Görbék és felületek elemi differenciálgeometriája. Kozma László Kovács Zoltán

Görbék és felületek elemi differenciálgeometriája Kozma László Kovács Zoltán

Lektorálta: dr. Hoffmann Miklós főiskolai tanár Eszterházy Károly Főiskola Készült a TÁMOP 4.1.2-08/1/A Tananyagfejlesztés és tartalomfejlesztés különös tekintettel a matematikai, természettudományi, műszaki és informatikai (MTMI) képzésekre pályázat keretében A PROJEKTEK AZ EURÓPAI UNIÓ TÁMOGATÁSÁVAL, AZ EURÓPAI SZOCIÁLIS ALAP TÁRSFINANSZÍROZÁSÁVAL VALÓSULNAK MEG Debrecen Nyíregyháza 2011.

Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelmagyarázat 5 1. fejezet. Görbék differenciálgeometriája 6 1.1. Parametrizált görbék 6 1.2. Síkgörbék Frenet-bázisa 11 1.3. A síkgörbe meghatározása a görbületből 16 1.4. Síkgörbék globális elmélete I: a körüljárási tétel 18 1.5. Síkgörbék globális elmélete II: a négy csúcspont tétele 21 1.6. Térgörbék Frenet-bázisa 23 1.7. A görbület és a torzió tulajdonságai, a görbeelmélet alaptétele 26 2. fejezet. Felületek differenciálgeometriája 31 2.1. Implicit felületek 31 2.2. Parametrizált felületek 34 2.3. Felületi görbék 42 2.4. Mérés a felületen, a felület első alapmennyiségei 44 2.5. A felület első alapformája 49 2.6. Az oszkuláló paraboloid, a felület második alapmennyiségei 50 2.7. A felület második alapformája és a formaoperátor 52 2.8. A felület görbülete 55 2.9. Gauss-görbület és Minkowski-görbület 58 2.10. A Gauss-egyenletek és a felület kompatibilitási egyenletei 59 2.11. Elemi felületek izometrikus leképezései 64 2.12. Párhuzamos eltolás a felületen 67 2.13. Geodetikusok 72 2.14. A Gauss Bonnet-tétel 76 3. fejezet. Appendix 81 3.1. Bilineáris és kvadratikus formák 81 3.2. Többváltozós, vektorértékű függvények differenciálása 82 4. fejezet. A feladatok megoldásai 84 5. fejezet. wxmaxima munkalapok 91 Irodalomjegyzék 92 3

ELŐSZÓ 4 Előszó A jegyzet matematika alapszakos hallgatóknak készült a Differenciálgeometria tantárgyhoz. Tematikájában lefedi a görbék és felületek elemi differenciálgeometriáját. Az anyag összeválogatásában igyekeztünk mértéktartóak lenni, az anyag a jelenlegi formáját azután nyerte el, miután többször is sikeresen feldolgozásra került a Nyíregyházi Főiskolán heti két órában nappali tagozaton illetve a levelező képzésben. Bizonyos megszokott anyagrészek (hogy csak néhányat említsünk a görbeelméletből: evolúta, evolvens, görbesereg burkolója, vetület a kísérő triéder síkjaira) kimaradtak, a kiegészítő anyagba, vagy a feladatok közé kerültek. Előismeretek. Feltételezzük a Lineáris algebra tantárgy biztos ismeretét (mátrixszámítás, vektorterek, lineáris leképezések, sajátérték probléma). Magától értődő előismeret még az analízis tananyag a valós többváltozós függvények differenciál- és integrálszámításával bezárólag. A kvadratikus formákról, valamint a vektorváltozós, vektorértékű függvények differenciálszámításáról tanultakat összefoglaltuk az Appendixben. Feladatok. Csaknem minden fejezet után feladatok vannak, melyek megoldása segítheti a tananyag megértését. Az alapszakos képzésben a Differenciálgeometria előadáshoz gyakorlat is tartozik, a gyakorlatokon feldolgozott feladatanyag az ittenitől bővebb, s ehhez rendelkezésre is állnak különböző példatárak. A jegyzet feladatai kiindulópontot jelenthetnek a gyakorlatokhoz, illetve a tananyag újraolvasásakor adnak gyakorlási lehetőséget. A wxmaxima használata. A jegyzetben a számítási feladatok egy részéhez wxmaxima támogatást adunk. A munkalapok csak a számolást, a kifejezések egyszerűbb alakra hozását könnyítik meg. Szándékosan nem készítettünk csomagot a differenciálgeometriai mennyiségeket tartalmazó függvényekkel, tehát csak a Maxima általánosan hozzáférhető függvényeit használtuk. Emellett saját munkalapok írására bátorítjuk az olvasót, akár a házi feladatok ellenőrzésére, akár a különböző görbék, felületek ábrázolására. A munkalapok letölthetők a zeus.nyf.hu/ kovacsz/dg_tamop/ címről, vagy direkt linkkel pdf formában elérhetők a jegyzetből. Debrecen Nyíregyháza, 2011. április Kozma László, Kovács Zoltán

JELMAGYARÁZAT 5 Jelmagyarázat Az alábbi listában megadjuk a jegyzetben külön magyarázat nélkül használt fontosabb jelölések listáját. R n m : az n m típusú valós mátrixok halmaza GL(n) = {A R n n det A 0}: az általános lineáris csoport O(n) = {A GL(n) A 1 = A t }: az ortogonális csoport SO(n) = {A O(n) det A = 1}: a speciális ortogonális csoport L(x, y,...): az x, y,... vektorok által generált altér x, y : az x, y R n vektorok természetes skaláris szorzata, azaz n x, y = x i y i x : az x R n vektor normája, x = x, x x y: az x, y R 3 vektorok vektoriális szorzata x, y, z : az x, y, z R 3 vektorok vegyes szorzata : kiegészítő anyag, nehéz feladat R n -t gyakran beazonosítjuk R n 1 -el, anélkül, hogy erre külön felhívnánk a figyelmet. Így például x R n és A R n n esetén Ax R n -t írunk. A jegyzetben a függvényekre akkor mondjuk, hogy differenciálhatóak, ha C -osztályúak, azaz akárhányszor differenciálhatóak. i=1

1. FEJEZET Görbék differenciálgeometriája 1.1. Parametrizált görbék Ha egy anyagi pont mozgását a síkban vagy a térben le akarjuk írni, akkor legegyszerűbb, ha az origó rögzítése után megadjuk helyzetvektorát az idő függvényében. Ebből a helyzetvektor-idő függvényből a mozgás kinematikai jellemzőit már meg lehet adni, az első deriváltja (ha létezik) a sebesség, a második deriváltja a gyorsulás. Parametrizált görbe alatt egy ilyen helyzetvektor-idő függvényt fogunk érteni. A mozgó pont pályája egy ponthalmaz a síkban vagy a térben ezt egyszerűen görbének nevezzük. Az elemi görbeelmélet egyik célja, hogy a parametrizált görbe ismeretében a görbe, azaz a ponthalmaz geometriai jellemzőire következtessen. 1.1. Definíció. Legyen I R esetleg elfajuló, de nem egypontú intervallum, n = 2 vagy 3. Egy c: I R n differenciálható leképezést reguláris parametrizált görbének nevezünk, ha minden t I-re teljesül a c (t) 0 regularitási feltétel. Az I intervallumot paramétertartománynak nevezzük. n = 2 esetén síkgörbéről, n = 3 esetén térgörbéről beszélünk. Általános értelemben síkgörbéről beszélünk akkor is, ha Im c-t R 3 egy síkja (kétdimenziós lineáris sokasága) tartalmazza. 1.2. Példa (egyenletes körmozgás). Egy pont állandó ω > 0 szögsebességgel mozog egy a > 0 sugarú, origó középpontú körön. Határozzuk meg a helyzetvektoridő leképezést! A t = 0 időpontban a pont koordinátái (a, 0). A pont irányszöge t időpontban ϕ = ωt, így koordinátái(a cos(ωt), a sin(ωt)). Tehát a görbe paraméteres előállítása: c: [0, ) R 2, t c(t) = (a cos(ωt), a sin(ωt)). A regularitási feltétel nyilván teljesül: c (t) = ( aω sin(ωt), aω cos(ωt)), c (t) = aω 0. A c (t) = aω összefüggés, mely a kerületi sebesség és a szögsebesség közti kapcsolatot adja meg, a középiskolai fizikából ismerős lehet. A paraméteres előállításból azonnal következik, hogy a mozgásra x 2 +y 2 = a 2 teljesül, ami a kör egyenlete (x = a cos(ωt), y = a sin(ωt)). Az a sugár a mozgás geometriai jellemzője, ω a mozgás fizikai jellemzője. 1.3. Példa (hengeres csavarvonal). Egy a sugarú egyenes forgáshenger tengelye a z tengely. Kiválasztjuk egy alkotóját, az alkotón egy pont (a hengerhez képest) b > 0 sebességgel egyenletes mozgást végez, miközben a hengert a z tengely körül ω szögsebességgel forgatjuk. Határozzuk meg a helyzetvektor-idő függvényt. A t = 0 időpontban a pont koordinátái (a, 0, 0). 6

1.1. PARAMETRIZÁLT GÖRBÉK 7 z x y 1.1. ábra. Hengeres csavarvonal A mozgás vetülete az xy síkra egyenletes körmozgás, a z tengelyre pedig egyenesvonalú egyenletes mozgás. Így a paraméteres előállítás: c: [0, ) R 3, t c(t) = (a cos(ωt), a sin(ωt), bt) (a, b > 0). c (t) = a 2 ω 2 + b 2 0, azaz a regularitási feltétel teljesül. Im c-t hengeres csavarvonalnak nevezzük (1.1. ábra). 1.4. Példa (nem reguláris görbék). A c(t) = (t 2, t 3 ), (t R) differenciálható görbe (ld. 1.2. ábra) nem reguláris, mert t = 0-ban c (0) = (2t, 3t 2 ) t=0 = (0, 0). A c(t) = (t 3, t 3 ) görbe képe egyenes (egyenlete y = x), de a görbe az origóban nem reguláris. Ugyanennek az egyenesnek reguláris előállítása pl. c(t) = (t, t). 1.5. Definíció. Legyen c: I R n parametrizált görbe. A v : I R, t v(t) = c (t) leképezést pályasebesség függvénynek (vagy pálya menti sebességnek), míg a c : I R n, t c (t) leképezést sebesség-vektormezőnek nevezzük. c (t) a görbe t paraméterértékű ponthoz tartozó sebességvektora, míg a c(t) + L(c (t)) egydimenziós lineáris sokaság a t paraméterértékű ponthoz tartozó érintőegyenes. A c: I R n parametrizált görbét természetes paraméterezésűnek, vagy ívhossz paraméterezésűnek mondjuk, ha t I : v(t) = 1. Legyen most I = [a, b]. Λ(c) = b v(τ) dτ a görbe ívhossza, a a σ : [a, b] R, σ(t) = függvény pedig a görbe ívhosszfüggvénye. t a v(τ) dτ 1.6. Megjegyzés. Az ívhossz geometriai bevezetésével nem foglalkoztunk, feltételezzük, hogy az olvasó az analízis tanulmányokból ismeri a rektifikálható görbék ívhosszának definícióját és az ívhossz kiszámítását a görbe differenciálhatóságának feltételezése mellett.

