Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7 8 60 ) = ; b) = ; c) =! ; d) =! ; e) = ; 0 6 f) = 0 60 ) =-, = ; b) = ; c) =- ; d) =- 6; e) nincs megoldás; f) = 0 0 606 ) nincs megoldás; b) = ; c) = ; d) = ; e) = 0; f) = 0; g) =- ; h) =- 607 ) =- 7, = ; b) =-, =- 7; c) =- ; J N K 7 O d) nincs megoldás =! K O ; e) =- ; f) nincs megoldás L P 608 ) =- ; b) =- ; c) = ; d) nincs megoldás; 6 e) =- ; f) = 60 ) = ; b) = ; c) =- ; d) = ; e) = ; f) =- 60 ) = ; b) =- ; c) =- ; d) =- ; 6 e) = ; f) =- 8 6 ) = ; b) =- 7; c) = ; d) =, =- ; e) =, =- 6 ; f) =, =- 7 6 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0
Eponenciális egyenletrendszerek 6 ) = ; b) = ; c) = 0 6 ) = ; b) = 6; c) = 6 ) = ; b) =, =- ; c) =, =- 66 ) = 0, = ; b) = 0, = ; c) =, = log 67 ) nincs megoldás; b) = ; c) =! ; d) = 0 68 ) = ; b) = 0; c) =, =- Eponenciális egyenletrendszerek 6 ) =, y = ; b) =, y = log 8 60 ) =-, y = ; b) =, y =- ; c) d) =, y =- 6 ) = y= 0; b) =, y = =, y = ; 6 ) =, y = ; b) =-, y =, =, y = ; c) = y=, =, y =- 6 ) = ; b) = 7 6 ) = ; b) = 8 0 pqr 6 ) = ; b) = 7 rq + rp + pq Eponenciális egyenlôtlenségek 66 ) >, $ 7, #, < ; b) # -, > -, > -, $ - ; 67 ) #, >, <, > - ; b) >, # -, #, # - ; 7 c) < 0, <, $ -, $ ;
Eponenciális és logritmikus egyenletek, 7 7 68 ) < - vgy >, < - vgy >, # - vgy 7 $, - # # ; b) # 0, <, > -, > 6 ) >, - # #, # < 6; b) 0< <, < vgy >, < Pihenô 60 A számjegyek szorzt 0, összege, tehát z összeg ngyobb 60 6 A keresztrejtvényben db prímszám szerepel 6 Logritmikus egyenletek 6 ) =, =, =, =! ; 8 b) = 0, =-, = 6 ) =, = 0, =! 8; b) = 0, =, =! 7 6 ) = ; b) = 8; c) = ; d) nincs megoldás
Logritmikus egyenletek 6 ) =-, b) = 7; c) =, = ; d) =, 66 ) = 7 ; b) nincs megoldás 67 ) = ; b) =- 68 ) = ; b) = 6 =, = 60 ) =, = 8; b) = 6, = 8 6 ) = ; b) = ; c) =- 6 ) = ; b) = 8 6 ) = ; b) = Pihenô 6 A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 6 Tehát megoldndó egyenlet: log + log 8 =, honnn = 7 7 8 6 A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 6 A log + log + log = egyenlet megoldás: = 7 66 ) =, = ; b) = 8, = ; c) =, = 00 67 ) =, = ; b) =, = 8 68 ) =, = + ; b) = 6 nincs megoldás 8 60 ) =, = ; b) = 8 ; c) = 6 ) = 0; b) = 6 =-
6 Eponenciális és logritmikus egyenletek, 6 ) =- 7; b) = 6 = 6 ) = ; b) = ; c) = 0 66 ) 0 = ; b) =, = 0 67 = 68 ) =!, 0 =! ; b) = ; c) 0 =, = ; d) = 7, = 6 ) = log 7 ; b) = ; c) =, = 7 660 ) =- ; b) nincs megoldás 66 ) Vezessük be log - log = új ismeretlent; = 6, =, =, = ; b) = 66 ) = ; b) = 6; c) Vezessük be log log = új ismeretlent; = 6 Pihenô 66 A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 66 Ezek szerint log ( 0 + - 60) = egyenletet kell megoldnunk Az egyenlet megoldás: =- 0, = 66 A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 66
Logritmikus egyenletek 7 66 ) = 6, = 7, > 0; b) =, = - ; c) = 6, = 666 ) = ; b) = ; c) =, = 6 7 667 ) = ; b)írjuk át z összes tgot -es lpr, mjd vezessük be log = új ismeretlent Ekkor - = + + egyenlethez jutunk, honnn =-, = ; ezzel z eredeti egyenlet megoldási: =, = ; 8 c)a bl oldl második tényezôjét írjuk át -es lpr = 668 )A bl oldl második tényezôjét írjuk át lpr, mjd lklmzzuk logritmus megfelelô zonosságit Kpjuk: + log 6 $ =, honnn log 6-log 6- = 0 & log 6 = 6 b) Térjünk át bl oldlon minden tgbn -ös lpr, mjd vezessük be log = új ismeretlent Kpjuk: 6 + + = 0, honnn + + =-, =- Ezzel z eredeti egyenlet megoldási: =, = 6 c)a bl oldl értéke Így következô egyenlethez jutunk: log + log + = 0, honnn = 66 ) Elôször írjuk át jobb oldlt -es lpr, mjd emeljük négyzetre mindkét oldlt: log = log = log = log, innen = 6 b)járjunk el ugynúgy, mint z elôzô feldtbn = c)írjunk át bl oldlon minden tgot lpr, mjd vezessük be z log = y új ismeretlent: J N y + + y + + = 0 y K y O L P
