... A statsztka módszerek alkalmazásáak oka A mérés eredméek jellemzéséek matematkastatsztka alapja Ezek a módszerek lehetővé teszk a mérések értékelését, bzotalaság eseté az okokra és a mérés egéb összefüggésere voatkozó dötéshozatalt. A valószíűségszámítás és a matematkastatsztka módszerek felhaszálásával lehetőségük ílk a mérés sorá fellépő véletle hbák mértékéek becslésére. A mérés sorozat statsztka jellemző Mérés sorozatuk elemet a méredő meség valód értékéek meghatározása érdekébe végzett mtavétel és kísérlet eredmééek tektve, alkalmazhatjuk rájuk a mták statsztka jellemzőek meghatározására szolgáló statsztka módszereket. A várható érték becslésére szolgáló jellemzők A mérés sorozat várható értékéek mt a méredő meség esetleges korrgálatla kovecoáls valód értékéek becslésére a következő módszerek állak a redelkezésükre: - számta átlag, - geometra átlag, - harmokus átlag, - tapasztalat medá, - tapasztalat módusz.
... A várható érték becslésére szolgáló jellemzők A várható érték becslésére szolgáló jellemzők A számta átlag A számta átlag Tulajdosága: Mde átlagérték közül a számta átlag a legagobb.... A számta átlagtól való eltérések összege ulla, az eltérés égzetek összege pedg mmáls: ( ( ) ) m
... A számta átlag A geometra átlag g... Tulajdosága: A geometra átlag mdg ksebb a számta átlagál. számta átlag A geometra átlag A harmokus átlag h... Tulajdosága: Az előző három átlag között mdg feáll a következő összefüggés: h g számta átlag geometra átlag
... A harmokus átlag A tapasztalat medá számta átlag geometra átlag harmokus átlag A medá (Me), vag cetráls érték a agság szert redezett mtaelemek középső eleme, ha páratla. Ha páros, akkor a két középső elem számta közepe. Tulajdosága: A medá csak szmmetrkus eloszlás eseté ad torzítatla becslést. A tapasztalat medá A tapasztalat módusz A módusz a mtába leggakrabba előforduló elem. Tulajdosága: A módusz értéke em feltétleül egértelmű, mvel ugaazt a gakorságot több külöböző érték s elérhet. számta átlag geometra átlag harmokus átlag tapasztalat medá
... A tapasztalat módusz számta átlag geometra átlag harmokus átlag tapasztalat medá tapasztalat módusz A várható érték becslésére szolgáló jellemzők haszálhatósága A mérés sorozat várható értékéek becslésére szolgáló jellemzők közül a számta átlag a legmegbízhatóbb (torzítatla, hatéko, kozsztes és elégséges). Mde más átlagérték (geometra, harmokus) tektettel arra, hog ksebb mt a számta átlag a várható értékre torzított becslést ad. A medá uga szmmetrkus eloszlás esetébe torzítatla becslést ad, de eek hatékosága a számta átlaghoz képest csak, %-os. A szóródás becslésére szolgáló jellemzők A mérés sorozat szóródásáak mt a mérés hbájáak becslésére a következő módszerek állak a redelkezésükre: - tapasztalat szórás, - korrgált tapasztalat szórás, - relatív szórás, - a mérés sorozat átlagáak korrgált tapasztalat szórása, - mtaterjedelem. A szóródás becslésére szolgáló jellemzők,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
... A szóródás becslésére szolgáló jellemzők A tapasztalat szórás,,,,,,,,,,, s Tulajdosága: A tapasztalat szórás em más, mt az eges eredméek matematka átlagtól való eltéréseek égzetéből képzett matematka átlag égzetgöke. A tapasztalat szórás em ad torzítatla becslést az alapsokaság szóródására voatkozóa. ( ) számta átlag A tapasztalat szórás A korrgált tapasztalat szórás,,,,, s ( ) ; s s,,,,,, számta átlag á -s á +s Tulajdosága: A korrgált tapasztalat szórás mdg agobb a tapasztalat szórásál, a külöbség azoba övekedésével csökke. A korrgált tapasztalat szórás torzítatla és kozsztes becslését adja az alapsokaság szóródásáak.
