Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlo k, ha ugyanazok az elemeik. Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 H2 2/8
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlo k, ha ugyanazok az elemeik. Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 H2 2/8
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlo k, ha ugyanazok az elemeik. Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 H2 2/8
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlo k, ha ugyanazok az elemeik. Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 H2 2/8
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlo k, ha ugyanazok az elemeik. Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 H2 2/8
Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 H2 és H1, H2 Jelölés: H1 H2 Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük. Jelölés: vagy { } Megjegyzések: Csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van. Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk. 3/8
Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 H2 és H1, H2 Jelölés: H1 H2 Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük. Jelölés: vagy { } Megjegyzések: Csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van. Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk. 3/8
Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 H2 és H1, H2 Jelölés: H1 H2 Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük. Jelölés: vagy { } Megjegyzések: Csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van. Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk. 3/8
Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 H2 és H1, H2 Jelölés: H1 H2 Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük. Jelölés: vagy { } Megjegyzések: Csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van. Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk. 3/8
Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával pl. {Budapest, Róma, Párizs} az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásával pl. {n n N, n > 3} Néhány gyakran elo forduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumot vezettek be. Pl.: N, Z, Q, R A halmazokat gyakran zárt síkgörbe által határolt síkidomokkal szemléltetjük (Venn-diagram): 4/8
Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával pl. {Budapest, Róma, Párizs} az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásával pl. {n n N, n > 3} Néhány gyakran elo forduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumot vezettek be. Pl.: N, Z, Q, R A halmazokat gyakran zárt síkgörbe által határolt síkidomokkal szemléltetjük (Venn-diagram): 4/8
Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával pl. {Budapest, Róma, Párizs} az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásával pl. {n n N, n > 3} Néhány gyakran elo forduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumot vezettek be. Pl.: N, Z, Q, R A halmazokat gyakran zárt síkgörbe által határolt síkidomokkal szemléltetjük (Venn-diagram): 4/8
Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával pl. {Budapest, Róma, Párizs} az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásával pl. {n n N, n > 3} Néhány gyakran elo forduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumot vezettek be. Pl.: N, Z, Q, R A halmazokat gyakran zárt síkgörbe által határolt síkidomokkal szemléltetjük (Venn-diagram): 4/8
Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és B halmazok legalább egyikének elemei. Jelölés: A B 5/8
Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és B halmazok legalább egyikének elemei. Jelölés: A B A B 5/8
Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és B halmazok legalább egyikének elemei. Jelölés: A B A B 5/8
Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak is és B-nek is elemei. Jelölés: A B 6/8
Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak is és B-nek is elemei. Jelölés: A B A B 6/8
Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak is és B-nek is elemei. Jelölés: A B A B 6/8
Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A -nak elemei, de B-nek nem elemei. Jelölés: A \ B 7/8
Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A -nak elemei, de B-nek nem elemei. Jelölés: A \ B A B 7/8
Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A -nak elemei, de B-nek nem elemei. Jelölés: A \ B A \B 7/8
Halmazmu veletek Definíció: Az A és B Descartes szorzatán az A B = (a, b ) a A, b B halmazt értjük, azaz a Descartes szorzat azokat és csak azokat a rendezett párokat tartalmazza, amelyek elso eleme eleme A -nak, második eleme pedig eleme B-nek. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor A B = (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) 8/8
Halmazmu veletek Definíció: Az A és B Descartes szorzatán az A B = (a, b ) a A, b B halmazt értjük, azaz a Descartes szorzat azokat és csak azokat a rendezett párokat tartalmazza, amelyek elso eleme eleme A -nak, második eleme pedig eleme B-nek. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor A B = (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) 8/8