8 Eponenciális és logritmikus egyenletek, H most y + = b, kkor y y b + 8b - == 0, zz + = b -, tehát kpjuk: y b= y+ = vgy b= y+ =- y y Elsô esetben nem kpunk megoldást, második esetben y =-, y =- Az eredeti egyenlet megoldási: =, = 670 )Írjunk minden tényezôt zonos (pl -es) lpr = 8 b)a bl oldl elsô két tgjábn -es lpr áttérve ezt kpjuk: ( - - ) $ log ( + - ) = 0 & =, = - c) Mindkét négyzetgyök ltt teljes négyzet szerepel Bevezetve log = új ismeretlent, ezt kpjuk: - + + =, honnn - # #, tehát # #,! 67 ) A négyzetgyök ltt teljes négyzet szerepel Bevezetve log = új ismeretlent, ezt kpjuk: - =, honnn =, =, tehát =, = b) A bl oldl második tényezôjét írjuk át - -es lpr =- c) Hsonlón járjunk el, mint z elôzô feldtbn = 0 67 ) A bl oldl mindkét tgját írjuk át -es lpr =-, =- b)az elsô tg második tényezôjét írjuk át lpr, mjd vezessük be log = b új ismeretlent Kpjuk: b -b- = 0 Innen = 6 67 ) Vegyük észre, hogy ( + )( - ) = Így, h e + o =, kkor - =, honnn = -, = + A negtív gyök nem lehetséges, így = b)mivel ( - )( + ) =, ezért z egyenlet + = lkbn írhtó Innen = +, = -, tehát =, =-
Logritmikus egyenlôtlenségek 67 ) A bl oldl minden tgjábn térjünk át 0-es lpr Ezzel egyenletünk így írhtó: J N $ + K O - lg L P =, zz lg $ + = lg - log + log Innen 6 $ 6 $ + $ = $ Mindkét oldlt $ -nel elosztv 6b + 6b- = 0 lkú egyenlethez jutunk Innen b =-, b = Anegtív gyök nem jöhet számításb, így kpjuk: = b) =, = 00 67 A jobb oldli négyzetgyök ltt -( $ y -) szerepel, így z egyenletnek csk kkor vn értelme, h y =- Ezt z eredeti egyenletbe visszhelyettesítve = dódik 7 Logritmikus egyenlôtlenségek 676 ) 0< <, >, 0 < # ; b) < <, > -, $ 677 ), < <, >, $ ; b) < < 7, >, - # < 0 vgy < # + 678 ) nincs megoldás, -- - + < vgy >, < < ; b) <,!, > < < 67 ) nincs megoldás, < - 6, -< < - vgy # < 6 ; + b) < <, > 680 ) # < vgy $, > ; b) < <, < - 7 68 ) # < vgy $, -< < - vgy > + ; b) - + < < ; c) -< log ( - )<, honnn, < < 6
0 Eponenciális és logritmikus egyenletek, 68 ) log ( + ) vgy log ( + ) -, honnn $ # 7 - < # - vgy $ 7; b) - # < - vgy < # 6 68 ) # #, ; b) < # 68 ) Elôször jobb oldlt írjuk át -es lpr, ezt kpjuk: log # log = log, & log # log Mivel log > 0, így < # 6 b) Az értelmezési trtomány ( < - vgy > ) mitt logritmus lpj minden szób jöhetô -re kisebb, mint Az egyenlôtlenség megoldás: - 0 # < - vgy < # + 0 6 68 ) < vgy > ; b) < # 686 Elôször hozzuk z egyenlôtlenséget z lábbi lkr: e+ log o ( - ) $ 0 & # # Eponenciális és logritmikus egyenletrendszerek 687 ) =, y = ; b) =, y = 0 688 ) =, y = ; b) = 00, y = 0 68 ) = 0, y = ; 0 c) nincs megoldás 60 ) =, y = 8; b) = 7, y = 6 ) =, y = ; b) =, y = 6 ) =, y = 6; b) =, y = ; c) térjünk át mindkét egyenletben bl oldlon -es lpú logritmusr: = 6, y = 8 6 ) A második egyenletbôl = y Ezt z elsô egyenletbe helyettesítve kpjuk: =, y = b) Az elsô egyenletbôl logritmus definícióját felhsználv: + y 7 =, honnn = y Ezt felhsználv második egyenletben, - y zt kpjuk, hogy: =, y =