...,,,,,,,,,,, A korrgált tapasztalat szórás számta átlag á -s á +s á-s á+s A mérés sorozat átlagáak korrgált tapasztalat szórása s Tulajdosága: A mérés sorozatok számta átlagaból képzett mta korrgált tapasztalat szórása mdg ksebb mt az eredet mérés sorozat korrgált tapasztalat szórása. Ezt az összefüggést felhaszálva elvleg bármle mértékbe csökkethetjük a mérésük szóródását (véletle hbáját, bzotalaságát) s,,,,,,,,,,, A mérés sorozat átlagáak korrgált tapasztalat szórása számta átlag á -s á +s á-s á+s á-sá á+sá A relatív szórás CV Tulajdosága: A relatív szórás, vag varácós egüttható a szórás értékét az összehasolíthatóság érdekébe a számta átlag aráába adja meg, általába -al megszorozva százalékos formába. s
... A mtaterjedelem A mtaterjedelem,, R ma m,, Tulajdosága: A mta legagobb és legksebb eleméek külöbsége. A mtaterjedelem lehetőséget ad a szórás közelítő becslésére.,,,,,,, számta átlag á -s á +s á-s á+s á-sá á+sá m ma A szórás közelítő becslése A szórás közelítő becslése s becs f R f E,,,,,,,,,,,, E: a becslés hatékosága. Tulajdosága: A becslés torzított és hatékosága (E) a mtaszám övelésével romlk. A szórás a mtaterjedelemből eg szorzófaktor (f) segítségével becsülhető, amek értéke függ a mtaelemek () számától. A mtaterjedelem alapjá törtéő becslés ag formácóveszteséggel jár, de gors tájékozódást tesz lehetővé.
... A szórás közelítő becslése A mérés sorozat eloszlása,,,,,,,,,,, számta átlag á-s á+s m ma á-sbecs á+sbecs Ahhoz, hog az előzőekbe meghatározott statsztka jellemzőket fel tudjuk haszál a mérés sorozat statsztka kértékelésére, - legalább közelítőleg - smerük kell a mérés sorozat eloszlását. A mérés sorozat eloszlásá azt a tulajdoságot értjük, hog hog a mérés sorozat bármel lehetséges érték-tervallumához hozzá tudjuk redel aak a valószíűségét, hog eg mérés eredmé ebbe az tervallumba esk. A mérés sorozat eloszlása A sűrűségfüggvé A mérés sorozat eloszlását a sűrűségfüggvéel és az eloszlásfüggvéel tudjuk jellemez. A sűrűségfüggvé azt mutatja meg, hog a mérés sorozat eges lehetséges értéke mekkora valószíűséggel esek eg kjelölt tervallumba. Az eloszlásfüggvé a sűrűségfüggvé tegrálfüggvée, és azt mutatja meg, hog me aak a valószíűsége, hog a mérés eredmé eg adott értékél ksebb. Cauch-eloszlás sűrűségfüggvée
... Az eloszlásfüggvé A mérés sorozat eloszlásáak tulajdosága Az eloszlások eg részéél a sűrűségfüggvé és az eloszlásfüggvé matematka függvé formájába leírható. A matematka függvéel leírható eloszlások sűrűségfüggvéébe szereplő kostasok és az azokból leszármaztatható meségek az eloszlás paramétere. A mérés sorozat statsztka kértékelésével az eloszlásfüggvé alakját és a függvébe szereplő paramétereket akarjuk meghatároz. Az eloszlás paramétere Az eloszlás várható értéke. Az eloszlás medája (az az érték, amelre gaz, hog a ksebb és agobb érték valószíűsége egarát %). Az eloszlás módusza (a sűrűségfüggvé mamumáak hele). Az eloszlás varacája (a mérés eredméek várható értéktől való eltéréséek a mértéke). Az eloszlásfüggvé alakja Az eloszlásokat az eloszlásfüggvé alakja szert szokás csoportosíta. Azok az eloszlások kerültek azoos csoportba, amelek sűrűségfüggvée csak a paraméterek (kostasok) értékébe tér el egmástól. Ismert eloszlások például: Normál (Gauss) eloszlás, bomáls eloszlás, Posso eloszlás, Cauch eloszlás, stb.
