A 2012/2013. évi Mikola Sándor tehetségkutató verseny gyöngyösi döntıjének feladatai és megoldásai. Gimnázium, 9. osztály

Átírás

1 A 0/0 éi Mikola Sádor tehetégkutató erey gyögyöi dötıjéek feladatai é egoldáai Giáziu 9 oztály G Két egyelı l hozúágú foálra rögzített M é töegő kiérető golyó alakú tetet ízziteig kitérítük ajd egyzerre elegedük A tetek ezutá cetrália ütközek a) Milye M/ töegaráy eeté fog az töegő tet eljuti a foál által lehetıé tett legagyobb agaágig? b) Milye agara jut el ebbe az eetbe a M töegő tet? Az ütközét tekitük tökéletee rugalaak! (Ki Mikló) Megoldá Haladjo az M töegő tet ebeéggel az töegő tet ebeéggel Legye pozití az elı tet ebeégéek iráya M Ekkor a töegközéppot ebeége: TKP = M + Térjük át a töegközéppoti redzerbe Itt a ebeégek: u = Ütközé utá a ebeégek: TKP u = TKP u = u = + TKP u = u = + TKP Vizatére az eredeti oatkoztatái redzerbe: = u + = + TKP TKP = u + = + TKP R =l A tetek ízzite helyzetbıl idula = gr ebeéggel egyzerre érkezek az aló pothoz Ezért a töegközéppot ebeége: M M TKP = = M + M + Ez alapjá a tetek ütközé utái ebeége: M M = + TKP = + = M + M + M M = + TKP = + = M + M + a) A áodik tet akkor halad át a körpálya legfelı potjá ha g ahol a R ebeég a legfelı potba Az eergiaérleg: = + gr Az utóbbi kettı alapjá: 5gR Özehaolíta -re kapott két kifejezét értékét M figyelebe ée: 5gR gr M + M ebbıl 5 M + TKP

2 M Ebbıl = b) Az elı tet ebeége ilye töegaráy eeté: M M 89 = = = = gr M + M Iét az eergiaérleg alapjá: Mgh = M Ebbıl h = R 075R G Két köye gördülı kikocit ékoy kezdetbe lazá lelógó guizál köt öze Az ábrá a jobb oldali kocit álladó = / ebeéggel húzzuk A bal oldali = kg töegő koci a zál egfezülée utá egidul a) Mekkora ukát égzük özee addig aíg a bal oldali koci utoléri a jobb oldalit? b) Mekkora olt a guizál axiáli hoza ezalatt ha yújtatla állapotba l 0 = 96 c olt é direkció ereje D = 8 N/ (Holic Lázló) Megoldá a) Midaddig e égzük ukát aíg a guizál eg e fezül Ezutá a jobb oldali koci egyelete ebeégő ozgába aló tartáához áltozó agyágú erıt kell kifejteük aely a guizál által kifejtett pillaatyi erıel együtt éppe zéru eredıt ad Eek az erıek ukáját kell kizáítauk Helyezzük a koordiátaredzert az egyeletee ozgó kocira (ierciaredzer)! Ie éze a bal oldali koci a guizál egfezülééig = / agyágú álladó ebeéggel halad balra ajd egy lauló ozgá égé egy pillaatra egáll (ekkor leghozabb a guizál) é egidul iza Egy idı úla a guizál iét laza lez többé e fejt ki erıt a kocikra é a bal oldali koci ot a jobb oldali kocihoz izoyított = / ebeéggel közeledik a jobb oldali koci felé Ettıl a pillaattól iét e fejtük ki erıt agyi e égzük ukát A talajhoz izoyíta ot a hátó kociak = ebeége a agyi a ukatétel érteébe akkora ukát égeztük aekkoráal a hátó kocit álló helyzetbıl erre a ebeégre gyorítottuk (Az álló koci eergiája e áltozott oha i az elı koci égeztük a ukát!!) A guizál öze ukája 0 (laza állapotból laza állapotba került) Így az általuk égzett uka aíg a hátó koci utoléri az elıt: W = ( ) = = kg = 576 J b) A guizál akkor a leghozabb aikor a hátó koci ebeége (a talajhoz izoyíta) = / Ekkor = D ( l ) ahoa kg l = = = 04 D N 8 azaz a guizál leghozabb érete l ax = l 0 + l = = 6 olt

