XXXIV. Mikola Sándor fizikaverseny Döntı Gyöngyös, 9. évfolyam Megoldások. Szakközépiskola

Átírás

1 XXXIV Mikola Sándor fizikavereny 05 Döntı Gyöngyö, 9 évfolya Megoldáok Szakközépikola Egy elegendıen hozú, M = 4 kg töegő dezka jégpályán nyugzik Erre a dezkára egy = kg töegő haábot helyeztünk az ábra zerint Egy l =,8 hozú fonálon felfüggeztett ugyancak töegő golyó fonalát a vízzinteig kitérítettünk, ajd nyugaloból elengedtük, aely abzolút rugalaan, pillanatzerően ütközött az töegő haábbal A haáb é a dezka közötti úrlódá együtthatója µ = 0,5, a jégpálya úrlódáentenek tekinthetı A ozgá orán a haáb indvégig telje hozában a dezkán arad a) Indítától záítva ennyi idı úlva érik el a közö ebeégüket, é b) ekkora ez a közö ebeég? (dr Wiedeann Lázló) Megoldá a) Az inga göbjének tökéleteen rugala é pillanatzerő ütközée azt jelenti, hogy a haábbal való kölcönhatáa orán fellépı erı ellett elhanyagolható inden á, pl a úrlódái erı, így a haáb úgy zerzi eg kezdıebeégét, hogy közben az alatta levı dezka eg e occan Az ütközı golyó é a haáb egyenlı töege iatt ebeégcere történik, vagyi a golyó egáll, a haáb pedig átvezi a golyó leérkezéi ebeégét, é ezzel, int kezdıebeéggel kezdi eg cúzáát a kezdetben nyugvó dezkán A leérkezı golyó ütközékori ebeége v = gl = 0,8 = 6 Ezzel, int kezdıebeéggel indul eg a haáb cúzáa a kezdetben nyugvó dezkán A úrlódái erı gyorítja indkét tetet, ahol Ezért F = µ g, é a = µ g am = µ g M A ebeégek: v = v µgt, A v = v M -re kell az idıt kizáítani Innen v M = µ g t 6 v v µ gt = µ g t t = = =,6 M kg µ g + 0,5 0 + M 4 kg b) A v k közö ebeég akár v M é t ieretében, akár az ipulzuegaradá tételbıl záítható Figyelebe véve, hogy az M töegő tet nyugaloból indult: M

