Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.

Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év 2006. május 10.

Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra

A problémakör... Legyen A egy kommutatív normált gyűrű, és p, q A[[X]]. Legyen R p és R q, a megfelelő sorokhoz tartozó konvergenciasugár, p q pedig jelöli a p és q Cauchy-szorzatát. Tanulmányozzuk azt az esetet, amikor: R p q > min {R p, R q }

Hadamard tételei Értelmezés: Legyen ρ C[[X]], azaz ρ(x) = n=0 a nx n egy komplex hatványsor. Bevezetjük a következő jelöléseket: a m a m+1 a m+2... a m+p a m+1 a m+2 a m+3... a m+p+1 D m,p =....... a m+p a m+p+1 a m+p+2... a m+2p l p = lim sup D m,p 1 m m l = lim sup a m 1 m m

Hadamard tételei Tétel: [Hadamard tételei] l p l p+1 p N Annak az elégséges és szükséges feltétele, hogy létezik olyan p-ed fokú P polinom, melyre a P ρ hatványsor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ soré, a következő: l p < l p+1

Hadamard tételei Ha l p 1 = l p és l p < l p+1, akkor képezve a következő A m rendszereket [A 1 m, A 2 m,..., A p m] ismeretlenekkel: a m+p + A 1 ma m+p 1 +... + A p ma m = 0 a A m : m+p+1 + A 1 ma m+p +... + A p ma m+1 = 0... a m+2p 1 + A 1 ma m+2p 2 +... + A p ma m+p 1 = 0 kapjuk, hogy lim m [A 1 m, A 2 m,..., A p m] = [A 1, A 2,..., A p ]. Képezve a P (X) = 1 + A 1 X +... + A p X p polinomot, a P ρ hatványsor konvergenciaköre nagyobb mint a ρ soré.

Alkalmazás Példa: A fenti tétel alkalmazásaként nézzük a következő példát. Legyen θ C[[X]] a következő hatványsor: θ(x) = 1 2X + X 2 + X 3 2X 4 + X 5 + X 6 2X 7 + X 8 +... Határozzuk meg θ összegét tudva, hogy a keresett összegfüggvény racionális törtfüggvény ( R(X) P (X) alakú, ahol R es P polinomok). Megoldás: Komplex anaĺızisből tudjuk, hogy a θ sor konvergenciasugara egyenlő lesz a P polinom gyökeinek abszolút érténeinek minimumával. Annak függvényében, hogy hány ilyen minimális abszolút értékű gyök létezik, annyiad fokú lesz az Hadamard tételeiben szereplő legkisebb fokú P polinom.

Alkalmazás a n = { 1, ha n 3k + 2 vagy 3k alakú 2, ha n 3k + 1 alakú A fentiek alapján: l = 1 R = lim sup n a n 1 n = 1. Egyszerű számításokkal kapjuk:l 1 = lim sup m D m,1 1 m = l 2 = 1. Tehát nem létezik első fokú P polinom úgy, hogy a P θ sor konvergenciasugara nagyobb legyen mint a θ soré. Hasonló számítások után viszont : 0 = l 2 = lim sup m D m,2 1 m < l 3 = 1. Vagyis a keresett P polinom másodfokú.

Alkalmazás Keressük meg ezt a polinomot! Képezzük a következő egyenletrendszert: { 1 A 1 m 2 + A 2 m 1 = 0 2 + A 1 m 1 + A 2 m 1 = 0 Belátható, hogy a megoldások A 1 m = A 2 m = 1 m N, vagyis a keresett polinom: P (x) = 1 + 1 X + 1 X 2 Szorozzuk össze a P polinomot a θ sorral: P θ(x) = 1 X = R(X). Ezzel megkaptuk θ összegét: θ(x) = 1 x 1 + x + x 2

Alkalmazás Megjegyzés: Általánosítás tetszőleges ρ komplex hatványsorra, melynek az összege racionális törtfüggvény : 1 i = 0, meghatározzuk ρ konvergenciasugarát( 1 l = R) 2 megkeressük a Hadamard tételében szereplő P i polinomot 3 összeszorozzuk a P i polinomot a ρ sorral, vagyis ρ = ρ P i 4 ha ρ egy polinom, akkor végeztünk, ha végtelen sor, akkor alkalmazzuk a 2. lépést miközben növeljük az i indexet 5 összegzünk: a keresett racionális törtfüggvény számlálója P 0 P 1... P i ρ lesz, míg nevezője P 0 P 1... P i.

