Modellek áekiése Összeállíoa: dr. Gerzso Miklós egyeemi doces PTE PMMIK Műszaki Iformaika Taszék 205.2.06. Ielliges redszerek I. PTE PMMIK Mérök iformaikus BSc szak
A redszer fogalma A redszer kölcsöhaások és kölcsöös összefüggések álal összekapcsol objekumok halmaza Kölcsöhaások: ayag-, eergia- és iformációáadással járó folyamaok Modellek/2
Redszerfogalmak álaláos jellemzői A redszer agol egész A rész egész viszoy a szerkezebe és a ulajdoságokba A redszer kölcsöhaásba álló elemek összessége kapcsolaok - relációk Modellek/3
Redszerfogalmak álaláos jellemzői A redszer egység redszeralkoó éyező lée auoóm - heeroóm Hirerarchia auoomiás modulariás heeroomiás redszerparadoxook Modellek/4
Jel- és redszermodellek modellek segíségével: a valóság egy részéek kiemelése jeleségek leegyszerűsíése ismereek rögzíése áadása udomáyos modellalkoás objekív fizikai, kémiai, gazdasági örvéyek maemaikai formalizmusok Modellek/5
Jel- és redszermodellek Modellek ípusai fukcioális fizikai maemaikai Modellek/6
Jel- és redszermodellek A maemaikai modell ismereayaga örvéyek srukúra saikus paraméerek állapo diamikus Modellek/7
Jel- és redszermodellek Modellezés alapfogalmai szeparáció körülhaárolás szelekció válogaás egyszerűsíési hiba gazdaságosság Modellek/8
Jel- és redszermodellek Modellalkoás módszerei A felhaszál iformáció forrása a priori a poseriori dedukív modellezés idukív modellezés Modellek/9
Kálmá-féle redszer defiíció állapoér defiíciók bemee-kimee modellek (érbeli) bemeeek redszer (érbeli) kimeeek (időbeli) bemeeek - kimeeek Modellek./0
Kálmá Rudolf Rudolf Emil Kalma was bor i Budapes, Hugary, o May 9, 930. He received he bachelor's degree (S.B.) ad he maser's degree (S.M.) i elecrical egieerig, from he Massachuses Isiue of Techology i 953 ad 954 respecively. He received he docorae degree (D. Sci.) from Columbia Uiversiy i 957. His major posiios iclude ha of Research Mahemaicia a R.I.A.S. (Research Isiue for Advaced Sudy) i Balimore, bewee 958-964, Professor a Saford Uiversiy bewee 964-97, ad from 97 o 992 Graduae Research Professor, ad Direcor, a he Ceer for Mahemaical Sysem Theory, Uiversiy of Florida, Gaiesville. Moreover, sice 973 he has also held he chair for Mahemaical Sysem Theory a he ETH (Swiss Federal Isiue of Techology) Zurich. He is he recipie of umerous awards, icludig he IEEE Medal of Hoor (974), he IEEE Ceeial Medal (984), he Kyoo Prize i High Techology from he Iamori foudaio, Japa (985), he Seele Prize of he America Mahemaical Sociey (987), ad he Bellma Prize (997). He is a member of he Naioal Academy of Scieces (USA), he Naioal Academy of Egieerig (USA), ad he America Academy of Ars ad Scieces (USA). He is a foreig member of he Hugaria, Frech, ad Russia Academies of Sciece, ad has received may hoorary docoraes. He is married o Cosaia ee Savrou, ad hey have wo childre, Adrew ad Elisabeh. Modellek./