1.1. PARAMETRIZÁLT GÖRBÉK 8 y x 1.2. ábra. Nem reguláris görbe 1.7. Tétel. Legyen c: I R n parametrizált görbe, Ĩ R, I és Ĩ valós intervallumok. Ha ϕ: Ĩ I diffeomorfizmus és c = c ϕ, akkor c is parametrizált görbe. BIZONYÍTÁS. A regularitási feltételt kell ellenőrizni c-re. A láncszabályt alkalmazva: c (t) = c (ϕ(t)) ϕ (t). Mivel c reguláris, ezért a szorzat első tényezője, mivel ϕ diffeomorfizmus, ezért a szorzat második tényezője egyetlen paraméterértékre sem nulla. 1.8. Definíció. Legyenek c: I R n és c: Ĩ Rn parametrizált görbék. Ha létezik olyan ϕ: Ĩ I diffeomorfizmus, hogy c = c ϕ, akkor c-t és c-t ekvivalens görbéknek nevezzük, ϕ-t pedig paramétertranszformációnak. Ha ráadásul t Ĩ-re ϕ (t) > 0 is teljesül, akkor irányítástartó vagy orientációtartó paramétertranszformációról beszélünk. 1.9. Tétel. A parametrizált görbék ekvivalenciája ekvivalenciareláció. 1.10. Tétel. Ekvivalens görbék ívhossza megegyezik. BIZONYÍTÁS. Az 1.7. tétel jelöléseivel. Legyen ϕ: [a, b] [ϕ(a), ϕ(b)] szigorúan monoton növekedő. Ekkor b a c (τ) dτ = b a c (ϕ(τ)) ϕ (τ) dτ = = b a c (ϕ(τ)) ϕ (τ) dτ = ϕ(b) ϕ(a) c (µ) dµ

1.1. PARAMETRIZÁLT GÖRBÉK 9 a változó helyettesítésére vonatkozó tétel szerint. 1.11. Tétel. Minden parametrizált görbe ekvivalens egy természetes paraméterezésű görbével, azaz az ívhossz mindig bevezethető paraméternek. BIZONYÍTÁS. Legyen c: [a, b] R n parametrizált görbe, σ : [a, b] R, σ(t) = t a v(τ) dτ az ívhosszfüggvény. σ (t) = v(t) > 0, tehát a σ függvény szigorúan monoton növekedő, azaz invertálható, tehát diffeomorfizmus. Az inverze: σ 1 : [0, Λ(c)] [a, b]. Legyen c = c σ 1 : [0, Λ(c)] R n. Számítsuk ki c pályasebesség-függvényét, azaz a ṽ(t) = (c σ 1 ) (t) = (c (σ 1 (t)) σ 1 (t) = = σ 1 (t) c (σ 1 (t)) = σ 1 (t) v(σ 1 (t)) függvényt. Alkalmazva az inverz függvény differenciálásáról tanultakat (lásd (3.2)): ṽ(t) = 1 σ (σ 1 (t)) v(σ 1 (t)) = 1.12. Példa. Vezessük be az ívhosszat paraméternek a 1 v(σ 1 (t)) v(σ 1 (t)) = 1. c: [0, 2π] R 3, t c(t) = (a cos t, a sin t, b t), (a, b > 0) hengeres csavarvonalon. Az ívhosszfüggvény: t σ(t) = t 0 σ : [0, 2π] R, a2 + b 2 dτ = a 2 + b 2 [ τ ] t 0 = a 2 + b 2 t. Az ívhosszfüggvény inverze: σ 1 [ 0, 2π a 2 + b 2 ] [0, 2π], s 1 a2 + b 2 s. A tétel bizonyítása szerint a c = c σ 1 függvény lesz a probléma megoldása, tehát: c: [0, 2π a ] 2 + b 2 R 3, ( ) s s c(s) = a cos a2 + b, a sin s 2 a2 + b, b s. 2 a2 + b 2 Ellenőrizzük, hogy a pályasebesség függvény tényleg a konstans 1 függvény!

1.1. PARAMETRIZÁLT GÖRBÉK 10 Feladatok 1.1. Feladat. Egy r sugarú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. Írjuk fel a kör középpontjától d távolságra elhelyezkedő, a körhöz képest rögzített helyzetű pont pályájának paraméteres előállítását. (d = r esetén cikloisról, d < r esetén zsugorított cikloisról, míg d > r esetén nyújtott cikloisról beszélünk.) Vizsgáljuk a görbe regularitását. wxmaxima munkalap: PDF 1.2. Feladat. Az M pont egyenletes sebességgel halad az O kezdőpontú h félegyenesen (a kezdőponttól távolodva), miközben h állandó szögsebességgel forog az O körül. M pályáját archimédeszi spirálnak nevezzük. Írjuk fel az archimédeszi spirál egy paraméteres előállítását! 1.3. Feladat. Az O kezdőpontú h félegyenes egységnyi szögsebességgel forog O köröl, ugyanakkor az M pont az OM távolsággal arányos sebességgel mozog h-n. a. A t = 0 időpontban M távolsága O-tól b és M az O-hoz közeledik. Írjuk fel M pályájának egy paraméteres előállítását. (Logaritmikus spirál.) b. Bizonyítsuk be, hogy (c-vel jelölve a paraméteres előállítást) lim t + t 0 c (t)) dt véges, (azaz a [0, ) intervallumon c ívhossza véges). 1.4. Feladat. Legyen c: (0, π) R 2, ( c(t) = sin t, cos t + log tg t ), 2 (traktrix). a. Bizonyítsuk be, hogy egyetlen olyan pont, ahol c nem reguláris, a t = π/2 paraméterértékű pont. b. Bizonyítsuk be, hogy a traktrix egy érintőjének az érintési pont és az y tengely közé eső szakasza mindig 1 hosszúságú. wxmaxima munkalap: PDF 1.5. Feladat. Tekintsük egy síkgörbe polárkoordinátás előállítását: azaz c(θ) = (cos θ r(θ), sin θ r(θ)). r : [a, b] R 2, θ r(θ); a. Bizonyítsuk be, hogy a görbe ívhossza: b a r(θ)2 + r (θ) 2 dθ. b. Határozzuk meg ennek alapján az r(θ) = a θ archimédeszi spirál első menetének az ívhosszát!

1.2. SÍKGÖRBÉK FRENET-BÁZISA 11 1.2. Síkgörbék Frenet-bázisa 1.13. Tétel. Legyen c: I R 2 parametrizált síkgörbe. Ekkor egyértelműen léteznek olyan T, N : I R 2 differenciálható leképezések, hogy t I-re: (i) (T (t), N(t)) pozitív ortonormált bázis R 2 -ben; (ii) T (t) a c (t)-nek pozitív skalár szorosa. BIZONYÍTÁS. Legyen T (t) = c (t)/v(t). Ekkor T (t) nyilván egységvektor, továbbá az (ii) feltétel is teljesül. Jelöljük J-vel R 2 pozitív irányú π/2 mértékű elforgatását, azaz J : R 2 R 2, (x, y) ( y, x). J lineáris transzformáció, tehát differenciálható. Legyen N = J T, így (i) teljesül. N differenciálható, mert differenciálható leképezések kompozíciója. Az egyértelműség onnan következik, hogy T (t)-t ortonormált bázissá pontosan kétféleképpen lehet kiegészíteni, nevezetesen ±π/2 szögű elforgatásokkal, de a π/2 szögű elforgatás negatív bázist adna. 1.14. Definíció. (Az előző tétel jelöléseivel.) T -t érintő egységvektormezőnek, T (t)-t érintő egységvektornak, N-t normál egységvektormezőnek, N(t)-t a t paraméterértékű ponthoz tartozó normális vektornak nevezzük. A (T, N) párt a görbe Frenet-bázisának nevezzük. y T (t) c(t) N(t) x 1.3. ábra. Frenet-bázis 1.15. Tétel. Legyen c: I R 2 parametrizált síkgörbe. Ekkor van olyan ω : I R differenciálható függvény, hogy T = ωn N = ωt.

1.2. SÍKGÖRBÉK FRENET-BÁZISA 12 BIZONYÍTÁS. Bontsuk fel a T és N vektorokat T -vel és N-nel párhuzamos komponensekre: T = T, T T + T, N N N = N, T T + N, N N. Deriválva a T, T = 1 összefüggést: 2 T, T = 0; hasonlóan 2 N, N = 0. Most a T, N = 0 összefüggést deriválva: T, N + T, N = 0. Tehát ω = T, N = N, T adódik. 1.16. Definíció. Legyen c: I R 2 parametrizált síkgörbe. A κ: I R, κ = T, N v függvényt a c síkgörbe görbületének nevezzük. 1.17. Következmény (Frenet-formulák, vagy derivációs formulák). T = κvn N = κvt. Speciálisan, természetes paraméterezésű síkgörbékre: T = κn N = κt. 1.18. Példa (a körvonal görbülete). Legyen c: [0, 2π] R 2, t c(t) = (R cos t, R sin t). Ekkor: c (t) = R( sin t, cos t), v(t) = R, T (t) = ( sin t, cos t), T (t) = ( cos t, sin t). N(t) = ( cos t, sin t), Innen láthatjuk, hogy T = N, tehát az első Frenet-formula szerint c görbületi függvénye konstans, κ = 1/R. 1.19. Tétel (a görbület kiszámítása). (A korábbi feltételek mellett.) κ = c, N v 2. BIZONYÍTÁS. A görbületet definiáló formulát átalakítjuk a derivációs formula segítségével: c = vt c = v T + vt = v T + κv 2 N. Ez utóbbi sort N-el skalárisan szorozva c, N = κv 2 adódik, mert T N. Innen leolvasható a bizonyítandó formula. 1.20. Tétel. Legyen c: I R 2 parametrizált síkgörbe, melynek görbületi függvénye κ. Legyen továbbá ϕ: Ĩ I paramétertranszformáció, c = c ϕ: Ĩ R2. c görbületi függvényét jelölje κ. Ekkor κ = sgn ϕ κ ϕ.

Tehát: 1.2. SÍKGÖRBÉK FRENET-BÁZISA 13 BIZONYÍTÁS. A görbület alábbi kifejezését használjuk: Eszerint c = c ϕ κ = T, N v = c, N v 2 = c, J c v 3. c = (c ϕ) ϕ, J c = ϕ (J c ϕ), ṽ = ϕ (v ϕ) c = (c ϕ) ϕ 2 + (c ϕ) ϕ. mivel c ϕ J c ϕ: κ = ϕ 2 (c ϕ) + ϕ (c ϕ), ϕ (J c ϕ) ṽ 3 = = ϕ 3 c ϕ, J c ϕ ϕ 3 (v ϕ) 3 = = sgn ϕ κ ϕ. 1.21. Következmény. Síkgörbe görbülete irányítástartó paramétertranszformációval szemben invariáns. 1.22. Tétel. Legyen c: I R 2 parametrizált síkgörbe, melynek görbületi függvénye κ. Legyen továbbá F : R 2 R 2 izometria, ennek lineáris része f O(2), továbbá c = F c: I R 2. c görbületi függvényét jelölje κ. Ekkor κ = det f κ. BIZONYÍTÁS. Könnyen ellenőrizhető, hogy J f = det f (f J). Továbbá a láncszabályt alkalmazva: c = F c c = (F c) c = f c, T = f c c = (f c ) c = f c. ṽ, Ñ = J f c, ṽ A görbületet kiszámítva, felhasználva, hogy f ortogonális transzformáció, tehát a normát és a skaláris szorzatot megtartja: κ = c, J f c ṽ 3 = f c, det f (f J c ) f c 3 = = det f c, J c c 3 = det f κ. 1.23. Következmény. Síkgörbe görbülete irányítástartó izometriával szemben invariáns. A görbület geometriai jelentésére az alábbi tétel közvetlenül is rámutat. 1.24. Tétel. Legyen c: [a, b] R 2 természetes paraméterezésű parametrizált síkgörbe, továbbá valamilyen s [a, b]-re teljesüljön, hogy c (s) 0. Ekkor