A valós számok halmazán értelmezett két mu velet, az összeadás és a szorzás, a következo tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív a, b R : a + b = b + a Asszociatív a, b, c R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív a, b R : ab = ba Asszociatív a, b, c R : (ab ) c = a (bc ) 9/8
A valós számok halmazán értelmezett két mu velet, az összeadás és a szorzás, a következo tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív a, b R : a + b = b + a Asszociatív a, b, c R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív a, b R : ab = ba Asszociatív a, b, c R : (ab ) c = a (bc ) 9/8
A valós számok halmazán értelmezett két mu velet, az összeadás és a szorzás, a következo tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív a, b R : a + b = b + a Asszociatív a, b, c R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív a, b R : ab = ba Asszociatív a, b, c R : (ab ) c = a (bc ) 9/8
A valós számok halmazán értelmezett két mu velet, az összeadás és a szorzás, a következo tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív a, b R : a + b = b + a Asszociatív a, b, c R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív a, b R : ab = ba Asszociatív a, b, c R : (ab ) c = a (bc ) 9/8
A valós számok halmazán értelmezett két mu velet, az összeadás és a szorzás, a következo tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív a, b R : a + b = b + a Asszociatív a, b, c R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív a, b R : ab = ba Asszociatív a, b, c R : (ab ) c = a (bc ) 9/8
A valós számok halmazának van zéruseleme, azaz olyan 0 R szám, hogy a R : a + 0 = a egységeleme, azaz olyan 1 R szám, hogy a R : a 1 = a A valós számok halmazában a R esetén a R szám, hogy a + a = 0, azaz minden valós számnak létezik ellentettje. Jelölés: a a R \ {0} esetén a R szám, hogy a a = 1, azaz minden nullától különbözo valós számnak létezik reciproka. 1 Jelölés: a 10 / 8
A valós számok halmazának van zéruseleme, azaz olyan 0 R szám, hogy a R : a + 0 = a egységeleme, azaz olyan 1 R szám, hogy a R : a 1 = a A valós számok halmazában a R esetén a R szám, hogy a + a = 0, azaz minden valós számnak létezik ellentettje. Jelölés: a a R \ {0} esetén a R szám, hogy a a = 1, azaz minden nullától különbözo valós számnak létezik reciproka. 1 Jelölés: a 10 / 8
A valós számok halmazának van zéruseleme, azaz olyan 0 R szám, hogy a R : a + 0 = a egységeleme, azaz olyan 1 R szám, hogy a R : a 1 = a A valós számok halmazában a R esetén a R szám, hogy a + a = 0, azaz minden valós számnak létezik ellentettje. Jelölés: a a R \ {0} esetén a R szám, hogy a a = 1, azaz minden nullától különbözo valós számnak létezik reciproka. 1 Jelölés: a 10 / 8
A valós számok halmazának van zéruseleme, azaz olyan 0 R szám, hogy a R : a + 0 = a egységeleme, azaz olyan 1 R szám, hogy a R : a 1 = a A valós számok halmazában a R esetén a R szám, hogy a + a = 0, azaz minden valós számnak létezik ellentettje. Jelölés: a a R \ {0} esetén a R szám, hogy a a = 1, azaz minden nullától különbözo valós számnak létezik reciproka. 1 Jelölés: a 10 / 8
A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok: a, b R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia) a, b, c R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság) a, b, c R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. a, b, c R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül. 11 / 8
A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok: a, b R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia) a, b, c R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság) a, b, c R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. a, b, c R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül. 11 / 8
A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok: a, b R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia) a, b, c R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság) a, b, c R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. a, b, c R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül. 11 / 8
A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok: a, b R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia) a, b, c R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság) a, b, c R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. a, b, c R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül. 11 / 8
A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok: a, b R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia) a, b, c R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság) a, b, c R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. a, b, c R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül. 11 / 8
Archimedesi axióma: a R esetén n N, amelyre a < n Következmények: 1 < ε. n Tetszo leges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n N, amelyre nε > K. ε > 0 valós számhoz n N, amelyre 12 / 8
Archimedesi axióma: a R esetén n N, amelyre a < n Következmények: 1 < ε. n Tetszo leges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n N, amelyre nε > K. ε > 0 valós számhoz n N, amelyre 12 / 8
Archimedesi axióma: a R esetén n N, amelyre a < n Következmények: 1 < ε. n Tetszo leges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n N, amelyre nε > K. ε > 0 valós számhoz n N, amelyre 12 / 8