... A ormál eloszlás A ormál eloszlás sűrűségfüggvée A ormál eloszlás sűrűségfüggvée eg szmmetrkus, harag alakú görbe: f ( ) ahol az eloszlás paramétere: - μ az eloszlás várható értéke (egúttal medája és módusza), - σ a varaca égzetgöke. e μ=, három külöböző σ eseté A cetráls határeloszlás tétele Bármel eloszlású sokaság eseté az elemű mta számta középértékéek eloszlása övelésével eg ola ormál eloszláshoz tart, melek várható értéke megegezk az eredet eloszlás várható értékével. Mvel a mérések eredmée az esetek dötő többségébe le átlagolás eredmée (a mutató tehetetlesége, a skálára való kerekítés, stb. matt), íg a mérés sorozatok a legtöbb esetbe ormál eloszlást mutatak. A ormál eloszlás paramétereek becslése A várható érték (μ) becslése: A számta átlag torzítatla, hatéko, kozsztes és elégséges becslése az alapsokaság várható értékéek. A medá szté kozsztes, és övekvő eseté torzítatla becslése a várható értékek, de agobb a szórása mt a számta átlagak.
... A ormál eloszlás paramétereek becslése A varaca égzetgökéek (σ) becslése: A korrgált tapasztalat szórás torzítatla és kozsztes becslést ad. A tapasztalat szórás és a terjedelem jeletőse torzított becslést eredméez. A ormál eloszlás tulajdosága A μ adja meg a haraggörbe tegelre voatkoztatott helzetét, a σ pedg az alakját. (Mél agobb a σ, aál laposabb a görbe.) Potosa meghatározott, hog hoga alakul k függvéébe aak valószíűsége ( ), hog a mérés sorozat eg értéke a tartomáo kívülre esk. k A ormál eloszlás alkalmazása A leárs regresszó..... %.... - - μ=, σ= (stadardzált ormál eloszlás sűrűségfüggvée) s, k Megbízhatóság szt % k %, %,, %,,, %, s s A regresszó számítás sorá matematka összefüggést keresük eg függvé változó között. A metrológába leggakrabba alkalmazott regresszó az egetle függetle változós leárs regresszó: m a
... A leárs regresszó : függő változó : függetle változó m, a: a függvé keresett kostasa A regresszó számítás sorá aak az egeesek a meredekségét (m) és eltolását (a) keressük, amel a legközelebb halad el az - értékpárokkal meghatározott koordátapotokhoz. A leárs regresszó A mtapélda - értékpárja:,,,,,,,,, m=? a=? A leárs regresszó A leárs regresszó A leárs regresszó (Gauss evéhez fűződő) matematka apparátusa a legksebb égzetek elvé alapszk. Az összefüggés m és a paraméteret úg határozzuk meg, hog a mért és az összefüggésből számított értékek eltéréséek égzete mmáls lege: a m m
... A leárs regresszó A mmalzálás feladat eredmée: m a m ahol az - adatpárok száma. A leárs regresszó A megoldás gakorlat meete:. Négzetösszegek meghatározása: SP SQ A leárs regresszó. Átlagértékek meghatározása:. Az egees egeletéek egüttható: SQ SP m m a A leárs regresszó =, -, R² =, m=, a=-, R =,
... A korrelácós egüttható A korrelácós egüttható A mérés potok és a számított egees között lleszkedés szorosságát a korellácós egüttható (R) adja meg. A korrelácós egüttható értéke és között változk. A -hoz közel érték gege kapcsolatra utal, míg teljes függvékapcsolat eseté R=. Számítása a gakorlatba: SQ R SP SQ SQ