[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai. Elemi esemény: egyelemű részhalmaz. Összetett esemény: többelemű részhalmaz. 1
Egy kísérlet eredménye (16 dobás dobókockával). Eseménytér: Egy kísérlet lehetséges eredményeinek összessége (halmaza). 2
Elemi esemény: egyelemű részhalmaz. Összetett esemény: többelemű részhalmaz. 3
Populáció és minta Populáció (alapsokaság, sokaság): A vizsgálat tárgyát képező elemek összessége, amelynek tulajdonságaira egy részük (minta) vizsgálata alapján következtetünk. Minta: az alapsokaságból megvizsgálásra kiválasztott rész. mintavétel: a sokaságból véletlenszerűen kiválasztunk bizonyos számú elemet a kiválasztott elemek jellemzői: független kísérlet vagy megfigyelés eredményei azonos eloszlású független valószínűségi változóknak tekinthetők a minta reprezentatív minden mintának azonos valószínűsége van mintaközép (mintaátlag, számtani közép) A minta jellemzői = medián (sorba rendezett minta középső eleme) mintaterjedelem (a rendezett minta legkisebb és legnagyobb elemének különbsége (R) = szórásnégyzet (variancia, korrigált tapasztalati szórásnégyzet (n 10)) = ( ) 1 standard deviáció (A minta standard deviációja a populáció standard deviációjának torzítatlan becslése!) = ± ( ) 1 Az átlag standard hibája (a mintaeloszlás varianciája): az átlag reprodukálhatósága (az alkalmazott mérési módszer megbízhatóságáról informál) Várható érték 4
valószínűség Egy esemény relatív gyakorisága (a kísérlet többszöri ismétlését követően) egy bizonyos érték körül ingadozik, amit az esemény valószínűségének hívunk. A esemény valószínűsége (P(A): relatív gyakoriság): egy esemény gyakorisága (k) osztva az események teljes számával (n) (arányszám). P(A) Kombinatorika (hányféle módon lehet elrendezni objektumokat) n: elemszám minden elemet kiválasztunk k darab elemet választunk ki a sorrend fontos a sorrend nem fontos PERMUTÁCIÓ VARIÁCIÓ KOMBINÁCIÓ ismétlés nélküli =! =!! = =!!! ismétléses,, =!!!!,! =,! = + 5
Permutáció Sorba rendezés lehetőségeinek száma (sorrendbe írt sorozatok száma). Ismétlés nélküli permutációk száma egy n elemű halmaz esetén: =! (n*(n-1)*(n-2)*(n-3)..*1) lap szó betűinek sorrendbe állítása (3! = 6) lap, lpa, pla, pal, apl, alp 1 2 3 4 számok sorrendbe állítása (4! = 24) #$ $# #$ #$ $# $#,,,,, * 4.. #. $. &. '. 32 lapos magyar kártya megkeverésének hányféle eredménye lehet? 32! = 2.631308369*10 35 Ismétléses permutációk száma egy n elemű, k darab azonosnak tekintett elemű komponens esetén:,,! = (n: összes elem száma; k r : r-edik fajtából való elemek száma; k 1 +k 2 +k 3 + k r = n)!!! sas szó betűinek sorrendbe állítása (3!/2! *1!= 6/2*1 = 3) sas, ssa, sas, ssa, ass, ass. baba szó betűinek sorrendbe állítása (4!/2!*2! = 24/4 = 6) (()), ()()., ())( #., ))(( $., )()(, )(() &. '.. 2 csomag magyar kártya megkeverésének hányféle eredménye lehet? (2*32)!/2! 32 = 2.954316609*10 79 Variáció n elem közül k darab kiválasztása. Sorrend fontos! ismétlés nélküli variáció: *! = (n: az összes eltérő elem száma, k: kiválasztott elemek (+)! száma). lap szóból kétbetűs egységek kirakása (3!/(3-2)! = 6) pl, pa, lp, la, ap, al ismétléses variáció: *, = (n: az összes eltérő elem száma (rendelkezésre álló elemek száma), k: kiválasztott elemek száma (kitöltendő elemek száma)) A magyar rendszámban lévő három betű variálhatóságának számossága (26 3 =17576) TOTÓ szelvény kitöltésének számossága 1,2,x variálása 14 sorban (3 14 =4782969) 6
kombináció Ismétlés nélküli kombináció: n különböző elemből álló halmazból képezhető k elemű részhalmazok számossága (sorrend nem fontos!), = - =! (n: az összes eltérő elem száma, k: kiválasztott elemek száma). Sorrend nem!(+)! fontos! 32 kártyalapból négyes leosztással hány kombináció lehetséges (32!/(4!(32-4)!)=35960 51 kártyalapból kettes leosztással hány kombináció lehetséges (51!/(2!(51-2)!)=1275 5-ös lottó 5 találatos szelvényeinek lehetséges száma (90!/(5!(90-5)!)=43949268 Ismétléses kombináció: Az n különböző elemet tartalmazó halmaz összes különböző k-ad osztályú ismétléses kombinációinak száma: +- 1 - A valószínűség jellemzői 0 P A 1 P Ω = 1 (a biztos esemény valószínűsége) P = 0 (a lehetetlen esemény valószínűsége) Egymást nem kizáró (együtt előfordulható) események A és B együttes bekövetkezése megtörténhet P A+B = P A +P B P A B Egymást kizáró (együtt elő nem forduló) események A és B együttes bekövetkezése nem történik meg: P(A*B)=0 P A+B = P A +P B P A4 = 1 P(A) (P A4 :komplementer esemény) 7