1.2. SÍKGÖRBÉK FRENET-BÁZISA 14 (1) s-nek van olyan I [a, b] környezete, hogy s 1, s 2, s 3 I-re c(s 1 ), c(s 2 ), c(s 3 ) nem egy egyenesre illeszkednek (2) ha s i s (i = 1, 2, 3), akkor a c(s i ) pontokra illeszkedő kör tart egy 1/ c (s) = 1/ κ(s) sugarú, c(s)-re illeszkedő körhöz. A tétel 2. pontjában szereplő kört a görbe c(s) ponthoz tartozó simulókörének nevezzük. BIZONYÍTÁS. c reguláris, tehát s valamely környezetében injektív, a bizonyítás során eleve ilyen környezetből indulunk ki. A Cauchy-féle középértéktételből következik, hogy minden s 1 < s 2 -höz létezik olyan s 1 < ξ < s 2, hogy c (ξ) és c(s 2 ) c(s 1 ) egyirányú. Legyen ugyanis c(t) = (x(t), y(t)). Van olyan ξ (s 1, s 2 ), hogy (x(s 2 ) x(s 1 ))y (ξ) = (y(s 2 ) y(s 1 ))x (ξ) (ez a Cauchy-féle középértéktétel állítása), így a c(s 2 ) c(s 1 ) vektor π/2 szögű elforgatottja merőleges c (ξ)-re, azaz c(s 2 ) c(s 1 ) és c (ξ) egyirányúak. Az első állítást indirekt bizonyítással látjuk be. Legyen I [a, b] az s valamely környezete és valamely s 1, s 2, s 3 I-re c(s 1 ), c(s 2 ), c(s 3 ) illeszkedjenek az l egyenesre. Legyenek továbbá ξ 1 (s 1, s 2 ), ξ 2 (s 2, s 3 ) olyan paraméterértékek, hogy c (ξ 1 ) l és c (ξ 2 ) l (1.4. ábra). Most tekintsük a c : I S 1 görbét, amely y c(s 1 ) c(ξ 2 ) c(ξ 1 ) c(s 2 ) x c(s 1 ) 1.4. ábra. tehát az origó középpontú egységkörbe képez (S 1 = {x R 2 x = 1}). I-t válasszuk úgy, hogy c [ξ 1, ξ 2 ] ne legyen az egész S 1 egységkör. Tekintsük a c által leírt körív egyik c (η) (η (ξ 1, ξ 2 )) végpontját. c az η tetszőleges környezetében nem injektív, így c (η) = 0 (ld. 1.5. ábra). A tétel második állítását bizonyítjuk. A c(s i ) pontokra (i = 1, 2, 3) illeszkedő kör középpontját jelölje C(s 1, s 2, s 3 ) és teljesüljön, hogy s 1 < s 2 < s 3. Tekintsük

1.2. SÍKGÖRBÉK FRENET-BÁZISA 15 y c (ξ 1 ) = c (ξ 2 ) c (η) x 1.5. ábra. az r : t c(t) C(s 1, s 2, s 3 ) 2 = c(t) C(s 1, s 2, s 3 ), c(t) C(s 1, s 2, s 3 ) függvényt. Mivel ennek a függvénynek ugyanaz az értéke az s 1, s 2, s 3 helyeken (ti. a körülírt kör sugár-négyzete), ezért a Rolle-féle középértéktétel miatt vannak olyan s 1 < q 1 < s 2, s 2 < q 2 < s 3 értékek, hogy r (q 1 ) = r (q 2 ) = 0: (1.1) c (q i ), c(q i ) C(s 1, s 2, s 3 ) = 0 i = 1, 2. Ismét a Rolle-tételt alkalmazva, van olyan q 1 < l < q 2 érték, hogy r (l) = 0, azaz c (l), c(l) C(s 1, s 2, s 3 ) + c (l), c (l) = 0, így (1.2) c (l), c(l) C(s 1, s 2, s 3 ) = 1. Tekintsük a C = c(s) + 1 c (s) 2 c (s) pontot. Mivel (c (s), c (s)) (az ívhosszparaméterezés miatt) merőlegesek, így (1.3) c (s), c(s) C = 0 c (s), c(s) C = 1. Figyelembe véve, hogy c (q i ) c (s) és c (l) c (s) és összehasonlítva az (1.1) és (1.2) relációkat az (1.3) egyenletekkel, C(s 1, s 2, s 3 ) C következik. Feladatok 1.6. Feladat. Számítsuk ki a c: [0, 2π] R 2, t (t, sin t) szinuszgörbe görbületi függvényét! wxmaxima munkalap: PDF 1.7. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a θ r(θ) polárkoordinátás alakban adott görbe görbülete: κ = 2r 2 rr + r 2 (r 2 + r 2 ) 3/2. Határozzuk meg ennek alapján az archimédeszi spirál és a logaritmikus spirál görbületi függvényét.

1.3. A SÍKGÖRBE MEGHATÁROZÁSA A GÖRBÜLETBŐL 16 1.8. Feladat. Legyen c: I R 2 parametrizált síkgörbe, mely κ görbületéről feltesszük, hogy egyetlen pontban sem nulla. A β : I R 2, β(t) = c(t) + 1 κ(t) N(t) görbét c evolútájának nevezzük. Mutassuk meg, hogy az evolúta t-beli érintője megegyezik az eredeti görbe t-beli normálisával. 1.9. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az r(θ) = c a θ logaritmikus spirál evolútája logaritmikus spirál. Határozzuk meg az a paramétert úgy, hogy a görbe önmaga evolútája legyen. 1.10. Feladat. Készítsünk wxmaxima munkalapot egy síkgörbe evolútájának számításához. wxmaxima munkalap: PDF 1.3. A síkgörbe meghatározása a görbületből 1.25. Definíció. Legyen c: [a, b] R 2 parametrizált síkgörbe, az érintőegységvektormező T : [a, b] R 2, továbbá µ: R R 2, t µ(t) = (cos t, sin t). Ekkor minden olyan θ : [a, b] R differenciálható függvényt, melyre T = µ θ, a c görbe hajlásszögfüggvényének nevezzük. 1.26. Megjegyzés. Ha ugyanazon görbének θ és θ két hajlásszögfüggvénye, akkor θ θ = k2π valamely k egész számra. 1.27. Tétel. A definíció jelöléseivel, θ = κv, ahol v a pályasebesség. BIZONYÍTÁS. T = (µ θ) = θ (µ θ) = θ (J µ θ) = θ N. A Frenet formulák alapján: T = κvn, ahonnan az állítás leolvasható. 1.28. Tétel (a görbeelmélet alaptétele síkban, létezés). Legyen κ: I R adott differenciálható függvény. Ekkor létezik olyan c: I R 2 természetes paraméterezésű parametrizált síkgörbe, mely görbületi függvénye éppen κ. BIZONYÍTÁS. (A korábbi jelölésekkel, jelölje c a keresett görbét, θ a hajlásszög-függvényt.) A v = 1 feltételezés mellett θ = κ, ahonnan θ = ( κ ) + θ 0. A c = µ θ differenciálegyenlet megoldása c = (x, y)-re: ( ) ( ) (1.4) x = cos θ + x 0, y = sin θ + y 0, ahol θ 0, x 0, y 0 tetszőleges konstansok. Egyszerű behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy c természetes paraméterezésű és görbületi függvénye κ. 1.29. Tétel. Legyen a c síkgörbe görbületi függvénye κ. κ = 0 az (esetleg elfajuló) szakaszokat jellemzi.

1.3. A SÍKGÖRBE MEGHATÁROZÁSA A GÖRBÜLETBŐL 17 BIZONYÍTÁS. A szakasz lineáris előállításából látható, hogy görbülete nulla. Megfordítva, mivel a görbület abszolút értéke paramétertranszformációval szemben invariáns, ezért feltehetjük, hogy c természetes paraméterezésű. Alkalmazzuk az 1.27. Tételt! κ = 0 = θ = θ 0, így (1.4)-be behelyettesítve c(t) = (t cos θ 0 + x 0, t sin θ 0 + y 0 ), ahol θ 0, x 0, y 0 konstansok. Ez valóban egy egyenes paraméteres előállítása. 1.30. Tétel. A konstans, nem nulla görbületű síkgörbék a körívek. BIZONYÍTÁS. Feltehetjük, hogy a c síkgörbe természetes paraméterezésű. Legyen κ = 1/R. Az integrációs konstansokat az egyszerűség kedvéért mindenütt nullának választva θ(t) = 1/R t, ( ) ( ) t t x(t) = cos dt = R sin ; y(t) = sin R R ) dt = R cos ( t R ( t R 1.31. Tétel (a görbeelmélet alaptétele síkban, egyértelműség). Legyenek c 1, c 2 : [a, b] R 2 természetes paraméterezésű parametrizált síkgörbék, melyek görbületi függvényei megegyeznek. Ekkor létezik olyan F : R 2 R 2 irányítástartó izometria, hogy c 2 = F c 1. BIZONYÍTÁS. Jelölje (T i, N i ) a c i görbe Frenet-bázisát. Egyértelműen létezik olyan φ SO(2) elforgatás, mely a (T 1 (a), N 1 (a)) bázist a (T 2 (a), N 2 (a)) bázisba viszi. Jelölje τ : R 2 R 2 azt az eltolást, mely φ(c 1 (a))-t c 2 (a)-ba viszi. Legyen F = τ φ. Belátjuk, hogy F c 1 = c 2. Definiáljuk a következő differenciálható függvényt: d: [a, b] R, d(t) = T 2 (t) φ(t 1 (t)) 2 + N 2 (t) φ(n 1 (t)) 2. d-t deriválva és a Frenet-formulákat felhasználva: 1 2 d = T 2 φ T 1, T 2 φ T 1 + N 2 φ N 1, N 2 φ N 1 = = κn 2 κ φ N 1, T 2 φ T 1 + κt 2 + κ φ T 1, N 2 φ N 1 = = κ N 2, φ T 1 κ φ N 1, T 2 + κ T 2, φ N 1 + κ φ T 1, N 2 = 0. Ez azt jelenti, hogy d konstans. Mivel d(a) = 0, ezért d = 0. Innen következik, hogy φ T 1 = T 2, azaz (F c 1 c 2 ) = 0. F c 1 c 2 tehát konstans. Mivel (F c 1 c 2 )(a) = 0, ezért F c 1 = c 2. 1.32. Példa. A mellékelt wxmaxima munkalap az egzisztenciatételt illusztrálja. ). wxmaxima munkalap: PDF

Feladatok 1.4. A KÖRÜLJÁRÁSI TÉTEL 18 1.11. Feladat. Adjuk meg annak a síkgörbének a parametrizációját, melynek görbületi függvénye κ(s) = s 1/2. 1.4. Síkgörbék globális elmélete I: a körüljárási tétel Ebben a fejezetben zárt síkgörbékről lesz szó. A zártság azt jelenti, hogy a görbe kezdő és végpontja megegyezik. A 1.6. ábrán három zárt síkgörbét látunk. Az első kettő és a harmadik között jól érzékelhető különbség, hogy a harmadik görbe kezdő és végpontjában a sebességvektorok nem ugyanazok, míg az első két görbe esetében igen. Az első két görbe között szemmel látható különbség nincs, a paraméteres előállításuk c(t) = (cos(t), sin(t)) de a paramétertartomány megmutatja, hogy a második kör esetében a középpontot kétszer jártuk körül. Az első esetben t [0, 2π], míg a második esetben t [0, 4π]. c(π) = c(3π) c (a) c (0) = c (2π) c(0) = c(2π) c(0) = c(2π) = c(4π) 1.6. ábra. Zárt síkgörbék c(a) = c(b) c (b) 1.33. Definíció. Egy c: [a, b] R 2 reguláris parametrizált síkgörbét periodikusan zártnak nevezzük, ha van olyan c: R R 2 reguláris parametrizált síkgörbe, hogy (i) c [a,b] = c (ii) t [a, b] : c(t + b a) = c(t). Ha ráadásul (iii) c: [a, b) R 2 injektív, akkor egyszerű periodikusan zárt síkgörbéről beszélünk. 1.34. Következmény. Egy c: [a, b] R 2 periodikusan zárt síkgörbére c (k) (a) = c (k) (b), k = 0, 1,.... 1.35. Definíció. c: [a, b] R 2 periodikusan zárt síkgörbe körüljárási száma n c = 1 [θ(b) θ(a)] 2π ahol θ a görbe egy hajlásszögfüggvénye.