2 vagy v kg vk = amt = µ g = v = 6 =, M + M kg + 4 kg µ g + M kg = ( + M ) = k k 6 + M = kg + 4 kg = v v v v Egy lefelé haladó ozgólépcı alja é teteje között a zintkülönbég 0 éter Egy 70 kg töegő, hóborto diák felzalad a ozgólépcı aljától a tetejéig A diák lépcıfokokhoz vizonyított (átlag)ebeége áfélzer akkora, int a ozgólépcı haladái ebeége Mennyi unkát végez a diák ire felér? Mire fordítódik a befektetett unka? (A nehézégi gyorulá értéke 9,8 / ) (Vigh Máté, Budapet) Megoldá Elıre azt gondolhatnánk, hogy energetikailag egyetlen változá történik a diák felfutáa orán: a diák a nehézégi erıtérben 0 éterrel agaabbra kerül Ennek orán az töegő diák helyzeti energiájának egváltozáa: E = gh = 3, 7 kj, grav é ugyanekkora érték adódna a diák unkavégzéére i Ez az érvelé azonban hibá! A diák ugyani a nehézégi erı leküzdéén kívül a ozgólépcıt i nyoja lefelé (átlagoan) erıvel Álló lépcı eetén ez ne jelentene többletunkát, a lefelé haladó ozgólépcınél vizont van az erı irányában elozdulá, ezért a diák pozitív unkát végez rajta (,,egíti'' a ozgólépcı otorjának őködéét) Mivel a lépcıfokok (lefelé utató) függılege ebeégkoponene éppen kétzeree a diák eelkedéi ebeégének, így a diák által a ozgólépcın végzett unka teljeíténye i kétzeree a nehézégi erı ellenében végzett unka teljeítényének A ozgólépcın végzett unka tehát a diák öze unkavégzée pedig lépcőn, diák lépcőn grav 3 4, kj A befektetett unkavégzé tehát /3 rézben a diák helyzeti energiáját növeli, /3 rézben pedig a ozgólépcı otorját egíti Megjegyzé A helye végeredény egkapható a ozgólépcıhöz rögzített vonatkoztatái rendzerben i Itt azt látjuk, hogy a lépcıfokok állnak, a ozgólépcı felı zintje állandó ebeéggel eelkedik, iközben a diák áfélzer ekkora ebeéggel lohol a cél után Itt a diáknak a ozgólépcı eredeti agaágának hározoroát kell egáznia, azaz a befektetett unka 3 A kérdé áodik felén (ire fordítódik ez a unka?) azonban a Verenyzınek így i el kell gondolkodnia Ha a Verenyzı ezzel a gondolatenettel helyeen eljut addig, hogy unka növeli a otor energiáját, terézeteen axiáli pontzá adható 3 Két, l hozúágú fonál egyik végére illetve 3 töegő teteket erıítettünk Máik végüket közö pontban rögzítettük Mindkét tetet a fonalak vízzinte helyzetéig kitérítettük, ajd elengedtük Ezután centrálian é tökéleteen rugalaan ütköztek egyáal (A közegellenállát hagyjuk figyelen kívül! Az ütközét tekintük pillanatzerőnek!) a) Az ütközét követıen ekkora lett a ebeégük? b) Az ütközé után ekkora a fellépı fonálerı a fonalak függılege helyzeteiben? (Suhajda Jáno) Megoldá a) A echanikai energia egaradá törvényébıl következik hogy azono nagyágú ebeéggel é egyzerre érkeznek a fonalak végén levı tetek a fonalak függılege helyzetébe:

3 gl = v v = gl Az ütközéi folyaatra felírható a echanikai energiaegaradá é a lendületegaradá törvénye: 3v + v = 3 u + u, 4v = 3 u + u () 3v + v = 3 u + u, v = 3 u + u () ()-bıl u -et kifejezve: ( ) u = v 3 u ( ) Ezt ()-be írva: v = u + ( v u ) A őveletek elvégzée é rendezé után kapjuk: 4v = 3u + 4v uv + 9 u Innen u u uv = 0 v ± 44v 0 = = v 4 0 Az elı egoldá ne felel eg a folyaatnak, ert azt jelentené, hogy változatlan ebeéggel ozog tovább a 3 töegő golyó (ninc ütközé), a áodik felel eg a feladatnak, a 3 töegő golyó egáll Az töegő golyó pedig ( )-bıl u = v 3 u = v 0 = v = gl ebeéggel pattan viza róla, é folytatja útját az l ugarú körpályáján b) Az töegő tet ozgáát vizgáljuk tovább Jelöljük K -gyel ill K -vel az aló ill a felı függılege fonálhelyzethez tartozó fonálerıket! A pillanatnyi függılege fonálhelyzetekben a tet gyoruláa i függılege, így indkét eetre érvénye az eredı erıre: F = F = a Az aló helyzetben K -et kifejezve é u -et behelyetteítve kapjuk: cp cp u K g l = ( gl ) 8gl K = g + g l = + l = 9g A felı helyzetben: u K + g = l Itt az töegő golyó új ebeégével kell záolnunk(mot derül ki, hogy a legfelı helyzetben i feze arad-e a fonál) Alkalazzuk a unkatételt: u u = g l Innen Ezt K egyenletébe írva: ( ) u = u + 4gl = gl 4gl = 4 gl u = gl u 4gl K = g = g = 3g l l A fonálerık fent: 3g, lent 9g, a 3 töegő tetnél cak lent 3 g 3

