ELŐSZÓ. Semmiből egy új, más világot teremtettem. Bolyai János

ELŐSZÓ Semmiből egy új, más világot teremtettem. Bolyai Jáos Marosvásárhely, az egykori Székelyföld fővárosa, a két Bolyai által vált a matematika fővárosává is. Az általuk elidított folyamatot a Ferec József és a Bolyai Tudomáyegyetemek teljesítették ki. A semmiből egy új világot teremtve, az erdélyi matematika taárok és diákok serege, 199-be többfordulós verseykét elidította Brassóból az Erdélyi Magyar Matematikaverseyt. Az EMMV immár három éve kétfordulós verseyé strukturálódott, egyik iráya a romáiai matematika versey megyei és országos szakaszához csatlakozik. Így a Taügy-Miisztérium elismert verseyekét, a hivatalos oklevelek mellett ayagi támogatásba is részesül az idé. A másik iráya a Kárpát-medecét átfogó Nemzetközi Magyar Matematikaversey erdélyi válogató szakasza. Az EMMV voulatát a hozzáépült Wildt József, Radó Ferec, Neuma Jáos és Bekő József verseyek gazdagítják. Olya fehér és árva a sík, fölötte álom-éeket dúdolak a hideg aiómák. Az Uiverzum vajo mit álmodik? Ezt az álmot fejtegetik évezredek óta a matematikusok. Titkaikat megosztják verseyeike is, ami a taárokak így a vádorgyűlés szerepét is betölti. Köszöet a Romáiai Taügy-Miisztériumak, a Bolyai Farkas Elméleti Líceum taári karáak, a Sapietia-EMTE marosvásárhelyi karáak, Marosvásárhelyek, a támogatókak, a szülőkek, hogy az idé is egy ragos verseye vehettük részt. Becze Mihály

1. FORDULÓ XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY FELADATOK I. FORDULÓ IX. OSZTÁLY 1. Oldd meg a természetes számok halmazá az + y + = 19 y egyeletet! Kovács Béla, Szatmárémeti. Adott az A = { 1,,, 4,...,11} halmaz. Határozd meg azokak az ( a i ) i = 1,, k, véges számtai haladváyokak a számát, amelyek k álladó külöbsége legalább 1 és legfeljebb 6 valamit mide tagja az A halmazba va. Csapó Hajalka, Csíkszereda. Egy kove hatszög alakú földterületet az átlók meté parcellázak fel, majd teleszórják búzamaggal. Összese 11 búzamagot vetek el. Igazold, hogy va olya parcella, amelyre legalább 41 búzamagot szórak! Csapó Hajalka, Csíkszereda 4. Az AB C háromszög [ AB ] oldaláak hossza prímszám. BM az ABC szögfelezője ( M ( AC) ). N ( BC) és T ( BM) úgy, hogy 9 MN AB és NT AC. Ha TBAT = TABC, igazold, hogy a [ BC ] 5 oldal hossza is prímszám! Szilágyi Jutka, Kolozsvár 5. Az AB C háromszögbe AB < BC. Legye AD és CE a háromszög két magassága ( D ( BC), E ( AB) ) és M az ( AC ) oldal felezőpotja. Az EMD szögfelezője az ( AB) oldalt F -be metszi. Az AB egyeese felvesszük a K potot úgy, hogy ( CA a BCK szögfelezője legye. Bizoyítsd be, hogy a BF D és BCK háromszögek hasolók! Olosz Ferec, Szatmárémeti

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 1. FORDULÓ 6. Egy bolha ugrál egy kör kerületé az óramutatók járásáak iráyába. Első ugrásáak egy 1 -os középpoti szög felel meg, második ugrásáak -os középpoti szög felel meg és általába a k -adik ugrásáak k -os szög felel meg. Háyadik ugrásával kerül először olya potra, ahol már járt? Demeter Albert, Kolozsvár X. OSZTÁLY p 1. Határozd meg a pq, prímszámokat, ha 16 = 765 +q.. Egy táblát darab -as táblára botuk és mideik -as középső mezejét kivesszük a táblából (lásd a mellékelt ábrát). A megmaradt rész bal alsó sarkából egy huszárral iduluk (ló lépésbe lépük) és a jobb felső sarokba kell jutuk. Legalább háy lépés szükséges ehhez? Szilágyi Jutka, Kolozsvár Adrás Szilárd, Nagy Örs, Kolozsvár. Egy kove hétszög alakú földterületet az átlók meté parcellázak fel, majd teleszórják búzamaggal. Összese 1 búzamagot vetek el. Igazold, hogy va olya parcella, amelyre legalább 41 búzamagot szórak. Csapó Hajalka, Csíkszereda 4. Az AAAAAA 1 4 5 6 kove hatszög oldalaira kifele megszerkesztjük az AM i ia i + 1, i {1,,,4,5,6} háromszögeket ( A7 = A1), amelyekbe m AM i ia i + 1 = 1. Igaz-e, hogy a szerkesztett háromszögek köré írt ( ) körök által meghatározott körlapok lefedik a hatszöget? Szász Róbert, Marosvásárhely

1. FORDULÓ XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 5. Az ABC háromszögbe AB = 5, BC = 6 és AC = 7. Legye D ( BC) és E ( AC) úgy, hogy AD = AB és 17 AE = 1 AC. Bizoyítsd be, hogy az AB D háromszögbe írt kör középpotja, az AD C háromszög súlypotja és az E pot egy egyeese helyezkedek el! Olosz Ferec, Szatmárémeti 1 1 6. Igazold, hogy ha < < +, ahol, 1, akkor 1 1 < + + + + < +, + k + k ahol * k a égyzetgyökök száma. XI-XII. OSZTÁLY Becze Mihály, Brassó 1. Egy bolha ugrál egy kör kerületé az óramutatók járásáak iráyába. Első ugrásáak egy 1 -os középpoti szög felel meg, második ugrásáak -os középpoti szög felel meg, és általába a k -adik 1 ugrásak k fokos szög felel meg. Háyadik ugrásával kerül először olya potra, ahol már járt? Demeter Albert, Kolozsvár + y + 1. a) Adott szám eseté határozd meg az, y ( y, ) redszer megoldásaiak számát! b) Egy szavazáso három pártra lehetett szavazi, összese 9 -e szavaztak és mide szavazat érvéyes (mide szavazó potosa egy pártra szavazott). Háyféleképpe lehetséges ez, ha tudjuk, hogy egyik bármelyik két pártak több szavazata va, mit a harmadikak! Szász Róbert, Marosvásárhely 4

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 1. FORDULÓ. Egy táblára felírtuk az 1,,,, 9 számokat. Egy lépésbe a táblá levő számok közül letörlük hármat. Ha a letörölt számok 9 9 9 9 a b c, akkor helyettük visszaírjuk a b a és a c a 9 9 számokat. Lehetséges-e, hogy a végé 9 8 és 9 9 11 1 maradjo a táblá? Csapó Hajalka, Csíkszereda 4. a) Az AB C háromszögbe M [ BC], N [ CA] és P [ AB] úgy, hogy az MN és MP az AMC illetve AMB szögfelezője. Igazold, hogy AM BN CP. b) Bizoyítsd be, hogy ha az ABC háromszögbe M [ BC], N [ CA] és P [ AB] úgy, hogy AM BN CP valamit mpmn ( ) = 9, akkor MN és MP az AMC illetve AMB szögfelezője. Adrás Szilárd, Kolozsvár 5. Legye O és H az AB C háromszög köré írt köréek középpotja illetve magasságpotja, valamit, és G a HB C, HAC, illetve HAB háromszög súlypotja. Igazold, hogy az AG1, BG és CG egyeesek összefutók és a háromszög súlypotja az OM egyeese va! 6. Adott az a szám. Az f : G1 G GGG 1 függvéy eseté Becze Mihály, Brassó ( ) ( ) f + y = f + a + f ( y a), y,, ahol [ ] az valós szám egészrészét jelöli. a) Igazold, hogy f ( + y) = f ( ) + f ( y), y,, b) Igazold, hogy f ( ) f ( ) + 1 mide valós szám eseté! Demeter Albert, Kolozsvár 5