Eponenciális és logritmikus egyenletrendszerek c) Az elsô egyenletbôl: + - y+ = y+, mit így is írhtunk: - y+ + - y+ = Bevezetve - y+ = $ 0 új ismeretlent, zt kpjuk, hogy: -y- 6= 0 Ezt és második egyenletet felhsználv: =, y = 0 6 ) A második egyenletbôl: y- = - y, zz ( - y)( + y) = 0 Mivel és y pozitív, ezért csk = y lehetséges Ezt z elsô egyenletbe helyettesítve, kpjuk: = y= b)az elsô egyenletbôl = y Ezt második egyenletbe helyettesítve: =-, y =-, =, y = 8 c) Mivel log = ( log ) = log, ezért z elsô egyenlet bl oldl így írhtó: log - log y+ - log - log y+ 8 = 60 Most vezessük be log - log y+ 8 = $ 0 új ismeretlent, kkor -- 60= 0, innen pedig log -log y- 8= 0 A második egyenletben vegyük mindkét oldl -s lpú logritmusát: 8 8 log = log y Ezt felhsználv: = 8, y =, = - -, y = 6 ) Az elsô egyenletbôl: = y Ezt második egyenletben felhsználv: = 0, y = 0 b) Az elsô egyenletbôl: + = ( + y) - y, zz ( + y) -( + y) - = 0 Ebbôl z + y-bn másodfokú egyenletbôl: + y= Ezt felhsználv második egyenletben: =, y =- Pihenô 66 Vízsz : 6 + = 8 Függ : = 8, = A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 66 A megoldndó egyenlet: log( - 6) = =
Eponenciális és logritmikus egyenletek, 8! 67 Vízsz : $ = 67 Függ : 6 Függ :,! A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 67 A számjegyek szorzt: $ $ $ 7 A legkisebb szám, mellyel ezt meg kell szoroznunk, hogy négyzetszámot kpjunk: $ $ 7= 0 68 Vízsz : Függ :, A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 68 log 8 =8 = 6 Vízsz : Vízsz :, 6, 7 Függ : 6 $ + 0 = 86Függ 8:, A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 6 A számjegyek összege: = $ $ Tehát keresett szám: $ 8 - ( + + ) =00 Nehezebb feldtok témkörbôl 700 > A feltételek szerint log p + log ( log p p ) = log p & log p( $ log p ) = log p = log p, log p =, honnn = p
Nehezebb feldtok témkörbôl 70 A feltételekbôl log =, log =, log 67 = b c E három egyenlôséget összedv bc + c + b log $ $ 67 = + + =, b c bc bc honnn log00 = bc + c + b 70 >,! H >, kkor logritmus lpj -nél ngyobb, tehát + $ -, zz + - $ 0 Ez utóbbi kkor teljesül minden -re, h - $ 0, tehát < # H < <, kkor + # - Ez zonbn semmilyen -r nem teljesül minden -re 70 sin > 0, sin!, cos > 0, cos! logcos sin + = logcos sin Bevezetve logcos sin = új ismeretlent: - + = 0, & = log sin =, honnn cos = sin, cos - sin = sin & sin + sin - = 0 sin = - & 0, 666 + kr ( k! Z) 70 A megdott egyenlôség így írhtó: $ log + $ log b+ $ log c=, zz log bc = Tehát tégltest térfogt: V = 6 Mivel, b és c pozitív egészek és!, ezért vgy =, továbbá b és c egyike, másik Ekkor felszín: A = ( + + 6) = 0 A 0 0 Így keresett rány: = =, vgy pedig = 6, b= c= Ez esetben keresett rány = V V 6 A 678 6
Eponenciális és logritmikus egyenletek, log 70 Mivel =, ezért szükséges, hogy sin > 0, sin!, és sin > r r Mindezekbôl + kr< < r+kr és! + kr 6 6 Mivel logritmus lpj kisebb, mint, ezért zt kpjuk, hogy + log sin $, honnn sin $ r Az eredeti egyenlôtlenség megoldás: + kr # # r+ kr, r! + kr ( k! Z) 706 Az egyenlôtlenségnek csk kkor vn értelme, h sin > 0, tg > 0 és sin +! sin Mivel egy pozitív számnk és reciprokánk összege leglább, így z egyenlôtlenség értelmezési trtomány: kr < < + kr ( k! Z) r Az egyenlôtlenség így lkul: tg + < sin +, honnn cos + cos - > 0 tg sin - Innen feltételeket figyelembe véve : < cos <, mibôl -, 8 + k$ 60 < <, 8 + k$ 60 707 log = ( log ) = log Ezért z eredeti egyenlet így írhtó: log - 0log + = log - log +, `log - log + j - 7= log - log + Most vezessük be log - log + =! 0 új ismeretlent, zt kpjuk, hogy 7 0 honnn = =- Az =- esetben log -re dódó másodfokú egyenlet diszkrimináns negtív, míg másik esetben zt kpjuk, hogy: log - 0log + = ( log - ) = 0, honnn =