Kálmá-féle redszer defiíció Bevezeő fogalmak. Idő T - időhalmaz folyoos diszkré véges végele (egyik vagy midké iráyba) Modellek./2
2. Ado a Kálmá-féle redszer defiíció a leheséges bemeei érékek halmaza U, u U a leheséges kimeei érékek halmaza Y, y Y a leheséges belső állapo érékek halmaza X, x X Modellek./3
Kálmá-féle redszer defiíció 3. Ado a leheséges bemee-időfüggvéyek halmaza = { : T U } a leheséges kimee-időfüggvéyek halmaza = { : T Y } u( ) y( ) Modellek./4
Kálmá-féle redszer defiíció Axiómák. A bemeeek szévághaósága bemeeszegmes fogalma (, 2 ] T időiervallum u( )/ (, 2 ] u( ) (, 2] szévághaóság < < 2 u ( ) = u( )/ (, ] u 2 ( ) = u( )/ (, 2 ] Modellek./5
Kálmá-féle redszer defiíció 2. Az állapo-ámeei függvéy léezése : T T X X x( 2 )= ( 2,, x( ), u( ) (, 2] ) ulajdoságok. 2 -re igaz; 2. 2 = eseé x( 2 )= x( ); koziszecia Modellek./6
Kálmá-féle redszer defiíció 3. ha < < 2, akkor x( 2 ) = ( 2,, x( ), u ( ) (, 2] ) = = ( 2,, x( ), u ( ) (, 2] ) ; 4. Egyérelműség: ha x( ) = x ( ) és u( ) = u ( ) / (, 2 ] akkor x( 2 ) = x ( 2 ) Modellek./7
Kálmá-féle redszer defiíció 3. A kiolvasó (kimeei) függvéy léezése : T X U Y y( ) = (, x( ), u ( )) Modellek./8
Kálmá-féle redszer defiíció Redszerdefiíció: = (T, X, U, Y,,,, ) ahol T az időhalmaz X a leheséges belső állapook halmaza U a leheséges bemeei érékek halmaza Y a leheséges kimeei érékek halmaza a leheséges bemee időfüggvéyek h.-a a leheséges kimee időfüggvéyek h.-a az állapoámeei függvéy a kiolvasó függvéy Modellek./9
Kálmá-féle redszer defiíció éháy elevezés: (, x ) - eseméy T X eseméyér vagy fázisér állapoávieli függvéy rajekória, pálya, folyam, megoldás, megoldási görbe Modellek./20
Kálmá-féle redszer defiíció az / u() bemee vagy beavakozás a redszer x( ) állapoá áviszi vagy áraszformálja a ( 2,, x( ), u ( ) (, 2] ) állapoba, azaz a redszer működik ha -ak egyele eleme va, akkor - szabadak evezzük reverzibilis redszer, ha az állapo-ámeei függvéy eszőleges, 2 érékekre eljesül Modellek./2
Redszerek oszályozása A T időhalmaz alapjá: folyoos idejű diszkré idejű Az X, U, Y halmazok érékei alapjá: számszerűek emszámszerűek Az X állapohalmaz alapjá: véges állapoú végele állapoú Modellek./22
Redszerek oszályozása Az X, U, Y,, halmazok alapjá: lieárisak emlieárisak A függvéy alapjá: időivariás idővariás A, u(), y() függvéyek alapjá: deermiiszikus - szochaszikus Modellek./23
Redszerek oszályozása A függvéy érékeiek a helyől való függése alapjá: véges dimeziós végele dimeziós (kocerál paraméerű eloszo paraméerű) Véges állapoú, diszkré idejű, időivariás redszerek auomaák Modellek./24
Kálmá-féle redszer defiíció Redszerdefiíció: = (T, X, U, Y,,,, ) ahol T az időhalmaz X a leheséges belső állapook halmaza U a leheséges bemeei érékek halmaza Y a leheséges kimeei érékek halmaza a leheséges bemee időfüggvéyek h.-a a leheséges kimee időfüggvéyek h.-a az állapoámeei függvéy a kiolvasó függvéy Modellek/25