. FORDULÓ XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY II. FORDULÓ IX. OSZTÁLY * * 1. Határozd meg az,,, számokat, ha tudjuk, hogy 1 + + = 4 és 1 4 1 1. Számítsd ki a 1 + + k k ( k + 1) függvéyekét! = 1 1 1 + + = 1. 1 Farkas Csaba, Kolozsvár összeget az *. Adott az a, a,..., a >, számtai haladváy. 1 a) Igazold, hogy aa + aa aa. 1 6 4 5 Becze Mihály, Brassó b) Határozd meg azo k { 1,,..., } számokat, amelyekre aa + aa +... + a a + aa aa. 1 1 1 1 k k+ 1 Becze Mihály, Brassó 4. A mellékelt ábrá az M és N potszerű testeket egy rögzített hosszúságú madzag köti össze. Kezdeti állapotba az M test a B potba és az N az A potba va, majd addig mozog amíg az M test az A potba kerül ( AB < AC). Mi a mértai helye a két testet összekötő szakasz felezőpotjáak? N A N Csapó Hajalka, Csíkszereda M M B C 6

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY. FORDULÓ X. OSZTÁLY 1. Határozd meg azokat az számokat, amelyekre. Határozd meg az f :,,..., (1, ) 1 1... = 8 log + log... log 1 + + = Logáver Lajos, Nagybáya függvéyeket, amelyekre 9 f ( ) 7 ff ( ( )) =, Farkas Csaba, Kolozsvár + 1 π π 4. Határozd meg a = cos + si egyelet pozitív 4 4 megoldásait! Va-e egatív megoldása eek az egyeletek? Szilágyi Jutka, Kolozsvár 4. Az AB oldalaira kifele megszerkesztjük az ABD és CAE C egyelőszárú, derékszögű háromszögeket úgy, hogy mabd ( ) = mcae ( ) = 9. Számítsd ki az MNP mértékét, ahol MN, és P redre az AC, AB illetve a DE felezőpotja! XI. OSZTÁLY Adrás Szilárd, Kolozsvár 1. Az A M ( ) mátri eseté A = I. Bizoyítsd be, hogy ( ) det A I =. Kacsó Ferec, Marosvásárhely. A P [ X] harmadfokú poliomra P () 1 = 9, P ( 9) = 1 és a P poliom egyik gyöke egész szám. a) Határozd meg a P poliomak az X 1X + 9 -cel való osztási maradékát! 7

. FORDULÓ XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY b) Határozd meg a P poliomot! Kacsó Ferec, Marosvásárhely. a) Határozd meg az = 6 4, =, = sorozat + + 1 1 6 általáos tagjáak képletét! b) Igazold, hogy ( + 5) + 1 osztható -el mide eseté, ahol [ ] az valós szám egészrészét jelöli. Szász Róbert, Marosvásárhely 4. Az ( ) valós számsorozat eseté,. + 1 1 = 1 ( ) a) Határozd meg a sorozat általáos tagját és azo értékeit, amelyekre a sorozat jól értelmezett! b) Számítsd ki a sorozat határértékét! XII. OSZTÁLY 1. A ( G, ) csoportba érvéyes a következő implikáció: Ha 9 9 y = z, akkor y = z. a) Igazold, hogy ( G, ) kommutatív csoport! 8 Becze Mihály, Brassó b) Adj példát legalább 9 elemű véges csoportra, amelybe teljesül az implikáció. *** 1. Lehet-e az e = a + a + + a + a egyeletek 1 1 ( + ) párokét külöböző valós megoldása, ha a, a1, a,..., a? ***. Bizoyítsd be, hogy ha az ( a ) sorozat tagjai ullától külöböző 1 természetes számok, a sorozat szigorúa övekvő és az függvéy ijektív, akkor az 1 1 1 = + +... + f ( a ) f( a ) + f( a ) f( a ) + f( a ) +... + f( a ) 1 1 1 f : * *

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY. FORDULÓ sorozat koverges. Kacsó Ferec, Marosvásárhely 1 4. Adott az F(, 1) 4 Oy -al em párhuzamos egyeesek a parabolával való egyik y = egyeletű parabola. A potból húzott metszéspotját jelöljük M -mel. Az M potba a parabolához húzott éritő az Oy tegelyt N -be metszi. Határozd meg az F pot MN -re voatkozó szimmetrikusáak mértai helyét! Adrás Szilárd, Kolozsvár 9

1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY MEGOLDÁSOK I. FORDULÓ 1. IX. OSZTÁLY y( 19 y) = és ( yy+, 1) =1 ( y + 1) ( 19 y) y + 1 ( y + 1) és y y { 1,, 4, 9,19} A megfelelő értékek: 9,, 1, 9,. Tehát a megoldáshalmaz: {( 9,1 ), ( 1, ),( 1, 4 ), ( 9, 9 ), (,19)}. Számoljuk össze az r { 1,,..., 6} álladó külöbségű számtai sorozatokat! tagú sorozatok: ( 1, 1 + r,1 + r), (, + r, + r),..., ( 11 r,11 r,11) 4 tagú sorozatok: ( 1, 1 + r, 1 + r, 1 + r ), (, + r, + r, + r),..., ( 11 r,11 r,11 r,11)... m tagú sorozatok: ( 1,1 + r,...,1 + ( m 1) r ), (, + r,..., + ( m 1) r),..., ( 11 ( m 1 ) r,11 ( m ) r,...,11)... 1 tagú sorozat: r ( 1, r + 1,...,11), (mert 1 r, r { 1,,...6} ) Tehát az r álladó külöbségű sorozatok száma: 1 ( 11 r) + ( 11 r) +... + 11 1 r + 1 = r ( 1 r)( 1 r) = r 1

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK Tehát az összes keresett sorozat száma: 119 1 118 118 117 116 116 114 115 11 + + + + + 4 6 8 1 114 11 + = 16869. 1. A legtöbb parcella abba az esetbe keletkezik, ha mide átlót behúzuk és ics három összefutó átló. Egy kove ötszög átlói, ha hármakét em futak össze, akkor 11 részre osztják az ötszöget Kove ötszögből kove hatszöget kapuk, ha valamely oldalhoz (evezzük a- ak) illesztük egy háromszöget úgy, hogy az így kapott hatszög kove legye. Ezzel egy új parcellát kapuk. Így az új átlók élkül 1 parcella va. Három új átlók lesz, amelyekből kettőt az új csúcsból a két második szomszédhoz húzzuk, így további - átlót, illetve az eredeti ötszög a oldalát metszi, ezzel midkét átló 4-gyel öveli a parcellák számát. Az ötödik csúccsal összekötve az új csúcsot, az metszi az a oldalt és további átlót (az ötödik csúcsból iduló két átló kivételével az ötszög mide átlóját metszi). Ezzel 5-tel öveli a parcellák számát. Tehát összese 5 parcellára osztják az átlók a hatszög alakú termőföldet. Ha mide parcellára legfeljebb 4 magot szóráak, akkor legfeljebb 1 mag kerüle a termőföldre. Tehát va legalább egy parcella, amelyre legalább 41 magot szórtak. 11

