Szolnoki Tudományos Közlemények XV. Szolnok, 011. Prof. Dr. Szabolcsi óbert 1 UAV EXTEMÁLS EPÜLÉS PÁLYA SZÁMÍTÁSA A pilóta nélküli légijárműeket (UAV ) széles körben használják úgy katonai-, mint nem-katonai (pl. katasztrófaédelem, közlekedési kritikus infrastruktúra megfigyelése, agyonédelmi feladatok, mezőgazdasági feladatok, ipari balesetek megfigyelése stb.) missziókban. Az egyes alkalmazásokban az UAVk különféle sárkányszerkezeti kialakításokkal rendelkeznek: lehetnek mereszárnyúak, agy forgószárnyúak (helikopter, multirotor). A propulziós rendszerek lehetnek sugárhajtóműek, belsőégésű motorok, agy illamos motorok. Tekintettel a leendő UAV alkalmazásainkra, a szerző a illanymotoros propulziós rendszerekre korlátozza izsgálatait. A szerző célja bemutatni a klasszikus ariációszámítás gyakorlati alkalmazását pilóta nélküli légijárműek (UAV) extremális repülési pályájának számítására, amely biztosítja, hogy egy előre megálasztott funkcionál extremumát (minimum, maximum). A téma kiemelten fontos, mert a bemutatandó elméleti ismeretek jól használhatóak az optimális repülési pályák számítására, amely mentén biztosított például a minimális energiaigén agy a maximális hatótáolság. CALCULUS OF THE UAV EXTEMAL FLGHT PATH There is a wide range of application of the UAVs both in militar and in non-military (disaster management, monitoring of the transportation critical infrastructure, property safety problems, agricultural tasks, monitoring of industrial accidents etc.) missions. n the gien flight mission the UAV may hae seeral different airframe (fixed wing fuselage, rotary wing force generation) and different propulsion system, i.e. they may use jet engine, piston engine, or, finall electrical engine. egarding our future UAV applications author will target focus of attention to those types of UAVs haing electrical engines as propulsion system. The aim of the author is to present application of the calculus of ariation for deriation of the extremum (minimum, or maximum) of the functional deried well-before. The scientific topic being inestigated in this article is important due to further application of the theoretical results for deriation of the flight path requiring minimum energ or for deriation of the maximum of the flight range.. ELŐZMÉNYEK A légijárműek térbeli mozgásának matematikai modelljét az [1, 8, 11, 14] irodalmak mutatják be. E könyek foglalkoznak úgy a mere-, mint a forgószárnyú légijárműek mozgásának izsgálatáal, alamint a stabilitási, az irányíthatósági-, és a kormányozhatósági 1 Zrínyi Miklós Nemzetédelmi Egyetem, Hadtudományi Kar, Katonai Üzemeltető és Logisztikai ntézet, Katonai epülő és Légédelmi Tanszék, okleeles mérnök ezredes, egyetemi tanár. 1581 Budapest, Pf. 15., 5008 Szolnok, Pf. 1. Email: szabolcsi.robert@zmne.hu A cikket lektorálta: Dr. Békési Bertold ZMNE, egyetemi docens, PhD. UAV - Unmanned Aerial Vehicle