4 4 Egy H = 80 aga torony tetejérıl egy pontból ne egyzerre kezdıebeég nélkül elejtenek egy-egy acélgolyót Aikor az elı ár h =,5 -t eett, akkor indítják a áikat a) Mekkora lez a távolág köztük abban a pillanatban, aikor az elı talajt ér? b) Mennyi idı telik el a talajtérékor a két koppaná között? (A légellenállá elhanyagolható, záoljunk g = 0 / -tel!) (Holic Lázló) I egoldá a) A két tet egyától ért távolága állandóan növekzik, de ebeégük különbége (egyához vizonyított ebeégük) állandó A grafikon utatja a két tet ebeég-idı függvényének képét A grafikon alatti terület jellezi az egye tetek által egtett utat, így az elınek indított tet leérkezéének T idejéig a két grafikon alatti területek (zürkével jelzett) különbége a köztük levı kérdezett távolág Meghatározandó tehát T é t, ahol az utóbbi a két indítá közötti idıkülönbég A elınek indított tet leérkezéig eltelt enetideje: v v T H 80 = = = 4 g 0 0 t T t t A áodik golyó indítáa t idıvel kéıbb történik, akkor, aikor az elı ár =,5 utat egtett Ennek bekövetkezte az indítá után: h,5 0,5 t = = = = g g 0 idıvel kéıbb lez Az elınek indított tet talajtéréig egtett útja = H, a áodik ekkor ég úton van, é az általa egtett út eddig a pillanatig: = g ( T t) = 0 ( 4 0,5 ) = 6, 5 Így a két tet távolága az elı tet leérkezéekor = = H = 80 6, 5 = 8,75 b) Az ábrából látzik, hogy a két koppaná közt eltelt idı azono az indítái idık különbégével, tehát T t = t = 0,5 II egoldá Helyezzük a vonatkoztatái rendzerünket a áodzorra indított golyóra! Ekkor egyához képet ne gyorulnak, tehát a távolágukat az egyene vonalú, egyenlete ozgá özefüggéei adják eg: H h = +v t = + gh ( T t ) = + gh = g g 80,5 =,5 + 0,5 = 8, =, ,5 = 8,75 ) (Röviden: ( ) 4

5 XXXIV Mikola Sándor fizikavereny 05 Döntı Gyöngyö, 9 évfolya Gináziu Az ábra zerinti, függılege helyzető, D = 30N/ direkció erejő rugóhoz egy = 00g töegő tet van erıítve A tet egyenúlyi helyzetben van A tethez alulról, függılegeen felfele irányuló v o nagyágú ebeéggel egy / töegő tet capódik Ütközékor a két tet özetapad a) Mekkora v o, ha ütközé után az özetapadt tetek legnagyobb eelkedéekor a rugó nyújtatlan? b) Mekkora volt a felfele é lefele irányú ozgá közben a tetek legnagyobb ebeége? (Zigri Ferenc) Megoldá a) A egoldához az ütközé lezajláa után haználhatjuk a echanikai energia egaradá törvényét, ugyani ettıl kezdve cak konzervatív erık hatnak Az ütközé utáni ozgái energia é a rugala energia cökkenée egegyezik a helyzeti energia növekedéével A nagyon rövid ideig tartó ütközékor a külı erık elhanyagolhatók, vagyi a tetek lendülete egarad Így az ütközé utáni közö u ebeéggel:,5u = 0,5v o, u = v o /3 A rugó y egnyúláára az egyenúlyi állapotban: Dy = g y = g/d Ezekkel az energiaérleg: 3 3 u + Dy = gy Behelyetteítve u-t é y-t: 3 v g g 0 + D = 3 g 9 D D Egyzerőítéek után: v g g 0 + = 3 6 D D Ebbıl a egoldá a pozitív gyök, vagyi: 3 v = g = 0 D b) A lefele utató nehézégi erı állandó, a rugóerı felfele haladva cökken, így az eredı é egyben a gyorulá iránya i az egyenúlyi helyzet alatt felfele, felette pedig lefele utat A ebeég nagyága tehát az egyenúlyi helyzetig nı, ajd cökken A tetek legnagyobb ebeége tehát akkor van, aikor áthaladnak az (új) egyenúlyi helyzeten, függetlenül attól, hogy felfele, vagy lefele ozognak A egoldához iét haználható a echanikai energia egaradá törvénye A legfelı helyzettıl az egyenúlyi helyzetig a helyzeti energia cökkenée egyenlı a rugó é a ozgái energia növekedéével Az egyenúlyi helyzetben a rugó x egnyúláára: Dx =,5g, 5