1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 4. A M B T N C BT BT AM BN AM TBAT = TBAM = TABC = TABC = BM BM AC BC AC AM szögf.. t AB T ABC Th.. t Th.. t AB = = TABC AC. Tehát AB + BC AB BC =, de + 5 AB = p prímszám, így AB = és BC =, ami szité prímszám. 5. Az ADC és AEC derékszögű háromszögekbe az átfogóra húzott oldalfelezőkre írhatjuk: AC DM = EM =. Az MDE egyelő szárú háromszögbe MF szögfelező és oldalfelező merőleges is (szimmetria tegely). Ha az ABC A háromszög szögeiek mértékét A, B, C - vel jelöljük, akkor az MCD és MAE egyelő E M szárú háromszögekbe a mcdm ( ) = C, F m( AEM ) = A és így B D C ( o m AME) = 18 A, o mcmd ( ) = 18 C, ahoa következik ( ) ( ) 9 o ( ) ( ), ( ) = C. ( ) ( ) ( ) ( ) 9 o m DMF = m EMF = B, m EDM = m DEM = B, m EDF = m DEF = C m DFM = m EFM = C és m BFD 1

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY ( ) ( ) 1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK ( ) ( ) Mivel m DBF = m KBC = B és m BFD = m BCK = C, ezért BF DΔ BCKΔ. 5. A háromszög köré írt kör középpotját origóak tekitjük. Így h = a + b + c (mide pot affiumát a megfelelő kisbetűvel jelöljük), a + b + c a + b + c a + b + c g1 =, g = és g =. Így 1 1 1 a + b + c ( g1 + a) = ( g + b) = ( g + c) =, tehát az 4 4 4 6 a + b + c affiumú pot rajta va az AG1, BG és CG egyeeseke. 6 5( a + b + c) b) A GGG 1 háromszög súlypotjáak affiuma g =, 9 tehát G O H. 6. A k -adik ugrás utá a bolha helyzetét jellemző középpoti szög k( k + 1) mértéke 1+ + +... + k =. Így a k -adik és m -edik lépés utá potosa akkor kerül ugyaabba a potba a bolha (m > k ), ha m( m + 1) k( k + 1) = 6v, ahol v *. Ez ekvivales az 4 ( m k)( m + k + 1) = 7v( = 5 v) egyelettel. Mivel az m k és m + k + 1 paritása em azoos, az előbbi egyelőség csak akkor teljesülhet, ha ( m k) 16 vagy ( m + k + 1) 16. Mivel m > k és a legkisebb megoldást keressük, az m k = 16 és m + k + 1= 45 m k = 15 redszereket érdemes megvizsgáli. Az első esetbe m + k + 1= 48 m = és k = 14, míg a második esetbe m = 1 és k = 16. Látható tehát, hogy m = a kisebb megoldás, tehát a bolha ugrás utá kerül először olya potba, amit már korábba is éritett. 1

1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY X. OSZTÁLY 1. Ha p =, akkor q = 16 765 = 11, ahoa q = 11, tehát p =, q = 11 megoldás. Ha p >, akkor p = k + 1 vagy p = k +, így 1 16 p 8 p p p p p k + = = = = (7+ 1) p (7+ 1) k = (7l + 1)(7l + 1) = (7l + 1) = 7l + vagy p p k+ p k 16 = = 4 (7 + 1) (7 + 1) = 4 (7l + 1) = 7l + 4. Tehát, ha p >, akkor 16 p (mod 7) vagy 16 p = 4(mod 7). Másrészt 765 = 95 7, így 765 (mod 7) és mivel q -ak 7 -tel való osztási maradékai 1,,, 4, 5, 6 lehetek, a q 1(mod 7) vagy q 6(mod7), így 765 + q 1(mod 7) vagy 765 + q 6(mod 7). Tehát a jobb és a bal oldalak héttel való osztási maradékai em egyelők, így ha p > az egyeletek ics megoldása.. A tábla bal alsó sarkából idulva írjuk mide szabad mezőbe azt a lépésszámot, amelybe a huszár leggyorsabba eljuthat oda (lásd az alábbi ábrákat). A táblát kitöltve észrevehető, hogy a főátló meté a 4,, 4, 4, 6, 6, 8, 8,1,1,... számok jeleek meg. Belátható, hogy a jobb felső sarokba, azaz a (, ) mezőbe a szám szerepel mide eseté, hisze bármely 1 < i < eseté ( i, i) mezőből a (i +, i + ) mezőbe lépésbe juthatuk el: (, i i) (i +,i + 1) (i +,i + ). Tehát = 1 eseté legkevesebb 4, míg eseté legkevesebb lépés szükséges a jobb felső sarokba való eljutáshoz. = 14

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK 1 1 1 1 15

1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 1 1 7 6 7 6 7 6 7 6 7 8 7 8 6 6 5 5 6 6 7 7 5 6 5 6 5 6 5 6 7 6 7 8 4 5 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 5 5 4 4 5 5 6 6 4 4 4 5 4 5 6 5 6 7 4 4 4 5 4 5 6 5 6 4 4 5 7 4 4 5 6 5 6 4 1 4 4 5 4 5 6 7 1 4 5 6 6 4 4 5 4 5 6 7 16

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK. Először igazoljuk, hogy egy kove hatszög átlói legfeljebb 5 részre osztják a hatszöget. A parcellák száma abba az esetbe a legagyobb, ha ics három összefutó átló. Egy kove ötszög átlói, ha hármakét em futak össze, akkor 11 részre osztják az ötszöget Kove ötszögből kove hatszöget kapuk, ha valamely oldalhoz (evezzük a-ak) illesztük egy háromszöget úgy, hogy az így kapott hatszög kove legye. Ezzel egy új parcellát kapuk. Így az új átlók élkül 1 parcella va. Három új átlók lesz, amelyekből kettőt az új csúcsból a két második szomszédhoz húzzuk, így további - átlót, illetve az eredeti ötszög a oldalát metszi, ezzel midkét átló 4- gyel öveli a parcellák számát. Az ötödik csúccsal összekötve az új csúcsot, az metszi az a oldalt és további átlót (az ötödik csúcsból iduló két átló kivételével az ötszög mide átlóját metszi). Ezzel 5-tel öveli a parcellák számát. Tehát összese 5 részre osztják az átlók a hatszöget. Kove hatszögből kove hétszöget kapuk, ha valamely oldalhoz (evezzük b-ek) illesztük egy háromszöget úgy, hogy az így kapott hétszög kove legye. Ezzel egy új parcellát 17

1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY kapuk. Így az új átlók élkül 6 parcella va. Négy új átlók lesz, amelyekből kettőt az új csúcsból a két második szomszédhoz húzzuk, így további - átlót, illetve az eredeti hatszög b oldalát metszi, ezzel midkét átló 5-tel öveli a parcellák számát. A másik két csúccsal összekötve az új csúcsot, azok metszik a b oldalt és további 5 átlót. Ezzel midkét átló 7-tel öveli a parcellák számát. Tehát összese 5 parcellára osztják az átlók a hétszög alakú termőföldet. Ha mide parcellára legfeljebb 4 magot szóráak, akkor legfeljebb mag kerüle a termőföldre. Tehát va legalább egy parcella, amelyre legalább 41 magot szórtak. 4. Tekitsük az AAAAAA 1 4 5 6 hatszög belsejébe egy M potot, és kössük össze a hatszög csúcsival. Az M pot körül keletkező szögek között biztos lesz 6 -osál agyobb mértékű, legye ez például AMA (lásd a mellékelt ábrát). Mivel ma ( MA = 1 és ) mama ( ) > 6, ezért az M pot az AM A háromszög köré írt kör belsejébe helyezkedik el. Mivel bármelyik M belső pot eseté keletkezik 6 -osál agyobb mértékű szög, amely a megfelelő kör belsejébe lesz, ezért a körlapok lefedik a hatszöget. Szabályos hatszög eseté a középpot éppe a körök metszéspotja lesz. Megjegyzés: A feladat általáosítható -szögekre. Ekkor ( ) 18 mama ( i i i+ 1 ) =, és az AM i ia i + 1 háromszögek köré írt körök lefedik az -szöget. 5. Először kiszámoljuk, hogy BD = és DC = 4 (a Hero-képlettel kiszámoljuk az AB C háromszög területét ( 6 6 ), majd az A-ból húzott magasságot ( h = 6 ) és a Pitagorász tételével BD = AB h = ; vagy dolgozhatuk a Stewart-tétellel) 18

