A két tet egához való ütközéének ebeége az -iránú ebeégkoponenek kétzereével egenlő: u rel = u =. 3;54 / = 7,8 /. M u U = u c) A két ki tet rugala zétpattanáa után az iránú ebeégük ellenkezőjére vált (ebeégcere!), a fonál továbbra i feze: laítja az M töegű korongot é növeli a ki tetek iránú ebeégét, zéruig cökkentve az iránú ebeégkoponeneket. A kérdée helzetben az energia egaradát é a töegközéppont ebeégét felírva Az adatok felhaználáával M M U + u = V MU+ Mu = (M+ )V 1/11 OKTV. forduló U +u =V U+u =V Aelnek a inket érdeklő egoldáa U = é u = V. Azaz az M töegű tet ekkorra eg pillanatig egáll, a ki tetek ebeége pedig iránú, u = V = 5 / nagágú lez. A folaat ezután iét fékezéek é ebeégnöveléek periodiku orozatából áll, (a töegközépponti rendzerből tekintve elékeztet a Tiki-taki játékra). Aikor a két ki tet a túló oldalon özeütközik, akkor indháro tet ebeége iránban U = u = V =,5 / nagágú, é aikor iét iránúvá válik a két fonál, a ki tetek ebeége eg pillanatra újfent u = lez,

3 egállnak, int a legelő ütközé pillanatában álltak, é a középő, M töegű korong ebeége lez iét U = V = 5 /. Ekkor fejeződik be eg telje peridu. d) Mivel a töegközépponti rendzerben a töegközéppont koordinátája, a ki tet é a nag tet X koordinátája között fennáll a MX + = kapcolat. Mivel a ki é nag tet távolága l ( ) - X + = l l ahol a ki tet koordinátája. A fentiek alapján a egadott adatokkal l/ S M ( ) + + = l ael átrendezé után 1 l + = 1 alakra hozható. Ez eg olan ellipzi ainek fél nagtengele a = l, fél kitengele pedig b = l/ hozúágú. e) A fonalakban ható erőt akár a talajhoz rögzített, akár a töegközépponttal egüttozgó rendzerből vizgálhatjuk, ui. indkettő inerciarendzer. Előzör határozzuk eg a fonálerőt, aikor a háro tet eg, -iránú egenebe eik. Ezt (ellenőrzéképpen) indkét koordinátarendzerből kizáítjuk. I. A talajhoz rögzített rendzerből. Ekkor a középő korong pillanatni goruláente ozgát végez, a talajhoz vizonítva V = 5 / ebeége van. A ki tetek ebben a pillanatban olan pillanatni körozgát végeznek az M töegű tet körül, aelnek ugara l, é ebeége a talajhoz képet u =, íg a koronghoz vizonítva u rel = 5 /. A centripetáli goruláa ezzel: 5 u rel a = = = 5. l 5, Ezzel a fonálban fellépő erő: F = a = 1kg 5 =5N. II. A töegközépponti rendzerből. Itt az ellipzipála görbületi ugarával kell záolnunk. Mint ierete, a nagtengel végpontjában a görbületi ugár nagága b l l 5, r a = = = = =, 15. a 4l 4 4 u A gorulá pedig a =, ahol u a ki tet töegközépponthoz vizonított,,5 / nagágú ra ebeége. Ezzel a fonálerő: 5, u F = = 1kg =5N. r a, 15 Aikor a ki tetek éppen özeütköznek, az ellipzipála görbületi ugara: 1/11 3 OKTV. forduló