Definíció: Egy A R számhalmazt felülro l korlátosnak nevezünk, ha K R, hogy a A esetén a K. Megjegyzések: A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük. Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja is létezik.) Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A R halmaznak és L 0 < L esetén a A, amelyre L 0 < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felso korlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük. Jelölés: sup A 13 / 8
Definíció: Egy A R számhalmazt felülro l korlátosnak nevezünk, ha K R, hogy a A esetén a K. Megjegyzések: A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük. Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja is létezik.) Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A R halmaznak és L 0 < L esetén a A, amelyre L 0 < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felso korlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük. Jelölés: sup A 13 / 8
Definíció: Egy A R számhalmazt felülro l korlátosnak nevezünk, ha K R, hogy a A esetén a K. Megjegyzések: A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük. Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja is létezik.) Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A R halmaznak és L 0 < L esetén a A, amelyre L 0 < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felso korlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük. Jelölés: sup A 13 / 8
Definíció: Egy A R számhalmazt felülro l korlátosnak nevezünk, ha K R, hogy a A esetén a K. Megjegyzések: A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük. Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja is létezik.) Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A R halmaznak és L 0 < L esetén a A, amelyre L 0 < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felso korlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük. Jelölés: sup A 13 / 8
Definíció: Egy A R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha k R, hogy a A esetén a k. Megjegyzések: A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is létezik.) Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A R halmaznak és l 0 > l esetén a A, amelyre l 0 > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának (alsó határának, infimumának) nevezzük. Jelölés: inf A 14 / 8
Definíció: Egy A R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha k R, hogy a A esetén a k. Megjegyzések: A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is létezik.) Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A R halmaznak és l 0 > l esetén a A, amelyre l 0 > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának (alsó határának, infimumának) nevezzük. Jelölés: inf A 14 / 8
Definíció: Egy A R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha k R, hogy a A esetén a k. Megjegyzések: A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is létezik.) Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A R halmaznak és l 0 > l esetén a A, amelyre l 0 > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának (alsó határának, infimumának) nevezzük. Jelölés: inf A 14 / 8
Definíció: Egy A R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha k R, hogy a A esetén a k. Megjegyzések: A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is létezik.) Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A R halmaznak és l 0 > l esetén a A, amelyre l 0 > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának (alsó határának, infimumának) nevezzük. Jelölés: inf A 14 / 8
Definíció: Az A R halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülro l is korlátos. Teljességi axióma: Ha az A R halmaz felülro l korlátos, akkor létezik legkisebb felso korlátja, ha alulról korlátos, akkor létezik legnagyobb alsó korlátja. 15 / 8
Definíció: Az A R halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülro l is korlátos. Teljességi axióma: Ha az A R halmaz felülro l korlátos, akkor létezik legkisebb felso korlátja, ha alulról korlátos, akkor létezik legnagyobb alsó korlátja. 15 / 8
Nevezetes egyenlo tlenségek Bernoulli-egyenlo tlenség Tétel: Ha a 1 valós szám és n N, akkor (1 + a )n 1 + na Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: (1 + a )k +1 = (1 + a )k (1 + a ) (1 + ka ) (1 + a ) = = 1 + ka + a + ka 2 1 + (k + 1) a 16 / 8
Nevezetes egyenlo tlenségek Bernoulli-egyenlo tlenség Tétel: Ha a 1 valós szám és n N, akkor (1 + a )n 1 + na Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: (1 + a )k +1 = (1 + a )k (1 + a ) (1 + ka ) (1 + a ) = = 1 + ka + a + ka 2 1 + (k + 1) a 16 / 8
Nevezetes egyenlo tlenségek Bernoulli-egyenlo tlenség Tétel: Ha a 1 valós szám és n N, akkor (1 + a )n 1 + na Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: (1 + a )k +1 = (1 + a )k (1 + a ) (1 + ka ) (1 + a ) = = 1 + ka + a + ka 2 1 + (k + 1) a 16 / 8
Nevezetes egyenlo tlenségek Az általánosított Bernoulli-egyenlo tlenség Tétel: Ha ak 1 valós szám minden k {1, 2,..., n}, n N esetén, és a1, a2,..., an azonos elo jelu ek, akkor n Y (1 + ak ) 1 + k =1 n X ak k =1 Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: n +1 Y k =1 n n X Y (1 + ak ) = (1 + ak ) (1 + an+1 ) 1 + ak (1 + an+1 ) = k =1 k =1 1+ n X k =1 n n +1 X X ak an+1 1 + ak ak + an+1 + k =1 k =1 17 / 8