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK Felírjuk az AB D háromszögbe írt kör I középpotjáak 5 AB + 5 AD helyzetvektorát: AI = és tudjuk, hogy D a (BC) + 5+ 5 szakaszt 1 AB + AC aráyba osztja: AD =, tehát 5 AB + 5 AC AI =. 6 Felírjuk az ADC háromszög G súlypotjáak a helyzetvektorát: AC + AD AG =, behelyettesítjük a AD vektort és kapjuk: AB + 4 AC 1 AG =. Tudjuk, hogy AE = AC. 9 17 Ezek alapjá: 17 AB + 11 AC IG = AG AI = 6 4 AB AC és GE AE AG + = =, 9 17 17 ahoa IG = GE, tehát I, G, E egy egyeese elhelyezkedő 8 potok. 6. k -szeriti idukciót alkalmazuk. Mivel 1 1 + < + 4 + = + < + 1 és + 1 1 1 + > 4 > + 1 ezért 1 1 < + < +, tehát k = 1-re igaz. + 1 + 1 Feltételezzük, hogy igaz k -ig, azaz 1 1 +... k < + + + < +. + + k k szor 19

1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Bizoyítjuk ( k + 1) -re. Legye t = + +... + +, ekkor k szor 1 1 < t < +. Alkalmazva az első esetet + k + k 1 1 < + t < + + k + 1 + k + 1, azaz 1 1 < + +... + + < +. Ezzel + k + 1 + k + 1 állításukat igazoltuk. ( k + 1) szer

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XI. ÉS XII. OSZTÁLY 1. A k -adik ugrás utá a bolha helyzetét jellemző középpoti szög k 1 k mértéke 1+ + +... + = 1. Így a k -adik és m -edik lépés utá potosa akkor kerül ugyaabba a potba a bolha (m > k ), ha m k ( 1) ( 1) 6v k m k ( 1) 5 * =, ahol v. Tehát = v. Így k = és m k legkiseb értéke az a p szám, amelyre az előbbi egyelőség csak akkor teljesülhet, ha ( m k) 16 vagy ( p 1) 45. ( p 1) 9 p 6 és ( p 1) 5 p 4. Tehát a legkisebb p érték 1. Így k = és m = 15.. a) Az adott feltételeket teljesítő (, y) számpárokak megfelelő My (, ) potok rácspotok, a [, ] [, ] égyzet belsejébe vagy az oldalai helyezkedek el az y = + 1 egyeese vagy fölötte. Az ( + 1) ilye rácspotok száma 1+ + +... + = (a égyzet átlójával párhuzamos egyeesek szerit csoportosítva a potokat). b) Ha és y két párt szavazataiak a száma, akkor a harmadik pártak 9 y szavazata va. Az adott feltétel az + y > 9 y, + 9 y > y és y + 9 y > egyelőtleségeket jeleti. Így az + y 15, 14 és y 14 egyelőtleségekhez jutuk. Az 14 15 a) alpot alapjá = 5 15 lehetséges eredméy jöhet létre.. Egy természetes számak és 9 -ik hatváyáak -mal való osztási maradéka ugyaaz. Egy törlés utá em változik a számok összegéek -mal való osztási maradéka, ugyais az új összeg és az előző közötti külöbség. 1

1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 9 9 9 9 a + b + c a a b c, ami osztható -mal. Így a számok összegéek -mal való osztási maradéka em változik. Az eredetileg táblá levő számok összege 5 11, eek -mal való 9 9 9 9 osztási maradéka 1. A 9 8 + 11 1 összeg -mal való osztási maradéka. Tehát em lehetséges, hogy ez a két szám maradjo a táblá. 4. a) A P N B M A szögfelező tétele alapjá az AMB és AM C háromszögekbe, AP AM CN CM kapjuk : = és =. Így PB BM NA AM AP BM CN AM BM CM = = 1, ahoa Ceva tételéek PB MC NA BM MC AM fordított tétele alapjá következik, hogy AM, CP és BM összefutók. b) T C A Q P N B M C

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK Legye T és Q az A poto át a BC egyeessel húzott párhuzamos metszéspotja a PM, illetve MN egyeessel. Ceva tétele alapjá BM CN = 1 PB MC NA BPM Δ APTΔ és MN AP AT Δ Δ = PB BM és CN CM =. NA AQ AT BM CM Így = 1 AT = AQ. Tehát az MTQ BM MC AQ derékszögű háromszögbe MA oldalfelező MA = AT = AQ MAT Δ egyelőszárú m AMT = m T, ugyaakkor m BMP = m T, tehát MP az szögfelezője. ( ) ( ) ( ) ( ) AMB szögfelezője. Hasolóa MN az AMC 5. A háromszög köré írt kör középpotját origóak tekitjük. Így h = a + b + c (mide pot affiumát a megfelelő kisbetűvel jelöljük), a + b + c a + b + c a + b + c g1 =, g = és g =. Így 1 1 1 a + b + c ( g1 + a) = ( g + b) = ( g + c) =, tehát az 4 4 4 6 a + b + c affiumú pot rajta va az AG1, BG és CG egyeeseke. 6 5( a + b + c) b) A GGG 1 háromszög súlypotjáak affiuma g =, 9 tehát G O H. 6. a) Ha a feladatbeli egyelőségbe a és y y + a helyettesítéseket végezzük, akkor az y, egyelőséghez jutuk. b) A g :, g( ) = f ( ) függvéy eseté f ( + y) = f ( ) + f ( y),

1. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY g( + y) = g( ) + g( y), y,. Matematikai idukcióval igazolható, hogy g( ) = g( ), g( ) = g,, tehát g( ), g( ) =,. Így f ( ) =, f ( ) [,1), f ( ) [,1), f ( ) f ( ), f ( ) f ( ) + 1,. 4

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY. FORDULÓ MEGOLDÁSOK II. forduló IX. OSZTÁLY 1. A számtai és harmoikus közepek közötti egyelőtleség alapjá 1 1 ( 1 +... + ) + + 1 4 4 ( ) 1 1 =. Tehát 1 + = 4 és + = 1 1 > 1 és > 1 és 1 csak az = = teljesíti a feltételeket.. 1 1 1 1 1 1+ + = 1+ = k ( k + 1) k k + 1 k= 1 k= 1 1 1 1 = 1+ = + 1 k k + 1 + 1 k= 1. aa = ( a + ( i 1) r) ( a + ( i) r) = i i+ 1 1 1 i= 1 i= 1 = a ( ) 1 + 1 a1r + + ( + 1) i i r = i= 1 i= 1 ( ) 1 ( 1)( 1) a1 ( 1) a1r + + + = + + + r = 6 ( 1)( ) = a1 + ( 1) a1r + r 6 aka k+ 1 = ( a1 + ( k 1) r) ( a1 + ( k) r) = ( ) = a + ( 1) a r + k + ( + 1) k r 1 1 Tehát az a kérdés, hogy milye k { 1,,..., } értékekre áll fe az ( 1)( ) k + ( + 1) k 6 egyelőtleség. Eek az egyelőtleségek a megoldásai a valós számok halmazá 5

. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 1 1 1 1, 1 1 + + +, 1 1 de 1 1 1 + > és 1 + <, tehát 1 1 1 k 1, 1 1 + + +. A Q M c- K L P N T B C 4. Legye AB = c, AC = b és AN = [, c], ekkor c AM = AB és AM = AC. Tehát c b AM + AN AB AC AB AP = = + b c Ha K ( AB és L ( AC úgy, hogy AK és AL egységyi AC AB hosszúságú vektorok, akkor = AL és = AK, így b c AP = AQ + KL QP = KL ahol Q az [ AB ] szakasz felezőpotja. Tehát P a Q poto át a KL egyeessel húzott AB párhuzamoso va. = eseté AP =, tehát P = Q és = c 6

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY. FORDULÓ MEGOLDÁSOK cac eseté AP =, tehát P AC. Tehát a P pot mértai helye a b [ QT ] szakasz, ahol T a Q poto át a KL egyeessel húzott párhuzamos és az AC oldal metszéspotja. 7

. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY X. OSZTÁLY 1. Logaritmáljuk az első összefüggést: log 1 + log +... + log =, 1 1 1 majd az ( a1 + a +... + a )... + + + a a a pozitív számok 1 közötti egyelőtleséget alkalmazzuk, ahoa 9 { 1,, } 1 = 8 feltételt kapjuk. = 1 esetbe az egyeletredszer em log = 1 összeférhető. 1 = 8 = esetbe megoldásai: log + log 1 = 5 + 5 { 1, } =,. 1 = 8 = esetbe megoldása: log + log log 1 + = = = =. 1. A g ( ) = f ( ) függvéyre 7 gf ( ( )) = g ( ). Ha y rögzített értelmezhetjük a következő sorozatot: = y, f ( ) = 1 és általába = f( 1). Ezek alapjá 7 7 g ( ) = g ( 1) =... = g ( ), vagyis 7 g ( ) = g ( ). Ebből 7 osztja g ( ) -t mide -re, tehát g ( ) =. Ez alapjá a függvéyegyelet megoldása fy () = y. 8

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY. FORDULÓ MEGOLDÁSOK 1 + 1 + 1 1. > -ra +. Másrészt a 4 függvéy szigorúa övekvő, amiből következik, hogy + 1 1 4 =, > -ra. π π π π π cos + si = cos + cos 4 4 4 = 4 π π π π( 1) = cos cos cos 4 = 4 4, + -ra. 4 + 1 π π 4 Így = cos + si csak akkor, ha 4 4 1 + 1 π π + = 4 = = cos + si, azaz csak ha, 4 4 π( 1) cos = 1 4 ahoa következik, hogy = 1 az egyetle megoldás. Ha <, akkor 1, + 1 1, tehát 4 + 1 1 4. Így a bal oldal a itervallumba változik és övekvő. A jobb oldal a (, ) itervallumba periodikusa változik, tehát az egyeletek végtele sok egatív megoldása va. 4. Az A potot tekitjük origóak, a B és C pot affiumát jelöljük b illetve c -vel (mide pot affiumát a megfelelő kis betűvel c b jelöljük). Így e = ic és d b = ib, tehát m =, = és b ib + ic c b c b p =. Ez alapjá m = és p = i, tehát MN PN és MN = NP. Az m MNP =. ( ) 9 9

. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY XI. OSZTÁLY 1. A = I A I = I ( A I )( A + A+ I ) = I. Következik, hogy det( A I )det( A + A+ I ) = 1, + + ahol det( A I ), det( A A I ) és ezért ie következik, hogy det( A I ) = 1 és (1) 1 det( A + A+ I) = det A+ I + I Mivel ( A+ I) = A + I + AA ( + I) és A = I, ezért ( A+ I) = I + A( A+ I) = ( A + A+ I), és (1) alapjá ie következik, hogy [det( A+ I)] = det( A + A+ I) =, tehát det( A+ I ) = és így det( A I) = det( A I)det( A+ I) =. Megjegyzés. Létezik olya mátri, mely teljesíti a feladat feltételeit, például 1 A = 1. 1 1. a) A maradékos osztás tétele alapjá P( X) = ( X 1)( X 9) Q( X) + AX + B, ahol Q elsőfokú poliom. Az osztási algoritmus elvégzési módjából következik, hogy Q együtthatói, valamit A és B egész számok. Az első két feltételből következik, hogy A+ B = 9 és 9A+ B = 1. Ie A = 1, B = 1. Megjegyzedő, hogy ha,

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY. FORDULÓ MEGOLDÁSOK ezekre em kaptuk vola egész számokat, akkor a feladatak em lett vola megoldása. Következik, hogy PX ( ) = ( X 1)( X 9) QX ( ) X+ 1. b) Legye a P egész gyöke. Így ( 9) [( 1) Q( ) 1] = 1, ahol a szorzótéyezők egész számok, tehát csak két eset lehetséges. Az egyik lehetőség: 9 = 1, ( 1) Q( ) 1= 1, amiből következik, hogy = 8 és 7 Q (8) =, amely lehetetle, mert em osztható 7 -tel. A másik lehetőség: 9 = 1, ( 1) Q( ) 1= 1. Ebbe az esetbe = 1 és Q (1) =. Mivel Q egész együtthatójú elsőfokú poliom, a második egyelőségből következik, hogy QX ( ) = mx ( 1), ahol m egész szám. Így PX ( ) = mx ( 1)( X 9)( X 1) X+ 1.. a) A karakterisztikus egyelet r 6r + 4 =. A gyökök r 1, = ± 5, tehát = c1( + 5) + c( 5). Az = és 1 = 6 feltételből az = ( + 5) + ( 5) alakhoz jutuk. b) < 5 < 1, alapjá írhatjuk, hogy [( + 5) ] + 1 =, tehát azt kell igazoli, hogy,. Ezt matematikai idukcióval igazoljuk: = eseté = 1 = 1 eseté 1 = 6. k Feltételezzük, hogy, k. Így k + = 6+ 1 4 = ( + 1) és ez osztható matematikai idukció elve alapjá,. + -vel. A 1 4. a) Az ( + 1 1) = 1 összefüggésből = + 1 1 +,. 1

. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY + 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 Tehát 1 =, = = =, 1 + 1 + 1 + = + 1, 5 + 4 = +, 8 + 5 5 =. Észrevehetjük, hogy 5 + F+ 1 + F =, F + F, ahol ( F ) a Fiboacci sorozat (ez 1 idukcióval igazolható). Tehát a sorozat potosa akkor értelmezhető, F 1 ha,. F F + 1 + 1 F+ 1 + F F F b) lim = lim = lim. Mivel F F + F 1 F 1 + 1 F F 1+ lim = F lim 1 1+ 5 =. 1 5, az előbbi határérték eseté 1 + 5 F + 1 + 1 F = eseté a lim határértékre alkalmazzuk a 1 + 5 F + 1 F 1 Cesaro-Stolz kritériumot. E célból kiszámítjuk a F+ 1 F+ F F+ 1 F+ 1 FF+ lim = lim = 1 határértéket (eek F F + 1 F F 1F+ 1 F 1 F kiszámítására haszáljuk az F 1 1 ( 1) F F+ = egyelőséget). Így 1+ 5 = eseté lim =. 1 + 5