kritériumokkal. A cikk elkészítése során a matematikai elméleti hátteret a [3, 6, 7, 9, 10] könyek adták. A hiatkozott matematikai kézikönyek sokszor gyakorlati példákat is bemutatnak az elmélet alkalmazására. A ariációszámítás elméleti hátteréel a [4, 5, 1] foglalkozik, míg a [] irodalom a ariációszámítás alkalmazását mutatja be cirkálórakéták extremális pályaterezése során: a szerző kiemelt jelentőséget tulajdonít még a ballisztikus rakéták extremális (optimális) repülési pályájának terezésének is. Szegedi és Békési cikkükben pilóta nélküli repülőgép teljes állapot-isszacsatolású, optimális szabályozó terezését mutatta be az LQ optimális terezési algoritmus felhasználásáal, ami biztosítja a hosszirányban statikusan instabil UAV dinamikus stabilitását [13].. UAV TÉBEL MOZGÁSÁNAK EGYENLETE Az UAV lehetséges osztályaiból most egy hipotetikus mereszárnyú UAV-t izsgáljuk meg. Vizsgálataink során feltételezzük, hogy: az UAV kisméretű, mere test; az UAV dinamikus egyenleteit anyagi pontra írjuk fel; az UAV tömege állandó; az UAV röid idejű beetést hajt égre földközeli magasságokon; az UAV szimmetrikus felépítésű; az UAV kisértékű állásszögeken manőerezik; az UAV repülési szimmetrikus az UAV hossz-, és oldalirányú irányítási csatornái között nincs áthatás: a térbeli mozgás a hosszirányú-, és az oldalirányú mozgásra bontható. Az UAV hosszirányú mozgásának linearizált mozgásegyenletei a köetkező alakban írható fel [1, 8, 11, 14]: u Xuu Xww woq g coso X TH, (.1) w Zuu Zww uoq g sin o Z E, (.) q M uu M ww M ww M qq ME, (.3) TH E E q. (.4) ahol: u - hosszirányú repülési sebesség a test-koordináta rendszer hossztengelye mentén, w - függőleges repülési sebesség a test-koordináta rendszer függőleges tengelye mentén, - bólintási szög, q - bólintó szögsebesség, m - az UAV repülési tömege, TH - gázkar helyzetének áltozása, E - magassági kormány szöghelyzet áltozása; Z i, M j - deriatí együtthatók. Az UAV oldalirányú mozgásának linearizált mozgásegyenletei a köetkező alakban írható fel [1, 8, 11, 14]: Y u r w p g cos Y, (.5) xx o o o p xz r L Lrr Lp p L A A L, (.6) r xz p N Nrr N p p N A A N, (.7) zz
p sin o, (.8) r cos o. (.9) ahol: - oldalirányú egyenesonalú repülési sebesség a test-koordináta rendszer kereszttengelye mentén, p - orsózó szögsebesség, r - legyező szögsebesség, A - csűrőlapok szöghelyzet áltozása; - oldalkormány szöghelyzet áltozása; Y i, L j, N k - deriatí együtthatók, - tehetetlenségi nyomatékok. A (.1)-(.9) egyenletek leezetéséel kapcsolatban az [1, 8, 11, 14] irodalmak kellő mélységű elméleti ismeretet mutatnak be. Többek között, meghatározzák az egyes mozgásfajták állapotegyenleteit, alamint a röid-, és a hosszúperiodikus mozgások definiálásáal toább egyszerűsítik a bemutatott mozgásegyenlet rendszereket.. A GAZDASÁGOS GYOSÍTÁS, ÉS A GAZDASÁGOS LASSÍTÁS FELTÉTELENEK MEGHATÁOZÁSA A maximális táolság-, és maximális idő-funkcionálokat a köetkező összefüggések adják meg [, 4, 5, 6]: x k k t y ( ),, d, (3.1) y ( ),, d, (3.) g 1 ahol ( ), funkcionál (célfüggény), k - a kezdőállapot sebessége, - a (, y) égállapot sebessége, t - a égállapot eléréséhez szükséges idő, ( ) - eredő légerő. Az y () függény az alábbi kezdeti feltételeknek tesz eleget: y, ha k, (3.3) y k y y, ha. (3.4) A (t) sebesség-időfüggényt szigorúan monoton nöekőnek tekintjük a gyorsítás során, míg szigorúan monoton csökkenő a siklás során (1. ábra). Ennek köetkeztében, a (3.1), és a (3.) funkcionálokban a sebesség független áltozó, amely gyorsításkor a k kezdeti, és a égérték között áltozik, ahol gyorsításkor k, és lassításkor k. 1. ábra. UAV gyorsítás, és lassítás sebesség-diagramok. 3