Nevezetes egyenlo tlenségek Az általánosított Bernoulli-egyenlo tlenség Tétel: Ha ak 1 valós szám minden k {1, 2,..., n}, n N esetén, és a1, a2,..., an azonos elo jelu ek, akkor n Y (1 + ak ) 1 + k =1 n X ak k =1 Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: n +1 Y k =1 n n X Y (1 + ak ) = (1 + ak ) (1 + an+1 ) 1 + ak (1 + an+1 ) = k =1 k =1 1+ n X k =1 n n +1 X X ak an+1 1 + ak ak + an+1 + k =1 k =1 17 / 8
Nevezetes egyenlo tlenségek Az általánosított Bernoulli-egyenlo tlenség Tétel: Ha ak 1 valós szám minden k {1, 2,..., n}, n N esetén, és a1, a2,..., an azonos elo jelu ek, akkor n Y (1 + ak ) 1 + k =1 n X ak k =1 Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: n +1 Y k =1 n n X Y (1 + ak ) = (1 + ak ) (1 + an+1 ) 1 + ak (1 + an+1 ) = k =1 k =1 1+ n X k =1 n n +1 X X ak an+1 1 + ak ak + an+1 + k =1 k =1 17 / 8
Nevezetes egyenlo tlenségek A számtani és a mértani közép közötti egyenlo tlenség Tétel: Ha a1, a2,..., an pozitív valós számok, akkor a1 + a2 +... + an n a1 a2... an n és a két oldal csak akkor egyenlo, ha a1 = a2 =... = an. 18 / 8
Nevezetes egyenlo tlenségek A mértani és a harmonikus közép közötti egyenlo tlenség Tétel: Ha a1, a2,..., an pozitív valós számok, akkor n a1 a2... an n 1 a1 + 1 a2 +... + 1 an és a két oldal csak akkor egyenlo, ha a1 = a2 =... = an. 19 / 8
Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Legyen R A B. Ekkor az R halmazt az (A, B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A, B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2) bináris reláció az (A, B ) halmazpáron. Ha (a, b ) R A B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a, b ) < R A B, akkor a és b nincs relációban egymással. /b. Jelölés: arb, illetve ar 20 / 8
Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Legyen R A B. Ekkor az R halmazt az (A, B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A, B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2) bináris reláció az (A, B ) halmazpáron. Ha (a, b ) R A B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a, b ) < R A B, akkor a és b nincs relációban egymással. Jelölés: arb, illetve ar /b. 20 / 8
Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Legyen R A B. Ekkor az R halmazt az (A, B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A, B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2) bináris reláció az (A, B ) halmazpáron. Ha (a, b ) R A B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a, b ) < R A B, akkor a és b nincs relációban egymással. Jelölés: arb, illetve ar /b. 20 / 8
Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Legyen R A B. Ekkor az R halmazt az (A, B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A, B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2) bináris reláció az (A, B ) halmazpáron. Ha (a, b ) R A B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a, b ) < R A B, akkor a és b nincs relációban egymással. Jelölés: arb, illetve ar /b. 20 / 8
Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Legyen R A B. Ekkor az R halmazt az (A, B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A, B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2) bináris reláció az (A, B ) halmazpáron. Ha (a, b ) R A B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a, b ) < R A B, akkor a és b nincs relációban egymással. Jelölés: arb, illetve ar /b. 20 / 8
Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A, B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A, B ; S ) relációt. A DS = {a a A, b B : asb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b b B, a A : asb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a A -hoz legfeljebb egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. 21 / 8
Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A, B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A, B ; S ) relációt. A DS = {a a A, b B : asb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b b B, a A : asb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a A -hoz legfeljebb egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. 21 / 8
Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A, B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A, B ; S ) relációt. A DS = {a a A, b B : asb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b b B, a A : asb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a A -hoz legfeljebb egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. 21 / 8
Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A, B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A, B ; S ) relációt. A DS = {a a A, b B : asb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b b B, a A : asb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a A -hoz legfeljebb egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. 21 / 8
Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A, B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A, B ; S ) relációt. A DS = {a a A, b B : asb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b b B, a A : asb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a A -hoz legfeljebb egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. 21 / 8