1.4. A KÖRÜLJÁRÁSI TÉTEL 19 A körüljárási szám nem függ a hajlásszögfüggvény választásától. Például az 1.6. ábra első körének körüljárási száma 1, a második köré pedig 2. 1.36. Tétel. A körüljárási szám mindig egész szám. BIZONYÍTÁS. Mivel T (b) = T (a), ezért θ(b) θ(a) = k2π (k Z.) 1.37. Tétel. Legyen c: [a, b] R 2 természetes paraméterezésű, periodikusan zárt síkgörbe, melynek görbületi függvényét κ jelöli. Ekkor n c = 1 2π b a κ(t)dt. BIZONYÍTÁS. A görbület és a hajlásszögfüggvény között fennálló kapcsolat θ = κ. Így b a κ(t)dt = amiből az állítás leolvasható. b a θ (t)dt = [θ(t)] b a = θ(b) θ(a), 1.38. Következmény. A görbület irányítástartó paramétertranszformációval és irányítástartó izometriával szemben invariáns, így az előző tétel alapján a körüljárási szám a periodikusan zárt síkgörbék geometriai jellemzője. 1.39. Tétel (Hopf tétele). Egyszerű, periodikusan zárt síkgörbe körüljárási száma ±1. BIZONYÍTÁS. A c: [0, L] R 2 egyszerű, periodikusan zárt síkgörbe legyen természetes paraméterezésű. Izometriával vigyük át a görbét olyan helyzetbe, hogy az x tengely támaszegyenese legyen, az x tengelyt az origóban érintse, és a görbe az y 0 félsíkban legyen. Paramétertranszformációval érjük el azt is, hogy a 0 paraméterértékű pont az origó legyen. (Ehhez a paramétert csak el kell tolni, így a görbe természetes paraméterezésű marad.) Ha c (0) = (1, 0), akkor készen vagyunk, és az előző következmény miatt a görbe körüljárási száma nem változott. Ha c (0) = ( 1, 0), akkor még a t t paramétertranszformációt kell végrehajtani, amivel elérjük, hogy az új görbére T (0) = (1, 0), viszont a körüljárási szám most 1-szeresére változott. (Ld. 1.7. ábra.) Legyen = {(s 1, s 2 ) R 2 0 s 1 s 2 L}, és értelmezzük -nak a következő leképezését az S 1 egységkörre: Φ: S 1 c(s 2 ) c(s 1 ) c(s 2 ) c(s 1 ha s ) 1 s 2 Φ(s 1, s 2 ) = T (s 1 ) ha s 1 = s 2 T (0) ha s 1 = 0, s 2 = L. Φ folytonos belsején: az s 1 s 2 pontokra ez nyilvánvaló, az s 1 = s 2 feltételnek eleget tevő pontokra pedig következik onnan, hogy c(s 2 ) c(s) Φ(s, s) = T (s) = lim s2 s c(s 2 ) c(s). Ezért létezik olyan Θ: R folytonos függvény, hogy Φ(s 1, s 2 ) = (cos Θ(s 1, s 2 ), sin Θ(s 1, s 2 )).

1.4. A KÖRÜLJÁRÁSI TÉTEL 20 c(s 2 ) c(s 1 ) c(0) = c(l) T (0) = T (L) x 1.7. ábra. c(s 2 ) Φ(0, s 2 ) Φ(0, L) c(0) S 1 x 1.8. ábra. Θ csak k2π periódustól eltekintve egyértelmű, ezért előírhatjuk, hogy Θ(0, L) = π. Mivel erre a függvényre Θ(s, s) = T (s), tehát θ : [0, L] R, θ(s) = Θ(s, s) a c görbe egy hajlásszögfüggvénye. Így a körüljárási szám: θ(l) θ(0) = Θ(L, L) Θ(0, 0) = = (Θ(L, L) Θ(0, L)) + (Θ(0, L) Θ(0, 0)) = = (Θ(L, L) π) + (π Θ(0, 0)). Állapítsuk meg Θ(0, 0) értékét! Azt tudjuk, hogy Θ(0, 0) = l2π valamely l egész számra. A Φ(0, s 2 ) vektor irányszöge folytonosan változik l2π-től π-ig, miközben a Φ(0, s 2 ) mindvégig az y 0 félsíkban marad, így Θ(0, 0) = 0 (1.8. ábra). Hasonló gondolatmenettel következik, hogy Θ(L, L) = 2π ((1.9. ábra), tehát θ(l) θ(0) = 2π, a körüljárási szám pedig 1.

1.5. SÍKGÖRBÉK GLOBÁLIS ELMÉLETE II: A NÉGY CSÚCSPONT TÉTELEI 21 c(s 1 ) Φ(0, L) c(l) Φ(s 1, L) S 1 x 1.9. ábra. 1.40. Következmény. Egy c: [a, b] R 2 természetes paraméterezésű, egyszerű periodikusan zárt síkgörbére 1 2π b a κ(t)dt = ±1. Szemléletesen fogalmazva: ha a görbét egy helyen lapítják, akkor máshol csúcsosodik. 1.5. Síkgörbék globális elmélete II: a négy csúcspont tétele 1.41. Definíció. Egy egyszerű, periodikusan zárt c: I R 2 parametrizált síkgörbe konvex, ha t 0 I-re a görbe a c(t 0 )-ben húzott érintő egyenes ugyanazon oldalán van (ld. 1.10. ábra), azaz t 0 I, t I : c(t) c(t 0 ), N(t 0 ) 0 vagy c(t) c(t 0 ), N(t 0 ) 0. A c(t) c(t 0 ), N(t 0 ) skaláris szorzatban a görbét a t 0 -hoz tartozó második Taylor polinomjával közelítve: c(t) c(t 0 ) (t t 0 )c (t 0 ) + (t t 0) 2 c (t 0 ) = 2 felhasználva, hogy a görbe természetes paraméterezésű az első Frenet-formulát beírva = (t t 0 )c (t 0 ) + (t t 0) 2 T (t 0 ) = 2 = (t t 0 )c (t 0 ) + (t t 0) 2 κ(t 0 )N(t 0 ). 2

1.5. SÍKGÖRBÉK GLOBÁLIS ELMÉLETE II: A NÉGY CSÚCSPONT TÉTELEI 22 c(t) N(t 0 ) c(t 0 ) 1.10. ábra. Konvex görbe Így c(t) c(t 0 ), N(t 0 ) = (t t 0) 2 κ(t 0 ). 2 Ha t t 0 elegendően kicsi, akkor a harmad- és magasabb fokú tagok a jobb oldal előjelét nem befolyásolják, így megállapíthatjuk az alábbi (precízen is bebizonyítható) tételt: 1.42. Tétel. Egy egyszerű, periodikusan zárt síkgörbe akkor és csakis akkor konvex, ha görbületi függvénye nem előjelváltó. 1.43. Definíció. Egy c: I R 2 parametrizált síkgörbének a t 0 int I paraméterértéknél csúcspontja van, ha t 0 a görbületi függvény stacionárius pontja, azaz κ (t 0 ) = 0. Akkor is csúcspontokról beszélünk, ha a paramétertartomány egy [t 1, t 2 ] részintervallumán a görbület konstans, azaz κ (t) = 0 teljesül minden t 1 t t 2 esetén. 1.44. Tétel (a négy csúcspont tétele). Egy egyszerű, periodikusan zárt síkgörbének legalább négy csúcspontja van. BIZONYÍTÁS. (Konvex görbékre.) Legyen pl. a görbületi függvény nemnegatív: κ 0. κ: [0, L] R zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, így fölveszi minimumát és maximumát, tehát legalább két csúcspont van. Az általánosság megszorítása nélkül föltehetjük, hogy κ(0) a minimum (eltolás paramétertranszformációval ez elérhető.) Jelölje t 1 [0, L] a maximumhelyet. Ha t [0, t 1 ], akkor κ (t) 0, ha t [t 1, L], akkor κ 0. Indirekt módon, tegyük fel, hogy nincs további csúcspont. Mozgassuk el a görbét úgy, hogy a c(0)c(t 1 ) egyenes az x tengely legyen (1.11. ábra). A konvexitás miatt c(t 0 ) és c(t 1 ) pontokon kívül a görbének nincs több közös pontja az x tengellyel. Az x tengely fölött és alatt a görbület deriváltja állandó előjelű, ellenkező esetben újabb stacionárius pontot kapnánk. Legyen pl. az x tengely fölött κ 0, így κ y 0 mindenütt teljesül.

1.6. TÉRGÖRBÉK FRENET-BÁZISA 23 y c(0) c(t 1 ) x 1.11. ábra. A négy csúcspont tétele Legyen c(t) = (x(t), y(t)). A görbe természetes paraméterezésű, tehát T = c = (x, y ) = κn = κ( y, x ), azaz x = κy és y = κx. A parciális integrálás szabálya szerint: 0 L 0 L κ y = [κy] L 0 κ y = 0 + 0 L 0 x = [x ] L 0 = 0. Azt kaptuk, hogy egy nemnegatív folytonos függvény integrálja 0, ami csak úgy lenne lehetséges, ha κ y = 0, ami ellentmondás. Van tehát további csúcspont is. Három csúcspont létezéséből viszont következik a negyedik létezése is, mert κ nem rendelkezhet páratlan számú jelváltással. 1.6. Térgörbék Frenet-bázisa 1.45. Definíció. A c: I R 3 parametrizált térgörbét biregulárisnak nevezzük, ha t I-re ( c (t), c (t) ) lineárisan független vektorok. Ekkor a c(t) + L ( c (t), c (t) ) síkot (kétdimenziós lineáris sokaságot) a c görbe c(t) pontbeli simulósíkjának nevezzük. Emlékeztetünk arra, hogy két bázist akkor nevezünk azonos irányításúnak, ha a báziscsere mátrixa pozitív determinánsú. 1.46. Tétel. Legyen c: I R 3 parametrizált bireguláris térgörbe. Ekkor egyértelműen léteznek olyan T, F, B : I R 3 differenciálható leképezések, hogy t I-re: (i) ( T (t), F (t), B(t) ) pozitív ortonormált bázis; (ii) T (t) a c(t) pozitív skalár szorosa, (iii) ( T (t), F (t) ) és ( c (t), c (t) ) ugyanazt a síkot generálják és irányításuk közös síkjukban megegyezik.

1.6. TÉRGÖRBÉK FRENET-BÁZISA 24 BIZONYÍTÁS. (T, F )-et (c, c )-ből a Gram Schmidt-eljárással lehet megkonstruálni: azaz T = c v, F = c, T T + c, F = F F. A konstrukció pontonként érvényes, s a fenti transzformációs formulák garantálják a T és F leképezések differenciálhatóságát. A jelöléseket egyszerűsítve: T = a 11 c (a 11 > 0), F = a 12 c + a 22 c (a 22 > 0). A (c, c ) (T, F ) báziscsere mátrixának determinánsa pozitív: ( ) a11 a det 12 = a 0 a 11 a 22 > 0, 22 tehát a két bázis azonos irányítású. Végezetül legyen B = T F (vektoriális szorzat). Az egyértelműséget a Gram Schmidt-eljárás garantálja: maga az ortogonalizálás két ortonormált bázist is adna eredményül, de az egyik nem azonos irányítású a (c, c ) bázissal. A megtalált két vektort pozitív ortonormált bázissá kiegészíteni egyértelműen lehet. 1.47. Definíció. (Az előző tétel jelöléseivel.) T, F, B-t a c bireguláris térgörbe érintő egységvektormezőjének, főnormális vektormezőjének, binormális vektormezőjének nevezzük, együttesen a görbe Frenet-bázisának. 1.48. Tétel. T = c v, B = c c c c, F = B T. Természetes paraméterezés esetén F = c c. BIZONYÍTÁS. Az első három formula esetében nyilván elegendő csak a B- re vonatkozó állítást belátni. B és c c egyaránt merőlegesek a simulósíkra, csak azt kell bizonyítani, hogy egymás pozitív skalár szorosai. A Gram Schmidteljárás konstrukcióját használva: B = T F = (a 11 c ) (a 12 c + a 22 c ) = a 11 a 22 (c c ), és a 11 a 22 > 0. A negyedik formulára áttérve, természetes paraméterezés esetén c, c = 1, amely relációt deriválva: c, c + c, c = 0 = 2 c, c = 0, azaz ívhossz-paraméterezés esetén c c, amiből következik az állítás.