6 ebbıl x =,5g/D A axiáli ebeég legyen c, ezzel az energiaérleg: Egyzerőítve é behelyetteítve x-et: Egyzerőíté után: Ebbıl rendezé után: Innen a pozitív gyök: gx = c + Dx 3g 3 9 g g = c + D D 4D 3g 3g D = c + 3g c D = D 3 c = g = 0,7 D Elhanyagolható töegő R = 0, 48 ugarú győrő felı pontján egy M töegő, aló pontján egy töegő pontzerő tet található (ábra) A győrő íkja függılege é ebbıl ne tud kitérni A győrő úrlódáenteen ozoghat A felı, nagyobb töegő tet elindul valaelyik irányba a) Mekkora a tetek ebeége, aikor a M töegő tet legalul helyezkedik el? b) Mekkora a tetek ebeége, aikor azono agaágban vannak? A győrő vatagágától tekintünk el, M = 3 kg, = kg, záoljunk g = 0 tel! (dr Ki Mikló) Megoldá: A feltételek alapján a rendzer töegközéppontja cak függılege ozgát végezhet, vízzinte ebeége nulla A kör középpontja vízzinteen ozoghat, függılege ebeége nulla a) Aikor az M töegő tet kerül aló helyzetbe a töegközéppont függılege ebeége zéru, indkét tet vízzinteen ozog Mivel a töegközéppont vízzinteen ne ozog: Mv v = 0, ebbıl M v = v 6

7 Az energiaegaradá alapján: gmr = gr + Mv + v Ezekbıl: M = v + v gr ( M ) M M gr( M ) = Mv + v + M gr( M ) = Mv Ebbıl a ebeégek: v M = gr M M + é M M v = gr M M + Adatokkal: 3 v = 0 0,48 = 0 0,48 = 4 0,48 = 4 0,4 =,6, = 3,6 = v,4 Tehát a tetek ebeége: b) Aikor ebbe a helyzetbe kerülnek a tetek, a kör középpontja elérte legnagyobb vízzinte elozduláát é éppen vizafelé fog indulni, így ebeége nulla A rendzer az O pont körül fordul el, így a tetek vízzinte ebeége zéru, függılege ebeége egyenlı Ennek egfelelıen az energiaérleg: gmr = gmr + gr + Mv + v, gmr gr = v ( M + ), gr( M ) = v ( M + ), M v = gr, M + 3 v = 0 0,48 = 0 0,48 = 4 0,48 = 0, 4 3 = 0, , Vízzinte talajon L 0 = 0,6 hozú, rugala, elhanyagolható töegő guizálhoz erıített, = 0, kg töegő, apró tetet kezdünk egyre gyorabban forgatni úgy, hogy a guizál kezünkben tartott vége H = 40 c agaan van a talaj felett A guizál N erı hatáára 0 c-rel nyúlik eg A úrlódá é a közegellenállá elhanyagolható a) Mennyi unkát kell végezni ahhoz, hogy a guizál zögebeége elérje az ω = 6 / értéket? b) Meddig növelhetı a zögebeég? (dr Szkladányi Andrá) 7