Normált gyűrűk Értelmezés: Legyen (A, +, ) egy asszociatív gyűrű és N : A R egy pozitív függvény. Azt mondjuk, hogy (A, +,, N) normált gyűrű, ha teljesülnek a következő feltételek: N(0) = 0 és N(x) > 0 x A N( x) = N(x) x A N(x + y) N(x) + N(y) x, y A N(x y) N(x) N(y) x, y A

Normált gyűrűk N normát nem-archimédeszinek nevezzük, ha a harmadik feltétel helyett a következő, ennél erősebb áll fenn: N(x + y) max {N(x); N(y)} x, y A N norma homogén a szorzásra nézve vagy abszolút érték, ha a negyedik feltétel helyett a következő, ennél erősebb áll fenn: N(x y) = N(x) N(y) x, y A

Példák Példa: Normált gyűrűre a legegyszerűbb példa a valós vagy a komplex számok teste felruházva a szokásos abszolút értékkel. Legyen x Q tetszőleges és p N prím. Jelentse p : Q Q a következő függvényt: 1 x p = p ordp(x) ord p (x) Z-t úgy kapjuk, hogy x-et a következő alakba írjuk: x = p ordp(x) u v, ahol sem u sem v nem osztható p-vel, és legyen definíció szerint 0 p = 0 (pl. 14 5 2 = 1 2 ). Észrevehető, hogy Q p = (Q, +,, p ) egy normált test, melyben p norma nem- Archimédeszi. A fentihez hasonlóan megszerkeszthető Z p = (Z, +,, p ) kommutatív normált gyűrű is. Fontos megjegyzés, hogy p homogén a szorzásra nézve: x y p = x p y p x, y Q.

Normált Gyűrűk Tétel: Ha (A, +,, N)-ben N abszolút értek, akkor (A, +, ) integritástartomány. Bizonyítás: Feltételezzük, hogy nem igaz a tétel álĺıtása. Legyenek x, y A zérusosztók ú.h. x, y 0 és x y = 0. Ekkor N(x)N(y) = = N(x y) = N(0) = 0, tehát N(x) = 0 vagy N(y) = 0, ami ellentmondás.

Normált Gyűrűk Megjegyzés: Mivel A zerusosztómentes { következik, } hogy a megszerkeszthető f rac(a) = b a A, b A hányadostest és A frac(a). Legyen M : frac(a) R a következő függvény: ( a ) M b = N(a) N(b) Észrevehető, hogy M jólértelmezett függvény, amely abszolút érték f rac(a) fölött. Természetesen A topológiai teljessége nem elegendő a f rac(a) test teljességéhez a származtatott normával. Jelölje tehát a továbbiakban F rac(a) a f rac(a) test topológiailag teljes burkolóját, amely szintén test.

Hadamard tételei normált gyűrűkre Célkitűzés: Az előbbiekben ismertetett Hadamard eredmény kiterjesztése tetszőleges normált gyűrűre, melyben a norma abszolút érték. Jelölje ρ A[[X]] a továbbiakban a következő hatványsort: ρ(x) = c 0 + c 1 X + c 2 X 2 +... + c n X n +... Legyen 0 < l ρ < + a ρ hatványsor Cauchy-féle állandója, azaz l ρ = lim sup k c k 1 k. Ugyanakkor legyen r ρ = 1 l ρ a ρ konvergenciasugara.

Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Legyen A ρ [X] és F rac(a) ρ [X] a következő két halmaz: { } A ρ [X] = θ A[X] l θ ρ < l ρ { } F rac(a) ρ [X] = θ F rac(a)[x] l θ ρ < l ρ A ρ [X] (F rac(a) ρ [X]) azon A[X]-beli (F rac(a)[x]-beli) polinomokat tartalmazza, melyeket összeszorozva ρ-val a kapott sor konvergenciaköre nagyobb mint a ρ soré.(pl. ha ρ(x) = 1 + X + X 2 +..., akkor 1 X A ρ [X]). Belátható, hogy A ρ [X] F rac(a) ρ [X]. Tétel: A ρ [X] ideálja A[X]-nek (A ρ [X] A[X]). F rac(a) ρ [X] ideálja F rac(a)[x]-nek (F rac(a) ρ [X] F rac(a)[x]).

Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Azt mondjuk, hogy P A[X] a ρ hatványsor egy minimálpolinomja, ha teljesíti az alábbi két feltételt: P 0 és l P ρ < l ρ Q A[X] ú.h. deg(q) < deg(p ) és l Q ρ < l ρ. Tétel: Legyenek P, Q A ρ [X] minimálpolinomok, ekkor a, b A ú.h. ap bq = 0.

Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Jelölje P ρ azt a F rac(a) ρ [X]-beli minimális fokú polinomot, melynek szabad tagja 1. A következő tétel megmutatja, hogy ez a polinom egyértelmű. Tétel: Q A ρ [X] F F rac(a)[x] ú.h.q(x) = F (X)P ρ (X) A[X] Bizonyítás: Mivel F rac(a)[x] főideálgyűrű következik, hogy E F rac(a)[x] ú.h. F rac(a) ρ [X] = (E). Legyen P ρ = E e 0. Mivel A ρ [X] F rac(a) ρ [X] következik a tétel álĺıtása.

Hadamard tételei normált gyűrűkre Megjegyzés: A fenti álĺıtás következménye, hogy a A ρ [X] elemei egyértelműen meghatározottak P ρ által. A következőkben módszert adunk P ρ meghatározására (ha létezik ilyen polinom).

Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Hozzárendeljük a ρ A[[X]] sorhoz a következő állandókat: c m c m+1 c m+2... c m+p c m+1 c m+2 c m+3... c m+p+1 D m,p =....... c m+p c m+p+1 c m+p+2... c m+2p l p = lim sup m l = lim sup m D m,p 1 m c m 1 m

Hadamard tételei normált gyűrűkre Tétel: Legyen (A n ) n k a következő determináns-sorozat : c n+i n 1,1 c n+i n 1,2 c n+i n 1,2... c n+i n 1,p c n+i n 2,1 c n+i n 2,2 c n+i n 1,2... c n+i n 2,p A n =....... c n+i n p,1 c n+i n p,2 c n+i n p,2... c n+i n p,p ahol i n i,j N es in i,j k i, j {1, 2,..., p} (k tetszőleges pozitív szám). Azt álĺıtjuk, hogy: lim sup n A n 1 n l p Következmény: l p l p+1 p N

Hadamard tételei normált gyűrűkre Tétel: Tételezzük fel, hogy létezik olyan P (X) = C 0 + C 1 X +... + C p X p F rac(a)[x] polinom (C 0 0), melyre a P ρ hatványsor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ soré. Ekkor álĺıthatjuk, hogy: l p < l p+1 Tétel: Ha l p < l p+1 és l p 1 = l p, akkor létezik olyan P (Z) = 1 + C 1 Z +... + C p Z p F rac(a)[x] polinom, melyre a P ρ sor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ soré. Megjegyzés: Könnyen igazolható, hogy: l p < l p+1 Q F rac(a) ρ [X] ú.h. deg Q = p Ez közvetlen következménye annak, hogy P ρ oszt minden F rac(a) ρ [X]-beli polinomot.