Állapoér modell Lieáris, időivariás, folyoos idejű állapoér modell: x Ax Bu y Cx Du ahol x a belső állapook vekora u a bemeei vekor y a kimeei vekor A az állapo-ámeei márix B a bemeei márix C a kimeei márix D a segédmárix Modellek/26
Az állapoér modell A modell elemeiek dimeziója x Ax Bu SISO MIMO dim(x) dim(u) p dim(y) r dim(a) dim(b) p dim(c) r dim(d) rp x Ax bu x Ax Bu y Cx Du y c T x du y Cx Du Modellek /27
Az állapoér modell az állapoér modell blokkdiagramja Modellek /28
Modellek /29 Az állapoér modell idővariás, lieáris állapoér modell: emlieáris, időivariás állapoér modell: x D x C y u B x A x u x g y u x f x,,
Az állapoér modell diszkré idejű, lieáris, időivariás állapoér modell: x y k T xkt ukt kt C xkt DukT h h h h h h ahol T h a miavéelezési időköz Modellek /30
Állapoér modell - példa Példa F i K v h h 2 K v2 A A 2 F F o ahol A, A 2 az. ill. 2. arály alaperülee h, h 2 az. ill. 2. arálybeli szimagasság K v, K v2 a szelep elleállási éyezők F i, F, F o belépő, áfolyó, kilépő vízáram Modellekl/3
Állapoér modell - példa a leíró egyeleek: F i arálybeli belépő kilépő meyiség = áram - áram megválozása K v h A A 2 F h2 K v2 F o. arály 2. arály A h 2 A h 2 F i K v K v h h h h2 h2 2 K v2 Modellek/32
Modellek/33 Állapoér modell - példa legye a ké állapoválozó h és h 2 x vekor elemei a bemeő válozó F i u (egy bemee) a kimeő válozó F y (egy kimee) az egyeleek áalakíása uá: 2 2 2 2 2 2 2 2 h h K F h K A K A h K A h F A h h A K h v v v v i v
Modellek/34 Állapoér modell - példa ebből az állapoér modell: = A x + B u y = C x + D u i A K K A K K K A A K A K F h h h h v v v v v v v 0 2 2 2 2 2 2 2 2 h h K K F v v x
Bemee/kimee modellek Redszerdefiíció: = (T, X, U, Y,,,, ) hagyjuk el az állapora voakozó elemeke vezessük be az A idexhalmaz és az F függvéycsaládo: F = {f f : T Y, A} F egyes agjai: y() = f (, u()) ahol az y() az u() bemeeből a időpillaaba kapo eredméy az kísérle eseébe Modellek/35
Bemee/kimee modellek az függvéyeke ipu/oupu (bemee/kimee) függvéyekek evezzük, melyekre igaz: (az idő iráya) léezik az : A T leképezés úgy, hogy f (, u()) defiiál () -ra (okozaiság) Legye, T és <. Ha u(),u () és u() (, ] = u () (, ] akkor f (, u()) = f (, u ()) -ra úgy, hogy = () Modellek/36
Bemee/kimee modellek Bemee-kimee modell defiíciója I/O = (T, U, Y,,, F) a diamikus bemee/kimee modellek a kísérlei adaok összefoglalásai az abszrak paraméerrel megcímkéze kísérleek egy alkalmazo bemeeből ( vagy u()) és egy megfigyel kimeeből (y()) állak. Modellek/37
Bemee/kimee modellek A bemee-kimee modell alakjai: álaláos alak: y() = F(u(), 0 ) + y( 0 ) diamikus redszerek eseé ez az álaláos alak áírhaó differeciálegyeleé: f (y(), y() (),, y() (), u(), u() (),, u() (m), ) = 0 Modellekl/38