Nehezebb feldtok témkörbôl 708 Az lábbi feltételeknek kell teljesülniük: ) - > 0; b) - + + > 0; c) log ( - - ) + log( - ) + $ 0 Az ) esetben > A b) esetben másodfokú lk zérushelyei: - és, tehát - < < A c) esetben log ( - ) -ben másodfokú lk zérushelyei: -, és, tehát log # log( - ) # log 8, honnn # # 8 Az összes feltételt figyelembe véve z eredeti kifejezés értelmezési trtomány: - < # - vgy # < 70 > 0 Mindkét esetben y - 7y+ $ 0 másodfokú egyenlôtlenséget kell megoldnunk Mivel másodfokú kifejezés zérushelyei: és, ezért ) esetben log # vgy log $, honnn 0< # vgy $ A b) esetben log # vgy log $, zz - # log #, vgy log # -, vgy log $, honnn # #, vgy 0 < #, 8 vgy $ 8 Ábrázoljuk mindkét hlmzt egy számegyenesen: 70 A B-A hlmz elemei: < # vgy 8 # < 70 Az egyenlôtlenségnek kkor vn értelme, h > A négyzetgyök ltti kifejezés: log # log - # log _ log - i, tehát megoldndó egyenlôtlenségláncolt:
6 Eponenciális és logritmikus egyenletek, H log $, kkor log # log- # log, honnn # log #, tehát ez esetben # # H 0 < log <, kkor log # - log+ # log, honnn # log #, tehát ekkor # # Az eredeti egyenlôtlenség megoldás: # # vgy # # 7 Az ) kifejezés htványkitevôjében szereplô másodfokú kifejezésnek = -bn vn mimum, így 0< log (- + 6+ ) = log 6 = 6 Tehát log 6 log( - + 6+ ) # log 6 6=, vgyis log 6 log 6( - + 6 + ) # = Az A hlmz elemei: 0< # A b) esetben J r N J r N sin K > 0 O és sin K! 0 O, L P L P honnn B hlmz elemei: + 0k< < 8 + 0k és! + 0k Ábrázoljuk egy számegyenesen kpott eredményeket: 7 Az A-B hlmz y elemei: 0< y #, y =, 8 # y #, y =
Nehezebb feldtok témkörbôl 7 7 Az egyenlôtlenség minden tgj így lkíthtó: log yz = + log y + log z, tehát log y+ log yz+ logz + log z+ log y + logz y> 8 De J log y N log y+ log y = + K $ $ = 6 log y O L P Így már csk zt kell belátnunk, hogy log y log y z logz = = = nem lehetséges Ugynis ellenkezô esetben rr jutnánk, hogy = y= z= 0 vgy = y= z=, mi nyilván lehetetlen 7! 0 Térjünk át bl oldlon lpr; zt kpjuk, hogy: log log log + > + +, vgyis - + > + + log Innen, h > 0, kkor + ( + ) + < 0 E másodfokú kifejezés zérushelyei: - és - Mivel feltételek szerint >, ezért ebben z esetben nem kpunk megoldást H < 0, kkor < - vgy > - Tehát z eredeti egyenlôtlenség megoldás: < - vgy - < < 0 7 Legyen log 7 = és vizsgáljuk 6 < + < egyenlôtlenségláncoltot Egyik iránybn - + 6 > 0, zz ( - 6) > 0 Ez utóbbi minden -r teljesül, csk zt kell megmuttnunk, hogy log 7! 6, zz 6! 7 Ez zonbn igz, hiszen 6 < = < 7
8 Eponenciális és logritmikus egyenletek, Másik iránybn - + 6 < 0, honnn < <, vgyis < < Mivel < log 7<, ezért ez z egyenlôtlenség is igz 7 A megdott egyenes z tengelyt ott metszi, hol y = 0, z y tengelyt, hol = 0 E metszéspontok: =, y = log - log Az egyenes és tengelyek lkott háromszög területe: 8 $ $ =, log - log 6 honnn log =!, tehát = vgy = Elsô esetben z egyenes egyenlete: - y=, tengelymetszetek: =, y =- A másik esetben z egyenes egyenlete: - + y=, tengelymetszetek: =-, y = Tehát két egybevágó derékszögû háromszögrôl vn szó Ezek átfogój: J N J N + K = $ O K O L P L P A háromszög K kerülete: K = $ b+ l 76 Vizsgáljuk z egyenlet két oldlánk lehetséges értékeit A jobb oldl: - y + 6y- =-( y- ) +, tehát jobb oldl értéke legfeljebb, és pontosn kkor, h y = A bl oldlon: sin ( + ctg ) = sin sin E tört értéke leglább, és pontosn kkor, h sin = Ezek szerint bl oldl értéke leglább log = Ezek szerint z egyenlôség csk úgy állht fenn, h r y = és sin =, honnn = + kr ( k! Z)