3 G Valeezbıl kézült kikocihoz egy kiérető erı áge tapad Együtte töegük M = 05 kg Háro kíérletet égeztük Elızör a rakodófelülete áodik eetbe a rakodófelülethez alulról tapada haradzor a koci függılege oldalfalá helyeztük el a áget Midháro eetbe cetrália ütköztettük egy D = 50 N/ rugóálladójú (direkció erejő) égé rögzített elhayagolható töegő rugóal Kellı ebeéggel idíta a kocit az elı eetbe a rugó l = 6 c-e özeyoódáál cúzott eg a áge a áodik eetbe ez az érték l = 8 c olt Mekkora olt a rugó özeyoódáa a haradik eetbe? (Suhajda Jáo) Megoldá D l eet: a = = 6 () D l eet: a = = 8 () A egcúzá pillaatáig a koci é a áge közötti tapadái úrlódái erı biztoítja a áge feti gyoruláait eet eet Írjuk fel a áge által kifejtett F erıt a ágere ható g ehézégi erı x-zereekét: F = x g Ezzel az eetbe a ágere lefelé ható erı ai a yoóerı (kéyzererı) agyágáal egyezik: F = F + g = xg + g = ( x + ) g Ugyaez a eetbe: F = F g = xg g = ( x ) g A áge egcúzáig együtt gyorul a kocial Határeetbe a áge gyoruláai a két eetbe (pozití iráyt a ebeég iráyáal azooak ée) F µ t g ( x + ) a = = = µ t g ( x + ) () ( ) é F µ tg x a = = = µ t g ( x ) (4) ( ) ( ) a = µ tg x + azaz a = µ tg x A két utóbbi egyeletet ozta: a ( x + ) = a ( x ) x-re redeze: a + a a ( x ) = a ( x + ) ax a = ax + a x = a a Beíra a gyoruláok () é ()-beli záértékeit:

4 x ( ) ( ) a + a a a = = = = azaz -zor agyobb a áge ozóerejeit a úlya Ezt felhazála kapjuk az igéyelt tapadái úrlódái együtthatót pl ()-ból: a 6 a = µ tg ( x + ) µ t = = = 04 g x Mot rátérhetük a eetre Tekitük az ábrát! ( ) ( ) A ágere ható eredı erı a határeetbe: ( µ ) ( ) t t F = F g = g x = g = g A áge (é a koci) gyorulá agyága ekkor: F 066 g a = = = 66 így a ozgáegyelet a koci é áge redzerére é a kereett deforáció abzolút értéke: 05 kg 66 a D l = a l = = = 0066 = 66 c D N 50 G4 Kezdetbe yugó M = kg töegő köye gördülı kikocira éritılegee catlakozó R = 05 ugarú egyed körí kereztetzető lejtıt rögzítettük az ábra zerit A koci talajtól ért h = 045 agaa leı platójára = 5 / ebeéggel egy = kg töegő kiérető tet cúzik Milye táol lez egyától a koci é a ki tet aikor az éppe a talajra eik? (Száoljuk g = 0 / -tel!) (Holic Lázló) Megoldá A feladat egy közöége abzolút rugala ütközé eetére ezethetı iza A ki tet é a koci redzere ízzite iráyba zárt ezért egyelete ebeéggel ozog a töegközéppotja Ebbe a töegközéppoti redzerbe ha a ki tet ebeége elegedıe agy a egyedkör elhagyáától kezde függılege hajítát égez (ezalatt idig a koci egyed köréek felı potja fölött arad) ajd izaeik é iét izacúzik a ia felülete Ha e hagyja el a egyed kört felcúzáa utá az ipulzu-eergia özefüggéek áltozatla forába éréyeek Az eergia- é ipulzu-egaradá iatt olya ebeégekre tezek zert a koci é a ki tet it az abzolút rugalaa egyee cetrália ütközı tetek Meghatározzuk hogy a 4

5 egfelelı ebeégekkel ozgó tetek ilye ezire kerülek egyától a izacúzá utái koci elhagyááak pillaatától a talajtéré pillaatáig Ez utóbbit pedig a koci-plató agaága é a ehézégi gyorulá határozza eg Száítáok: A töegközéppot ebeége + MV kg 5 Tkp = = = = 6 + M + M kg + kg A talajhoz izoyított ebeégek az elyújtott ütközé utá : ( ) Tkp u = k + k = 6 5 = ( ) Tkp U = k + kv = 6 0 = Az egyához izoyított ebeégek (akár töegközéppoti redzerbe akár a talaj redzerébe) e ebeégek külöbége agyi rel = U u = 5 = Ekkora ebeéggel idı alatt táolodtak el egyától h 045 t = = = 0 g 0 d = rel t = 5 0 = 45 -re A ki tet alóágo pályája a koci elı elhagyáától a talajra érkezééig: 5

6 A 0/0 éi Mikola Sádor tehetégkutató erey gyögyöi dötıjéek feladatai é egoldáai Szakközépikola 9 oztály SZ Egy töör golyó h = 8 agaról zabado eik ízzite talajra ahol ide felpattaá alkaláal a leérkezékor egleı ozgái eergiájáak k = 0 %-át elezti a) Milye agara jut a golyó az ötödik ütközé utá? b) Mekkora ebeéggel érkezik a talajhoz a hatodik ütközé elıtt? (Holic Lázló) Megoldá a) A golyó kezdeti helyzeti eergiája: E0 = gh0 Ekkora ozgái eergiáal érkezik a talajra Az elı izapattaá utá arad: E = k E = k gh A köetkezı ütközéek orá haolóképpe: ( ) ( ) 0 0 ( ) ( )( ) ( ) E = k E = k k gh = k gh 0 0 ( ) ( ) E = k E = k gh 0 0 Ekkora ozgái eergiája aradt az -ik ütközé utá Ezzel akkora h agaágra jut aelyre az eergia-egaradá zerit: Ie Ez = 5-re: ( ) ( ) 0 gh = k gh ( ) 0 h = k h h = k h = = b) A hatodik ütközé elıtt akkora ebeéggel érkezik a talajra a golyó aekkoráal az ötödik utá elhagyta a talajt agyi: = gh = = 44 Sz Egy töegpot ozgáa két zakazra botható Az elı zakazhoz tartozó átlagebeége a áodikhoz A telje útra oatkozó átlago ebeég é értai közepe = Adjuk eg a két egyelete ozgához tartozó utak aráyát! (Sio Péter) Megoldá Hazáljuk fel a feltételt é az átlago ebeég fogalát! = = t t ( + ) ( t + t ) t t = t + + t t + + t + t t t + tt + t = tt + tt 6