Hadamard tételei normált gyűrűkre Tétel: [Hadamard tételei normált gyűrűkre ] l p l p+1 p N Ha l p 1 = l p és l p < l p+1, akkor képezve az alábbi A m egyenletrendszer-sorozatot [C 1 m, C 2 m,..., C p m] ismeretlenekkel: c m+p + C mc 1 m+p 1 +... + Cmc p m = 0 c A m : m+p+1 + Cmc 1 m+p +... + Cmc p m+1 = 0... c m+2p 1 + Cmc 1 m+2p 2 +... + Cmc p m+p 1 = 0 lim m [C 1 m, C 2 m,..., C p m] = [C 1, C 2,..., C p ] F rac(a) p. Ha [C 1, C 2,..., C p ] frac(a) p Z A[X] ú.h. deg Z = p és Z a ρ sor minimálpolinomja

Példák Megjegyzés: Az l p 1 = l p és l p < l p+1 feltételek szükségesek, de ellentétben a komplex esettel, nem elégségesek a minimálpolinom létezéséhez, mint ahogy ezt az alábbi példa is igazolja. Példa: Legyen a gyűrű, amely fölött dolgozunk Z, az abszolút értékkel ellátva, és legyen ρ Z[[X]] az a hatványsor, melynek együtthatóit az alábbi képlet határozza meg: z n = [e n ] Könnyen észrevehető, hogy l = e. Megkeressük a P ρ polinomot, de előbb lássuk be az alábbi egyenlőtlenségeket: 1 < [e n+1 ] e[e n ] < e Következik, hogy [e n+1 ] e[e n ] < e n N.

Példák Vizsgáljuk meg D m,1 értéket: D m,1 = z m z m+1 z m+1 z m+2 = [e m [ ] e m+1 ] [ e [e m ] e m+1 ] [ e m+2] e [ e m+1] 2 [ e m+2] max { [ e m+2] e [ e m+1], [ e m+1] e [e m ] } Írhatjuk, hogy: l 1 = lim sup m 2e Következik, hogy deg(p ρ ) = 1. [e m+2] D m,1 1 m lim sup (2e [e m+2] ) 1 m = e < e 2 = l 2 m

Példák Keressük meg P ρ polinomot: A m : { z m+1 + C 1 mz m = 0 A megoldás Cm 1 = z m+1 z m = [em+1 ] [e m ]. Könnyen észrevehető, hogy lim m Cm 1 = e, tehát: P ρ (X) = 1 ex Nyilvánvaló, hogy P ρ F rac(a)[x]\frac(a)[x] = R[X]\Q[X]. Mivel P ρ oszt minden A ρ [X]-beli polinomot következik, hogy A ρ [X] a null-polinomon kívül nem tartalmaz semmit.

Példák Példa: Ez a példa megmutatja, hogy Q A ρ [X] minimálpolinom esetén nem mindig lesz deg(p ρ ) = deg(q). Legyen a gyűrű, amely fölött dolgozunk Z, ellátva az abszolút értékkel, és legyen ρ Z[[X]] az a hatványsor, melynek együtthatóit az alábbi képlet szerint határozzuk meg: [ n ] z n = 2 Észrevehető, hogy l = 2. Megkeressük a P ρ polinomot, de előbb lássuk be, hogy [ 2 n+1 ] 2[ 2 n ] < 2 n N.

Példák Vizsgáljuk meg D m,1 értékét: D m,1 = z m z m+1 z m+1 z m+2 = = [ 2 ] [ m ] m+1 2 [ 2 ] m 2 [ 2 ] [ m+1 ] m+2 2 [ 2 ] m+1 2 2 [ m+2 ] 2 2 Tehát írhatjuk: l 1 = lim sup m vagyis deg(p ρ ) = 1. D m,1 1 m lim sup (2 2 [e m+2] ) 1 2 m = 2 < 2 = l 2 m

Példák Keressük meg P ρ -t: A m : { z m+1 + C 1 mz m = 0 h 2 m+1 i A megoldás Cm 1 = [ 2 m ] lim m Cm 1 = 2, tehát:. Könnyen észrevehető, hogy P ρ (X) = 1 2X Feltételezzük, hogy létezik Q A ρ [X] minimálpolinom. Láttuk, hogy P ρ R[X]\Q[X]. Mivel P ρ oszt minden A ρ [X]-beli polinomot következik, hogy deg(q) > deg(p ρ ). Legyen Q alakja a következő: Q(X) = 1 2X 2 = (1 2X)(1 + 2X) tehát Q lehet a ρ egy minimálpolinomja, és deg(q) = 2.