Egymást kizáró események A és B esemény együtt nem valósulhat meg: P A+B = P A +P B pl. kockadobás eredménye 2 vagy 4 egy kocka használata esetén. P(x=1): 1/6 P(x=2): 1/6 P(x=3): 1/6 P(x=4): 1/6 P(x=5): 1/6 P(x=6): 1/6 P(x=2 vagy 4) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 33.3% Egymást nem kizáró események A és B esemény együtt is megvalósulhat : P A+B = P A +P B P A B pl. kockadobás eredménye 2 vagy 4 két kocka használata esetén. k = 20, n = 36 P(x=2 vagy 4) = 20/36 = 55.5% P(x=2 vagy 4) = 11/36 + 11/36 2/36 = 20/36 = 55.5% 8
Újabb kockadobás A esemény: a dobott pontszám páratlan B esemény a dobott pontszám 4-nél nagyobb Kérdések: P(A), P(B), P(A*B), P(A+B) eseménytér: {1; 2; 3; 4; 5; 6}, az összes esetek száma: 6 A: {1; 3; 5} B: {5; 6} A*B: {5} (A és B esemény együttes (egyszerre történő) megvalósulása) A+B: {1; 3; 5; 6} (A vagy B esemény megvalósulása) P(A) = 3/6 = 0.5 P(B) = 2/6 = 0.33 P(A*B) = 1/6 = 0.166 P(A+B) = 4/6 = 0.66 P(A+B) = 3/6 + 2/6 1/6 = 4/6 Valószínűségi változó Egy statisztikai mennyiség (egy kísérlet, esemény kimenetele, melyet a véletlen befolyásol) mely tetszőleges értéket vehet fel (diszkrét vagy folytonos) és nem becsülhető meg biztosan csak valószínűsíthető. Ha egy véletlen eseményhez (az eseményt befolyásoló összes tényezőt nem ismerjük) számszerű értéket rendelünk, akkor egy véletlentől függő változót, valószínűségi változót kapunk. Elemi eseményekhez rendelt számérték. Véletlentől függő számértékeket felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük (jelölés: ξ, η, x). pl. vérnyomás, vércukor, magasság, kockadobás eredménye, levegő hőmérséklete. 9
Valószínűségi változó típusai Eloszlási függvényük alapján Diszkrét valószínűségi változó A lehetséges értékek száma véges, megszámlálható (pl. kockadobás eredménye, újszülöttek neme) Eloszlási függvényük diszkrét értékeket vehet fel (lépcsős eloszlási függgvény) Binomiális eloszlás, Poisson eloszlás, Hipergeometrikus eloszlás, Polinomiális eloszlás Folytonos valószínűségi változó A lehetséges értékek száma végtelen (bármely érték egy intervallumon belül) (pl. testhőmérséklet, vérnyomás) Eloszlási függvényük folytonos Normál eloszlás, Exponenciális eloszlás, Egyenletes eloszlás Eloszlási függvény Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényén a következő függvényt értjük: B() = C(- < ) Ez a függvény minden x értékre megadja annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó (-) x-nél kisebb értéket vesz fel. Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye lépcsős függvény. 10
Eloszlási függvény jellemzői monoton növekvő: B B,FG > lim +K B = 0 lim K B = 1 minden helyen balról folytonos: lim L +M B =B M Eloszlási függvény diszkrét valószínűségi változó esetén Két kocka dobása eredményének összege. (N) (N) OPOQRSí (N) 0 0 0 1 0 0 2 1/36 1/36 3 2/36 3/36 4 3/36 6/36 5 4/36 10/36 6 5/36 15/36 7 6/36 21/36 8 5/36 26/36 9 4/36 30/36 10 3/36 33/36 11 2/36 35/36 12 1/36 36/36 11
Diszkrét valószínűségi változó eloszlása X eloszlás: C(k = ) 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye B = C(- < ) B () 1.10 1.00 0.90 0.80 0.70 26/36 30/36 35/36 33/36 36/36 0.60 21/36 0.50 0.40 15/36 0.30 10/36 0.20 6/36 0.10 0.00 3/36 1/36 0/36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12
Várható érték Egy valós szám mely körül egy kísérlet várható eredményeinek átlaga ingadozik (E(X), M(x), M, µ, m x, m). diszkrét valószínűségi változó várható értéke súlyozott átlaga a valószínűségi változó várható értékeinek (x). M = U x folytonos valószínűségi változó várható értéke Y M x = V+ W X Kockadobás várható értéke M x = U N! Z! 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 M x = 1 ' + 2 ' + 3 ' + 4 ' + 5 ' + 6 ' = 3.5 13
vége 14