8 Megoldá a) Ha a zögebeég egy bizonyo értéket eghalad, a tet elválik a talajtól Vizgáljuk eg, hogy ez ekkora ω h zögebeégnél következik be Az elválá pillanatában a talaj által kifejtett erı nullára cökken A tet ettıl kezdve cak a nehézégi erı é a guizál által kifejtett erı hatáára ozog Jelölje R h a kúpinga ugarát a tet elváláának pillanatában Az egyenlete körozgá dinaikai feltétele alapján: h h A nehézégi é az eredı erı közötti özefüggé pl haonlóágból kapható: Az () é () egyenletek alapján: h 3 h Ebbıl az a határ zögebeég, aelynél a tet elválik a talajtól: H F eh R h F r G h 5 A tet tehát fel fog eelkedni a talajról Ha a zögebeég a egadott ω = 6 / érték, akkor (3) alapján a tet h távolága a talajtól: 0, 90 További haonlóági arányból eghatározható a guizál hoza, illetve egnyúláa: H-h h L R F e F r G A körpálya ugara pedig: 4 0,34 0,9 A zóban forgó állapot elérééhez zükége unka:, J b) A zögebeég további növeléével a rugó egnyúláa egyre nagyobbá válik A (4) özefüggében egy kritiku zögebeég eetén a nevezı nullává válik, a egnyúlá tehát inden határon túl növekedni fog, a tet ne aradhat adott ugarú körpályán A kritiku zögebeég: k 8

9 4 A talaj felett h = 0,8 -re levı, vízzinte helyzető tengelyezett, R = 0,6 ugarú érde korong zélén igen kiérető tet nyugzik A tet é a korong közötti tapadó úrlódái együttható µ = 0,96 Ezt a korongot igen laan egyre gyorabb forgába hozzuk Egy adott pillanatban a ki tet lerepül a korongról Milyen távolra kerül a korong középpontjától, aikor a talajra ér? (Holic Lázló) Megoldá Mivel a korongot igen laan növekvı ebeéggel forgatjuk eg, a ozgá orán fellépı (állandó, ki) érintılege gyorulá elıbb-utóbb elhanyagolható a radiáli (norál, centripetáli) gyorulá ellett A ki tetet a tapadó úrlódái erı kényzeríti a körpályára, így indaddig, aíg a axiáli tapadái úrlódó erı biztoítani tudja a ki tet körozgáát, addig az ne cúzik eg Abban a pillanatban, aikor a körozgához zükége erı nagyobbá válik, int aekkorát a tapadá biztoítani tud, a ki tet azonnal egcúzik, é a egzerzett ebeégével egtartva lendületét, pillanatnyi ozgá irányában, elhagyja a korongot, ivel a korong zélén van (é érete elhanyagolható), a ki tet az érintı irányban távozik (kicúzik alóla a korong) Ekkor ozgáa vízzinte hajítába egy át, é g gyoruláal lezuhan a padlóra Meg kell határozni tehát a vízzinte hajítá kezdıebeégét, ajd a hajítá távolágát Ebbıl a kereett távolág kizáítható A egcúzá annál a ebeégnél következik be, aelyre a centripetáli erı éppen eghaladná a tapadái erı axiuát: v µ g =, R ahonnan a vízzinte hajítá kezdıebeége: v = µgr = 0,96 0 0,6 =,4 Ezzel a ebeéggel kezdıdik h agaágról történı vízzinte hajítá A korong középpontjától R távolágból indulva pereétıl érve h élyéget tez eg, a egcúzá helyétıl vízzinte irányban x távolágot befutva Meg kell határoznunk az eé idejét, ebbıl az x távolágot, ajd a leérkezé helyének a korong középpontjától ért távolágot A hajítá ideje az eéi idıvel egyenlı: Ennyi idı alatt vízzinte irányban x = v t =, 4 0, 4 = 0,96 A kereett d távolág az ábra alapján: h 0,8 t = = = 0, 4 g 0 d = h + AB, ahol az AB távolág R é x zakazok erılegeége iatt: Ezzel a kereett távolág: AB = R + x x d R x h 0,6 0,96 0,8 = + + = + + =,386,4 9