1.6. TÉRGÖRBÉK FRENET-BÁZISA 25 1.49. Tétel (derivációs formulák). Legyen c: I R 3 bireguláris térgörbe. Léteznek olyan ω 1, ω 2 : I R differenciálható függvények, hogy T = F = ω 1 T B = ω 1 F ω 2 F + ω 2 B BIZONYÍTÁS. Írjuk fel T, F, B Fourier előállításait a (T, F, B) bázisban: T = T, T T + T, F F + T, B B, F = F, T T + F, F F + F, B B, B = B, T T + B, F F + B, B B. Legyen X és Y X a T, F, B bármelyike. Ekkor deriválással adódik, hogy X, X = 1 = X, X = 0, X, Y = 0 = X, Y + X, Y = 0. Másrészt T L(c ) = T L(c, c ) = T, B = 0, B, T = 0. Tehát ω 1 = T, F, ω 2 = F, B a kívánt formulákat adja. 1.50. Definíció. A c: I R 3 bireguláris térgörbe κ: I R görbületi- és τ : I R torziófüggvényét az alábbiak szerint definiáljuk: κ = T, F, τ = F, B. v v 1.51. Következmény (Frenet-formulák térgörbékre). T = F = κvt B = κvf, τvf. + τvb, 1.52. Tétel. Egy c: I R 3 bireguláris parametrizált görbe akkor és csakis akkor síkgörbe, ha torziófüggvénye zérus. BIZONYÍTÁS. A harmadik Frenet-formula alapján τ = 0 ekvivalens azzal, hogy B konstans. Legyen f : I R, t f(t) = B 0, c(t) c 0, ahol B 0, c 0 valamely rögzített paraméterértékhez tartoznak. Mindkét oldal deriválva: f (t) = B 0, c (t) = B(t), c (t) = 0, tehát a görbe benne van a c 0 -hoz tartozó simulósíkban. Feladatok 1.12. Feladat. Legyen a hengeres csavarvonal paraméterezése c(s) = (a cos s c, a sin s ) c, bs c, ahol c 2 = a 2 + b 2 (azaz a görbe természetes paraméterezéssel van adva). Írjuk fel a kísérő triéder vektorai által kifeszített síkok egyenletét a görbe egy pontjában!

1.7. A GÖRBÜLET ÉS A TORZIÓ TULAJDONSÁGAI, A GÖRBEELMÉLET ALAPTÉTELE 26 1.13. Feladat. Legyen A, a > 0, α (0, π/2). A c: R R 3, c(t) = (A exp(at) cos t, A exp(at) sin t, A exp(at) ctg α, ) térgörbét kúpos csavarvonalnak nevezzük. (A görbe nyilvánvalóan illeszkedik az x 2 + y 2 = z 2 ctg 2 α egyenletű forgáskúpra, melynek tengelye a z-tengely és félnyílásszöge α.) Lássuk be, hogy a. a kúpos csavarvonal érintői állandó szöget zárnak be a kúp tengelyével; b. a görbe valamely pontjától a csúcspontig befutott vég nélküli görbedarab ívhossza véges és arányos a pontnak a csúcstól mért távolságával; c. a z tengelyű, α félnyílásszögű forgáskúpon futó görbék közül az alkotókon kívül egyedül a kúpos csavarvonalak rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy érintőik állandó hegyesszöget képeznek a kúp tengelyével. wxmaxima munkalap: PDF 1.7. A görbület és a torzió tulajdonságai, a görbeelmélet alaptétele 1.53. Tétel. Parametrizált bireguláris térgörbe görbületi függvénye mindig pozitív értékű. BIZONYÍTÁS. (T, F )-et a Gram Schmidt-eljárással az alábbiak szerint konstruáltuk meg: Ennek alapján: T = a 11 c és a 11 > 0, = T = a 11c + a 11 c ; F = a 12 c + a 22 c és a 22 > 0. T, F = a 11c + a 11 c, F = a 11 c, F = a 11 F a 21 c, F = a 11 > 0, a 22 a 22 c és F merőlegességét kétszer is használva. 1.54. Tétel. Ha a c: I R 3 bireguláris térgörbe természetes paraméterezésű, akkor a κ görbületi és τ torziófüggvényére: κ = c, τ = c, c, c κ 2. BIZONYÍTÁS. A természetes paraméterezés miatt: T = c. Az első Frenetformula alapján: T = c = κf = c = κ F = κ hiszen F = 1 és κ > 0. A torzió kiszámításához induljunk ki az F = c /κ formulából, amelyet a hányadosfüggvény deriválási szabálya szerint deriválunk: Így F = c κ c κ κ 2. τ = F, B = c κ c κ felhasználva, hogy c c c. κ 2, c c κ = c, c, c κ 2,

1.7. A GÖRBÜLET ÉS A TORZIÓ TULAJDONSÁGAI, A GÖRBEELMÉLET ALAPTÉTELE 27 1.55. Példa. A hengeres csavarvonal görbülete és torziója. Legyen a hengeres csavarvonal paraméteres előállítása: ( ) c: [0, 2π] R 3 s, t c(t) = R cos R2 + a, R sin s 2 R2 + a, as 2 R2 + a 2 Mint korábban már láttuk, ekkor c természetes paraméterezésű. F (s) = T (s) = c (s) = T (s) = 1 R 2 + a 2 κ = T (s) = T ( (s) T (s) = cos B(s) = T (s) F (s) = ( B (s) = a cos 1 R 2 + a 2 1 ( R sin R2 + a ( 2 R cos R R 2 + a 2. s R2 + a 2, R cos s s, R sin R2 + a2 s R2 + a 2, sin 1 R2 + a 2 (a sin s R2 + a 2, a sin ) R2 + a, 0 2 ) s R2 + a, 0, 2 s s, a cos R2 + a2 ) s R2 + a, 0. 2 (R, a > 0). ) s R2 + a, a 2 ) R2 + a, R, 2 A Frenet-formulákból tudjuk, hogy (ívhossz-paraméterezés esetén) B = τf, tehát az előbbi képletekből a torzió leolvasható: a τ = R 2 + a. 2 A következő tételben a görbület és torzió gyakran használt kiszámítási szabályát adjuk meg. 1.56. Tétel. Ha a c: I R 3 bireguláris térgörbe, akkor a κ görbületi és τ torziófüggvényére: κ = c c, τ = c, c, c v 3 c c. 2 BIZONYÍTÁS. Írjuk föl T -t egyrészt a második Frenet-formula alapján, másrészt a T = c /v kifejezést deriválva: (1.5) T = c v c v v 2 = κvf. Vektoriálisan szorozva c -vel: c c = κvf c. v Mindkét oldalnak a normáját véve, felhasználva, hogy F c és F = 1: c c v = κv 2,

1.7. A GÖRBÜLET ÉS A TORZIÓ TULAJDONSÁGAI, A GÖRBEELMÉLET ALAPTÉTELE 28 amiből a görbületre adott kifejezés rendezéssel azonnal következik. A torzió kiszámításához induljunk ki ismét az (1.5) összefüggésből. Deriváljunk még egyszer: (κv 3 ) F + κv 3 F = c v + c v c v c v, majd szorozzuk be mindkét oldalt skalárisan B = (c c )/ c c -vel! Felhasználva, hogy az egymásra merőleges vektorok skaláris szorzata zérus, azaz κv 2 F, B = c, c c c c, κv 3 τ = c, c, c c c. A görbületre már megkapott kifejezésből κv 3 = c c, amit behelyettesítve a bizonyítandó állítást kapjuk. 1.57. Tétel. A bireguláris térgörbék görbülete izometriával és paramétertranszformációval szemben invariáns. A bireguláris térgörbék torziója irányítástartó izometriával és tetszőleges paramétertranszformációval szemben invariáns, míg irányításváltó izometriánál előjelet vált. BIZONYÍTÁS. Az előbbi tételben megadott kiszámítási szabályokba behelyettesítve, a síkgörbéknél megismert módon kapjuk az állítást. (V.ö. a 1.22. és 1.20. tételekkel!) A görbület és torziófüggvény jelentősége, hogy paramétertranszformációtól és izometriától eltekintve egyértelműen meghatározzák a parametrizált térgörbét. 1.58. Tétel (A görbeelmélet alaptétele.). Unicitás. Tegyük fel, hogy c 1, c 2 : I R 3 természetes paraméterezésű bireguláris térgörbék, továbbá görbület és torziófüggvényük megegyezik. Ekkor létezik olyan φ: R 3 R 3 irányítástartó izometria, mely egyiket a másikba viszi, azaz c 2 = φ c 1. Egzisztencia. Tetszőlegesen adott κ: [a, b] R pozitív, differenciálható és τ : [a, b] R differenciálható függvényekhez létezik olyan c: [a, b] R 3 természetes paraméterezésű bireguláris térgörbe, melynek görbületi és torziófüggvénye éppen κ és τ. BIZONYÍTÁS. Egzisztencia (vázlat). A bizonyítás technikailag összetett, de az ötlete nagyon egyszerű: ha a görbület és a torzió ismert, akkor a Frenetformulák a Frenet-bázisra (pontosabban a 9 komponensfüggvényre) egy 9 egyenletből álló közönséges differenciálegyenlet-rendszert alkotnak, amelyre alkalmazhatjuk az analízisből ismert egzisztencia és unicitástételt (megfelelő kezdeti feltételek esetén). Miután T -t meghatároztuk, c = T egy újabb közönséges differenciálegyenlet-rendszer (c három komponensfüggvényére), mely integrálással megoldható. Arról kell még meggyőződni, hogy az így kapott görbe kielégíti az összes feltételt. Unicitás. Jelölje (T 1, F 1, B 1 ) ill. (T 2, F 2, B 2 ) a megfelelő Frenet-bázisokat.

1.7. A GÖRBÜLET ÉS A TORZIÓ TULAJDONSÁGAI, A GÖRBEELMÉLET ALAPTÉTELE 29 A lineáris kiterjesztés tétele miatt létezik olyan φ L(R 3 ; R 3 ) pozitív ortogonális transzformáció, hogy φ(t 1 (a)) = T 2 (a), φ(f 1 (a)) = F 2 (a), φ(b 1 (a)) = B 2 (a). Létezik továbbá olyan ν : R 3 R 3 transzláció, hogy ν(φ(c 1 (a))) = c 2 (a). Azt állítjuk, hogy Φ = ν φ a keresett izometria. Definiáljuk a d: I R függvényt a következőképpen: 2d = φ T 1 T 2 2 + φ F 1 F 2 2 + φ B 1 B 2 2. Egyszerű, de kissé hosszadalmas számolással, a Frenet-formulákat alkalmazva látható, hogy d = 0. Ez azt jelenti, hogy d konstans függvény, s [a, b]-re d(s) = d(a) = 0. Innen az következik, hogy: φ T 1 = T 2, φ F 1 = F 2, φ B 1 = B 2. Az első relációt használva: φ c 1 = c 2 = (Φ c 1 ) = c 2, azaz a Φ c 1 c 2 leképezés konstans: s [a, b] : (Φ c 1 c 2 )(s) = (Φ c 1 c 2 )(0) = (Φ c 1 )(0) c 2 (0) = 0, amivel az állítást igazoltuk. 1.59. Tétel. A konstans görbületű és torziójú bireguláris parametrizált térgörbék képhalmaza kör vagy hengeres csavarvonal. BIZONYÍTÁS. Mivel a paramétertranszformáció a képhalmazt nem változtatja meg, feltehető, hogy természetes paraméterezésű bireguláris térgörbékről beszélünk. Legyen először a torziófüggvény zérus. κ = 1/R > 0. A c: I R 3, s c(s) = (R cos s R, R sin s R, 0) parametrizált görbe görbülete 1/R, a görbe természetes paraméterezésű és Im c körvonal. Ha valamely c: I R 3 zérus torziójú bireguláris parametrizált görbe görbülete szintén 1/R, akkor ez a görbe már a görbeelmélet alaptétele szerint egybevágó c-vel. Azaz Im c és Im c egybevágó körvonalak. Ha a torziófüggvény nem zérus felhasználva a hengeres csavarvonal görbületére és torziójára korábban kapott eredményt, ugyanezt a gondolatmenetet alkalmazhatjuk, de most c hengeres csavarvonal lesz. Tehát adott konstans görbülethez és konstans torzióhoz konstruálunk egy természetes parametrizálású hengeres csavarvonalat, melynek görbülete és torziója éppen ez a két szám (azaz a megfelelő értékre beállítjuk a henger sugarát és az emelkedés sebességét), s minden más ugyanilyen görbületű és torziójú, természetes paraméterezésű bireguláris parametrizált térgörbe ettől már csak izometriában különbözik. 1.60. Megjegyzés. Az egyenes nem bireguláris térgörbe, így térgörbeként sem görbületét, sem torzióját nem értelmeztük. Ugyanakkor az egyenes, mint síkgörbe zérus görbületű és megállapodhatunk abban, hogy a nem bireguláris síkgörbék torzióját is zérusnak tekintjük. Így az előző állítás felsorolását még az egyenessel

1.7. A GÖRBÜLET ÉS A TORZIÓ TULAJDONSÁGAI, A GÖRBEELMÉLET ALAPTÉTELE 30 is kiegészíthetjük: az egyenes zéró torziójú és görbületű térgörbe. (Ugyanakkor nem bireguláris.) Feladatok 1.14. Feladat. Egy bireguláris síkgörbére kétféle görbület értelmezést is adtunk, síkgörbeként (1.16. definíció) és térgörbeként (1.50. definíció). Lássuk be, hogy a két görbület előjeltől eltekintve ugyanazt az értéket adja. 1.15. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy ívhossz-paraméterezésű c görbére c = κ 2 T + κ F + κτb teljesül, a szokásos jelölésekkel. 1.16. Feladat. Lássuk be, hogy a görbe egy rögzített simulósíkjára vonatkozó merőleges vetületét a vetület második Taylor-polinomjával közelítve parabolát kapunk, melynek tengelye a főnormális; míg a rektifikálósíkra (azaz az érintő és a binormális által kifeszített síkra) eső merőleges vetületét a vetület harmadik Taylor-polinomjával közelítve harmadrendű parabolát kapunk.