Nehezebb feldtok témkörbôl 77 Az egyenlet bl oldl: J N + log y+ + log y = + $ log y+ K $ 0 log y O L P A jobb oldl: log < -_ z - i + F # 0 Tehát z egyenlôség csk úgy teljesülhet, h log y =, zz = y, és z = Ezzel második egyenlet: = 00, vgyis = y= 0 78 Az egyenlet bl oldlán szereplô logritmusok lpji egymásnk reciproki, továbbá négyzetgyökök ltt teljes négyzetek szerepelnek Így z elsô tg: log - log - = + - Vezessük be log + - = új ismeretlent, ekkor zt kpjuk, hogy + =, honnn =, = H log + - =, kkor - = b+ l = 7+, vgy - =- b+ l =-7-, h log + - =, kkor - = +, vgy - =- + Tehát z eredeti egyenlet megoldási: = 0 +, =- -, = + +, = - + 7 Az elsô egyenlet bl oldl így lkíthtó: n k n k log + log y + log y y + log y = n+ k( log y+ log y ) = nk A bl oldl leglább ( n+ k) A jobb oldl viszont számtni és mértni közép közötti egyenlôtlenség mitt legfeljebb ( n+ k) Így egyenlôség csk kkor lehet két oldl között, h log y+ log y =, zz log y =, honnn = y
0 Eponenciális és logritmikus egyenletek, De log z = z, így második egyenletbôl: z + z + + z- z = 00, honnn z = 00 Tehát z egyenletrendszert kielégítô számhármsok: z = 00, = y> tetszôleges Vegyes és gykorlti feldtok 70 70 Érdemes elôször 7-tel, -gyel, -ml és 7-tel vló oszthtóságot vizsgálni Ez után már könnyen kitölthetô négyzetháló X = 7 7 Induljunk ki bból, hogy z elsô sor, illetve hrmdik oszlop összege páros 7 + = 8, + = 08, + = 6 Az elsô egyenlôségbôl kivonv másodikt, mjd különbséghez hozzádv hrmdikt, ezt A B B C C D kpjuk: + = 8-08 + 6 = 8 A D Tehát kiskutyánk 00-ben éppen 6 éves 7 y =06, yz = 6, zq = 7 Osszuk el z elsô és hrmdik y $ zq 06 $ 7 szorztát másodikkl: = q = = 8 Tehát yz 6 kiscic 00-ben éppen 6 éves lesz
Vegyes és gykorlti feldtok + + + 7 b = 6, b c = 0, c d = 867 Az elsô és hrmdik összegébôl vonjuk ki másodikt: + + + + b + c d - b c = d = 6 + 867-0 = Tehát z unok 00-ben lesz ngykorú 7 H egy egész számhoz egyet hozzádv számjegyeinek összege csökken, kkor ez szám -re végzôdik H z utolsó elôtti számjegy (tízesek) nem, kkor számjegyek 76 összege -cel csökken és -gyel növekszik, tehát összesen 8-cl csökken A gondoltsort folyttv rr jutunk, hogy egy számhoz -et hozzádv, számjegyeinek összege csk k + 8 lkú számml csökkenhet Tehát csk z e) állítás lehet igz 76 Az ábr lpján: VÉK és VTP háromszögek hsonlók, így 8 = +, honnn = 6 0, Tehát város lkóink szám: 6 $ 860 = 0 60 fô 77 A kötvények összértéke 00 dollár Olyt kell elvenni belôle, hogy megmrdók -gyel is, és -ml is, zz -vel oszthtók legyenek Ez csk 700 dollár értékû kötvényre teljesül, tehát ez lesz z sszonyé 78 H bolygók szám n, kkor 0 < nn ( - )< 60 Innen n = 7 Az összes könyvek szám 68 H vlmelyik gyerek hiányzott, kkor z elvitt könyvek szám: rendre 6,,,, vgy Ezek között két olyn tlálhtó, melynek vn 0 és 0 közé esô osztój: = $ vgy = $ Tehát z árvháznk lkój vn 70 A feltételekbôl következik, hogy négyzetekben szereplô számok összege 0 Tehát elég sok 0-nk kell lennie közöttük Rövid próbálkozás után kpjuk z egyetlen eredményt: 70 7 b + + + + b =, zz 0+ b+ + b = 7 Innen csk = 0 vgy = lehetséges H = 0, kkor b+ b = b( + b) = 7 De 7 nem bonthtó fel két szomszédos egész szorztár, tehát ekkor nincs megoldás H =, kkor b( + b) = 6, honnn b = Tehát z illetô születési éve:
Vegyes és gykorlti feldtok S S 7 H t = és t - =, kkor S = 60 Ezzel 0 0 t - S =, zz S S 60 - = 0, vgyis - =, honnn = Tehát biciklistánk km/h sebességgel kell hldni 7 A sárkány legyôzésének egy lehetséges módját muttj z lábbi táblázt: Vágunk Megmrdó fejek Megmrdó frkk frkt 8 fejet 8 fejet 8 frkt 6 frkt frkt frkt frkt frkt frkt 6 0 fejet 0 fejet 0 fejet 0 0 7 7 A semtikus ábr lpján: H vlmely egész ór után 8 perccel indul, kkor mindegy melyik utt válsztj H egész ór és 8 perc után indul, kkor z M-T-V utt kell válsztni, h egész ór és 8 perc elôtt indul, kkor z M-V utt kell válsztni 7 Az öt gyerek összes kártyáink szám 8 A kupcbn levô kártyák számánk -tel oszthtónk kell lennie, vgyis 8-ból olyn számot kell elvenni, hogy megmrdók szám vgy -re vgy 0-r végzôdjön Ez csk Bél vgy Elemér kártyáink számár teljesül, tehát csk Bél hiányozhtott
Vegyes és gykorlti feldtok 76/ 76 Tekintsük 77 z ábrákt: Az ) ábr lpján kock üres részének térfogt tg 0 =, így víz térfogt: - - = A b) ábr lpján A megmrdó víz térfogt: y - = = tg, honnn, 7 77 Helyezzük el z ábrát egy koordinát-rendszerben! Az A, B és H pontokból g gerend egyenesének egyenlete: - + y=- J N Ez z egyenes z tengelyt ; 0 K O pontbn metszi Ezzel gerend hossz: L P g 7, 08 m 78 H S z út, v szokásos menetidô, kkor Sp Sp S - 00 00 S J p N + J p N = $ 6 v v - K v + 00 O K 00 O L P L P S Innen -vel egyszerûsítve és megfelelô átlkításokt elvégezve v p 00 p 00- p + - =, honnn 7p - 7p + 00 = 0 ; 00+ p 6 p = %, p, % 7 7 Az ábr lpján R R R OK = R -, OT =, FK = +, FT = KT = OK - OT = FK - FT, zz J RN J R N J R N ( R-) - K = + - O K O K O, honnn = R 0 L P L P L P
Vegyes és gykorlti feldtok 70 Legyen P T Tom, P J pedig Jerry pihenôideje és F T Tom, F J Jerry futóideje! Ekkor feltételek szerint PT+ FT= PJ+ FJ, PT= FJ és PJ= FT Ezek szerint FJ+ FT= FT+ FJ, honnn FJ= FT 8 H Jerry sebessége, kkor 8$ $ FT= $ FJ, vgyis = = 88 egység 7 7 Legyen AB gólvonl, S szögletzászló, P keresett pont, melybôl z AB gólvonl legngyobb szögben látszik, és legyen b keresett legngyobb szög A megfelelô derékszögû háromszögekbôl: b tg =, tg ( + b ) = Innen felhsználv tg ( + b) kifejtését -: + tg b b b ( - ) =, honnn tg b = + b - tg b Mivel b hegyesszög, ezért kkor mimális, h tgb legngyobb, zz reciprok legkisebb De számtni és mértni közép közötti egyenlôtlenség mitt b b ( - ) + b ( - ) $ b ( b- ) b Egyenlôség kkor, és csk kkor, h b ( - ) =, honnn b b ( - ) = 7 Legyen v Pisti sebessége, pedig vont és z állomás közötti távolság 7
Vegyes és gykorlti feldtok A feltételek szerint S 0S 8S =, zz = =, v 0 v v S S továbbá $ = + v 0 0 A kpott eredményeket egybevetve ezt kpjuk: v = = km/h 7 A $ bc + = cb egyenletet részletesen kiírv: $ ( 00+ 0b+ c) + = 00c+ 0b+, + 0b+ = 7c Innen csk = vgy = lehetséges H =, kkor 8 + 0b+ = 7c, zz 0b= 7c- 67 A most kpott egyenlet bl oldl oszthtó 0-zel, tehát jobb oldlnk is 0-r kell végzôdnie De jobb oldl csk kkor végzôdik 0-r, h 7c 7-re végzôdik, zz, h c = Ez esetben viszont jobb oldl negtív lenne, tehát ez esetben nem kpunk megoldást H =, kkor + 0b+ = 7c, zz 0b= 7c- 8 Ennek z egyenletnek ugynúgy, mint elôbb jobb oldlánk 0-r kell végzôdnie, zz 7c-nek 8-r kell végzôdnie Ez csk kkor teljesül, h c =, és ekkor 0b = 88-8 = 0, honnn b = A keresett szám: bc = Vlóbn: $ + = 7 A sktulyelv lpján 7 ppgáj között vn 6 zonos színû Ezeket négy korcsoportb lehet osztni (hiszen nincs különbözô korú, zonos színû), tehát - ugyncsk sktulyelv szerint - kell lennie 7 zonos színû és zonos korú ppgájnk H ezeket két részre kell osztni, kkor vlmelyik részben lesz leglább zonos korú és zonos színû ppgáj 7 A körfolyosó területe: R r- r r= r ( R -r ) A kötél hosszánk felére:, = R - r Tehát körfolyosó területe:, r = 7, 6 m Így szükséges dobozok szám: 7, 6 $, = 7,, vgyis 7 6, y 76 HC = és AH = HF = y Írjuk fel koszinusztételt z FCH háromszögre:
6 Vegyes és gykorlti feldtok 76 J N J y N J y N y y K y = + - O K O K O $ $ $ cos ( 80 - ) L P L P L P ( = + - - cos ), honnn cos = De cos =, így =, zz y = y y Írjuk fel újr koszinusztételt, most z XBF háromszögre: J N K O ( - ) = + -$ $ cos, K O L P - = -, honnn = 0 Tehát hjtás másik vége háromszög AB oldlát : ránybn osztj: BX = XA 77 Tekintsük z ábrát H = b+ c, kkor z ABD és ACD háromszögek hsonlók, vgyis n AD =, zz nn ( + k) = 8 77 AD n + k Innen n =, k = 8, vgy n =, k = De n = nem lehetséges, így Bél és Csb közül vlmelyik f tövében, másik pedig z f tövében végezte mérést 0 78 0 + = 0 gerezd fokhgymát kell ültetni 6 7 A megfelelô derékszögû háromszögekbôl J R N 7 ( R-) - = + K -( R-) O, honnn = R 0 L P 7
Vegyes és gykorlti feldtok 7 70 Tekintsük z ábrát 70 A háromszög területe: R V y ( ) z ( y) ( z) S - - + - W T= - + + = S W T X J y( - ) + z( -y) N = - K O L P J Ez kkor legngyobb N K O, h y vgy K O - L P és z vgy - y egyenlô 0-vl Ez zt jelenti, hogy háromszög területe kkor legngyobb, h két csúcs négyzet két szomszédos csúcsáb esik, hrmdik pedig négyzet szemközti oldlánk bármely pontj 7 A kúp lkú edény és benne levô víz (kúp) hsonlók, így térfogtuk rány hsonlóság rányánk köbe, zz J N V = vz i K = 0, O L P A henger lkú edényben levô vízoszlop térfogt egyenesen rányos benne levô vízoszlop mgsságávl, tehát m = 0, 0 =, 6 cm vz i $ 7 A nyomdi ív két oldlát z lábbi ábr szemlélteti: 7 7 A feltételek szerint z L lány L + 6 fiúvl táncolt, és ez z összes fiúk szám Ezek szerint L+ 6 = F és L+ F= Innen L = 8 és F = 7 A bnkkárty: 7
8 Vegyes és gykorlti feldtok 7 Nem Mindhármn üveg sört fogysztottk, így András üvegébôl Csb üveggel fogysztott, míg Bél üveg sörébôl üveggel Ezek szerint z eurót : ránybn kell elosztni András és Bél között 76 A négy repülôgép egy olyn szbályos tetréder csúcsibn vn, melynek testmgsság 00 m Az oldlú szbályos tetréder testmgsság 00 = 00, honnn z él (vgyis két repülôgép távolság) 67, m 77 A félgömb és henger térfogtánk egyenlôségébôl, vlmint félgömb és kúp térfogtánk egyenlôségébôl: $ r$ = $ r $ mhenger, honnn m henger = 8 cm; $ r$ = $ r $ $ mku p, honnn mk u p 8 = cm 78 H l lányok szám, l fiúk szám, kkor kérdéses lklomml: ( l- 8) $ = l- 8, honnn l = 6 és l = 8 7 Az lábbikbn muttunk néhány megoldást: 00 = + + + + + 6+ 7+ 8$ ; 00 = + $ + $ - 6+ 7+ 8$ ; 00 =- $ --- + 6$ 7+ 8$ ; 00 = ( + --) $ ( -6-7-8- ) 760 A6 literest megtöltjük, mjd átöntjük 7 literesbe Ezután 6 literest újr megtöltjük, és feltöltjük vele 7 literest, ekkor 6 literesben liter mrd A7 literest kiürítjük, mjd z litert beleöntjük 6 literesbôl Aztán 6 literest újr megtöltjük, feltöltjük vele 7 literest, így 6 literesben liter mrd Végül 7 literest kiürítjük, áttöltjük 6 literesben levô litert, mjd 6 literest ismét 76 megtöltjük, és litert átöntünk 7 literesbe, így 6 literesben éppen liter mrd 76 Jelölje A hlmz robotgéppel, B hlmz mosógéppel, C hlmz mosogtógéppel rendelkezô csládok számát A feltételek szerint + $ 0, b+ $, c+ $ 0, ezért + b+ c+ $ 00 De + b+ c# 000, így $, zz