4 a l rb = = = l =, 5 = 1. b l u 3, 536 Ezzel a fonálerők: F = = 1kg =1,5 N. rb 1 Az töegű tetek goruláa aikor a háro tet eg iránú egeneben van: F 5 N a = = = 5, 1kg é a két fonál ellentéte iránú, egenlő nagágú hatáa iatt az M töegű korong goruláa A =. A két ki tet ütközée előtti pillanatban a gorulánagágok: F 1, 5 N a = = = 1,5, 1kg é F 1, 5N A M = = = 1,5. M kg (Az ütközé pillanatában a fonál eg pillanatra eglazul.). Egenlete eneteelkedéű íkbeli piráltekerc eneteinek záa N = 15, ezek eg R = 18 c ugarú kört fednek le, vagi a legkülő enet eg ekkora ugarú kört képez. A huzal vatagága d =,1, fajlago elektroo ellenálláa ρ =,17Ω. A tekercet a íkjára erőlege hoogén ágnee ezőbe helezzük, aelnek kiterjedée nagobb a tekerc területénél. A ágnee ező indukciója kezdetben B o =,8 T, ajd lineárian cökken zérura a következő időfüggében: B = Bo α t, ahol α =,7 V, t az idő áodpercben. Mekkora a tekerc két vége között fellépő fezültég, ialatt a ágnee tér indukciója Bo -ról zérura cökken? Megoldá. a) A piráltekerc eneteit köröknek tekintjük. Az elő, vagi a legbelő enet ugara A rajta átenő ágnee tér fluua R r = N 1. π R π 1 1 Φ = BA= r B= B N R R R Haonlóan a áodik enetben, elnek ugara r = r 1 + =, Φ = πb. Minthog a N N N piráli ege enetei egáal orba vannak kötve a telje áthaladó fluu: R R N( N + 1)(N + 1) Φ = Φ1+ Φ ΦN = π B( N ) = π B. N N 6 Ide a enetzá záértékét beheletteítve egkapjuk a telje fluut. Azonban ézrevehetjük, hog N >> 1, ai a képlet egzerűítéére ad ódot: 1/11 4 OKTV. forduló

5 R π 1 1 R π Φ = N 1+ + B NB. 6 N N 3 Ezután felhaználva az indukció törvénét a kereett fezültég: Φ R πα 1 1 R πα U = = N 1+ + N t 6 N N 3 A záértéket tehát ezzel az egzerűített képlettel határozzuk eg: V,18 π,7 15 U = =35,657 V. 3 3/A Függőlegeen felfelé utató, hoogén elektroo, é ezzel ellentéte iránú hoogén ágnee ezővel kitöltött térréz valael A pontjában a vízzinteel α=3 o -o iránban belövünk eg elektront. a) Mekkora kezdőebeéget adjunk az elektronnak, hog vizatérjen az A pontba? b) Menni idő úlva ér kiindulái helére? c) Maiálian ennire távolodik el ezalatt az A ponttól? d) Mekkorák lennének a kérdezett adatok, ha az elektroo térerőéget é a ágnee indukciót ellenkezőjére változtatnánk, é eg protont lövünk be uganekkora zögben? e) Mekkorára kellene változtatnunk a B indukció értékét, hog a proton az elektron a) eetbeli páláján fuon végig? Mekkora ekkor a proton kezdőebeége? (E = 895 V/, B = T. Az elektron töege e =9, kg, a proton töege p = kg. Az elei tölté 1, C. A nehézégi erő elhanagolható.) Megoldá. a) Ha ne lenne ágnee ező jelen, akkor eg ferde hajítái pála jönne létre a hoogén elektroztatiku ezőben. Ha ne lenne elektroztatiku ező, akkor erőlege belövé eetén körpála keletkezne a hoogén ágnee ezőre erőlege íkban. Íg a pála vízzinte vetülete kör, aelnek ugarát a kezdőebeég vízzinte koponene határozza eg. A két ező egütte hatáára kialakuló pála eg olan alakzat lez, aelet egkapunk, ha eg papírra felrajzoljuk a ferde hajítá parabolapáláját, ajd ezt a papírt feltekerjük eg adott ugarú hengerpalátra. A követelén, hog a parabolaív kezdő- é végpontja een egbe. v da r a A ozgá vízzinte íkra való vetülete tehát egenlete körozgá. (A nehézégi erőtől ezeenően eltekinthetünk.) A kör kerülete a hajítá távolága. A követelén tehát: vv vv vv a = rπ = rπ = =. a ee ee 1/11 5 OKTV. forduló