7 Ozuk idkét oldalt t t -el: Vezeük be az x = jelölét! + t + t = t t t + t = + + x x + = + x = x x x = = = x x xt + t = ( ) = Sz Egy = 7 kg töegő a = d oldalélő kocka a ízzite aztallapo fekzik a) Legalább ekkora erı zükége ahhoz hogy a kockát az egyik éle körül eg tudjuk billetei az egyik éle körül? A tapadái úrlódá elegedı agy ahhoz hogy a kocka az átbilleté közbe e cúzo eg b) Legalább ekkora a tapadái úrlódái együttható? (Sio Péter) Megoldá Adatok: = 7 kg a = d a)az igéyelt erı akkor a legkiebb ha a táadápot legezebb a a forgátegelytıl é az erı iráya olya hogy az erıkar i a legagyobb legye Eetükbe ez akkor teljeül ha a jobb felı élbe hat az erı é iráya erılege az A potból az élig húzott egyeere etületbe a égyzet átlójára A kocka egyeúlyba a ezért igaz rá hogy F r = 0 M = 0 Az ábra alapjá a kocka A potjára oatkoztata írjuk fel a forgatóyoatékokra oatkozó feltételt: az F erı A potra oatkoztatott forgatóyoatéka é az g ehézégi erı forgatóyoatéka azoo agyágú: a F a = g F = g 955 N 4 b) Alkalazzuk diaika alapegyeletét elızör y iráyba: g K = g F = g = g 4 4 Mot alkalazzuk a diaika alapegyeletét x iráyba: 7

8 F µ 0 tap ax Ftap = µ 0 K g 4 µ 0 F F g 4 Sz4 Vékoy l = 40 c hozú elhayagolható töegő pálca égeihez N úlyú kiérető A é B teteket erıítük Az így kapott úlyzó alakú redzert ízzite talajra tée az ábra zeriti függılege helyzetbe hozzuk Egy haradik ugyaolya C tetet a talajo idíta ekilökük az A tetek Az ütközékor a úlyzóredzer egyeúlyba é yugaloba a Az ütközé pillaatzerő é teljee rugala a úrlódá zerepe elhayagolható g = 0 / a) Mekkora ebeéggel idítuk a C tetet ha azt akarjuk hogy a úlyzó alakú redzer feleelkedje a talajról? b) Mekkora a C tet kezdıebeége ha a pálca égei léı tetek egyzerre érek talajt? Ez utóbbi eetbe: c) Mekkora a pálcába ébredı erı a repülé közbe? d) Milye eze lez egyától a talajra érkezé pillaatába a B é a C tet? a) Mekkora ebeéggel capódik a talajak az A é a B tet? B C A (Szkladáyi Adrá) Megoldá a) Jelölje a C tet kezdıebeégét Az ütközét köetıe a C tet egáll az A tet pedig ebeéggel idul eg A úlyzóredzer töegközéppotjáak kezdıebeége: Az A tet (é a B i) a töegközéppot körüli forgóozgába kezd aelyek kerületi ebeége zögebeége pedig: Az A tet akkor eelkedik fel a talajról ha cetripetáli gyoruláa agyobb a ehézégi gyoruláál: Az ehhez zükége ebeég: b) Jelölje a C tet kezdıebeégét Ha az A é a B tet egyzerre ér talajt akkor elük együtt érkezik a talajra a redzer töegközéppotja i A úlyzóredzer ezt egelızıe zabado ee é közbe egyeletee foroga ozgott a leegıbe A töegközéppot zabadeééek ideje Eközbe a pálca egyed fordulatot tett eg a leegıbe zögebeéggel ezért 8

9 c) Repülé közbe a töegközéppot zabado eik ezért a pálcába ébredı erı egyelı a tetek körpályá tartáához zükége erıel: d) A talajra érkezé pillaatáig a töegközéppot ízzite iráyú elozduláa: A becapódákor a B é a C tet táolága: e) A talajra érkezékor az A tet ebeégéek ízzite kopoee egyelı a töegközéppot kezdıebeégéel: A függılege özeteı a töegközéppot zabadeéébıl zárazó függılegee lefelé utató ebeégkopoe é a forgóozgából eredı függılegee felfelé utató kerületi ebeég ektori özege: Az A tet ebeégéek agyága: Haolóképpe kapható a B tet ebeége: 9