Bemee/kimee modellek Lieáris, időivariás, folyoos idejű bemeekimee modell: a y m a y a y a0 y bmu 0 b u ahol u a bemeő jel y a kimeő jel a,,a 0,b m,,b 0 paraméerek Modellek/39
Modellek/40 Bemee/kimee modellek Lieáris, idővariás, folyoos idejű bemeekimee modell: az együhaók (a,,a 0,b m,,b 0 ) időfüggők! u b u b y a y a y a y a m m 0 0
Modellek/4 Bemee/kimee modellek Diszkré időaromáy differeciaegyele modell előrefelé ve differeciák visszafelé ve differeciák kt u d m T k u d kt y c T k y c T k y c T k y c m 0 0 m T d k u d T d k u d T d k u d T k y c T k y c T k y c kt y c m 0 0
Bemee/kimee modellek m b u I/O modell jelzői: a y a y a0 y lieáris időivariás folyoos idejű y( 0 ),, y (-) ( 0 ) kezdei feléelek -ed redű m oksági szabály ihomogé SISO m 0 b u Modellek/42
Ávieli függvéy Az ávieli függvéy: G s m m ( ) bms bm s b as a s a0 L y L u z. k. f. 0 lieáris redszerek függele a kokré bemeeől redszer ulajdoságaiak hordozója felírhaó az állapoér modell alapjá is! Modellek /43
Ávieli függvéy szokásos jelölései: G( s) Y( s) U( s) b( s) a( s) z( s) p( s) számláló gyökei: zérushelyek evező gyökei: pólusok alkalmazása ado bemee eseé a kimee meghaározására: Y(s) = G(s)U(s) Modellek/44
Tipikus vizsgálójelek Egységimpulzus függvéy: () 0 0 0 válaszfüggvéy: súlyfüggvéy Egységugrás függvéy: () 0 0 0 válaszfüggvéy: ámeei függvéy Modellek /45
Tipikus vizsgálójelek Egység sebességugrás függvéy: v() v 0 0 0 Egységgyorsulás függvéy: a() Sziuszos jellegű bemee: Asi Radom jellegű (véleleszerű) bemee: ormális eloszlású, egyelees eloszlású, PRBS zaj bemeeek Modellek /46
Tipikus jelávieli agok Nulladredű ag = 0, m = 0 I/O modell: a0 y b0u ávieli függvéy: G s K jellemző paraméerek: K - erősíés Modellek /47
Tipikus jelávieli agok Elsőredű ag =, m = 0 I/O modell: ávieli függvéy: a y b u a y 0 0 s K s jellemző paraméerek: K erősíés időálladó G Modellek/48
Tipikus jelávieli agok Iegráló ag =, m = 0 de a 0 = 0 I/O modell: a y b0u ávieli függvéy: G( s) T s jellemző paraméerek: T I iegrálási időálladó K I iegráló erősíés I K s I Modellek/49
Tipikus jelávieli agok Deriváló ag =0, m= em megvalósíhaó ese I/O modell: () a0 y bu ávieli függvéy: G( s) T jellemző paraméerek: T D deriválási időálladó D s =, m= megvalósíhaó ese () a y b u () I/O modell: a y 0 ávieli függvéy: TDs G( s) T s Modellek/50
Tipikus jelávieli agok Másodredű ag = 2, m = 0 I/O modell: ávieli függvéy: 2 a y a y b u a2 y 0 0 G( s ) 2 K 2 2 2Ts s 2 s jellemző paraméerek: K erősíés - csillapíási éyező T időálladó / - ermészees frekvecia T 2 s 2 K Modellek/5
Tipikus jelávieli agok -ed redű ag > 0, m = 0, a 0 0 I/O modell: a a y a y a y b u y 0 0 ávieli függvéy: jellemző paraméerek: K erősíés T i időálladók G( s ) T s T K s T s Modellek/52
Modellek/53 -ed redű iegrálóag > 0, m = 0, a 0 = 0 I/O modell: ávieli függvéy: jellemző paraméerek: T Ii iegrálási időálladók b u y a y a y a 0 s T s T s T G s I I I ) ( Tipikus jelávieli agok 2 I I I T s T s T s