BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

Átírás

1 BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 11. Hipotézisvizsgálat, statisztikai tesztek Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád

2 A diasor tartalma 1 Bevezetés Hipotézis, hibák 2 Statisztikai tesztek u-próba F-próba t-próba χ 2 -próba Normalitásvizsgálat Példa

3 Bevezetés MIRE JÓK A STATISZTIKAI TESZTEK? A korábbiakban tanultak bár a valószínűségszámítás és a statisztika igen fontos eszközei, közvetlenül mégsem alkalmazhatóak arra, hogy két adatsort összehasonlítsunk egymással, vagy egy adatsort vessünk össze egy előre megadott értékkel. Természetesen alapszintű következtetéseket le tudunk vonni (az egyik populáció átlagos tömege lényegesen eltér a másikétól, a szórásuk azonos, stb.), ám ezen eredmények a tudományos életben nem állják meg a helyüket. Ahhoz, hogy igazán pontos összehasonlítást kapjunk a vizsgált tulajdonságunkra vonatkozólag elengedhetetlen az ún. statisztikai tesztek használata, melyek segítségével megmondható, hogy "a két adatsor pl. 99%-os pontossággal azonosnak/különbözőnek tekinthető".

4 Bevezetés Megjegyzés Mivel ezen alapszintű kurzus alatt sajnos az idő nem engedi, így a tanult teszteket pontosabb matematikai háttér nélkül, felsorolásszerűen ismertetjük, majd a későbbiekben egy igen elterjedt számítógépes program segítségével, konkrét példákon keresztül mutatjuk be. Hipotézisek A statisztikai vizsgálatok során első lépésben mindig ún. hipotéziseket állítunk fel, melyeket a vizsgálataink során vagy elvetünk, vagy megtartunk. A kiindulási hipotézisünket nullhipotézisnek nevezzük és H 0 -val jelöljük. Ezt követően adott α értékhez meghatározunk egy olyan számhalmazt (kritikus tartományt), melybe a vizsgált statisztikai függvény értéke α valószínűséggel esik, feltéve, hogy a hipotézis igaz.

5 Bevezetés Ha α elég kicsi, úgy ezen esemény bekövetkezési esélye igen alacsony, így ilyenkor azt mondjuk, hogy a nullhipotézist elvetjük. Ellenkező esetben, azaz ha nem a kritikus tartományba esik a megfigyelt érték, megtartjuk a hipotézist. Hibák Statisztikai vizsgálatok során két fő hibát követhetünk el: 1 Elsőfajú hiba alatt azt értjük, hogy elvetjük a hipotézisünket, holott az mégis igaz. 2 Másodfajú hiba alatt pedig épp ennek fordítottját értjük, azaz azt, hogy elfogadjuk a hipotézist annak ellenére, hogy az nem igaz. Bár mindkét hiba elkövetése igen szerencsétlen a vizsgálat szempontjából, azonban vannak olyan esetek, amikor az egyik elkövetése kisebb problémával jár, mint a másiké (pl. gyógyszer mellékhatásainak vizsgálatánál, ha az a nullhipotézisünk, hogy mellékhatásként rendkívül gyakran lép fel rosszullét).

6 Statisztikai tesztek Az alábbiakban fontos statisztikai tesztek kerülnek ismertetésre. A korábban említettek alapján a tárgyalásuk során igyekszünk az alábbi pontokra támaszkodni: Paraméteres, vagy nemparaméteres-e a teszt? Mi a nullhipotézis (H 0 ) és ellenhipotézis (H 1 )? Milyen adatsor esetén alkalmazható? Van-e az alkalmazásnak bármilyen előfeltétele? Példa, hogy mire alkalmazzák (számolás nélkül). Szignifikancia szint Legyen α 0 és 1 közé eső szám. Ekkor az alkalmazott statisztikai tesztünk esetén a 100(1 α)% számot szignifikancia szintnek nevezzük. Ez lényegében azt jelenti, hogy (100 α)%-nyi kockázatot vállalunk arra, hogy elsőfajú hibát követünk el. Tehát ha pl. α = 0,01, úgy a tesztünkbe "belekalkuláltuk" azt, hogy 1% eséllyel elvetjük a nullhipotézisünket, holott az mégis igaz.