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XII. OSZTÁLY 1. Tetszőleges y, Geseté az y y és z y helyettesítésekkel 9 9 y ( ) = yy y= ( y) tehát a feltétel alapjá y = y. A 1 -ed redű egységgyökök csoportja teljesíti a feltételt. 419. Ha az adott egyeletek va legalább ( + ) külöböző gyöke, 1 akkor a Rolle tétel alapjá az f () = e a a 1... a függvéy deriváltjáak va legalább ( + 1) párokét külöböző gyöke. Így az f gyöke és így tovább. Tehát az függvéyek va legalább párokét külöböző ( + 1) + gyöke. Ez viszot elletmodás, mert f = e. *. Mivel f ijektív és f (), f függvéyek is va legalább egy ( 1) () ( + 1) fa ( 1) + fa ( ) +... + fa ( ) 1+ +... + =. Így 1 + + +... + <, tehát az ( ) sorozat 1 1 ( + 1) felülről korlátos. Az értelmezése alapjá látható, hogy övekvő is, tehát a sorozat koverges. 4. Az (, y ) potba húzott éritő egyelete 1 1 e : y = ( ) 4. Az F -ből erre húzott merőleges egyelete d :( y 1) =, tehát ha M ( 1, y1) az F vetülete az 1 + éritőre, akkor 1 = és y 1 =. Így az F -ek a d szeriti + 4 *

. FORDULÓ MEGOLDÁSOK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY szimmetrikusa rajta va az y = 1 egyeletű egyeese. Ugyaakkor az 1 értékkészlete az egész és így a mértai hely a teljes y = 1 egyeletű egyees. Megjegyzés. A parabola értelmezése és az optikai tulajdosága alapjá számolás élkül is azoal belátható, hogy az F -ek a d szeriti szimmetrikusa a parabola vezéregyeesé va. 4

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY DIÁKOK NÉVSORA IX. OSZTÁLY Bordi Eszter Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Budai Kiga Nagy Mózes Elméleti Líceum Kézdivásárhely Cseh Júlia Nagy Mózes Elméleti Líceum Kézdivásárhely Deák Norbert Báthory Istvá Elméleti Líceum Kolozsvár Deméy Dávid Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Dobai Gábor Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Farkas Domokos Baróti Szabó Dávid Iskolacsoport Barót Fülöp Balogh Beátri Báthory Istvá Elméleti Líceum Kolozsvár Germa- Salló Zsófia Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Gilye Huor Jáos Zsigmod Uitárius Kollégium Kolozsvár György Szabolcs Mihai Emiescu Sepsiszetgyörgy Halász Hajalka Mihai Emiescu Sepsiszetgyörgy Jakobi Zsuzsaa Ady Edre Elmeleti Liceum Sepsiszetgyörgy Kegyes Krisztia Báthory Istvá Elméleti Líceum Kolozsvár Kémees Edre Salamo Erő Gimázium Arad Kerestély Árpád Áprily Lajos Főgimázium Sepsiszetgyörgy Kilyé Nádor-Alpár Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Koma Zsombor Áprily Lajos Főgimázium Sepsiszetgyörgy Kuruczi-Papp Kodrád Csiky Gergely Iskolacsoport Sepsiszetgyörgy Kúti-Kreszács Mátyás Octavia GogaFőgimázium Arad Lakatos Tamás Kölcsey Ferec Főgimázium Arad Lázár Zsolt Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Mester Áges Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Miklós Erik Nagy Mózes Elméleti Líceum Kézdivásárhely Móritz Sádor Silvaia Főgimázium Sepsiszetgyörgy Nagy Tamás Márto Áro Gimázium Csíkszereda Páll Tamás Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Péter Emőke Márto Áro Gimázium Csíkszereda Pisak Lukáts Borbála Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Porsche Edre Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely 5

DIÁKOK NÉVSORA XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Sajtos Istvá Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Sady Edre Kristóf Márto Áro Gimázium Csíkszereda Saszet Kata Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Szabó Zsolt Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Szabó-Györke Istvá Márto Áro Gimázium Csíkszereda Szátó Zoltá-György Bartók Béla Elméleti Líceum Temesvár Szász Attila Salamo Erő Gimázium Sepsiszetgyörgy Szederjesi Arold Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Szika Ottó Zsolt Németh László Elméleti Líceum Arad Tomos Réka Áprily Lajos Főgimázium Sepsiszetgyörgy Tóth Evely Csiky Gergely Iskolacsoport Sepsiszetgyörgy Vámos Timea-Imelda Csiky Gergely Iskolacsoport Sepsiszetgyörgy Vass Gergely Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely 6

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY DIÁKOK NÉVSORA X. OSZTÁLY Aczél Adrea Székely Mikó Kollégium Arad Atal Eikő Áprily Lajos Főgimázium Nagyvárad Balázs Norbert Mihály Aray Jáos Főgimázium Nagyvárad Bartalis Szilárd Salamo Erő Gimázium Zilah Bartos Júlia Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Bekő Timea Mikes Keleme Főgimázium Zilah Beedek Aabella Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Bogosi Réka Ady Edre Elmeleti Liceum Nagyvarad Bodici László Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Borsos Zala Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Brassai Beáta Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Csiki Timea Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Csiszér Áges Márto Áro Gimázium Csíkszereda Csorvasi Arold Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Dávid Erika Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Dées Károly Ady Edre Elmeleti Liceum Nagyvarad Durugy Ákos Báthory Istvá Elméleti Líceum Kolozsvár Farczádi Albert Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Fazekas Norbert Mihai Emiescu Nagyvarad Fehér Áro Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Forró Timea Nagy Mózes Elméleti Líceum Kézdivásárhely Gábor Szabolcs-László Salamo Erő Gimázium Zilah Grecu Marius Iusti Márto Áro Gimázium Csíkszereda Guba Aett Ady Edre Elmeleti Liceum Nagyvarad Hamar Beáta Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Héjja Rudolf Székely Mikó Kollégium Nagyvarad Illyés Attila Márto Áro Gimázium Csíkszereda Icze Zoltá Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Kulik Árpád Németh László Elméleti Líceum Nagyszalota László Alma Silvaia Főgimázium Nagyvarad 7

DIÁKOK NÉVSORA XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Lőriczi Ábel Mikes Keleme Főgimázium Szekelyhid Major Lajos-Attila Petőfi Sádor Elmeleti Liceum Nagyvarad Marto Sádor Ady Edre Elmeleti Liceum Nagyvarad Máté Ákos Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Nagy Zoltá Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Nyulas Dorottya Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Orbá A. Szabolcs Székely Mikó Kollégium Arad Orbá M. Szabolcs Székely Mikó Kollégium Arad Orbá Ottó Márto Áro Gimázium Csíkszereda Pásztor Timea Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Rab Eikő-Sarolta Székely Mikó Kollégium Arad Red Melitta Octavia GogaFőgimázium Zilah Sádor Péter Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Sebestyé Áges Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Spir Aita Csiky Gergely Iskolacsoport Nagyvarad Szabó Eikő Baróti Szabó Dávid Iskolacsoport Barót Szilveszter Istvá Bartók Béla Elméleti Líceum Temesvár Takács Petra Báthory Istvá Elméleti Líceum Kolozsvár Takács Tímea Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Tempfli Arold Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Tikosi Kiga Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Vajda Szabolcs Báthory Istvá Elméleti Líceum Kolozsvár Varga Rolad-József Aray Jáos Főgimázium Nagyvarad Várhelyi Melida Báthory Istvá Elméleti Líceum Kolozsvár Vass Balázs Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Vitályos Zsolt Nagy Mózes Elméleti Líceum Kézdivásárhely Zsogo Csilla Nagy Mózes Elméleti Líceum Kézdivásárhely 8