6 Ahol v ill.v a kezdőebeég két koponene. A körpála ugara egrézt: r = v v. πee Márézt, a ágnee ezőben kialakuló ugár: v v = evb r =. r eb A ugár két kifejezéét egenlővé téve a kezdőebeég koponenét egkapjuk: v v v πe = v =. eb πee B A kezdőebeég nagága a hajlázög é koponen ieretében: V v π 895 πe 6 v = = = = 7,3 1. inα Binα 4 81 V in3 b) Az iránú ebeégkoponen: 6 6 v = v = v coα = 7, 3 1 co3 = 6,9 1, é ezzel a vetületi kör ugara: 31 6 v 9, 1 1 kg 6, 9 1 r = = =, 43 = 4, 3c. eb , 6 1 C 8 1 V Az eltelt idő A-tól A-ig: r π, 43 π -8 T= = = 4,47 1. v, c) Az eltávolodá aiáli értéke a kezdőpontnak é az eelkedé agaágpontjának a távolága. Az ábra alapján: 31 6, (, ) in α in α in α ee 19 V kg in 3 v v v a = = = = =, 39 = 3, 9c. a ee 161, C895 A legnagobb távolág a kiindulái ponttól: d = 4r + = 4 4, 3 c + 3, 9 c =9,44c. a a d) A proton az egzerre egcerélt iránok iatt azono alakú pálán haladna végig. Proton eetén a kezdőebeég iután a töeg kieett azono: π 895 V π E 6 v = = = 7,3 1. Binα 4 81 V in3 a vetületi pálaugár annizor nagobb, ahánzor nagobb a proton töege az elektronénál: 1/11 6 OKTV. forduló

7 a,, 7 6 v kg r = = = 79,3. eb 19 4, V C 8 1 A aiáli eltávolodá pedig d = 4r + = 4 79, , 57 =174. 1/11 7 OKTV. forduló a e) Az elektroo térerőég változatlan hagáa ellett a proton akkor járja végig az elektronra záított pálát, ha a ágnee indukció nagágát alkalaan egváltoztatjuk. Az adatok ot: r =,43, E = 895 V/, e = 1, C, = 1, kg. A egadott pálához tartozó indukcióvektor nagága: v B =, re π E é v az a) pont zerint v =. B v π E A ebeégkoponenek kapcolata: v = =. tgα B tgα Ezzel a kereett indukcióra a következő egenletet kapjuk: v π E B = =. re re B tgα A egfelelő indukció nagága tehát: 7 167, 1 kg π 895 V πe πe - B = B = = = 3,44 1 T. 19 re tgα re tgα, 43 1, 6 1 C tg3 A proton kezdőebeége ezzel V v π 895 π E 5 v = = = = 16347,4 1,63 1. inα B inα V 3, 44 in3 3/B Az ábra zerint elhelezett R =,1 ugarú, L =,1 hozú félhenger alakú tartál belő terét a félkörök középpontjain átenő tengel entén capágazott téglalap alakú, jól záró, töegű zilip oztja két rézre. A két térrézben azono enniégű, anagi inőégű é hőérékletű ideáli gáz van. Kezdetben a zilip függőlege, a térrézekben a noá p = 1 3 Pa, a hőéréklet T = 3 K. Eg léptetőotor egítégével a zilipet tengele körül laan, ki léptékekben elkezdjük forgatni, iközben indkét térrézben a hőérékletet állandó értéken tartjuk. A folaat orán azt tapaztaljuk, hog a zilip a függőlegeel bezárt φ = 3 zögű helzetben kikapcolt otor, úrlódáente tengel eetén egenúlban van. A zilip é a hengerfal közti úrlódától zintúg eltekintünk. a) Határozzuk eg a zilip töegét! Ezután olan kíérletet zeretnénk végrehajtani, hog a kiebbik térréz hőérékletének változtatáával elérjük azt, hog a zilip (kikapcolt otor, úrlódáente capágazá eetén) átbillenjen a áik oldalra. A folaat közben a áik térréz hőérékletét állandó értéken tartjuk.

8 b) Becüljük eg, hog ehhez aiu ekkora hőérékletre kell a gázt felelegíteni! Útutatá: A becléhez célzerű néhán helzetben (pl. 5 fokonként) kizáolni é vázlatoan ábrázolni a hőérékletet. Megoldá. a) A Bole-Mariotte törvén értelében a zilip függőlegeel φ-zöget bezáró helzetében a noá a nagobb (1), illetve a kiebb térfélben (): π / p 1 = p, (1) π / + ϕ π / p = p, () π / ϕ ahol φ radiánban értendő. A cuklóra vonatkozó forgatónoatéki egenúl alapján R R ( p p1 ) RL = g in( ϕ) (3) özefüggé adódik. Az (1)-(3) egenletek alapján a zilip töegére: prl π 1 1 = = 1,5 kg (4) g in( ϕ) π/ ϕ π/+ ϕ Értéket kapunk. b) A folaat orán érvéne az egeített gáztörvén, pv pr Lπ / p ( ϑ) V ( ϑ) = =, (5) T T T ( ϑ) ahol ϑ eg általáno zöghelzet, V a kiebbik tartál kezdeti (φ-zöghöz tartozó) térfogata, az általáno helzethez tartozó térfogata ( π / ) V ( ϑ) = R ϑ, (6) L noáa pedig (1)-(3) hoz haonló egfontoláok alapján π/ g p ( ϑ) = p + in( ϑ). (7) π/ + ϑ RL Felhaználva az (1) - (3), (5)-(6) egenleteket a hőéréklet zögfüggéére: 1 g T ( ϑ) = T + in( ϑ) ( ϑ) ϑ π/ (8) π/ + RLpπ adódik. Ha 5 fokonként kizáítjuk a hőérékleteket: ϕ T 3 35,46 39, ,343 31,616 36, /11 8 OKTV. forduló