Vegyes és gykorlti feldtok $ Tehát -nél több megkérdezett cslád rendelkezik mindhárom háztrtási eszközzel 76 Tekintsük z ábrát 76 A hjtogtás jellegébôl következik, hogy KBlC = BKC l = ABlD =, és BK = Bl K, vlmint BA l = BA Tehát z ADB háromszög is egyenlô szárú, ezért tégllp másik oldl AB = Mivel + =, honnn = $ ( - ), ezért z összehjtott terítô területe: [ + $ ( -)] $ T = = = 76 cm 76 A pirmis felülnézete egy 0 # 0 m-es négyzet, melynek területe 00 m, mi be vn vonv rnnyl Ezenkívül még z öt db hsáb oldllpji, melyek -esével egybevágó tégllpok E tégllpok mindegyikének egyik oldl m, másik oldlk pedig rendre m,, m, 7 m, 8, m és 0 m Tehát z rnnyl bevont terület: 00 + $ ( +, + 7 + 8, + 0) = 0 m 76 Az ábr jelöléseivel: KGH egyenlô szárú derékszögû háromszög, így KF = Thlész tételé- b h bôl: PF = Így keresett PK távolság: PK = h - b 76 Gömb lkú hordó: grfikon; körlpján álló kúp lkú hordó: grfikon; csúcsán álló kúp lkú hordó: grfikon, henger lkú hordó: grfikon 766 A BMT és BMP háromszögek hsonlók; területeikbôl hsonlóság rány : 76 766
0 Vegyes és gykorlti feldtok Az APMD és BCTM trpézok területe ( + ) $ y ( + ) $ y TC= = $ y= 00, TD= = y= 800 (Ugynezt gondoltmenetet követve: h DMT háromszög területe t, BMP háromszög területe T, kkor z egyes trpézok területe: TC = t + Tt, TD = T + Tt l 767 András és Bél széke között távolság 68 - = szék Ezek szerint, h legmgsbb sorszámú szék z, kkor 7 + - =, honnn = 0 $ r r 768 768 A körcikk területe: Tk qrcikk= = Mivel TAO = 0, tehát BAO = 0, így OB = + AO - $ AO$ cos 0 De cos 0 =, tehát =, honnn AO AO AO = J N Azt kpjuk, hogy = + - $ $ - K O, L P b- l honnn = = + Ezzel b- l T b- l b- l negyzet = = $ = 0, 00 0 T r r r kqrcikk r =, -gyel számolv tehát négyzet területe ngyobb, mint körcikk területének fele, vgyis z építési engedélyt nem dják meg (Igen érdekes eredményre jutunk, h r-nek nem két tizedesjegy pontosságávl, hnem négy vgy több tizedesjegy pontosságávl számolunk r =, -tel számolv két terület hánydos már jóvl kedvezôbb: 0, 8, vgyis ez esetben ház megépíthetô) 76 H küllô hossz k, kkor feltételek szerint ( 0 + k) $ r= $ 0 $ r, honnn k = 80 cm
Vegyes és gykorlti feldtok J r N 770 A füves rét területe: r r - K O L P A kecske áltl elérhetô terület z r sugrú rét -d 770 része, vlmint negyedkör, melyek sugr r, vgyis J r N r 7 r r + $ $ = r r K O 8 L P Ezek szerint kecske lelegelheti rét r 7 r r 8 r r - 0, %-át 77 H elôször k db ppírt vágtunk ketté (k # 00), kkor 00 + k db ppírlpunk lesz Másodszor k ppírt vágtunk ketté, így ez után 00 + k ppírlpunk lesz Hrmdik lklomml k db ppírt vágtunk ketté, így 00 + n + 7k ppírlpunk lesz Beláthtó, hogy z n-edik drbolás után 00 + ( -) db ppírlpunk lesz n n 00 + ( - ) $ k = 00, zz ( - ) $ k = 0 = $ $ 7 Mivel 0 n - lkú osztói közül csk 7 jöhet szób, így n = 7 és ekkor k = Tehát legelôször db ppírlpot vágtunk ketté és z eljárást 7-szer ismételtük meg Nevezetes egyenlôtlenségek y 77 Legyen + y= 8 Ekkor = + $ y, tehát 8 $ y Az egyenlôség pontosn kkor teljesül, h = y= Ekkor szorzt értéke: 8 y 77 Legyen + y= 00 Ekkor 0 = + $ y, tehát 00 $ y Az egyenlôség pontosn kkor teljesül, h = y= 0, ekkor szorzt értéke: 00 b 77 Legyenek z oldlk: és b Mivel _ + bi = 0, 7, = + $ b = = t te gllp Tehát tégllp mimális területe: 06, cm, ekkor z oldlk: = b = 7, cm