Feltételezzük, hogy az () k k y, égpontot összekötő folytonos függények, amelyek az S o területen haladnak. A megengedett trajektóriákra kiegészítő feltételt adunk meg, amely szerint a repülés pályaszöge kis értékű, agyis teljesül az alábbi egyenlet [, 4, 5]: y megengedett trajektóriák az y, kezdőpontot és az 1 dy d sin, (3.5) d dt g ahol: - pályaszög, ( ) P Q( ) - eredő légerő a hossztengely mentén, P áll. - propulziós erő, Q ( ) - légellenállás. Legyen a pályaszög megengedett minimális értéke 1 0, míg a megengedett maximális pályaszög érték 0. Mindezek alapján az y '( ) függény a köetkező egyenlőtlenségi feltételnek tesz eleget [, 4, 5]: sin 1 sin. (3.6) g Ezek a peremfeltételek határozzák meg a megengedett y () függény belső határát az S o tartományon. A tartomány külső határait a (3.3) kezdeti feltétel esetén az egyenlet, míg a (3.4) peremfeltétel mellett az sin 1, (3.7) g sin 1 sin, (3.8) g sin egyenlet adja meg []. A (3.7), és a (3.8) egyenlettel megadott függények határolják az síkon az S o tartományt. Fogalmazzuk meg a köetkező ariációszámítási feladatot [, 3, 4, 5, 6]: a megengedett y () függényosztályon keressük azt a függényt, amely biztosítja: a) a gyorsítás során az x úthossz minimális (gyorsítás a minimális úthosszon a megadott repülési sebességig), és a x maximális siklás esetén; b) a gyorsítás során a t idő minimális (gyorsítás a megadott repülési sebességig a legröidebb idő alatt), és a t idő maximális a siklás során; c) megadott t alatt a gyorsítás során az x úthossz minimális (gyorsítás a megadott repülési sebességig, megadott idő alatt, minimális út megtétele alatt), és x úthossz maximális megadott t időre a siklás során (maximális táolság megadott idő alatt a siklás során). 3.1. Az x és a t extremuma Az előző fejezetben bemutatott ariációszámítási feladat az egyik legegyszerűbb, miel a funkcionál explicit alakú. Ezért az extremálok az Euler-egyenletnek eleget teő integrálegyenletek. A (3.1), és a (3.) integrálok integrandusai lineárisan függenek az y '( ) deriálttól. Az y () és az y '( ) függények ariációit az alábbi egyenletek segítségéel írhatjuk fel: 4
y y x 1 (, ) d, (3.9) k ahol: Megemlítjük, hogy y y t (, ) d, (3.10) k g 1 ( ), y (3.11) g g ( ), y (3.1) c y áll. c y cy, (3.13) y y c y áll. c y cy, (3.14) y ahol: c y - felhajtóerő tényező. A S o területen belül elhelyezkedő extremálisokat az alábbi egyenletek határozzák meg: 1( ) 0, (3.15) ( ) 0, (3.16) 1( ) ( ) 0, (3.17) ahol - Lagrange multiplikátor. A (3.15) egyenlet az x extremumát, a (3.16) egyenlet a t extermumát, míg a (3.17) egyenlet az x extremumát adja meg megadott t mellett. A (3.15) és a (3.16) egyenletek egyedüli megoldásként az S o terület belső extremumát adják meg, míg a (3.17) egyenlet az S o tartományon belül -ban paraméterezett görbesereg, amelyek mindegyikének megfelel egy t érték. A maximális táolságú, és maximális idejű extremális siklás feladatának megoldását az alábbi feltétel mellett kapjuk meg: 0 esetén: 1 0 esetén: x x max, (3.18) t t max. (3.19) A (3.18), és a (3.19) egyenleteknek az alábbi funkcionálok felelnek meg []: o g 1 ( ), (3.0) o g g ( ), (3.1) 5