Banach-algebrák Jelentésen a továbbiakban (A, +,, ) egy kommutatív normált K fölötti Banach-algebrát (K = C vagy K = R). Azt mondjuk, hogy a egy A-beli hatványsor, ha a : K A: a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n +... x K Legyen p és q két A-beli hatványsor, melyeknek együtthatói (p m ) m N és (q m ) m N. Így azonosítható p és q a következő A -beli oszlopvektorokkal: p [p 0, p 1, p 2, p 3,...] t q [q 0, q 1, q 2, q 3,...] t

Banach-algebrák Értelmezés: Legyen D : A M (A) a következő függvény: p 0 0 0 0... p 1 p 0 0 0... D(p) = p 2 p 1 p 0 0... p 3 p 2 p 1 p 0.......... Könnyen igazolható, hogy D algebramorfizmus A és M (A) között. A fent bemutatott D operátor segítségével értelmezünk egy műveletet az A halmazon: p q = D(p) q = D(q) p Könnyen ellenőrizhető, hogy (A, +,, K) kommutatív algebra voltából (A, +,, K) is kommutatív algebra.

Banach-algebrák Értelmezés: Legyen l : A R a következő valós funkcionál : l(q) = lim sup q m 1 m m Megjegyzés: A továbbiakban a D(p) és l(p) jelölések helyett, D p és l p lesz használatos.

Banach-algebrák Tétel: p, q A esetén: l p+q max {l p, l q } Tétel: p, q A esetén: l p q max {l p, l q }

Banach-algebrák Értelmezés: Legyen p A úgy, hogy + > l p > 0. Bevezetjük a következő három halmazt: U p = {q A l p q < l p } V p = {q A l q < l p, l p q < l p } W 1 = {q A l q < 1} Tehát U p azon q hatványsorok halmaza, melyekre a p q sor konvergenciaköre nagyobb mint a p soré (l p q < l p ). Hasonlóan, V p azon q hatványsorokat tartalmazza, melyeknek megvan az előbb elmondott tulajdonságuk és konvergenciasugaruk nagyobb mint a p soré (l q < l p ), végül W 1 pedig azokat, amelyeknek konvergenciasugaruk szig. nagyobb mint 1.

Banach-algebrák Tétel: U p résztere A -nek. Tétel: V p résztere U p -nek. V p és W 1 részalgebrái A -nek.

Banach-algebrák Értelmezés: Legyen ρ A ú.h. + > l ρ > 0. Jelentse T ρ : A A a következő függvényt: T ρ (q) = [ q 0, q 1 l ρ, q 2 l 2 ρ, q 3 l 3 ρ, q ] t 4 lρ 4,... Egyértelmű, hogy T ρ algebraautomorfizmus, tehát U ρ T ρ (U ρ ), illetve V ρ T ρ (V ρ ). Legyen U ρ = T ρ (U ρ ), V ρ = T ρ (V ρ ) és ρ = T ρ (ρ) = [ ρ0 l 0 ρ, ρ 1 l 1 ρ, ρ 2 l 2 ρ, ρ 3 l 3 ρ, ρ 4 l 4 ρ,...] t A. Tétel: U ρ D 1 ρ (W 1 ) és V ρ W 1 D 1 ρ (W 1 )

Banach-algebrák Megjegyzés: Az előző paragrafus utolsó tétele szerint V ρ algebrailag megegyezik W 1 D 1 ρ (W 1 )-el, tehát elegendő egy normát bevezetni az utóbbi halmazon, amelyet bijektíven átvihetünk az előbbire.

Banach-algebrák Értelmezés: Legyen W1 : W 1 R + a következő függvény: { } q W1 = inf q n (1 + ε) n ε R + n=1 Tétel: (W 1, +,, W1 ) kommutatív normált algebra. Tétel: (V p, +,, W1 ) kommutatív normált algebra.

Hadamard tétele Banach-algebrákra? Sejtés[Hadamard tétele Banach-algebrákra?]: D ρ Toeplitz-operátor folytonos a V ρ halmazon W1 M ρ R ú.h. D ρ (q) W1 M ρ q W1 q V ρ