7 Statisztikai tesztek - u-próba Egymintás u-próba (z-próba) Paraméteres próba. H 0 : E(ξ ) = m, azaz ha a valószínűségi változónk ξ, úgy a nullhipotézisünk az, hogy ξ várható értéke megegyezik egy előre megadott m értékkel. Az ellenhipotézis Kétoldali próba esetén: H 1 : E(ξ ) m. Egyoldali próba esetén: H 1 : E(ξ ) < m (baloldali ellenhipotézis), vagy H 1 : E(ξ ) > m (jobboldali ellenhipotézis). A használatához szükségesek: ξ eloszlása normális legyen (ezt vagy teszttel, vagy szakirodalom segítségével igazolhatjuk). A valószínűségi változó várható értéke ismeretlen legyen, szórása viszont ismert. ξ egy adott intervallumon minden értéket felvehessen.

8 Statisztikai tesztek - u-próba Kétmintás u-próba (z-próba) Paraméteres próba. H 0 : E(ξ ) = E(η), azaz ha most két valószínűségi változónk van, akkor a nullhipotézisünk az, hogy ξ és η várható értékei megegyeznek. Az ellenhipotézis: H 1 : E(ξ ) E(η). A használatához szükségesek: A két valószínűségi változó független legyen, eloszlásuk pedig normális (ezeket ellenőrizni kell). A várható értékek ismeretlenek legyenek, a szórások viszont ismertek (azaz ne becsüljük őket). ξ és η értékei egy adott intervallumon tetszőlegesek lehessenek. Példa - egymintás esetben Normális eloszlást feltételezve, az alábbi X mért érték ismeretében igaz-e, hogy a magyarországi felnőtt férfiak testmagasságának átlaga σ = 5 cm-es szórás mellett 178 cm?

9 Statisztikai tesztek - F-próba F-próba Paraméteres próba. H 0 : D 2 (ξ ) = D 2 (η), azaz ha két valószínűségi változónk van, úgy a nullhipotézis az, hogy a varianciájuk (szórásnégyzetük) megegyezik-e. Az ellenhipotézis: H 1 : D 2 (ξ ) D 2 (η). A használatához szükségesek: A két valószínűségi változó független legyen, eloszlásuk pedig normális (ezeket ellenőrizni kell). A valószínűségi változók várható értéke és szórása ismeretlen legyen. ξ és η értékei egy adott intervallumon tetszőlegesek lehessenek. Felhasználás Leggyakrabban más statisztikai tesztek (pl. t-próba) "előfutáraként" használják, azaz az adott teszt alkalmazhatóságának feltételét ellenőrzik vele.

10 Statisztikai tesztek - t-próba Egymintás t-próba Paraméteres próba. H 0 : E(ξ ) = m, azaz ugyanaz a nullhipotézis, mint az egymintás u-próba esetén. H 1 : ld. u-próba, mind egyoldali, mind kétoldali esetben. A használatához szükségesek: ξ eloszlása normális legyen. A valószínűségi változó várható értéke és szórása is ismeretlen legyen. ξ értékei egy adott intervallumon tetszőlegesek lehessenek. Példa Igaz-e, hogy normális eloszlás feltételezése mellett, az alábbi X mért érték ismeretében a magyarországi felnőtt férfiak testmagasságának átlaga 178 cm? Itt sem a tényleges átlag, sem a szórás nem ismert, de a minta alapján becsülhető.

11 Statisztikai tesztek - t-próba Kétmintás t-próba Példa Paraméteres próba. H 0 : E(ξ ) = E(η), azaz a nullhipotézis ugyanaz, mint a kétmintás u-próba esetén. H 1 : szintén a kétmintás u-próba ellenhipotézise a mérvadó. A használatához szükségesek: A két valószínűségi változó független legyen, eloszlásuk pedig normális (ezeket ellenőrizni kell). A valószínűségi változók várható értéke és szórása ismeretlen legyen. A valószínűségi változók szórása azonos legyen (F-próba). ξ és η értékei egy adott intervallumon tetszőlegesek lehessenek. Normális eloszlást feltételezve igaz-e, hogy az alábbi mért X és Y értékek ismeretében a magyarországi és angliai felnőtt férfiak testmagassága megegyezik? A szórásokat nem ismerjük, így először F-próbát alkalmazunk.