2. FEJEZET Felületek differenciálgeometriája 2.1. Implicit felületek A bennünket körülvevő világban rengeteg olyan objektum van, amelyre a felület szót használjuk. Ezen felületek matematikai modelljének megadása számos gyakorlati szempontból fontos lehet. (Felület felszínének meghatározása, komputergrafikai alkalmazások, mérnöki számítások.) Kezdjük azzal a felülettel, amely talán a legegyszerűbbnek tűnik, a gömbfelülettel. Geometriai szempontból a gömbfelület egy rögzített ponttól rögzített pozitív távolságra elhelyezkedő pontok halmaza a térben. Descartes-koordináták használatával az origó középpontú, R sugarú gömb egyenlete (2.1) x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Sok, geometriailag könnyen definiálható felület pontjai, és csakis azok előállíthatók (2.1)-hez hasonlóan egy (több ismeretlenes) egyenlet megoldáshalmazaként. Például egy egyenes körhengert geometriailag úgy definiálhatunk, hogy egy rögzített egyenestől rögzített pozitív távolságra elhelyezkedő pontok halmaza. Ha ismét Descartes-koordinátákat használunk és a tengely a z tengely, a rögzített távolság pedig ismét R, akkor egy egyenes körhenger egyenlete (2.2) x 2 + y 2 = R 2. A következő példánk az egyenes körkúp, amelyet geometriailag megkaphatunk úgy, hogy egy egyenest megforgatunk egy őt metsző egyenes körül. Legyen a forgástengely a z tengely, a forgatott egyenes pedig az xz sík x = a z egyenese. Ekkor a kúp egyenlete (2.3) x 2 + y 2 = a 2 z 2. A (2.1) (2.3) egyenletekkel megadott felületek általánosan F (x, y, z) = 0 alakúak, ahol F : R 3 R differenciálható függvény. (Az előbbi példákban F minden változóban legfeljebb kvadratikus, tehát differenciálható.) A felületek között azonban több eltérés van: a gömb kompakt, a többi példa nem is korlátos. A kúpnak van egy speciális pontja, a csúcspont, ahol a felület nem sima. Hogyan ismerhető föl a kúp csúcspontja az egyenletéből? Látható, hogy a csúcspont, (jelen esetben az origó) az F (x, y, z) = x 2 + y 2 a 2 z 2 függvény kritikus pontja: df (x, y, z) = (2x, 2y, 2za 2 ), df (0, 0, 0) = (0, 0, 0), míg a többi felület egyetlen pontja sem kritikus pontja a megfelelő F -nek. 31

2.1. IMPLICIT FELÜLETEK 32 2.1. ábra. Három ismerős felület: gömb, henger és kúp. 2.1. Definíció. Legyen F : R 3 R differenciálható függvény. Azt mondjuk, hogy az F (x, y, z) = 0 egyenlet egy reguláris implicit egyenlet, ha teljesül, hogy F (p) = 0 = df (p) 0 (p R 3 ). Egy térbeli ponthalmazt reguláris implicit felületnek nevezünk, ha előállítható egy reguláris implicit egyenlet megoldáshalmazaként. Az eddigi példákban szereplő implicit felületek mindegyikében F mindhárom változójában legfeljebb kvadratikus volt. Az ilyen implicit felületeket nevezzük általánosan másodrendű felületeknek. 2.2. Példa (másodrendű felületek). Legyen A R 3 3 szimmetrikus nem zéró mátrix, a R 3, α R. F : R 3 R, p F (p) = Ap, p + 2 a, p + α. A {p R 3 F (p) = 0} halmazt másodrendű felületnek nevezzük. Vizsgáljuk meg, hogy a másodrendű felületnek van-e kritikus pontja! df (p) = 2Ap + 2a p R 3, azaz df (p) = 0 Ap + a = 0. A másodrendű felületet másodrendű kúpnak nevezzük, ha van olyan p 0 pontja, melyre Ap 0 +a = 0. (p 0 -t a másodrendű kúp csúcspontjának nevezzük.) Belátható (ld. 2.1. feladat), hogy a csúcspont affin invariáns fogalom, tehát másodrendű felület csúcspontját affin transzformáció az affin transzformált felület csúcspontjába viszi. Világos, hogy ha egy másodrendű felület nem másodrendű kúp, akkor reguláris implicit felület. Másodrendű felületet affin transzformáció másodrendű felületbe visz át (ennek a lineáris algebrából ismert ténynek a bizonyítása kiolvasható a 2.1. feladat megoldásából is.) Belátható, hogy egybevágósági transzformációval minden másodrendű felület a 1. táblázatban szereplő másodrendű felületek valamelyikébe vihető át, továbbá a táblázatban szereplő másodrendű felületek egymásba egybevágósági transzformációval nem vihetők át.

2.1. IMPLICIT FELÜLETEK 33 1. valós ellipszoid x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1 2. képzetes ellipszoid x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1 3. egyköpenyű hiperboloid x 2 /a 2 + y 2 /b 2 z 2 /c 2 = 1 4. kétköpenyű hiperboloid x 2 /a 2 + y 2 /b 2 z 2 /c 2 = 1 5. valós másodrendű kúp x 2 /a 2 + y 2 /b 2 z 2 /c 2 = 0 6. képzetes másodrendű kúp x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 0 7. elliptikus paraboloid x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + 2z = 0 8. hiperbolikus paraboloid x 2 /a 2 y 2 /b 2 + 2z = 0 9. valós elliptikus henger x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 10. képzetes elliptikus henger x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 11. hiperbolikus henger x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 12. valós metsző síkpár x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 0 13. képzetes metsző síkpár x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 0 14. parabolikus henger x 2 + 2ry = 0 15. valós párhuzamos síkpár x 2 = a 2 16. képzetes párhuzamos síkpár x 2 = a 2 17. egybeeső síkpár x 2 = 0 1. táblázat. A másodrendű felületek izometria osztályai 2.2. ábra. Tórusz. 2.3. Példa (a tórusz, mint reguláris implicit felület). Az xz sík (x a) 2 + z 2 = b 2 egyenletű körét megforgatjuk a z tengely körül. Ha a kör egyenletében x helyére x2 + y 2 -t helyettesítünk, akkor kapjuk a tórusz egyenletét: (2.4) ( x 2 + y 2 a) 2 + z 2 b 2 = 0.

2.2. PARAMETRIZÁLT FELÜLETEK 34 Az F (x, y, z) = ( x 2 + y 2 a) 2 + z 2 b 2 függvény nem felel meg a definíciónk követelményének, mert a z tengely mentén nem differenciálható: ( ) ( ) df (x, y, z) = 2x y2 + x 2 a 2y y2 + x 2 a,, 2z. y2 + x 2 y2 + x 2 (2.4)-ben a négyzetre emelést elvégezve, a négyzetgyökös kifejezést a jobb oldalra rendezve, majd mindkét oldalt négyzetre emelve: x 2 + y 2 + z 2 b 2 + a 2 = 2a y 2 + x 2 (x 2 + y 2 + z 2 b 2 + a 2 ) 2 = 4a 2 (y 2 + x 2 ) Így F (x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 b 2 + a 2 ) 2 4a 2 (y 2 + x 2 ) esetén F minden változóban polinomiális, így differenciálható. Nem nehéz ellenőrizni, hogy a tórusz egyetlen pontja sem kritikus pontja F -nek. A felületek matematikai modellezésére sok más megközelítést is használnak. Jóllehet a fejezetben szereplő implicit felületek egyenletét a geometriai származtatásból nagyon könnyű volt megadni, a továbbiakban egy másik fajta megközelítést alkalmazunk, amely sok hasonlóságot mutat a parametrizált görbékkel. A görbepont helyzetvektorát egy paraméter függvényeként állítottuk elő, a felületi pont helyzetvektorát két paraméter differenciálható függvényeként fogjuk előállítani: így jutunk a parametrizált felületekhez. Az implicit felületek és a parametrizált felületek halmaza nem esik egybe, kapcsolatukkal a későbbiekben foglalkozunk. Feladatok 2.1. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy másodrendű felület csúcspontját affin transzformáció az affin transzformált felület csúcspontjába viszi. ( ) 2.2. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az z = x y egyenletű másodrendű felület (a hiperbolikus paraboloid) reguláris implicit felület! 2.3. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az x 2 + y 2 z 2 = 1 egyenletű kétköpenyű hiperboloid olyan reguláris implicit felület, amely nem összefüggő, azaz van a felületen két olyan pont, amelyet a felületen haladó folytonos görbével nem lehet összekötni. 2.4. Feladat. Lássuk be, hogy az F (x, y, z) = x 2 függvénynek az origó kritikus pontja, ugyanakkor az x 2 = 0 egyenletű ponthalmaz mégis reguláris implicit felület. 2.2. Parametrizált felületek A továbbiakban U R 2 nem üres nyílt halmazt jelöl. Megállapodunk néhány jelölésben. Egy r : U R 3 differenciálható leképezésnél a változókat általában u-val és v-vel, a komponensfüggvényeket x, y, z-vel jelöljük, azaz r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

2.2. PARAMETRIZÁLT FELÜLETEK 35 r első és második változó szerinti parciális deriváltjait r u és r v jelöli, tehát ( x r u (p) = u, y u, z ) u p ( x r v (p) = v, y v, z ), p = (u, v). v p Továbbá dr(p) = x x u v y y u v z z u v Ha (e 1, e 2 ) jelöli R 2 kanonikus bázisát, akkor p = (r u, r v ) p = (r u (p), r v (p)) R 3 2. dr(p)(e 1 ) = r u (p), dr(p)(e 2 ) = r v (p), p U. Ha nem forog fenn félreértés veszélye, akkor p U kiírását mellőzhetjük: dr = (r u, r v ). 2.4. Definíció. Legyen U R 2 egy nem üres nyílt halmaz. Egy r : U R 3 differenciálható leképezést reguláris parametrizált felületnek (röviden parametrizált felületnek) nevezünk, ha teljesül, hogy (2.5) p U : rang dr(p) = 2. 2.5. Megjegyzés. Az (2.5) feltétel többféleképpen is átfogalmazható. A következő állítások ekvivalenciája a (2.5) feltétellel a lineáris algebrából ismert. p U-ra (1) dr(p): R 2 R 3, R 2 X dr(p) X injektív lineáris leképezés (2) dr(p) R 3 2 bal invertálható mátrix 1 (3) (r u (p), r v (p)) lineárisan független vektorrendszer (4) dim L(r u (p), r v (p)) = 2 (5) r u r v 0. 2.6. Példa (parametrizált sík). A lineáris algebrai tanulmányokból már ismert, hogy az r : R 2 R 3, r(u, v) = r 0 + ux + vy, (ahol (x, y) lineárisan független vektorrendszer R 3 -ban, r 0 tetszőleges vektor) parametrizált felület egy sík. 2.7. Példa (parametrizált félgömb). A gömb x 2 + y 2 + z 2 r 2 = 0 egyenletéből a z változót kifejezhetjük, ha z > 0, akkor z = r 2 x 2 y 2, így, ha U = {(u, v) R 2 u 2 + v 2 < 1}, akkor r : U R 3, r(u, v) = (u, v, r 2 u 2 v 2 ) egy parametrizált félgömb. A regularitási feltétel nyilvánvalóan teljesül (ellenőrizzük). 1 Emlékeztetünk arra, hogy egy A R n m mátrix bal inverze egy olyan B R m n mátrix, melyre BA = 1 m, ahol a jobb oldalon az m m-es egységmátrix áll. Könnyen látható, hogy A R n m akkor és csakis akkor bal invertálható, ha rang A = m.