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY DIÁKOK NÉVSORA XI. OSZTÁLY Bedő Aita Márto Áro Gimázium Csíkszereda Bodor Zoltá Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Boros Zoltá-Jáos Csiky Gergely Iskolacsoport Brassó Brudaşcă Reáta Báthory Istvá Elméleti Líceum Kolozsvár Buslig Szabolcs Márto Áro Gimázium Csíkszereda Csiki Szabolcs Áprily Lajos Főgimázium Brassó Ferecz-Hake Réka Márto Áro Gimázium Csíkszereda Fülöp Aamária Márto Áro Gimázium Csíkszereda Garda Igrid Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Gecsi Márta Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Gurza László Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely György Levete Salamo Erő Gimázium Sepsiszetgyörgy Hadagy Kiga Csiky Gergely Iskolacsoport Brassó Ilyés Beatri Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Jakab Lilla Octavia GogaFőgimázium Sepsiszetgyörgy Jáos Csogor Márto Áro Gimázium Csíkszereda Kakucs Szede Gizella Baróti Szabó Dávid Isk.cs. Barót Kassay Farkas Ákos Jáos Zsigmod Uit. Kollégium Kolozsvár Kecseti Huor Salamo Erő Gimázium Sepsiszetgyörgy Keresztes Lehel Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Kocs Kiga Áprily Lajos Főgimázium Brassó Kolcza Tüde Márto Áro Gimázium Csíkszereda Kolumbá József Báthory Istvá Elméleti Líceum Kolozsvár Koerth Rajmud Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Lakatos Istvá Székely Mikó Kollégium Brassó Lőricz Emma Áprily Lajos Főgimázium Brassó Lukács Bettia Áprily Lajos Főgimázium Brassó 9

DIÁKOK NÉVSORA XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Madici Szilárd Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Módis László Németh László Elméleti Líceum Sepsiszetgyörgy Nagy Orsolya Petru Maior Iskolaközpot Rége Nemes Kiga Gabriella Bartók Béla Elméleti Líceum Temesvár Pál Levete Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Péterfi Zsuzsáa Silvaia Főgimázium Brassó Polcz Péter Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Sasu Róbert Székely Mikó Kollégium Brassó Sebestyé Balázs Báthory Istvá Elméleti Líceum Kolozsvár Sipos Lehel Székely Mikó Kollégium Nagyszalota Sütő Szabolcs Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Szabó Áges Nagy Mózes Elméleti Líceum Kézdivásárhely Szakács Csilla Baczkamadarasi Kis Gergely Református Kollégium Székelyudvarhely Szász Mátyás Áprily Lajos Főgimázium Brassó Székely Noémi Petru Maior Iskolaközpot Rége Szép László Zoltá Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Török Tamás Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Várady Emese Németh László Elméleti Líceum Gyergyószetmiklós 4

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY DIÁKOK NÉVSORA XII. OSZTÁLY Akácsos Tibor Baróti Szabó Dávid Iskolacsoport Barót Aszalos Csogor Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Bajóczi Tamás Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Bajzát Brigitta Mikes Keleme Főgimázium Margitta Balázs Béla Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Báházi Botod Octavia GogaFőgimázium Nagybáya Biró Emese Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Biró Zsolt Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Hodgyai Zoltá Márto Áro Gimázium Csíkszereda Illyés Ágota Márto Áro Gimázium Csíkszereda Ilyés Zoltá Silvaia Főgimázium Margitta Izsák Istvá Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Károly Réka Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Keleme Irigó Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Kerestély Eikő Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Kilye Attila-Örs Székely Mikó Kollégium Gyergyószetmiklós Kiczel Lajos Rolad Petru Maior Iskolaközpot Rége Kis Kálmá Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Kisfaludi-Bak Zsombor Székely Mikó Kollégium Gyergyószetmiklós Kolcsár Kálmá Imre Salamo Erő Gimázium Nagybáya Korpos Ador Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Kovács Ákos Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Kovács Zsolt Péter Salamo Erő Gimázium Nagybáya Lestyá Erika Nagy Mózes Elméleti Líceum Kézdivásárhely Mataie Ábel Csiky Gergely Iskolacsoport Gyergyószetmiklós Meyhárt Bálid Petru Maior Iskolaközpot Rége Mihály Kiga Tamási Áro Elméleti Líceum Székelyudvarhely Nagy Tímea Márto Áro Gimázium Csíkszereda 41

DIÁKOK NÉVSORA XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Nikora Nárcisz Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Padrah Istvá Leővey Klára Líceum Máramarossziget Papp Igrid Ady Edre Elmeleti Liceum Gyergyószetmiklós Ragyák Eszter Márto Áro Gimázium Csíkszereda Simo Levete Székely Mikó Kollégium Gyergyószetmiklós Szabó Péter Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Szakács Zselyke Ady Edre Elmeleti Liceum Margitta Szász Zsigmod Áprily Lajos Főgimázium Margitta Szatmári Bara Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Tiba Attila Csiky Gergely Iskolacsoport Gyergyószetmiklós Tóth Miklós-Jáos Bartók Béla Elméleti Líceum Temesvár Tóth Orsolya Ady Edre Elmeleti Liceum Gyergyószetmiklós Vas Orsolya Mikes Keleme Főgimázium Sepsiszetgyörgy Visky Mária Báthory Istvá Elméleti Líceum Kolozsvár 4

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY TANÁROK NÉVSORA RÉSZTVEVŐ TANÁROK NÉVSORA Dr. Adrás Szilárd Babes-Bolyai Egyetem Becze Mihály Áprily Lajos Főgimázium Betuker Eikő Octavia GogaFőgimázium Biró Judit Székely Mikó Kollégium Bíró Zoltá Salamo Erő Gimázium Both Gábor Székely Mikó Kollégium Csapó Hajalka Márto Áro Gimázium Dávid Géza Tamási Áro Elméleti Líceum Egyed Geza Nagy Mózes Elméleti Líceum Farkas Csaba Babes-Bolyai Egyetem György Gabriella Bolyai Farkas Elméleti Líceum Hatházi Aamária Báthory Istvá Elméleti Líceum Istvá Zoltá Ady Edre Líceum Kacsó Ferec Bolyai Farkas Elméleti Líceum Kató Eikő Kölcsey Ferec Főgimázium Kéry Hajal Ady Edre Líceum Kovács Béla Kölcsey Ferec Főgimázium Kovács Lajos Tamási Áro Elméleti Líceum Mátéfi Istvá Bolyai Farkas Elméleti Líceum Mészár Juliaa Aray Jáos Főgimázium Nagy Örs Babes-Bolyai Egyetem Nemes Adrás Bartók Béla Elméleti Líceum Oláh-Ilkei Árpád Baróti Szabó Dávid Iskolacsoport Páll Olga Márto Áro Gimázium Péter Adrás Csiky Gergely Iskolacsoport Sebestyé József Orbá Balázs Gimázium Sta Ágota Bolyai Farkas Elméleti Líceum Szász Árpád Mikes Keleme Főgimázium Dr. Szász Róbert Sapietia Erdélyi MagyarTudomáyegyetem Szilágyi Emőke Bolyai Farkas Elméleti Líceum Szilágyi Jutka Báthory Istvá Elméleti Líceum Takács Attila Leővey Klára Líceum Tamási Csaba Márto Áro Gimázium 4

MEGHÍVOTTAK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY MEGHÍVOTTAK Matekovics Mihály, a taügyi és kutatási tárca emzeti kisebbségek oktatásáért felelős vezérigazgatója Csegzi Sádor, Marosvásárhely alpolgármestere Simo Jáos, matematika szakos tafelügyelő, Maros megye Dr. Weszely Tibor, Sapietia Erdélyi MagyarTudomáyegyetem 44