12 Statisztikai tesztek - χ 2 -próba χ 2 -próba Nagyon sok vizsgálatra alkalmazható: Tiszta illeszkedésvizsgálat: H 0 : F ξ = F 0, azaz ebben az esetben az a nullhipotézisünk, hogy az adott valószínűségi változó eloszlásfüggvénye megegyezik-e egy előre megadott eloszlásfüggvénnyel. Tiszta illeszkedésvizsgálat esetén az eloszlás összes paramétere ismert. Becsléses illeszkedésvizsgálat: Szintén azt vizsgálja, hogy ξ eloszlása egy előre megadott típusú-e, ám a paramétereket nem ismerjük, azokat csak becsülni tudjuk a mintából. Homogenitásvizsgálat: H 0 : ξ és η azonos eloszlású. Ezzel két adatsor eloszlásának egyezését tudjuk vizsgálni. Tiszta függetlenségvizsgálat: Ha ismert ξ és η eloszlása, úgy azt vizsgálja, hogy a két valószínűségi változó független-e egymástól. Becsléses függetlenségvizsgálat: Szintén ξ és η függetlenségét vizsgálja, ám ebben az esetben nem ismerjük a két valószínűségi változó eloszlását.

13 Statisztikai tesztek - χ 2 -próba Megjegyzés A χ 2 -próba diszkrét eloszlások, adatsorok esetén alkalmazható, így normális eloszlást nem tudunk tesztelni vele. Így az u-, t-, F-próbák esetén más tesztet kell alkalmazni a normális eloszlás vizsgálatára. Példa A biológiában leggyakrabban függetlenségvizsgálatra szokták alkalmazni a próbát. Például igaz-e, hogy egy adott populációban a haj- és a szemszín összefügg egymással? Ekkor nyilván diszkrét adatsorról beszélünk, és pl. egy ilyen táblázat készíthető el: Szem Haj Kék Zöld Barna Fekete Szőke 30 fő 23 fő 11 fő 8 fő Vörös 27 fő 39 fő 12 fő 4 fő Barna 43 fő 11 fő 31 fő 8 fő Fekete 20 fő 15 fő 26 fő 37 fő

14 Statisztikai tesztek - normalitásvizsgálat Normalitásvizsgálat Ahhoz, hogy alkalmazni tudjuk az előadás elején tanult teszteket, elengedhetetlen, hogy a mintánk normális eloszlású legyen. Ezt vagy a szakirodalom alapján döntjük el (pl. testtömeg, testmagasság eloszlása rendszerint normális eloszlást követ), vagy ún. normalitásvizsgálatot alkalmazunk. Ennek több módszere van: Az egyik legszemléletesebb a grafikai eljárás. Ekkor a kapott adatsorunkból hisztogramot készítünk, majd ezt vetjük össze a normális eloszlás görbéjével. Ha az eloszlás normális, akkor a két diagram alakja hasonló.

15 Statisztikai tesztek - normalitásvizsgálat A másik módszer a ferdeségi/csúcsossági együttható vizsgálata. Normális eloszlás esetén mindkét érték 0. Természetesen a vizsgálatok során sosem fogunk 0 értéket kapni, így ha "elég közel" kerül a 0 értékhez, akkor már elfogadjuk normális eloszlásként. Ferdeségi eh.: 1 n n i=1 (x i x) 3 σ 3, Csúcsossági eh.: 1 n n i=1 (x i x) 4 σ 4 3. Egy elterjedt teszt az ún. Jarque-Bera próba, mely során az alábbi értéket kell kiszámolni: ) n (S 2 + K2, 6 4 ahol S jelenti a ferdeséget, K pedig a csúcsosságot. Ezt követően a χ 2 táblázatból kikeressük a 2 szabadsági fokhoz tartozó χ 2 α értéket és a kiszámolt számot összevetjük ezzel. Ha a kapott számunk nagyobb, mint a táblázatban szereplő érték, akkor az adatsor nem normális eloszlású.