ahol: Q. Az extremum sajátosságainak meghatározásához elengedhetetlen a t második ariáció ismerete [, 4, 5]: x, és a ahol: 1 y y x 1(, ) d, (3.) k 1 y y t (, ) d, (3.3) k j j, j 1,. (3.4) y Miel a lehetséges trajektóriák közül azokat keressük, amelyek a gyorsítás során szigorúan monoton nöekő sebesség függén míg a siklás során szigorúan monoton csökkenő sebesség függények, ezért a (3.4) egyenlet figyelembe ételéel a keresett extremum létezésnek feltételei az alábbiak: 1 0, 0. (3.5) Mindezek alapján megállapítható, hogy az extremális mozgás meghatározása isszaezethető a belső extremálisokon történő mozgás ezérlési algoritmusa meghatározására, agy más szóal, a S o ( ) tartományon a lehetséges belső extremálisok meghatározására. V. EEDMÉNYEK, KÖVETKEZTETÉSEK A cikkben a szerző mereszárnyú UAV repülési pályája extremumának számításáal foglalkozik. A kitűzött feladat olyan extremális gyorsítási-, és siklási (lassítási) pályák meghatározása, amelyen halada az UAV maximális táolságot tesz meg, agy maximális a repülési idő. A feladat megoldásához a szerző bemutatta az UAV térbeli mozgásának dinamikus egyenleteit, majd megfogalmazta az extremum létezésének feltételeit, és megadta az extremum jellegének (maximum, minimum) megítéléséhez szükséges egyenlőtlenségi feltételeket. OPUS CTATUM [1] BLAKELOCK, J. H. Automatic Control of Aircraft and Missiles, John Wiley and Sons, New York-London- Sydne 1965. [] РАБИНОВИЧ, Б. И. Вариационные режимы полета крылатых летателъных аппaратов, Машиностроение, Москва, 1966. [3] KÁMÁN, T., BOT, M. A. Matematikai módszerek műszaki feladatok megoldására,. kiadás, Műszaki Könykiadó, Budapest, 1967. [4] CSÁK, F. Korszerű szabályozáselmélet. Nemlineáris, optimális, és adaptí rendszerek. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1970. [5] KÓSA, A. Variációszámítás,. jaított kiadás, Tankönykiadó, Budapest, 1973. [6] KON, G. A., KON, T. M Matematikai kéziköny műszakiaknak, Műszaki Könykiadó, Budapest, 1975. [7] BONSTEN,. N., SZEMENGYAJEV, K. A. Matematikai zsebköny mérnökök és mérnökhallgatók számára, 5. kiadás, Műszaki Könykiadó, Budapest, 198. 6
[8] БЮШГЕНС, Г. С. СТУДНЕВ, Р. В. Динамика cамолёта пространственное движение, Машиностроение, Москва, 1983. [9] БРОНШТЕЙН, И. Н., СЕМЕНДЯЕВ, К. А. Спрaвочник по математике, Москва, Наука, 1986. [10] КРАСОВСКИЙ, А. А. (Под. pед.) Спрaвочник по теории автоматического управления, Москва, Наука, 1987. [11] MCLEAN, D. Automatic Flight Control Systems, Prentice-Hall nternational Ltd., New York-London- Toronto-Sydney-Tokyo-Singapore, 1990. [1] BOGAN, W. L. Modern Control Theor Prentice-Hall nternational, nc., Englewood Cliffs, New Jerse 1991. [13] SZEGED, P., BÉKÉS, B. Preliminary Design of Controller of Longitudinal Motion of the Unmanned Aerial Vehicle Using LQ Design Method, Proceedings of the 10 th nternational Conference Transport Means 006, SSN 18-96x, pp(34-37), Kaunas, Lithuania, 19-0 October 006. [14] SZABOLCS,. Modern automatikus repülésszabályozó rendszerek, Zrínyi Miklós Nemzetédelmi Egyetem, egyetemi tankön 011. 7