9 értékpárokat kapunk. Ez alapján a 15-fokhoz tartozik a legnagobb hőéréklet: 311,34 K. Rézlete analízi: A hőérékletet a zög függvénében a grafikon utatja (8) alapján hõéréklet (K) θ (fok) Megjegzé: A kizáított hőéréklet elérée után a zilip átbillen a áik oldalra. Pontozái útutató Minden feladat telje egoldáa pontot ér. Rézlete, egége pontozái útutató ne adható eg a feladatok terézetéből következően, ugani eg-eg hele egoldához több különböző, egenértékű hele út vezethet. A feladat nueriku végeredénével egközelítően azono eredént kihozó egoldó erre a rézfeladatra pontot kap, aenniben elvileg heltelen úton jut el. Fizikailag értele gondolatenet etén a ki nueriku hiba elkövetée ellenére (a rézfeladat terjedelétől függően) -3 pont vonható le. Ha a egoldó cak paraétereen adja eg a hele gondolatenettel kapott eredént, pontot vezít. Az 1. feladat pontozáa a) A folaat áttekintée az elő ütközétől a áodikig pont Az energia é ipulzu hele felíráa pont Az töegű tetek özeütközékori ebeégének kizáítáa b) A ki korongok relatív ebeégének eghatározáa c) A korongok ebeégének eghatározáa a kérdezett pillanatban 3 pont d) A két ki korong páláinak hele jellezée 4 pont e) A fonalakban ható erő eghatározáa a két eetben 1 + pont A tetek goruláának eghatározáa a két eetben + pont Özeen pont 1/11 9 OKTV. forduló

10 A. feladat pontozáa Annak ézrevétele, hog a enetek orba kapcolt vezetők Az ege eneteken átenő fluuok hele felíráa A telje fluu felíráa négzetzáok özegezéével A enetzá nag volta iatti egzerűítő határérték-egítéléel A érhető fezültég egadáa pont 8 pont 6 pont pont pont Özeen pont A 3/A feladat pontozáa a) A pála alakjának hele felierée 3 pont Az elektron kezdőebeégének eghatározáa 4 pont b) A vizatéréig eltelt idő eghatározáa pont c) A kezdőponttól való aiáli eltávolodá kizáítáa pont d) A kérdezett adatok eghatározáa proton eetén 4 pont e) Az új követelénnek egfelelő adatok eghatározáa + 3 pont Özeen pont A 3/B feladat pontozáa a) A térfogatok é a zilip dőlézögének kapcolata pont Bole-Mariotte törvének hele felíráa az ege térrézekre 4 pont ( + ) Az zilip egenúlának feltétele pont A zilip töegének hele paraétere végeredéne A zilip töegének hele nueriku végeredéne b) A térfogatok é a zilip zögének kapcolata általáno zöghelzetben Bole-Mariotte törvén az állandó hőérékletű tartálra Az zilip egenúlának feltétele A változó hőérékletű tartál noáának zögfüggée Gáztörvének elek elvezetnek a hőéréklet zögfüggééhez pont A hőérékletre vonatkozó hele analitiku forula pont *Hele nueriku eredének, váztato ábrázolá, jó beclé pont Özeen: pont * ponttal értékelhető az i, aki ne ad ugan nueriku végeredént, de felieri, hog a hőérékletet a zögváltozó zerint kell deriválni, elvégzi a deriválát é azt nullával egenlővé tezi. 1/11 1 OKTV. forduló