16 Statisztikai tesztek - normalitásvizsgálat, példa 200, 1995-ben született csecsemő testtömegéről az alábbi hisztogramot készíthetjük: Döntsük el, hogy normális eloszlást követ-e az adatsorunk α = 0,1 választás mellett!

17 Statisztikai tesztek - normalitásvizsgálat, példa Bár látszólag elég jól kiadja a hisztogram a kívánt haranggörbét, azonban az elején lévő néhány apró érték torzítja az adatsorunkat. Számoljuk ki a ferdeséget és csúcsosságot! x = 3250,155, σ = 25,27. A fentiek alapján számítógép segítségével számolva: Ferdeség = 1, 212, Csúcsosság = 3, 867. Kiszámolva a próbastatisztikát: n 6 ) (S 2 + K2 = ) (( 1,212) 2 + 3,8672 = 173, A táblázatból kikeresve: χ0,1 2 = 4,605, így az eloszlás nem normális.

18 Statisztikai tesztek - normalitásvizsgálat, példa Megjegyzések A statisztikai programok (pl. az R) a "hagyományos" szórás helyett a korrigált empirikus szórást használja a képletben. Így a kapott értékek minimálisan eltérhetnek (minél nagyobb a mintaelemszám, annál kevésbé). A fenti teszt csak 2000, vagy annál nagyobb mintaszám esetén követi a χ 2 eloszlást. Így kisebb mintaszámnál szimulálni kell a szükséges kritikus értékeket. A kritikus értékek kiszámításához ún. Monte-Carlo szimulációt szokás használni. A szakirodalomban a próbastatisztika gyakran így szerepel: n (S ) (K 3)2. 4 Ennek oka, hogy a csúcsosságnál nem mindig vonják ki előre a 3-at a számolás során.

19 Példák Egymintás t-próba Egy felmérés során 10 felnőtt férfi testmagasságát mérték meg cm-ben. Az alábbi értékeket kapták: h Igaz-e, hogy a férfiak átlagos magassága 175 cm? Legyen a szignifikancia-szint 95%!

20 Példák

21 Példák Kétmintás t-próba - párosított Egy diéta előtt és után megmérték 10 ember testtömegét és az alábbi értékeket kapták: B A Megjegyzés Vegyük észre, hogy a mintáink nem függetlenek, hiszen ugyanazokat az embereket néztük, csak kezelés előtt és után. Így ún. párosított t-próbát kell alkalmaznunk.

22 Példák

23 Példák Kétmintás t-próba Két gyógyszer hatását vizsgáltuk egy 12 és egy 8 emberből álló mintahalmazon. Az alábbi táblázat tartalmazza a hatóidőket percben: A : 13,4, 12,5, 17,8, 20,4, 19,3, 18,9, 16,4, 15,8, 14,3, 14,7, 13,8, 12,7 B : 20,1, 22,3, 25,6, 21,9, 20,3, 21,2, 22,7, 21,9 Igaz-e, hogy az A gyógyszer gyorsabban hat, mint a B? Megjegyzés Mivel a mintáink most függetlenek (a két embercsoport és a gyógyszerek között feltehetően nincs semmi kapcsolat), így ún. kétmintás t-próbát használunk. Mivel arra vagyunk kíváncsiak, hogy az A gyógyszer hatóideje kisebb, mint a másiké, így egyoldali próba kell.

24 Példák

25 Példák Mi történik, ha a szórások nem egyeznek meg? Nézzük ugyanazt a kísérletet, de most ezzel az adatsorral: A : 13,4, 12,5, 17,8, 20,4, 19,3, 18,9, 16,4, 15,8, 14,3, 14,7, 13,8, 12,7 B : 10,1, 20,2, 20,3, 25,6, 28,7, 25,2, 26,4, 30,9 Megjegyzés Ahogy látni fogjuk, a szórások nem egyeznek meg, így nem lehet a "hagyományos" t-próbát alkalmazni. Ilyenkor az ún. Welch-próbát kell használni.

26 Példák