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY DÍJAZOTTAK IX. OSZTÁLY 1.Deák Norbert Báthory Istvá Elméleti Líceum 6 I.. díj.fülöp Balogh Beátri Báthory Istvá Elméleti Líceum 54 II.. díj.komá Attila Zsombor Áprily Lajos Főgimázium 5 II.. díj 4.Péter Emőke Márto Áro Gimázium 5 II.. díj 5.Sady Edre Kristóf Márto Áro Gimázium 5 III.. díj 6.Szabó-Györke Istvá Márto Áro Gimázium 5 III.. díj 7.Nagy Tamás Márto Áro Gimázium 5 III.. díj 8.Porsche Edre Tamási Áro Elméleti Líceum 45 Dicséret 9.Lakatos Tamás Kölcsey Ferec Főgimázium 45 Dicséret 1.Kegyes Krisztia Báthory Istvá Elméleti Líceum 44 Dicséret 11.Saszet Kata Bolyai Farkas Elméleti Líceum 44 Dicséret 1.Móritz Sádor Silvaia Főgimázium 44 Dicséret 1.Pisak Lukáts Borbála Bolyai Farkas Elméleti Líceum 4 Dicséret 14.Budai Kiga Nagy Mózes Elméleti Líceum 4 Dicséret 15.Szátó Zoltá-György Bartók Béla Elméleti Líceum 7 Dicséret 16.Halász Hajalka Mihai Emiescu Főgimázium 7 Dicséret 17.Mester Áges Székely Mikó Kollégium 6 Dicséret 18.Vass Gergely Bolyai Farkas Elméleti Líceum 5 Dicséret 19.Kémees Edre Salamo Erő Gimázium 4 Dicséret.Kilyé Nádor-Alpár Székely Mikó Kollégium Dicséret 1.György Szabolcs Mihai Emiescu Főgimázium,5 Dicséret.Szederjesi Arold Bolyai Farkas Elméleti Líceum 9 Dicséret.Cseh Júlia Nagy Mózes Elméleti Líceum 9 Dicséret 4.Farkas Domokos Baróti Szabó Dávid Isk. Cs. 7 Dicséret 5.Germá- Salló Zsófia Bolyai Farkas Elméleti Líceum 7 Dicséret Megjegyzés. A voal fölötti díjazottak képviselik Erdélyt a XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseye, 9. március 1-16. között Gyulá. 45

DÍJAZOTTAK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY X. OSZTÁLY 1.Borsos Zalá Bolyai Farkas Elméleti Líceum 7 I. díj.bodici László Kölcsey Ferec Főgimázium 69,5 I. díj.vass Balázs Tamási Áro Elméleti Líceum 66 I. díj 4.Beedek Aabella Bolyai Farkas Elméleti Líceum 45 II. díj 5.Tikosi Kiga Tamási Áro Elméleti Líceum 4 II. díj 6.Takács Petra Báthory Istvá Elméleti Líceum 7 III. díj 7.Fehér Áro Bolyai Farkas Elméleti Líceum 5 Dicséret 8.Lőriczi Ábel Mikes Keleme Főgimázium 5 Dicséret 9.Orbá M. Szabolcs Székely Mikó Kollégium 5 Dicséret 1.Várhelyi Melida Báthory Istvá Elméleti Líceum 4,5 Dicséret 11.Csiszér Áges Márto Áro Gimázium 9 Dicséret 1.László Alma Silvaia Főgimázium Dicséret 1.Fazekas Norbert Mihai Emiescu Főgimázium Dicséret 14.Bartalis Szilárd Salamo Erő Gimázium 9 Dicséret 15.Zsögö Csilla Nagy Mózes Elméleti Líceum 9 Dicséret 16.Illyés Attila Márto Áro Gimázium 8 Dicséret 17.Sádor Péter Kölcsey Ferec Főgimázium 7,5 Dicséret 18.Dées Károly Ady Edre Elmeléti Líceum 7 Dicséret 19.Grecu Marius Iusti Márto Áro Gimázium 7 Dicséret.Tempfli Arold Kölcsey Ferec Főgimázium 7 Dicséret 1.Csiki Timea Tamási Áro Elméleti Líceum 6 Dicséret.Hevele Balázs Orbá Balázs Gimázium 6 Dicséret.Szilveszter Istvá Bartók Béla Elméleti Líceum 6 Dicséret 4.Vajda Szabolcs Báthory Istvá Elméleti Líceum 6 Dicséret 46

XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY DÍJAZOTTAK XI. OSZTÁLY 1.Kolumbá József Báthory Istvá Elméleti Líceum 47,5 I. díj.sasu Róbert Székely Mikó Kollégium 4,5 II. díj.madici Szilárd Kölcsey Ferec Főgimázium 41 II. díj 4.Sipos Lehel Székely Mikó Kollégium 4 II. díj 5.Hevele Istvá Orbá Balázs Gimázium 8 III. díj 6.Polcz Péter Kölcsey Ferec Főgimázium 6,5 III. díj 7.Pál Levete Tamási Áro Elméleti Líceum 4,5 III. díj 8.Bodor Zoltá-Márk Kölcsey Ferec Főgimázium Dicséret 9.Módis László Németh László Elméleti Líceum 9 Dicséret 1.Gecsi Márta Tamási Áro Elméleti Líceum 8,5 Dicséret 11.Farkas Áges Orbá Balázs Gimázium 7,5 Dicséret 1.Ferecz-Hake Réka Márto Áro Gimázium 7 Dicséret 1.Boros Zoltá-Jáos Csiky Gergely Iskolacsoport 6,5 Dicséret 14.Hadagy Kiga Csiky Gergely Iskolacsoport 6,5 Dicséret 15.Kecseti Huor Salamo Erő Gimázium 6,5 Dicséret 16.Sebestyé Balázs Báthory Istvá Elméleti Líceum 6,5 Dicséret 17.Buslig Szabolcs Márto Áro Gimázium 6 Dicséret 18.Péterfi Zsuzsáa Silvaia Főgimázium 4,5 Dicséret 19.Kassay Farkas Ákos Jáos Zsigmod Uit.Kollégium 4 Dicséret.Brudaşcă Reáta Báthory Istvá Elméleti Líceum,5 Dicséret 1.Bedő Aita Márto Áro Gimázium Dicséret.György Levete Salamo Erő Gimázium Dicséret.Ilyés Beatri Tamási Áro Elméleti Líceum Dicséret 47

DÍJAZOTTAK XIX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY XII. OSZTÁLY 1.Kovács Zsolt-Péter Salamo Erő Gimázium 4 I. díj.illyés Ágota Márto Áro Gimázium 41 I. díj.kisfaludi-bak Zsombor Székely Mikó Kollégium 41 I. díj 4.Nagy Tímea Márto Áro Gimázium 8 III. díj 5.Bajóczi Tamás Bolyai Farkas Elméleti Líceum 4 Dicséret 6.Biró Zsolt Tamási Áro Elméleti Líceum Dicséret 7.Károly Réka Bolyai Farkas Elméleti Líceum Dicséret 8.Kilyé Attila-Örs Székely Mikó Kollégium Dicséret 9.Báházi Botod László Octavia Goga Főgimázium 8 Dicséret 1.Izsák Istvá Bolyai Farkas Elméleti Líceum 7 Dicséret 11.Ragyák Eszter Márto Áro Gimázium 7 Dicséret 1.Kiss Kálmá Tamási Áro Elméleti Líceum 6 Dicséret 1.Simo Levete Székely Mikó Kollégium 5 Dicséret 14.Szász Zsigmod-Attila Áprily Lajos Főgimázium 5 Dicséret 15.Visky Mária Báthory Istvá Elméleti Líceum 5 Dicséret 48