2.2. PARAMETRIZÁLT FELÜLETEK 36 z z r(u,v) = P + v a x a y x y P = c(u) 2.3. ábra. Parametrizált hengerfelület z z M x r(u,v) = v P + (1 v) M P = c(u) y x y 2.4. ábra. Parametrizált kúpfelület 2.8. Példa (parametrizált hengerfelület). Legyen c: I R 3 reguláris parametrizált görbe, a R 3 nemzéró vektor, továbbá a sehol sem párhuzamos c -vel. A c vezérgörbéjű a alkotóirányú hengerfelület paraméteres előállítása: r : I R R 3, r(u, v) = c(u) + v a. Mivel dr(u, v) = (c (u), a) és a feltétel miatt rang(c (u), a) = 2, ezért egy reguláris parametrizált felületet kaptunk. 2.9. Példa (parametrizált kúpfelület). Legyen c: I R 3 reguláris parametrizált görbe, M R 3 egy pont. A c vezérgörbéjű M csúcspontú kúpfelület paraméteres előállítása r : I R R 3, r(u, v) = v c(u) + (1 v) M.

2.2. PARAMETRIZÁLT FELÜLETEK 37 z x y 2.5. ábra. Parametrizált forgásfelület Mivel dr(u, v) = (v c (u), c(u) M), ezért rang dr(u, 0) = rang(0, c(u) M) 2, így nem reguláris parametrizált felületet kapunk. Ha kiegészítjük a geometriai feltételeket azzal, hogy c (u) c(u) M és a paramétertartomány U = I R +, akkor már reguláris parametrizált felületet kapunk. 2.10. Példa (parametrizált forgásfelület). Legyen adva az xz síkban a c: I R 3, c(u) = (x(u), 0, z(u)) reguláris parametrizált görbe, melyet megforgatunk a z tengely körül. Ha a forgatás szöge v J R, akkor egy forgásfelületet kapunk: (2.6) r : I J R 3, r(u, v) = rot z (v)c(u). Koordinátákkal azaz cos v sin v 0 r(u, v) = sin v cos v 0 x(u) 0, 0 0 1 z(u) r(u, v) = (x(u) cos v, x(u) sin v, z(u)). Vizsgáljuk meg a regularitási feltételt! ( ) x dr(u, v) = (u) cos v x (u) sin v z t (u). x(u) sin v x(u) cos v 0 Innen egyszerű számítás után r u r v 2 = x(u) 2 c (u) 2 adódik, azaz x(u) 0 esetén a felület reguláris. 2.11. Példa (Parametrizált gömbfelület). Egy olyan félkört kell megforgatnunk a z tengely körül, melynek átmérője a z tengelyen van. Az előző példát alkalmazva

2.2. PARAMETRIZÁLT FELÜLETEK 38 c(u) = (R cos u, 0, R sin u) és u ( π/2, π/2), így r(u, v) = (R cos u cos v, R cos u sin v, R sin u), (v R). A teljes gömbfelület minden pontját megkapjuk, ha [ π/2, π/2] I u, de u = ±π/2-re a regularitási feltétel nem teljesül. (A teljes gömböt nem tudjuk úgy tekinteni, mint reguláris parametrizált felületet.) A gömbnek ezt a paraméterezését hosszúsági kör-szélességi kör paraméterezésnek, röviden földrajzi paraméterezésnek nevezzük. 2.12. Példa (parametrizált tórusz). Ismét a 2.10 példa szerint járunk el: c(u) = (a + b cos u, 0, b sin u), azaz az (a, 0, 0) középpontú, b sugarú kört megforgatjuk a z körül (a, b > 0, a > b). A kapott felület paraméteres előállítása: (2.7) r(u, v) = ( (a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u ). A feltételek miatt a + b cos u > 0, így a regularitási feltétel minden pontban teljesül. 2.13. Példa (vonalfelület). Legyen α: I R 3 egy reguláris térgörbe, E : I R 3 egységvektor-mező, azaz t I-re E(t) = 1. α minden t paraméterértékű pontjában tekintünk egy E(t) irányvektorú egyenest. Ezek az egyenesek alkotják az (α, E) által generált vonalfelületet. Paraméteres előállítása r : I R, (u, v) r(u, v) = α(u) + v E(u). Vizsgáljuk meg a regularitási feltételt! r u (u, v) = α (u) + v E (u) r v (u, v) = E(u). Olyan paraméterértékeket keresünk, amelyekre r u r v = 0, ezekben a pontokban nem teljesül a regularitás. r u r v 2 = r u 2 r v 2 r u, r v 2 = r u, r u r v, r v r u, r v 2. Mivel E, E = 1, így E, E = 0, tehát r u, r v = α (u), E(u), továbbá r v, r v = 1 és r u, r u = α (u), α (u) + 2v α (u), E (u) + v 2 E (u), E (u). Így ahol r u r v = a(u)v 2 + b(u)v + c(u), a(u) = E(u) 2, b(u) = α (u), E (u), c(u) = α (u) 2 α (u), E(u) 2. Megállapíthatjuk, hogy (u, v) pontosan akkor nem reguláris hely, ha v a p u = a(u)v 2 + b(u)v + c(u) (v-re másodfokú) polinomnak zérushelye.

2.2. PARAMETRIZÁLT FELÜLETEK 39 2.6. ábra. Möbius-szalag 2.14. Példa (Möbius-szalag). Egy téglalap alakú papírszalag rövidebbik oldalait úgy ragasztjuk össze, hogy közben a szalagot egyszer megtekerjük. (Lásd 2.6. ábra.) Ennek az alakzatnak egy modelljét speciális vonalfelületként kaphatjuk meg. Az előző példában α(u) = (cos(u), sin(u), 0) E(u) = rot y (u/2)(0, 0, 1) = ( sin(u/2), 0, cos(u/2)). Azaz az egységvektor-mezőt úgy kapjuk, hogy az e 3 = (0, 0, 1) vektort az u paraméterértékű pontnál u/2-vel megforgatjuk az y tengely körül. Így ha u [0, 2π], az e 3 vektor pontosan egy félfordulatot tesz meg. A paraméteres előállítás r(u, v) = (cos(u) sin(u/2)v, sin(u), cos(u/2)v). A regularitási feltételt a 2.13. Feladatban vizsgáljuk. 2.15. Példa (egyparaméteres izometriacsoport által generált felület ). A forgásfelületek (2.6) előállítását általánosítjuk. A rot z : R R 3 3, v rot z (v) leképezésre teljesül, hogy: (1) minden v-re rot z (v) izometria (2) rot z (0) = 1 R 3 3 (3) rot z (t + s) = rot z (t) rot z (s). A fenti tulajdonságokkal nem csak a z tengely körüli elforgatás rendelkezik. Könnyű látni, hogy a γ : v γ(v) = rot e (v) + va e (e R 3 egységvektor, a R) leképezés szintén ilyen tulajdonságú: minden v-re γ(v) csavarmozgás, tehát izometria, γ(0) = 1 R 3 3, továbbá γ(t) γ(s)(x) = γ(t)(rot e (s)x + sae) = mivel rot e (t)(e) = e, = rot e (t) rot e (s)x + rot e (t)(sae) + tae = = rot e (t) rot e (s)x + sa rot e (t)(e) + tae = rot e (t) rot e (s)x + sae + tae = rot e (t + s) + (t + s)ae. Úgy is fogalmazhatunk, hogy {γ(v) v R} izometriák egyparaméteres csoportja. Belátható, hogy a térben minden egyparaméteres izometriacsoportot (azaz

2.2. PARAMETRIZÁLT FELÜLETEK 40 z x y 2.7. ábra. Csavarfelület az (1) (3) tulajdonságot teljesítő csoportot) az előbbi módon lehet megadni, tehát azonos irányú csavarmozgások alkotják, ahol az elforgatás szöge és az eltolás mértéke arányosak. Legyen c: I R 3 reguláris parametrizált görbe, {γ(v) v R} izometriák egyparaméteres csoportja. Az általuk generált felület: (2.8) r : I R, (u, v) r(u, v) = γ(v)(c(u)), ha r reguláris. (2.8) nem feltétlenül reguláris felületet ad, ezért a regularitást külön meg kell követelni. Minden forgásfelület ilyen típusú felület. Nem forgásfelület a csavarfelület, ahol c(u) = (u, 0, 0), e = e 3 = (0, 0, 1), azaz r(u, v) = rot z (v)c(u) + ave 3 = (u cos v, u sin v, v). Ennek regularitását a 2.11. feladatban vizsgáljuk meg. 2.16. Definíció. Legyen r : U R 3 parametrizált felület. Az L(r u (p), r v (p)) = T p r R 3 kétdimenziós alteret az r felület p ponthoz tartozó érintő iránysíkjának, míg az r(p) + T p r síkot r érintősíkjának nevezzük a p pontban. Az X T p r vektort a felület p pontbeli érintővektorának nevezünk. (A paramétertartomány p pontjára gyakran a jelölésben is utalunk: X p T p r.) 2.17. Tétel. Legyen r : U R 3 parametrizált felület, p U. A felület p ponthoz tartozó érintősíkjának egyenlete X r(p), r u (p), r v (p) = 0.

2.2. PARAMETRIZÁLT FELÜLETEK 41 BIZONYÍTÁS. Az érintősík normálvektora r u (p) r v (p), azaz X R 3 akkor és csakis akkor illeszkedik az érintősíkra, ha X r(p), r u (p) r v (p) = 0, ami állításunkat jelenti. A továbbiakban az érintősíknak nem lesz jelentősége a tárgyalásunkban, csak az érintő iránysíknak, így kissé pontatlanul, a T p r alteret fogjuk érintősíknak nevezni. Feladatok 2.5. Feladat. Határozzuk meg a földrajzi paraméterezésű gömbre az n = (r u r v )/ r u r v vektort! 2.6. Feladat. Adjuk meg annak a hengerfelületnek a paraméteres előállítását, melynek vezérgörbéje az xy sík origó középpontú egységköre, alkotóiránya pedig a. (0, 0, 1) b. (1, 1, 1). 2.7. Feladat. Írjuk fel annak a hengernek a paraméteres előállítását, amelynek vezérgörbéje az xy = 1, z = 0 hiperbola, alkotóegyenesei pedig az x + 1 = y = 4 z 3 2 egyenletrendszerű egyenessel párhuzamosak. 2.8. Feladat. Adjuk meg annak a kúpfelületnek a paraméteres előállítását és implicit egyenletét, amelynek vezérgörbéje az x 2 + y 2 = 4, z = 0 kör, csúcspontja pedig (0, 0, 1) R 3. 2.9. Feladat. a. Az y 2 = ax, z = 0 parabolát megforgatjuk a tengelye körül. Írjuk föl az így keletkező forgásfelület paraméteres előállítását és implicit egyenletét! b. Ugyanezt a parabolát az y tengely körül is megforgatjuk. Bizonyítsuk be, hogy így negyedrendű felületet kapunk. wxmaxima munkalap: PDF

2.3. FELÜLETI GÖRBÉK 42 2.10. Feladat. Határozzuk meg az r(u, v) = (u, v, u v) parametrizált felület normálvektorát az u = 1, v = 2 pontban! wxmaxima munkalap: PDF 2.11. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az r : R R R 3, (u, v) r(u, v) = (u cos v, u sin v, v) csavarfelület reguláris felület! 2.12. Feladat. Legyen c: I R 3 bireguláris térgörbe. Az r : I R, (u, v) r(u, v) = c(u) + c (u) v wxmaxima munkalap: PDF felületet a görbe érintőfelületének nevezzük. Vizsgáljuk a felület regularitását! 2.13. Feladat. Vizsgáljuk a Möbius-szalag regularitását! wxmaxima munkalap: PDF 2.3. Felületi görbék 2.18. Definíció. Legyen r : U R 3 parametrizált felület, c: I U reguláris parametrizált görbe. A c = r c: I R 3 parametrizált görbét felületi görbének nevezzük. c I > U c = r c r illetve Speciálisan, legyenek v 0, u 0 konstansok, > R 3 c 1 (t) = (t, v 0 ), (t, v 0 ) U, c 2 (t) = (u 0, t), (u 0, t) U, (esetleg elfajuló) szakaszok a paramétertartományban. A c u (t) = r(t, v 0 ) és c v (t) = r(u 0, t) felületi görbéket az r felület paramétervonalainak nevezzük. Határozzuk meg a paramétervonalak sebességvektorait: c u(t) = dr(t, v 0 ) e 1 = r u (t, v 0 ) c v(t) = dr(u 0, t) e 2 = r v (u 0, t). A fenti relációk alapján az r u (p), r v (p) (p U) vektorokat paramétervonal-érintőknek is szokás nevezni a p pontban.

2.3. FELÜLETI GÖRBÉK 43 2.8. ábra. Paramétervonalak a gömbön 2.19. Példa. A gömb földrajzi paraméterezésének (ld. 2.11. példa) u = u 0 paramétervonalai a szélességi körök (speciálisan u 0 = 0 az egyenlítő): c v (t) = r(u 0, t) = (R cos u 0 cos t, R cos u 0 sin t, R sin u 0 ), míg a v = v 0 paramétervonalak a hosszúsági körök (speciálisan v 0 = 0 a greenwichi zéró hosszúsági kör.): c u (t) = r(t, v 0 ) = (R cos t cos v 0, R cos t sin v 0, R sin t). 2.20. Tétel. Minden felületi görbe reguláris. BIZONYÍTÁS. Az előző definíció jelöléseivel: (2.9) c (t) = dr(c(t)) c (t). A c regularitása miatt c (t) 0, a felület regularitása miatt Ker dr(c(t)) = {0}, így c (t) 0. A (2.9) formula azt is mutatja, hogy c (t) Im dr(c(t)) = T c(t) r, így megfogalmazhatjuk az alábbi tételt: 2.21. Tétel. Egy parametrizált felület egy adott pontján áthaladó felületi görbék ezen pontbeli érintővektorai az adott pontbeli érintősíkban vannak. A (2.9) formulát koordinátás alakban is kiírjuk. Ha c(t) = (u(t), v(t)), akkor (2.10) c (t) = u (t)r u (c(t)) + v (t)r v (c(t)), vagy röviden c = u r u + v r v, tehát, ha értelemszerű, hogy egy mennyiséget a c görbe mentén kell venni, akkor azt nem feltétlenül jelöljük a továbbiakban. 2.22. Tétel. A felület minden érintővektora valamely felületi görbe érintője. BIZONYÍTÁS. Legyen X p = X 1 r u (p)+x 2 r v (p) a felület egy érintővektora a p = (u 0, v 0 ) pontban (X 1, X 2 R). Tekintsük a paramétersík c(t) = (X 1 t + u 0, X 2 t + v 0 ) egyenesét, azaz u(t) = X 1 t + u 0, v(t) = X 2 t + v 0. Ekkor c(0) = p és a 2.10 kifejezést alkalmazva, c (0) = X p.

Feladatok 2.4. MÉRÉS A FELÜLETEN, A FELÜLET ELSŐ ALAPMENNYISÉGEI 44 2.14. Feladat. Határozzuk meg a a. tórusz (2.7) b. csavarfelület (2.11. feladat) paramétervonalait. 2.4. Mérés a felületen, a felület első alapmennyiségei A felületi mérés alapja az, hogy kiszámítjuk két felületi érintővektor skaláris és vektoriális szorzatát. A skaláris szorzatból a felületi érintővektor hosszát és két felületi érintővektor szögét tudjuk kiszámítani, míg a vektoriális szorzat területtel kapcsolatos információt ad. Legyen adva az r : U R 3 reguláris parametrizált felület, p U. Kiszámítjuk az X p = x 1 r u (p)+x 2 r v (p) és az Y p = y 1 r u (p)+y 2 r u (p) felületi érintővektorok skaláris szorzatát: (2.11) X p, Y p = x 1 y 1 r 2 u(p) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 ) r u (p), r v (p) + x 2 y 2 r 2 v(p). A fenti összefüggésben szereplő skaláris szorzatok a felületi méréssel kapcsolatos alapvető információkat adnak. 2.23. Definíció. Legyen r : U R 3 parametrizált felület, p U. Az (2.12) E p = r u (p), r u (p), F p = r u (p), r v (p), G p = r v (p), r v (p), számokat a felület p pontbeli első alapmennyiségeinek nevezzük. Gyakran első alapmennyiségeknek nevezzük az differenciálható függvényeket is. (2.13) E : U R, p E(p) = E p F : U R, p F (p) = F p G: U R, p G(p) = G p A (2.11) egyenlet a bevezetett új jelölésekkel: X p, Y p = x 1 y 1 E p + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )F p + x 2 y 2 G p = = ( ) ( ) ( ) E x 1 x p F p y1 2. F p G p y 2 Alkalmazásként kiszámítjuk a felületi görbék ívhosszát. Legyen r : U R 3 parametrizált felület, c: [a, b] U, c(t) = (u(t), v(t)) reguláris parametrizált görbe a paramétertartományban, c = r c: [a, b] R 3 felületi görbe. c = (dr c) c = ( r u c r v c ) ( ) u v = u r u c + v r v c. Így c 2 = u 2 E c + 2u v F c + v 2 G c,

2.4. MÉRÉS A FELÜLETEN, A FELÜLET ELSŐ ALAPMENNYISÉGEI 45 azaz a felületi görbe ívhosszát a következőképpen számoljuk ki: 2.24. Tétel. (2.14) Λ c = b a c = b a u 2 E c + 2u v F c + v 2 G c. 2.25. Példa (a földrajzi paraméterezésű egységgömb első alapmennyiségei). A gömb földrajzi paraméterezése: r(u, v) = (cos u cos v, cos u sin v, sin u), u ( π/2, π/2), v R. A paramétervonal érintők: r u (u, v) = ( sin u cos v, sin u sin v, cos u), r v (u, v) = ( cos u sin v, cos u cos v, 0), így E(u, v) = 1, F (u, v) = 0, G(u, v) = cos 2 u. 2.26. Példa (mérés az egyenes körhengeren és a síkon). Az egyenes körhenger egy lehetséges előállítása parametrizált felületként a következő: A paramétervonal érintők r(u, v) = (cos u, sin u, v), u, v R. r u (u, v) = ( sin u, cos u, 0), r v (u, v) = (0, 0, 1), ahonnan a parametrizált körhenger első alapmennyiségei: E(u, v) = 1, F (u, v) = 0, G(u, v) = 1. Az r(u, v) = (u, v, 0) (u, v R) parametrizált sík első alapmennyiségei ugyanezek a függvények, így a közös paramétertartományban megadott tetszőleges görbének megfelelő felületi görbék a hengeren illetve a síkon ugyanolyan hosszúak. Szemléletesen fogalmazva: miközben egy téglalap két szemközti oldalát összeragasztva egyenes körhengert kapunk, a téglalapra rajzolt görbék ívhossza nem változik. 2.27. Tétel. A gömbfelület két nem átellenes pontja között a legrövidebb felületi görbe a két pontra illeszkedő főkörív félkörívnél kisebb íve. BIZONYÍTÁS. A gömbfelület földrajzi paraméterezéséből indulunk ki. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az egyik pont az északi sark. A másik ponthoz tartozó paraméterértékek legyenek (u 1, v 1 ). Az északi sark első paraméterértéke π/2, míg a második nem egyértelműen meghatározott, legyen pl. v 1 A paramétersík ezen két pontját összekötő tetszőleges görbe legyen c(t) = (u(t), v(t)) (t [a, b]). Tehát c(a) = (π/2, v 1 ), c(b) = (u 1, v 1 ).

2.4. MÉRÉS A FELÜLETEN, A FELÜLET ELSŐ ALAPMENNYISÉGEI 46 A c = r c felületi görbe ívhossza (2.14) szerint Λ = b a b a b a u 2 (t) + cos 2 (u(t))v 2 (t)dt b u 2 (t)dt = u (t) dt a u (t)dt = u(b) u(a) = π/2 u 1. Az egyenlőség teljesüléséhez szükséges, hogy v (t) = 0 teljesüljön, azaz v = v 1 konstans. A felületi görbe tehát hosszúsági körön van. A paramétertartomány egy területtel rendelkező P U részhalmazának a képe a felületen egy r(p ) felületdarab. Ennek felszínét akarjuk értelmezni. Tegyük fel, hogy P = [u, u + u] [v, v + v] egy téglalap. r(u + λ u, v + µ v)-t elsőfokú Taylor polinommal közelítve: r(u + λ u, v + µ v) r(u, v) + λr u (u, v) u + µr v (u, v) v, λ, µ [0, 1]. A fenti reláció bal oldalán r(p ), a jobb oldalán pedig egy paralelogramma ( érintőpikkely ) van, melyet az r u (u, v) u és az r v (u, v) v vektorok feszítenek ki. Ennek területével közelítjük r(p ) felszínét. A paralelogramma területe: r u (u, v) u r v (u, v) v = r u (u, v) r v (u, v) u v. Kiszámítjuk a vektoriális szorzatot. A paramétervonal érintők szögét jelölje α. (2.15) r u r v 2 = r u 2 r v 2 sin 2 α = = r u 2 r v 2 (1 cos 2 α) = = r u 2 r v 2 r u 2 r v 2 = r u 2 r v 2 r u, r v 2 = = E G F 2 = E F F G. r u, r v 2 r u 2 r v 2 = A paramétertartományt téglalapokra bontva, a megfelelő érintőpikkelyek területének összege közelíti a felület felszínét. A fentebbi gondolatmenet motiválja a felszín definícióját. 2.28. Definíció. Legyen r : U R 3 parametrizált felület, P U területtel rendelkező részhalmaz. r(p ) felszíne alatt az (2.16) A(P ) = EG F 2 kettős integrált értjük. P

2.4. MÉRÉS A FELÜLETEN, A FELÜLET ELSŐ ALAPMENNYISÉGEI 47 2.9. ábra. Gömböt körülölelő henger 2.29. Példa (a gömb felszíne). Számítsuk ki az egység sugarú gömb felszínét a földrajzi paraméterezés alapján. A gömb első alapmennyiségeit már meghatároztuk, (EG F 2 )(u, v) = cos 2 (u), u [ π/2, π/2]. ( 2π ) π/2 2π A = cos u du dv = 2 dv = 4π. 0 π/2 0 2.30. Megjegyzés. A felszínt egy parametrizált felülethez rendeltük hozzá. Be lehet látni, hogy a felszín geometriai fogalom, azaz nem függ a felület paraméterezésétől. A következő alkalmazáshoz meg kell ismernünk a térképészetben használatos cilindrikus vetítés fogalmát. Tekintsünk egy origó középpontú egységgömböt és az azt körülölelő hengert: a henger vezérköre legyen a z = 1 sík (0, 0, 1) középpontú egységköre, alkotóiránya a z tengely, magassága magassága két egység (2.9. ábra). (Ez a henger az Egyenlítő mentén érinti a gömböt.) Az Északi-sarktól és a Déli-sarktól megfosztott gömb pontjait a z tengelyre merőleges vetítéssel képezzük le a hengerre. 2.31. Tétel (Arkhimédész sírfelirata). A cilindrikus vetítés felszíntartó. BIZONYÍTÁS. A gömb földrajzi paraméterezését használva EG F 2 = cos u. A henger esetében a 2.8. példától (36. oldal) eltérően az r(u, v) = (cos v, sin v, sin u), u ( π/2, π/2), v R paraméterezést használjuk, így a cilindrikus vetítésnél az egymásnak megfelelő pontok paraméterei megegyeznek: a paramétersík egy darabjának a képe a gömbön és a hengeren pontosan a cilindrikus vetítésben egymásnak megfelelő felületdarabokat ad. Az ilyen módon parametrizált henger első alapmennyiségeit kiszámítva: r u (u, v) = (0, 0, cos u) r v (u, v) = ( sin v, cos v, 0),